sử dụng máy tính bỏ túi phát triển tư duy thuật toán trong giải quyết vấn đề

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


TRẦN ĐÌNH CƯ
SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI PHÁT TRIỂN TƯ DUY
THUẬT TOÁN TRONG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Huế, Năm 2012
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu
trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả
cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong
bất kì một công trình nào khác.
Tác giả luận văn
Trần Đình Cư
ii
LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu,
người đã từng bước dẫn dắt tôi bước vào con đường nghiên cứu khoa học và là
người đã tận tình chỉ dẫn, động viên tôi, giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn
thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS. TS. Trần Vui, GS. TS. Đào Tam, PGS.TS. Bùi Văn
Nghị, TS. Nguyễn Thị Lan Phương, TS. Hoàng Lê Minh đã nhiệt tình giảng dạy,
giải đáp những thắc mắc giúp chúng tôi có thể tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên
ngành Lí luận và phương pháp dạy học môn toán.
Tôi xin chân thành cảm ơn:
- Khoa Toán - Trường ĐHSP Huế, phòng đào tạo sau Đại học - Trường
ĐHSP Huế đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập
tại trường.

- Ban giám hiệu và quý thầy cô trường THPT Phong Điền, THPT Đặng Trần
Côn (Huế) đã cho phép và hỗ trợ giúp chúng tôi thực hiện đề tài.
Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẻ cùng tôi những buồn
vui và khó khăn trong quá trình học tập.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia
đình, đặc biệt là mẹ tôi, người luôn nâng đỡ và bảo ban tôi về mọi mặt.
Huế, tháng 9 năm 2012.
Tác giả luận văn
Trần Đình Cư
iii
MỤC LỤC
Trang

Trang phụ bìa i
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Mục lục 1
Danh mục các chữ viết tắt 3
Chương 1 5
MỞ ĐẦU 5
1. Lời giới thiệu 5
2. Mục đích nghiên cứu 8
3. Câu hỏi nghiên cứu 8
4. Định nghĩa các thuật ngữ 8
5. Ý nghĩa nghiên cứu 9

6. Cấu trúc luận văn 9
Chương 2 10
TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 10
1. Sơ lược lịch sử hình thành và phát tiển máy tính bỏ túi Casio 10
2. Nền tảng lý thuyết 13
2.1. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học 13
2.2. Một số quan điểm khác 14
2.3. Vấn đề và giải quyết vấn đề 15
3. Các nghiên cứu liên quan 17
3.1. Thuật toán và tư duy thuật toán 17
Khái niệm tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán. Do đó
trước khi đưa ra khái niệm tư duy thuật toán ta hãy nghiên cứu khái niệm thuật

toán 17
3.1.1. Khái niệm thuật toán và các yếu tố thuộc về thuật toán 17
3.1.2. Tư duy thuật toán 22
3.1.3. Quy trình, quy trình tựa thuật toán 23
3.2. Thực trạng và tầm nhìn MTBT trong dạy và học toán THPT 24
3.2.1. Lợi ích của sử dụng MTBT trong dạy và học toán 24
3.2.2. Những thách thức về sử dụng MTBT trong dạy và học toán 25
3.2.3. Thực trạng sử dụng MTBT trong lớp học toán ngày nay 27
Chương 3 29
SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI THIẾT LẬP QUY TRÌNH VÀ PHÁT TRIỂN
TƯ DUY THUẬT TOÁN TRONG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 29
1. Định hướng sư phạm về sử dụng MTBT hỗ trợ dạy và học toán 29

1.1. Sử dụng MTBT trong định hướng tìm lời giải phương trình đại số 29
1
1.2. Sử dụng MTBT trong định hướng tìm lời giải phương trình lượng giác 33
1.3. MTBT hỗ trợ giải bất phương trình 37
1.4. Sử dụng MTBT tính giới hạn thông qua đạo hàm 41
2. Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh trong giải quyết vấn đề 43
2.1. Thuật toán tìm số dư 43
2.2. Thuật toán tìm UCLN 44
2.3. Thuật toán tính liên phân số 46
2.4. Thuật toán giải phương trình lượng giác thường gặp 49
2.4.1. Giải phương trình dạng asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 52
2.4.2. Giải phương trình dạng a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c 53

2.4.3. Giải phương trình dạng a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c 53
2.5. Thuật toán tính các số hạng của dãy số 54
Chương 4 65
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ LÝ GIẢI SƯ PHẠM 65
1. Phương pháp thu thập dữ liệu 65
1.1. Tổ chức thu thập dữ liệu 65
1.3. Công cụ nghiên cứu để thu thập dữ liệu 66
1.3.1. Giáo án dạy thực nghiệm 66
1.3.2. Bộ đề kiểm tra 72
1.3.3. Ý định sư phạm đề kiểm tra 74
1.3.4. Đáp án vắn tắt và thang điểm đề kiểm tra 76
2. Phân tích dữ liệu 78

2.1. Kết quả đề kiểm tra 78
2.2. Kết quả thăm dò bảng hỏi 79
2.2.1. Kết quả thăm dò bảng hỏi của học sinh 79
2.2.2. Kết quả thăm dò bảng hỏi của giáo viên 80
KẾT LUẬN 83
Một số đề xuất kiến nghị 84
1.Sử dụng MTBT hỗ trợ vào quá trình dạy và học vẫn còn là vấn đề mới đối
với phần lớn GV Việt Nam, và họ không biết hoàn toàn tất cả các chức năng và
lợi thế của công nghệ cầm tay này. Một số cá nhân giáo viên muốn thay đổi
nhưng tiêu chí của trường và chương trình giảng dạy toán học hiện nay không
cho phép thầy (cô) ấy để làm. Vì vậy, việc sử dụng MTBT trong dạy và học
toán nên được đưa nhiều vào trong chương trình toán THPT 84

2.Chương trình kiểm tra, thi cử và sách giáo khoa vẫn còn rất truyền thống.
Giáo viên phải dạy theo đúng phân phối chương trình, còn học sinh buộc phải
học theo kiểu đối phó, họ bị ảnh hưởng rất nhiều đến việc sử dụng CNTT trong
lớp học. Do đó cần phải điều chỉnh chương trình phổ thông hiện nay phù hợp
hơn theo hướng sử dụng tích cực MTBT trong việc giảng dạy 84
3.Chương trình đào tạo giáo viên ở các trường Đại học và Cao đẳng thiếu sự
hỗ trợ của CNTT mới và cách tiếp cận mới trong việc giảng dạy và học tập,
phần lớn các kiến thức được truyền thụ một cách lý thuyết hơn so thực hành
tính toán. Vì vậy, cần phải đào tạo sinh viên ngay khi đang ngồi trên ghế nhà
trường một cách bài bản về CNTT nói chung và công nghệ cầm tay nói riêng
2
sao cho sau khi tốt nghiệp, những giáo viên này có thể khai thác tốt nhất công

nghệ hiện đại hỗ trợ quá trình dạy và học 84
4.Thực tế là một số học sinh có hoàn cảnh khó khăn hoặc ở các vùng sâu vùng
xa không đủ điều kiện để mua MTBT thì cần phải có một chế độ ưu đãi từ các
công ty máy tính hay các nhà đầu tư giáo dục. Cần trang bị cho mỗi trường
phổ thông một số MTBT thông qua ngân sách trang thiết bị trường học hoặc
các nguồn kinh phí khác. Nhà trường có trách nhiệm quản lý và sử dụng
MTBT này như là tài sản của thư viện hay phòng máy. Đây cũng là một đầu tư
nhỏ (50 MTBT bằng giá tiền một máy tính điện tử cá nhân) nhưng hiệu quả
lớn vì phục vụ cho số đông 85
TÀI LIỆU THAM KHẢO 86
PHỤ LỤC 90
PHỤ LỤC 1 91

3
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GQVĐ : Giải quyết vấn đề
GV : Giáo viên
HS : Học sinh
MTBT : Máy tính khoa học điện tử bỏ túi
NCTM : National Council of Teachers of Mathematics
THPT : Trung học phổ thông
TDTT : Tư duy thuật toán
[?] : Câu hỏi đặt ra cho học sinh
[!] : Dự đoán câu trả lời hoặc cách xử lý của học sinh
4

Chương 1
MỞ ĐẦU
1. Lời giới thiệu
Để bắt kịp sự phát triển của xã hội trong bối cảnh bùng nổ thông tin, ngành giáo dục
và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học một cách mạnh mẽ nhằm đào tạo
những con người có đầy đủ phẩm chất của người lao động trong nền sản xuất tự
động hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có tính tổ chức, tính trật
tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công
việc. Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện trong
quá trình dạy học là tận dụng các phương tiện hiện đại hỗ trợ vào quá trình dạy và
học trong đó có máy tính khoa học điện tử bỏ túi (MTBT).
Vào những năm 1970, cuộc cách mạng công nghệ máy tính chuyển sang khuynh

hướng chế tạo thiết bị cầm tay. Năm 1972, MTBT được phát minh, với kích thước
nhỏ gọn nhưng có khả năng hiển thị các hàm số, tính giá trị hàm số tại một điểm,
lưu và trả kết quả dữ liệu đưa vào, và nhiều chức năng khác. MTBT nhanh chóng
phổ biến ở các lớp học toán ở các nước trên thế giới. Từ khi MTBT ra đời, các nhà
giáo dục và các nhà nghiên cứu đã quan tâm đến tác động của MTBT vào thành tích
học tập của học sinh (HS). MTBT ra đời có làm giảm các kĩ năng cơ bản của HS
hay không? Vào thời điểm đó, các cuộc tranh luận diễn ra thường xuyên giữa các
nhà giáo dục học, các giáo viên (GV) và các nhà nghiên cứu ở Hoa Kỳ (và một số
nơi khác).
Theo Pat Perks (1990, [20]) trong dạy và học toán, những tác động to lớn của
MTBT được xem xét từ 4 phía cạnh sau:
1. Hứng thú và tự tin: MTBT cung cấp cho HS những cách thức khác nhau để

giải quyết vấn đề (GQVĐ). HS hứng thú, tích cực trong các hoạt động và
hoàn chỉnh lời giải một cách chắc chắn;
2. Mở rộng phạm vi của chương trình: MTBT tạo ra cơ hội để HS phám khá
các tri thức, thậm chí đi xa hơn chương trình của một lớp học;
3. Tăng xu hướng giảng dạy: Đưa việc sử dụng MTBT vào chương trình giảng
dạy dưới nhiều hình thức khác nhau để tăng tính hiệu quả của chương trình
học của HS;
5
4. Sáng tạo và kiểm chứng: MTBT là công cụ giúp HS kiểm tra các kết quả,
cho phép các em sáng tạo với những con số và kiểm chứng các ý tưởng.
Theo nghiên cứu của (NCTM, 2000, [18]) và (Schuck, 1995, [23]) về yếu tố chính
ảnh hưởng đến việc học của HS là GV, nghiên cứu cho rằng người GV phải có thái

độ tích cực đối với toán học và việc sử dụng nguồn tài nguyên công cụ, trong đó có
MTBT để làm cho toán học trở nên nhẹ nhàng và có ý nghĩa hơn đối với HS. Cũng
như trong nghiên cứu (Fleener, 1995, [9]; Hembree và Dessart, 1986, [11];
Laumakis và Herman, 2008, [15]; Ruthven, 1990, [21]) đã chỉ ra rằng việc sử dụng
MTBT trong giảng dạy có thể tác động tích cực đến cả GV và HS.
Tăng hướng dẫn sử dụng MTBT vào quá trình giảng dạy sẽ thu hút người học xây
dựng, hình thành và khám phá tri thức, khả năng GQVĐ. Đồng thời thông qua việc
thăm dò các ý tưởng và quá trình học của HS, GV cũng có cơ hội để học tập và
nâng cao khả năng xử lý các tình huống bất ngờ mà người học có thể tạo ra với
những ý tưởng táo bạo và sáng tạo trên MTBT của mình.
1.1. Nhu cầu nghiên cứu
Ngày nay, hầu hết các nước trên thế giới đều đưa MTBT hỗ trợ trong quá trình

giảng dạy toán từ chương trình bậc tiểu học cho đến chương trình bậc đại học.
Nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng: Trong môi trường máy tính một số vấn đề toán
khó giải thích, đặc biệt với các phép tính phức tạp thì với công cụ máy tính các kết
quả được kiểm chứng và minh họa rõ ràng hơn.
Theo Laumakis và Herman (2008, [15]) trong các bài kiểm tra cuối khóa ở các
trường thì những HS có khả năng sử dụng MTBT thành thạo có điểm số cao hơn so
với HS không sử dụng MTBT hay những HS chỉ biết sử dụng MTBT. Điều này
cũng đã tương đồng với nghiên cứu của Sigg và Pau O (2000, [24]), đã xác nhận
thái độ và niềm tin của GV khi đưa MTBT vào trong lớp học. Các GV thừa nhận,
MTBT đã cải thiện được thành tích học tập của HS một cách đáng kể.
Nhìn chung, trong các trường phổ thông và đại học ở Việt Nam hiện nay, việc gắn
giảng dạy lý thuyết và tính toán thực hành còn chưa được đẩy mạnh. Điều này hoàn

toàn không phải vì thiếu công cụ tính toán, mà có lẽ là việc phổ biến cách sử dụng
các cộng cụ tính toán chưa được quan tâm. Trong nhiều năm qua Bộ Giáo dục và
Đào tạo đều có tổ chức các cuộc thi giải toán MTBT từ cấp Tỉnh đến cấp Quốc gia,
tuy nhiên việc hướng dẫn cho HS vận dụng MTBT một cách sáng tạo trong quá
trình học tập bộ môn toán vẫn đang còn hạn chế.
6
Nhìn chung HS chỉ sử dụng MTBT ở mức độ thực hiện các phép tính đơn giản mà
chưa ứng dụng vào mức độ cao hơn như dự đoán kết quả, tư duy sáng tạo, tư duy
thuật toán (TDTT) dựa trên công cụ MTBT. Tư duy thuật toán, một dạng tư duy rất
cần thiết trong thời đại công nghệ thông tin, được thể hiện trên máy tính điện tử qua
nhiều dạng toán có nội dung toán học sâu sắc. TDTT thông qua máy tính điện tử, sẽ
là cầu nối giữa hai bộ môn rất gần nhau, nhưng hiện nay được dạy một cách độc

lập, ít liên hệ nhau là toán và tin học. Các GV toán có thể hướng dẫn HS thực hành
trên MTBT thay cho máy tính điện tử để đạt hiệu quả cao trong dạy học. Nhiều
thuật toán (tìm số nguyên tố, tính theo công thức truy hồi, tính giới hạn, giải gần
đúng phương trình ) trước kia không có khả năng thực hành, nay có thể thực hiện
thông qua MTBT.
1.2. Phát biểu nghiên cứu
Với sự phát triển của công cụ tin học, việc học toán ngày càng được cải thiện hơn
so với trước đây. Nhiều bài toán xuất phát từ thực tiễn hay các bài toán đòi hỏi độ
tính toán phức tạp cao không thể giải quyết được bằng các tính toán thủ công hoặc
giải quyết được nhưng mất rất nhiều thời gian. Do đó phải dùng tới tính toán của
máy tính điện tử hoặc MTBT.
Máy tính và phần mền tính toán ra đời là nhằm đáp ứng các nhu cầu tính toán phức

tạp (kể cả phổ thông lẫn cao cấp) trở thành công cụ làm việc dễ dàng cho mọi
người. Một điều thú vị là ngoài vai trò tính toán, MTBT và phần mền toán học có
khả năng hỗ trợ rất tốt cho việc dạy và học, nếu chúng ta biết khai thác một cách
khéo léo. Việc nắm những thủ tục và thực hành trên máy là không khó khăn, cho
nên nếu biết xác định đúng nội dung dạy và học thì chẳng những tránh được cái quá
tải không cần thiết, mà còn làm tăng năng lực vận dụng các kiến thức toán học vào
các hoạt động thực tiễn giúp HS thấy được một phần giá trị đích thực của toán học.
Tuy nhiên, để việc thực hiện tính toán trên MTBT dễ dàng đòi hỏi người sử dụng có
hiểu biết sâu sắc về lý thuyết toán học. Mặt khác, nhiều vấn đề lý thuyết (tính tăng
giảm, bị chặn, tốc độ hội tụ, độ chính xác, độ phức tạp, tính xấp xỉ ) sẽ được soi
sáng trong thực hành tính toán cụ thể.
Vì vậy, việc sử dụng thành thạo công cụ tính toán là cần thiết cho GV và HS. Công

cụ tính toán sẽ hỗ trợ đắc lực cho việc tiếp cận và truyền đạt các kiến thức lý thuyết,
giảng dạy lý thuyết gắn với thực hành tính toán, sẽ giúp HS không chỉ tiếp thu tốt
các kiến thức khoa học một cách bản chất, sâu sắc, mà còn tiếp cận tốt hơn với các
7
phương pháp giảng dạy và công cụ tính toán hiện đại. Các thuật toán và các quy
trình thao tác trên MTBT có thể coi là bước tập dược ban đầu để HS dần quen với
kĩ thuật lập trình trên máy tính cá nhân.
Với mục đích minh họa khả năng sử dụng MTBT và ứng dụng trong dạy và học
toán, chúng tôi chọn "Sử dụng máy tính bỏ túi phát triển tư duy thuật toán trong
giải quyết vấn đề" làm đề tài nghiên cứu của luận văn này.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nhằm tìm hiểu vai trò của MTBT trong môi trường học toán của học sinh

THPT. Từ đó, khảo sát khả năng sử dụng MTBT để khám phá các tri thức toán học,
hình thành và phát triển TDTT trong GQVĐ.
3. Câu hỏi nghiên cứu
1. Vai trò của MTBT trong môi trường học toán của HS THPT được thể
hiện như thế nào?
2. Khả năng sử dụng MTBT giúp HS khám phá tri thức toán như thế nào
trong chương trình toán THPT?
3. HS sử dụng MTBT hỗ trợ phát triển tư duy thuật toán như thế nào
trong quá trình GQVD?
4. Định nghĩa các thuật ngữ
- Máy tính điện tử khoa học bỏ túi (scientific calculator): là máy tính có
kích cỡ nhỏ gọn (có thể bỏ túi được) dùng để hỗ trợ trong lĩnh vực tính

toán, lưu và xử lý dữ liệu, tính toán nhanh và gần như chính xác.
- Tư duy: là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc
biệt bởi bộ não người. Tư duy phản ánh tích cực hiện thực khách quan
dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý luận (Từ điển bách khoa
toàn thư Việt Nam tập 4, 2005, [8]).
- Thuật toán (algorithm): Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu
hạn các thao tác được sắp xếp theo một trình tự xác định sao cho sau khi
thực hiện dãy thao tác ấy, từ đầu vào (Input) của bài toán, ta nhận được
đầu ra (Output) cần tìm.
- Tư duy thuật toán: là cách suy nghĩ để nhận thức, để giải quyết vấn đề
một cách có trình tự (Bùi Văn Nghị, 2005, [7]).
8

- Vấn đề: Vấn đề là một tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc một nhóm để
giải quyết, mà khi đối mặt với tình huống này họ không thấy được ngay các
phương pháp hoặc con đường để thu được lời giải (Trần Vui, 2006, [12]).
- Giải quyết vấn đề: Giải quyết vấn đề chỉ quá trình mà một cá nhân sử
dụng kiến thức, kĩ năng và hiểu biết đã học được trước đó để đáp ứng đòi
hỏi của những tình huống không quen thuộc đang gặp phải (Stephen
Krulik và Jesse A. Rudnick,1980, [25]).
5. Ý nghĩa nghiên cứu
Luận văn góp phần làm sáng tỏ
- Thứ nhất: Vai trò của MTBT trong môi trường học toán của HS THPT.
- Thứ hai: Sử dụng MTBT hỗ trợ các quy trình dạy học, giúp HS khám phá
các tri thức toán học.

- Thứ ba: Xác định được một số định hướng sư phạm trong quá trình dạy
học, cùng với sự hỗ trợ MTBT hình thành và phát triển TDTT cho HS
trong qúa trình GQVĐ.
6. Cấu trúc luận văn
Chương 1. Mở đầu;
Chương 2. Tổng quan các kiến thức liên quan;
Chương 3. Sử dụng máy tính bỏ túi thiết lập quy trình và phát triển tư duy
thuật toán trong giải quyết vấn đề;
Chương 4. Kết quả nghiên cứu và lý giải sư phạm;
Tóm tắt chương 1: Chúng tôi vừa trình bày mục đích nghiên cứu và ý nghĩa của đề
tài: Sử dụng máy tính bỏ túi phát triển tư duy thuật toán trong giải quyết vấn đề.
Đồng thời chúng tôi cũng phát biểu các câu hỏi nghiên cứu và định nghĩa một số

thuật ngữ chính của luận văn. Chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức làm cơ sở và
định hướng cho nghiên cứu này ở chương tiếp theo.
9
Chương 2
TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1. Sơ lược lịch sử hình thành và phát tiển máy tính bỏ túi Casio
Casio là một nhà sản xuất hàng đầu về thiết bị điện tử, và được xem là một nhà tiên
phong trong thị trường máy tính điện tử. Nó có các cơ sở sản xuất và tiếp thị trên
khắp thế giới. Phiên bản đầu tiên của công ty có nguồn gốc từ Tokyo-Nhật Bản chỉ
sau khi kết thúc chiến tranh thế giới thứ II, và chính thức được biết đến theo tên
Casio vào năm 1975. Năm 1946, một doanh nhân Nhật Bản là Kashido Tadao đã
mở một cửa hàng điện tử nhỏ tại Tokyo với mục đích là bộ phận sản xuất kính hiển

vi. Như một cách mở rộng kinh doanh của mình, ông và anh trai mình phát minh ra
một loại máy tính cơ khí mà đã trở thành tiền thân của máy tính điện tử hiện nay.
Mười một năm sau khi mở cửa hàng đầu tiên của mình, Tadao bắt đầu công ty máy
tính Casio để xây dựng máy tính chuyển tiếp hoàn toàn bằng điện. Công ty bắt đầu
mở rộng nhanh chóng và mở các văn phòng trên thế giới, và cuối cùng bước vào thị
trường Hoa Kỳ năm 1967. Cuối năm đó, họ cho ra mắt máy tính điện tử để bàn
được lập trình đầu tiên trên thế giới. Tháng 8 năm 1972 đánh dấu lần đầu tiên Casio
bắt đầu tung ra thị trường Mini Casio, máy tính cầm tay đầu tiên trên thế giới. Sản
phầm này có thể đem theo bên mình và tính toán các con số nhanh chóng, thuận tiện
và chính xác. Và do nhu cầu quá lớn mà Casio đã tăng gấp đôi sản xuất sau khi xuất
xưởng lần đầu. Một năm sau đó, cổ phiếu Casio được niên yết và bán trên thị
trường chứng khoáng Mỹ Exchange.

Trong những năm sau đó, Casio thêm vào dòng sản phẩm bổ sung, trong đó có máy
tính tiền, nhạc cụ, đồng hồ đeo tay và từ điển điện tử. Casio vẫn là “một người
chơi” mới trong thị trường máy tính, phát hành một máy tính kích thước bằng thẻ
tín dụng mà có thể xử lý tốt văn bản. Trong thế kỉ XXI, Casio không ngừng phát
triển mạnh mẻ. Một số sản phẩm khác đáng chú ý của nó bao gồm máy kĩ thuật số
kiểu đồng hồ đeo tay, điện thoại di động đầu tiên có tích hợp máy ảnh kĩ thuật số và
từ điển điện tử Nó cũng bắt đầu hoạt động trong các khu vực mới như: Bắc Âu,
Tây Ban Nha, Mỹ La Tinh và Mexico.
Năm 1992, các sách hướng dẫn giảng dạy trong trường học Nhật Bản có thay đổi,
sách giáo khoa số học dành cho học sinh lớp 5 và lớp 6 bấy giờ yêu cầu HS sử dụng
MTBT để giải quyết một số vấn đề, làm cho MTBT trở thành một công cụ mới
trong dạy học. Ý tưởng đằng sau này là giúp HS phát triển và nắm chắc số học cơ

bản ở những lớp thấp. Và sau đó, thông qua MTBT ở các lớp trên, sẽ cho phép các
10
HS tiết kiệm thời gian làm các phép tính toán trên giấy, mà dành nhiều thời gian
học tập các khái niệm và định lý
Kể từ AZ-8 và SL-300LH (Hình 2.1) đã được giới thiệu trong các trường học như
các thiết bị giảng dạy, hiển thị dấu thập phân đã thu hút một lượng lớn các HS nhỏ,
và một hộp vỏ cứng bảo vệ bổ sung cùng với những tính năng đặc biệt.
Hình 2.1
Năm 2002, chương trình giảng dạy ở Nhật Bản đã được sửa đổi lần nữa, và việc sử
dụng MTBT đã được mở rộng để cho phép HS từ lớp 4 đã được bắt đầu sử dụng
MTBT đáp ứng các yêu cầu toán học.
Trích lục

1. Máy tính Casio đầu tiên 1957 (Hình 2.2)
Hình 2.2
2. Mẫu máy tính bỏ túi Casio (Hình 2.3) dành kỉ niệm 55 năm thành lập (2012)
Hình 2.3
11
Ở Việt Nam, MTBT được biết đến rất sớm từ những năm 1980, nhưng do điều kiện
kinh tế khó khăn nên rất ít người có MTBT. Theo Văn Như Cương (2000, [1]): “Việc
sử dụng MTBT để giải quyết phép tính sai số, các phương trình và bất phương trình
có hệ số thập phân, là rất phổ biến ở các nước, tuy nhiên ở nước ta không phải học
sinh nào cũng có khả năng mua máy nên chỉ trông chờ vào các môn như Vật lý để
học sinh có thể thực hành”. Trải qua nhiều thay đổi của dòng MTBT, có thể liệt kê ra
một số MTBT được HS, GV dùng nhiều nhất đó là các máy tính của hãng Casio:

95; 220; 500 ; 500fx fx fx A fx MS− − − −
;
570 ; 500 ; 570 ;fx MS fx ES fx ES− − −
500 Plus;fx VN−

570 Plusfx ES−
. Bên cạnh đó, Vinacal đã cho ra đời hai dòng
MTBT phục vụ học tập cho HS có tính năng tương tự với hãng Casio đó là
500 ; 570Vn MS Vn MS− −
và tiếp đó tung ra một sản phẩm
570−Vn MS NEW
bao

gồm cả hai tính năng của
500 ; 570− −Vn MS Vn MS
. Tính năng của máy tính bỏ túi
500fx −
(bao gồm cả MS và ES) được sử dụng cho HS Trung học cơ sở và
570fx −
(bao gồm cả MS và ES) được sử dụng cho HS THPT.
Theo công văn của Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố danh sách MTBT được đem
vào phòng thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng năm 2012 như sau:
- Về nguyên tắc: Theo quy chế tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hệ chính quy,
các máy tính cầm tay được phép mang vào phòng thi là các máy:
• Không có chức năng soạn thảo văn bản (như tính năng ghi chép, ghi

số điện thoại )
• Không có thẻ nhớ cắm thêm vào.
- Danh sách cụ thể các máy tính cầm tay thông dụng (làm được các phép
tính số học, các phép tính lượng giác và các phép tính siêu việt) đáp ứng
yêu cầu trên là :
Casio:
fx −
95,
fx
−
220,
fx −

500A,
fx
−
500MS,
fx −
500MS,
fx
−
500ES,
fx
−
500VN Plus,

fx
−
570 MS,
fx
−
570ES,
fx
−
570ES Plus;
Vinacal: Vn-500MS, Vn-570 MS, Vn-570MS New;
Vietnam CaCulator: VN-500RS, VN-500 MS, VN-570 RS, VN-570ES;
Sharp: EL-124A, EL-250S, EL-506W, EL-509WM;

Canon: FC 45S, LS153TS, F720;
Và các máy có tính năng tương đương.
12
Sau đây là ba loại máy tính bỏ túi (Hình 2.4) thông dụng nhất hiện nay tại Việt Nam
mà HS, GV dùng:

Hình 2.4
Trong luận văn này, các thao tác chúng tôi đều tiến hành thực hiện trên 3 dòng máy
tính phổ biến trên. Mỗi máy có một tính năng riêng biệt mà máy kia không có. Tùy
thuộc vào nội dung của bài toán mà chúng tôi sẽ lựa chọn nên dùng MTBT nào là
phù hợp (dễ dùng, dễ lập trình). Và trong luận văn này, sẽ không trình bày lại cách
sử dụng MTBT mà ngầm hiểu rằng người tham gia nghiên cứu đã biết những kĩ

năng cơ bản tối thiểu để sử dụng MTBT. Khi nói dùng MTBT mà không giải thích
gì thêm thì ta ngầm hiểu là thao tác trên cả hai dòng máy ES và MS.
2. Nền tảng lý thuyết
2.1. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học
Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động giao lưu
của HS nhằm thực hiện những mục đích dạy học. Còn học tập là một quá trình xử lý
thông tin. Quá trình này có các chức năng: đưa thông tin vào, ghi nhớ thông tin,
biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều phối. HS thực hiện các chức năng này
bằng những hoạt động của mình. Thông qua hoạt động thúc đẩy sự phát triển về trí
tuệ ở HS làm cho HS học tập một cách tự giác, tích cực.
Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên hệ với nó
rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho HS một số trong

những hoạt động đã phát hiện. Việc phân tích một hoạt động thành những hoạt động
thành phần giúp ta tổ chức cho HS tiến hành những hoạt động với độ phức hợp vừa
sức các em. Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định,
đặc biệt là tri thức phương pháp. Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình
hoạt động khác. Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức độ nào đó có
13
thể lại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn. Do đó cần phân bậc những
hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy
học. Trên cơ sở việc phân tích trên về phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt
động. Luận văn được nghiên cứu trong khuôn khổ của lý luận dạy học, lấy quan
điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học. Nội dung của quan điểm này được thể
hiện một cách tóm tắt qua những tư tưởng chủ đạo sau:

- Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động tương
thích với nội dung và mục đích dạy học;
- Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động;
- Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp, như phương
tiện và kết quả của hoạt động;
- Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học.
2.2. Một số quan điểm khác
Luận văn lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học để nghiên cứu nhưng
cũng dựa vào quan điểm của lý thuyết tình huống và lý thuyết kiến tạo bởi vì các
quan điểm dạy học của các lý thuyết này có sự giao thoa với quan điểm của lý
thuyết hoạt động. Theo lý thuyết tình huống thì học là sự thích ứng (bao gồm đồng
hóa và điều ứng) đối với một môi trường sản sinh ra những mâu thuẫn, những khó

khăn, những sự mất cân bằng.
Một tình huống thường liên hệ với những quy trình hành động. Một yếu tố của tình
huống mà sự thay đổi giá trị của nó có thể gây ra sự thay đổi quy trình GQVĐ của
học sinh. Do đó trong quá trình dạy học ta cần soạn thảo ra tình huống tương ứng
với tri thức cần dạy (tình huống cho tri thức đó một nghĩa đúng). Sau đó ủy thác
tình huống này cho học sinh. Học sinh tiến hành hoạt động học tập diễn ra nhờ sự
tương tác với môi trường.
Theo lý thuyết kiến tạo, học tập là hoạt động thích ứng của người học. Do đó dạy
học phải là dạy hoạt động, tổ chức các tình huống học tập đòi hỏi sự thích ứng của
HS, qua đó HS kiến tạo được kiến thức, đồng thời phát triển được trí tuệ và nhân
cách của mình. Như vậy, nếu phân tích rõ quan điểm dạy học theo lý thuyết tình
huống và lý thuyết kiến tạo sẽ góp phần nâng cao hiệu quả phương pháp dạy học

phát triển tư duy thuật toán cho HS.
14
2.3. Vấn đề và giải quyết vấn đề
a. Vấn đề
Vấn đề là một tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc một nhóm để giải quyết, mà khi
đối mặt với tình huống này họ không thấy được ngay các phương pháp hoặc con
đường để thu được lời giải. Cốt lõi của định nghĩa này là cụm từ “không thấy được
ngay các phương pháp hoặc con đường để thu được lời giải”. Khi học sinh theo
đuổi các lớp toán của mình, những gì là bài toán ở giai đoạn sớm hơn sẽ trở thành
các bài tập và rồi quy về chỉ là những câu hỏi. Chúng ta phân biệt ba thuật ngữ
thường dùng này như sau:
a) câu hỏi: một tình huống mà ta có thể giải bằng cách tái hiện lại kiến thức

hoặc trí nhớ.
b) bài tập: một tình huống liên quan đến luyện tập và thực hành để củng cố
những kĩ năng và thuật toán đã được học trước đó.
c) bài toán: là một tình huống đòi hỏi tư duy và sự tổng hợp các kiến thức
đã được học trước đó để giải.
Ngoài ra, bất kể lý do nào, bài toán phải được chấp nhận bởi chính người học sinh.
Nếu người học sinh từ chối để chấp nhận các thách thức, thì vào thời điểm đó, nó
không phải là bài toán cho em học sinh đó. Như vậy một bài toán cần phải thỏa mãn
ba tiêu chí sau đây.
1. Chấp nhận: Cá nhân chấp nhận bài toán. Có một mối liên hệ mang tính
cá nhân với bài toán, mối liên hệ này có thể có được bởi nhiều lý do:
động cơ bên trong, động cơ bên ngoài (do áp lực của bạn học, cha mẹ,

thầy giáo), hay đơn giản là sự mong muốn thỏa mãn sở thích giải toán.
2. Cản trở: Những nổ lực bước đầu của cá nhân để giải là thất bại. Những
đáp ứng và dạng toán quen thuộc để tấn công bài toán là không hiệu lực.
3. Khám phá: Mối liên hệ cá nhân như đã xác định ở (1) thúc ép cá nhân
khám phá những phương pháp tấn công mới.
Sự tồn tại của một bài toán dẫn một cá nhân đối mặt với một điều mà họ không
nhận ra, và với nó cá nhân đó không thể chỉ đơn thuần áp dụng một cách giải đã
biết. Một tình huống không được xem là một bài toán khi nó có thể giải được bằng
cách áp dụng các thuật toán đã được học, hoặc khi nó giống với một tình huống đã
gặp trước đó.
15
Trong các sách giáo khoa toán hiện nay, sau mỗi phần lý thuyết có phần câu hỏi và

bài tập. Một số trong các bài tập này có thể xem như là bài toán. Trong nhiều trường
hợp, cách giải mẫu đã được trình bày trước lớp bởi GV rồi. HS chỉ việc áp dụng
cách giải mẫu này cho một loạt các bài tập tương tự để giải chúng. Thực chất là HS
đang thực hành một thuật toán, một kĩ thuật áp dụng cho một lớp các bài tập và nó
bảo đảm thành công nếu tránh được các sai sót có tính kĩ thuật. Chỉ một ít bài tập có
thể đòi hỏi suy luận của HS. Nếu các bài tập này đặt ra cho HS dưới dạng không có
thuật toán đã biết trước thì chúng trở thành các bài toán cho HS.
Những bài tập trong sách giáo khoa đặt nền tảng cho GQVĐ, việc thực hành và
luyện tập các thuật toán, các cách giải cụ thể sẽ được kết nối vào trong các quá trình
toán học. GV không nên nghĩ rằng những HS đã giải xong hết các bài tập này bằng
cách vận dụng cẩn thận các cách giải có sẵn, hay các thuật toán sẽ trở thành những
người GQVĐ. Tuy nhiên, những GV sáng tạo có thể bằng cách tiếp cận dạy học của

mình tận dụng được các bài tập này để giúp HS phát triển những kĩ năng GQVĐ.
HS phải hiểu khi học toán, tích cực xây dựng kiến thức mới từ kinh nghiệm và kiến
thức toán đã có của chính mình. Khi HS hiểu toán, các em sẽ có khả năng sử dụng
các kiến thức của mình một cách linh hoạt và theo những cách có hiệu quả.
Một vấn đề được xem như là một “bài toán” đối với một người nào đó, nếu khi đối
mặt với nó, người đó có mong muốn cần phải tìm một lời giải và không có một qui
trình sẵn khả dĩ dùng được để tìm ra lời giải. GQVĐ là một phần chính của mọi quá
trình học toán. Các chương trình giáo dục toán thường tạo điều kiện cho HS:
- Xây dựng kiến thức toán thông qua GQVĐ;
- Giải quyết các vấn đề nảy sinh từ trong toán học và những hoàn cảnh khác;
- Áp dụng và mô phỏng nhiều phương pháp giải toán thích hợp để giải quyết
các vấn đề;

- Theo dõi và phản ảnh về quá trình GQVĐ toán.
Điều đó nói lên rằng không nên xem giải quyết vấn đề là một bộ phận độc lập với
chương trình toán mà nên gắn kết nó với mọi nội dung toán học.
b. Giải quyết vấn đề
Theo Stephen Krulik và Jesse A. Rudnick (1980, [25])
Giải quyết vấn đề chỉ quá trình mà một cá nhân sử dụng kiến thức, kĩ năng và hiểu
biết đã học được trước đó để đáp ứng đòi hỏi của những tình huống không quen
thuộc đang gặp phải.
16
Những hướng dẫn tìm tòi mà chúng ta dùng trong GQVĐ khác một cách đáng kể
với những thuật toán chúng ta dạy trong lớp học toán của chúng ta. Một thuật toán
luôn bảo đảm thành công nếu được áp dụng đúng đắn và nếu thuật toán đúng được

lựa chọn. Những hướng dẫn được trình bày trong sơ đồ sau chỉ một tiếp cận 5-bước
đến giải quyết vấn đề mà chúng ta thấy là cần thiết phải phát triển và nhấn mạnh
cho HS:
• Đọc bài toán;
• Khám phá;
• Chọn phương pháp;
• Giải bài toán;
• Kiểm tra, mở rộng bài toán.
Những hướng dẫn này đưa ra một “bản đồ về đường đi”; chúng là một kế hoạch chi
tiết chỉ dẫn con đường đi đến lời giải của một bài toán. Không giống như thuật toán,
chúng không thể bảo đảm cho sự thành công! Tuy nhiên, nếu các em học sinh được
dạy theo các hướng dẫn tìm tòi này trong mọi tình huống có vấn đề mà các em gặp

phải thì các em sẽ tự tin trong việc giải quyết thành công các vấn đề gặp phải trong
lớp học và trong cuộc sống. Khi chúng ta thực sự mong muốn học sinh tìm được
một cách thành công lời giải và tìm được câu trả lời đòi hỏi, đó là quá trình giải
quyết vấn đề mà chúng ta cần quan tâm để phát triển cho học sinh.
3. Các nghiên cứu liên quan
3.1. Thuật toán và tư duy thuật toán
Khái niệm tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán. Do đó trước
khi đưa ra khái niệm tư duy thuật toán ta hãy nghiên cứu khái niệm thuật toán.
3.1.1. Khái niệm thuật toán và các yếu tố thuộc về thuật toán
a. Khái niệm bài toán
Trong tin học, người ta quan niệm bài toán là một vấn đề nào đó ta muốn máy tính
thực hiện. Những vấn đề như viết một dòng lệnh trên màn hình yêu cầu máy thực hiện,

giải phương trình bậc hai, giải hệ phương trình, quản lý cán bộ của một cơ quan là
những ví dụ về bài toán.
17
Khi dùng máy tính giải toán, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: Đưa vào máy thông tin
gì (Input) và lấy ra thông tin gì (Output). Do đó để phát biểu một bài toán, ta cần
phải trình bày rõ Input và Output của bài toán và mối quan hệ giữa Input và Output.
Ví dụ 1. Bài toán tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương.
Input: Hai số nguyên dương
M
và
N
.

Output: Ước chung lớn nhất của
M
và
N
.
Ví dụ 2. Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc 2:
2
0, 0ax bx c a+ + = ≠
.
Input: Các số thực
, , ( 0)a b c a ≠
.

Output: Tất cả các số thực
x
thỏa mãn:
2
0, 0ax bx c a+ + = ≠
.
Ở đây Output có thể là một hoặc hai số thực hoặc câu trả lời không có số thực nào
như vậy.
Qua các ví dụ trên, ta thấy các bài toán được cấu tạo bởi hai thành phần cơ bản:
Input: Các thông tin đã có.
Output: Các thông tin cần tìm từ Input.
b. Khái niệm thuật toán

Việc cho một bài toán là mô tả rõ Input cho trước và Output cần tìm. Vấn đề là làm
thế nào để tìm ra Output.
Việc chỉ ra tường minh một cách tìm Output của bài toán được gọi là một thuật toán
giải bài toán đó. Có nhiều định nghĩa khác nhau về thuật toán. Dựa vào sự phân tích
trên ta có thể định nghĩa thuật toán như sau:
Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các thao tác được sắp xếp theo
một trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác ấy, từ Input của bài
toán, ta nhận được Output cần tìm.
Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất của một dãy số nguyên.
- Xác định bài toán.
- Input: Số nguyên dương
N

và dãy
N
số nguyên
1 2
, , ,
n
a a a
.
- Output: Giá trị lớn nhất Max của dãy số.
18
 Ý tưởng:
- Khởi tạo giá trị

1
Max a=
;
- Lần lượt với
i
từ 2 đến
N
, so sánh giá trị số hạng
i
a
với giá trị Max, nếu
Max

i
a >
thì Max nhận giá trị mới là
i
a
.
 Thuật toán: Giải bài toán này có thể được mô tả theo cách liệt kê như sau:
Bước 1
: Nhập
N
và dãy
1 2

, , ,
n
a a a
;
Bước 2
:

Max
i
a=
;
: 2i =

;
Bước 3
:

Nếu
i N>
thì đưa ra giá trị Max rồi kết thúc;
Bước 4
:
•
Bước 4.1
. Nếu

Max
i
a >
thì
Max:
i
a=
•
Bước 4.2
. Nếu
: 1i i= +
rồi quay lại bước 3.

Từ định nghĩa ta thấy thuật toán có các tính chất sau:
 Tính dừng: Thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao
tác.
 Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác thì hoặc là thuật toán kết thúc
hoặc là có đúng một thao tác xác định để được thực hiện tiếp theo.
 Tính đúng đắn: sau khi thuật toán kết thúc ta phải nhận được Output cần tìm.
Ví dụ. Với thuật toán tìm Max đã xét:
 Tính dừng: Vì giá trị của
i
mỗi lần tăng lên một đơn vị nên sau
N
lần thì

i N
>
, khi đó kết quả của phép so sánh ở bước 3 xác định việc đưa ra giá trị
Max rồi kết thúc.
 Tính xác định: Thứ tự thực hiện các bước của thuật toán được mặc định là tuần
tự nên sau bước 1 là bước 2, sau bước 2 là bước 3. Kết quả các bước so sánh
trong bước 3 và bước 4 đều xác định duy nhất bước tiếp theo cần thực hiện.
 Tính đúng đắn: Vì thuật toán so sánh Max với từng số hạng của dãy số và thực
hiện
Max:
i
a=

nếu
Max
i
a >
nên sau khi so sánh hết
N
số hạng của dãy thì
Max là giá trị lớn nhất.
Ví dụ. Tính tổng các số nguyên dương lẻ trong khoảng từ 1 đến
.N
19
Xác định bài toán:

- Input:
N
là số nguyên dương lẻ.
- Output: Tổng các số nguyên dương lẻ từ 1 đến
.N
Thuật toán: Tính tổng các số nguyên dương lẻ từ 1 đến
N
như sau:
Bước 1
: Hỏi giá trị của
.N
Bước 2

:
: 0S
=
Bước 3
:

i
= 1.
Bước 4
:

Nếu

1i N= +
thì sang bước 8, ngược lại sang bước 5.
Bước 5
: Cộng thêm
i
vào
.S
Bước 6
: Cộng thêm 2 vào
.i
Bước 7
:

Quay lại bước 4.
Bước 8
: Tổng cần tìm chính là
.S
Ta chú ý đến bước 4. Ở đây ta muốn kết thúc thuật toán khi giá trị của
i
vượt quá
.N
Thay vì viết "nếu
i
lớn hơn

N
" thì ta viết điều kiện "
1i N= +
" không phải lúc
nào cũng đạt được. Vì ban đầu
i
là một số lẻ, sau mỗi bước
i
lại được tăng thêm 2
đơn vị nên
i
luôn luôn là số lẻ. Nếu

N
là số chẵn thì
1N +
là số lẻ nên sau một số
bước nhất định,
i
sẽ bằng
1.N
+
Tuy nhiên, nếu
N
là số lẻ thì

1N
+
là số chẵn, do
i
là số lẻ nên dù có qua bao nhiêu bước đi chăng nữa,
i
vẫn khác
1.N +
Trong
trường hợp đó, thuật toán trên bị quẩn (hay vi phạm tính dừng).
Tính "đúng" là một tính chất khá hiển nhiên nhưng là tính chất khó đạt tới nhất.
Thật vậy, khi giải quyết một số bài toán, ta luôn mong muốn lời giải của mình sẽ

cho kết quả đúng nhưng không phải lúc nào cũng đạt được. Mọi HS khi làm bài
kiểm tra đều muốn bài làm của mình có đáp số đúng, nhưng trên thực tế, trong lớp
chỉ có một số HS nhất định là có khả năng đưa ra lời giải đúng.
c. Các đặc trưng của thuật toán
c1. Tính đơn trị
Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải đơn trị, nghĩa là hai
phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối
tượng thì phải cho cùng kết quả.
Ví dụ. Quy trình 4 bước để giải một bài toán của Polia.
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán;
Bước 2: Tìm đường lối giải toán;
Bước 3: Thực hiện chương trình giải toán;

20
Bước 4: Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải.
Quy trình này không phải là một thuật toán vì tính đơn trị bị vi phạm. Chẳng hạn
bước 1, bước 2, bước 3, bước 4 không được xác định vì người ta có thể hiểu và làm
theo nhiều cách khác nhau.
Từ tính đơn trị, ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật toán. Bất kể cơ cấu
nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả. HS không
giỏi toán nhưng nếu làm đúng các thao tác và quy trình của một thuật toán vẫn có
thể có được kết quả đúng. Tuy nhiên, vấn đề đặt ra là làm thế nào để HS có thể từ
các bài toán đơn lẻ thì HS tự mình lập ra được các thuật toán để giải các bài tổng
quát hơn.
c2. Tính hiệu quả

Tính hiệu quả của thuật toán được đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn như: khối
lượng tính toán, không gian và thời gian khi thuật toán được thực hiện. Tính hiệu
quả của thuật toán là một yếu tố quyết định để đánh giá, chọn lựa cách giải quyết
vấn đề hay các bài toán. Có rất nhiều phương pháp để đánh giá tính hiệu quả của
thuật toán. Độ phức tạp của thuật toán là một tiêu chuẩn được dùng rộng rãi.
c3. Độ phức tạp của thuật toán
Trong thực tế có nhiều thuật toán, về mặt lý thuyết là kết thúc sau hữu hạn bước,
tuy nhiên thời gian "hữu hạn" đó vượt quá khả năng làm việc của chúng ta. Do đó
để đánh giá tính hiệu quả của một thuật toán, chúng ta phải chú ý đến độ phức tạp
của các thuật toán. Độ phức tạp của thuật toán có thể đo bằng không gian, tức là
dung lượng bộ nhớ của máy tính cần thiết để thực hiện thuật toán; và bằng thời
gian, tức là thời gian máy tính làm việc. Trong luận văn này, khi nói đến độ phức

tạp của thuật toán ta luôn hiểu là độ phức tạp không gian. Độ phức tạp của thuật
toán chính là cơ sở để phân loại bài toán giải được hay không giải được.
c4. Tính tổng quát
Thuật toán có tính tổng quát là thuật toán phải áp dụng được cho mọi trường hợp
của bài toán chứ không phải chỉ áp dụng được cho một số trường hợp riêng lẻ nào
đó. Chẳng hạn thuật toán giải phương trình bậc hai sau đây bằng Delta đảm bảo
được tính chất này vì nó luôn luôn giải được với mọi giá trị số thực
, ,a b c
bất kỳ.
Tuy nhiên, không phải thuật toán nào cũng đảm bảo được tính tổng quát của nó.
21
Trong thực tế, có lúc người ta chỉ xây dựng thuật toán cho một dạng đặc trưng của

bài toán.
Ví dụ. Thuật toán giải phương trình bậc hai:
2
0 ( 0)ax bx c a+ + = ≠
1. Cho biết giá trị ba hệ số
, ,a b c
.
2. Nếu
0a
=
thì:
2.1. Yêu cầu bài toán không đảm bảo.

2.2. Kết thúc thuật toán.
3. Nếu
0a ≠
thì:
3.1. Tính giá trị
2
4b ac∆ = −
3.2. Nếu
0
∆ >
thì:
3.2.1. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

1 2
,x x
.
3.2.2. Giá trị của hai nghiệm tính theo công thức:
a
b
x
2
1
∆−−
=
,

a
b
x
2
2
∆+−
=
3.2.3. Kết thúc thuật toán.
3.3. Nếu
0∆ =
.
3.3.1. Phương trình có nghiệm kép

0
x
3.3.2. Giá trị của nghiệm kép là
0
2
b
x
a
= −

3.3.3. Kết thúc thuật toán.
3.4. Nếu

0
∆ <
thì:
3.4.1. Phương trình vô nghiệm.
3.4.2. Kết thúc thuật toán.
3.1.2. Tư duy thuật toán
Tư duy thuật toán (TDTT) là cách suy nghĩ để nhận thức, để giải quyết vấn đề một
cách có trình tự (sắp xếp lần lượt, thứ tự trước sau).
Thông qua dạy các quy trình, phương pháp có tính chất thuật toán, giáo viên cần rèn
luyện cho học sinh tư duy thuật toán. TDTT được đặc trưng bởi các khả năng:
1. Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật
toán cho trước;

2. Phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực hiện
theo một trình tự xác định;
3. Mô tả chính xác quá trình trình tiến hành một hoạt động;
4. So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát
triển thuật toán tối ưu.
22