Đặc tính tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (243.08 KB, 8 trang )
[Type text]
Vì đặc tính xung h(n) hữu hạn, nên bộ lọc FIR luôn ổn định, có nghĩa là tất cả các điểm cực của hàm hệ thống
H(z) nằm trong đường tròn đơn vị |z| = 1 . Đặc tính tần số của bộ lọc số FIR :
)(
1
0
).().()(
ωθωωω
jj
n
njj
eeAenhe
N
H
−
−
=
−
==
∑
Trong chương này chỉ nghiên cứu các bộ lọc số FIR có pha tuyến tính :
αωωθ β
−=)(
[5.2-1]
Trong đó
α
và
β
là các hằng số, và
α
là thời gian truyền lan của tín hiệu qua bộ lọc :
ω
ωθ
α
d
d )(
−=
[5.2-2]
Theo [5.2-2] tất cả các thành phần tần số của tín hiệu đi qua bộ lọc số FIR pha tuyến tính đều bị giữ trễ như nhau,
vì thế tín hiệu không bị méo dạng phổ.
Vì H(e
j
ω
) tuần hoàn với chu kỳ 2
π
nên chỉ cần nghiên cứu đặc tính biên độ tần số H(e
j
ω
) và pha
θ
(
ω
) khi (-
π
≤
ω
≤
π
) hoặc (0
≤
ω
≤
2
π
).
Mặt khác, nếu bộ lọc số có đặc tính xung h(n) là dãy thực thì theo tính chất của biến đổi Fourier có :
)()(
ωω
jj
ee
HH
−
=
và :
)()(
ωθωθ
−−=
Như vậy, H(e
j
ω
) là hàm chẵn và đối xứng, còn
θ
(
ω
) là hàm lẻ và phản đối xứng. Vì thế, khi đặc tính xung h(n)
là dãy thực thì chỉ cần nghiên cứu bộ lọc số trong khoảng (0
≤
ω
≤
π
).
Theo [5.2-1] , có hai trường hợp bộ lọc FIR pha tuyến tính :
1.
β
= 0 ⇒
θ
(
ω
) = -
αω
2.
β
≠
0 ⇒
θ
(
ω
) =
β
-
αω
5.2.1a Trường hợp
β
= 0 ,
θ
(
ω
) = -
αω
Khai triển công thức Euler, biểu diễn đặc tính tần số dưới dạng :
[ ]
).sin().cos().().()(
ωαωα
ωαωωω
jeAeeAe
jjjj
H
+==
−
).sin().().cos().()(
ωαωα
ωωω
jjj
ejAeAeH +=
[5.2-3]
Mặt khác có :
[ ]
∑∑
−
=
−
=
−
+==
1
0
1
0
).sin().cos().().()(
NN
nn
njj
njnnhenhe
H
ωω
ωω
∑∑
−
=
−
=
+=
1
0
1
0
).sin().().cos().()(
NN
nn
j
nnhjnnhe
H
ωω
ω
[5.2-4]
Từ [5.2-3] và [5.2-4] có :
∑
−
=
=
1
0
).cos().().cos().(
N
n
j
nnheA
ωωα
ω
∑
−
=
=
1
0
).sin().().sin().(
N
n
j
nnheA
ωωα
ω
Suy ra :
∑
∑
−
=
−
=
=
1
0
1
0
).cos().(
).sin().(
).(
N
N
n
n
nnh
nnh
tg
ω
ω
ωα
Vì sin0 = 0 và cos0 = 1 nên có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng :
∑
∑
−
=
−
=
+
=
1
1
1
1
).cos().()(
).sin().(
).(
0
N
N
n
n
nnhh
nnh
tg
ω
ω
ωα
Từ đây có 2 trường hợp,
α
= 0 là bộ lọc pha không, và
α
≠
0 .
Trường hợp
α
= 0 :
0
0
00
0
1
1
1
1
).cos().()(
).sin().().sin()(
).(
=
+
+
=
∑
∑
−
=
−
=
N
N
n
n
nnhh
nnhh
tg
ω
ωω
ω
205
[Type text]
Tức là h(n)
≠
0 khi n = 0, và h(n) = 0 với mọi n
≠
0. Bộ lọc như vậy không có ý nghĩ thực tế và không thể thực
hiện được, vì tín hiệu truyền qua bộ lọc luôn bị giữ trễ, cho dù thời gian giữ trễ là rất nhỏ.
Trường hợp
α
≠
0 :
0
1
0
1
0
).cos().(
).sin().(
).cos(
).sin(
).(
≠==
∑
∑
−
=
−
=
N
N
n
n
nnh
nnh
tg
ω
ω
ωα
ωα
ωα
Hay:
∑∑
−
=
−
=
=
1
0
1
0
).sin().().cos().cos().().sin(
NN
nn
nnhnnh
ωωαωωα
Vậy :
0
1
0
1
0
).sin().().cos().cos().().sin(
=−
∑∑
−
=
−
=
NN
nn
nnhnnh
ωωαωωα
Tiếp tục biến đổi lượng giác sẽ nhận được phương trình :
0
1
0
)(sin).(
=−
∑
−
=
N
n
nnh
αω
[5.2-5]
Phương trình dạng chuỗi Fourier trên có một nghiệm duy nhất tại :
2
1−
=
N
α
[5.2-6]
và :
)()( 1 nhnh N −−=
với
),(
10
−∈
N
n
[5.2-7]
Theo [5.2-7] , đặc tính xung h(n) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính khi
β
= 0 là dãy đối xứng.
- Khi
β
= 0 và N lẻ, gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1.
- Khi
β
= 0 và N chẵn, gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2.
Ví dụ 5.5 : Bộ lọc FIR pha tuyến tính có
θ
(
ω
) = -
α
.
ω
, với N = 5 và h(0) = -1 h(1) = 1 , h(2) = 2 . Tìm α và vẽ đặc tính
xung h(n) của bộ lọc.
Giải : Vì
β
= 0 và N lẻ nên đây là bộ lọc số
FIR pha tuyến tính loại 1.
Theo [5.2-6] có :
2
2
15
2
1
=
−
=
−
=
N
α
Theo [5.2-7] có :
)()()( 415 nhnhnh −=−−=
Vậy :
104 )()( −== hh
113 )()( == hh
22)( =h
Đặc tính xung h(n) có trục đối xứng tại n =
α
= 2 , đồ thị h(n) ở hình 5.10.
Hình 5.10 : h(n) của bộ lọc
FIR pha tuyến tính loại 1.
Ví dụ 5.6 : Bộ lọc FIR pha tuyến tính có
θ
(
ω
) = -
α
.
ω
, với N = 4 và h(0) = -1 h(1) = 1. Tìm α và vẽ đặc tính xung h(n)
của bộ lọc.
Giải : Vì
β
= 0 và N chẵn nên đây là bộ lọc
FIR pha tuyến tính loại 2 .
Theo [5.2-6] có :
5,1
2
14
2
1
=
−
=
−
=
N
α
Theo [5.2-7] có :
)()()( 314 nhnhnh −=−−=
Vậy :
103
)()( −== hh
112 )()( == hh
Đặc tính xung h(n) có trục đối xứng tại n
=
α
= 1,5, đồ thị h(n) ở hình 5.11.
Hình 5.11 : h(n) của bộ lọc
FIR pha tuyến tính loại 2.
Nhận xét : - Bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2 có đặc tính xung h(n) đối xứng giống như các bộ lọc số lý
tưởng.
- Tâm đối xứng của h(n) tại điểm n =
α
. Nếu N lẻ thì
α
là số nguyên và trục đối xứng của h(n) trùng với mẫu tại
n = (N - 1)/2 . Còn nếu N chẵn thì
α
là số thập phân và trục đối xứng nằm giữa hai mẫu tại n = [(N/2) - 1] và n = (N/2).
5.2.1b Trường hợp β ≠ 0 ,
ϕ
(
ω
) =
β
-
αω
Bằng cách biến đổi tương tự như trường hợp trên, nhận được :
206
1
0 1 2 4
n
h ( n )
- 1 - 1
1
h ( n )
10 3
- 1- 1
n
5
1
2
2
1
[Type text]
[ ]
0
1
0
)(sin)(
=−+
∑
−
=
N
n
nh
ωα
π
β
[5.2-8]
Phương trình dạng chuỗi Fourier trên có một nghiệm duy nhất tại :
2
1−
=
N
α
;
2
π
β
±=
[5.2-9]
và :
)()( 1 nhnh N −−−=
với
),(
10
−∈
N
n
[5.2-10]
Theo [5.2-10] , đặc tính xung h(n) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính trong trường hợp
β
≠ 0 là dãy phản đối xứng.
- Khi
β
≠ 0 và N lẻ gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3.
- Khi
β
≠ 0 và N chẵn gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4.
Ví dụ 5.7 : Cho bộ lọc FIR pha tuyến tính có
θ
(
ω
) =
β
-
αω
, với N = 7 và h(0) = -1 , h(1) = -0,5 , h(2) = 1,5 . Tìm α và vẽ
đặc tính xung của bộ lọc.
Giải : Vì
β
≠ 0 và N lẻ nên đây là bộ
lọc FIR pha tuyến tính loại 3.
Theo [5.2-9] có :
3
2
17
2
1
=
−
=
−
=
N
α
Theo [5.2-10] có :
)6()()( 17 nhnhnh −−=−−−=
Vậy :
10)()6( =−= hh
5,01)()5( =−= hh
5,12)()4( −=−= hh
0)3( =h
Đặc tính xung h(n) có tâm phản đối
xứng tại n = α = 3 , đồ thị h(n) trên
hình 5.12.
Hình 5.12 : h(n) của bộ lọc
FIR pha tuyến tính loại 3.
Ví dụ 5.8 : Cho bộ lọc FIR pha tuyến tính có
θ
(
ω
) =
β
-
α
.
ω
, với N = 4 và h(0) = -1 , h(1) = 1. Tìm α và vẽ đặc tính xung
h(n) của bộ lọc.
Giải : Vì
β
≠ 0 và N chẵn nên đây là bộ lọc
FIR pha tuyến tính loại 4 .
Theo [5.2-9] có :
5,1
2
14
2
1
=
−
=
−
=
N
α
Theo [5.2-10] có :
)()()( 314 nhnhnh −−=−−−=
Vậy :
10)()3( =−= hh
11)()2( −=−= hh
Đặc tính xung h(n) có tâm phản đối xứng tại n
= 1,5 , đồ thị h(n) ở hình 5.13.
Hình 5.13 : h(n) của bộ lọc
FIR pha tuyến tính loại 4.
Nhận xét : - Bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4 có đặc tính xung h(n) phản đối xứng.
- Tâm phản đối xứng của h(n) tại điểm n =
α
. Nếu N lẻ thì
α
là số nguyên và tâm phản đối xứng của h(n) trùng
với mẫu tại n = (N - 1)/2 và tại đó h(n) = 0. Còn nếu N chẵn thì
α
là số thập phân và tâm phản đối xứng nằm giữa hai mẫu
tại n = [(N/2) - 1] và n = (N/2).
Như vậy. có bốn loại bộ lọc số FIR pha tuyến tính
θ
(
ω
) =
β
-
αω
:
- Bộ lọc loại 1 :
β
= 0 , N lẻ, đặc tính xung h(n) đối xứng.
- Bộ lọc loại 2 :
β
= 0 , N chẵn, đặc tính xung h(n) đối xứng.
- Bộ lọc loại 3 :
β
= ±
π
/2 , N lẻ, đặc tính xung h(n) phản đối xứng.
- Bộ lọc loại 4 :
β
= ±
π
/2 , N chẵn, đặc tính xung h(n) phản đối xứng.
5.2.2 Đặc tính tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tính
Khi h(n) là dãy thực thì chỉ cần khảo sát đặc tính tần số H(e
j
ω
) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính trong đoạn
ω
∈
[ 0
÷
π
] .
5.2.2a Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1
Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 có
θ
(
ω
) = -
αω
và N lẻ, đặc tính tần số là :
αωωωω
jj
n
njj
eeAenhe
N
H
−
−
=
−
==
∑
).()()(
1
0
Vì N lẻ nên khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần :
207
2 3
n
h ( n )
- 1 , 5
5
1 , 5
- 0 , 5
6 7
0 , 5
- 1
1
0
h ( n )
2
n
0
- 1 - 1
1 1
4
[Type text]
+
+
=
∑∑
−
+
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
1
1
2
1
2
1
1
2
1
0
)()()(
2
1
N
N
N
N
n
nj
j
n
njj
enhehenhe
N
H
ω
ω
ωω
Đổi biến thành phần thứ 3, đặt
)(
1
nm
N
−
−=
=>
)(
1
mn
N
−
−=
,
khi
+=
−
1
2
1N
n
thì
−
−
=
1
2
1N
m
, khi
)(
1
−
=
N
n
thì
0
=
m
:
−+
+
=
∑∑
−
−
=
−−−
−
−
−
−
=
−
−
−
0
1
2
1
)1(
2
1
1
2
1
0
)()()( 1
2
1
N
N
N
N
m
mj
j
n
njj
emhehenhe N
N
H
ω
ω
ωω
Đảo chiều chỉ số và đổi lại biến của thành phần thứ 3 theo n :
−+
+
=
∑∑
−
−
=
−−−
−
−
−
−
=
−
−
−
1
2
1
0
)1(
2
1
1
2
1
0
)()()( 1
2
1
N
N
N
N
n
nj
j
n
njj
enhehenhe N
N
H
ω
ω
ωω
Vì bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 có
)()(
1
nhnh
N
−=
−
, nên :
[ ]
∑
−
−
=
−−−−
−
−
++
=
−
1
2
1
0
)1(
2
1
)()(
2
1
N
N
N
n
njnj
j
j
eenhehe
N
H
ωω
ω
ω
[5.2-11]
Trong đó :
[ ]
+=+
−
−
−
−
−
−
−
−−−−
njnjj
njnj
NNN
N
eeeee
2
1
2
1
2
1
)1(
ωωω
ωω
Hay :
[ ]
−
−
=+
−
−
−−−−
neee
N
N
N
j
njnj
2
1
.2 cos
2
1
)1(
ω
ω
ωω
Do đó [5.2-11] được đưa về dạng :
−
−
−
−
=
−
−
∑
−
−
+
=
−
2
1
1
2
1
0
2
1
.cos)()(
2
1
.2
2
1
N
N
N
j
n
j
j
ennhehe
NN
H
ω
ω
ω
ω
Hay :
−
−
−
−
=
−
−
+
=
∑
−
2
1
1
2
1
0
2
1
.2
2
1
cos)()(
N
N
j
n
j
ennhhe
NN
H
ω
ω
ω
Đổi biến, đặt
−=
−
nm
N
2
1
=>
−=
−
mn
N
2
1
,
khi
0
=
n
thì
−
=
2
1N
m
, khi
=
−
−
1
2
1N
n
thì
1
=
m
, nhận được :
( )
−
−
−
=
−
−
+
=
∑
−
2
1
1
2
1
..cos)(
2
1
.2
2
1
N
N
j
m
j
emmhhe
NN
H
ω
ω
ω
Đổi biến m trở về n, đảo cận của tổng và thêm cos(
ω
.0) = 1 vào số hạng đầu :
( ) ( )
−
−
−
=
−
−
+
=
∑
−
2
1
2
1
1
..cos.cos)(
2
1
.20
2
1
N
N
j
n
j
ennhhe
NN
H
ω
ω
ωω
Hay :
αωω
ω
ω
ω
jj
N
j
n
j
eeAennae
N
H
−
−
−
−
=
=
=
∑
).(.).cos()()(
2
1
2
1
0
[5.2-12]
Với các hệ số của chuỗi :
−
=
2
1
0)(
N
ha
và
−
−
= nhna
N
2
1
.2
)(
khi
1
≥
n
[5.2-13]
Từ [5.2-12] , đặc tính biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 :
∑
−
=
=
2
1
0
).cos()()(
N
n
j
nnae
H
ω
ω
[5.2-14]
208
[Type text]
Với các hệ số a(n) phụ thuộc vào đặc tính xung h(n) theo [5.2-13] .
Đặc tính pha :
2
1
2
1
)(
−
=⇒
−
−=−=
NN
αωαωωθ
[5.2-15]
Nhận xét : Vì cos(0) = 1 nên bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 không thể dùng để làm bộ lọc có H(e
j
ω
) = 0 tại
ω
= 0 ,
đó là các bộ lọc thông cao và dải thông [trừ khi bộ lọc có đặc tính xung với
002/1 )()(
==−
ah N
].
Ví dụ 5.9 : Hãy xác định các đặc tính tần số
θ
(
ω
) và H(e
j
ω
) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 ở ví dụ 5.5. Đồ thị
đặc tính xung h(n) của bộ lọc cho trên hình 5.14. Vẽ đặc tính biên độ tần số H(e
j
ω
) của bộ lọc đã cho.
Giải : Đặc tính pha theo [5.2-15]:
2
2
15
2
1
=
−
=
−
=
N
α
⇒
ωωθ
.)( 2−=
Theo [5.2-14] có đặc tính biên độ tần số :
∑
=
=
2
0
).cos()()(
n
j
nnae
H
ω
ω
Tính các hệ số a(n) theo [5.2-13]:
22
2
1
0 )()(
==
−
=
hha
N
21.21
2
1
.21
)()( ==
−
−
= hha
N
;
( )
20.222.22
)()( −==−= hha
Theo giá trị các hệ số nhận được :
)cos()cos()( 2222
ωω
ω
−+=
j
eH
Hình 5.14 : Đặc tính xung h(n) và đặc tính biên độ tần số H(e
j
ω
)
của bộ lọc thông thấp FIR pha tuyến tính loại 1 ở ví dụ 5.9.
Trên hình 5.14 là đặc tính biên độ tần số H(e
j
ω
)của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 đã cho, đây là bộ lọc
thông thấp.
5.2.2b Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2
Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 có
θ
(
ω
) = -
αω
và N chẵn, đặc tính tần số là :
αωωωω
jj
n
njj
eeAenhe
N
H
−
−
=
−
==
∑
).()()(
1
0
Vì N chẵn nên khai triển biểu thức trên thành tổng của hai thành phần :
∑∑
−
=
−
−
=
−
+=
1
2
1
2
0
)()()(
N
N
N
n
nj
n
njj
enhenheH
ωωω
Đổi biến tổng thứ hai, và biến đổi tương tự ở mục 5.2.2a , nhận được :
−
−
=
−=
∑
2
1
2
1
.)(cos)()(
12
2
N
N
j
n
j
ennbe
H
ω
ω
ω
[5.2-16]
Với các hệ số :
−=
nhnb
N
2
.2
)(
[5.2-17]
Từ đó có đặc tính biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 :
∑
=
−=
2
1
)(cos)()(
12
2
N
n
j
nnbe
H
ω
ω
[5.2-18]
Với các hệ số b(n) phụ thuộc vào đặc tính xung h(n) theo [5.2-17].
Đặc tính pha :
2
1
2
1
)(
−
=⇒
−
−=−=
NN
αωαωωθ
[5.2-19]
209
h ( n )
10 3
- 1- 1
n
5
1
2
2
1
