Tài liệu Bài tập hình học 10 chương 1

BÀI TẬP HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG I
nttrieu.wordpress.com
1 Sử dụng các kiến thức cơ bản
1.1 Hãy tính số các vec tơ (khác
−→
0 ) mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm phân
biệt đã cho trong các trường hợp sau:
a) Hai điểm.
b) Ba điểm.
c) Bốn điểm.
1.2 Cho hình vuông ABCD tâm O. Liệt kê tất cả các vec tơ bằng nhau (khác
−→
0 ) nhận đỉnh
và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối.
1.3 Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD
và DA. Chứng minh:
−−→
NP =
−−→
MQ và
−→
P Q =
−−→
NM.
1.4 Cho tam giác ABC. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC. So
sánh độ dài của hai vec tơ
−−→
NM và
−−→
BC. Vì sao hai vec tơ đó cùng phương.
1.5 Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D. Chứng minh rằng nếu

−→
AB =
−−→
DC thì
−−→
AD =
−−→
BC.
1.6 Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
a)
−→
AB và
−→
AC cùng hướng, |
−→
AB| > |
−→
AC|.
b)
−→
AB và
−→
AC cùng hướng.
c)
−→
AB và
−→
AC cùng phương,
1.7 Cho hình bình hành ABCD. Dựng
−−→

AM =
−→
BA,
−−→
MN =
−−→
DA,
−−→
NP =
−−→
DC,
−→
P Q =
−−→
BC. Chứng
minh
−→
AQ =
−→
0
1.8 Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:
−→
EF =
−−→
CD
1.9 Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
Điểm I là giao điểm của AM và BN , K là giao điểm của DM và CN . Chứng minh:
−−→
AM =
−−→

NC,
−−→
DK =
−→
NI
1.10 Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B

là điểm
đối xứng với B qua O. Chứng minh
−−→
AH =
−−→
B

C
1
2 Sử dụng tổng và hiệu hai vec tơ
2.1 Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
a) Tìm tổng của hai vec tơ
−−→
NC và
−−→
MC;
−−→
AM và
−−→
CD;
−−→
AD và
−−→

NC.
b) Chứng minh:
−−→
AM +
−−→
AN =
−→
AB +
−−→
AD.
2.2 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh
−→
OA +
−−→
OB +
−→
OC +
−−→
OD +
−−→
OE +
−→
OF =
−→
0
2.3 Cho tam giác ABC. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC.
a) Tìm hiệu
−−→
AM −
−−→

AN;
−−→
MN −
−−→
NC;
−−→
MN −
−−→
P N;
−−→
BP −
−→
CP .
b) Phân tích
−−→
AM theo hai vec tơ
−−→
MN và
−−→
MP .
2.4 Cho hình thoi ABCD có

BAD = 60
◦
và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính |
−→
AB +
−−→
AD|; |

−→
BA −
−−→
BC|; |
−−→
OB −
−−→
DC|.
ĐS: |
−→
AB +
−−→
AD = a
√
3|; |
−→
BA −
−−→
BC| = a
√
3; |
−−→
OB −
−−→
DC| =
a
√
3
2
2.5 Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo. Hãy tính |

−→
OA −
−−→
CB|; |
−→
AB +
−−→
DC|; |
−−→
CD −
−−→
DA|.
ĐS:
a
√
2
2
; 2a; a
√
2.
2.6 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F . Chứng minh rằng
−−→
AD +
−−→
BE +
−→
CF =
−→
AE +
−−→

BF +
−−→
CD.
2.7 Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng
−→
AC +
−−→
DE −
−−→
DC −
−−→
CE +
−−→
CB =
−−→
CB.
2.8 Cho tam giác ABC. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và BC. Chứng
minh rằng với điểm O bất kỳ ta có
−→
OA +
−−→
OB +
−→
OC =
−−→
OM +
−−→
ON +
−→
OP

2.9 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho
AE = EF = F C; BE cắt AM tại N . Chứng minh
−−→
NA và
−−→
NM là hai vec tơ đối nhau.
2.10 Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau
a)
−−→
MA −
−−→
MB =
−→
BA b)
−−→
MA −
−−→
MB =
−→
AB c)
−−→
MA +
−−→
MB =
−→
0
2.11 Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu |
−→
CA +
−−→

CB| = |
−→
CA −
−−→
CB| thì tam giác ABC
vuông tại C.
2.12 Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh
−→
AB +
−−→
BC +
−−→
CD =
−→
AE −
−−→
DE.
2.13 Cho 3 điểm O, A, B không thẳng hàng. Với điều kiện nào thì vec tơ
−→
OA +
−−→
OB nằm trên
đường phân giác của

AOB ?
2.14 Cho 2 lực
−→
F
1
và

−→
F
2
có điểm đặt O và tạo với nhau góc 60
◦
. Tìm cường độ tổng hợp lực
của hai lực ấy biết rằng cường độ của hai lực
−→
F
1
và
−→
F
2
đều là 100 N.
ĐS: 100
√
3 N.
2.15 Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là một điểm bất kỳ trên đường chéo AC. Qua O kẻ
các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt AB và
DC lần lượt tại M và N , cắt AD và BC lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng
a)
−→
OA +
−→
OC =
−−→
OB +
−−→
OD b)

−−→
BD =
−−→
ME +
−−→
F N
2
3 Sử dụng tích vec tơ với số thực
3.1 Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng
−→
AB +
−→
AC +
−−→
AD = 2
−→
AC
3.2 Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vec tơ
−→
AB,
−−→
BC,
−→
CA theo hai vec tơ
−→
u =
−−→
AK,
−→
v =

−−→
BM.
3.3 Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho
−−→
MB = 3
−−→
MC.
Hãy phân tích vec tơ
−−→
AM theo hai vec tơ
−→
u =
−→
AB,
−→
v =
−→
AC
3.4 Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh
rằng
a) 2
−−→
DA +
−−→
DB +
−−→
DC =
−→
0 .
b) 2

−→
OA +
−−→
OB +
−→
OC = 4
−−→
OD với O tùy ý.
3.5 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng
minh rằng
2
−−→
MN =
−→
AC +
−−→
BD =
−−→
BC +
−−→
AD.
3.6 Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho
3
−−→
KA + 2
−−→
KB =
−→
0 .
3.7 Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho

−−→
MA +
−−→
MB + 2
−−→
MC =
−→
0 .
3.8 Cho lục giác ABCDEF . Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, F A.
Chứng minh rằng hai tam giác MP R và NQS có cùng trọng tâm.
3.9 Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi
D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, CA, AB. Chứng minh rằng
−−→
MD +
−−→
ME +
−−→
MF =
3
2
−−→
MO.
3.10 Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF . Đặt
−→
u =
−→
AE,
−→
v =

−→
AF . Hãy phân tích các vec
tơ
−→
AI,
−→
AG,
−→
AE,
−−→
DC theo hai vec tơ
−→
u ,
−→
v .
ĐS:
−→
AI =
1
2
−→
u +
1
2
−→
v ;
−→
AG =
2
3

−→
u +
2
3
−→
v ;
−−→
DE = −
−→
v ;
−−→
DC =
−→
u −
−→
v .
3.11 Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích vec tơ
−−→
AM theo hai vec tơ
−→
u =
−→
AB,
−→
v =
−→
AC.
ĐS:
−−→
AM =

1
3
−→
u +
2
3
−→
v .
3.12 Cho ABC có trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh
AC sao cho AK =
1
3
AC. Chứng minh B, I, K thẳng hàng.
ĐS:
−−→
BK =
4
3
−→
BI.
3.13 Cho ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi
−−→
BC +
−−→
MA =
−→
0 ;
−→
AB −
−−→

NA −3
−→
AC =
−→
0 .
Chứng minh MN  AC.
ĐS:
−−→
MN = 2
−→
AC.
3
3.14 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng:
2
−−→
MN =
−→
AC +
−−→
BD
3.15 Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng
−→
AB + 2
−→
AC +
−−→
AD = 3
−→
AC
3.16 Chứng minh rằng nếu G và G


lần lượt là trọng tâm của hai ABC và A

B

C

thì
3
−−→
GG

=
−−→
AA

+
−−→
BB

+
−−→
CC

3.17 Cho ABC có D là trung điểm của BC. Xác định vị trí của điểm G biết
−→
AG = 2
−−→
GD.
3.18 Cho 2 điểm A và B. Tìm điểm I sao cho

−→
IA + 2
−→
IB =
−→
0 .
3.19 Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho
−→
GA +
−−→
GB +
−→
GC +
−−→
GD =
−→
0
3.20 Cho ABC và A

B

C

. Chứng minh nếu
−−→
AA

+
−−→
BB


+
−−→
CC

=
−→
0 thì hai tam giác đó
có cùng trọng tâm.
3.21 Cho hai vec tơ không cùng phương
−→
a và
−→
b . Dựng các vec tơ a) 2
−→
a +
−→
b ; b)
−→
a − 2
−→
b
c) −
−→
a +
1
2
−→
b .
3.22 Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O và cạnh a.

a) Phân tích
−−→
AD theo hai vec tơ
−→
AB và
−→
AF .
b) Tính độ dài của vec tơ
1
2
−→
AB +
1
2
−−→
BC theo a.
ĐS: a)
−−→
AD = 2
−→
AB + 2
−→
AF ; b)
a
√
3
2
.
3.23 Cho ABC có M là trung điểm của BC. Phân tích
−−→

AM theo
−→
AB và
−→
AC.
ĐS:
−−→
AM =
1
2
−→
AB +
1
2
−→
AC.
3.24 Cho ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho
NA = 2NC. Gọi K là trung điểm của M N . Phân tích
−−→
AK theo
−→
AB và
−→
AC.
ĐS:
−−→
AK =
1
4
−→

AB +
1
3
−→
AC.
3.25 Cho ABC. Dựng
−−→
AB

=
−−→
BC,
−−→
CA

=
−→
AB,
−−→
BC

=
−→
CA.
a) Chứng minh A là trung điểm của B

C

.
b) Chứng minh các đường thẳng AA


, BB

, CC

đồng quy.
3.26 Cho ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho CI =
1
4
CA, J là điểm thỏa
−→
BJ =
1
2
−→
AC −
2
3
−→
AB.
a) Chứng minh
−→
BI =
3
4
−→
AC −
−→
AB.
b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng.

c) Hãy dựng điểm J thỏa mãn điều kiện đề bài.
3.27 Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh với M
bất kỳ ta có
−−→
MA +
−−→
MB +
−−→
MC +
−−→
MD = 4
−−→
MO.
3.28 Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Chứng minh ANP và CM Q có cùng trọng tâm.
3.29 Cho tứ giác ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD.
Chứng minh
−→
AB +
−−→
CD = 2
−→
IJ.
3.30 Cho ABC.
4
a) Tìm điểm K sao cho
−−→
KA + 2
−−→
KB =

−−→
CB.
b) Tìm điểm M sao cho
−−→
MA +
−−→
MB + 2
−−→
MC =
−→
0 .
ĐS: a) K là trọng tâm của ABC; b) M là trung điểm IC với I là trung điểm AB.
3.31 Cho ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối
xứng của A qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Chứng minh:
−−→
HA +
−−→
HD = 2
−−→
HO;
−−→
HA +
−−→
HB +
−−→
HC = 2
−−→
HO;

−→
OA +
−−→
OB +
−→
OC =
−−→
OH.
c) Gọi G là trọng tâm của ABC. Chứng minh
−−→
OH = 3
−→
OG. Từ đó có kết luận gì về 3 điểm
O, H, G.
ĐS: c) O, H, G thẳng hàng.
4 Sử dụng hệ trục tọa độ
4.1 Trên trục (O;
−→
e ) cho các điểm A, B, M, N lần lượt có tọa độ −4; 3; 5; −2.
a) Biểu diễn các điểm đã cho trên trục.
b) Tính độ dài đại số của các vec tơ
−→
AB,
−−→
AM,
−−→
MN.
4.2 Trên trục (O;
−→
e ) cho các điểm A, B, C tùy ý.

a) AB = AB nếu
−→
AB cùng hướng với
−→
e .
b) AB = −AB nếu
−→
AB ngược hướng với
−→
e .
c) AB + BC = AC.
4.3 Cho hình vuông ABCD có cạnh a = 5. Chọn hệ trục tọa độ (A;
−→
i ;
−→
j ) trong đó
−→
i và
−−→
AD
cùng hướng,
−→
j và
−→
AB cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai
đường chéo, trung điểm N của BC và trung điểm M của CD.
4.4 Cho hình bình hành ABCD có AD = 4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3,

BAD = 60
◦

.
Chọn hệ trục tọa độ (A;
−→
i ;
−→
j ) sao cho
−→
i và
−−→
AD cùng hướng. Tìm tọa độ của các vec tơ
−→
AB,
−−→
BC,
−−→
CD,
−→
AC.
4.5
4.6 Cho ABC. Các điểm M(1; 0), N(2; 2), P (−1; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC, CA, AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
4.7 Cho hình bình hành ABCD có A(−1; 3), B(2; 4), C(0; 1). Tìm tọa độ đỉnh D.
ĐS: D(−3; 0).
4.8 Cho ba điểm A(−1; 1), B(1; 3), C(−2; 0). Chứng minh A, B, C thẳng hàng.
4.9 Cho A(3; 4), B(2; 5). Tìm x để C(−7; x) thuộc đường thẳng AB.
ĐS: x = 14.
4.10 Cho A(0; 1), B(1; 3), C(2; 7), D(0; 3). Chứng minh AB  CD.
4.11 Cho ABC có A(3; 2), B(−11; 0), C(5; 4). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác.
ĐS: G(−1; 2).
4.12 Cho ABC có A(1; −1), B(5; −3), đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm tọa độ

điểm C.
ĐS: C(0; 4).
5
4.13 Cho A(−2; 1), B(4; 5). Tìm tọa độ điểm C sao cho tứ giác OACB là hình bình hành với
O là gốc tọa độ.
ĐS: C(2; 6).
4.14 Viết tọa độ của các vec tơ sau:
−→
a = 2
−→
i + 5
−→
j ;
−→
b =
5
3
−→
i − 5
−→
j ; c = 3
−→
i ;
−→
d = −2
−→
j .
4.15 Viết vec tơ
−→
u dưới dạng

−→
u = x
−→
i +y
−→
j khi biết tọa độ của
−→
u là (−3; 2), (4; −1), (3; 0), (0; −2).
4.16 Cho
−→
a = (1; −3),
−→
b = (0; 2). Tìm tọa độ của các vec tơ
−→
x =
−→
a +
−→
b ;
−→
y =
−→
a −
−→
b ;
−→
z =
3
−→
a − 4

−→
b .
4.17 Xét xem các cặp vec tơ sao có cùng phương không ? Trong trường hợp cùng phương thì
xét xem chúng cùng hướng hay ngược hướng
a)
−→
a = (2; 3),
−→
b = (−10; −15) b)
−→
u = (0; 7),
−→
v = (0; 5)
c)
−→
m = (−2; 1),
−→
n = (−6; 3) d)
−→
c = (3; 4),
−→
d = (6; 9)
4.18
a) Cho A(−1; 8), B(1; 6), C(3; 4). Chứng minh A, B, C thẳng hàng.
b) Cho A(1; 1), B(3; 2) và C(m + 4; 2m + 1). Tìm m để A, B, C thẳng hàng.
4.19 Cho bốn điểm A(−2; −3), B(3; 7), C(0; 3), D(−4; −5). Chứng minh AB  CD.
4.20 Cho ABC. Các điểm M(1; 1), N(2; 3), P (0; −4) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
4.21 Cho hình bình hành ABCD. Biết A(2; −3), B(4; 5), C(0; −1). Tìm tọa độ của đỉnh D.
4.22 Cho ABC đều có cạnh a. Chọn hệ tọa độ (O;

−→
i ;
−→
j ) trong đó O là trung điểm của cạnh
BC,
−→
i cùng hướng với
−→
OC,
−→
j cùng hướng với
−→
OA.
a) Tính tọa độ của các đỉnh của ABC.
b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC.
c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC.
4.23 Cho lục giác đều ABCDEF . Chọn hệ tọa độ (O;
−→
i ;
−→
j ) trong đó O là tâm của lục giác
đều, hai vec tơ
−→
i và
−−→
OD cùng hướng,
−→
j và
−−→
EC cùng hướng. Tính tọa độ các đỉnh của lục

giác biết độ dài cạnh của lục giác là 6.
5 Một số dạng tổng hợp
5.1 Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và
CD. Nối AF và CE, hai đường này cắt đường chéo BD lần lượt tại M và N. Chứng minh
−−→
DM =
−−→
MN =
−−→
NB.
5.2 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF với A, D, F không thẳng hàng. Dựng các vec tơ
−−→
EH và
−→
F G bằng
−−→
AD. Chứng minh tứ giác CDGH là hình bình hành.
5.3 Cho 4 điểm A, B, C, D. Tìm các vec tơ
a)
−→
u =
−→
AB +
−−→
DC +
−−→
BD +
−→
CA b)
−→

v =
−→
AB +
−−→
CD +
−−→
BC + |vtDA.
5.4 Cho lục giác đều ABCDEF và M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng
−−→
MA + |vtMC +
−−→
ME =
−−→
MB +
−−→
MD +
−−→
MF
6
5.5 Cho ABC. Tìm M thỏa mãn điều kiện
−−→
MA −
−−→
MB +
−−→
MC =
−→
0 .
5.6 Cho ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF =
F C, BE cắt trung tuyến AM tại N. Tính

−→
AE +
−→
AF +
−−→
AN +
−−→
MN.
5.7 Cho hai điểm A và B. Điểm M thỏa mãn điều kiện |
−−→
MA +
−−→
MB| = |
−−→
MA −
−−→
MB|. Chứng
minh rằng OM =
1
2
AB với O là trung điểm của AB.
5.8 Cho ABC và M tùy ý. Chứng minh
−→
v =
−−→
MA + vtMB −2
−−→
MC không phụ thuộc vào vị
trí của điểm M. Hãy dựng điểm D sao cho
−−→

CD =
−→
v .
5.9 Cho ABC. Gọi M, N, P là những điểm được xác định như sau
−−→
MB = 3
−−→
MC,
−−→
NC = 3
−−→
NA,
−→
P A = 3
−−→
P B
a) Chứng minh 2
−−→
OM = 3
−→
OC −
−−→
OB.
b) Chứng minh hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.
5.10 Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm của CD. Hãy phân tích
−→
AE theo hai vec tơ
−→
u =
−−→

AD,
−→
v =
−→
AB.
5.11 Cho hình thoi ABCD tâm O có AC = 8, BD = 6. Chọn hệ tọa độ (O;
−→
i ;
−→
j ) sao cho
−→
i
và
−→
OC cùng hướng,
−→
j và
−−→
OB cùng hướng.
a) Tính tọa độ các đỉnh của hình thoi.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của BC và trọng tâm của ABC.
c) Tìm tọa độ điểm đối xứng I’ của I qua tâm O. Chứng minh A, I’, D thẳng hàng.
d) Tìm tọa độ của các vec tơ
−→
AC,
−−→
BD,
−−→
BC.
7