sáng kiến kinh nghiệm bài tập giải phương trình vô tỷ

TRUNG TÂM K THUT TNG HNG NGHIP
DY NGH VÀ GIÁO DC THNG XUYÊN LÀO CAI


(






BÀI TP GII PHNG TRÌNH VÔ T



GV: Dng Th Bích Vân










Nm hc: 2010 - 2011


PHN I: M U

I/ LÝ DO CHN  TÀI.
- Trong chng trình toán THPT, mà c th là phân môn i s 10, các em hc sinh
đã đc tip cn vi phng trình cha n di du cn và đc tip cn vi mt vài
cách gii thông thng đi vi nhng bài toán c bn đn gin. Tuy nhiên trong thc t
các bài toán gii phng trình cha n di du cn rt phong phú và đa dng và đc
bit là trong các đ thi i hc - Cao đng -THCN, các em s gp mt lp các bài toán
v phng trình vô t mà ch có s ít các em bit phng pháp gii nhng trình bày còn
lng cng cha đc gn gàng, sáng sa thm chí còn mc mt s sai lm không đáng
có trong khi trình bày.
- Lý do chính  đây là: S tit phân phi chng trình cho phn này quá ít nên trong
quá trình ging dy, các giáo viên không th đa ra đa ra đc nhiu bài tp cho nhiu
dng đ hình thành k nng gii cho hc sinh. Nhng trong thc t, đ bin đi và gii
chính xác phng trình cha n di du cn đòi hi hc sinh phi nm vng nhiu
kin thc, phi có t duy  mc đ cao và phi có nng lc bin đi toán hc nhanh
nhn thun thc.
II/ MC ÍCH NGHIÊN CU
- T lý do chn đ tài. Tôi đã h thng hoá các kin thc thành mt chuyên đ: “Mt
s gii pháp giúp hc sinh có k nng gii phng trình vô t’’.
- Qua ni dung ca đ tài này tôi mong mun giúp các em hc sinh gii bài toán v
phng trình vô t tt hn.
III/ I TNG NGHIÊN CU :
- Phng trình vô t (Phng trình cha n di du cn).
IV/ PHM VI NGHIÊN CU :
- Ni dung phn phng trình vô t và mt s bài toán c bn, nâng cao nm trong
chng trình đi s 10.
- Mt s bài gii phng trình cha n di du cn trong các đ thi i hc - Cao
đng - TCCN.


PHN II: NI DUNG  TÀI

CHNG 1: C S LÝ LUN

Trong sách giáo khoa i s 10 ch nêu phng trình dng
và trình bày phng pháp gii bng cách bin đi h qu, trc khi gii ch
đt điu kin f
≥
(x)
0 . Nhng chúng ta nên đ ý rng đây ch là điu kin đ đ
thc hin đc phép bin đi cho nên trong quá trình gii hc sinh d mc sai
lm khi ly nghim và loi b nghim ngoi lai vì nhm tng điu kin f
≥
(x)
0
là điu kin cn và đ ca phng trình.
Tuy nhiên khi gp bài toán gii phng trình vô t, có nhiu bài toán đòi
hi hc sinh phi bit vn dng kt hp nhiu kin thc k nng phân tích bin
đi đ đa phng trình t dng phc tp v dng đn gin
Trong gii hn ca SKKN tôi ch hng dn hc sinh hai dng phng
trình thng gp mt s bài toán vn dng bin đi c bn và mt s dng bài
toán không mu mc (dng không tng minh) nâng cao.
* Dng 1: phng trình (1)
()
x
f
= g
(x)
()
2
() ()
0

x
x
x
g
f
g
≥
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
Phng trình (1) ⇔
điu kin g ≥
x)
0 là điu kin cn và đ ca phng trình (1) sau khi gii
phng trình f
2
(x)
= g
(x)
ch cn so sánh các nghim va nhn đc vi điu
kin g
≥
x)
0 đ kt lun nghim mà không cn phi thay vào phng trình ban
đu đ th đ ly nghim.
* Dng 2: phng trình
()

x
f
=
()
x
g (2)
()
() ()
0
x
x
x
f
f
g
≥
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
Phng trình
(2) ⇔

iu kin f
(x)
≥ 0 là điu kin cn và đ ca phng trình (2). Chú ý  đây
không nht thit phi đt điu kin đng thi c f
(x)

và g
(x)
không âm vì
f
(x)
= g .
(x)
*Dng bài toán không mu mc:
Loi này đc thc hin qua các ví d c th.

CHNG II
: MT S DNG BÀI TP
1/ DNG 1
:
()
(
)
f
xgx=
* Gii phng trình :

(1)
a, Phng pháp
:
Giáo viên: ch cho hc sinh thy đc rng nu khi bình phng hai v đ đi
đn phng trình tng đng thì hai v đó phi không âm
()
2
() ()
0

x
x
x
g
f
g
≥
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
()
(
)
f
xgx=
pt
⇔

iu kin g
x)
≥ 0 là điu kin cn và đ vì f
(x)
= g
2
(x)
≥ 0 . Không cn đt
thêm điu kin f

≥ 0
x)
b, Các ví d
:
Ví d 1+
: Gii phng trình

34x − = x - 3 . (1)
. iu kin x ≥ 3 (*)
(Chú ý: không cn đt thêm điu kin 3x - 4 0) ≥
2
Khi đó pt(1) 3x - 4 = (x - 3)
⇔
x
2
- 6x + 9 = 3x - 4 ⇔


2
x - 9x + 13 = 0 ⇔
929
2
929
2
x
x
⎡
+
=
⎢

⎢
⎢
−
=
⎢
⎣
⇔
đi chiu vi điu kin (*) ta thu đc nghim ca phng trình (1)
92
2
+ 9
là x =
Lu ý
: không cn phi thay giá tr ca các nghim vào phng trình ban đu
đ th mà ch cn so sánh vi điu kin x 3 (*) đ ly nghim.
≥
Ví d 2+
: Gii phng trình

2
321
x
x−− = 3x + 1 . (2)
Nhn xét .
:
Biu thc di du cn là biu thc bc hai, nên nu s dng phng pháp bin
đi h qu s gp khó khn khi biu th điu kin đ 3x
2
- 2x -1 ≥ 0 và thay giá
tr ca các nghim vào phng trình ban đu đ ly nghim.

Ta có th gii nh sau:
1
3
. iu kin: x
≥ - (**)
2 2
Khi đó pt(2) 3x - 2x - 1 = (3x + 1) ⇔
3x
2
- 2x - 1 = 9x
2
+ 6x + 1 ⇔
1
1
3
x
x
=
−
⎡
⎢
⎢
=
−
⎣
6x
2
+ 8x + 2 = 0 ⇔
⇔
1

3
đi chiu vi điu kin (**) ta thu đc nghim pt(2) là x = -
Ví d 3+
: Gii phng trình
2
5
2
4121xx−+1 = 4x - 12x + 15 . (3)
. Nhn xét
: Biu thc ngoài du cn là biu thc bc hai, nu ta bình phng hai
v thì s đi đn mt phng trình bc bn rt khó gii.

Ta có th gii bài toán nh sau:
Cha vi đt điu kin  bc gii này.ta bin đi
pt(3) 4x
2
- 12x + 11 - 5
2
4121xx
⇔
1
−
+
+ 4 = 0
t
2
4121xx−+1 = t ; đk t 0 , (***) . ≥
2
Phng trình tr thành: t - 5t + 4 = 0
1

4
t
t
=
⎡
⎢
=
⎣
(tho mãn điu kin (***) ) ⇔
. Vi t = 1
2
4121xx−+⇔ 1 = 1
4x
2
- 12x + 10 = 0 phng trình này vô nghim. ⇔
. Vi t = 4
2
4121xx−+⇔ 1 = 4
2
4x - 12x - 5 = 0 ⇔
356
4
356
4
x
x
⎡
+
=
⎢

⎢
⎢
−
=
⎢
⎣
⇔
356
4
+ 356
4
−
; x = Vy nghim ca phng trình là: x =

2/ Dng 2

()
(
)
f
xgx= . (2)
* Gii phng trình:
Phng pháp a.
:
Giáo viên hng dn hc sinh đt điu kin và bin đi
pt(2)
() ()
() ()
0( 0)
xx

xx
fg
fg
≥≥
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
⇔

Chú ý
: Không cn đt đng thi c g và f vì f
(x)
0≥
(x)
0≥
(x)
= g
(x)
.




Các ví d b. :
Ví d 1 +
: Gii phng trình

32x−+ = 21
x
+ , (1)
1
2
−
.iu kin x ≥ , (*)
pt(1) -3x + 2 = 2x + 1 ⇔
1
5
5x = 1 x = (tho mãn vi điu kin (*) ) ⇔ ⇔
1
5
. Vy nghim ca phng trình là x =
1
2
−
Lu ý
: iu kin x ≥ , (*) là điu kin cn và đ ca phng trình (1) nên
ta ch cn đi chiu vi điu kin (*) đ ly nghim cui cùng ca phng trình.
Ví d 2 + : Gii phng trình

2
23xx+−4
=
72x
+
, (2)
. Nhn xét
: Biu thc di du cn  v trái là biu thc bc hai nên ta đt điu

kin cho v phi không âm.
7
2
. K: x - , (*). ≥
2
pt(2) 2x + 3x - 4 = 7x +2 ⇔
1
3
x
x
=
−
⎡
⎢
=
⎣
2
2x - 4x - 6 = 0 ⇔ ⇔
i chiu vi điu kin (*), nghim ca phng trình là x = 3 .
Ví d 3 +
: Gii phng trình 25 2xx
+
=− (*)
Tóm tt bài gii
⎩
⎨
⎧
−=+
≥−
⇔−=+⇔

252
02
252
xx
x
xx (*)
⎩
⎨
⎧
−=
≥
7
2
x
x

⇔
Vy phng trình đã cho vô nghim

3/ Dng 3 :
 Hng dn hc sinh gii mt s phng trình không mu mc
Ví d 1 + : Gii phng trình
22 1
x
x++ + - = 4 (1)
2
1
x
+
iu kin ca phng trình là x -1 , (*) ≥

22 1
x
x
+
++ .Nhn xét: Biu thc di du cn có dng hng đng thc
2
(a + b) = a
2 2
+2ab + b nên ta bin đi nh sau.
2
(11)x ++ pt(1) 2 - = 4
1
x
+
⇔
2 +2 - = 4
1
x
+ 1
x
+⇔
= 2 x + 1 = 4
⇔
x = 3 (tho mãn điu kin (*) ) 1
x
+⇔ ⇔
Vy, nghim ca phng trình là x = 3.
Ví d2 +
: Gii phng trình

37x + - = 2 (2) 1
x
+
7
3
1
x
x
⎧
≥−
⎪
⎨
⎪
≥−
⎩
iu kin
37
10
x
x
+≥
⎧
⎨
+≥
⎩
0
x (**) 1≥−
⇔
⇔
Chuyn v và bình phng hai v ta đc

pt(2) ⇔
37x + = 2 + 1
x
+
vi điu kin (**) nên hai v luôn không âm , bình phng hai v ta đc.
3x + 7 = x + 5 + 4
1
x
+⇔
2 = x + 1 tip tc bình phng hai v
1
x
+⇔
2
4x + 4 = x + 2x + 1 ⇔
2
x -2x - 3 = 0 ⇔
(tho mãn điu kin (**))
1
3
x
x
=−
⎡
⎢
=
⎣
⇔
Vy nghim ca phng trình là x = -1 và x = 3 .
Ví d 3+

: Gii phng trình

2
75xxx−+ +
= (3)
2
32
x
x
−
−
2
2
75
32 0
50
xxx
xx
x
⎧
−+ +≥
⎪
⎪
−−≥
⎨
⎪
+≥
⎪
⎩
0

(***) Hng dn : k
Lu ý
: H điu kin (***) rt phc tp nên ta không cn gii ra c th.
T K (***) nên hai v không âm ,bình phng hai v ta đc
2 2
pt(3) 7 - x + x = 3 - 2x - x
5x +⇔
x = - 2x - 4
5x +⇔

22
(2 4) 0
( 5) 4 16 16
xx
xx x x
+≤
⎧
⎨
+= + +
⎩
⇔

32
20
16 16 0
x
xx x
−≤ ≤
⎧
⎨

+− −=
⎩
⇔
20
1
4
x
x
x
−
≤≤
⎧
⎪
=−
⎡
⎨
⎢
⎪
=±
⎣
⎩

2
20
( 1)( 16) 0
x
xx
−≤ ≤
⎧
⎨

+−=
⎩
x = -1 ⇔
⇔
⇔
Thay giá tr ca x = -1 vào h K (***) , tho mãn
Vy nghim ca phng trình là x = -1
Ví d 4
+
: Gii phng trình

23x + + = 3x + 2
2
25xx
1
x
+
3
+
+
- 16 (4)
3
2
1
x
x
⎧
≥−
⎪
⎨

⎪
≥−
⎩
HD: iu kin
23
10
x
x
+≥
⎧
⎨
+≥
⎩
0
x -1 (****) ⇔
⇔
≥

t
23x + + = t (K: t 0) 1
x
+ ≥
3x + 2⇔
2
25xx++3
2
= t - 4
2
pt(4) t - t - 20 = 0 t = 5 (nhn) hoc t = - 4 (loi) ⇔ ⇔
. Vi t = 5 2

2
25xx++3 =21 - 3x ( là phng trình thuc dng 1) ⇔


22
21 3 0
4(2 5 3) 441 216 9
x
x
xx
−≥
⎧
⎨
++= − +
⎩
⇔
x

⇔
2
7
236 429 0
x
xx
≤
⎧
⎨
−+=
⎩
x = 118 - (tho mãn K)

1345
⇔
Vy nghim phng trình là x = 118 -

1345
+ Ví d5
: Gii phng trình
()
(
)
63
2
−−− xxx
2
– 7x + 12 = x

Li gii sai: Ta có
()
(
)
63
2
−−− xxx
2
x

– 7x + 12 =
()()
23
2

−− xx
()
(
)
(
)
233 −−− xxx
(x-3)(x-4) = (x-3)(x-4) = ⇔
⇔
()
(3) 2(3)(4)(1)
(3) 2(3)(4) 2
xx xx
xx xx
⎡
−+=−−
⎢
−− +=− −
⎢
⎣
⇔
(
)
(
)
0423 =+−+−⇔ xxx
()
23 +−⇔ xx Gii (1) = (x-3)(x-4)
3
24

x
x
x
=
⎡
⇔
⎢
+=−
⎣
3
7
x
x
=
⎡
⇔
⎢
=
⎣

()
(
)
324xxx
()
3xx⇔− − + Gii (2) 2= (x-3)(x-4) 0
⇔
−− ++−=
3
24

x
x
x
=
⎡
⇔
⎢
+=−
⎣
3
2
x
x
=
⎡
⇔
⎢
=
⎣

Vy phng trình đã cho có nghim là : x = 2 v x = 3 v x = 7.
Nhân xét:

Bài toán này HS có th gii mc sai lm nh sau:
Li gii sai:
()
(
)
63
2

−−− xxx
2
Ta có: x – 7x + 12 =

()
(
)
(
)
233 −−− xxx
()()
23
2
−− xx
(x-3)(x-4) = (x-3)(x-4) = ⇔
⇔
(
)
(
)
0423 =+−+−⇔ xxx
()
23 +−⇔ xx = (x-3)(x-4)
()
⎢
⎣
⎡
∗−=+
=
⇔

42
3
xx
x


()
⎩
⎨
⎧
−=+
≥−
⇔−=+
2
42
04
42
xx
x
xx
Gii
(
ta có
)
∗
7
0149
4
2
=⇔

⎩
⎨
⎧
=+−
≥
⇔ x
xx
x
Vy phng trình đã cho có nghim x = 3 và x = 7.
HS có th kt lun vi x =3 và x = 7 là hai nghim tho mãn ca phng trình.
Mà không ng rng phng trình đã cho còn có mt nghim na là x = 2 cng
tho mãn.
Chú ý rng:
2
00
0
0
khi A
AB A B A B khiA
AB khiA
=
⎧
⎪
== >
⎨
⎪
−
<
⎩

Li gii trên đã b sót mt trng hp A ≤ 0


Bài tp
1. Gii phng trình
a.
32x − = 1 - 2x
b.
52
x
− = 1
x
−
c.
2
391
x
x−+ + x - 2 = 0
HD: Bin đi theo dng 1 và dng 2
2
- 3x + 2. Gii phng trình: x
2
35xx
−
+
= 7
HD: t t =
2
35xx−+ (t )
0≥

S: x = -1 và x = 4
+
3. Gii phng trình:
1
x
−
32x
−
= 51
x
−

HD: t đk sau đó bình phng hai v
S: x = 2
1
1
1
2
−
+
=
−
+
x
x
x
x
4. Gii phng trình:
⎪
⎪

⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<<−
>≥
==
0;0
0;0
BAkhi
B
AB
BAkhi
B
AB
B
AB
B
A
HD :

S : Nghim phng trình là : x = -3.
5. Gii phng trình:
()
2
5
2
+=
+

−
x
x
x

.5
+
x
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<<−
>≥
=
0;0
0;0
.
BAkhiAB
BAkhiAB
B
A
B HD:
S:
Nghim ca phng trình là: x = 14
+ = + 6. Gii phng trình:
1
x
+

10x
+
2x
+
5x
+

+ = 4
7. Gii phng trình:
1
x
+
1
x
−

1
24
xx
1
+
++ 8. Gii phng trình: x + = 2
2
9. Gii phng trình: x + 3x + 1 = (x + 3)
2
1x
+

= 2x
3

+ 2x +1 10. Gii phng trình: (4x - 1)
3
1x
+
2
- 1 = 2x 11. Gii phng trình: x
2
2
x
x
−
12. Gii phng trình: x
2
+ 4x = (x + 2)
2
24xx
−
+



PHN III: KT LUN
* Kt qu kim nghim :
im 8 tr lên im t 5 đn 8 im di 5
Tng
s
Nm
hc
Lp
S

lng
T l S
lng
T l S
lng
T l
10A3 42 5 12% 20 48% 17 40% 2007-
2008
10A1 43 7 16% 22 51% 14 37%
2009-
2010
10A3 44 8 18% 23 52% 13 30%

* Phng trình vô t là mt ni dung quan trng trong chng trình môn toán lp
10 nói riêng và bc GDTX nói chung. Nhng đi vi hc sinh li là mt mng
tng đi khó, đây cng là phn nhiu thy cô giáo quan tâm.  tài ca tôi đa
ra giúp các em hc sinh có hng thú hc tp hn.
___________________________