Nâng cao chất lượng học tập môn toán qua các chủ đề sinema toán 10 11

.
PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài: Năm học 2012-2013 là năm học tiếp tục thực hiện các cuộc vận
động “Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, cuộc vận động “Mỗi
thầy, cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo”; cùng với phong trào xây
dựng "Trường học thân thiện, học sinh tích cực". Nghị quyết TW 2 khóa VIII đã khẳng
định "Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền
thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học, từng bước áp dụng phương pháp tiên
tiến, ứng dụng cộng nghệ thông tin vào quá trình dạy học". Do đó trong quá trình dạy
học đòi hỏi các thầy cô giáo phải tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực
chuyên môn; đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng
kiến thức, đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em.
Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 10, 11 tôi nhận thấy học sinh được trang
bị rất nhiều kiến thức nhưng khả năng áp dụng và hiểu biết các vấn đề còn hạn chế.
Nhằm kiểm tra, khai thác tính sáng tạo, tích cực và tăng cường khả năng hoạt động nhóm
của học sinh .
Tôi mạnh dạn nêu ra một cách học chủ động, có hiệu quả đối với học sinh đặc biệt là đối
với học sinh lớp chọn thông qua SEMINAR với chủ đề:
NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG HỌC TẬP MÔN TOÁN LỚP 10 VÀ LỚP 11
THÔNG QUA HÌNH THỨC SEMINAR
‘’CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10, 11 TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC, CAO
ĐẲNG’’.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh lớp 11B8
Trường THPT Bỉm Sơn –Thanh Hóa.
Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là hình thức: “SEMINAR”
‘’CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10, 11 TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC,
CAO ĐẲNG’’.

1

.
PHẦN 2: NỘI DUNG
1. Phương pháp tiến hành:
1.1. Sau khi học sinh được học xong phần đại số tổ hợp, các em đã có cái nhìn sơ
bộ về các nội dung trong cấu trúc đề thi đại học của chương trình lớp 10+11. Giáo
viên chia nhóm học sinh và nội dung “seminar” như sau:
Nhóm 1 : PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
STT Họ và tên STT Họ và tên
1 Tống Thị Ngọc Anh 6 Tống Xuân Cường
2 Nguyễn Hà Anh 7 Hoàng Văn Cường (nhúm trưởng)
3 Nguyễn Mai Anh 8 Đinh Tiến Đạt
4 Lờ Mai Anh 9 Lờ Xuõn Dương
5 Nguyễn Việt Cường 10 Đào Xuân Giang
Nhóm 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
STT Họ và tên STT Họ và tên
1 Mai Trường Giang 6 Trần Đại Hiệp
2 Nguyễn Thị Hà 7 Trịnh Xuân Hưng
3 Phạm Thị Thanh Hằng 8 Nguyễn Lan Hương
4 Phùng Thị Thu Hằng 9 Hà Trung Kiên
5 Nguyễn Thị Hậu 10 Vũ Thuỳ Linh (nhóm trưởng)
Nhóm 3 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
STT Họ và tên STT Họ và tên
1 Vũ Đức Linh 6 Lê Trương Nam
2 Nguyễn Thị Linh 7 Vũ Thanh Nga
3 Nguyễn Quang Minh 8 Lê Thị Quỳnh Nga
4 Hoàng Tuấn Minh (nhúm trưởng) 9 Phan Như Ngọc
5 Tống Công Minh 10 Lê Thị Nguyệt
Nhóm 4 : ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN.
STT Họ và tên STT Họ và tên
1 Phạm Thị Ánh Nguyệt 6 Lê Thế Sơn (nhóm trưởng)

2 Lê Thanh Phong 7 Mai Khả Tâm
3 Nguyễn Văn Phong 8 Hoàng Văn Thắng
4 Vũ Hồng Quân 9 Mạc Anh Thanh
5 Trần Anh Quang
Nhóm 5 : ĐẠI SỐ TỔ HỢP .
STT Họ và tên STT Họ và tên
1 Nguyễn Ngọc Thảo 5 Nguyễn Kim Oanh
2 Trương Thị Thoa 6 Nguyễn Anh Tuấn
3 Nguyễn Huy Tiến 7 Nguyễn Tiến Thành
4 Vũ Thị Quỳnh Trang 8 Trần Thị Hải Võn (nhúm trưởng)

2
.
1.2 Giáo viên hướng dẫn:
• Tập hợp và lựa chọn bài (mỗi học sinh sáng tạo 5 bài) theo hướng dẫn về dạng bài
và cách thức sáng tạo. (thời gian 10 ngày).
• Mỗi nhóm có 1 nhóm trưởng phân công cho 3 học sinh chịu trách nhiệm về nội
dung bài, phân công các thành viên làm từng nội dung cụ thể (thời gian 3 ngày cho
các nhóm biên tập và đánh máy).
• Giáo viên hướng dẫn cách trình bày nội dung gồm:
• Lý thuyết cơ bản.
• Trình bày sơ đồ tư duy trong chuyên đề.
• Các bài tập theo từng chủ đề.
C, Học sinh thảo luận trước lớp vào các giờ tự chọn:
* Thời gian thực hiện vào các giờ tự chọn:
• Nhóm 1: 3 tiết.
• Nhóm 2: 3 tiết.
• Nhóm 3: 4 tiết.
• Nhóm 4: 4 tiết.
• Nhóm 5: 3 tiết.

Tổng số tiết thực hiện: 17.
* Mỗi nhóm cử thành viên lên thuyết trình nội dung và giải đáp các ý kiến thắc
mắc.
* Để hấp dẫn hơn sau khi hoàn thành việc thuyết trình cho 5 chuyên đề lớp sẽ bầu
chọn học sinh thuyết trình ấn tượng nhất để trao thưởng (kinh phí của GV phụ trách).
* Giáo viên đóng vai trò tổng biên tập và cố vấn: Hướng dẫn các thuyết trình về
cách thức làm, các bài tập tương ứng. Giải đáp các thắc mắc và tổng hợp các vấn đề.
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
LÍ THUYẾT CƠ BẢN
I. Phương trình vô tỉ :
1) Phương trình vô tỉ dạng cơ bản
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
0g x
f x g x
f x g x
≥


∗ = ⇔

=



( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0; 0; 0
2
f x g x h x
f x g x h x
f x g x f x g x h x
≥ ≥ ≥


∗ + = ⇔

+ + =


Chú ý: - Nếu là phép tương đương trước căn có dấu dương.
- Nếu f(x), g(x), h(x) có nhân tử chung là (x + x
0
) thì thực hiện nhóm, chú ý dấu
của biểu thức.

3
.

. , 0
. , 0
ab a b a b
ab a b a b
= ≥
= − − ≤
2. Một số dạng và phương pháp thường dùng:
( ) ( )

) . 0f x f x
α β γ
∗ + + =
Đặt
( )
0y f x= ≥
( ) ( )
) . 0f x a f x b
α β γ
∗ + + + =
Đặt y = f(x), điều kiện của y.
*) PT có chứa
( ) ( )
,f x g x
và
( ) ( )
. co sf x g x n t k= =
Đặt
( ) ( )
0
k
y f x g x
y
= ≥ ⇒ =
*)PT có chứa
( ) ( )
f x g x±
và
( ) ( )
.f x g x

.
Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
2
.
2
t
y f x g x f x g x
α
−
= ± → =
Hoặc đặt
( )
( )
a f x
b g x

=


=



( ) ( )
. .f x g x a b⇒ =
*)
( ) ( ) ( )
axf x b g x= +
(f(x), g(x) là hàm số bậc hai hoặc bậc ba). Đặt

( )
y g x=
Pt có 2 ẩn: x và y và biệt thức
∆
là số chính phương.
II. Bất phương trình vô tỉ:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
0, 0 0, 0
)
{ 0; }
g x f x g x f x
f x g x f x g x
f x g x g x f x g x
≥ ≥ ≤ ≥
 

∗) ≤ ⇔ ∗ ≥ ⇔


≤ ≥ ≥


 
( ) ( )

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0; 0; 0
) ( )
2 .
f x g x h x
f x g x g x
f x g x h x g x h x
≥ ≥ ≥

∗ ≥ + ⇔

≥ + +



*) Chú ý:- Chỉ bình phương 2 vế nếu chúng có nghĩa và cùng không âm.
- Không xét BPT hệ quả.
Các ví dụ
VD 1. Giải các phương trình:
2
1, 4 5 11x x x− − = +

2, 1 2 2 3x x x− − − = −

VD 2. Giải các phương trình:
2 2 2
1, 3 2 3x x x x x x− + − = +

2 3 2

2, 3 5 3 5x x x x x+ − = + −

2 2
3, 4 7 10 2 4x x x x− + − + = −

2 2
4, 4 24 4 12 8 12 6x x x x x x− + − − = − + + −

VD 3. Giải các phương trình:

2
1, 5 2 7 4 7 44x x x x x+ + + + + =

2 2
2,4 12 3 2 5x x x x− + − + =

2
3,5 7 7x x x x+ − + = −

2 2
4,2 2 3 33x x x x+ + − = −

VD 4. Giải các phương trình:
( )
2 2
1,2 2 1 4 1 4x x x x x− + + = −

3
3
3, 4 5 5 4x x+ = −

VD 5. Cho PT:
( ) ( )
2
8 2 6x x x x m− + − − − =
. Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt.
VD 6. Giải các phương trình:
2 2
1, 4 1 4x x x x− + − + =

2 2
2,2 5 1 4 0x x− + − =

VD 7. Giải các phương trình:
2
1, 4 28 52 2 5 8 2x x x x− + − = − + −

2
2, 8 24 3 1 5 3x x x x− + = − + −

4
.
VD 8. Giải các phương trình:
2 2 2 2
1, 2 2 2 1 2 2 3x x x x x x x x+ + + + − = − + − +

2
2, 1 5 2 5 3 2x x x x x x+ + + = + +

VD 9. Giải các phương trình:

1, 4 2 2 2x x x− − − = +

2, 2 1 4 5x x x+ − − = −

2 2 2 2
3, 4 2 3x x x x x x x x+ + + = + + +

4, 2 1 2 3 5 9x x x x− + + = + + +
VD 10. Giải các phương trình:

2 2 2 2
1, 1 15 7 2, 2 4 6x x x x x x x x+ − + + + = − − + + =
( )
( ) ( )
2
4
3
2
1
3, 2 3 5 4 2 4, 6 3 3 3
4
3 2
5, 1 1 2 1
1 1
x x x x x x x x
x x
x x x
x x x
+ + = + + − + + + + = +
−

+ + = − −
+ + − +
VD 11. Giải các phương trình:

2 2 2 3 2
2 3 2 3 2
1, 3 2 4 2 3 1 1 2,3 6 9 3 1
3,3 9 2 5 2 6 4,3 4 9 5 2 3 2 3 0
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
− + = − + + + − − = + − −
− + = − − + + − + − =
VD 12. Giải các bất phương trình:

2 2
2 2 2
2 2
1, 2 3 2, 3 2 2 1 3, 5 3 2
4, 4 5 5 1 5, 4 10 3 1 6, 6 1
7, 3 3 11 2 1 8, 2 15 27 3
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
+ ≤ − − > − + + ≤ +
− + ≥ + + ≤ + − − < +
+ − > + + + < +
VD 13. Giải các bất phương trình:
2
2 2
6 6 2 1 1

1, 1 2, 1 3,
3 3 1
2 3 2 4 2
x x x
x x
x x x x
+ + +
≥ ≥ <
+ −
+ − − +

VD 14. Giải các bất phương trình:
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
1, 4 3 3 2, 3 9
4 3
3 9
3, 7 10 4 4, 6 2
6
2 4
x x
x x x x x
x
x
x x
x x x x x

x
x
− − ≥ − − − + − ≥
−
− −
− + + + ≤ − + < +
+
+ +
VD 15. Giải các bất phương trình:
1, 7 1 3 2, 2 1 1 2
3, 10 3 2 4,2 5 2
x x x x x x
x x x x x x
+ ≥ + + − + ≥ − + −
+ < − + + > − + +
Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I, Hệ gồm một phương trình bậc nhất,một phương trình bậc cao
*Hệ có dạng
Ax 0 (1)
f(x;y)=0 (2)
By C+ + =



* Phương pháp
- Từ pt (1) rút x theo y hoặc y theo x, thay vào pt (2) ta dược pt bậc 2 hoặc 3 đối với x hay y
- Giải pt bậc cao với x hoặc y
II, Hệ đối xứng loại I

5

.
- Ta có hệ
( ; ) 0
( ; ) 0
f x y
g x y
=


=

Trong đó
( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; )
f x y f y x
g x y g y x
=


=

- Phương pháp
+, Đặt
x y S
xy P
+ =


=


( ĐK: S
2
≥
4P)
+, Giải hệ
( ; ) 0
( ; ) 0
h S P
k S P
=


=

S, P là nghiệm ( kiểm tra ĐK)
+, Nghiệm của hệ là nghiệm của phương trình : X
2
– S.X + P = 0
III, Hệ đối xứng loại II
- Dạng (I)
( ; ) 0 (1)
( ; ) 0 (2)
f x y
f y x
=


=


* Nếu (x
0
; y
0
) là nghiệm hệ thì (y
0
;x
0
)cũng là nghiệm của hệ
- Phương pháp
+, (1) -(2) ta được: (x- y).h(x; y) = 0
(I)
⇔
( )
( ; ) 0
x y
II
f x y
=


=

hoặc
( )
( ; ) 0
( ; ) ( ; ) 0
h x y
III
f x y g x y

=


+ =

IV, Hệ đẳng cấp
- Phương pháp:
+, Tìm để thoả mãn x= 0 (y= 0)
+, x
≠
0 (y
≠
0) Đặt : y = tx (x = ty)
+Chú ý với hệ
2 2
2 2
Ax
' ' ' '
Bxy Cy D
A x B xy C y D

+ + =


+ + =


*Có thể khử hệ số tự do đưa về pt dạng : Ax
2
+ Bxy + Cy

2
= 0 tính x theo y hoặc y
theo x.
*Có thể khử x
2
hoặc y
2
khi cộng hoặc trừ vế với vế của 2 pt trong hệ, sau dó rút y
theo x hoặc x theo y thay vao hệ.
V, Hệ phương trình không mẫu mực
- Là hệ không thể biến đổi tương đương hoặc biến đổi hệ quả từ đầu đến cuối.
- Tuỳ từng bài toán ta có thể : Đặt ẩn phụ hoặc biến đổi tương đương hoặc đánh giá.
Các ví dụ
VD 1. Giải các hệ phương trình:
1,
2 2
4 0
3 4 9 0
x y
x xy y
+ =


+ − + =

2,
2 2
2 2
2 2 0
1

x y xy x y
x y

− − + + =


+ =


VD 2. Giải các hệ phương trình:
1,
3 2
2
2 5 8 6 0
1 ( 2)
x xy x y
x y y

− + − − =


− = +


2,
3 3
2 2
7 42 0
2 8 7 10 0
x y xy x y

y x xy y x

+ + − + − =


− + − + − =


VD 3. Giải các hệ phương trình:

6
.
1,
3 2
2 2
3 5 7 9 15 0
2 2
y xy xy x y
x x y y

− + − + − =


+ = −


2,
2 2
2
2 6 2 7

4 4 5 29
x y y xy x
x y xy y

+ + = +


+ + =


VD 4. Cho HPT:
2 2
2
2 3
4 8 12 3
x y my mx xy
x xy x m

+ = − +


− − = +


1, Tìm m để hệ trên có 2 nghiệm phân biệt
2, Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt
VD 5. Giải các hệ phương trình:
1,
2 2
3 1

5 7
x y xy
x y xy

+ − =−

+ − =

2,
2 2
2 2
( 5) ( 5) 8 3( )( 1) 5
4 5
x x y y xy x y xy
x y xy

+ + + + + + + =


+ + =


VD 6. Cho hệ
2 2 2
2 2
2 2 11 14 4
x y a
x y a a
+ = −



+ = − +

. Tìm max : P = xy
VD 7. Tìm m để hệ:
3 3
2 2
3 3 0
x y m
x y xy

+ =


+ + + =


có nghiệm : x + y =
1
2
−

VD 8. Cho hệ phương trình
2 2 2
2 2
10 19
x y m
x y xy m m
+ = +



+ + = + +

. Tìm max, min của: P = 3xy - 2x
2
- 2y
2
VD 9. Giải các hệ phương trình:
1,
3 2 2
3 2 2
2 2 1
2 2 1
x y x y
y x xy

+ + =


+ + =


2,
3 2
3 2
0
0
x y x x
y x y y


− − =


− − =


3,
4 2 3
4 2 3
2 2 1
2 2 1
x x xy
y y x y

+ + =


+ + =



VD 10. Cho hệ phương trình:
2
2
x y m
y x m

+ =



+ =


1, Giải hệ khi m = 1 2, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
VD 11. Giải các hệ phương trình:
1,
2 2
2 2
3 2 15
1
8 8
2
x xy y
x xy y

− + =


+ + =


2,
3 3
3 2 2 3
2 1
2 2
x y
x x y xy y

+ =



+ + + =


3,
2
3 2 2 2 2
3
5 11 5
x xy x y
x y xy x y x y

+ = −


+ = −



VD 12. Giải các hệ phương trình:
1,
2
3 6 3
3 6
x
y x y
y
x x y x y


− = + +



+ + = + −

2,
1 4 4
2 2 1
x
y x y
y
x x y x y

− = − −



− − = − +

3,
2
2 2 2 2
4 2 4 6
x xy x y y x y
y x y x y

+ − − = +



+ + = + −


VD 13. Giải các hệ phương trình:
1,
2
( 2)( 2 ) 15
3 2 8
x x x y
x x y
+ + =


+ + =

2,
2
2
( 2 )( 3 ) 6
1
x y x y
x x y

+ − =−


+ − =



VD 14. Giải các hệ phương trình:
1,
2 2 2
2
2 2
2 3
x y x x xy
x xy y x y

− = −


− − = − −


2,
3 3 2 2
2 2
4 3 3
4 8
x y x y xy x y
x y x y xy

− = + + + −


+ + = − −


VD 15. Giải các hệ phương trình:

7
.
1,
2 2 4 2
2 4 2
8 2 2 2
( ) 4 1
xy x y x x y
x y x y

− − = +


+ + + = −


2,
2
4
4
32 3
32 24 6
x x y
x x y

+ − = −


+ − = −



VD 16. Giải các hệ phương trình:
1,
2 2 2 2
2 2 3 2 2
4 5 ( )( ) 3 0
9( ) 0
x y x x x y x x y
x y x x xy x y

+ + + + + + + =


+ + + − + =


2,
2 2
2 1 0
3 3 2 0
xy y
x y xy x
+ + =


− + + =

VD 17. Tìm m sao cho HPT sau có nghiệm:
1,

4 1 5
4
x y
x y m

− + − =


+ =


2,
3 2 2 1 2
3 2 3
x y m
x y m

− + + =


+ =


3,
2 2
2 2 8
( 2)( 2)
x y x y
xy x y m


+ + + =

+ + =

VD 18. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :





−=−+
=++−
myxx
mxyxyx
21
)2(2
2
23
( ĐH.KTQD.11)

VD 19. Cho hai số thực x,y thỏa : x
2
+ xy + y
2
= 1. Tìm GTLN, GTNN của A = x
2
- xy + y
2
.
VD 20. Cho các số thực x, y thay đổi thỏa:

( )
3
4 2xx y y+ + ≥
.
Tìm GTNN của
( ) ( )
4 4 2 2 2 2
3 2 1A x y x y x y= + + − + +
VD 21. Cho
; ; 0
3
x y z
x y z
≥


+ + =

. Tìm GTNN của
2
3 11 4 2021A x x yz xy xz= − − + + +
VD 22. Cho a, b dương thoả mãn:
2 2 2 2 2 2 2 2
6( ) 5 ( )( 4)a b ab a b a b a b+ = + + +
.
Tìm GTNN của biểu thức:
2 2
2 2
2 2013
a b a b

P
b a b a
 
= + − + +
 ÷
 
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. LÝ THUYẾT
1. Phương trình đưa về bậc 2, bậc 3
– Dạng:
2
at bt c 0+ + =
hoặc:
3 2
at bt ct d 0+ + + =

{ }
t sin x; cosx; tan x; cot x∈
– Các công thức sử dụng:
• Công thức nhân đôi, nhân ba. • Công thức hạ bậc.
• Công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng.
– Phương pháp:
• Đưa về một hàm một cung.
• Nếu có cung đặc biệt thì làm mất cung đặc biệt.
2. Phương trình thuần nhất với sinx và cosx
– Dạng:
asin x bcosx c+ =
(1) (với
2 2 2
a b c+ ≥

)
– Phương pháp:

8
.
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
a b c a b
(1) sin x cosx cos ; sin
a b a b a b a b a b
c
sin x
a b
 
⇔ + = α = α =
 ÷
+ + + + +
 
⇔ + α =
+
– Trường hợp đặc biệt:
sin x 3cosx 2sin x 2cos x
3 6
π π
   
• + = + = −
 ÷  ÷
   
sin x cosx 2 sin x 2 cos x

4 4
π π
   
• ± = ± = ±
 ÷  ÷
   
m
sin x 3cosx 2sin x 2cos x
3 6
π π
   
• − = − = − +
 ÷  ÷
   
3. Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3
– Dạng:
2 2
asin x bsin x.cosx ccos x d 0+ + + =

hoặc:
3 2 2 3
asin x bsin x.cosx csin x.cos x dcos x 0+ + + =
– Các công thức sử dụng:
2
2
1
1 tan x
cos x
• + =
2

2
1
1 cot x
sin x
• + =
– Phương pháp: Xét
cosx 0
=
• Nếu
cosx 0
=
không thoả mãn: Chia cả hai vế cho
2
cos x
2 2
2
(1) a tan x btan x c d d tan x
(a d) tan x btan x c d 0
⇔ + + = +
⇔ − + + − =
• Nếu
cosx 0=
thoả mãn:
2
(1) cosx 0 asin x d⇔ = ∨ =
4. Phương pháp hạ bậc
– Công thức hạ bậc:
2
2sin x 1 cos2x• = −
2

2cos x 1 cos2x• = +
3
4sin x 3sin x sin3x• = −
3
4cos x cos3x 3cosx• = +
– Phương pháp: Nếu có mũ chẵn thường sẽ hạ bậc.
5. Phương pháp nhóm nhân tử chung
– Các công thức sử dụng
• Công thức nhân đôi, nhân ba. • Công thức hạ bậc.
• Công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng.
2
sin x (1 cosx)(1 cosx)
• = − +

2
cos x (1 sin x)(1 sin x)• = + −

( )
2
1 sin 2x sinx cosx
• ± = ±
6. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

9
.
– Dạng:
( )
( )
F sin x; cosx; tan x; cot x
G sin x; cosx; tan x; cot x

– Phương pháp: • Đặt điều kiện.
• Biến đổi phương trình về dạng đơn giản.
• Kết hợp điều kiện : Phương pháp hình học; Phương pháp nghiệm nguyên.
Các ví dụ
VD 1. Giải các phương trình sau:
( ) ( )
3
2 4
1,tan x 3tan x 0
cos2x 1 tan x / 4 .tan x 3 / 4
− − − =
+ + π + π
2,
cos2x cos3x cos4x cos5x cos6x cos7x cos8x cos9x cos10x 0+ + + + + + + + =
3,
2 2
3 tan x sin x cos2x.tan x 4cos x
+ − =
VD 2. Giải các phương trình sau:
1,
2
cos4x cos2x tan x.tan2x 1
0
sin x cos x 1
− − +
=
− +
2,
2 2
3sin x cos x sin x 3sin 2x cosx

+ = − +
3,
sin8x sin4x 2 3cos6x cos2x+ = −
4,
3
2 cos x 2cosx
4
π
 
+ =
 ÷
 
5,
cosx sin 2x
3
cos2x sin x
−
=
+
6,
4 1 2
4 0
sin x cosx sin2x
+ + + =
VD 3. Giải các phương trình sau:
1,
2 3
3sin x 4cos x 2cos x 3sin 2x 4cos x 1− + + + =
2,
4 2 4

sin x 3cos x 5cos x 1 0+ − + =
3,
2
cosx.(cosx 1) sin x 2 cosx cos x 1
+ + + = +
4,
2 2
3sin 2x sin x.(15cos x 8sin 2x 20cosx 4sin x 5) 0− + − − + =
VD 4. Giải các phương trình sau:
1,
cosx 2sin x.cosx 1
sin x cos x 1
sin x cosx
+ −
= + +
+
2,
2
2sin 2x cos 2x 3sin4x= +
3,
cos2x cosx 2sin2x.(2cosx 1) 0
+ + − =
4,
2
3sin x sin x.cosx 2cos2x 0− − =
VD 5. Giải các phương trình sau:
1,
2
4sin3x.(3 2cos x) 2cos4x.(4sin3x 2cosx) 3cosx cos3x 0− − + + + =
2,

2
17 3
3sin x sin3x sin x.sin x sin 2x.cosx 2cos x 0
2 2 2
π π
   
− + + + − − =
 ÷  ÷
   
VD 6. Giải các phương trình sau:
1,
2
14sin x 20sin x 5sin2x 6cosx 6 0− + − + − =
2,
2 3
2cos x 4cos x 2cosx sin x sin 2x sin3x 0− + + + + =

10
.
3,
( )
( )
3 3 2 2
tan x cot x 3 tan x cot x 3 tan x cot x 10 0− − + − − + =
VD 7. Giải các phương trình sau:
1,
cos3x 1 cosx sin x
cosx sin x 2cosx 1
− −
=

+ +
2,
3 3
3cos x sin x 6cosx 5sin x 0− − + =
3,
3
2sin x cos2x 6sin x 7 0− + − =
4,
2
6sin x 2 3sin 2x 3 2 3+ = − −
VD 8. Giải các phương trình sau:
1,
2 2 3
6sin x.cosx 5sin x.cos x sin x sin x cosx− − = −
2,
2 2
10sin x.cosx 2sin x.cos x 5sin x 4sin2x cos x 4− − = − −
3,
2
3cosx.sin 2x 2cos x.sin x sin x 2cos x 0− − − =
VD 9. Giải các phương trình sau:
1,
2 2
cos x cosx sin2x sin 2x+ + =
2,
cos4x 2sin2x 1 0+ − =
3,
1 sin x cosx cot x 0
+ + + =
4,

tan x.sin x cot x.cosx
1
cosx sin x
+
= −
+
VD 10. Giải các phương trình sau:
1,
2
1 2sin x sin x cosx 0+ + − =
2,
3
4cos x 2sin x 3sin 2x 4cosx 3
0
sin 2x 1
+ + − −
=
−
3,
2
cos3x 5sin x 19cosx 24
0
cosx 1
+ + −
=
−
4,
2cos2x 3sin2x
2
(1 sin x)(1 sin x) 1

−
=
− + −
VD 11. Giải các phương trình sau:
1,
3 2 2
cos x 4cos x.sin x 3sin x.cosx sin x 4cosx 6 0− + + − + =
2,
3 3 2 2 2
32cos 6x 16cos 2x 5sin 6x 16sin 9x 24sin x 43 0
2
π
 
+ − + + + − =
 ÷
 
3,
( )
4 2
4cos x sin3x.(sin x cosx) cos3x. sin x 3 3(sin3x 1) sin x cosx 3cos x 0
− + + + − + − − − =
4,
( ) ( )
3 3
2sin x 4 2 cos x sin 2x 2 3 2 cosx 3 2 sin x
 
− = + − −
 
Chuyên đề: ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN.
A. ĐƯỜNG THẲNG.

1, PT ∆ qua A(x
0
;y
0
) và có VTPT
n
r
(a;b)
⇒
∆:a(x-x
0
)+ b(y-y
0
)=0
2, ∆:ax+by+c=0; d
⊥
∆
⇒
d:bx-ay+c’=0. d//∆
⇒
d: ax+by+c’=0.
3,
a
r
(x
a
;y
a
);
b

r
(x
b
;y
b
)
⇒
cos(
a
r
;
b
r
)=
.a b
a b
r r
r r
.
4,
a
r
+
b
r
a b+
r r
, dấu “=” xảy ra
⇔
k 0:

a kb
=
r r
.
5, Tìm M d: (MA+MB)min;

11
.
*A, B cùng phía. MA+MB AB
⇒
ycbt M=AB d.
*A, B khác phía. Lấy C đối xứng A qua d
⇒
M:MA=MC
⇒
MA+MB=MC+MB
⇒

ycbt M=CB d.
6, Tìm M d:
MA MB
−
max
*A, B cùng phía.
MA MB
−
AB
⇒
ycbt M=ABd.
*A. B khác phía.Lấy C đối xứng Aqua d

⇒
:MA=MC
⇒
MA MB
−
=
MC MB BC
− ≤

ycbt M=CB d.
7, Tìm M : E=
1. 1 2 2 n
x A x A x A
n
M M M+ +…+
uuuur uuuuur uuuuur
min
F=
2 2 2
1. 1 2 2 n
(x A x . A x . A )
n
M M M
+ +…+
max (
1 2 n
x +x x 0+ + >
)
PP: Tìm I sao cho
1. 1 2 2 n

x IA x IA x IA 0
n
+ +…+ =
uuur uuur uuur r
E=
1 2 n
x +x x
+ +
MI.
F=
2 2 2 2
1 2 n 1. 1 2 2 n
(x +x x ) x IA x . A x . A
n
MI I I
+ + + + +…+

⇒
ycbt MI min M là hình chiếu của I lên d
8, Khi có phân giác thì thường lấy đối xứng,
Khi có trung tuyến hay trung điểm thì hay sử dụng tọa độ trung điểm, tọa độ trung
điểm.
Khi có đường cao thì sử dụng tính chất vuông góc.
Khi có trung trực thì sử dụng tọa độ trung điểm, tính đối xứng và tính vuông góc.
Khi có trọng tâm ∆ thì dùng CT tính tọa độ trọng tâm (1/3tổng tọa độ 3 đỉnh ∆).
B. ĐƯỜNG TRÒN.
1, PT(C) có tâm I(a;b); bán kính R: (C):
( ) ( )
2 2
2

x a y b R
− + − =
*(C):
2 2
2 2 0x y ax by c+ + + + =
Tâm I(-a;-b); R=
2 2
a b c
+ −
2, Đường tròn tiếp xúc với d tại A thì tâm đường tròn nằm trên đường ∆ d tại A.
3, PT tiếp tuyến đi qua A(x
o
;y
0
) của (C) tâm I, bán kính R
4, PTTT chung của (C) và (C’):
Các ví dụ(1)
(về đường thẳng)
VD 1: Cho ∆ABC có trung tuyến d
1
:x+3y-8=0, và đường phân giác d
2
: x+y-2=0 đều xuất
phát từ A. C(1; 2). Tìm phương trình các cạnh?
VD 2: Cho ∆ABC có C(0;1), trung tuyến qua A d:x+y+1=0, AB=
5
. Tìm B?
VD 3: Cho ∆ABC có d
1
: x-y+1=0; d

2
: 2x+y+2=0 lần lượt là đường cao trung tuyến xuất
phát từ A. Cho C(1;1). Tìm B?
VD 4: Lập phương trình các cạnh ∆ABC biết A(-1;1) và các đường cao qua đỉnh B;C lần
lượt là d
1
: 2x+y+12=0, d
2
: 5x-y-5=0.

12
.
VD 5: Cho ∆ABC biết pt AB: 3x-2y-11=0. Các đường cao qua các đỉnh A và B lần lượt
là d
1
: x-5y+5=0, d
2
: x-y-5=0. Lập phương trình các cạnh ∆ABC.
VD 6: Lập phương trình các cạnh ∆ABC biết A(3;4). Đường cao và trung tuyến kẻ từ 2
đỉnh tam giác lần lượt là d
1
: 2x+y+1=0 và d
2
: 4x+y-2=0.
VD 7: Lập phương trình các cạnh ∆ABC biết A(3;4), đường cao và đường trung tuyến kẻ
từ một đỉnh ∆ABC có pt d
1
: 3x+y-4=0, d
2
: 2x+y-3=0.

VD 8: Cho ∆ABC có đỉnh A(1;4). Hai đường phân giác trong của góc B và C lần lượt có
phương trình d
1
: x+y-1=0 và d
2
: x+2y+1=0. Viết phương trình cạnh BC.
VD 9: Viết phương trình các cạnh của ∆ABC và tính S
ABC
? Biết B(2;1), đường trung
tuyến và đường cao xuất phát từ 1 đỉnh có phương trình là ∆
1
: x-3y+5=0; ∆
2
: 2x+y+1=0.
VD 10: Cho ∆ABC có A(3;9). Có trung tuyến ứng với cạnh huyền AB va AC lần lượt là
d
1
: y-3=0, d
1
: x-3y+3=0. Xác định các đỉnh còn lại ∆ABC .
VD 11: Lập phương trình các của ∆ABC biết B(2;3). Phương trình đường cao hạ từ A và
trung tuyến từ C lần lượt là: d
1
: 3x+y+3=0, d
2
: x-2y+1=0.
VD 12: Cho ∆ABC , trung tuyến của AB là M(-1;3). Đường cao BH: x+y-1=0. ∆ qua A
và // BC có dạng x+2y+5=0. Tìm tọa độ các đỉnh.
VD 13: Cho ∆ABC có A(1;2), B(0;2), C(3;4). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N
lần lượt là trung điểm của cạnh AB và BC. Viết phương trình đi qua các điểm H, M, N.

VD 14: Cho ∆ABC có A(1;2); C(4;-3) và đường phân giác trong xuất phát từ B là d:x-y-
3=0. Lập phương trình các cạnh của ∆ABC và tọa độ điểm B, trọng tâm G của ∆ABC .
VD 15: Cho ∆ABC có B(7;2) và phương trình các đường trung tuyến AM: 3x-5y+2=0;
CN: x+y-3=0.
1, Viết phương trình đường trung tuyến xuất phát tại B và tìm tọa độ A và C.
2, Với A, B, C vừa tìm được. viết phương trình đường thẳng d chứa đườn phân
giác trong của góc A và C?
3, Tìm tọa độ điểm M
∈
d sao cho tứ giác ABMC là hình thang.
VD 16: Cho ∆: x+2y-1=0. Tìm I
∈
∆ sao cho I cách d:3x-4y+6=0 một khoàng bằng 3.
VD 17: cho d
1
: x+2y-11=0, d
2
:3x-y-3=0. M(5,2). Tìm A
∈
d
1
; B
∈
d
2
sao cho
3MA MB
=
uuur uuur
.

VD 18: Tìm GTNN của:
1, y=
2 2
6 10 2 26x x x x
− + + − +
2, y=
2 2
13 17
5
2 9
x x x x
− + + + +
3,y=
2 2
4 20 2 26x x x x
− + + + +
4, y=
2 2
5 / 2 3 9 / 2x x x x
− + + + +

Các ví dụ(2)
(về đường tròn)
VD 1: Cho phương trình (C):
2 2
( 1) ( 2) 9x y− + + =
. Viết phương trình tiếp tuyến:
1, qua A(0;1) 2, qua B(3;2)
3, song song với d:3x-4y+1=0 4, vuông góc d: 6x-8y+3=0
VD 2: Cho đường tròn (C):

2 2
x y
+
-2x+4y-4=0 và 2 đường thẳng: ∆
1
:x+y-1=0 và
∆
2
: 2x+2y-7=0. Lập phương trình (C’) có tâm I
∈
(C) và (C’) tiếp xúc với ∆
1
, ∆
2
.
VD 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp ∆ABC biết: AB:6x+y-5=0, AC: 12x-y-4=0,
BC: 3x-y+2=0.

13
.
VD 4: Lập phương trình đường tròn nội tiếp A(1;7), B(1;-5), C(-5;1).
VD 5: lập đường tròn nội tiếp ∆ biết A(1;3), B(5;2), trọng tâm G(3;1/2).
VD 6: Cho (C
1
):
2 2
( 2) ( 3) 4x y− + − =
, (C
2
):

2 2
( 1) ( 1) 9x y+ + + =
. Viết PTTT chung của 2
đường tròn.
VD 7: Cho (C):
2 2
x y
+
-2x+4y-4=0, (C
1
):
2 2
x y
+
-4x-2y-4=0
1, Tìm giao điểm của (C)và (C
1
). 2, Tìm tiếp tuyến chung của 2 đường tròn.
VD 8: Cho (C):
2 2
x y
+
-6x-2y+1=0, A(-1,3)
1, Gọi đường thẳng d qua A và là tiếp tuyến với (C) lần lượt tại B, C.
Lập d và tìm tọa độ của B, C.
2, Tìm S
ABC
.
VD 9: Cho (C):
2 2

( 3) ( 2) 16x y− + − =
; M(5;-2). Gọi T
1
,T
2
là tiếp điểm của (C) qua M. Viết
phương trình T
1
T
2
.
VD 10: Cho đường tròn (C):
2 2
x y
+
-4x+2y+1=0 và d:2x-3y+1=0. Viết phương trình
đường thẳng d’ song song với d và cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN=2.
VD 11: Trong mặt phẳng Oxy cho A(3;2) và đường tròn (C) có tâm I(1;5), R=3.
1, Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) kẻ từ A.
2, Gọi M.N là các tiếp điểm. Tính độ dài MN.
VD 12: Với giá trị nào của m thì độ dài đoạn tiếp tuyến xuất phát từ A(3;5) đến đường
tròn (C):
2 2
x y
+
-2my = 0 bằng 2.
VD 13: Cho (C):
2 2
( 3) ( 1) 9x y− + + =
. Cho (C’) có tâm I’

∈
d:3x+y-2=0. (C’)∩(C)=A,B.
Cho A(0;1). Tìm (C’) sao cho AB=1.
VD 14: Cho (C):
2 2
x y
+
+4x-2y-4=0, d: x - y = 0 cắt (C) tại B,C. A
∈
(C) (≠B,C). H là trực
tâm ∆ABC. Tính AH.
VD 15: Cho (C):
2 2
x y
+
-36y-8=0 có tâm I, dây cung AB A(1;7), d
(I;AB)
=1 (AB có giao
điểm với Ox). Gọi d
1
vuông góc B, d
1
cắt (C) tại M(M≠B) sao cho M có x
M
>0.Tính S
IMBH
.
VD 16: Đường tròn (C) qua A(2;3), B(- 4;3), d:x+1=0 là tiếp tuyến của (C). Viết phương
trình (C).
VD 17: Tìm ∆ qua M(2;1) cắt (C):

2 2
( 2) ( 1) 25x y− + − =
tại AB=2
5
.
VD 18: Cho (C):
2 2
x y
+
+4x-2y+1=0 và d:x-y-1=0. Tìm M
∈
d sao cho qua M vẽ được 2
đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho góc AMB là 60
0
.
VD 19: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C):
2 2
x y
+
+6x-2y+8=0 và
đường thẳng ∆: x+3my-m+2=0 với m là tham số. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm
m để ∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho S
IAB
max, tính S
IAB
max?
VD 20: cho (C):
2 2
( 1) ( 2) 4x y− + − =
. Cho M(5;2) qua M kẻ 2 tiếp tuyến với (C) tại P và Q.

Cho S
PMQI
=6. Gọi A
∈
IM sao cho
1
3
AI AM
=
uur uuuur
. Tính S
PIQA
?
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP.
I. Qui tắc cộng
VD1. Từ tỉnh A đến tỉnh B có hai con đường. Từ tỉnh A đến tỉnh C có 3 con đường. Hỏi
có bao nhiêu cách để đi từ A đến các tỉnh khác. (Tỉnh A không có đường nào đến các tỉnh
khác ngoại trừ hai tỉnh B và C).

14
.
VD2. Một người được đi tham quan một trong các địa điểm như sau: Đi Châu âu: Anh,
Đức, Pháp, Hà lan, Thuỵ sỹ. Đi Châu Á: Trung quốc, Ấn độ, Ápganitstan, Mông cổ. Đi
Châu mỹ: Mỹ, Canada, Cuba, Brazil. Hỏi người đó có bao nhiêu cách đi du lịch.
II. Qui tắc nhân
VD1. Từ tỉnh A đến tỉnh B có 5 con đường, từ B đến tỉnh C có 4 con đường. Hỏi đi từ A
đến C có bao nhiêu cách đi (phải đi qua tỉnh B).
VD2. Một người có 5 các áo sơ mi và 6 cái quần dài. Hỏi người đó có bao nhiêu bộ trang
phục.
VD3. Sắp xếp 5 học sinh vào một hàng dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp.

VD4. Từ các chữ số 1,2,…6. Lập được bao nhiêu số:
a) Có 3 chữ số. b) Có 3 chữ số khác nhau) Có 5 chữ số khác nhau.
Nhận xét. Quan trọng nhất trong qui tắc nhân là: Chúng ta biết chia công việc A
thành các công việc nhỏ. Và quan trọng hơn nữa là biết sắp xếp thứ tự công việc, cái
nào nên làm trước, cái nào làm sau
VD5. Cho các chữ số 0,1,2,…5. Lập được bao nhiêu số
a) Có 4 chữ số khác nhau b) Số lẻ có 4 chữ số khác nhau
c) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau
III. Phối hợp hai qui tắc đếm
Nhận xét. Chủ yếu các bài toán là phối hợp hai qui tắc cộng và nhân. Khi đó chúng ta
cần biết phân chia công việc A thành các công việc nhỏ và cần nhận biết được mối
quan hệ giữa các công việc nhỏ
VD1. Cho các chữ số 0,1….6. Lập được bao nhiêu số:
a) Có 5 chữ số khác nhau b) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau c) Số lẻ có 5
chữ số khác nhau
d) Số có 5 chữ sô khác nhau và chia hết cho 5. e) Có 5 chữ số khác nhau và chữ số
đầu tiên bằng 5
f) Số có 5 chữ số khác nhau và chữ số đầu tiên khác 5 g) Có 5 chữ số khác nhau
và không có số 4
VD2. Cho các chữ số 1, 2, …5, 6. Lập một số thoả mãn:
a) Có 5 chữ số trong đó chữ số 1 được lặp lại hai lần.
b) Có 5 chữ số trong đó có một số được lặp lại hai lần.
c) Lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số này.
VD3. Cho các chữ số 0,1,…4,5. Lập một số thoả mãn:
a) Số tạo thành là số chẵn b) Số tạo thành là số lẻ. c) Số tạo thành không
chia hết cho 5.
d) Số tạo thành không chia hết cho 3.
VD4. (HVBCVT) Từ các chữ số 0, 1, …8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số
khác nhau, sao cho trong các số đó luôn có mặt chữ số 0 và 1.
VD5. Với các chữ số 1, 2, …, 7 lập được bao nhiêu số có 7 chữ số khác nhau. Tính tổng

tất cả các số này. Chứng minh rẳng tổng các số chia hết cho 9.
VD6.(CĐKTĐN) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau được lập từ các số 1 ,2, 3, 4,
5, 7, 9 sao cho hai chữ số chẵn không đứng liền nhau.

15
.
VD7. (ĐHHH) Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một nghế dài sao
cho: a) Bạn C ngồi chính giữa b) Hai bạn A, E ngồi hai đầu nghế
VD8.( ĐHTN) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau sao cho tổng các chữ số của nó
là một số lẻ.
VD9.( ĐHSPHN) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,
6, trong đó các chữ số 1 và 6 được lặp lại hai lần.
VD10.( ĐHV) a) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ sô khác nhau sao cho tổng các chữ số của
nó là một số chẵn.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số đứng sau
luôn lớn hơn chữ số đứng liền trước.
VD11. (ĐHQGTPHCM) a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau trong đó chữ
số đầu tiên là số lẻ.
b) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ
số chẵn (chữ số đầu tiên phải khác số 0).
IV. Tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp
VD1. Một lớp học có 30 học sinh.
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả học sinh thành một hàng dọc.
b) Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh lần lượt làm lớp trưởng, bí thư và lớp phó.
c) Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh đi dự hội nghị học sinh giỏi.
VD2. Trong mặt phẳng cho 8 điểm bất kỳ sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng.
a) Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh trên.
b) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai đỉnh trong các đỉnh trên.
VD3. Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi lập được bao nhiêu số có 4 chư số và các chữ
số được xếp theo thứ tự tăng dần.

V. Tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp kết hợp với hai quy tắc đếm
VD1. (ĐH Huế) Một lớp học có 30 hs nam và 15 hs nữ. Chọn 6 hs làm thành một tốp ca.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) 6 hs được chọn bất kỳ. b) Số nam và nữ bằng nhau.
c) Đội văn nghệ gồm 4 nữ và 2 nam. d) Phải có ít nhất là 2 hs nữ
VD2. (ĐHYHN) Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập
một đoàn công tác gồm 3 người sao cho cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và
vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách.
VD3. (ĐHTNguyên) Một đội văn nghệ gồm 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:
a) Có đúng 2 người nam trong 5 người đó.
b) Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.
VD4. (HVCTQGTPHCM) Có 10 hs trong đó 3 hs giỏi, 4 hs khá và 3 hs trung bình. Chọn
ngẫu nhiên ra một nhóm gồm 3 hs. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để:
a) Trong 3 học sinh được chọn có cả hs giỏi, khá, trung bình.
b) Trong 3 học sinh được chọn không có hs trung bình.

16
.
VD5. Có 9 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng có kích thước khác nhau (các viên bi khác nhau).
a) Có bao nhiêu cách chon ra 3 viên bi bất kỳ.
b) Có bao nhiêu cách chọn 6 viên trong đó có đúng hai bi đỏ.
c) Có bao nhiêu cách chọn 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.
VD6. (ĐHQGTPHCM). Có 5 hoa vàng, 3 hoa trắng, 4 hoa đỏ (các bông khác nhau), chọn
ra 7 bông để làm thành một bó.
a) Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng một bông đỏ.
b) Có ít nhất một bông trắng.
VD7. Một lớp học có 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 7 học sinh sao cho:
a) không phân biệt các học sinh. b) Có 5 nam và 2 nữ.
c) Nữ nhiều hơn nam. d) Có học sinh nam

VD8. (HVNH) Trong mặt phẳng cho đa giác đều T gồm có 20 cạnh. Xét các tam giác có
3 đỉnh lấy từ 20 đỉnh trên. Hỏi:
a) Có bao nhiêu tam giác như vậy. b) Có bao nhiêu tam giác có 1
cạnh là cạnh của T
c) Có bao nhiêu tam giác có 2 cạnh là cạnh của T d) Bao nhiêu tam giác không có
cạnh chung với T
VD9. Cho đa giác đều T gồm có n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Hỏi:
a) Có bao nhiêu đường chéo b) Tìm số giao điểm của các
đường chéo.
c) Tìm n biết số đường chéo bằng số cạnh
d) Có bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh của đa giác
VD10. (ĐHYHN) Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập
một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ và cần có cả nhà toán học và vật lý. Hỏi
có bao nhiêu cách.
VD11. (HVKTQS) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm
công tác ở địa điểm A, 2 người làm địa điểm B, còn 4 người làm việc tại đồn. Hỏi có bao
nhiêu cách phân công.
VI. Phương trình và bất phương trình
VD1. Giải các phương trình, bất phương trình sau
a)
( 1)!
72
( 1)!
n
n
+
=
−
b)
!

( 2)!
20
n
n
n
= −
c)
! !
3
( 2)! ( 1)!
n n
n n
− =
− −
d)
! ( 1)! 1
( 1)! 6
n n
n
− −
=
−
e)
1 2 3
7
2
x x x
C C C x+ + =
f)
3

1
4
1 3
1
14
n
n
n
C
A P
−
−
+
<
h)
( )
1 1 1
1 1
: : 10: 2:1
y y y y
x x x x
A yA A C
− − −
− −
+ =

i) (ĐHSPTPHCM)
2 1
14 14 14
2

k k k
C C C
+ +
+ =
j)
1 2
7 7 7
; ;
k k k
C C C
+ +
lập thành CSC
VII. Nhị thức Niu Tơn
1. Sử dụng công thức tổng quát để xác định hệ số
VD1. Cho khai triển (x
13
+xy)
15
.
a) Tìm số hạng tổng quát của khai triển. b) Tìm số hạng thứ 7 của khai
triển.
c) Tìm hai số hạng đứng chính giữa khai triển. d) Tìm số hạng chứa x
25
y
10
.

17
.
VD2. Cho biết hệ số của hạng tử thứ 3 trong khai triển nhị thức:

3
2
n
x
x x
x
 
+
 ÷
 ÷
 
bằng 36.
Hãy tìm hạng tử thứ 7 và tìm hạng tử không chứa x.
VD3. Cho khai triển
28
3
15
n
x x x
−
 
+
 ÷
 
. a) Tìm n biết
1 2
79
n n n
n n n
C C C

− −
+ + =
.
b) Tìm số hạng không phụ thuộc vào x
c) Tìm số hạng đứng chính giữa của khai triển.
VD4. Cho biết 3 hạng tử đầu tiên của khai triển
4
1
2
n
x
x
 
+
 ÷
 
có các hệ số là 3 số hạng
liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm các hạng tử có số mũ của x là số nguyên.
VD5. Tìm các hạng tử là số nguyên của khai triển:
( )
6
3 15−
VD6. Trong khai triển
( )
124
4
3 5+
có bao nhiêu hạng tử là số nguyên.
2. Giải phương trình
VD1. Tìm số thực x sao cho hạng tử thứ 4 của khai triển

6
12
(lg 1)
1
x
x
x
+
 
+
 ÷
 ÷
 
là 200.
VD2. Tìm giá trị của x sao cho hạng tử thứ 6 của khai triển
1
1
2
2
7
1
;log (3 1)
log 9 7
5
2 2
x
x
−
+
−

+
+
 
+
 
 
là 84.
3. Tìm hệ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một khai triển
VD1. Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển
( )
1
n
x+
có tỉ số
1
: 7:15
k k
n n
C C
+
=
. Khi đó hãy tìm hạng tử có hệ số lớn nhất trong khai triển.
VD2. Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (1+x)
n
cho biết tổng của tất cả các hệ số là 4096.
VD3. Trong khai triển của
10
1 2
3 3
x

 
+
 ÷
 
thành đa thức : a
0
+a
1
x+….+a
10
x
10
. Hãy tìm hệ số a
k

lớn nhất.
4. Một số dạng khác
VD1. Khai triên S = (x+1)
12
+(x+1)
13
….+(x+1)
17
= a
0
+a
1
x+a
2
x

2
+…+a
17
x
17
a) Tìm a
0
b) Tìm a
12
c) Tìm a
15
d) Tìm a
17
VD2. Khai triển (x-2)
100
=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+…+a
100
x
100
a) Tìm a
97
b) T= a

0
+a
1
+…+a
100
c) S=a
0
-a
1
+a
2
-a
3
+….+a
100
P=a
1
+2a
2
+3a
3
+…+100a
100
VD3. Khai triển: (1+2x+3x
2
)
10
= a
0
+a

1
x+….+a
20
x
20
a) Tìm a
1
, a
20
, a
4
b) Tính S = a
0
+a
1
+…+a
20.
5. Rút gọn và chứng minh đẳng thức sử dụng nhị thức Niu Tơn
VD1. Tính giá trị các biểu thức sau:
1)
0 1 6
6 6 6
S C C C= + + +
2)
0 1 2 2 5 5
5 5 5 5
2 2 2S C C C C= + + + +
3)
0 1

n
n n n
S C C C= + + +
4)
0 1 2 2
2 2 2
n n
n n n n
S C C C C= + + + +
5)
0 1 2 3
( 1)
n n
n n n n n
S C C C C C= − + − + + −
6)
1 2 2 3 3
1 2 2 2 ( 1) 2
n n n
n n n n
S C C C C= − + − + + −
7)
0 1 2 3 2
2 2 2 2 2

n
n n n n n
S C C C C C= + + + + +

18

.
8)
0 1 2 3 2 1 2
2 2 2 2 2 2

n n
n n n n n n
S C C C C C C
−
= − + − + − +
9)
0 1 2 2 2 3 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
n n
n n n n n
S C C C C C= + + + + +
10)
1 3 2 1
2 2 2

n
n n n
S C C C
−
= + + +
11)
0 2 4 2
2 2 2 2

n
n n n n
S C C C C= + + + +
12)
1 3 3 2 1 2 1
2 2 2
3 3 3
n n
n n n
S C C C
− −
= + + +
13)
0 2 2 4 4 2 2
2 2 2 2
3 3 3
n n
n n n n
S C C C C= + + + +
14)
0 1 2
2
1 1 1 1
( 1) ( 1)
3 3 3 3
k k n n
n n n n n
k n
S C C C C C= − + + + − + + −
15)

0 2 2 4 4
2 2 2
n n n n
n n n n
S C C C C
− −
= + + + +
16)
1 1 3 3 5 5
2 2 2
n n n n
n n n n
S C C C C
− − −
= + + + +
17) CM:
0 2 1 2 2
2
( ) ( ) ( )
n n
n n n n
C C C C+ + + =
18) CM:
0 1 1 0

p p p p
n m n m n m m n
C C C C C C C
−
+

+ + + =

Hướng dẫn: Dùng (1+x)
n
(1+x)
m
=(1+x)
n+m
19)
1 2 3 4 1
2 3 4 ( 1)
n n
n n n n n
S C C C C nC
−
= − + − + + −
20) CM
1 0 1 1
2 ( 1)
n n
n n n
n nC n C C
− −
= + − + +
PHẦN 3. KẾT QUẢ
Sau khi tiến hành các tiết thảo luận của các nhóm học tôi nhận thấy các em tự tin hơn
về kiến thức, về cách trình bày một vấn đề , về tinh thần đoàn kết trong lớp và nhiều em
đã thể hiện được khả năng thuyết trình và phản biện trước tập thể. Đây không phải là lần
đầu tôi áp dụng cho học sinh học tập theo phương pháp này. Năm học 2008-2009, 2009-
2010, 2010-2011, 2011-2012 ở trường THPT Bỉm Sơn đã tiến hành làm với HS lớp các

lớp 10, 11 và hiệu quả rất khả quan, góp phần giúp Trường THPT Bỉm Sơn liên tục vào
tốp 100 toàn quốc về điểm thi Đại học, cao đẳng.
Trong năm học này, tôi áp dụng với lớp 11B8 và kết quả kiểm tra chất lượng bồi
dưỡng năm 2013 của nhà trường lớp 11B8 đạt điểm tương đối cao, trong đó số đạt điểm
giỏi (từ 8.0đ trở lên là 61,2%).
PHẦN 4. KẾT LUẬN
1. Những bài học kinh nghiệm:
Như đã nêu trên, muốn cho học sinh học tốt hơn đối với môn học này thì người
giáo viên phải có một số kỹ năng sau:
* Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề.
* Kỹ năng giúp học sinh biết tư duy, tổng hợp và sáng tạo.
* Kỹ năng trình bài lời giải và thuyết trình trước tập thể.
2. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm:
Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm là nhằm tạo ra động lực thúc đẩy học sinh tích
cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân nói riêng và kết quả
giáo dục của nhà trường nói chung.
3. Khả năng ứng dụng, triển khai:

19
.
Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm là phương pháp nêu vấn đề và
phân tích, hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề và cực kỳ hiệu quả đối với các lớp nền.
Rất mong các thầy cô tuyên truyền, cổ vũ và ủng hộ cho cách làm này để nhiều học
sinh có cơ hội được học tập sáng tạo theo hướng tích cưc, chủ động.
PHẦN 5. LỜI KẾT
• Trên đây là một số kinh nghiệm tổ chức “SEMINAR”. Rất mong các thầy cô góp
ý, bổ sung để sáng kiến được hoàn thiện và được áp dụng phổ biến giới thiệu rộng
rãi cho học sinh và đồng nghiệp. Về phần tác giả hy vọng sẽ có nhiều chương trình
“SEMINAR” ở tất cả các bộ môn để các tiết dạy thêm phần phong phú, để các em
có cơ hội bộc lộ bản thân và hướng tới xây dựng nhà trường THPT Bỉm Sơn nói

riêng và các thế hệ học sinh tỉnh Thanh Hóa nói chung với những thế hệ HS giỏi
kiến thức và tài năng trong ứng xử, giải quyết tốt các tình huống.
• Tác giả xin được trân trọng cảm ơn tập thể lớp 11B8 niên khoá 2012-2013.
đã nhiệt tình tham gia và ủng hộ chương trình “SEMINAR” này.
• Sáng kiến kinh nghiệm hẳn còn có nhiều thiếu sót, kính mong các thầy cô góp ý.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Bỉm Sơn, ngày 02 tháng 5 năm 2013
GIÁO VIÊN THỰC HIỆN
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép
nội dung của người khác.


Hoàng Minh Hiển
NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG

20
.
MỤC LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Các đề thi đại học thống nhất toàn quốc từ năm 2002 đến nay.
2. Bộ tài liệu ôn thi đại học (TS. Vũ Thế Hựu - NXB đại học sư phạm)
3. Báo toán học và tuổi trẻ.
4. Các chuyên đề ôn thi đại học

Stt Nội dung Trang
1 Phần I: Mở đầu 1
2 Phần II: Nội dung 2-3
3 Chuyên đề : Phương trình, bất phương trình vô tỉ 3-5

4 Chuyên đề : Hệ phương trình 5-8
5 Chuyên đề : Phương trình lượng giác 8-11
6 Chuyên đề : Đường thẳng, đường tròn. 11-14
7 Chuyên đề : Đại số tổ hợp 14-18
8 Phần III: Kết quả 19
9 Phần IV: Kết luận 19
10 Phần V: Lời kết. 20
11 Nhận xét đánh giá của hội đồng khoa học nhà trường 20
21