hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán về số phức trong các kỳ thi vào đại học - cao đẳng

A . ĐẶT VẤN ĐỀ.
1. Với mục tiêu “ Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình
thành đội ngũ lao động có tri thức và tay nghề, có năng lực thực hành, tự chủ, năng
động, sáng tạo, có đạo đức cách mang, tinh thần yêu nước, yêu CNXH” (Trích văn
kiện Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ VII) những năm vừa qua giáo dục nước ta đã
và đang có những đổi mới mạnh mẽ cả về nội dung, phương pháp và đã thu được
những kết quả khả quan.
2. Việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạo
những con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt. Đổi mới phương pháp dạy học
không chỉ trong các bài giảng lí thuyết, mà ngay cả trong quá trình luyện tập. Luyện
tập ngoài việc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận mà thông qua qua đó
còn giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiến
thức một cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài
tập một cách năng động sáng tạo.
3. Về mặt phương pháp, từ các phương pháp dạy truyền thống như phương pháp
dùng lời (thuyết trình, đàm thoại ), các phương pháp trực quan, các phương pháp
thực hành, luyện tập đến các xu hướng dạy học hiện đại như: dạy học giải quyết
vấn đề, lý thuyết tình huống, dạy học phân hóa, dạy học có sự hỗ trợ của công nghệ
thông tin, có sử dụng máy tính điện tử đã tạo ra một không khí học tập hoàn toàn
mới.
4. Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ thông
là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học Toán ở
trường phổ thông
.
Việc đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay nhằm phát huy
tính tích cực của học sinh, qua đó khai thác tính chủ động tiếp thu và khám phá tri
thức của các em, tạo hứng thú trong học tập.
5.Trên cơ sở tinh thần đó, tôi cũng đã có những đổi mới về mặt phương pháp để
phù hợp với giáo dục trong giai đoạn hiện nay. Trong quá trình giảng dạy ở trường
phổ thông, bản thân tôi cũng đã dự nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã trực tiếp bồi
dưỡng học sinh ôn thi vào Đại hoc - Cao đẳng hay bồi dưỡng học sinh khá giỏi,

1
song chúng tôi nhận thấy rằng việc phát huy trí lực của học sinh còn nhiều hạn chế.
Nhiều bài toán trong các kỳ thi vào Đại học, thi HSG mặc dù có thể áp dụng các
kiến thức cơ bản và thêm một chút sáng tạo là có thể giải được, thế nhưng đa số các
em gặp khó khăn. Chúng tôi thấy rằng, việc dạy học theo hướng khuyến khích tư
duy sáng tạo và tìm mối liên hệ linh hoạt giữa các phần kiến thúc cần được quan tâm
hơn, đặc biệt là trong việc dạy học bồi dưỡng học sinh ôn thi vào Đại học trong các
trường phổ thông là việc làm rất cần thiết hiện nay. Với tinh thần đó, tôi xin giới
thiệu và trình bày một chuyên đề nhỏ là “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số
bài toán về số phức trong các kỳ thi vào Đại học - Cao đẳng” trong những năm
gần đây. Mặc dù đã cố gắng nhiều song không thể tránh khỏi sai sót, tôi rất mong
được sự góp ý chân thành của các thầy, cô đồng nghiệp!
2
B . GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i
thoả mãn i
2
= -1. Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi .
i được gọi là đơn vị ảo
a được gọi là phần thực. Ký hiệu Re(z) = a
b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b
Tập hợp các số phức ký hiệu là C.
*) Một số lưu ý:
- Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0.
- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
2. Hai số phức bằng nhau.
Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i; z = z’ ⇔
'

'
a a
b b
=


=

3. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi .
4. Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

' ( ') ( ')
' ( ') ( ')
z z a a b b i
z z a a b b i
+ = + + +


− = − + −

5. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
' ' ' ( ' ' )zz aa bb ab a b i
= − + −
6. Số phức liên hợp.
*) Cho số phức z = a + bi. Số phức
z

= a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên.
Vậy
z
=
a bi+
= a - bi
Chú ý: 1
0
)
z
= z ⇒ z và
z
gọi là hai số phức liên hợp với nhau.
2
0
) z.
z
= a
2
+ b
2
*) Tính chất của số phức liên hợp:
3
(1):
z z=
; (2):
' 'z z z z+ = +
; (3):
. ' . 'z z z z=
; (4): z.

z
=
2 2
a b+
(z = a + bi)
7. Môđun của số phức.
Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu
z
là môđun của số phư z, đó là số thực không
âm được xác định như sau:
- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì
z
=
OM
uuuuuv
=
2 2
a b+
- Nếu z = a + bi, thì
z
=
.z z
=
2 2
a b+
8. Phép chia số phức khác 0.
- Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a
2
+b
2

> 0 ).Ta định nghĩa số nghịch đảo z
-1
của
số phức z ≠ 0 là số: z
-1
=
2
2 2
1 1
z z
a b
z
=
+
- Thương
'z
z
của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:
1
2
' '.
.
z z z
z z
z
z
−
= =
* Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính
chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực

thông thường.
9. Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là một điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức
z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được gọi là một
acgumen của z.
Như vậy nếu ϕ là một acgumen của z, thì mọi acgumen đều có dạng: ϕ + 2kπ, k ∈ Z.
10. Dạng lượng giác của số phức.
Xét số phức z = a + bi ≠ 0 (a, b ∈ R). Gọi r là môđun của z và ϕ là một acgumen
của z. Ta có: a = rcosϕ , b = rsinϕ
z = r(cos
ϕ
+isin
ϕ
), trong đó r > 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0.
z = a + bi (a, b ∈ R) gọi là dạng đại số của z.
11. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác.
Nếu z = r(cos
ϕ
+isin
ϕ
)
z' = r’(cos
ϕ
’ +isin
ϕ
’) (r ≥ 0, r’ ≥ 0)
thì: z.z’ = r.r[cos(
ϕ
+
ϕ
’) +isin(

ϕ
+
ϕ
’)]
4
[ ]
' '
os( ' ) isin( ' )
z r
c
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − + −
khi r > 0.
12. Công thức Moivre.
[z = r(cos
ϕ
+isin
ϕ
)]
n
= r
n
(cos n
ϕ
+isin n
ϕ
)
13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.
Cho số phức z = r(cos

ϕ
+isin
ϕ
) (r>0)
Khi đó z có hai căn bậc hai là:
os isin
2 2
r c
ϕ ϕ
 
+
 ÷
 

và -
os isin
2 2
r c
ϕ ϕ
 
+
 ÷
 
=
os isin
2 2
r c
ϕ ϕ
π π
 

   
+ + +
 ÷  ÷
 ÷
   
 
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Chúng ta đã biết, Số phức có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh của khoa học,
kỹ thuật, suốt một thời gian dài chỉ được giảng dạy ở các trường Đại học, Cao đẳng
và Trung học chuyên nghiệp mà không giảng dạy ở phổ thông nên đã gây ra sự thiệt
thòi cho nhiều học sinh không có điều kiện học tiếp. Trước những đòi hỏi khách
quan của thời đại bùng nổ thông tin và khoa học kỹ thuật hiện đại ngày nay, Bộ GD
– ĐT đã đưa phần Số phức về giảng dạy cho học sinh khối THPT (học sinh lớp 12),
và nó đã tạo ra sự hưởng ứng tích cực của đội ngũ thầy cô giáo và các em học sinh .
Đây không phải là nội dung khó, song là nội dung mới và có những kết quả
khác nhiều so với những gì mà các em học sinh đã biết trước đây trên tập số thực,
bởi vậy phần nào cũng làm cho các em có phần bỡ ngỡ nhất định, do vậy khi dạy
học sinh học, chúng ta cần làm rõ để học sinh thấy được sự ra đời của Số phức là
một thực tế khác quan, nó xuất hiện một cách tự nhiên, đồng thời ta cũng cho các em
thấy rõ từng phần trong kiến thức một cách cẩn thận, chắc chắn.
5
III. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN
Dạng 1: Bài toán xác định một số phức z thỏa mãn một điều kiện cho trước.
1. Thuật toán :
Bước 1: Gọi số phức cần tìm có dạng z = a +b.i (với a, b thực)
Bước 2: Từ các điều kiện ban đầu ta lập hệ phương trình với ẩn là a, b.
Bước 3: Giải hệ phương trình để từ đó tìm a, b.
2. Một số bài tập minh họa :
Bài 1: Tìm số phức z biết
( ) ( )

3
2 2 1z z i i+ = − −
(1)
Lời giải:
Giả sử
z a bi= +
(
,a b R∈
)
z a bi⇒ = −
(1)
3 2 2 3
2( ) (2 3.2 3.2 )(1 )a bi a bi i i i i⇔ + + − = + + + −

2 2 (8 12 6 )(1 ) (11 2)(1 )a bi a bi i i i i i⇔ + + − = + − − − = + −

2
3 11 11 2 2 13 9a bi i i i i⇔ − = − + − = +

13
3 13
13
9
3
9
3
9
a
a
z i

b
b

=
=


⇔ ⇔ ⇒ = −
 
− =


= −


Bài 2: Tìm số phức z biết:
( ) ( )
2
3 3 2 2 (1)z z i i+ = − +
Lời giải
Giả sử
z a bi= +
(
,a b R∈
), ta có:
∈

2
4 2 10 24 5 12 22 19a bi i i i i⇔ + = − + − = −

11 19
;
12 2
a b
−
⇔ = =
. Vậy
11 19
2 2
z i= −
Các em cũng có thể gặp bài toán về việc xác định một số phức mà ở đó giả thiết
của bài toán có sự xuất hiện của số phức liên hợp hoặc mô đun của nó. Ta xét bài
toán sau:
Bài 3: (A-2011) Tìm tất cả các số phức z, biết
2
2
(1)z z z= +
6
Lời giải
Giả sử
z a bi= +
(
,a b R∈
), ta có
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
(1) 2a bi a b a bi a b i abi a b a bi⇔ + = + + − ⇔ + + = + + −

2
2

1 1
;
2 2
2 0
2 2 0 0; 0
2 0
1 1
;
2 2
a b
b a
b a bi abi b a
b ab
a b

= − =



+ =
⇔ + − − = ⇔ ⇔ = =


+ =


− −
= =



Vậy các số phức cần tìm là:
1 1 1 1
0; ;
2 2 2 2
z z i z i
− −
= = + = −
.
Mức độ bài toán cũng có thể nâng cao khi yêu cầu học sinh phải xác định thêm cả
mô đun của nó. Khi đó ta hướng dẫn các em tìm số phức thỏa mãn rồi từ đó xác
định mô đun của nó:
Bài 4: (KD-2012) Cho số phức z thỏa mãn:
2(1 2 )
(2 ) 7 8 (1)
1
i
i z i
i
+
+ + = +
+
Tìm môđun của số phức
1z i
ω
= + +
Lời giải
Giả sử
z a bi= +
(
,a b R∈

), ta có
2(1 2 )
(1) (2 )( ) 7 8
1
i
i a bi i
i
+
⇔ + + + = +
+

2
2
2(1 2 )(1 )
2 2 7 8
1
i i
a bi ai bi i
i
+ −
⇔ + + + + = +
+

2
2 2 1 2 2 7 8a bi ai bi i i i i⇔ + + − + − + − = +

2 3 7 3
2 1 8 2
a b a
b a b

− + = =
 
⇔ ⇔
 
+ + = =
 
Do đó
3 2 1 4 3i i i
ω
= + + + = +
16 9 5
ω
⇒ = + =
.
Bài 5: (KA+A
1
2012) Cho số phức z thỏa mãn
5( )
2 (1)
1
z i
i
z
+
= −
+
Tính môđun của số phức
2
1 z z
ω

= + +
.
Lời giải:
Giả sử z = a + bi (
,a b R∈
), ta có
5( )
(1) 2
1
a bi i
i
a bi
− +
⇔ = −
+ +

7

2
5 5 ( 1) 2 2 2 3 2 (5 5 2 1) 0a i b a bi ai bi i a b i b b a⇔ − − = + + − − − ⇔ − − − − − + + =

3 2 0 1
1
3 4 0 1
a b a
z i
b a b
− − = =
 
⇔ ⇒ ⇒ = +

 
+ − = =
 
Khi đó
1 1 1 2 1 2 3 4 9 13i i i
ω ω
= + + + + − = + ⇒ = + =
Bài 6: (A-2011) Tính môđun của số phức z biết:
(2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2 (1)z i z i i− + + + − = −
Lời giải
Giả sử z = a + bi (
,a b R∈
), khi đó
(1) (2 2 1))(1 ) ( 1)(1 ) 2 2a bi i a bi i i⇔ + − + + − + − = −
2 2
2 2 2 2 1 1 2 2a ai bi bi i a ai bi bi i i⇔ + + + − − + − − + + − = −
3 3 2 2 2a ba ai bi i i⇔ − + + − = −
1
3 3 2
3
2 2 1
3
a
a b
a b
b

=

− =



⇔ ⇔
 
+ − = − −


=


Suy ra
1 1 2
9 9 3
z = + =
.
3. Một số bài tập tương tự :
Bài 7: Tìm phần ảo của z biết:
( ) ( )
3
3 2 2 (1)z z i i+ = + −
Lời giải
Giả sử z = a + bi (
,a b R∈
) khi đó
( )
( ) ( ) ( )
2 3
(1) 3 3 8 12 6 2 2 11 . 2a bi a bi i i i i i i⇔ + + − = + + + − = + −
2
4 2 4 2 22 11 20 15a bi i i i i⇔ − = − + − = +

15
; 10
4
a b⇔ = = −
.
Vậy phần ảo của z bằng -10
Bài 8: Tìm môđun của z biết
( )
2
(1 2) 1
2 (1)
2
i i
z z
i
− +
+ =
−
Lời giải
Giả sử z = a + bi (
,a b R∈
) khi đó

(1) 2 2a bi a bi⇔ + + − =
( )
2
2
(1 2) 1 2
2 2 2
2 2

i i i
i i
i i
− + +
−
=
− −
8

4 2 2 4 2 2
;
15 5
a b
− − −
⇔ = =

32 4 16 2 144 72 144 2 225 128 2
225 15
z
+ − + + + +
⇒ = =
Bài 9: Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức
z x iy= +
thỏa mãn
3
18 26z i= +
Lời giải
Ta có
3 2
3

2 3
3 18
( ) 18 26
3 26
x xy
x iy i
x y y

− =

+ = + ⇔

− =


2 3 3 2
18(3 ) 26( 3 )x y y x xy⇒ − = −
Giải phương trình bằng cách đặt y=tx ta được
1
3, 1
3
t x y= ⇒ = =
. Vậy z=3+i.
4. Một số bài tập tự giải:
Bài 1. Tìm phần thực ; phần ảo;mô đun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:
a.
2 3
1
(2 1) 3 ( 1) 2z i i i i= − − + +
b.

2
3 2
3
2
i
z i
i
−
= −
+
c.
( )
10
4
3 5 2 4z i i= − −
Bài 2. Tìm phần ảo của số phức z, biết:
2
z = ( 2 + i) (1- 2 i)
.
Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn:
2
(2 3 ) (4 ) (1 3 )− + + = − +i z i z i
.
Xác định phần thực và phần ảo của z.
Bài 4. Tính mô đun của các số phưc sau:

3 2 2
1 2 3
(2 3 ) ( 3 4 ); (3 2 ) ; (2 1) (3 )z i i z i z i i= + + − + = − = − − +

Bài 5. Cho số phức z thỏa mãn:
3
(1 3 )
1
−
=
−
i
z
i
. Tìm môđun của
+z iz
.
Bài 6. Tính mô đun của số phức z , biết
(2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2z i z i i− + + + − = −
.
Bài 7. Tìm số phức z thỏa mãn:
6; . 25z z z z+ = =
Bài 8. Tìm số phức z thỏa mãn
| (2 ) | 10− + =z i
và
. 25z z =
.
Bài 9. Tìm số phức z, biết:
5 3
1 0
i
z
z
+

− − =
9
∈
Bài 10. Tìm số phức z biết:
37(1 )
( 2 )( 1 6 )
1
10
i z
z z i
i
−
− − −
=
+
.
Dạng 2: Căn bậc hai và phương trình trên C.
1. Kiến thức liên quan:
Căn bậc hai của số phức:
Định nghĩa: Cho số phức
a bi
ω
= +
Căn bậc hai của số phức
ω
là số phức
1 1
z a b i= +
thỏa mãn
2

z
ω
=
.
Phương trình bậc hai trên tập số phức
Xét phương trình
2
0( , , ; 0)az bz c a b c C a+ + = ∈ ≠
Cách giải:
Tính
2
4b ac∆ = −
Gọi
k±
là căn bậc hai của
∆
, nghiệm của phương trình là:
,
2 2
b k b k
z z
a a
− − − +
= =
Đặc biệt nếu b=2b’, ta tính
'
∆
Gọi
'k±
là căn bậc hai của

'
∆
, nghiệm của phương trình là:
' ' ' '
,
b k b k
z z
a a
− − − +
= =
2. Một số bài tập minh họa :
Bài 1: Tìm các căn bậc hai của số phức
5 12z i= +
Lời giải
Giả sử m + ni (m; n
∈
R) là căn bậc hai của z
Ta có:
2
( ) 5 12m ni i+ = +
2 2 2 2 2
2 5 12 2 5 12m mni n i i m mni n i⇔ + + = + ⇔ + − = +
2 2
2 2
5(1)
5
6
2 12
(2)
m n

m n
mn
m
n

− =

− =

⇔ ⇔
 
=
=



Thay (2) vào (1) ta có:
2
2 4 2
6
5 36 5n n n
n
 
− = ⇔ − =
 ÷
 
4 2 2 2
5 36 0 4; 9( )n n n n loai⇔ + − = ⇔ = = −
10
2 3

2 3
n m
n m
= ⇒ =


= − ⇒ = −

Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.
Từ bài toán xác định các căn bậc hai của một số phức, ta có thể giải được các
phương trình bậc hai trên C. Ta hãy xét bài toán sau:
Bài 2: Giải phương trình:
2
4 7 0z z+ + =
Lời giải
2 2
' 2 7 3 3i∆ = − = − =
⇒
các căn bậc hai của
'∆
là
3i±
Vậy nghiệm của phương trình là:
2 3 , 2 3z i z i= − + = − −
Bài 3: Giải phương trình:
2
(3 8) 11 13 0z i z i− + + + =
Lời giải
2
(3 8) 4(11 13) 4 3i i i∆ = + − + = +

. Giả sử m+ni (m; n
∈
R) là căn bậc hai của
∆
Ta có:
2
( ) 3 4m ni i+ = +
2 2 2
2 3 4m mni n i i⇔ + + = +
2 2
2 3 4m mni n i⇔ + − = +
2 2
2 2
3(1)
3
2
2 4
(2)
m n
m n
mn
n
m

− =

− =

⇔ ⇔
 

=
=



Thay (2) vào (1) ta được:
2
2
2 4 2
2
4
2
3 3 4 0
1(loai)
m
m m m
m
m

=
 
− = ⇔ − − = ⇔

 ÷
  = −

2,m⇒ = ±

1n = ±
vậy

∆
có hai căn bậc hai là 2 + i và -2 - i
Do đó nghiệm của phương trình là
3 8 2
2 5
2
3 8 2
3
2
i i
z i
i i
z i
+ + +

= = +


+ − −

= = +


.
Từ các nghiệm của phương trình, ta có thể xác định các đại lượng liên quan, ta
có bài toán sau:
Bài 4: Gọi
1
z
và

2
z
là hai nghiệm phức của phương trình:

( ) ( )
2
2 1 4 2 5 3 0i z i z i+ − − − − =
. Tính
2 2
1 2
z z+
.
Lời giải
Ta có
∈
. Vậy phương trình có hai nghiệm phức
1 2
3 5 1 1
,
2 2 2 2
z i z i
= − = − −
. Do đó
2 2
1 2
9z z
+ =
.
11
Bên cạnh việc giải các phương trình bậc hai, chúng ta còn gặp các phương

trình bậc cao như bậc 3, bậc 4. Khi đó để giải các phương trình này ta phải biến đổi
để quy về các phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua phương trình tích hoặc
dùng ẩn phụ:
Bài 5: Giải phương trình:
3 2
4 (4 ) 3 3 0 (1)z z i z i+ + + + + =

Lời giải
Dễ thấy z = -i là nghiệm của (1) nên
2
(1) ( )( (4 ) 3 3 ) 0z i z i z i⇔ + + − + − =
2
0
(4 ) 3 3 0(2)
z i
z i z i
+ =

⇔

+ − + − =

Giải (2):
2 2 2
(4 ) 12 12 16 1 8 12 12 3 4 4 2.2. (2 )i i i i i i i i∆ = − − + = − − − + = + = + + = +
Vậy
∆
có hai căn bậc hai là: 2 + i và -2-i
Do đó nghiệm của (2) là
4 2

1
2
4 2 2
3
2
i i
z i
i i
z
− + + +

= = − +


− + − − −

= = −


Vậy (1) có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i.
Bài 6: Gọi
1 2 3 4
, , ,z z z z
là bốn nghiệm của phương trình
4 3 2
2 6 4 0z z z z− − + − =
trên tập
số phức tính tổng:
2 2 2 2
1 2 3 4

1 1 1 1
S
z z z z
= + + +
.
Lời giải
PT:
4 3 2
2 6 4 0z z z z− − + − =
( ) ( )
( )
2
1 2 2 2 0z z z z⇔ − + − + =
(1)
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của(1)là
1
2
3
4
1
2
1
1
z
z
z i
z i
=



= −


= +

= −

Thay và biểu thức ta có:
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1 2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 5
1
4 4
1 1
S
z z z z
i i
= + + + = + + + =
− +
Bài 7: Giải phương trình sau trên tập số phức C:
2
4 3
1 0
2
z
z z z− + + + =
(1)
Lời giải

Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z
0≠
12
Chia hai vế PT (1) cho z
2
ta được : (
0
2
1
)
1
()
1
2
2
=+−−+
z
z
z
z
(2)
Đặt t=
1
z
z
−
Khi đó
2
1
2

22
−+=
z
zt
2
1
2
2
2
+=+⇔ t
z
z
Phương trình (2) có dạng : t
2
-t+
0
2
5
=
(3)
2
99
2
5
.41 i=−=−=∆
Vậy PT (3) có 2 nghiệm t=
2
31 i+
, t=
2

31 i−
Với t=
2
31 i+
ta có
02)31(2
2
311
2
=−+−⇔
+
=− ziz
i
z
z
(4)
Có
222
)3(696816)31( iiiii +=++=+=++=∆
Vậy PT(4) có 2 nghiệm : z=
i
ii
+=
+++
1
4
)3()31(
, z=
2
1

4
)3()31( −
=
+−+ iii
Do đó PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z=
2
1−i
; z=
2
1−− i
3. Một số bài tập tự giải
Bài 1: Tìm các căn bậc 2 của các số phức sau:

5 12 , 7 24 , 1 3 , 23 4 6i i i i− + − − − − −
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1.
2
7 11 0z z i− + + =
2.
2
2(1 2 ) (7 4 ) 0z i z i+ − − + =
3.
2
2(2 ) 6 8 0z i z i− − + − =
4.
2
(2 ) 1 0z i z i− + + + =
5.
3 2
(2 ) (2 2 ) 2 0z i z i z i− + + + − =

13
Dạng 3: Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z.
1.Thuật toán:
Bước 1: Gọi M(x, y) là điểm xác định bởi số phức z = x + y.i thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bước 2: Từ điều kiện ban đầu, ta thiết lập một hệ thức cho x, y.
Bước 3: Từ hệ thức nhận được ta suy ra quỹ tích cần tìm.
2. Một số bài tập minh họa :
Bài 1. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn:
2 3
1(*)
4
z i
z i
+ −
=
− +
Lời giải
Giả sử
z x yi= +
(
,x y
R∈
), ta có
(*) 2 ( 3) 4 ( 1)x y i x y i⇔ + + − = − − −

2 2 2 2
( 2) ( 3) ( 4) ( 1)x y x y⇔ + + − = − + −
3 1 0x y⇔ − − =
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có PT
3 1 0x y− − =

.
Bài 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho
2 3z i
u
z i
+ +
=
−
là một số
thuần ảo.
Lời giải
Giả sử
( , )z x yi x y R= + ∈
, khi đó
2 2
2 3 ( 2 ( 3) )( ( 1) )
( 1) ( 1)
x yi i x y i x y i
u
x y i x y
+ + + + + + − −
= =
+ − + −
Tử số bằng
2 2
2 2 3 2(2 1)x y x y x y i+ + + − + − +
u là số thuần ảo khi và chỉ khi
2 2 2 2
2 2 3 0 ( 1) ( 1) 5
2 1 0 ( ; ) (0;1), ( 2; 3)

x y x y x y
x y x y
 
+ + + − = + + + =
⇔
 
− + ≠ ≠ − −
 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm
( 1; 1)I − −
, bán kính
bằng
5
, khuyết 2 điểm (0;1) và (-2;-3).
14
Bài 3. Tìm quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức
(1 3) 2i z
ω
= + +
biết số phức z
thỏa mãn:
1 2 (1)z − ≤
.
Lời giải
Giả sử
x yi
ω
= +
(
,x y R∈

)
Ta có
2 3 ( 3 )
(1 3) 2 1
1 3 1 3
x yi x y i
x yi i z z z
i i
− + − + −
+ = + + ⇔ = ⇔ − =
+ +
3 ( 3)
(1) 2
1 3
x y i
i
− + −
⇔ ≤
+
2 2
3 ( 3)
( 3) ( 3)
2 2
2
1 3
x y i
x y
i
− + −
− + −

⇔ ≤ ⇔ ≤
+
2 2
( 3) ( 3) 16x y⇔ − + − ≤
Vậy quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức là hình tròn
2 2
( 3) ( 3) 16x y− + − ≤
(kể
cả những điểm nằm trên biên).
Nhận xét: Bên cạnh bài toán tìm quỹ tích điểm, chúng ta còn gặp bài toán liên quan
đến mô đun nhỏ nhất hoặc lớn nhất của số phức. Ta xét bài toán sau:
Bài 4: Biết rằng số phức z thỏa mãn
( 3 )( 1 3 )u z i z i= + − + +
là một số thực. Tìm giá
trị nhỏ nhất của |z|.
Lời giải
Giả sử
z a bi= +
(
,a b R∈
), ta có
( 3 ( 1) )( 1 ( 3) )u a b i a b i= + + − + − −

2 2
4 4 6 2( 4)a b a b a b i= + + − + + − −
4 0 4u R a b a b∈ ⇔ − − = ⇔ = +

2
| |min | | minz z⇔
2 2 2 2 2 2 2

| | ( 4) 2 8 16 2( 2) 8 8z a b b b b b b= + = + + = + + = + + ≥
Dấu = xảy ra khi
2 2b a= − ⇒ =
. Vậy
| |min 2 2z z i⇔ = −
Bài 5: Cho số phức z thỏa mãn:
1 2z i z i+ + = −
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
z
.
Lời giải
Giả sử
z a bi= +
(
,a b R∈
), Ta có
1 2a bi i a bi i+ + + = − −
15
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1 2a b a b⇔ + + + = + +
2 2 2 2
2 1 2 1 4 4 2 2 2 0a a b b a b b a b⇔ + + + + + = + + + ⇔ − − =
1 1a b a b⇒ − = ⇒ = +
( )
2
2 2 2 2
1
1 2 2 1

2
a b b b b b⇒ + = + + = + + ≥
1 1 1
;
2 2 2
z a b
−
⇒ ≥ ⇔ = =
. Vậy
1
2
Min z
=
3. Một số bài tập tự giải :
Bài 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn:
a/
2 z i z+ = −
b.
3
z
z i
=
−
c.
3 4z z i= − +
d.
1
z i
z i
−

=
+
e/
| | | (1 ) |− = +z i i z
f.
| (3 4 ) | 2− − =z i
g.
( )
2
2
z z=
.
Bài 2: Trong các số phức z thỏa mãn:
2 2
3
1
z i
z i
+ +
=
− −
, hãy tìm số phức z có môđun
nhỏ nhất, lớn nhất.
Bài 3: Cho hai số phức
1 2
,z z
thỏa mãn
1 2 2
5, 5 7z i z z
+ = − = −

.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 2
z z−
.
Dạng 4: Bài toán về dang lượng giác của số phức và ứng dụng
1. Kiến thức lien quan:
Xét số phức dạng đại số:
z a bi= +
(
,a b R∈
)
Ta có
2
2 2
2
2 2
a b
z a b i
a b a b
 
= + +
 ÷
 ÷
+ +
 
, nhận xét
2 2
2 2
2 2

1
a b
a b a b
   
+ =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ +
   
Đặt
2 2
2 2
cos = ;sin = ;
a b
a b a b
ϕ ϕ
+ +
Khi đó
2
2
( os +sin )=r( os +isin ) (*)z a b c c
ϕ ϕ ϕ ϕ
= +

( )
2
2
r z a b= = +
(*) Gọi là dạng lượng giác của số phức z,
ϕ

gọi là một acgumen của z.
Nhận xét: Nếu
ϕ
là một acgumen của z thì
2k
ϕ π
+
cũng một acgumen của z.
16
+ Nhân và chia số phức dạng lượng giác.
Cho
1 1 1 1 2 2 2 2
( os +isin ); z = r ( os +isin )z r c c
ϕ ϕ ϕ ϕ
=
. Khi đó
1 2 1 2 1 2 1 2
z r [ os( + )+isin( + )]z r c
ϕ ϕ ϕ ϕ
=
,
1 1
1 2 1 2
2 2
[ os( )+isin( )]
z
z r
c
r
ϕ ϕ ϕ ϕ

= − −
Đặc biệt với
2 2
( os +isin ) z = r ( os2 +isin2 ) z r c c
ϕ ϕ ϕ ϕ
= ⇒

3 3
z = r ( os3 +isin3 ) c
ϕ ϕ

n n
z = r ( osn +isinn ) c
ϕ ϕ
(**)
(**) gọi là công thức moavơrơ.
2. Một số bài tập vận dụng:
Bài 1: Viết số phức sau dạng lương giác:
3z i= −
Lời giải
3
2 2 os sin . 2 os sin
2 2 6 6 6 6
i
z c i c i
π π π π
 
− −
   
= − = − = −

 ÷
 ÷  ÷
   
 
Bài 2(B-2012)Gọi
1
z
;
2
z
là 2 nghiệm phức của phương trình:
2
2 3 4 0z iz− − =
,
viết dạng lượng giác của
1
z
;
2
z
.
Lời giải
2
2 3 . 4 0z i z− − =
,
2
3 4 4 3 1i∆ = + = − =
,
1 2
3 1; 3 1z i z i= − = +

do đó:
1 2
1 3 2 2 1 3
2 2 os s , 2 2 os s
2 2 3 3 2 2 3 3
z i c i in z i c i in
π π π π
   
−
   
= + = + = + = +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
Từ dạng lượng giác của số phức và khai triển nhị thức Niu Tơn, ta có thể dung
tính một số tổng liên quan, ta có bài toán sau
Bài 3. Tính tổng
0 2 4 6 2010 2012
2012 2012 2012 2012 2012 2012
S C C C C C C= − + − + − +
Lời giải
Ta có
2012 0 1 2 2 3 3 2011 2011 2012 2012
2012 2012 2012 2012 2012 2012
(1 ) i C C i C i C i C i C i+ = + + + + + +

2012 0 1 2 2 3 3 2011 2011 2012 2012
2012 2012 2012 2012 2012 2012
(1 ) i C C i C i C i C i C i− = − + − + − +

Suy ra
2012 2012 0 2 6 2010 2012
2012 2012 2012 2012 2012
(1 ) (1 ) 2( 2i i C C C C C S+ + − = − + + − + =
17
Mặt khác
2012 2012 1006 1006
(1 ) [ 2(cos sin )] 2 (cos503 sin503 ) 2
4 4
i i i
π π
π π
+ = + = + = −
2012 2012 1006 1006
(1 ) [ 2(cos sin )] 2 (cos 503 sin 503 ) 2
4 4
i i i
π π
π π
− −
− = + = − + − = −
Từ đó
1006
2S = −
3. Bài luyện tập tự giải:
Bài 1: Cho
2 2z i
= +
. Tìm dạng đại số của
2012

z
Bài 2: Viết số phức sau có dạng lượng giác: z = 2-2i
Bài 3:Tìm acgumen của
2 3 2z i= −
. KQ: acgumen của z là
2
6
k
π
π
−
+
Bài 4. Viết dạng lượng giác số z =
1 3
2 2
i
−
.Suy ra căn bậc hai số phức z:
Bài 5. Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau:
a.
2
sin2sin
2
ϕ
ϕ
i
+
b.
)sin1(cos
ϕϕ

++
i
Bài 6. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
a.
( )
( )
9
10
3
1
i
i
+
+
; b.
2000
2000
1
z
z
+
biết rằng
.1
1
=+
z
z
18
IV. KIỂM NGHIỆM VÀ ĐỐI CHỨNG
Trên cơ sở của chuyên đề này cùng với sự đồng ý của Ban giám hiệu nhà

trường, tổ chuyên môn, tôi đã tiến hành thực hiện bài giảng của mình trên hai lớp
12A1 (sĩ số 44 ), 12A7(sĩ số 42) trong năm học vừa qua, qua việc thực hiện bài
giảng, tôi thu được kết quả rất khả quan, được thể hiện qua bảng số liệu sau:
Đạt điểm 9-10 Đạt điểm 7-8 Đạt điểm 5-6 Đạt điểm dưới 5
Khi chưa
học Chuyên
đề
0 học sinh
Đạt tỉ lệ 0%
5 học sinh
Đạt tỉ lệ 5,5%
12 học sinh
Đạt tỉ lệ 13,2%
64 học sinh
Đạt tỉ lệ 81,3%
Khi đã học
Chuyên đề
13 học sinh
Đạt tỉ lệ 14,3%
21 học sinh
Đạt tỉ lệ
23,1%
27 học sinh
Đạt tỉ lệ 29,7%
30 học sinh
Đạt tỉ lệ 32,9%
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Khai thác những bài toán quen thuộc, ứng dụng những bài toán đơn giản vào
việc giải các bài toán phức tạp hơn là cách dạy học tích cực nhằm phát huy tư duy
toán học của học sinh, giúp học sinh có khả năng vận dụng linh hoạt kiến thức cơ

bản để giải các dạng toán nâng cao phù hợp với nhận thức của học sinh, từ đó làm
cho học sinh yêu thích và hăng say học tập môn toán hơn.
Bằng cách này trong thời gian qua được nhà trường phân công giảng dạy và
bồi dưỡng học sinh thi vào Đại học, Cao đẳng bước đầu đã thu được kết quả đáng
khích lệ. Quá trình vận dụng chuyên đề này cùng với những chuyên đề khác với
19
cách tư duy tương tự đã giúp tôi bồi dưỡng được một lượng học sinh khá, giỏi làm
nòng cốt cho các kỳ thi học sinh giỏi đồng thời các em cũng đạt được điểm số môn
toán rất cao trong kỳ thi tuyển sinh Đại học. Cụ thể số lượng học sinh đạt 27 điểm
trở lên trong kỳ thi Đại học của trường TPHT Lê Lợi – Thọ Xuân ngày càng tăng,
năm học 2011-2012 được xếp trong top 5 trường có số lượng học sinh thi Đại học
đạt điểm cao trong các trường THPT toàn tỉnh Thanh Hóa.
Mặc dù tôi đã rất cố gắng hoàn thiện bài viết một cách cẩn thận nhất, song vẫn
không tránh khỏi những sai sót, rất mong các cấp chuyên môn đóng góp ý kiến bổ
sung để chuyên đề ngày càng hoàn thiện và hữu ích hơn nữa. Cũng rất mong được
sự góp ý của quý đồng nghiệp để chúng tôi có dịp được trau dồi và tích lũy kiến
thức nhằm hoàn thành tốt nhiệm vụ giáo dục được giao.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Lê Đức Trung

20
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách Giáo khoa Giải tích 12 - nâng cao. Nhà xuất bản Giáo dục năm 2012.
2. Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số - Giải tích 12, Thạc sĩ Lê Hoành Phò,
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2010.

3. Phương pháp ôn luyện thi Đại học, cao đẳng chủ đề Số phức, Hoàng Văn
Minh, Nguyễn Quốc Hùng, NXB Đại học Sư pham 2011.
4. Báo toán học và tuổi trẻ từ năm 2009 đến nay.
MỤC LỤC
Nội dung Trang
A. Đặt vấn đề 1
B. Giải quyết vấn đề 3
Thực trạng vấn đề nghiên cứu 5
Dạng 1: Bài toán xác định một số phức z thỏa mãn một điều kiện cho
trước.
6
Dạng 2: Căn bậc hai và phương trình trên C. 10
Dạng 3: Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z. 14
Dạng 4: Bài toán về dang lượng giác của số phức và ứng dụng 16
Kiểm nghiệm và đối chứng 19
21
Kết luận và đề xuất 19
22