bồi dưỡng khả năng tự học trong giảng dạy nội dung giới hạn cho học sinh lớp 11 trường thpt minh đài

Phần 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn SKKN
Nhân loại đang sống trong thế kỷ XXI, thế giới đang chịu sự chi phối của xu
thế toàn cầu hoá, kinh tế thị trường, kinh tế tri thức và chuyển dịch theo hướng “xã
hội thông tin”, “xã hội học tập”. Trước bối cảnh đó đòi hỏi GD&ĐT phải tạo ra
những con người năng động, sáng tạo, có năng lực học tập thường xuyên và học
tập suốt đời.
Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ VIII Đảng CSVN đã chỉ rõ: “
“Đổi mới mạnh mẽ phương pháp Giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ
một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy cho người học. Từng bước áp dung phương
pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và
thời gian tự học, tự đào tạo thường xuyên và rộng khắp trong toàn dân, nhất là
trong Thanh niên”. [7,tr.23].
Luật giáo dục nước CHXH CN Việt Nam quy định: “Phương pháp giáo dục
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi
dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”.[7,tr.41]
Các kết quả nghiên cứu về giáo dục học cho thấy: “ Sẽ đem lại kết quả giáo
dục cao hơn nếu quá trình đào tạo biến thành quá trình tự đào tạo. Quá trình giáo
dục biến thành quá trình tự giáo dục.
Thực tế dạy học hiện nay tại trường THPT Minh Đài còn nhiều điểm tồn tại.
Việc dạy học chủ yếu hướng vào khối lượng kiến thức cần ghi nhớ. Chưa chú
trong đến dạy cách học, phương pháp học.
Xã hội tri thức nên kiến thức khoa học được tăng theo cấp số nhân. Trong
phạm vi và khuân khổ nhà trường phổ thông không thể cung cấp đủ vốn kiến thức
cho học sinh học cả đời vì lượng kiến thức trong SGK có hạn lại bị nhanh chóng
biến đổi về chất trong xã hội.
- 1 -
Qua điều tra bằng anket chúng tôi nhận thấy phương pháp học và cách học
của học sinh chưa được qua tâm một cách đầy đủ ở Tiểu học và THCS.
Nội dung “Giới hạn” trong chương trình THPT là lượng kiến thức mới được
dạy với lượng thời gian ít ( 8 tiết lý thuyết và 6 tiết luyện tập). Trong khi thói quen

và cách tính toán với số thực đã thành lối mòn. Vận dụng kiến thức trong tính toán
với nhiều lĩnh vực kiến thức: Toán học, Vật lý … Những kiến thức này còn phát
triển khi học lên đại học. Các dạng bài tập đa dạng phong phú
Với những lý do nêu trên, SKKN được chọn là: “Bồi dưỡng khả năng tự
học trong giảng dạy nội dung giới hạn cho học sinh lớp 11 trường THPT Minh
Đài”.
2. Mục đich nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu lý luận và tìm hiểu thực tiễn, đề xuất một số biện
pháp bồi dưỡng học sinh tự học thông qua giảng dạy phần Giới hạn cho học sinh
khối 11 trường THPT Minh Đài.
3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Các biện pháp của giáo viên để bồi dưỡng khả năng tự học của học sinh
3.2 Khách thể nghiên cứu
- Hoạt động tự học của học sinh
- Hoạt động giảng dạy của giáo viên.
- Thời gian và lối sinh hoạt của học sinh tại gia đình và các khu trọ
4. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình dạy học phần Giới hạn, nếu đề ra được các biện pháp hợp lý
Bồi dưỡng học sinh tự học sẽ góp phần nâng cao hiệu quả học tập phần số phức nói
riêng và môn Toán nói chung.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- 2 -
5.1. Nghiên cứu lý luận: Hệ thống những lý luận cơ bản có liên quan đến vấn đề
nghiên cứu: Tự học, các yếu tố ảnh hưởng đến quá trình tự học, các biện pháp đẩy
mạnh, kích thích hoạt động tự học của học sinh.
5.2. Tìm hiểu thực tiễn:
Thực trạng tự học môn Toán của học sinh trường THPT Minh Đài
5.3. Thực nghiệm sư phạm:
Kiểm chứng các biện pháp sư phạm đã nêu trên nhằm kiểm tra tính

khả thi của Sáng kiến
6. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận.
- Tìm hiểu thực tiễn.
- Trao đổi kinh nghiệm.
- Phương pháp quan sát.
- Phương pháp Toán học.
7. Phạm vi, giới hạn của SKKN
- Sáng kiến chỉ đề xuất các biện pháp hướng dẫn học sinh tự học trong mối
quan hệ thống nhất với hoạt động dạy học. Trong quá trình dạy học giáo viên
hướng dẫn học sinh tự học (trên lớp và ở nhà).
- Do điều kiện và thời gian nghiên cứu, Sáng kiến chỉ tập tìm hiểu một số
biện pháp thông qua nội dung dạy học phần Giới hạn.
- 3 -
Phần 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1. Xây dựng kế hoạch bài học
Xây dựng kế hoạch bài học cụ thể, thể hiện mối quan hệ tương tác giữa giáo
viên với học sinh, giữa học sinh với học sinh nhằm giúp học sinh đạt được mục
tiêu bài học.
a) Các bước xây dựng kế hoạch bài học chủ đề giới hạn
a
1
. Xác định mục tiêu của bài học chủ đề giới hạn, căn cứ vào chuẩn kiến
thức, kĩ năng và yêu cầu về thái độ trong chương trình ở trường THPT
a
2
. Nghiên cứu SGK và các tài liệu liên quan chủ đề giới hạn để :
- Hiểu chính xác, đầy đủ những nội dung bài học về chủ đề giới hạn .
- Xác định những kiến thức, kĩ năng, thái độ cơ bản cần hình thành và phát
triển ở học sinh khi học chủ đề này.

- Xác định trình tự lôgic của bài học chủ đề giới hạn .
a
3
. Xác định những khả năng đáp ứng nhiệm vụ nhận thức của học sinh :
- Xác định những kiến thức kĩ năng mà học sinh đã có và cần có khi học chủ
đề giới hạn .
- Dự kiến những khó khăn tình huống có thể nảy sinh và các phương án giải
quyết trong bước đầu tiếp cận chủ đề về giới hạn.
a
4
. Lựa chọn phương pháp dạy học; phương tiện thiết bị dạy học ; hình thức tổ chức
dạy học và cách thức đánh giá thích hợp nhằm giúp học sinh học tập tích cực, chủ động,
sáng tạo, phát triển năng lực tự học qua học chủ đề giới hạn .
a
5
. Xây dựng kế hoạch bài học chủ đề giới hạn : Xác định mục tiêu, thiết kế
nội dung, nhiệm vụ, cách thức hoạt động, thời gian và yêu cầu cần đạt cho từng
hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học tập của học sinh.
b ) Cấu trúc của một kế hoạch bài học chủ đề giới hạn được thể hiện ở các nội dung sau .
b
1
. Mục tiêu bài học :
- Nêu rõ yêu cầu học sinh cần đạt về kiến thức, kĩ năng, thái độ khi học chủ đề
giới hạn .
- Các mục tiêu được biểu đạt bằng động từ cụ thể, có thể lượng hoá được.
Mục tiêu kiến thức : gồm 6 mức độ nhận thức:
+ Nhận biết : Nhận biết thông tin ghi nhớ tái hiện thông tin .
- 4 -
+ Thông hiểu : Giải thích được, chứng minh được.
+ Vận dụng : Vận dụng nhận biết thông tin để giải quyết vấn đề đặt ra.

+ Phân tích : chia thông tin ra thành các phần thông tin nhỏ và thiết lập mối
liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng.
+ Tổng hợp : Thiết kế lại thông tin từ các nguồn tài liệu khác nhau và trên cơ
sở đó tạo lập nên một mẫu hình.
+ Đánh giá : Thảo luận về giá trị của một tư tưởng, một phương pháp, một nội
dung kiến thức. Đây là một bước mới trong việc lĩnh hội kiến thức được đặc trưng
bởi việc đi sâu vào bản chất của đối tượng, hiện tượng.
Mục tiêu kĩ năng: Gồm hai mức độ làm được và thông thạo về dạng toán chủ
đề giới hạn .
Mục tiêu thái độ : Tạo sự hình thành thói quen, tính cách nhằm phát triển con
người toàn diện theo mục tiêu giáo dục.
b
2
. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh :
- Giáo viên chuẩn bị các thiết bị dạy học ( tranh ảnh, mô hình, hiện vật ), các
phương tiện và tài liệu dạy học cần thiết liên quan đến khái niệm giới hạn.
- Giáo viên hướng dẫn học sinh chuẩn bị bài học, làm bài tập, chuẩn bị tài
liệu đồ dùng cần thiết phục vụ cho việc học chủ đề giới hạn .
b
3
. Tổ chức các hoạt động dạy học :
Trình bày rõ cách thức triển khai các hoạt động dạy - học cụ thể từng bài về chủ
đề giới hạn .
b
4
. Hướng dẫn các hoạt động nối tiếp :
Xác định những việc học sinh cần phải tiếp tục thực hiện sau giờ học để cũng cố,
khắc sâu, mở rộng bài cũ hoặc để chuẩn bị cho việc học bài mới qua học khái
niệm giới hạn
2.1.1. Một số hình thức trình bày kế hoạch bài học của chủ đề giới hạn

a ) Viết thứ tự hệ thống các hoạt động, câu hỏi theo thứ tự trên xuống dưới.
b ) Viết hệ thống các hoạt động theo 2 cột :
+ Hoạt động của giáo viên; + Hoạt động của học sinh .
c ) Viết hệ thống các hoạt động theo 3 cột :
+ Hoạt động của giáo viên; + Hoạt động của học sinh ;
- 5 -
+ Nội dung ghi bảng , hoặc tiêu đề nội dung chính và thời gian thực hiện.
d ) Viết hệ thống các hoạt động theo 4 cột :
+ Hoạt động của giáo viên; + Hoạt động của học sinh ;
+ Nội dung ghi bảng ; + Tiêu đề nội dung chính và thời gian thực hiện .
2.1.2. Phân chia hệ thống các nhóm hoạt động theo trình tự kế hoạch bài
học về chủ đề giới hạn
Nhóm 1: Kiểm tra, hệ thống, ôn lại bài cũ các kiến thức liên quan đến khái
niệm giới hạn và chuyển tiếp sang bài mới;
Nhóm 2: Hướng dẫn, diễn giải, khám phá, phát hiện tình huống, đặt và nêu
vấn đề liên quan đến khái niệm giới hạn ;
Nhóm 3 : Để học sinh tự tìm kiếm, khám phá, phát hiện thử nghiệm, qui nạp
suy diễn, để tìm ra kết quả, giải quyết vấn đề khái niệm giới hạn ;
Nhóm 4 : Rút ra kết luận, tổng kết, hệ thống kết quả, hệ thống hoạt động và
đưa ra kết luận giải quyết vấn đề về giới hạn;
Nhóm 5 : Tiếp tục cũng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng để vận dụng
vào giải bài tập về giới hạn và áp dụng vào cuộc sống .
2.1.3. Trình tự của lập kế hoạch bài học chủ đề giới hạn
- Đọc kĩ bài học trong SGK, sách giáo viên, sách tham khảo có liên quan đến
khái niệm chủ đề Giới hạn;
- Trả lời các câu hỏi, giải bài tập về khái niệm chủ đề giới hạn ;
- Hình dung phương pháp dạy học, phương tiện dạy học, thiết bị dạy học hệ
thống các câu hỏi trắc nghiệm khách quan và phương pháp đáng giá khi dạy học
chủ đề giới hạn ;
- Chuẩn bị hệ thống các nhóm hoạt động theo trình tự trên để viết kế hoạch bài

dạy cụ thể cho từng bài về chủ đề giới hạn ;
- Hình thành cách dạy bài học, cách tổ chức giờ học về chủ đề giới hạn
( chú ý sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học , đánh giá kết quả trong dạy
học).
- Viết kế hoạch bài dạy chủ đề giới hạn theo cấu trúc trên .
2.1.4. Thực hiện kế hoạch bài học về chủ đề giới hạn
- 6 -
a ) Kiểm tra sự chuẩn bị ( có thể thực hiện đầu giờ học hoặc có thể đan xen trong
quá trình dạy học kiến thức giới hạn )
- Kiểm tra việc nắm vững bài học cũ có liên quan đến kiến thức giới hạn .
- Kiểm tra tình hình chuẩn bị bài học (làm bài tập, chuẩn bị tài liệu và đồ dùng
học tập cần thiết ).
b ) Tổ chức dạy và học bài mới
- Giáo viên giới thiệu bài học mới : nêu nhiệm vụ học tập và cách thức thực
hiện để đạt được mục tiêu bài học ; tạo động cơ học tập cho sinh ;
- Giáo viên tổ chức, hướng dẫn học sinh suy nghĩ, tìm hiểu khám phá và lĩnh
hội nội dung bài học, nhằm đạt được mục tiêu bài học với sự vận dụng phưng
pháp dạy học phù hợp .
c ) Luyện tập cũng cố
Giáo viên hướng dẫn học sinh củng cố khắc sâu những kiến thức kĩ năng thái
độ đã có thông qua hoạt động thực hành luyện tập có tính tổng hợp nâng cao theo
những hình thức khác nhau về kiến thức giới hạn .
d) Đánh giá
- Trên cơ sở đối chiếu với mục tiêu bài học, giáo viên dự kiến một số câu hỏi
bài tập khái niệm giới hạn và tổ chức cho học sinh tự đánh giá về kết quả học tập
của bản thân và của bạn .
Giáo viên đánh giá tổng kết về kết quả giờ học .
e) Hướng dẫn học sinh học bài và làm việc ở nhà
- Giáo viên hướng dẫn học sinh luyện tập, củng cố bài củ thông qua làm bài
tập thực hành, tự ôn luyện, hệ thống lại các kiến thức giới hạn đã học.

- Giáo viên hướng dẫn học sinh chuẩn bị bài học mới.
2.2. Minh họa dạy học về khái niệm Giới hạn theo hướng phát huy
TTCNT của học sinh
Để phát huy TTCNT của học sinh cần xây dựng phương tiện trực quan tượng
trưng (mô hình, hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, biểu bảng,…) làm chổ dựa trực giác. Xây
dựng hệ thống ví dụ và phản ví dụ kết hợp với các phương tiện trực quan tổ chức
cho học sinh hình dung được nội dung khái niệm, phát hiện dấu hiệu bản chất của
khái niệm và khái quát hình thành khái niệm.
- 7 -
Theo như định hướng nhóm tác giả Đoàn Quỳnh chủ biên là không dùng định
nghĩa khái niệm Giới hạn thông qua định nghĩa ngôn ngữ ''
ε
,
δ
'', ''
ε
,
( )
ε
N
'' chủ
yếu do học sinh khó có thể lĩnh hội được các định nghĩa qua hình thức đó.
Nhưng ngay cả khi không còn sử dụng định nghĩa như vậy nữa và theo định
nghĩa kiểu mô tả thì người ta thừa nhận rằng không thể đòi hỏi học sinh hiểu một
cách sâu sắc bản chất sâu sắc về khái niệm Giới hạn, chính vì vậy chỉ yêu cầu học
sinh hiểu khái niệm một cách trực quan và bước đầu hình dung được thế nào là
giới hạn dãy số, hàm số từ đó biết lĩnh hội, vận dụng các định nghĩa, định lý,
phương pháp giải bài toán về giới hạn. Thực tế đâu đó trong cách dạy học giáo
viên thường lướt qua đại khái các định nghĩa và chỉ tập trung luyện tập cho học
sinh các thủ thuật tính giới hạn, khử các dạng vô định hay xét tính liên tục. Kết

quả cuối cùng không ít học sinh không những biết giải các bài tập liên quan mà
còn giải thành thạo nhưng rốt cục lại không hiểu bản chất khái niệm về giới hạn
và liên tục.
2.2.1. Ví dụ minh họa dạy học khái niệm Giới hạn dãy số
a) Mục tiêu
+) Về kiến thức: Hiểu được một cách trực quan, và nắm được bản chất khái niệm
giới hạn của dãy số có thể là: 0 ; L
≠
0;
∞±
, thông qua xét các ví dụ.
+) Về kĩ năng: Giúp học sinh biết vận dụng định nghĩa và các kết quả cơ bản đặc
biệt để nhận biết chứng minh dãy số có giới hạn và tính giới hạn dãy số.
+) Về tư duy: Bước đầu hình thành kiểu tư duy logíc, linh hoạt, phát triển suy
luận toán học gắn liền với sự vô hạn, liên tục, biến thiên
+) Về thái độ: Có thái độ học tập tích cực, độc lập, phát huy tính sánh tạo.
b) Chuẩn bị phương tiện trực quan dạy học
+) Thực tiễn: Học sinh biết biểu diễn sắp xếp thứ tự các số thực trên trục số.
+) Phương tiện: Chuẩn bị bảng biểu, để minh họa giới hạn dãy số trên trục số.
c) Gợi ý về phương pháp dạy học
Sử dụng các phương pháp dạy học cơ bản sau một cách linh hoạt nhằm phát huy
TTCNT giúp học sinh tự tìm tòi, phát hiện chiếm lĩh tri thức chủ động:
+ Gợi mở, vấn đáp ;
+ Phát hiện và giải quyết vấn đề;
- 8 -
+ Tổ chức đan xen hoạt động học tập cá nhân và nhóm
d) Ví dụ minh họa dạy học khái niệm Giới hạn dãy số theo hướng phát huy
TTCNT của học sinh.
*) Xây dựng định nghĩa khái niệm Giới hạn dãy số:
Để gợi nhu cầu cho học sinh nhận thức, hình dung được nội dung khái niệm,

phát hiện dấu hiệu bản chất và khái quát hình thành, củng cố, khắc sâu khái niệm
về Giới hạn của dãy số điều quan trọng là học sinh hiểu được bản chất khái niệm
mệnh đề, không nên coi trọng lập luận chặt chẽ chính xác toán học, đưa ra xét ví
dụ giúp học sinh hình dung giới hạn của dãy số:
Bước 1 : Tổ chức cho học sinh phát hiện bản chất khái niệm giới hạn dãy số
Ví dụ 20: Xét dãy số u
n
=
( )
n
n
1−
; n = 1,2,3,…
(?1): Viết một số các số hạng dạng khai triển của dãy số đó ?
(!) : Là -1,
,
24
1
,
23
1
, ,
11
1
,
10
1
, ,
4
1

,
3
1
,
2
1
−−−
.
(?2) :Thông qua biểu diễn các số hạng của dãy u
n
=
( )
n
n
1−
trên trục số nhận xét vị
trí tương đối của các điểm đó với điểm 0 ?
(!) : Khi n tăng điểm biểu diễn “chụm lại “ quanh điểm 0 (ở hình vẽ).
u
n
u
n+2

→
0
←
u
n+1
( Dãy có giới hạn 0)

(?3): Khi n
→
+
∞
thì khoảng cách từ điểm u
n
với điểm 0 tức |u
n
- 0| = |u
n
| = ? nhận
xét ?
(!) : Khoảng cách từ điểm u
n
đến điểm 0, tức | u
n
| =
n
1
trở nên nhỏ bao nhiêu cũng
được (nhưng không thể bằng 0), khi n càng lớn.
(?4) : Hãy minh họa rõ qua lập bảng ?
(!) : Cụ thể
n 1 2 … 10 11 … 76 77 …1000000 1000001 1000002 …
+∞→
- 9 -


n
u

1
2
1
…
10
1

11
1
…
76
1

77
1
…
1000000
1

1000001
1

1000002
1

0
→
(?5) : Mọi số hạng đã cho, kể từ số hạng thứ mấy trở đi, thì đều có giá trị tuyệt đối
nhỏ hơn số dương (
ε

) là
?
1000000
1
Vì sao ?
( !) : Với số dương
1000000
1
tức là |u
n
| =
n
1
<
1000000
1

⇔
n > 1000000, nghĩa là
bắt đầu từ số hạng thứ 1000001 trở đi;
(!) : Vì khi đó thì |u
n
| <
1000000
1

⇔
-
1000000
1

< u
n
<
1000000
1
tức là khoảng (-
1000000
1
;
1000000
1
) trên trục số thực, chứa tất cả các số hạng của dãy u
n
=
( )
n
n
1−
và
bên ngoài khoảng đó chỉ chứa hữu hạn các số hạng thứ tự từ 1 đến 1000000 của dãy số đã cho
Như vậy mọi số hạng của dãy số đã cho đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số thực
dương (
ε
) nhỏ tùy ý cho trước (nhưng không thể bằng 0), kể từ một số hạng nào đó trở
đi, ta nói rằng dãy số u
n
=
( )
n
n

1−
có giới hạn là 0.
Bước 2 : Khái quát hóa và nêu ra định nghĩa khái niệm giới hạn của dãy số
(?6): Đó là nội dung định nghĩa dãy số có giới hạn 0, hãy phát biểu định nghĩa ? cho ví dụ minh họa ?
(!) : Định nghĩa1:"
+∞→n
lim
u
n
= 0
⇔

∀
| u
n
| < m là một số thực dương nhỏ tùy ý cho
trước (nhưng không bằng 0), kể từ một số hạng nào đó trở đi".
(?7) : áp dụng tính
+∞→n
lim
C = ? Từ đó hãy phát biểu định nghĩa dãy có giới hạn L
≠
0 ( L
∈
R) qua định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ? cho ví dụ minh họa?
(!) : Định nghĩa 2:
+∞→n
lim
u
n

= L
⇔
+∞→n
lim
(u
n
– L) = 0 .
(?*8) : Trong định nghĩa sử dụng cụm từ ''nhỏ tùy ý '' có ý nghĩa gì ?
(!*) : Thực ra, nếu không có lời giải thích đó học sinh sẽ ít chú trọng đến tính chất
''vô cùng bé '' và tính “biến thiên’’, đây là đặc trưng của Giải tích mà học sinh chỉ
nghĩ đến giá trị cố định của số dương, thì tư duy lại theo kiểu ''tĩnh tại'', ''rời rạc’',
- 10 -
''hữu hạn'' của Đại số. Lời giải thích này hướng vào kiểu tư duy ''biến thiên'', ''liên
tục'', ''vô hạn'' của Giải tích.
(?9) : Trở lại định nghĩa 1: nếu + Thay dấu “ < “ , bởi dấu ” >”;
+ Thay
ε
bởi - M ( hoặc M );
+ Bỏ dấu giá trị tuyệt đối của U
n
miền giá trị của U
n
= ? ;
+ Thay cụm từ “nhỏ tùy ý “ , bởi cụm từ “lớn tùy ý “ ;
thì đó là nội dung hai định nghĩa về khái niệm giới hạn âm vô cực ( dương vô
cực), hãy phát biểu ?
(!) : Định nghĩa 3: "
+∞→n
lim
u

n
= +
∞
⇔

∀
u
n
> M , với M là một số thực dương lớn tùy
ý cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi".
(!): Định nghĩa 4: "
+∞→n
lim
u
n
= -
∞

⇔

∀
u
n
> - M, với M là một số thực dương lớn tùy
ý cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi ".
(? 10): Mối liên hệ giữa hai định nghĩa 3 và định nghĩa 4 ?
(!) : Xem định nghĩa dãy số u
n
có giới hạn -
∞

thông qua +
∞
như sau: ''Dãy số u
n
được gọi là có giới hạn -
∞
nếu
+∞→n
lim
(- u
n
) = +
∞
”.
Bước 3: Nhận dạng củng cố, khắc sâu khái niệm về Giới hạn của dãy số
(?11): Phân biệt rõ ''giới hạn hữu hạn '' và ''giới hạn vô hạn”minh họa trục số ?
+ Khi n tăng các điểm biểu diễn các số hạng của dãy số u
n
có giới hạn hữu
hạn là L (với L
∈
R) thì chụm lại quanh điểm L.
+Với n tăng các điểm biểu diễn các số hạng của dãy số u
n
có giới hạn vô
cực: +
∞
(hoặc -
∞
) là một ''quá trình biến thiên'' đi xa mãi theo chiều dương

(hoặc chiều âm) của trục số vượt qua mọi điểm M ( hoặc - M ) cho trước dù số
thực dương M lớn tùy ý đến đâu thì điểm biểu diễn của dãy số u
n
đều nằm bên
phải điểm M ( hoặc đều nằm bên trái điểm M ) có thể kể từ một số hạng nào đó
trở đi, được minh họa rõ ở hình vẽ :
- 11 -
u
n
u
n+2


L

u
n+1
( Dóy cú gii hn L)


2
+
n
u

1+n
u

n
u

-M
(Dóy cú gii hn -

)
M

u
n
u
n+1
u
n+2
(Dóy cú gii hn +

)
Đây là bớc không thể thiếu đợc khi học về khái niệm mới, để cũng cố cho học
sinh ta dùng các bài toán mà trong đó phải trả lời các câu hỏi nh: kể từ số hạng
nào trở đi thì
n
u
nh hn mt s dng (cho trc nh tựy ý nhng khụng th bng
0) ?, bng cỏch cho :
a) Lm bi kim tra (15 phỳt) sau õy:
Cõu 1 : Cho dóy s u
n
=
( )
92

1
+

n
n
. Cỏc khong no cho sau õy cha tt c cỏc s
hng ca dóy (cú th tr ra mt s hu hn s hng ca dóy) ?
A.






209
100
;
209
99
B.






9
8
;
9

7
C.







2009
2
;
2009
2
D.
( )
3;2
Cõu 2 : Cho dóy s u
n
=
99
89
+
+
n
n
Cỏc khong no cho sau õy cha tt c cỏc s
hng ca dóy (cú th tr ra mt s hu hn s hng ca dóy) ?
A.

19
9
;
19
8
B.







1000
1
;
1000
1
C. (2;3) D.

10009
2
;
10009
1
Cõu 3 : Hóy cho bit dóy no cú gii hn ?
A. u
n
=
n
q
vi q < 1 B. u
n
=
( )
( )
2
1 n
n

C. u
n
=(-1)
n
D. u
n
=
( )
n
n

1
.
* Dng ý s phm ca kim tra (15 phỳt) :
Cõu 1: Nhm kim tra xem hc sinh cú nm c bn cht khỏi nim dóy s
cú gii hn l 0 qua vn dng nh ngha, ch yờu cu nhn bit;
Cõu 2: Cng nhm kim tra hc sinh cú nm c bn cht khỏi nim dóy s
cú gii hn L

0 qua vn dng nh ngha, ch yờu cu nhn bit;
Cõu 3: Kim tra hc sinh nm vng khỏi nim nh ngha dóy cú gii hn,
khụng phi mi dóy s u l hoc cú gii hn hu hn ( L

0 ) hoc cú gii hn vụ
- 12 -
cực (
∞±
), chỉ yêu cầu nhận biết.
b) Cho các bài tập về nhà luyện tập sau đây:
Bài 1: Tìm các số hạng của dãy u
n
=
n2
1
sao cho khoảng cách giữa chúng đến
số 0 là : a) nhỏ hơn
2000
1
; b ) nhỏ hơn 2 .
Bài 2 : Tìm các số hạng của dãy u
n

=
9+n
n
sao cho khoảng cách của chúng
đến số 1 là : a) nhỏ hơn
9
10
1
; b) nhỏ hơn 1.
Bài 3 : Hãy cho biết dãy nào có giới hạn ? Nếu dãy số có giới hạn chỉ ra giới
hạn của dãy số ? Kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì
n
z
nhỏ hơn 0,00001 ?
a ) u
n
= (-1)
n
n ; b) v
n
= (-1)n ; c) w
n
= n ; d) z
n
=
( )
n
n
1−
.

Tóm lại khi học về Giới hạn của dãy số ta cần làm cho học sinh nắm vững
hiểu rõ bản chất qua xét các ví dụ và phân biệt được ''giới hạn hữu hạn '' với ''giới
hạn vô hạn” của dãy số bằng ” trực giác hình học'' trên trục số kết hợp với lập
luận ''trực giác số”.
2.2.2. Sử dụng tư liệu kiến thức lịch sử Toán học dạy khái niệm giới hạn
Ngoài ra, nếu có điều kiện ta có thể sử dụng tư liệu lịch sử Toán về khái niệm
giới hạn để gợi động cơ, hình thành, củng cố, khắc sâu khái niệm qua đó khơi dậy
phát huy TTCNT của học sinh trong các tiết dạy tự chọn, ôn luyện hay ngoại
khóa, tùy theo từng đối tượng học sinh mà giáo viên có thể khai thác thêm một số
nghịch lý thể hiện qua các ví dụ sau :
Ví dụ 22: Nghịch lí “ 0 = 1 “.
Xét S = 1 – 1 + 1 – 1 +…+ 1 - 1 +…
Ta có, S = ( 1 – 1 ) + ( 1 – 1 ) +…+( 1 – 1) +…= 0 + 0 +…+ 0 + …= 0. (*)
Mặt khác,
S =1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) +…+ (-1 + 1) +…= 1 + 0 + 0 + …+ 0 +…= 1. (**)
- 13 -
Từ (*) và (**) suy ra : 1 = 0 (!?).
Ví dụ 23: Nghịch lý “ -2 là số dương “.
Cho x = 1 +

2
3

2
3
2
3
2
3
132

+






++






+






+
−n
(***)
Suy ra :
2
3
x =

2

3

2
3
2
3
2
3
132
+






++






+







+
−n
(****)
Từ (***) ta thấy x là tổng của các số dương nên x > 0.
Nhưng lấy (***) trừ đi (****) ta có : x -
2
3
x = 1 hay x = -2 . Vậy từ đó ta dẫn
đến -2 là một số dương.
Các nghịch lý trên cho thấy các phép toán và qui tắc đại số không giải thích
được các phép toán liên quan đến quy trình vô hạn. Như vậy, nhu cầu tất yếu là
khám phá phép toán mới để giải quyết các vấn đề liên quan đến nghịch lí trên.
Đối với cách dạy dạng này phù hợp với tiết dạy tự chọn, ngoại khóa. Qua đây
cho học sinh thấy được sự hạn chế của phép toán và qui tắc đại số trong việc giải
quyết các vấn đề liên quan tới sự vô hạn. Mặt khác tạo động cơ tiếp thu khái
niệm mới, cũng như cho học sinh ý thức đựơc tầm quan trọng của khái niệm giới
hạn và có nhu cầu hứng thú học về khái niệm giới hạn.
Thực tế, trong dạy học tùy vào từng đối tượng học sinh để có phương pháp dạy học
phù hợp, không phải những câu hỏi đặt ra đều được học sịnh trả lời đúng như mong đợi, vì
vậy trên đây là những câu hỏi và trả lời định hướng mắt xích của vấn đề, để phát huy được
TTCNT của học sinh khi xây dựng về khái niệm Giới hạn dãy số, đòi hỏi bản thân mỗi
giáo viên, phải tinh tế, lựa chọn sử lý các tình huống, vận dụng những biện pháp, phương
thức sư phạm thích hợp sao cho đạt được kết quả trong quá trình dạy học .
2.2.3. Dạy học bài tập về Giới hạn với chức năng phát huy TTCNT của
học sinh.
- 14 -
Trong dạy học, bài tập toán được sử dụng với những chức năng khác nhau
như: dạy học, phát triển, giáo dục, kiểm tra. Mỗi bài tập toán cụ thể có dụng ý
và những chức năng khác nhau, như ở đây với chức năng dạy học bài tập được
xây dựng nhằm hình thành ý thức tự cũng cố đào sâu, hệ thống hóa khái niệm và

rèn luyện kỹ năng kỹ xảo cho học sinh đối với các kiến thức về khái niệm chủ đề
giới hạn đã học, bài tập như thế này là hình thức tốt nhất để phát huy TTCNT
của học sinh.
2.2.3.1. Bài tập về Giới hạn là phương tiện phát huy TTCNT của học sinh
Trong dạy học Toán ở trường phổ thông, có thể xem việc giải toán là hình
thức chủ yếu của hoạt động toán học đối với học sinh. Hệ thống bài tập toán là
cầu nối gắn liền lí thuyết với thực tiễn, đồng thời bài tập là hình thức tốt nhất để rèn
luyện tính tích cực trong hoạt động nhận thức ở học sinh, đây là một phương tiện rất có
hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát
triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo vận dụng toán học vào thực tiễn.
Vì vậy, làm bài tập toán nói chung và giải bài tập về chủ đề Giới hạn nói
riêng là một phương tiện tốt để phát huy TTCNT của học sinh.
2.2.3.2. Ví dụ minh họa dạy học luyện tập về các bài toán tính Giới hạn và
xét tính liên tục của hàm số theo hướng phát huy TTCNT của học sinh.
i) Ví dụ dạng bài tập về Giới hạn vô cực và dần về vô cực của hàm số
Thực tế cho thấy các dạng bài tập về giới hạn của hàm số như: khử các dạng
vô định,…nói chung học sinh cũng đã được làm quen và thực hành tương đối
nhiều ở các loại sách tham khảo, nhưng đối với dạng bài tập này học sinh thường
gặp khó khăn bởi vì căn bản ở SGK chưa phân biệt vô cực rõ ràng ra +
∞
và -
∞
mà thường dùng chung chung là
∞
, nên khi tính giới hạn của hàm số cùng là một
cách tiến của x tới điểm giáp ranh x = a nào đó, mà về hai phía khác nhau của
- 15 -
điểm x = a đó là
−+
→→ axax ;

, nhưng kết quả dẫn đến hai giá trị hoàn toàn khác
nhau, chẳng hạn là: +
∞
và -
∞
. Hoặc khi
−∞→+∞→ xx ;
, hoàn toàn xa nhau
nhưng hàm số dần về hai phía của một giá trị là L
+
; L
−
đối với dạng bài tập này sử
dụng phương tiện biểu đồ, đồ thị làm chổ dựa trực quan bản chất của vấn đề, cụ thể được minh họa
rõ qua các dạng bài tập sau:
Bài tập 1: Cho hàm số
( )
x
x
xf
1
2
+
=
và đường thẳng y = x (có đồ thị hình 5).
a) Quan sát và nêu nhận xét vị trí tương đối của đồ thị trên hệ trục tọa độ, dự
đoán giới hạn của hàm số
( )
x
x

xf
1
2
+
=
khi x
→
0
+
, x
→
0
-
, x
→
-
∞
, x
→
+
∞
?
b) Kiểm tra lại các nhận xét dự đoán giới hạn nêu trên bằng cách tìm :

)(lim
0
xf
x
+
→

,
)(lim
0
xf
x
−
→
,
)(lim xf
x −∞→
,
)(lim xf
x +∞→
,

( )
[ ]
xxf
x
−
+∞→
lim
= 0 ?,
( )
[ ]
xxf
x
−
−∞→
lim

= 0 ?
Giải: a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét vị trí tương đối của đồ thị trên hệ trục
tọa độ, dự đoán giới hạn của hàm số
( )
x
x
xf
1
2
+
=
+ Khi x
→
0
+
, thì
( )
xf
→
+
∞
và đồ thị của hàm số
( )
xf
càng đi lên càng sát dần
bên phải với trục tung
y0
tức :
)(lim
0

xf
x
+
→
= +
∞
.
+ Khi x
→
0
-
, thì
( )
xf
→
-
∞
và đồ thị của hàm số
( )
xf
càng đi xuống càng sát
dần bên trái với trục tung
y0
tức là :
)(lim
0
xf
x
−
→

= -
∞
.
+ Khi x
→
-
∞
, thì
( )
xf

→
-
∞
nghĩa :
−∞→x
lim
( )
xf
= -
∞
và đồ thị của hàm số
( )
xf
càng đi xuống càng sát dần phía dưới với đường thẳng y = x tức là :
( )
[ ]
xxf
x
−

−∞→
lim
= 0 .
+ Khi x
→
+
∞
, thì
( )
xf

→
+
∞
nghĩa :
+∞→x
lim
( )
xf
= +
∞
và đồ thị của hàm số
( )
xf
càng đi lên càng sát dần phía trên với đường thẳng y = x tức là :
( )
[ ]
xxf
x
−

+∞→
lim
= 0 .
b) Kết hợp sử dụng kết quả của qui tắc về xét dấu phép toán chia vô cực, ta
có:
+
→0
lim
x
x
x 1
2
+
=
+
→0
lim
x
)
1
(
x
x +
= +
∞
;
−
→0
lim
x

x
x 1
2
+
=
−
→0
lim
x
)
1
(
x
x +
= -
∞
;
- 16 -

−∞→x
lim
x
x 1
2
+
=
−∞→x
lim
x
x

1
1
1
2
+
= -
∞
;
+∞→x
lim
x
x 1
2
+
=
+∞→x
lim
x
x
1
1
1
2
+
= +
∞
;

−∞→x
lim









−
+
x
x
x 1
2
=
−∞→x
lim
x
1
=
−
0
;
+∞→x
lim









−
+
x
x
x 1
2
=
+∞→x
lim
x
1
=
+
0
.
(hình 5- của bài tập 1 ) (hình 6- của bài tập 2)
Bài tập 2 : Cho hàm số
( )
xf
=
45
12152
2
2
+−
+−
xx

xx
(có đồ thị như hình 6)
a) Dựa vào đồ thị và nêu nhận xét dự đoán giới hạn của hàm số
- 17 -
x
y
ο
→
−
+
←
1
4
2
0
x
y
4
( )
xf
=
45
12152
2
2
+−
+−
xx
xx
khi

−
→1x
,
+
→1x
,
−
→ 4x
,
+
→ 4x
,
−∞→x
,
+∞→x
?
b ) Kiểm tra lại các nhận xét dự đoán giới hạn nêu trên bằng cách tìm :

−
→1
lim
x
( )
xf
,
+
→1
lim
x
( )

xf
,
−
→4
lim
x
( )
xf
,
+
→4
lim
x
( )
xf
,
−∞→x
lim
( )
xf
,
+∞→x
lim
( )
xf
?
Giải :a) Dựa vào đồ thị và dự đoán giới hạn của:
( )
xf
=

45
12152
2
2
+−
+−
xx
xx
−
→1
lim
x
( )
xf
= -
∞
,
+
→1
lim
x
( )
xf
= +
∞
,
−
→4
lim
x

( )
xf
= +
∞
,
+
→4
lim
x
( )
xf
= -
∞
,
−∞→x
lim
( )
xf
= 2
+
,
−∞→x
lim
( )
xf
= 2
+
.
a) Kiểm tra lại các nhận xét dự đoán giới hạn nêu trên bằng cách tìm :
−

→1
lim
x
( )
xf
,
+
→1
lim
x
( )
xf
,
−
→4
lim
x
( )
xf
,
+
→4
lim
x
( )
xf
,
−∞→x
lim
( )

xf
,
+∞→x
lim
( )
xf

Kết hợp sử dụng kết quả của bảng 4 qui tắc phép toán chia vô cực, ta có:
*) Vì
−
→1
lim
x
(2x
2
-15x+12) = -1< 0,
−
→1
lim
x
(x
2
-5x+4) = 0
+
nên
−
→1
lim
x
45

12152
2
2
+−
+−
xx
xx
= -
∞
*)Vì
+
→1
lim
x
(2x
2
-15x+12)= -1< 0,
+
→1
lim
x
(x
2
-5x+4) =
−
0
nên
+
→1
lim

x
45
12152
2
2
+−
+−
xx
xx
= +
∞
*)Vì
−
→4
lim
x
(2x
2
-15x+12)= -16 < 0,
−
→4
lim
x
(x
2
-5x+4)=
−
0
nên
−

→4
lim
x
45
12152
2
2
+−
+−
xx
xx
= +
∞
*)Vì
+
→4
lim
x
(2x
2
-15x+12)= -16 < 0,
+
→4
lim
x
(x
2
-5x+4)= 0
+
nên

+
→4
lim
x
45
12152
2
2
+−
+−
xx
xx
= -
∞
*)
−∞→x
lim
45
12152
2
2
+−
+−
xx
xx
=
−∞→x
lim
2
2

45
1
1215
2
xx
xx
+−
+−
= 2
+
.
*)
−∞→x
lim
45
12152
2
2
+−
+−
xx
xx
=
−∞→x
lim
2
2
45
1
1215

2
xx
xx
+−
+−
= 2
-
.
Bài tập 3: Cho ba hàm số:
( )
xf
=
2
23
1
x
xx −+
;
( )
xg
=
x
xx 1
2
−−
;
( )
xh
=
x

x 1
2
−−
Các đường cong C
7
, C
8
, C
9
( h.7, 8, 9) là đồ thị của ba hàm số này, xét trên tập
R\
{ }
0
, (không xếp theo thứ tự).
a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét dự đoán giới hạn của các hàm số khi :
- 18 -
x
→
0
+
, x
→
0
-
, x
→
-
∞
, x
→

+
∞
?
b) Chỉ dùng kết quả tính giới hạn của hàm số
( )
xf
,
( )
xg
,
( )
xh
khi:
x
→
0
-
, x
→
0
+
, x
→
-
∞
, x
→
+
∞
từ đó hãy xác định đường cong nào là đồ thị

của hàm số đã cho ?
(Hình 7 ) ( Hình 8) ( Hình 9 )
Giải: a) Nhận xét dự đoán giới hạn của hàm số:
*) Đối với đồ thị hình 7 (đường cong C
7
)
Khi x
→
0
-
, thì (nhánh đường cong C
7
)
→
+
∞
và càng sát dần bên trái với
y0
.
Khi x
→
0
+
, thì (nhánh đường cong C
7
)
→
-
∞
và càng sát dần bên phải với

y0
.
Khi x
→
-
∞
, thì (nhánh đường cong C
7
)
→
+
∞
càng sát dần phía trên với đường
thẳng y = -x.
- 19 -
y yy
xx x
0
0
0
Khi x
→
+
∞
, thì (nhánh đường cong C
7
)
→
-
∞

và đồ thị càng sát dần phía dưới với
đường thẳng y = - x.
*) Đối với đồ thị hình 8 của (đường cong C
8
)
Khi x
→
0
+
, thì (nhánh đường cong C
8
)
→
-
∞
và càng sát dần bên phải với
y0
.
Khi x
→
0
-
, thì (nhánh đường cong C
8
)
→
-
∞
và càng sát dần bên trái với
y0

.
Khi x
→
-
∞
, thì (nhánh đường cong C
8
)
→
-
∞
và càng sát dần phía dưới với đường
thẳng y = x.
Khi x
→
+
∞
, thì (nhánh đường cong C
8
)
→
+
∞
và càng sát dần phía dưới với
đường thẳng y = x.
*) Đối với đồ thị hình 9 của (đường cong C
9
)
Khi x
→

0
+
, thì (nhánh đường cong C
9
)
→
+
∞
và càng sát dần bên phải với
y0
.
Khi x
→
0
-
, thì (nhánh đường cong C
9
)
→
-
∞
và càng sát dần bên trái với
y0
.
Khi x
→
-
∞
, thì (nhánh đường cong C
9

)
→
-
∞
và đồ thị càng sát dần phía dưới với
đường thẳng y = x.
Khi x
→
+
∞
, thì (nhánh đường cong C
9
)
→
+
∞
và đồ thị càng sát dần phía trên với
đường thẳng y = x.
b) Kết quả tính giới hạn của hàm số
( )
xf
,
( )
xg
,
( )
xh
khi:
x
→

0
-
, x
→
0
+
, x
→
-
∞
, x
→
+
∞

*) Ta có :
+
→0
lim
x
2
23
1
x
xx −+
= +
∞
;
−
→0

lim
x
2
23
1
x
xx −+
= -
∞
.
Từ kết quả này và đồ thị đã cho suy ra đường cong C
8
là đồ thị của hàm số
( )
xf
vì chỉ C
8
là có hai nhánh đồ thị dần ra -
∞
khi x
→
0
-
, x
→
0
+
.
*) Xét :
+∞→x

lim
x
xx 1
2
−−
=
+∞→x
lim
x
xx
1
11
1
2
−−
=+
∞
Kết hợp với đồ thị suy ra đường cong C
9
là đồ thị của hàm số
( )
xg
. Vì trong
hai đường cong còn lại chỉ có C
9
là có nhánh đồ thị dần tới +
∞
khi x
→
+

∞
.
*) Từ hai kết quả trên, suy ra
( )
xh
có đồ thị là đường cong C
7
.
ii) Ví dụ minh họa dạy hoc về loại bài tập xét tính liên tục của hàm số
- 20 -
Tập cho học sinh thói quen tìm hiểu sâu sắc bản chất của khái niệm về tính
liên tục hàm số, chẳng hạn từ nội dung của định lí :
“ f(x) liên tục trên [ a ; b] và f(a).f(b) < 0
( ) ( )
cfbac :;∈∃⇒
= 0 “.
Cho học sinh khai thác các giả thiết của định lí là:
f(x) liên tục trên [ a ; b] và f(a).f(b) < 0 , qua dạng bài tập sau:
Bài tập 4 : Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b]. Nếu f(a).f(b) > 0 thì phương trình
f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a;b) ? Cho ví dụ minh họa ?
Giải : Với hàm số f(x) liên tục trên [a;b]. Nếu f(a).f(b) > 0 thì phương trình
f(x) = 0 có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng (a;b), chẳng hạn:
Xét hàm số f(x) = x
2
– 1 liên tục trên [-2;2] và f(-2). f(2) = 9 > 0. Phương
trình x
2
– 1 = 0 có nghiệm x =
±
1 trong khoảng (-2;2).

Xét hàm số (x) = x
2
+ 1 liên tục trên [-1;1] và f(-1). f(1) = 4 > 0. Phương
trình x
2
+ 1 = 0 vô nghiệm trong khoảng (-1;1) mà còn vô nghiện trên R.
Bài tập 5: Cho hàm số f(x) không lên tục trên đoạn [a;b], nhưng f(a).f(b)< 0.
phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a;b) ? Hãy
minh họa câu trả lời bằng đồ thị ?
Giải : Nếu hàm số f(x) không liên tục trên đoạn [a;b] và f(a). f(b) < 0 thì
phương trình f(x) = 0 có thể nhiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng (a;b).
Chẳng hạn minh họa hình học :
(hình 10), f(x) = 0 có nghiệm (a;b) (hình 11), f(x) = 0 vô nghiệm (a;b)
Bài tập 6 : Cho hàm số
x
xf
1
)( =
. Hãy đánh dấu đúng (sai) tương ứng với
khẳng định đúng (sai).
a) Thì
0)1().1( <− ff
; (Đúng).
- 21 -
a
b
x
y
0
a

b
x
y
0
b) Phương trình
0
1
0)( =⇔=
x
xf
có ít nhất một nghiệm
)1;1(−∈x
;(Sai).Vì sao?
c) Phương trình
1
1
2
−= x
x
có ít nhất một nghiệm
( )
2;1∈x
. (Đúng).
Qua làm các dạng bài tập này, học sinh sẽ thấy rằng ba điều kiện để hàm số
f(x) liên tục tại điểm x = a , cần thoả mãn đồng thời là:
i) f(x) xác định tại x = a ; ii) Tồn tại
ax→
lim
f(x) ; iii)
ax→

lim
f(x) = f(a).
Trong khi dạy học thì phản ví dụ có vai trò rất quan trọng trong việc tránh sai
lầm của học sinh khi lĩnh hội khái niệm, chẳng hạn đưa ra phản ví dụ sau để nhận
dạng khái niệm hàm số f(x) liên tục tại một điểm:
(?) Vậy như thế nào thì hàm số không liên tục tại một điểm ? Cho ví dụ minh
họa ?
Ví dụ24:
+) Hàm số f(x) =
9
3
−
+
x
x
, không liên tục tại x= 9 (không thõa mãn điều kiện i);
+) Hàm số g(x) =





≠
=
0;
1
0;1
x
x
x

, không liên tục tại x= 0 ( không thõa mạn ii);
+) Hàm số h(x) =





=
≠
−
−
1;0
1;
1
1
2
x
x
x
x
, không liên tục tại x = 1 (không thõa mạn iii).
Qua các dạng bài tập về xét tính liên tục của hàm số mà bản chất chính là xét
tính liên tục tại một điểm của hàm số ta có thể tóm tắt sơ đồ về qui trình các bước
đó như sau: (Sơ đồ 4)
- 22 -
2−
x
y
2
0

Ngoài ra khi xét tính liên tục của hàm số nói chung, xét
tính liên tục của hàm số tại một điểm nói riêng ta cần xét
đến tập xác định của hàm số đó, chẳng hạn ta xét hai
hàm số f(x) và g(x) qua hai ví dụ sau:
Ví dụ 25: Cho f(x)=





>
≤≤−−
2;1
22;4
2
x
xx

Giải: f(x) tập xác định D
1
= [-2 ; +
∞
)
- 23 -
f(x
0
) f(x) f(x) = f(x
0
) f(x) liên tục tại x
0

f (x) gián đoạn tại x
0
Bắt đầu
+
+
+
−
−
−
Kết
thúc
Lấy bất kỳ
x
0
(a;b)
f(x
0
)
f(x) liên tục tại x
0
f(x) liên tục trên (a;b)
f(x) không liên tục
trên (a;b)
Kết thúc
+ +
−
−
Hàm số liên tục trên (a;b)
Hàm số liên tục tại
2

Hàm số liên tục trên tập [-2 ; +
∞
)\{2}
Là gián đoạn tại điểm x = 2
(minh họa rõ ở hình vẽ 12 ).
Ví dụ 26 : Cho hàm số g(x) =
2
4 x−
Giải : Hàm số g(x) = có tập xác định D
2
= [-2 ;2 ]
Nhưng so với ví dụ 25 dễ dàng thấy rằng hàm số này liên tục trên tập [ -2; 2].
Vì vậy khi dạy học cần chú ý tận dụng khai thác các tình huống dễ mắc sai
lầm, giúp học sinh phát hiện, khắc phục các khó khăn và sữa chữa các sai lầm
thường gặp.
- 24 -
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
3.1.1 Có thể bồi dưỡng cho học sinh về cách học, phương pháp học trong quá
trình dạy học trên lớp thông qua các hình thức: Phương pháp giảng dạy, hướng
dẫn trực tiếp, lên kế hoạch v.v
3.1.2 Cách học, phương pháp học ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả và hiệu quả
học tập của học sinh. Trong quá trình dạy học giáo viên cần bồi dưỡng cho học
sinh về cách học và phương pháp học phù hợp để nâng cao chất lượng, hiệu quả
dạy học.
3.1.3 Có thể mở rộng để bồi dưỡng về cách học, phương pháp học cho học sinh
thông qua các chủ đề và nội dung khác.
3.2 Kiến nghị
3.2.1 Các nhà trường (đặc biệt là vùng cao) khả năng tự học của học sinh còn
nhiều hạn chế cần đẩy mạnh việc bồi dưỡng khả năng tự học cho học sinh song

song với quá trình truyền thụ kiến thức mới.
3.2.2 Gia đình cần tổ chức quản lý thời gian học tập của học sinh tại gia đình
một cách có hiệu quả
3.2.3 Cần tổ chức thêm nhiều “kênh” phối hợp với gia đình học sinh và xây
dựng hình thức quản lý đối với học sinh trọ học để kiểm soát việc học tập của
học sinh (đặc biệt là tự học).
Tân Sơn, ngày 18 tháng 02 năm 2012
Ngô Anh Tuấn
- 25 -