Ứng dụng số phức giải bài toán Điện Xoay Chiều

A. M U
1. lý do chọn đề tài
Trong chơng trình vật lý phổ thông điện xoay chiều là phần kiến thức quan trọng,
nó thể hiện ở dung lợng khá lớn, nó có mặt trong cấu trúc tất cả các đề thi tốt nghiệp,
đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp.Các bài toán điện xoay chiều rất phong
phú và đa dạng, có thể sử dụng nhiều phơng pháp khác để giải nh: phơng pháp lợng
giác, phơng pháp hình học (giản đồ vectơ), phơng pháp số phức.
Với việc chuyển đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm trong các kỳ thi,
yêu cầu học sinh không những nắm chắc kiến thức mà cần có kết quả chính xác trong
khoảng thời gian ngắn. Chính vì vậy, việc sử dụng phơng pháp nào cho nhanh nhất để
có kết quả chính xác cao là điều đợc thầy cô và các học sinh rất chú trọng, nht l
trong hỡnh thc thi trc nghim nh hin nay. Trong số các phơng pháp trên, học sinh
phổ thông thờng sử dụng phơng pháp giản đồ vectơ tip cn vn , nhng tụi nhận
thấy phơng pháp số phức là một phơng pháp đơn giản, v c bit hc sinh cú th ng
dng s dng mỏy tớnh cm tay gii nhanh cỏc bi toỏn in xoay chiu cho kt qu
chớnh xỏc cao. Học sinh chỉ cần nắm đợc những kiến thức cơ bản về số phức mà cỏc
em hoàn toàn dễ nắm bắt đợc, tụi tin rằng nếu đa phơng pháp này giảng dạy cho học
sinh các em sẽ có thêm một lựa chọn tốt để giải nhanh các bài toán điện xoay chiều nói
riêng và các bài toán dao động điều hoà nói chung .
Xuất phát từ những lý do trên, tụi đã nghiên cứu đề tài Sử dụng phơng pháp số
phức giải toán v mch in xoay chiu RLC v ng dng gii trờn mỏy tớnh
cm tay CASIO fx-570ES.
Với đề tài này tụi rất mong muốn phơng pháp này sẽ trở thành phơng pháp chính
đợc thầy cô và học sinh sử dụng để giải quyết các bài toán về dòng điện xoay chiều.
2. mục đích nghiên cứu
1
+ Đề tài nghiên cứu giúp các em học sinh có thêm một lựa chọn tốt khi giải các bài
toán điện xoay chiều nói riêng và các bài toán dao động điều hoà nói chung, từ đó vận
dụng nhanh, linh hoạt vào việc giải các bài tập, góp phần hình thành lòng say mê, sự
hào hứng tạo điều kiện để các em học sinh học tốt khi học tập bộ môn vật lí. Góp phần
nâng cao chất lợng, số lợng học sinh khá giỏi bộ môn vật lí. Tạo nền tảng tốt để các em

bớc vào hai kì thi quan trọng: Tốt nghiệp THPT và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.
+ Thấy đợc ứng dụng của phơng pháp số phức trong việc giải bài toán dòng điện
xoay chiều và ứng dụng giải nhanh các bài toán điện xoay chiều trên máy tính cầm tay.
3. đối tợng nghiên cứu
+ Kiến thức cơ bản về số phức và biểu diễn số phức
+ Các bài toán về mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp.
+ Phơng pháp giải bài tập mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp bằng số phức
và ứng dụng giải trên máy tính cầm tay CASIO fx-570ES.
4. Phơng pháp nghiên cứu
+ Tra cứu tài liệu.
+ Phân dạng mạch điện, phân loại bài tập.
+ Giải bài tập.
+ Quan sát biểu hiện hứng thú của học sinh và sự linh hoạt của học sinh khi thực
hiện các thao tác của phơng pháp giải bài tập mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp
bằng số phức và ứng dụng giải trên máy tính cầm tay CASIO fx-570ES.
+ Nhận xét, kết luận.
5. Phạm vi nghiên cứu
Các bài tập về mạch điện xoay chiều RLC thuộc chơng trình vật lý lớp 12 cơ bản
và nâng cao.
2
6. thời gian nghiên cứu
Trong một số năm gần đây với việc chuyển đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc
nghiệm trong các kỳ thi ở bộ môn vật lí tôi luôn trăn trở làm sao để tạo ra một phơng
pháp giải toán vật lí tốt cho các em học sinh vận dụng nhanh, chính xác giải đợc các
bài toán vật lí trắc nghiệm đòi hỏi sự nhanh nhạy, chính xác cao. Chính vì vậy tôi bắt
đầu tìm hiểu, nghiên cứu đề tài ứng dụng phơng pháp số phức giải nhanh các bài toán
điện xoay chiều và ứng dụng giải trên máy tính cầm tay. Tôi đã triển khai đề tài để h-
ớng dẫn cho các em học sinh ở các lớp 12 tôi dạy và đã có những phản hồi tích cực từ
phía các em.
3

B. NI DUNG
Phần 1. Cơ sở lý thuyết
1.1. Số phức
1.1.1. Xét tập hợp các cặp số thực (x,y) lấy theo một thứ tự xác định. Cặp số thực này có
thể coi nh một vectơ trong mặt phẳng Đềcac vuông góc xOy. Mỗi cặp số thực trên đợc
gọi là một số phức và mặt phẳng Đềcac xOy đợc gọi là mặt phẳng số phức. Nh vậy là
giữa tập hợp các số phức (x,y) và tập hợp các điểm z của mặt phẳng xOy có sự liên hệ
tập hợp các điểm z có sự liên hệ một đối một, do đó ta có thể viết đẳng thức.
z = (x,y)
Trong thành phần của số phức z = (x,y): x đợc gọi là phần thực, y đợc gọi là phần
ảo.
Kí hiệu:
Re
Im
=


=

x Z
y Z

( )
1 1 1
,z x y=
và
( )
2 2 2
,z x y=
đợc coi là bằng nhau

1 2
1 2
x x
y y
=



=

Số phức dạng
( )
,0z x=
nghĩa là số phức có thành phần ảo bằng 0 đợc coi nh
trùng với số thực
x
và điểm tơng ứng của nó trên mặt phẳng xOy nằm trên trục hoành.
Trên cơ sở đó trục hoành của mặt phẳng Đềcac xOy còn gọi là trục thực.
Số phức dạng
( )
0 ,z y=
nghĩa là số phức có phần thực bằng 0, ứng với một
điểm nào đó nằm trên trục tung đợc gọi là trục ảo.
Hai số phức
( )
1
,z x y=
và
( )
2

,z x y=
ứng với hai điểm đối xứng nhau đối
với trục thực đợc gọi là hai số phức liên hợp.
Kí hiệu:
( ) ( )
, ,x y x y =
Chú ý: Hai số phức liên hợp bằng nhau khi chúng đều là số thực.
1.1.2. Xác định các phép tính trên tập hợp số phức
4
Phép cộng: Tổng của hai số phức:
( )
1 1 1
,z x y=
và
( )
2 2 2
,z x y=
đợc xác định bằng
đẳng thức sau:
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
( , ) ( , ) ( ; )z z x y x y x x y y+ = + = + +
Phép cộng hai số phức thực chất là phép cộng hai vectơ trên mặt phẳng xOy.
Phép nhân: Tích của hai số phức
( )
1 1 1
,z x y=
và
( )
2 2 2
,z x y=

đợc xác định bằng
đẳng thức sau:
( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
, . , ;z z x y x y x x y y x y x y= = +
.
Nh vậy, với phép cộng và phép nhân đợc định nghĩa nh trên, tập hợp các số phức lập
thành một trờng.
1.1.3. Dạng đại số của số phức
Trong tập hợp các số phức, số phức thuần ảo
( )
0,1
có một vị trí đặc biệt. Đó là
đơn vị ảo. Ta kí hiệu đơn vị ảo là
j
.
( )
0,1
=
j
Dựa vào kí hiệu này ta có thể đa ra một dạng khác của số phức gọi là dạng đại số.
Nh ta đã biết
( )
,0x x=
với
x
. Dựa vào định nghĩa của phép nhân ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2
0,1 0,1 1,0 1 1j = = =

Tính chất đặc biệt của tập hợp số phức: bình phơng của một số thuần ảo lại là
một số thực.
Tính chất khác nữa: mọi số thuần ảo đều có thể coi nh tích của đơn vị ảo với
một số thực có giá trị bằng phần ảo

(0, ) (0,1)( ,0)y y jy= =
Dựa vào (1) và (2) ta có thể viết số phức bất kì
( )
,z x y=
dới dạng sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, ,0 0, ,0 0,1 ,0z x y x y x y x jy= = + = + = +
Dạng
z x jy= +
đợc gọi là dạng đại số hay dạng Đềcac của số phức.
1.1.4. Dạng lợng giác của số phức
5
y
y
z
x
x
O
z
r
Hình 1
Để thấy rõ hơn bản chất hình học của số phức ta sẽ có cách biểu diễn hình học của
nó (hình 1). Gọi độ dài của
Oz
uur

là
r
ta có
2 2
r x y= +
.
Đại lợng
r
đợc gọi là môđun của số phức
z
là một số
thực không âm. Ta cũng thấy ngay số phức
( )
0,0z =
trùng
với gốc của trục toạ độ, là số duy nhất có môđun bằng 0.
Hớng của
Oz
uur
đợc xác định bởi góc

. Góc này đợc tạo
thành bởi chiều dơng của trục
Ox
và
Oz
uur

( )
0z

. Góc

gọi
là acgumen của số phức
z
.
Về hình học, một số phức
z
đợc xác định hoàn toàn bởi hai đại lợng là
r
và

.
Chúng đợc gọi là toạ độ cực của số phức
z
.
Kí hiệu:
r z
Argz

=


=

Chú ý: Môđun của số phức đợc xác định duy nhất còn acgumen đợc xác định sai
khác một bội của
2

.

Theo hình 1 ta có:
cos
sin
x r
y r


=


=

Với
0z
, trong các giá trị của acgumen, có một giá trị duy nhất gồm giữa


và

ta gọi đó là giá trị chính và kí hiệu là arg.
arg z

<
Nh vậy Arg
( )
arg 2 , 0, 1, 2 z z k k

= + =
Ta có:
( )

arg
y
tg z
x
=
( )
cos sin cos sin

= + = + = +z x jy r jr r j
Đây là dạng lợng giác của số phức.
áp dụng công thức ơle:
( )
cos sin
j
j e


+ =
.
Số phức
z
còn đợc viết dới dạng:
.
j
z r e

=
.
6
1.2. Các phơng pháp biểu diễn dao động điều hoà

1.2.1. Phơng pháp lợng giác
Dao động điều hoà (dđđh) đợc biểu diễn dới dạng:
11
Ax =
cos(
11

+t
)

22
Ax =
cos(
22

+t
)
Tổng hai dđđh cùng phơng:
x = x
1
+ x
2
=
1
A
cos(
11

+t
) +

2
A
cos(
22

+t
)
Nếu hai dao động cùng biên độ
A
1
= A
2
= A
x = 2Acos(
22
2121

+
+
+
t
).cos(
22
2121


+

t
)

Đặc biệt khi hai dao động cùng tần số
1 2

= =
thì
x = 2Acos(
2
21


).cos(
2
21


+
+t
).
1.2.2. Phơng pháp hình học (giản đồ vectơ Fresnel-GĐVT)
Dựa vào tính chất một dđđh có thể coi nh hình chiếu của một chuyển động tròn
đều xuống một đờng thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo, theo phơng pháp này mỗi
dđđh đợc biểu diễn bằng một vectơ quay.
Giả sử cần biểu diễn dao động
( )
cosx A t

= +
.
Trên một trục chọn làm trục x ta lấy điểm O bất kỳ làm gốc. Từ điểm O ta đặt
vectơ

A
r
tạo với Ox một góc

bằng pha ban đầu và có độ dài tỉ lệ với biên độ A. Ta
gọi nó là vectơ biên độ.
Cho vectơ biên độ quay quanh O theo chiều dơng (ng-
ợc chiều kim đồng hồ) với vận tốc bằng

. Khi đó điểm
đầu mút vectơ
A
r
trên trục x sẽ biểu diễn một dđđh quanh
điểm O theo phơng trình
( )
cosx A t

= +
.
7
y
O
A
ur
x
y
ở điện học, trong phơng pháp này các đại lợng vô hớng nh cờng độ dòng điện,
hiệu điện thế, đợc biểu diễn bằng các vectơ . Các vectơ này có độ lớn bằng biên độ
0 0

,I U
của các đại lợng biến thiên I, U tơng ứng. Các vectơ
0 0
,I U
ur uur
đó vẽ chung một góc
và lệch pha nhau một góc bằng

bằng hiệu số pha giữa chúng và chúng quay ngợc
chiều kim đồng hồ với vận tốc tơng ứng. Các giá trị tức thời của dòng điện và hiệu điện
thế tại mỗi thời điểm sẽ tìm đợc nhờ chiếu vectơ
0
I
ur
và
0
U
uur
lên trục tung. Hình chiếu
của chúng lên trục tung tại mỗi thời điểm bằng giá trị tức thời của chúng tại thời điểm
đó.
Nh vậy việc khảo sát phơng trình lợng giác thay bằng sự khảo sát phép quay của
vectơ
A
r
.
1.2.3. Phơng pháp số phức
Một số phức đợc biểu diễn dới dạng:
( )
cos sin cos sin

j
a Ae A j A jA


= = + = +
Một dao động điều hoà dạng
( )
cosx A t

= +
có thể biểu diễn phần thực của
một số phức
( )
j t
a Ae

+
=
hoặc
( )
j t
a Ae

+
=
hay cũng có thể viết dới dạng:
( )
expa A j t

= +

hoặc
( )
{ }
expa A j t

= +
Khi hai dđđh đợc biểu diễn bằng những phần thực của hai số phức
a
và
b
và gọi
số phức
c
là tổng của
a
và
b
thì phần thực của
c
biểu diễn tổng hợp của hai dai động
nói trên. Số
j
a Ae


=
là liên hợp phức của
j
a Ae

=
ta có:
2j j
aa Ae Ae A


= =
1.3. Phơng pháp dùng số phức để giải bài toán mạch điện xoay chiều
a. Đối chiếu công thức ơle với phơng trình của dao động điện từ ta thấy một đại lợng
biến thiên điều hoà theo thời gian
( )
sina A t

= +
có thể biểu diễn bằng một số phức
kí hiệu
a

( )
j t
a a Ae

+

=
8
Bởi vì trong bài toán mạch điện xoay chiều, tần số góc

có trị số xác định nên để
thuận tiện trong tính toán ta quy ớc:

( )
1 2
cos sin
j
a a Ae A j a ja



= = + = +
Với
1
cosa A

=
là phần số thực,
2
sina A

=
là phần ảo của số phức
,a


chính là
pha ban đầu hoặc độ lệch pha (so với dao động khác) của một đại lợng biến thiên điều
hoà mà ta xét.
Nh vậy, nếu hiệu điện thế có biểu thức
100 2 sin100u t

=

(v) thì nó đợc biểu
diễn bằng số phức
*
100 2=u
(v) vì
0

=
.
Nếu cờng độ dòng điện có dạng:
5 2 sin 100
4
i t



= +
ữ

(A)
thì nó đợc biểu diễn bằng số phức :
4
5 2 5 5
j
I e j


= = +
(A)
Và ngợc lại, nếu có

100 2u

=
(v) thì ta có thể viết biểu thức
100 2 sin100u t

=
(v) = 100
2
cos(100
2


t
) (v).
Hoặc nếu có
5 5I j

= +
thì ta có biểu thức
5 2 sin 100
4
i t



= +
ữ

(A)=5

2
cos(100
24


+t
) = 5
2
cos(100
2


t
)(v).
Ngoài ra vì
R
gắn với
R
u
uur
,
L
Z
gắn với
L
u
uur
,
C
Z

gắn với
C
u
uur
nên tổng trở
Z
của
mạch RLC ghép nối tiếp cũng đợc biểu diễn bằng một số phức:
( )

= +
L C
Z Z R j Z Z
b. Khi đó định luật Ôm cho đoạn mạch RLC ghép nối tiếp đợc viết dới dạng.
U
I
Z



=
hay
U I Z

=
Nếu mạch gồm nhiều đoạn ghép nối tiếp thì:
1 2
Z Z Z

= + +

,
1 2
U U U

= + +
với
,
i i
Z U

là tổng trở và hiệu điện thế của đoạn mạch thứ
i
.
9
c. Còn nếu mạch gồm nhiều đoạn mạch ghép song song thì tổng trở của toàn mạch và
dòng điện chính trong mạch là:
* * *
1 2
* * *
1 2
1 1 1
; I I I
Z Z Z
= + + = + +L
với
* *
1 2
1 2
, ,
U U

I I
Z Z


= = L
d. Nếu mạch gồm các phần tử ghép hỗn hợp thì phân tích
mạch thành các đoạn mạch ghép nối tiếp, mỗi đoạn mạch đó
lại gồm các phần tử ghép song song rồi vận dụng cách tính
nói trên.
e. Ngoài ra khi cần thiết, để giải bài toán đợc thuận lợi có thể
sử dụng phép biến đổi tam giác, sao đối với tổng trở phức,
giống nh với điện trở thuần trong các bài toán mạch điện
không đổi. Chẳng hạn
* *
*
2 3
1
* *
1 2 3
Z Z
Z
Z Z Z

=
+ +

* *
*
3 1
2

* * *
1 2 3
Z Z
Z
Z Z Z
=
+ +

* *
*
1 2
3
* * *
1 2 3
Z Z
Z
Z Z Z
=
+ +

1.4 . Giải toán số phức trên máy tính cầm tay CASIO fx-570ES.
a) Nhng thao tỏc c bn
thc hin tớnh toỏn s phc trờn mỏy, chỳng ta phi vo mode CMPLX bng
cỏch n:
[Mode] [2]. Trờn mn hỡnh hin CMPLX.
10
Trong mode CMPLX, để nhập kí hiệu i ta nhấn phím “ENG”
Để nhập ký hiệu ngăn cách ∠ , ta nhấn [SHIFT] [(-)]
- Khi máy tính hiển thị ở dạng đại số (a+bi), thì chúng ta sẽ biết được phần thực
và phần ảo của số phức

- Khi máy tính hiển thị ở dạng lượng giác (
X

o
Ðj ), thì chúng ta sẽ biết được độ
dài (modul) và góc φ (argumen) của số
phứ
c
.
11
Mặc định, máy tính sẽ hiển thị kết quả dưới dạng đại số. Để chuyển sang dạng
lượng giác, ta nhấn: [SHIFT] [2], màn hình hiển thị như sau:
Nhấn 3 để chuyển về dạng lượng giác.
b) Những lỗi thường gặp
· Khi cài đặt máy ở chế độ đơn vị đo góc nào thì phải nhập đơn vị đo góc ấy.
Trong mode độ (màn hình hiện chữ D), phải nhập đơn vị là độ VD: 45
0
,
60
0
Trong mode rad (màn hình hiện chữ R), các bạn phải nhập đơn vị là radian.
VD: π/6 (rad); π/8 (rad)
12
Phần 2: Vận dụng phơng pháp số phức giải bài toán
dòng điện xoay chiều TRONG MCH rlc MC NI
TIP V NG DNG GII TRấN MY TNH CM TAY.
1.1. Lập biểu thức cờng độ dòng điện và hiệu điện thế tức thời
Bài 1.1.1
Cho mạch điện xoay chiều gồm ba phần tử mắc nối tiếp với nhau, điện trở
thuần ,

8( )R =
cuộn thuần cảm có hệ số tự cảm
1
( )
80
L H

=
, một tụ điện có điện
dung
4
10
( )
8
C F


=
. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều có biểu
thức
34 2 sin(2000 ) ( )u t V

=
.
1. Tìm biểu thức cờng độ dòng điện tức thời trong đoạn mạch.
2. Viết biểu thức hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu điện trở, hai đầu cuộn cảm và hai
đầu tụ điện.
Lời giải
1.
1

2000 25( )
80
L
Z L


= = ì =
4
1 1
40( )
10
2000
8
C
Z
C




= = =
ì
( ) ( )
*
8 25 40 8 15
AB L C
Z R j Z Z j j
= + = + =
*
34 2

AB
U =
( )
*
*
*
34 2 2 2
8 15
8 15 17
AB
AB
AB
U
I j
Z j
= = = +

2 2
0
2 2 2 2
8 15 17 2 2
17 17
I = + = ì =
13
( )
15 62
2 2 sin 2000 2 2 sin 2000 1,08 2 2 sin 2000
8 180
i t arctg t t
π

π π π
   
= + = + ≈ +
 ÷  ÷
   
31
2 2 sin 2000 ( )
90
t A
π
π
 
= +
 ÷
 
*¸ p dông tÝnh trªn m¸y tÝnh casio fx-570ES:
+ chuyÓn m¸y tÝnh vÒ hÖ tÝnh CMPLX
+ Thùc hiÖn tÝnh b»ng c¸ch nhÊn phÝm nh sau:
[
34 2
8 15i−
]+[=]
[SHIFT ] +[2]+ [3]+ [=]
2.
C¸ch 1:
( ) ( )
* *
2 2 16 2
8 15 8 8 15
17 17

R R
U I R j j= × = + × = +
( )
31
16 2 sin 2000
90
π
π
 
⇒ = +
 ÷
 
R
u t V
+)
( ) ( )
* * *
2 2 50 2
8 15 25 8 15
17 17
L AB L
U I Z j j j= × = + × × = −
14
8 28
50 2 sin 2000 50 2 sin 2000
15 180
L
u t arctg t

= + = +
ữ ữ
ữ


( )
7 38
50 2 sin 2000 50 2sin 2000
45 45
50 2 sin 2000 2,65 ( )
t t
t V




= + = +
ữ ữ

= +
+)
( ) ( ) ( )
* * *
2 2 80 2
8 15 40 15 8
17 17
C AB C

U I Z j j j= ì = + ì =
( )
8 7
80 2 sin 2000 80 2 sin 2000
15 45
80 2 sin 2000 0,49 ( )
C
u t arctg t
t V






= + =
ữ ữ
ữ


=
*á p dụng tính trên máy tính casio fx-570ES:
Sau khi tìm đợc kết quả cờng độ dòng điện tức thời ở trên
Thực hiện nhớ kết quả vào bộ nhớ máy bằng thao tác nhấn: [ M+ ]
Lấy kết quả lần lợt nhân với 8; 25i; (-40)i ta đợc kết quả u
R
; u
L
; u
C

:
Cách 2:
( )
( )
2
2
2
64 25 40 64 225 289 17( )
L C
Z R Z Z= + = + = + = =
34
2( )
17
U
I A
Z
= = =
( )
0
sini I t

=
15
Với
15 15 62 31
8 8 180 90
L C
Z Z
tg artg
R

= = = =
ữ

31
2 2 sin 2000 ( )
90
i t A



= +
ữ

+)
31 31
2 2 sin 2000 8 16 2 sin 2000
90 90
R
u i R t t



= ì = + ì = +
ữ ữ

+)

31 38
2 2 sin 2000 25 50 2sin 2000 ( )
90 2 45
L
u t t V



= + + ì = +
ữ ữ

+)
)
45
7
2000sin(.280)
290
31
2000sin(22.40


=+= ttu
C
(V)
- Nhn xột: +) Nh vy, so vi phng phỏp truyn thng, phng phỏp s
dng s phc cng a ra kt qu nhanh gn v chớnh xỏc
+) Sau khi tớnh toỏn, hc sinh hon ton cú th dng chuyn i
t hm sin sang hm cosin theo bt:
sinx = cos(x-
2

)
Bài 1.1.2
Một mạch điện gồm điện trở thuần
75( )R =
mắc nối tiếp với cuộn cảm có độ
tự cảm
5
( )
4
L H

=
và với một tụ điện có điện dung
3
10
( )
5
C F


=
. Dòng điện xoay
chiều chạy trong mạch có biểu thức
( )
2sin 100 ( )i t A

=
.
1. Viết biểu thức hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu điện trở, giữa hai cuộn cảm, giữa

hai đầu tụ điện.
2. Viết biểu thức tức thời của hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch.
16
Lêi gi¶i
5
100 125( )
4
L
Z L
ω π
π
= = × = Ω

3
1 1
50( )
10
100
5
C
Z
C
ω
π
π
−
= = = Ω
×
*
2( )I A=

1. +)
* *
2 75 150
R R
U I R= × = × =
150sin100 ( )
R
u t V
π
⇒ =
= 150.cos(100
t
π
-
2
π
) (V)
+)
* * *
2 125 250
L L
U I Z j j= = × × =
250sin 100 ( )
2
L
u t V
π
π
 

⇒ = +
 ÷
 
= 250.cos 100
π
t (V)
+)
( )
* * *
2 50 100
C C
U I Z j j= = × − × = −
100sin 100 ( )
2
C
u t V
π
π
 
⇒ = −
 ÷
 
= 100.cos(100
ππ
−t
) (V).
2.
( )
( )
*

75 125 50 75 75 ( )
AB L C
Z R j Z Z j j= + − = + − = + Ω
( ) ( )
* * *
2 75 75 150 1 ( )
AB AB
U I Z j j V⇒ = = + = +
150 2 sin 100 ( )
4
AB
u t V
π
π
 
⇒ = +
 ÷
 
= 150
2.
.cos( 100
4
π
π
−t
) (V)
Cách 2:
1. Ta có: Z
L
= L.

ω
= 125
Ω
Z
C
=
ω
.
1
C
= 50
Ω
Theo gt
⇒
I
0
= 2 A
+) U
0R
= I
0
.R = 2.75 = 150
Ω
⇒
u
R
= 150.sin( 100
π
t) (V) = 150.cos(100
t

π
-
2
π
) (V
+) U
0C
= I
0
.Z
C
= 2. 20 = 100
Ω

⇒
u
C
= 100.sin( 100
2
π
π
−t
) (V) = 100.cos(100
ππ
−t
) (V).
+) U
0L
= I
0.

Z
L
= 2.125 = 250
Ω
⇒
u
L
= 250.sin(100
2
π
π
+t
) (V) = 250.cos 100
π
t (V)
17
2.
Tng tr: Z
AB
=
22
)(
CL
ZZR +
=
2.75)50125(75
22
=+
(V)
+ lch pha ca u

AB
so vi i:
tan

=
1
50
75125
=

=

R
ZZ
CL



4


=

u
AB
sm pha
4

so vi i
+) U

0AB
= I
0
. Z
AB
= 2. 75
2
= 150.
2
(

).

u
AB
= 150.
2
.sin(100
4


+t
) (V) = 150
2.
.cos( 100
4


t
) (V).

- Nhn xột: So vi phng phỏp truyn thng, phng phỏp s phc trong bi tp
trờn t ra u vit hn.
1.2. Xác định các đại lợng trong mạch
1.2.1. Cho mạch điện nh hình vẽ.
1
50( ), ( )R L H

= =
. Đặt vào hai đầu mạch
điện xoay chiều
( )
220 2 sin 100 ( )u t V

=
. Biết tụ điện có thể thay đổi. Tính
C
để
hiệu điện thế cùng pha cờng độ dòng điện.
Lời giải
*
220 2 ( )
AB
U V=
1
100 100 ( )
L
Z L


= = ì =

( ) ( )
*
50 100
AB L C C
Z R j Z Z j Z= + = +
Ta có:
*
*
*
AB
AB
AB
U
I
Z
=
Để hiệu điện thế cùng pha với cờng độ dòng điện thì
*
0AB
I I=
. Khi đó
*
AB AB
Z Z=

nghĩa là thành phần ảo phải bằng 0
100 0 100
C C
Z Z = =
mà

1
C
Z
C

=
4
1 1 10
( )
100 100
C
C F
Z


= = =
ì
Suy ra khi đó xảy ra hiện tợng cộng hởng.
1.2.2. in ỏp gia hai u cun dõy v cng dũng in qua cun dõy l:
18
80sin(100 ); 2 sin(100 )
8 8
u t i t


= + =
.
in tr thun R v t cm L ca cun dõy l:
A. 40 v 0,368 H B. 40 v 0,127 H
C. 40

2
v 0,127 H D. 40
2
v 0,048 H
*á p dụng tính trên máy tính casio fx-570ES:
Suy ra R = 40. ZL = 40
- Cú ZL = 40 , suy ra L = 0,127H
ỏp ỏn B.
1.3. Bài toán về góc lệch pha
Xét mạch
RLC
. Đoạn mạch MP có điện
trở
R
, đoạn mạch PQ có cuộn cảm với hệ số
tự cảm
L
, đoạn mạch QN có tụ điện điện
dung
C
. Trong đoạn mạch MN có dòng điện
xoay chiều
( )
0
sin ( )i I t A

=
.
1. Chứng minh các kết luận sau:
a. Hiệu điện thế giữa hai điểm M, P cùng pha với dòng điện.

b. Hiệu điện thế giữa hai điểm Q, N trễ pha
2

so với dòng điện.
c. Hiệu điện thế giữa hai điểm P, Q sớm pha
2

so với dòng điện.
2. Giải sử
, ,R L C
là các đại lợng đã cho. Hỏi có thể biến đổi tần số của dòng điện để
cho hiệu điện thế trên từng đoạn mạch PQ, QN và trên toàn mạch MN cùng pha với
dòng điện đợc không? Giải thích?
Lời giải
19
1.
( )
*
0 0
sini I t I I

= =
+) Hiệu điện thế giữa hai điểm M, P là:
* * *
0MP MP
U I Z I R= =
0
sin
MP
u I R t

=
Suy ra
MP
u
cùng pha với cờng độ dòng điện (điều phải chứng minh)
+) Hiệu điện thế giữa hai điểm P, Q là:
* * *
0PQ PQ L
U I Z I jZ= = ì
0
sin
2
PQ L
u I Z t



= ì +
ữ

Suy ra
PQ
u
nhanh pha
2

so với cờng độ dòng điện.
+) Hiệu điện thế giữa hai điểm Q, N là:
( )

* * *
0QN QN C
U I Z I jZ= = ì
0
sin
2
QN C
u I Z t



=
ữ

Suy ra
QN
u
trễ pha
2

so với cờng độ dòng điện.
2. Ta thấy sự lệch pha của
PQ
u
,
QN
u
không phụ thuộc vào

hay tần số

f
suy ra
PQ
u
,
QN
u
không bao giờ cùng pha.
Suy ra
MN
u
,
PQ
u
,
QN
u
không cùng pha nhau đợc.
1.4. Một số bài toán ví dụ đợc áp dụng giải trên máy tính casio fx-570ES:
1.4.1. t mt in ỏp xoay chiu vo hai u mt cun dõy ch cú t cm L =
H

2
1
thỡ
cng dũng in qua cun dõy cú biu thc : i = 3
2cos 100
6
t

+
ữ

(A). Nu t in
ỏp núi trờn vo hai bn t ca t in cú in dung C =
4
10.
1


F thỡ biu thc no trong cỏc
biu thc sau ỳng vi biu thc dũng in ?
A. i = 1.5
7
2cos 100
6
t



+
ữ

(A). B. i = 1.5
7
cos 100
6
t

+
ữ

(A).
C. i = 1.5
7
2cos 100
6
t




ữ

(A). D. i = 1.5
7
cos 100
6
t




ữ

(A).

20
C¸ch gi¶i:
U
*
=Z
L
*
I
1
*
=> I
*
2
= U
*
: Z
*
C
= Z
L
*
.I
1
*
: Z
*
C
= 3
2
∠

6
π
x 50i : (-100i) = 1,5
2
∠
5
6
π
−
=> ®¸p ¸n A.
1.4.2. Một đoạn mạch gồm một tụ điện có dung kháng Z
C
= 100 v cuộn dây có cảm kháng
Z
L
=200
Ω
mắc nối tiếp nhau. Điện áp tại hai đầu cuộn cảm có dạng
L
π
u =100cos(100πt+ )V
6
. Biểu thức điện áp ở hai đầu tụ điện có dạng là
A.
C
π
u =100cos(100πt+ )V
6
. B.
C

π
u =50cos(100πt- )V
3
C.
C
π
u =100cos(100πt- )V
2
D.
C
5π
u =50cos(100πt- )V
6
C¸ch gi¶i:
U
C
*
= I
*
. Z
C
*
= U
*
L
: Z
L
*
x Z
C

*
= 100
∠
6
π
: (200i) x (-100i) = 50
∠
5
6
π
−
=> §¸p ¸n D.
1.4.3. Mạch RLC như hình vẽ :
Biết Đ: 100V – 100W ; L =
π
1
H , C =
F
µ
π
50
,
u
AD
= 200
2
cos (100 πt +
6
π
)V Biểu thức u

AB
có dạng
A. u
AB
= 200
2
cos (100 πt +
4
π
)V B. u
AB
= 200 cos (100 πt –
4
π
)V
C. u
AB
= 200
2
cos(100 πt –
3
π
)V D. u
AB
= 200 cos(100 πt +
3
π
)V
C¸ch gi¶i:
R

§
= 100
Ω
; Z
L
= 100
Ω
; Z
C
= 200
Ω
U
AB
*
= I
*
.Z
*
= U
*
AD
: Z
AD
*
x Z
*
= 200
2
∠
6

π
: (100 + 200i) x (100 -100i) =
= 200
2
∠
–
3
π
1.4.4. Giữa hai điểm A và B của một đoạn mạch xoay chiều chỉ có hoặc điện trở thuần
R, hoặc cuộn thuần cảm L, hoặc tụ có điện dung C. Điện áp giữa hai đầu mạch là u =
200cos100πt V, dòng điện qua mạch là i = 2cos(100πt -
2
π
)A. Kết luận nào sau đây là
đúng?
A. Mạch có R = 100
Ω
. B. Mạch có cuộn thuần cảm L =
1
π
H.
21
A L Đ D C
B
C. Mạch có tụ có điện dung C =
4
10
π
−
F. D. Mạch có tụ có điện dung C =

1
π
F.
C¸ch gi¶i:
U
*
: I
*
= 200 : 2
∠
2
π
−
= 100i => §¸p ¸n B.
Nhận xét: Từ các bài toán ví dụ trên ta thấy khi áp dụng phương pháp số phức giải
bài tập mạch điện xoay chiều RLC sử dụng máy tính cầm tay cho kết quả chính
xác và thời gian giải rút ngắn đi rất nhiều, rất thuận lợi cho học sinh làm nhanh
các bài tập trắc nghiệm.
22
c. Kết luận
I. kết quả
Qua quá trình giảng dạy tôi thấy việc hớng dẫn, vận dụng phơng pháp số phức giải bài
toán v mch in xoay chiu RLC ni tip v ng dng gii trờn mỏy tớnh cm tay
ó giỳp cho hc sinh thc hin gii nhanh, chớnh xỏc cỏc bi toỏn in xoay chiu gúp
phn nõng cao cht lng hc tp, t ú s hc sinh am mờ v yờu thớch mụn vt lớ
ngy cng tng.
i vi bi kim tra chuyờn kt qu ó c nõng cao hn so vi khi ch dy cỏc
em phng phỏp gii i s v vect. Kt qu ging dy khi ỏp dng sỏng kin kinh
nghim cỏc lp th hin qua bi kim tra 45 phỳt nh sau:
Lớp Sĩ số

Số học sinh đạt điểm x
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
II. bài học tổng kết
Qua quá trình vận dụng đề tài trong giảng dạy tôi nhận thấy phơng pháp số phức kết
hợp giải trên máy tính cầm tay khá đơn giản, có thể giải bài toán một cách nhanh
chóng, có kết quả chính xác cao, hơn nữa việc kiểm tra lại cũng khá dễ dàng. Với ph-
ơng pháp này việc sử dụng các công thức toán học cũng không nhiều nên thuận lợi
cho học sinh trong quá trình giải bài toán xoay chiều. Ưu điểm trên rất phù hợp với
thời kỳ mới trong chơng trình cải cách từ thi tự luận sang trắc nghiệm hiện nay.
III. điều kiện áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
- Phơng pháp số phức kết hợp giải trên máy tính cầm tay có thể áp dụng giải cho
mạch điện xoay chiều RLC thuộc chơng trình Vật lí 12.
- Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho các học sinh đại trà và học sinh khá, giỏi lớp 12
23
+ Học sinh yếu, trung bình nắm đợc phơng pháp giải để vận dụng tính nhanh kết quả cho
các trờng hợp đơn giản.
+ Học sinh khá, giỏi có thể ứng dụng, phát triển giải các bài tập phức tạp hơn.
IV. Hạn chế
Hạn chế của đề tài là cha đề cập nhiều đến các bài tập phức tạp, các bài toán cực trị. Cha
đề cập tới các bài toán về máy phát điện, động cơ điện, sự truyền tải điện năng.
V. Hớng tiếp tục nghiên cứu mở rộng đề tài
Nhằm nâng cao chất lợng học tập của học sinh trong thời gian tiếp theo tôi sẽ
tiếp tục vận dụng và phát triển đề tài cho các chuyên đề của chơng trình vật lí 12 nh
nghiên cứu các bài toán phức tạp về điện xoay chiều, các bài toán cực trị, bên cạnh đó
sẽ tiếp tục nghiên cứu, ứng dụng sang các bài toán dao động điện từ, dao động điều
hoà và các dạng toán vật lí có liên quan.
Tiên Lữ, ngày 20 tháng 02 năm 2011
Ngời thực hiện
Nguyễn Văn Đông

24
D. Tài liệu tham khảo
1. SGK Vt lớ 12- c bn v nõng cao.
2. Trần Anh Bảo,Lý thuyết hàm số biến phức, Nxb Giáo dục-1976.
3. Lê Văn Thông, Phơng pháp giải toán Vật Lý., Nxb Trẻ.
4. Vũ Thanh Khiết, Kiến thức cơ bản nâng cao Vật Lý THPT, tập 3, Nxb Hà Nội.
5. Mt s thi HSG Vt lớ v cỏc thi Olympic Vt lớ.
6. Ti liu hng dn s dng mỏy tớnh cm tay casio fx-570ES.
25