rèn luyện cho học sinh khả năng dự đoán, suy luận có lý và giải quyết vấn đề phương pháp giải phương trình bất phương trình vô tỷ

Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung


Năm học : 2012 - 2013 1
S GIO DC - O TO THANH HểA
TRNG THPT NGUYN HONG







SNG KIN KINH NGHIM





TI

RẩN LUYN CHO HC SINH KH NNG D ON, SUY
LUN Cể Lí V GII QUYT VN TRONG CC
PHNG PHP GII PHNG TRèNH V BT PHNG
TRèNH Vễ T

Ngi thc hin: Nguyn Vn Trung
Chc v: T trng chuyờn mụn
SKKN thuc lnh vc mụn: Toỏn













THANH HểA NM 2013

Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung


Năm học : 2012 - 2013 2
I. Đặt vấn đề
Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng
sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hớng
vào việc đào tạo những con ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải
quyết những vấn đề thờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục
tiêu lớn của đất nớc (dẫn theo Tài liệu Bồi dỡng giáo viên).

Sự phát triển của xã hội và công cuộc đổi mới đất nớc đòi hỏi một cách
cấp bách phải nâng cao chất lợng giáo dục và đào tạo. Nền kinh tế nớc ta
đang chuyển từ cơ chế bao cấp sang cơ chế thị trờng có sự quản lý của Nhà
nớc. Công cuộc đổi mới này đòi hỏi phải có sự đổi mới về hệ thống giáo dục,
bên cạnh sự thay đổi về nội dung vẫn cần có những đổi mới căn bản về PPDH.
Tuy nhiên, cũng phải thừa nhận rằng, thực tiễn dạy học hiện nay vẫn đang còn
nhiều tồn tại phổ biến, đó là:
- Thầy thuyết trình tràn lan;
- Tri thức đợc truyền thụ dới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi phát hiện;
- Thầy áp đặt, trò thụ động;
- Thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo của
ngời học;
- Không kiểm soát đợc việc học.
Vì vậy, trong dạy học Toán, phải chú ý tới cả hai phơng diện, suy luận
chứng minh và suy luận có lý thì mới khai thác đợc đầy đủ các tiềm năng môn
Toán để thực hiện mục tiêu giáo dục toàn diện nh G. Polia phát biểu: Nếu
việc dạy Toán phản ánh mức độ nào đó việc hình thành Toán học nh thế nào,
thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, suy luận có lý.
Dự đoán, suy luận có lý có vai trò quan trọng trong quá trình phát triển t
duy học sinh. Nhng trong thực tế, nó cha đợc u tiên thích đáng xứng với vị
trí của nó. Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này phải chăng do giáo viên cha ý
thức đợc tầm quan trọng của nó hoặc cha xây dựng đợc các biện pháp s
phạm thích hợp nhằm phát triển năng lực dự đoán, suy luận có lý cho học sinh?
Một trong những công trình nổi tiếng nghiên cứu về dự đoán, suy luận có lý
là tác phẩm Toán học và những suy luận có lý của G. Polia. Tuy nhiên, các ví
dụ trong tác phẩm của ông chủ yếu thiên về lịch sử Toán (hầu hết các ví dụ mô
tả lại con đờng dẫn đến phát minh của các nhà khoa học), còn thiếu các ví dụ
phù hợp với học sinh phổ thông.
Vì những lý do trên đây, tôi chọn đề tài của SKKN là:
Rèn luyện cho học sinh khả năng dự đoán, suy luận có lý và giải quyết

vấn đề trong các phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ

Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung


Năm học : 2012 - 2013 3
II . Giải quyết vấn đề
1. Cơ sở lý luận của vấn đề
"Phải đổi mới phơng pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền
thụ một chiều, rèn luyện nếp t duy sáng tạo của ngời học, từng bớc áp dụng
phơng pháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học".
Nh vậy, chức năng, vai trò của giáo dục ngày nay đã đợc "chuyển sang vai
trò nhà tổ chức giáo dục", PPDH mới đã chú trọng đến việc phát huy tối đa tính
tích cực, độc lập của học sinh, đề cao phơng pháp tự học, "chuyển quá trình
giáo dục sang quá trình tự giáo dục", chuyển đổi chức năng từ thông báo, tái hiện
sang tìm tòi. "Để phát huy tối đa tính tích cực học tập của học sinh, tốt nhất là tổ
chức tốt những tình huống có vấn đề, đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận
giữa những ý kiến trái ngợc" (Tài liệu Bồi dỡng giáo viên 2005, tr. 4).
* Vai trò của trực giác trong quá trình nhận thức và sáng tạo Toán học
Trực giác đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu khoa học. "Nếu ta
ngẫm nghĩ các câu trả lời của các nhà bác học về câu hỏi: phát minh đợc thực
hiện nh thế nào, những kiến thức khoa học mới về mặt nguyên tắc đợc hình
thành nh thế nào, ta thấy sợi chỉ đỏ xuyên qua tất cả các câu trả lời trên là
quan niệm về vai trò quyết định của tởng tợng và trực giác, rồi thành quả của
họ sau này mới đợc sự xác nhận của cách chứng minh bằng lôgic và trở thành
đối tợng của sự phát triển thêm nữa".
Trong giảng dạy Toán học, ở mức độ cao, trực giác toán học cho định
hớng nghiên cứu trong các tình huống toán học mới không quen biết, dự đoán
đợc kết quả nghiên cứu về đờng lối tìm ra kết quả đó, phát hiện những sai
lầm rõ ràng. Trực giác toán học là một nhân tố quan trọng trong quá trình nhận

thức lôgic các yếu tố toán học
Trong giảng dạy và học tập môn Toán hiện nay, do chỉ chú trọng đến việc
truyền thụ kiến thức nên SGK và bài giảng do giáo viên thiết kế đều trình bày
cho học sinh những kiến thức toán học ở dạng có sẵn, thờng không rõ ai phát
minh vào lúc nào và bằng cách nào; nhiệm vụ của giáo viên thờng là giảng để
học sinh hiểu rõ nội dung các kiến thức đó, rồi dùng suy diễn lôgic để chứng
minh chúng, vừa để cho học sinh tin kiến thức đó là đúng, đồng thời cũng cho
họ tập làm quen với chứng minh toán học.
Do đó SKKN có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi sau đây:
* Thế nào là dự đoán, suy luận và giải quyết vấn đề trong các phơng pháp
giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ ?
* Vai trò của dự đoán và suy luận và giải quyết vấn đề trong các phơng pháp
giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ
* Những con đờng thông dụng để tiến hành hoạt động dự đoán và suy luận
và giải quyết vấn đề trong các phơng pháp giải phơng trình và bất phơng
trình vô tỷ là gì?
Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung


Năm học : 2012 - 2013 4
* Thực trạng của việc rèn luyện khả năng dự đoán, suy luận và giải quyết
vấn đề trong các phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ
* Dạy dự đoán và suy luận và giải quyết vấn đề trong các phơng pháp giải
phơng trình và bất phơng trình vô tỷ cho học sinh nên tuân theo những quan
điểm nào?
* Phân tích vai trò của dự đoán và suy luận và giải quyết vấn đề trong các
phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ
2. Thực trạng của vấn đề
Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngời xây dựng xã hội công nghiệp
hóa - hiện đại hóa với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nảy sinh và thúc đẩy

một cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp học. Định hớng đổi mới
PPDH hiện nay là tổ chức cho ngời học học tập trong hoạt động và bằng hoạt
động tự giác, tích cực và sáng tạo. Định hớng này còn đợc gọi tắt là "Hoạt
động hóa ngời học".
Cụ thể hóa Định hớng trên, ta thấy rõ những hàm ý sau đặc trng cho
PPDH hiện đại:
- Xác lập vị trí chủ thể của ngời học, đảm bảo tính tự giác, tích cực, chủ
động, sáng tạo của hoạt động học tập đợc thực hiện độc lập hoặc trong giao
lu
- Tri thức đợc cài đặt trong những tình huống có dụng ý s phạm
- Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học
- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân
ngời học.
Để góp phần đổi mới PPDH, chúng ta không chỉ dừng lại ở việc nêu Định
hớng "hoạt động hóa ngời học", mà cần phải đi sâu vào những PPDH cụ thể
nh những biện pháp để thực hiện Định hớng này, chẳng hạn nh:
- Dạy học dựa vào Lý thuyết tình huống;
- Dạy học dựa vào Lý thuyết kiến tạo;
- Dạy học Giải quyết vấn đề;
Trong đó, phù hợp hơn cả với tình hình nớc ta hiện nay là xu hớng Dạy
học phát hiện và GQVĐ. "Giải quyết vấn đề" không còn chỉ thuộc phạm trù
phơng pháp, mà đã trở thành mục đích của dạy học, đợc cụ thể hóa thành một
thành tố của mục tiêu trên là "năng lực giải quyết vấn đề" - năng lực có vị trí
quan trọng hàng đầu để con ngời thích ứng đợc với sự phát triển của xã hội
tơng lai.
3. Gii phỏp v t chc thc hin
Qua phân tích điều kiện, năng lực học tập của học sinh, có thể nói rằng,
HS cha thể áp dụng ngay một cách đầy đủ phơng pháp làm việc của các nhà
khoa học, mà giáo viên chỉ có thể làm cho họ bắt đầu làm quen với phơng
Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung

Năm học : 2012 - 2013 5
pháp đó và tạo điều kiện cho học sinh thực hiện một số khâu trong quá trình tìm
tòi ở những mức độ khác nhau. Trên cơ sở đó, chúng ta đa ra hai mức độ thích
hợp trong việc dạy cho học sinh dự đoán, suy luận có lý: Thuyết trình phát hiện
và GQVĐ; Đàm thoại phát hiện và GQVĐ.
3.1 Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề
ở cấp độ thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo ra tình
huống gợi vấn đề, sau đó chính bản thân thầy đặt vấn đề và trình bày quá trình
suy nghĩ giải quyết (chứ không phải chỉ đơn thuần nêu lời giải). Thầy thuyết
trình lại cả quá trình tìm kiếm, dự đoán có lúc thành công, có lúc thất bại, phải
điều chỉnh phơng hớng một hoặc nhiều lần mới đi đến kết quả.
Ví dụ : Giải phơng trình :
2 2
1 1 2
x x x x


Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh Bài toán trên:
Giáo viên đa ra nhận định trong phơng trình có 2 biểu thức
2
1
x x

và
2
1
x x

là các biểu thức liên hợp của nhau . Do
2 2
1. 1 1
x x x x


sẽ có rất nhiều phơng án suy luận có lý và giải quyết vấn đề .
+ ) Vậy một liên tởng gần nhất là có thể sử dụng phép biến đổi tơng
đơng để giải:
TXĐ :
1
x

(*)
Phơng trình tơng đơng với

2 2 2 2
1 2 1. 1 1 4
x x x x x x x x


do
2 2
1. 1 1
x x x x


2 2 1
x x

Đối chiếu TXĐ (*) x =1 là nghiệm
+) Mặt khác do
2 2
1. 1 1
x x x x

nên sẽ có thêm một suy
luật có lý nữa là đặt ẩn phụ
Đặt :
2
1( 0)
t x x t

suy ra
2
1
1x x
t


Phơng trình :
1
2 1
t t
t

thoả mãn t > 0
Khi đó lụa chọn cách sau :
2 2

2
2
1 1 1 1
1 1
1 1
x x x x
x x
x x











1
x


Mà vẫn có thể giải bằng cách đa về phơng trình cơ bản
Trong Ví dụ trên, thầy giáo đã thuyết trình lại quá trình mò mẫm, tìm
kiếm lời giải Bài toán. Biết xoay chuyển hớng suy nghĩ khi gặp khó khăn, chứ
Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung


Năm học : 2012 - 2013 6

không phải đột nhiên đa ra ngay một lời giải đúng. Đó cũng là yếu tố làm nên
u điểm của phơng pháp thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề, nhờ nó
học sinh học đợc phơng pháp kiến tạo tri thức chứ không phải chỉ tiếp nhận
tri thức mà thôi.
3.2 Suy luận có lý nhằm phát triển t duy tìm phơng án mới
Dạy học theo phơng pháp mới - Vận dụng Lý thuyết tình huống - rất
phù hợp cho việc rèn luyện kỹ năng dự đoán, suy luận có lý. Bởi, với những bài
toán có chứa yếu tố tìm tòi, dự đoán, thờng đa hoạt động của học sinh về gần
với hoạt động nghiên cứu của các nhà khoa học. Theo đó, giáo viên không nên
trao ngay cho học sinh những tri thức cần thiết quy định trong chơng trình, mà
cần công phu chế biến nó thành tri thức dạy học sao cho có thể phát huy cao
nhất tính độc lập, tích cực, tự giác của học sinh.
Cụ thể trong đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng năm 2008 -2009 có
bài nh sau
Ví dụ: Giải phơng trình : 08563232
3
xx
( đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009)
Gặp bài toán nh vậy cách làm thông dụng nhất là học sinh hớng đến
phơng pháp đặt hai ẩn phụ cụ thể nh sau
điều kiện để phơng trình có nghĩa là (*)
5
6
056 xx
đặt 0,56,23
3
vxvxu và ta đi đến hệ phơng trình

835
832
23
vu
vu

Thế
3
28 u
v


vào phơng trình dới ta có :
04032415
23
uuu

Nghiệm duy nhất u = 2
Suy ra nghiệm phơng trình x = -2
đối chiếu điều kiện (*) kết luận phơng trình có nghiệm x = - 2
Bởi vậy khi nhìn vào phơng trình thầy giáo có thể định hớng cho học
sinh các tình huống để suy luận , để có thể giải quyết vấn đề nhanh gọn
+) Nếu sử dung phơng pháp đặt ẩn phụ thì phải làm gì ? chon 1 ẩn hay
2 ẩn phụ
Có chăng phơng trình trên có thể giải bằng phơng pháp đặt một ẩn
phụ hoàn toàn hay không ?
ví dụ nh đặt
1,2256

3123
3


ttx
tx
khi đó
(**))22(3)56(3
(*))31(5)23(5
2
3
tx
tx



Lấy (*) +(**) ta đợc : 1011212
23
tttt
Khi đó nghiệm x= -2
Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung


Năm học : 2012 - 2013 7
Câu hỏi đặt ra cho học sinh là : Thuật toán nào đã giúp ta nhìn thấy đợc
cách đặt
1,2256
3123
3

ttx
tx
???? Nó đợc xuất phát từ đâu ???
Đó chính là việc cần phải Suy luận có lý nhằm phát triển t duy tìm
phơng án mới từ phơng án cũ , là phép dùng 2 ẩn phụ kết hợp với phơng
trình đờng thẳng trong mặt phẳng oxy
Nếu đặt
0,56,23
3
vxYxX
thì ta có ngay phơng trình
2X + 3Y - 8 = 0 đây chính là dạng tổng quát của phơng trình đờng
thẳng trong mặt phẳng OXY, thầy giáo cần hớng dẫn học sinh suy luận bằng
các chuyển về phơng trình dạng tham số. Khi đó cho ta phép đặt đã nêu ra
Bằng các suy luận có lý, thầy cô còn phải hớng cho học sinh đến những tìm tòi
cách làm mới từ những biểu thức quen thuộc cụ thể nh
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ:




1 1 2 2
; , ;
u x y v x y



. . .cos .
u v u v u v

, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
cos 1
u v



1 1
2 2
0
x y
k
x y

, chú ý tỉ số phải dơng
Đó là những ứng dụng hay đợc ẩn trong các biểu thức mà ai cũng có thể biết ,
ví dụ nh úng dụng của tích vô hớng để giải phơng trình vô tỷ
Ví dụ: Giải phơng trình 1231
2
xxxx
Điều kiện :
31



x

Đặt

xxbxa 3;1),1;(

Khi đó xxxba 31.




22
2
31.1 xxxba
= 12
2
x
Do đó bababa cùng hớng
x
xx



3
1
1
(đk: 0 < x < 3)
x
x
x

3
1
2


013
22
xxx






121
2
xxx
= 0









21
21

1
3
2
1
x
x
x

)(loai


Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung


Năm học : 2012 - 2013 8
Tuy nhiên nếu tiếp tục dẫn dắt học sinh đến với khái niên quen thuộc của
hình học tọa độ trong mặt phẳng. Đôi khi sẽ cho ta kết quả thật bất ngờ khi áp dụng
thành thạo dạng toán của phơng trình vô tỉ ta có thể dung các bất đẳng thức về tọa
độ để giải. Ta thờng dùng 2 bất đẳng thức sau:
vuvu .
vuvu .


2
1

Dấu đẳng thức xảy ra trong hai bất đằng thức là: v,u là hai vectơ cùng hớng
(
v
k

u

)
1 1
2 2
0
x y
k
x y

, chú ý tỉ số phải dơng

Ví dụ: Giải phơng trình: 5501054
22
xxxx

55512
2
22
xx (1)
Trong hệ trục tọa độ Oxy xét các điểm A(2; 1); B(5; 5) và M(x; 0). Khi đó:
(1) ABMBMA
Mặt khác: với mọi ba điểm A, B, M ta luôn có ABMBMA
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M, A, B thẳng hàng.
Theo Talet ta có:
4
5
4
3
5

1
3
5
1


OM'MA
'MA
'MA
'BB
'AA
'MB
'MA

Vậy tọa độ điểm M(5/4; 0) suy ra phơng trình có nghiệm x = 5/4.
Không phải ngẫu nhiên mà thầy giáo lại đặt vấn đề tọa độ và đờng thẳng
, một vấn đề của hình học tởng chừng nh chẳng liên quan đến đại số. Từ đây
học sinh có thể nhận ra đợc đờng thẳng , véc tơ là một tuyệt chiêu
để giải phơng trình vô tỷ
3.3 Đàm thoại phát hiện , giải quyết vấn đề - Nút thắt của bài toán
ở cấp độ này, học trò làm việc không hoàn toàn độc lập mà có sự gợi ý,
dẫn dắt của thầy khi cần thiết. Phơng tiện để thực hiện hình thức này là những
câu hỏi của thầy và những câu trả lời hoặc hành động đáp lại của trò. Nh vậy
có sự đan kết, thay đổi sự hoạt động của thầy và trò dới hình thức vấn đáp.
Ví dụ: Giải phơng trình
93232
222
xxxxx

Giáo viên đa ra nhận định trong phơng trình có biểu thức nào đặc biệt,

hớng học sinh đến với biểu thức đó . Ta tạm gọi đó là nút thắt của bài toán ?
Vấn đề cần giải quyết là : biểu thức 32
2
xx nó có dạng quen quen là
2.a.b của hằng đẳng thức đáng nhớ . Tiếp theo cần phải tìm đâu để có a và b
trong phơng trình đã cho . Đó chính là phần còn lại của phơng trình , khi đó
giáo viên sẽ tháo nút thắt bằng biểu thức 32
2
xx hớng tới phơng pháp
đặt ẩn phụ quen thuộc
Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung


Năm học : 2012 - 2013 9
Cụ thể


012)3(3
12)3()323(93232
2
2
2
2222222


xxxx
xxxxxxxxxxxPT
Đặt 3
2
xxt ta có phơng trình hệ quả 4,3012

2
tttt
Với t =3 ta có
1
693
3
33
22
2






x
xxx
x
xx

Với t = - 4 ta có

8
13
4
8163
4
43
22
2
x
x
xxx
x
xx loại
Kết luận: Phơng trình có nghiệm là x=1
Tóm lại, dạy ngời học chiếm lĩnh một kiến thức trong quá trình nảy
sinh, hình thành và phát triển không chỉ có nghĩa là để cho họ tự mình khám
phá ra kiến thức đó, mà còn bao hàm cả hình thức thầy giáo thuyết trình, phát
hiện và GQVĐ. Tuy nhiên, chắc chắn ta không thể thỏa mãn nếu trong toàn bộ
quá trình dạy học, ngời giáo viên chỉ sử dụng một cấp độ thuyết trình. Tỉ trọng
phần ngời học phát hiện và GQVĐ trong toàn bộ quá trình dạy học tùy thuộc
vào đặc điểm của môn học, vào trình độ học sinh và nhiều điều kiện khác.
3.4 Những quan điểm chủ đạo trong việc tập luyện cho học sinh dự
đoán, suy luận có lý
3.4.1 Quan điểm 1: Cần chú trọng tập luyện cho học sinh dự đoán suy
luận có lý trong những tình huống thích hợp.

Rèn luyện khả năng dự đoán, suy luận có lý là một trong những nhiệm vụ
quan trọng, góp phần phát triển t duy học sinh. Tuy nhiên, với cách dạy nh
hiện nay thì "t duy và tính cách bị chìm đi trong kiến thức" (Nguyễn Cảnh
Toàn). "Do chỉ chú ý truyền thụ kiến thức mà không chú ý dạy cho học sinh tìm
tòi kiến thức nên các phơng pháp thực nghiệm, quy nạp rất bị coi nhẹ"
(Nguyễn Cảnh Toàn).
Ví dụ : Giải phơng trình :
3 6 (3 )(6 ) 3
x x x x


( Đề 59 bộ đề tuyển sinh môn toán )
Khi nhìn vào phơng trình thầy giáo có thể định hớng cho học sinh các
tình huống để suy luận , để có thể giải quyết vấn đề nhanh gọn
+)Nếu sử dung phơng pháp biến đổi tơng đơng thì phải làm gì ?
+) Nếu sử dung phơng pháp đặt ẩn phụ thì phải làm gì ? chon 1 ẩn hay
2 ẩn phụ
Cụ thể :
*) Phơng pháp biến đổi tơng đơng : TXĐ
6 3
x


Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung


Năm học : 2012 - 2013 10
PT :
3 6 (3 )(6 ) 3
x x x x

3 6 3 (3 )(6 )
x x x x


3 6 2 (3 )(6 ) 9 6 (3 )(6 ) (3 )(6 )
x x x x x x x x















6
3
0)6)(3(
4)6)(3(
x
x
xx

xx

Kết luận : Phơng trình có hai nghiệm x=3 , x=6
*)Dùng ẩn phụ chuyển phơng trình về phơng trình với một ẩn phụ
TXĐ :
6 3
x


đặt :
3 6
t x x

( t > 0 )
Khi đó :
2
9
( 3)(6 )
2
t
x x



PT

3
5
01523
2
9
2
2
t
t
tt
t
t

t =-5 loại . Với t = 3 ta có 6,30)6)(3( xxxx
đối chiếu TXĐ kết luận phơng trình có 2 nghiệm x=3 và x=6

*) Dùng ẩn phụ chuyển phơng trình về hệ phơng trình với hai ẩn phụ
TXĐ
6 3
x


đặt
3, 0
6 , 0
u x u
v x v

suy ra
2 2
9
u v


Kết hợp với phơng trình ta có hệ
2 2 2
0
9 ( ) 2 9
4
3 3
uv
u v u v uv
uv
u v uv u v uv

3 0 3
6
6 0
x x
x
x











Đối chiếu TXĐ kết luận phơng trình có 2 nghiệm x=3 và x=6
Đơng nhiên các lời giải mà giáo viên đa ra là hoàn toàn đúng, nhng
không phải là tốt về phơng diện phơng pháp dạy học. Liệu học sinh sẽ học
đợc gì từ các Lời giải trên, khi mà bản thân họ không hiểu tại sao giáo viên lại
nhanh chóng sử dụng đợc
Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung


Năm học : 2012 - 2013 11

Ví dụ: Giải phơng trình:
211
2
4
2
xxxx

ĐK: 1
01
01
01
2
2
2











x
xx
xx
x

Nhận xét:




111
22
xxxx
Đặt: )t( xxt 01
4
2


















)loại ( t

t
t
tt
t
t)(
)t( xx
t

2
51
2
51
1
0122
1
1
01
1
3
2
2
2

1111111
22
4
2
xx xx xxt Với

Ta có hệ phơng trình: 1

11
11
2
2








x
xx
xx
(tmđk)
t Với
2
51
ta có hệ phơng trình:
2
1
1
44
42
42

tt
x
txx
txx

KL: Phơng trình có hai nghiệm: x = 1 và )t(
tt
x
2
51
2
44






Nhìn lại các lời giải Bài toán, có thể thấy khâu mấu chốt, cái "nút" chính
ở chỗ tìm đợc mối liên hệ của hai biểu thức
6
x

và
3
x

hay




111
22
xxxx chính dự đoán, suy luận có lý đã gợi ý cho học
sinh lựa chọn cách phân tích đó trong rất nhiều cách phân tích khác nhau. Ngoài
ra còn cung cấp cho học sinh kỹ năng biểu diễn nghiệm, khi ẩn phụ là biểu thức
nghiệm phức tạp nh x = 1 và )t(
tt
x
2
51
2
44






Thực tế dạy học cho thấy, rất nhiều giáo viên vì sợ thiếu thời gian nên
thờng áp đặt cho học sinh trớc những thao tác nh kẻ đờng phụ; biến đổi
thêm, bớt biểu thức; phân chia trờng hợp riêng; mà bỏ qua giai đoạn tìm tòi

dự đoán.Ví dụ nh kỹ thuật đa về hệ tạm là một trong những kỹ thuật yêu
cầu có tính suy luận cao
Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung


Năm học : 2012 - 2013 12
Nếu phơng trình vô tỉ có dạng
A B C

, mà :
A B C



ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của
x
. Ta có thể giải nh sau :
A B
C A B
A B




, khi đó ta có hệ: 2
A B C
A C
A B

Ví dụ: Giải phơng trình sau :
2 2
2 9 2 1 4
x x x x x


Giải:
Ta thấy :






2 2
2 9 2 1 2 4
x x x x x


4
x

không phải là nghiệm
Xét
4
x


Trục căn thức ta có :
2 2
2 2
2 8
4 2 9 2 1 2
2 9 2 1
x
x x x x x
x x x x




Vậy ta có hệ:
2 2
2
2 2
0
2 9 2 1 2
2 2 9 6
8
2 9 2 1 4
7

x
x x x x
x x x
x
x x x x x















Vậy phơng trình có 2 nghiệm : x=0 v x=
8
7

Ví dụ: Giải phơng trình :
2 2
2 1 1 3
x x x x x

Ta thấy :




2 2 2
2 1 1 2
x x x x x x

, ( không có dấu hiệu trên ).
Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt
1
t
x

thì bài toán trở nên đơn giản hơn
Nếu đã có chìa khoá là Đạo hàm thì thầy giáo cũng có thể hớng tới việc
dùng sự biến thiên để giải quyết vấn đề cụ thể nh:
Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phơng trình là dạng toán khá quen
thuộc. Ta có 3 hớng áp dụng sau đây:

Hớng 1: Thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Chuyển phơng trình về dạng: ( )
f x k


Bớc 2: Xét hàm số
( )
y f x

Bớc 3: Nhận xét:
Với
0 0
( ) ( )
x x f x f x k

do đó
0
x
là nghiệm
Với
0 0
( ) ( )
x x f x f x k

do đó phơng trình vô nghiệm
Với
0 0
( ) ( )
x x f x f x k

do đó phơng trình vô nghiệm
Vậy
0
x
là nghiệm duy nhất của phơng trình

Hớng 2: thực hiện theo các bớc
Bớc 1: Chuyển phơng trình về dạng:

( ) ( )
f x g x


Bớc 2: Dùng lập luận khẳng định rằng
( )
f x
và g(x) có những tính chất trái ngợc
nhau và xác định
0
x
sao cho
0 0
( ) ( )
f x g x


Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung


Năm học : 2012 - 2013 13
Bớc 3: Vậy
0
x
là nghiệm duy nhất của phơng trình.

Hớng 3: Thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Chuyển phơng trình về dạng
( ) ( )
f u f v

Bớc 2: Xét hàm số
( )
y f x

, dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu
Bớc 3: Khi đó
( ) ( )
f u f v u v


Ví dụ: Giải phơng trình :





2 2
2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0
x x x x x


Giải:
pt

2 2
2 1 2 2 1 3 3 2 3 3 2 1 3
x x x x f x f x


Xét hàm số



2
2 3
f t t t

, là hàm đồng biến trên R, ta có
1
5
x


Dựa vào kết quả : Nếu


y f t

là hàm đơn điệu thì

f x f t x t

ta có thể
xây dựng đợc những phơng trình vô tỉ
Xuất phát từ hàm đơn điệu :


3 2
2 1
y f x x x

mọi
0
x

ta xây dựng phơng
trình :





3
3 2 2
3 1 2 1 2 3 1 (3 1) 1
f x f x x x x x

, Rút gọn ta đợc phơng
trình

3 2
2 3 1 2 3 1 3 1
x x x x x


Từ phơng trình



1 3 1
f x f x

thì bài toán sẽ khó hơn




3 2
2 7 5 4 2 3 1 3 1
x x x x x


Để giải hai bài toán trên chúng ta có thể làm nh sau :
Đặt
3 1
y x

khi đó ta có hệ :

3 2 3
2
2 7 5 4 2
3 1
x x x y
x y







cộng hai phơng trình ta
đợc:




3 2
2 1 1
x x

=
3 2
2
y y


Câu hởi đợc đa ra với học sinh là:

Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ?
Ví dụ . Giải phơng trình :





2 2
2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0
x x x x x


Giải:







2 2
2 1 2 2 1 3 3 2 3 3 2 1 3
x x x x f x f x


Xét hàm số



2

2 3
f t t t

, là hàm đồng biến trên R, ta có
1
5
x


Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung


Năm học : 2012 - 2013 14
Ví dụ: Giải phơng trình
3 2 23
4 5 6 7 9 4
x x x x x


Giải . Đặt
23
7 9 4
y x x

, ta có hệ :

3 2
3
3
2 3

4 5 6
1 1
7 9 4
x x x y
y y x x
x x y









Xét hàm số :


3
f t t t

, là hàm đơn điệu tăng. Từ phơng trình

23
5
1 1 1 7 9 4
1 5
2
x
f y f x y x x x x

x











Ví dụ : Giải phơng trình :
9 5 4
x x


Với ví dụ trên học sinh sẽ t duy chủ yếu vào việc biên đổi tơng đơng .
Nhng ngoài cách làm đó thầy giáo có thể dẫn dắt học sinh ,t duy vào việc sử
dụng đạo hàm để giải
Cụ thể : điều kiện
4
x

đặt
( ) 9 4 5
f x x x


Ta có :

1 1
'( ) 0; 4
2 9 2 4
f x x
x x



Nhận thấy x = 0 là nghiệm của phơng trình
TH1 -4<x<0 f(x) < f(0) = 0 hay phơng trình không có nghiêm với -4<x<0
TH2. 0<x thì f(0) < f(x) hay phơng trình vô nghiệm với x>0
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là x= 0
Thực ra, cho học sinh mò mẫm, tìm tòi dự đoán đúng là có tốn thời gian
gian thật, nhng "sẽ đợc đền bù nhanh chóng khi t duy độc lập của học sinh đã
đợc phát triển" (Hoàng Chúng). Cụ thể hơn nh M. Crugliắc đã nói: "Sự lĩnh
hội chân chính chỉ có đợc khi nào ngoài sự hiểu biết về một sự kiện và quy luật
của sự kiện ấy còn hiểu đợc rằng, vì sao có hiện tợng ấy, cái gì chế ớc nó, ".
3.4.2 Quan điểm 2: Trong quá trình tập luyện cho học sinh dự đoán và
suy luận có lý, cần biết động viên, khích lệ học sinh; nhng đồng thời cũng thể
hiện rõ mối quan hệ biện chứng giữa quy nạp và suy diễn
Trong quá trình học sinh dự đoán, dù rằng học sinh thành công hay thất
bại, thì học sinh cũng đã tự giác nỗ lực t duy và giáo viên cần phải trân trọng
điều đó. Rất có thể HS đa ra câu trả lời về một vấn đề nào đó là không đúng.
Khi đó, GV không nên bác bỏ một cách độc đoán, không nên đa ra những lời
bác bỏ nh "Em đã đoán sai!", mà thay vào đó, GV hãy đa ra những phản ví
dụ để giúp học sinh điều chỉnh lại hớng dự đoán của bản thân họ. "Chỉ có
những hoạt động đợc GV thờng xuyên khích lệ, nhng vẫn luôn luôn tự do
trong việc mò mẫm và ngay cả trong những sai lầm, mới có thể đa đến sự độc
lập về mặt trí tuệ" (J. Piaget).
Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung

Năm học : 2012 - 2013 15
Nhng mặt khác, nếu thầy giáo biết rằng học sinh đã dự đoán đúng, thì
cũng không nên nói ngay là "Em đã dự đoán đúng!" thay vào đó, thầy có thể
nói: "Em có thể kiểm tra lại dự đoán của mình thêm một lần nữa không? bằng
việc tiếp tục thử thêm một trờng hợp nữa chẳng hạn!".
Ví dụ : Giải phơng trình

2
4 5 1
x x x


Gợi mở cho học sinh cách dự đoán , suy luận và giải quyết vấn đề
+) Nếu dùng phơng pháp nâng luỹ thừa thì vế trái là bậc 4 đầy đủ
+) Nếu đặt ẩn phụ thì ta u tiên lựa chọn cho cách đặt một ẩn phụ hay hai
ẩn phụ
Đặt
1 2;( 2)
x y y

( Vì vế trái chứa
2 2
4 5 ( 2) 1
x x x


để đa về hệ )
Ta có

2 2
4 4 1 4 5
y y x y y x


PT















5
0)5(
54
54
2
2
xy
xy
yxyx

yxx
xyy

Với y= x ta có :
2 2
4 5 3 5 0
x x x x x

PT vô nghiệm
Với y=-x-5 ta có
2 2
4 5 5 5 10 0
x x x x x

PT Vô nghiệm
Kết luận : phơng trình vô nghiệm
3.4.3 Quan điểm 3: Làm cho học sinh ý thức đợc ý nghĩa của hoạt động
dự đoán và suy luận có thể dẫn đến những sai lầm
Qua phân tích ở các phần trên, chúng ta thấy đợc vai trò của dự đoán,
suy luận có lý trong dạy Toán và học Toán. Tuy nhiên, cha hẳn học sinh đã ý
thức đợc điều này, và do đó họ cũng không biết tiến hành hoạt động dự đoán,
suy luận có lý trong những tình huống là thích hợp.
Rất nhiều bài toán đợc đa ra để minh họa cho tầm quan trọng của dự đoán,
suy luận . Trong những ví dụ đó, SKKN cũng không quên bình luận những
khiếm khuyết, sai lầm của HS khi giải Toán, mà nguyên nhân chủ yếu của
những khiếm khuyết, sai lầm đó là do thiếu kỹ năng dự đoán,suy luận thiếu chặt
chẽ . Thầy biết đặt mình vào vị trí học sinh, hình dung và bình luận các sai lầm
mà học sinh thờng mắc phải,
Ví dụ : Giải :
2 2

5 10 1 7 2
x x x x

(*)
Với trên sẽ có học sinh giải theo các suy luận riêng của mình cụ thể :
Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung


Năm học : 2012 - 2013 16
Đặt
2
5 10 1, 0
t x x t

khi đó
(*)
2
2
1
(36 )
7
97 1296 0
5
5
0
0
0
t
t
t

t t
t
t
t
t



















2
2
2
2 3 0
16 5 10 1 81
2 16 0

1 3
1 1 17
1 17 1 17
x x
x x
x x
x x
x
x

















Kết luận : Nghiệm của là
1 1 17
x
Khi đó thầy giáo phải biết rằng kết quả trên là sai và cần phải chỉ ra cho học

sinh biết cái sai của họ
Đó là với
1 17 1
x x


thì
2
7 2 0
x x

điều đó đồng nghĩa với việc
2 2
5 10 1 0 7 2
x x x x


nên
1 17 1 17
x x
là nghiệm đúng
Vậy lời giải đúng là gì
Trên cơ sở sai lầm của học sinh thầy giáo nên đa ra cách giải chính xác
nhất
Lời giải 1 . Đặt
2
5 10 1, 0
t x x t

khi đó

(*)
2
2(36 ) 36
97 1296 0
1
; 0
7
5 5
365
36 7
0
0; 0
36
5
t t
t t
t
t
t
t
t
t
t

16 18
16
36
36
t
t
t
t

2 2
5 10 1 16 2 3 0 1 3
x x x x x x


Kết luận: nghiệm của là
3 1
x x


Tuy nhiên vân có cách giải khác cho trên
Lời giải 2 . Đặt
2
5 10 1, 0
t x x t

khi đó
(*)

2
2
36
4 9
5 36 0
4
5
0
0
0
t
t t
t t
t
t
t
t
t

2 2
5 10 1 16 2 3 0 1 3
x x x x x x


Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung


Năm học : 2012 - 2013 17
Kết luận: nghiệm của là
3 1
x x


Qua ví dụ trên thầy giáo là ngời chủ đạo dẫn dắt học sinh t duy, suy luân
theo nhiều cách khác nhau nhng phải đảm bảo cách giải phải chính xác .Tránh
gặp phải sai lầm đáng tiếc sảy ra Nếu quan tâm đúng mức đến việc rèn luyện
khả năng dự đoán, suy luận, và giải quyết vấn đề trong các phơng pháp giải
phơng trình và thì sẽ nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán, góp phần thực
hiện tốt mục tiêu và nhiệm vụ đổi mới PPDH Toán trong giai đoạn hiện nay cụ
thể là .
* Góp phần làm sáng rõ thêm vai trò của hoạt động dự đoán, suy luận bằng
việc tổng hợp, phân tích các cơ sở lý luận của các nhà khoa học.
* Đề xuất đợc những quan điểm đối với việc rèn luyện cho học sinh khả

năng dự đoán, suy luận của mình .
* Hiện thực hóa đợc hoạt động dự đoán, suy luận có lý trong quá trình tìm
kiếm lời giải các bài toán.Từ đó có thể tìm và giải quyết các bài toán hay

4.Kim nghim
a. Tổ chức thực nghiệm
Thực nghiệm s phạm đợc tiến hành tại trờng THPT Nguyễn Hoàng , Hà
trung , Thanh hoá .
+ Lớp thực nghiệm: 10C
1
do thầy giáo Nguyễn Thiên Lãng phụ trách giảng
dạy
+ Lớp đối chứng: 10C
3
do cô giáo Nguyễn Thị Tình phụ trách giảng dạy
Thời gian thực nghiệm đợc tiến hành vào khoảng từ tháng 9 đến tháng 11
năm 2012.
b. Nội dung thực nghiệm
Thực nghiệm đợc tiến hành trong Chủ đề Phơng trình và bất phơng
trình quy về bậc hai cho nội dung dạy học tự chọn . Sau khi dạy thực nghiệm,
chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra. Sau đây là nội dung đề kiểm tra:
Đề kiểm tra (thời gian 45 phút)
Câu I: Giải bất phơng trình

2
7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x

Câu II: Giải phơng trình
a.
2

2 4 6 11
x x x x



b.
101238
33
xx



Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung


Năm học : 2012 - 2013 18
c. Đánh giá kết quả thực nghiệm
Điểm

Lớp
0 1

2 3 4 5 6 7 8

9

1
0

Số

bài
Lớp
TN
(10C1)
0 0

0 0 3 5 1
0
1
0
9

7

6

50
Lớp
ĐC
(10C3)
0 0

1 3 6 8 1
3
9 6

3

1

50
Lớp thực nghiệm có 3/50 (6%) học sinh đạt điểm yếu, kém, 47/50 (94%)
học sinh đạt điểm trung bình trở lên, trong đó có 32/50 (64%) học sinh đạt điểm
khá, giỏi.
Lớp đối chứng có 10/50 (20%) học sinh đạt điểm yếu, kém, 40/50 (80%) học
sinh đạt điểm trung bình trở lên trong đó có 19/50 (38%) học sinh đạt điểm khá,
giỏi.
Căn cứ vào kết quả kiểm tra, bớc đầu có thể thấy hiệu quả của các biện
pháp s phạm nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng dự đoán, suy luận có lý
mà tôi đã đề xuất và thực hiện trong quá trình thực nghiệm.
d. Kết luận chung về thực nghiệm
Quá trình thực nghiệm cùng những kết quả rút ra sau thực nghiệm cho thấy:
mục đích thực nghiệm đã đợc hoàn thành, tính khả thi và tính hiệu quả của các
biện pháp đã đợc khẳng định. Thực hiện các biện pháp đó sẽ góp phần phát
triển năng lực dự đoán, suy luận có lý cho học sinh, góp phần nâng cao hiệu quả
dạy học môn Toán cho học sinh phổ thông.
Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung


Năm học : 2012 - 2013 19
III. Kt lun v xut
SKKN đã thu đợc những kết quả chính sau đây:
- Đã hệ thống hóa đợc quan điểm khoa học về rèn luyện khả năng dự
đoán, suy luận, và giải quyết vấn đề trong các phơng pháp giải phơng trình và
bất phơng trình vô tỷ
- Đã phần nào làm sáng tỏ thực trạng về khả năng dự đoán, suy luận trong
dạy học Toán ở trờng phổ thông. Phân tích những khó khăn, sai lầm của học
sinh khi giải Toán - mà nguyên nhân chủ yếu của những khó khăn, sai lầm đó
chính là sự hạn chế vền khả năng dự đoán, suy luận, và giải quyết vấn đề trong
các phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ ;

- Đã làm sáng tỏ đợc các con đờng để tập luyện cho học sinh dự đoán,
suy luận (đặc biệt hóa, khái quát hóa, tơng tự hóa, quy nạp);
- Đã đề xuất đợc xu hớng dạy học phù hợp với việc tập luyện cho học
sinh dự đoán, suy luận; cụ thể là hai cấp độ: Thuyết trình phát hiện và giải
quyết vấn đề; Đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua việc rèn
luyện khả năng dự đoán, suy luận, và giải quyết vấn đề trong các phơng pháp
giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ ;
- Đã đề xuất đợc các Quan điểm s phạm nhằm tập luyện cho học sinh rèn
luyện khả năng dự đoán, suy luận, và giải quyết vấn đề trong các phơng pháp
giải phơng trình ;
- Đã tổ chức thực nghiệm s phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của
những giải pháp đã đề xuất.
Nh vậy, có thể khẳng định rằng: Mục đích nghiên cứu đã đợc thực hiện,
Nhiệm vụ của SKKN đã hoàn thành và thực nghiệm là chấp nhận đợc.

Xác nhận của thủ trởng
đơn vị
Thanh Hóa, ngày 5 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết,đợc nâng cấp từ loại C năm 2009 -
2010 ,không sao chép nội dung của ngời
khác.
Ngời viết


Nguyễn Văn Trung