skkn hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài toán về dãy tỉ số bằng nhau

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài toán về dãy tỉ số
bằng nhau”
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh THCS
3. Tác giả: Dương Thị Vân

Giới tính : Nữ

Ngày , tháng , năm sinh: 27 / 3 / 1984.
Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán.
Chức vụ: Giaó viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Phả Lại – Chí Linh – Hải Dương.
Điện thoại: 0975 780 845
4. Đồng tác giả : Không
5. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trường THCS Phả Lại
Địa chỉ : Sùng yên – Phả Lại – Chí Linh – Hải Dương.
Điện thoại: 03203 881 326
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường THCS Phả Lại – Chí Linh – Hải
Dương.
Điện thoại: 03203 881 326
7. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
+ Các thiết bị, đồ dùng hỗ trợ giảng dạy: Máy tính, máy chiếu...
+ Sự ủng hộ hợp tác của các tổ chức đoàn thể trong và ngoài nhà trường.
8. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu : Năm học 2014 - 2015
TÁC GIẢ

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG
SÁNG KIẾN

Dương Thị Vân

1


TÓM TẮT SÁNG KIẾN
1.

Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến:
Trong thực tiễn giảng dạy, trên cơ sở việc tìm hiểu và nghiên cứu chuẩn kiến

thức kĩ năng môn Toán tôi thấy việc đổi mới phương pháp giảng dạy môn Toán ở
bậc THCS là vô cùng quan trọng và cần thiết nên tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm
“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài toán về dãy tỉ số bằng nhau” nhằm
mục đích đổi mới phương pháp giảng dạy, rèn kĩ năng cho học sinh giúp học sinh
lĩnh hội kiến thức một cách chủ động và tránh những sai sót trong trình bày một
bài toán cụ thể là dạng toán về dãy tỉ số bằng nhau.
2. Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến:
a. Điều kiện để thực hiện sáng kiến:
+ Các thiết bị, đồ dùng hỗ trợ giảng dạy: Máy tính, máy chiếu...
+ Sự ủng hộ hợp tác của các tổ chức đoàn thể trong và ngoài nhà trường.
b. Thời gian áp dụng: Tháng 10 năm 2014
c. Đối tượng áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 7.
3. Nội dung sáng kiến:
a. Tính mới, tính sáng tạo của sáng kiến:
Sáng kiến kinh nghiệm được xây dựng trên hướng đổi mới hệ thống câu hỏi
mở theo định hướng phát triển năng lực học sinh giúp học sinh chủ động phát hiện
và lĩnh hội kiến thức. Từ đó có thể khắc phục được những sai lầm trong giải toán
cũng như phát triển các bài toán tương tự và nâng cao hơn.
b. Khả năng áp dụng sáng kiến:
Qua thử nghiệm tôi nhận thấy tính thiết thực của sáng kiến ngay ở năm học
đầu tiên áp dụng, vì thế có thể sử dụng sáng kiến này trong những năm học tiếp

theo.
Ngoài ra sáng kiến này còn có thể dễ dàng triển khai, dễ thực hiện một cách
đại trà cho toàn giáo viên trong ngành.
c. Chỉ ra lợi ích thiết thực của sáng kiến
2


Về mức độ kiến thức và thời gian làm bài của học sinh trước và sau khi thực
hiện sáng kiến, kết quả làm bài cho thấy sự tiến bộ rõ rệt trong tư duy của học sinh
sau khi được áp dụng cách học theo nội dung sáng kiến này. Hơn thế nữa, các em
cũng đã tự tin rất nhiều khi gặp những dạng bài mà trước đó có vẻ rất lạ đối với
các em. Trong các tiết dạy phụ đạo tôi nhận thấy các em mạnh dạn, hăng hái, tích
cực và tránh được nhiều sai sót hơn, từ đó có thể các em sẽ không sợ môn Toán và
có đủ nghị lực, quyết tâm vượt qua tình trạng sợ sai trong trình bày lời giải của
mình.
4. Khẳng định giá trị , kết quả đạt được của sáng kiến: Sáng kiến kinh
nghiệm chú ý việc rèn kỹ năng và tư duy cho học sinh lớp 7 giải một số bài toán
về dãy tỉ số bằng nhau nên chắc chắn không gây tốn kém nhiều về kinh phí mà
đồng thời mang lại hiệu quả thiết thực trong công tác giáo dục, nâng cao được
chất lượng giáo dục của bộ môn nói riêng và chất lượng giáo dục của toàn ngành
nói chung. Tạo cho học sinh có được nền tảng kiến thức vững chắc, hình thành
được tính tự tin trong học tập cũng như trong lao động của con người trong thời
đại mới.
5. Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng của sáng kiến
Để nâng chất lượng giáo dục học sinh trong nhà trường được nâng cao, bản
thân tôi có một số kiến nghị sau:
-Về phía nhà trường: Chỉ đạo và theo dõi chặt chẽ công tác bồi dưỡng và phụ
đạo học sinh, chỉ đạo các bộ phận, đoàn thể thực hiện tốt vấn đề giáo dục ý
thức đạo đức, ý thức học tập của học sinh
-Về phía Đoàn Đội: Phát động nhiều phong trào thi đua học tập trong học sinh

đồng thời tạo nhiều sân chơi lành mạnh cho các em.
-Về phía giáo viên : Cần phải tâm huyết với nghề, phải biết quan tâm giúp đỡ các
em lúc khó khăn, lúng túng trong các bài toán khó, không tạo nên không khí
ngột ngạt trong giờ học.
3


MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
Việc đổi mới căn bản , toàn diện giáo dục và đào tạo trên quan điểm chỉ đạo
giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng, Nhà nước và
của toàn dân. Đầu tư cho giáo dục là đầu tư phát triển, được ưu tiên đi trước trong
các chương trình , kế hoạch phát triển kinh tế xã hội.
Trong tất cả các ngành khoa học và kỹ thuật , Toán học luôn chiếm giữ một
vai trò nhất định đôi khi là chủ yếu. Ngoài ra nó còn là một môn thể thao trí tuệ
giúp con người trong việc rèn phương pháp học tập, rèn phương pháp tiếp cận và
giải quyết vấn đề , rèn luyện trí thông minh và sáng tạo, rèn luyện các phẩm chất
trí tuệ như tính cẩn thận, cần cù nhẫn nại, tính tự lực, ý thức vượt khó vươn lên….
Có thể nói dù ở lĩnh vực nào kiến thức về môn Toán đề cần thiết và là chìa khóa
dẫn tới thành công.
Trong nhà trường, Toán học là một môn khoa học có tính tư duy cao và trừu
tượng – đòi hỏi tính hệ thống, lôgic. Để giải quyết một bài toán, một yêu cầu đề
ra đòi hỏi người giải toán phải có một hệ thống kiến thức nhất định nào đó, cùng
các kỹ năng và các phương pháp giải toán tương ứng, đặc biệt là khả năng tư duy
phân tích, tổng hợp, suy luận Toán học. Tầm quan trọng của việc học Toán là
như vậy nhưng thực tế việc học Toán ở trường THCS còn nhiều hạn chế. Qua
thời gian công tác tại trường , tôi nhận thấy kết quả học tập môn Toán nói chung
của học sinh ở đây chưa cao, kết quả này được phản ánh qua các kỳ thi cũng như
qua các tiết dạy. Đa số học sinh chưa nắm được phương pháp học tập môn Toán
và việc tự học tập chưa cao. Một phần do các em chưa chăm chỉ, tự giác, một

phần do các em chưa được định hướng và chưa được hướng dẫn một cách cụ thể
để các em tự tin trong việc học Toán. Đa phần các em thụ động trong cách tiếp
cận các bài toán dẫn đến những lỗi sai cơ bản ngay cả những học sinh khá , giỏi
với những bài tập khá đơn giản. Đối với học sinh lớp 7, Tôi thấy học sinh chưa
có kỹ năng giải toán về dãy tỉ số bằng nhau vì các em chưa biết các bài toán đó
4


cần áp dụng những phương pháp nào cho kết quả đúng nhất , nhanh nhất và đơn
giản nhất. Vì vậy, để nâng cao kỹ năng giải toán về dãy tỉ số bằng nhau thì các
em phải nắm được các dạng toán và các phương pháp giải, các kiến thức cơ bản
được cụ thể hóa trong từng bài, từng chương. Có thể nói dạng toán áp dụng tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau luôn là dạng toán khó đối với học sinh và không ít
học sinh cảm thấy sợ hãi khi gặp dạng toán này. Là một giáo viên dạy Toán lớp
7 tôi mong các em chinh phục được nó và không chút ngần ngại khi gặp những
dạng toán này. Vì thế thiết yếu tôi phải “ Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số
bài toán về dãy tỉ số bằng nhau” để làm hành trang kiến thức vững chắc cho
các em gặp lại dạng toán này ở các lớp trên.
2. Cơ sở lý luận của vấn đề:
Chúng ta đang dạy học theo sự đổi mới nghĩa là dạy học bám sát theo chuẩn
kiến thức kỹ năng tiến tới đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục vì thế những kiến
thức gì được gọi là chuẩn, là cơ bản nhất phải nắm vững một cách chủ động, có
sáng tạo. Rèn kỹ năng giải toán nói chung và kỹ năng giải một số bài toán về dãy
tỉ số bằng nhau ở lớp 7 cũng là chuẩn mà học sinh cần phải nắm. Hệ thống những
bài tập thể hiện dạng toán áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có vai trò hết
sức quan trọng là nó giúp cho học sinh phát triển khả năng nhận dạng , tư duy ,
trình bày lời giải chính xác và logic. Thông qua việc hướng dẫn học sinh giải toán
là hình thành những kỹ năng cần thiết của học sinh khi còn ngồi trên ghế nhà
trường. Có như thế mới phù hợp với sự cải tiến day học là phát huy hết tính tích
cực, tư duy sáng tạo cũng như tiến tới việc đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục

trong những năm tới.
3. Thực trạng của vấn đề:
Trong thực tiễn giảng dạy, trên cơ sở việc tìm hiểu và nghiên cứu chuẩn kiến
thức kĩ năng môn Toán tôi thấy việc đổi mới phương pháp giảng dạy môn Toán ở
bậc THCS là vô cùng quan trọng và cần thiết nên tôi chọn sáng kiến “Hướng dẫn
5


học sinh lớp 7 giải một số bài toán về dãy tỉ số bằng nhau” nhằm mục đích đổi
mới phương thức cũng như rèn kỹ năng giúp học sinh lĩnh hội kiến thức một cách
chủ động và tránh những sai sót trong trình bày một bài toán cụ thể là dạng toán
về dãy tỉ số bằng nhau vì trong quá trình học tập của học sinh tôi nhận thấy học
sinh còn nhiều vướng mắc khi gặp dạng toán này. Đa số học sinh khi giải còn
thiếu logic, thiếu chặt chẽ, thiếu trường hợp. Chất lượng môn Toán của khối 7 còn
hạn chế, số lượng học sinh giỏi còn ít.
Ví dụ 1: Tìm x , y biết: a)

x y
= và x + y = 81
2 7

Học sinh trình bày như sau:

x y
x + y 81
= ⇒
= =9
2 7
2+7 9

Học sinh chưa biết dùng dấu " ⇒ " hay dấu " = " để trình bày hợp lý.
b)

x y
= và xy = 135
3 5

Học sinh dễ nhầm lẫn việc áp dụng tính chất

như phần a để có kết quả như sau:

x y x+ y
= =
cũng làm tương tự
a b a +b

x y xy
= =
nhưng cách làm này không
3 5 3.5

đúng.
Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số khác 0 sao cho :

a + b − c a − b + c −a + b + c
=
=
c
b
a

Tính giá trị của biểu thức M =

(a + b)(b + c)(c + a )
abc

Khi giải dạng bài toán này , học sinh dễ dàng có thể biến đối dãy tỉ số

a + b − c a − b + c −a + b + c
a+b+c a+b+c a+b+c
=
=
=
=
suy ra
c
b
a
c
b
a
6


Và khẳng định a = b = c khi đó chỉ có một đáp số: M = 8.
Trong trường hợp này các em mới chỉ xét trường hợp a + b + c ≠ 0 mà
không xét điều kiện a + b + c = 0 để có kết quả là M = - 1.
Ví dụ 3: Tìm x , biết:

x−2
3

=
147 x − 2

Học sinh sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức suy ra: ( x − 2) 2 = 441

( x − 2) 2 = 212 suy ra x − 2 = 21 ⇒ x = 23
Trong bài này học sinh bỏ sót 1 trường hợp: x − 2 = −21 ⇒ x = −19
Như vậy trong các cách làm trên các em làm bài chưa kết hợp chặt chẽ điều kiện
hoặc chưa biết cách trình bày một bài toán đặc biệt là sai lầm khi xét lũy thừa bậc
chẵn.
Hoặc khi nhân chéo học sinh không đưa biểu thức x – 2 vào dấu ngoặc như sau:

x−2
3
=
147 x − 2
⇒ x − 2.x − 2 = 147.3
⇒ − x − 2 = 441
⇒ x = −443
Trên đây là những sai lầm cơ bản mà học sinh khi giải bài toán liên quan tới
dãy tỉ số bằng nhau thường mắc phải. Chính vì vậy mà việc hướng dẫn các em biết
cách làm và giải quyết triệt để dạng toán này là rất cần thiết .
Khi chưa hướng dẫn, tôi ra đề cho học sinh lớp 7 trường tôi đang dạy như
sau:
Câu 1:(6 điểm) Tìm x, y, z biết:
a)

x y
=
và x + y = 14

4 3

b)

x y
= và x 2 − y 2 = −4
3 5

c) 2 x = 3 y = 5 z và x − y + z = −33
7


Câu 2:( 4 điểm) Cho

a c
= với a, b, c, d khác 0.
b d
2015

 a −b 
Chứng minh rằng: 
÷
c−d 

2a 2015 − b 2015
= 2015
2c − d 2015

Kết quả cụ thể như sau:
Lớp

SS

Giỏi

Khá

SL
%
SL
7
39
5
12,8
15
Từ kết quả khảo sát trên Tôi nhận thấy :

%
38,5

Trung bình
SL
%
19
48,7

Yếu và Kém
SL
%
0

0

• Thuận lợi:
- Được sự quan tâm chỉ đạo sát sao của BGH nhà trường.
- Được sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng chí đồng nghiệp.
- Nhà trường có đầy đủ trang thiết bị phục vụ cho dạy học.
- Đa số các em ngoan ngoãn, lễ phép.
- Một số em tỏ ra yêu thích bộ môn Toán và có năng khiếu về môn Toán.
• Khó khăn :
- Nhiều em còn hổng kiến thức từ những lớp dưới, còn lười học.
- Một số gia đình thực sự chưa quan tâm , chưa tạo điều kiện cho các em học
tập.
- Môn đại số 7 kiến thức logic chặt chẽ lứa tuổi các em còn bỡ ngỡ và lập
luận hay ngộ nhận , thiếu căn cứ.
- Môn Toán đòi hỏi ở khả năng phân tích và tư duy cao mà lứa tuổi các em
những khả năng này còn hạn chế.
Từ thực trạng trên , trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng làm sao để các em
học sinh ngày càng thêm yêu thích môn Toán hơn, hình thành cho các em kỹ năng
giải toán , tạo điều kiện giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động , sáng tạo và
tránh sai sót.
4. Các giải pháp, biện pháp thực hiện
8


4.1. Hệ thống kiến thức cơ bản về dãy tỉ số bằng nhau :
Yêu cầu học sinh nắm vững và ghi nhớ các kiến thức cần thiết để giải được bài
toán về dãy tỉ số bằng nhau sau:
a. Tính chất của tỉ lệ thức: +)

a c

= ⇔ ad = bc(b; d ≠ 0)
b d

+) Từ tỉ lệ thức

a c
= ta suy ra 3 tỉ lệ thức sau:
b d

a b d c d b
= ; = ; = ( a; b; c; d ≠ 0)
c d b a c a
b. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

a c a +c a −c
= =
=
với b + d ≠ 0; b − d ≠ 0
b d b+d b−d
Mở rộng với dãy tỷ số bằng nhau:

a c e
a+c+e
a −c +e
= = =
=
= ....
b d f b+d + f b−d + f
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Kiến thức bổ sung:

an
a1 a2 a3
=
=
=
...
=
+ Nếu:
b1 b2 b3
bn

Thì:

a
a + a + a + ... + an
a1 a2 a3
=
= = ... = n = 1 2 3
b1 b2 b3
bn b1 + b2 + b3 + ... + bn
( Giả sử các tỉ số đều có nghĩa )
+Tính chất mở rộng của dãy tỉ số bằng nhau:
Nếu :

a b c
a b c am + bn + cp
= = thì :
= = =
( với m ; n ; p khác 0 )

x y z
x y z xm + yn + zp

9


4.2. Hướng dẫn giải một số bài toán về dãy tỉ số bằng nhau.
Bài toán 1: Tìm x , y biết: a.

x y
=
và x + y = 81
2 7
b.

x y
= và x − y = −2
5 7

c.

x −4
=
và 4 x − 5 y = 72
y 7

Câu hỏi của GV
Yêu cầu học sinh nghiên cứu bài toán
Ta chú ý tới giả thiết nào

Câu trả lời mong muốn
a.

x y
=
và x + y = 81
2 7

Vận dụng kiến thức nào để giải quyết
bài toán trên
Yêu cầu học sinh lên bảng trình bày lời Chú ý tới x + y = 81
giải?
Khắc sâu cho học sinh khi nào sử dụng
dấu ‘=’ khi nào sử dụng dấu " ⇒ "

Vận dụng tính chất

x y x+ y
= =
a b a +b

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau , ta có:

x y x + y 81
= =
= =9
2 7 2+7 9
Suy ra:
Phần b làm tương tự.

Ở phần c
Làm thế nào để xuất hiện dãy tỉ số
bằng nhau ?

x
= 9 ⇒ x = 18
2
y
= 9 ⇒ y = 63
7
Vậy x = 18; y = 63

10


Từ
Điều kiện thay đổi thế nào?
Vậy cần phải có dãy tỉ số bằng nhau
nào?

x −4
=
ta giữ nguyên ngoại tỉ ,
y 7

thay đổi trung tỉ.
Ta được :

x
y

=
−4 7

GV yêu cầu hs trình bày và khắc sâu
kiến thức.
ĐK: 4 x − 5 y = 51

x
y
4x
5y
4x 5y
= ⇒
=
⇒
=
−4 7
4.(−4) 5.7
−16 35
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau ,ta có:

4x 5 y 4x − 5 y
51
=
=
=
= −1
−16 35 −16 − 35 −51
Suy ra : x = 4; y = - 7

Trên cơ sở những bài toán cơ bản thì GV có thể đưa ra những bài toán khó hơn
như sau:
Tìm x , y , z biết:
d.

x
y y z
= ;
=
và - 2x - 4y + 5z = 146
−3 7 −2 5

e.

4 x 6 y −3 z
=
=
và x + 3 y − 2 z = −273
−5 7
8

g.

x −3 y + 4 z −5
=
=
và 3 x − 2 y + 7 z = −48
−4
7
3

h. 4 x = 3 y; 7 y = 5 z và x − y + z = 46

Câu hỏi của GV

Câu trả lời mong muốn
11


ở phần d, làm thế nào để có
dãy tỉ số bằng nhau để có
thể đưa về dạng phần a?

d.

x
y y z
= ;
=
và - 2x - 4y + 5z = 146
−3 7 −2 5

x
y
x
y
= ⇒
=
−3 7
−6 14

Từ
y z
y
z
= ⇒
=
−2 5 14 −35
Suy ra :

Làm thế nào để đưa bài toán

e.

về dạng đã học
Nếu học sinh không giải
được GV hướng dẫn hs biến
đổi dãy tỉ số

4 x 6 y −3z
=
=
về dạng
−5 7
8
quen thuộc.

trong các bài trên?

4 x 6 y −3 z
=

=
và x + 3 y − 2 z = −273
−5 7
8

4 x 6 y −3z
x
y
z
=
=
⇒
= =
−5 7
8
Cách 1: −5
7
8
4
6 −3
4 x 6 y −3z
4x
6y
−3z
=
=
⇒
=
=
−5 7

8
−5.12 7.12 8.12
Cách 2:
x
y
z
⇒
= =
−15 14 −32
g.

Làm tương tự phần nào

x
y
z
= =
−6 14 −35

x −3 y + 4 z −5
=
=
và 3 x − 2 y + 7 z = −48
−4
7
3

Làm tương tự phần c.
h. 4 x = 3 y; 7 y = 5 z và x − y + z = 46

Nhận xét bài toán phần h?
Cần biến đổi thế nào để
được dãy tỉ số bằng nhau từ
các đẳng thức trên?

x y
=
3 4
Từ
y z
7 y = 5z ⇒ =
5 7
4x = 3y ⇒

12


Tiếp tục làm tương tự phần
nào?
HS tự làm.
Như vậy, các bài toán trên là thuộc dạng toán tìm các số hạng trong một dãy tỉ số
bằng nhau biết tổng , hiệu của các số hạng đó. Qua cách làm các bài toán trên có
thể hệ thống lại phương pháp giải chung đó là : Nếu

x y z
= = và
a b c

x+ y−z = M
Thì

x y z x+ y−z
M
= = =
=
Từ đó tìm được x ; y ; z.
a b c a +b −c a +b −c

Bài toán 2: Tìm x, y biết:
a.

x y
= và xy = 6
2 3

b.

x y
= và xy 2 = 96
3 2

Câu hỏi của GV
Phương án thứ nhất GV có thể yêu
cầu học sinh lên bảng trình bày ngay.

Câu trả lời mong muốn
a.

x y
= và xy = 6

2 3

Nhưng với phương án này thì HS có

Cách 1:

thể làm tương tự các ví dụ trong bài

Vì xy = 6 nên x khác 0.

toán 1.

Ta có :

Phương án thứ hai là định hướng cho
học sinh thấy được bài toán này khác
những bài toán ở bài toán 1 ở điểm
nào? Từ đó gợi ý cho học sinh từ

x y
= làm thế nào trong dãy tỉ số
2 3

x y
x.x xy
x 2 xy 6
= ⇒
=
⇒
=

= =2
2 3
2
3
2
3 3
x2
⇒
= 2 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ±2
2
Từ đó tính được y

bằng nhau đó có 1 thành phần là tích
13


xy ?

Cách 2: Từ

x y
=
2 3

Nhân cả 2 vế của

x y
x
= với
2 3

2

Sau đó làm tương tự cách 1
Hs có thể đưa ra nhiều cách khác
nhau.
Gv chốt lại cách giải ngắn gọn nhất.

Cách 3: Đặt

x y
= = k (k ≠ 0)
2 3

Suy ra: x = 2k ; y = 3k
Thay vào xy = 6 tìm được k, từ đó tìm
được x, y tương ứng.
Cách 4: Từ

x y
2y
= ⇒x=
2 3
3

Mà xy = 6 nên

2 y2
= 6 ⇒ y 2 = 9 ⇒ y = ±3
3
Với phần này GV cần gợi ý cho HS

Từ đó tìm được x tương ứng.

x y
nên dùng cách 3 tức đặt = = k
3 2

Hoặc từ xy = 6 ⇒ x =

thì bài toán có lời giải ngắn gọn hơn.

b.

6
y

x y
= và xy 2 = 96
3 2

Lưu ý: Qua các cách giải trên GV cho học sinh so sánh để thấy được lợi thế trong
mỗi cách giải, từ đó học sinh sẽ tự ý thức lựa chọn cách giải.
14


Các bài toán tương tự:
c. 5 x = 2 y và x 3 y 2 = 200
d.

x y z

= = và xyz = −30
2 3 5

e.

x 2 y 3z
=
=
và xyz = −108
2 3
4

f.

40
20
28
=
=
và xyz = 22400
x − 30 y − 15 z − 21

g. x =

y z
= và x 2 + 2 y 2 − xz = 6
2 3

x3 y 3
z3

h.
và xy + yz − zx = 20
=
=
8 64 216
Như vậy, dạng toán trên là dạng toán tìm các số hạng trong một dãy tỉ số bằng
nhau biết tích của các số hạng đó. Qua cách làm các bài toán trên có thể hệ thống
lại phương pháp giải chung như sau : Nếu
Thì ta đặt

x y z
= = và xyz = p
a b c

x y z
= = = k (k ≠ 0) suy ra : x = ak ; y = bk ; z = ck Từ đó tìm k rồi
a b c

tìm được x ; y ; z.
Đặc biệt lưu ý đối với học sinh khi xét lũy thừa bậc chẵn khi làm dạng toán này.
Bài toán 3:
a. Cho tỉ lệ thức :

a c
= ≠ 1 với a,b,c,d khác 0.
b d

Chứng minh rằng:

a −b c −d

=
a
c

GV yêu cầu học sinh tự làm sau đó hs trình bày.GV chốt lại cách chứng minh.
Cách 1:
15


Từ

a c
= ≠ 1 suy ra ad = bc
b d

Xét tích: ( a − b ) c = ac − bc = ac − ad = a ( c − d )
Vậy ( a − b ) c = a ( c − d ) ⇒

a −b c −d
=
a
c
a −b c −d
=
ta chứng minh
a
c

Trong cách này , để chứng minh tỉ lệ thức

( a − b) c = a ( c − d )
Cách 2: Ta đặt :
Khi đó:

a c
= = k (k ≠ 0) ⇒ a = bk ; c = dk
b d

a − b bk − b ( k − 1) b k − 1
=
=
=
a
bk
bk
k
c − d dk − d ( k − 1) d k − 1
=
=
=
c
dk
dk
k

Từ (1) và (2) suy ra:

(1)
(2)

a −b c −d
=
a
c

Trong cách này để chứng minh tỉ lệ thức

a −b c −d
=
ta chứng minh hai tỉ số ở
a
c

hai vế cùng bằng một tỉ số thứ ba. Để làm được điều đó ta đã đặt giá trị chung của
các tỉ số của tỉ lệ thức đã cho là k, từ đó tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức phải
chứng minh theo k.
Cách 3: Từ
Vậy

a c
a b a −b
= ⇒ = =
b d
c d c−d

a a −b
a −b c −d
=
⇒
=

c c−d
a
c

16


Trong cách này, sau khi hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức đã cho, ta dùng tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau. Cuối cùng hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức mới được tạo
ra để đi đến tỉ lệ thức phải chứng minh.
Cách 4: Vì
Ta có :
Vậy

a c
b d
= ⇒ =
b d
a c

a −b a b
b
d c −d
= − = 1− = 1− =
a
a a
a
c
c

a −b c −d
=
a
c

Trong cách giải này , ta đã biến đổi tỉ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng
minh) thành vế phải . Đó cũng là cách thường dùng để chứng minh một đẳng thức
nói chung.
b. Cho abcd ≠ 0; b 2 = ca , c 2 = bd

a 3 + b3 + c 3 a
Chứng minh rằng : 3
=
b + c3 + d 3 d
Với bài này mức độ khó hơn , GV định hướng cho học sinh các phương pháp làm
sao để có thể đưa về dạng quen thuộc như phần a.
GV có thể đưa ra câu hỏi: Tương tự phần a có cách giải nào?
Cách 1:

abcd ≠ 0;
Từ :

b 2 = ca ⇒

c 2 = bd ⇒

a b
=
b c

c b
=
d c

Từ (1) và (2) suy ra
Đặt

(1)

(2)

a b c
= =
b c d

a b c
= = = k (k ≠ 0) ⇒ a = bk ; b = ck ; c = dk
b c d
17


Khi đó :

a a b c bk .ck .dk
= . . =
= k3
d b c d
bcd

(1)

a 3 + b3 + c3 ( bk ) + ( ck ) + ( dk )
=
= k3
3
3
3
3
3
3
b +c +d
b +c +d
3

3

3

(2)

a 3 + b3 + c 3 a
Từ (1) và (2) suy ra: 3
=
b + c3 + d 3 d
Cách 2: Chứng minh và sử dụng công thức : Nếu :
3

3

x y z

= =
a b c

3

xyz
x  y z
thì  ÷ =  ÷ =  ÷ =
 a   b   c  abc
Ta có thể chuyển bài tập 5 thành bài tập sau: Cho

a b c
= = ; abcd ≠ 0
b c d

3

a
 a+b+c 
Chứng minh rằng : 
=
÷
b+c+d  d
3

a 3 + b3 + c 3  a + b + c 
3
3
3
Hoặc chứng minh: 3

=
÷ Với b + c ≠ d ; b + c ≠ d
3
3
b +c +d
b+c+d 
Tổng quát ta có bài toán sau:
n

a
a1 a2 a3


=
=
= ... = n Thì  a1 + a2 + a3 + ... + an ÷ = an
Nếu:
a2 a3 a4
an +1
an +1
 a2 + a3 + a4 + ... + an +1 
c. Cho dãy tỉ số bằng nhau:

Từ

ab bc ca
Chứng minh rằng: a = b = c
=
=
b

c
a

a b c
ab bc ca
=
= , ta suy ra: = = với a, b, c > 0 và a + b + c ≠ 0
b c a
b
c
a

GV yêu cầu 1 HS trình bày, nếu học sinh làm sai hoặc không trình bày được thì
GV định hướng cho HS các vướng mắc:
Nếu áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có điều gì? Vì sao?
18


Từ đó HS có thể trình bày được bài toán.
Cách 1: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a b c a +b+c
= = =
= 1 do a + b + c ≠ 0 nên suy ra: a = b = c
b c a a +b+c
Nếu sử dụng phương pháp nhân chéo thì có ngay các đẳng thức nào?
Để chứng minh a = b = c thì ta cần chứng minh a 3 = b3 = c 3 . Vậy làm thế nào
để xuất hiện a 3 ; b3 ; c 3 từ các đẳng thức trên ? Từ đó HS có thể giải được bài toán .
Cách 2: Phương pháp nhân chéo:
Từ giả thiết:

a b c
= = , nhân chéo ta có : b 2 = ca; c 2 = ab; a 2 = bc
b c a

Do a,b,và c khác 0 nên ta có: b3 = bca; c 3 = abc; a 3 = abc
Suy ra: b3 = c 3 = a 3 (= abc ) vậy : a = b = c
Nếu sử dụng phương pháp định nghĩa

a b c
= = = k thì k phải nhận giá trị nào
b c a

thì a = b = c . Từ đó HS dễ dàng chứng minh được bài toán.
Cách 3: Phương pháp định nghĩa:
Đặt

a b c
= = = k ⇒ a = bk ; b = ck ; c = ak
b c a

Do a, b, c > 0 nên ta sẽ chứng minh k = 1
Từ đó suy ra a = b = c bằng các cách sau:
+ Hoặc abc = abck 3 ⇒ k 3 = 1 ⇒ k = 1
+ Hoặc a + b + c = ( a + b + c ) k ⇒ k = 1
+ Hoặc a = bk = ck 2 = ak 3 ⇒ k 3 = 1 ⇒ k = 1
GV hướng dẫn học sinh phương pháp so sánh, cách này dành cho học sinh khá,
giỏi.
Cách 4: Phương pháp so sánh:
19

Có a, b, c > 0 nên nếu a < b suy ra:

a
b
c
< 1 ⇒ < 1 ⇒ < 1 ⇒ a < b < c < a ( vô lí )
b
c
a
Vậy a = b ⇒ a = b = c
Tương tự : nếu a > b ta sẽ suy ra được a > b > c > a ( vô lí )
Như vậy , bài toán này cho chúng ta thấy được để chứng minh liên quan đến
dãy tỉ số bằng nhau ta có thể dùng định nghĩa hoặc tính chất hoán vị, tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức biến đổi tỉ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức
cần chứng minh) thành vế phải….
Một số bài toán tương tự:
d. Cho tỉ lệ thức

a b
ab
bc
Chứng minh rằng: =
=
b c
a+b b+c

e. Cho tỉ lệ thức

a
b
abc
bca
=
Chứng minh tỉ lệ thức:
=
bc ca
a + bc b + ca

g. Cho tỉ lệ thức

ab + bc bc + ca ca + ab
=
=
a+b
b+c
c+a

Chứng minh rằng : a = b = c

x y z
x 3333 .z 6666
h. Cho = = và x + y + z ≠ 0 . Tính :
y z x
y 9999
i. Cho a : b : c = b : c : a và a + b + c ≠ 0
Chứng minh rằng: ( 2a + 9b + 1945c )
k. Cho

2009

= 19562009 a 30b 4 c1975

a
b
c
2
=
=
. Chứng minh : 4 ( a − b ) ( b − c ) = ( c − a )
2013 2014 2015

l. Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện:

a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102
a + b a 2 + b2
Chứng minh rằng:
= 2 2
ab
ab
20


Bài toán 4:
a. Cho a,b,c là các số khác 0 sao cho :

a + b − c a − b + c −a + b + c
=
=

c
b
a



Tính giá trị của biểu thức M =  1 +

(1)

b   c  a 
÷1 + ÷1 + ÷
a   b  c 

Với bài toán này GV sẽ hướng dẫn học sinh làm như sau:
Trước hết GV đặt vấn đề để học sinh thấy đây là một dạng đặc biệt, trong mỗi
tỉ số của dãy tỉ số bằng nhau tử và mẫu đểu có mối quan hệ với nhau. Từ đó các
em dễ dàng tìm lời giải của bài toán.
Cần áp dụng kiến thức nào về dãy tỉ số bằng nhau để đưa ra phương pháp giải
ngắn gọn nhất. Có 2 cách cụ thể như sau:
Cách 1: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Ta có :

a + b − c a − b + c −a + b + c a + b + c
=
=
=
c
b
a

a+b+c

(*)

Đến đây nếu học sinh bỏ qua điều kiện như ví dụ 2 thì GV hướng dẫn học sinh
tránh bỏ sót trường hợp bằng cách đặt câu hỏi: đề bài cho a,b,c là các số khác 0 thì

a + b + c có thể xảy ra những trường hợp nào?
Từ đó học sinh dễ dàng có thể trình bày tiếp được bài toán.
+ Nếu a + b + c = 0 thì a + b = −c; b + c = −a; c + a = −b
Khi đó M = −1
+Nếu a + b + c ≠ 0 Thì (*) trở thành

1 1 1
= = ⇒ a = b = c nên M = 8
a b c

Cách 2: Cộng mỗi tỉ số của (1) với 2 ta được:

a+b−c
a −b+c
−a + b + c
+2=
+2=
+2
c
b
a
Suy ra:

a +b+c a +b+c a +b+c
=
=
c
b
a
21


Đến đây thì GV hướng dẫn học sinh có 2 cách:
Thứ nhất : Có thể lại sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Thứ hai : Đánh giá và được kết quả như cách 1 ở trên.
GV lưu ý với học sinh rằng khi giải toán chúng ta phải xét tất cả các trường hợp
tránh bỏ sót thì bài làm chưa hoàn chỉnh. Song để tránh áp dụng một cách máy
móc không nhất thiết bài toán nào cũng phải xét nhiều trường hợp thì GV đưa ra
bài tập 2 như sau:
b. Tìm x, y, z biết :

y + z +1 z + x + 2 x + y − 3
1
=
=
=
x
y
z
x+ y+z
Với bài toán này, không có điều kiện của x,y,z nhưng tôi lưu ý với học sinh
rằng chú ý tới tỉ số cuối cùng ta thấy Điều kiện cần thiết x + y + z ≠ 0 nên có thể
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm được x,y,z.

Cũng với bài toán trên GV có thể thay đổi như sau:

x
y
z
=
=
= x+ y+ z
y + z +1 z + x + 2 x + y − 3
Thì việc giải quyết bài toán này lại tương tự như bài 1 sẽ tìm được 2 bộ số (x;y;z)
Một số bài toán tương tự:
c. Cho a,b,c là các số khác 0 sao cho :

a + b − 2c a − 2b + c −2a + b + c
=
=
c
b
a



Tính giá trị của biểu thức M =  1 +

b   c  a 
÷1 + ÷1 + ÷
a   b  c 

d. Cho các số a,b,c khác 0 thỏa mãn:

ab
bc
ca
ab + bc + ca
=
=
Tính N = 2
a+b b+c c+a
a + b2 + c 2

22


e.

1. Cho

a
b
c
a +b b+c c+a
=
=
+
+
Tính : P =
b+c c +a a +b
2c
3a
4b

2. Cho a + b + c = 2013 và
Tính : S =

1
1
1
1
+
+
=
a+b b+c c+a 3

a
b
c
+
+
b+c c +a a +b

Những bài toán trên tuy rằng không khó nhưng học sinh cảm thấy không tự tin
khi làm những dạng toán này. Bằng phương pháp đưa từ lạ về quen thì các em sẽ
giải quyết được một cách đơn giản.
5.

Kết quả đạt được:
Khi áp dụng đề tài nghiên cứu này vào giảng dạy cho học sinh lớp tôi dạy. Tôi

thấy học sinh làm dạng toán này nhanh gọn hơn. Học sinh không còn lúng túng
trong khi gặp dạng toán này. Cụ thể làm bài kiểm tra 45 phút với đề bài như sau:

Câu 1: (4 điểm)Tìm x, y, x biết:
a)

x y
= và 2 x − 3 y = 12
3 4

b)

15
20
40
=
=
và xy = 1200
x − 9 y − 12 z − 24

Câu 2: (3 điểm)
Cho

a
b
c
a+b b+c c+a
=
=
+
+
Tính : P =
b+c c+a a +b

c
a
b

Câu 3: ( 3 điểm) Cho

x
y
z
t
=
=
=
y + z +t z +t + x t + x + y x + y + z

Chứng minh biểu thức sau có giá trị nguyên:

P=

x + y y + z z +t t + x
+
+
+
z +t t + x x+ y y + z

Kết quả nhận được như sau:
- Học sinh không còn lúng túng về phương pháp giải từng loại bài.
23

- Biết lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí.
- Hầu hết các em đã trình bày được lời giải một cách chặt chẽ.
Kết quả cụ thể như sau:
Lớp
7

SS
39

Giỏi
SL
14
+9

%
35,9
23,1

Khá
SL
24
+9

%
61,5
23,1

Trung bình
SL
%

1
2,6
- 18
-46,2

Yếu và Kém
SL
%
0
0
0
0

6. Điều kiện để sáng kiến được nhân rộng:
Để sáng kiến được nhân rộng theo tôi cần có những điều kiện sau:
- Về nhân lực: Mỗi người giáo viên cần nhận thức rõ tầm quan trọng của việc đổi
mới phương pháp dạy học phù hợp với đặc trưng của từng dạng bài nhất là dạng
bài tập khó. Thường xuyên học hỏi, nâng cao trình độ chuyên môn. Sáng kiến
muốn thành công cần có sự ủng hộ của các ban, ngành, đoàn thể trong và ngoài
nhà trường cùng quan tâm đến công tác dạy và học.
- Về trang thiết bị, kĩ thuật: Cần được trang bị máy chiếu, máy tính tại các phòng
học và các trang thiết bị hỗ trợ về công nghệ thông tin...

24


KT LUN V KHUYN NGH
1. Kt lun:
Qua vic ỏp dng sỏng kin vo ging dy tụi thy hc sinh cú k nng gii cỏc
dng toỏn v dóy t s bng nhau khỏ tt v ỏp dng linh hot cỏc phng phỏp ó

hc nh phng phỏp nh ngha, phng phỏp nhõn chộo, phng phỏp so sỏnh,
phng phỏp, s dng tớnh cht ca dóy t s bng nhau, tớnh cht hoỏn v, tớnh
cht bc cu. gii quyt trit cỏc bi toỏn. Thụng qua cỏc phng phỏp hc
sinh ó xỏc nh c ỳng hng gii mt bi toỏn nờn k nng gii toỏn v
dóy t s bng nhau núi chung v kh nng t hc nh ca hc sinh tng lờn rừ
rt.
hc sinh hc tp tt mụn Toỏn thỡ giỏo viờn phi khụng ngng hc tp ,
trau di kin thc,luụn nghiờn cu, hc hi kinh nghim ca bn bố, ng nghip
tỡm ra phng phỏp Son ging cỏch t chc cho hc sinh hot ng phự hp
vi trỡnh , tõm lý ca hc sinh , phự hp vi xu hng i mi phỏt trin ca xó
hi. Gớao viờn phi to hng thớ cho hc sinh, giỳp hc sinh t hc , t nhn thc,
t tỡm tũi khỏm phỏ kin thc mt cỏch ch ng , sỏng to.
Qua ti ny v mt s ti khỏc vic hng dn gii Toỏn cho hc sinh
cn phi chỳ ý mt s vn sau:
Giỏo viờn phi rốn kh nng phõn tớch bi cho hc sinh. Đứng trớc một
vấn đề giáo viên cần cho học sinh phân biệt qua hệ thống câu hỏi, hiểu ra đâu là
điều đã cho, đâu là điều phải tìm.từ đó học sinh tự mình tìm ra câu trả lời.
Giỏo viờn phi nhit tỡnh, chu khú , kiờn nhn trong quỏ trỡnh nghiờn cu
v thc hin.
Phi tỡm hiu rừ nguyờn nhõn dn n hn ch.
Nghiờn cu tỡm nhng phng phỏp phự hp vi i tng hc sinh
Chnh sa kp thi nhng hc sinh lm bi sai v ch ra nguyờn nhõn hc
sinh rỳt kinh nghim.
25