bước đầu vận dụng một số quan điểm biện chứng của tư duy toán học trong dạy học toán ở trường thpt (thể hiện qua dạy học hình học 10 thpt)

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Phương pháp luận của duy vật biện chứng đóng vai trò hết sức quan
trọng và cần thiết trong dạy học Toán, đặc biệt là trong điều kiện hiện nay.
Phải kết hợp tư duy lôgic và tư duy biện chứng, cả tư duy hình tượng cũng
như tư duy khác và nhiều phẩm chất khác của con người, để đáp ứng nhu cầu
phát triển của xã hội. Nắm được phương pháp luận của phép duy vật biện
chứng, điều này giúp cho học sinh hiểu sâu được cội nguồn của Toán học, từ
đó vận dụng tri thức khoa học rèn luyện ý chí, năng lực sáng tạo, độc lập và
phát hiện vấn đề trong cuộc sống.
Trong thời đại khoa học phát triển như vũ bão hiện nay, người GV cần
phải ngày càng đổi mới trong cách dạy, HS cần đổi mới trong cách học mới
đáp ứng được xu thế đó. Phải biết vận dụng được những quy luật cũng như
các cặp phạm trù của phép duy vật biện chứng vào giảng dạy mới có thể đáp
ứng những nhu cầu cho học sinh trong thời đại ngày nay.
1.1. Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII khẳng định: “ Phải đổi mới
phương pháp Giáo dục − Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn
luyện thành nếp tư duy sáng tạo cho người học, từng bước áp dụng các
phương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học ”.
Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX của Đảng khẳng định lại: “ Tiếp
tục nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung, phương pháp
dạy và học ”.
Luật Giáo dục nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998)
quy định: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
1
giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn ”.
Như vậy, đổi mới phương pháp dạy học nói chung, phương pháp dạy
học Toán nói riêng, đặc biệt trong điều kiện hiện nay là hoàn toàn cần thiết,
đó là vấn đề mà Đảng, Nhà nước và ngành Giáo dục đặc biệt quan tâm, nhằm

phát huy cao độ tư duy tích cực và sáng tạo, năng lực hoạt động nhận thức
độc lập, năng lực suy luận biện chứng cho học sinh để tạo nên những con
người mới năng động, sáng tạo, tự chủ, kĩ luật nghiêm,
1.2. Hiện nay vận dụng phương pháp luận duy vật biện chứng cho học
sinh thông qua dạy học Toán là một đề tài được rất nhiều người nghiên cứu.
Khi bàn về vấn đề này theo từng khía cạnh khác nhau đã được nhiều tác giả
quan tâm, tiêu biểu đề cập trong các sách, tài liệu tham khảo, các bài báo sau:
của tác giả GS.TS. Nguyễn Cảnh Toàn, “Tập cho học sinh giỏi làm quen dần
với toán” trong quyển sách GS đã sử dụng nhiều kiến thức toán học hiện đại,
toán học cao cấp. Quyển “Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học,
dạy, nghiên cứu toán học” cũng của GS dùng tham khảo cho giáo viên, học
viên cao học, nghiên cứu sinh. Tác giả GS.TS. Đào Tam quan tâm với khía
cạnh “Một số cơ sở phương pháp luận của toán và việc vận dụng chúng trong
dạy học Toán ở trường PT ” trong Nghiên cứu giáo dục số 09/1998. TS.
Phạm Đình Khương cũng quan tâm đến vấn đề này qua bài báo “Vận dụng
cặp phạm trù nội dung hình thức để hướng dẫn học sinh tìm lời giải trong
hoạt động giải toán”, tạp chí thông tin khoa học KHGD số 106/2004
1.3. Trong thực tế, cách dạy học phổ biến hiện nay là giáo viên với tư
cách là người điều khiển đưa ra kiến thức (khái niệm, định lí ) rồi giải thích,
2
chứng minh, sau đó đưa ra một số bài tập áp dụng, làm cho học sinh cố gắng
tiếp thu nội dung khái niệm, định lí, hiểu chứng minh định lí và cố gắng vận
dụng công thức để tính toán Rõ ràng với cách dạy và cách học như vậy thì
bản thân giáo viên cũng chưa thấy thoả mãn bài dạy của mình, HS cũng thấy
chưa hiểu được cội nguồn của vấn đề mà chỉ học một cách máy móc, theo
kiểu “thầy đọc trò ghi” làm cho các em ít có cơ hội phát triển tư duy sáng tạo,
ít có cơ hội khai thác tìm tòi ra được cái mới.
1.4. Hiện nay việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông
trung học là phải tạo cho HS làm chủ được khả năng tiếp thu, chủ động trong
học tập. Vì vậy để rèn luyện tư duy toán học, khả năng tìm tòi ra cái mới thì

việc vận dụng một số quan điểm biện chứng của tư duy toán học, đóng vai trò
hết sức quan trọng trong dạy học Toán. Việc vận dụng một số quan điểm biện
chứng trong quá trình dạy học cho HS là một quá trình lâu dài, kéo dài suốt cả
quá trình học tập, với nhiều hình thức phong phú và mức độ từ thấp đến cao,
từ đơn giản đến phức tạp bằng việc vận dụng các quy luật và các cặp phạm trù.
Nâng cao được chất lượng dạy học là vấn đề cấp bách trong giai đoạn hiện nay.
Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của mình là:
"Bước đầu vận dụng một số quan điểm biện chứng của tư duy toán học
trong dạy học Toán ở trường THPT (thể hiện qua dạy học Hình học 10 THPT) "
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Nghiên cứu cơ sở lí luận về phép duy vật biện chứng, từ đó đưa ra một
số biện pháp để “Bước đầu vận dụng một số quan điểm biện chứng của tư duy
toán học trong dạy học” và vận dụng các biện pháp để phát triển tư duy cho
học sinh thông qua dạy học thể hiện qua dạy học Hình học 10 THPT nhằm
góp phần nâng cao chất lượng dạy học.
3
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC.
Trong quá trình dạy học Toán, nếu chú ý “Vận dụng một số quan điểm
biện chứng của tư duy toán học ”, trên cơ sở tôn trọng nội dung chương trình
SGK Hình học 10 hiện hành, và nếu xây dựng được một hệ thống các biện
pháp sư phạm vận dụng các quy luật, các cặp phạm trù của phép duy vật biện
chứng thì:
- Có thể rèn luyện phép biện chứng của tư duy toán học cho HS.
- Góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán ở trường THPT, rèn
luyện khả năng độc lập nghiên cứu, phát hiện và giải quyết vấn đề.

4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
Nhiệm vụ đặt ra cho luận văn là:
4.1. Làm rõ phương pháp luận duy vật biện chứng.
4.2.Các quy luật và các cặp phạm trù của phép duy vật biện chứng.

4.3.Mối liên hệ giữa các quy luật, các cặp phạm trù.
4.4.Sự cần thiết, sự có thể bước đâu vận dụng một số quan điểm biện
chứng trong dạy học Toán.
4.5.Một số biện pháp vận dụng các quan điểm biện chứng trong dạy học Toán.
4.6.Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá mục đích, giả
thuyết khoa học của đề tài.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
4
5.1. Nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp dạy học Toán, một số tài liệu
tham khảo về việc vận dụng một số quan điểm triết học duy vật biện chứng
vào dạy học Toán, các cơ sở về tâm lý học, giáo dục học, sách giáo khoa, sách
giáo viên, sách tham khảo về chương trình Hình học (Hình học 10.THPT) ở
phổ thông hiện hành.
- Nghiên cứu các bài báo về khoa học toán học phục vụ cho đề tài.
- Nghiên cứu các công trình về các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề
tài (các luận án, luận văn, các chuyên đề ).
5.2. Nghiên cứu thực tiễn:
Tìm hiểu về việc dạy và học Hình học 10 ở trường THPT qua dự giờ,
điều tra, phỏng vấn giáo viên.
5.3. Thực nghiệm sư phạm:
- Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua lớp học thực nghiệm và
lớp học đối chứng trên cùng các lớp đối tượng có trình độ tương đương nhau.
- Đánh giá kết quả bằng phương pháp thống kê trong khoa học giáo dục,
để xem tính khả thi và hiệu quả các biện pháp sư phạm đề xuất.
6. ĐÓNG GÓP LUẬN VĂN.
6.1. Về mặt lý luận:
- Xác định cơ sở khoa học phương pháp luận duy vật biện chứng để làm
sáng tỏ nội dung vận dụng một số quan điểm biện chứng trong dạy học Toán ở
trường phổ thông.

5
- Xác định được các biện pháp dạy học nhằm rèn luyện các tư duy cho học sinh.
.
6.2. Về mặt thực tiễn:
- Bước đầu xây dựng một số biện pháp vận dụng các quan điểm biện
chứng trong dạy học Toán cho học sinh thông qua dạy học Hình học 10.THPT.
- Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trường
THPT.
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN.
 Mở đầu
- Lý do chọn đề tài.
- Mục đích nghiên cứu.
- Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Giả thuyết khoa học.
- Phương pháp nghiên cứu.
- Đóng góp luận văn.
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
1.1. Phương pháp luận duy vật biện chứng là gì?
1.2. Các quy luật cơ bản và các cặp phạm trù triết học.
1.3. Mối quan hệ giữa các quy luật, các cặp phạm trù.
1.4. Các cơ sở lý luận và thực tiễn để vận dụng một số quan điểm biện
chứng cho học sinh.
6
1.5. Thực trạng vận dụng một số quan điểm biện chứng của tư duy toán
học ở trường phổ thông hiện nay.
1.6. Kết luận chương 1.
Chương 2: Các biện pháp nhằm bước đầu vận dụng một số quan
điểm biện chứng của tư duy toán học cho học sinh qua dạy học Hình học
10 THPT.
2.1. Đặc điểm xây dựng chương trình Hình học 10 THPT hiện hành.

2.2. Một số căn cứ đưa ra các biện pháp thực hiện.
2.3. Một số biện pháp thực hiện.
2.3.1. Biện pháp 1: Xem xét các đối tượng toán học như là một sự
vật, hiện tượng khách quan, để tìm ra mối liên hệ giữa chúng.
2.3.2. Biện pháp 2: Xem xét nhìn nhận các đối tượng toán học dưới
nhiều góc độ khác nhau nhằm vận dụng linh hoạt các cặp phạm trù
trong dạy học Toán.
2.3.3. Biện pháp 3: Xem xét các đối tượng toán học trong quá trình
phát triển Lịch sử toán.
2.3.4. Biện pháp 4: Xem xét các đối tượng toán học, các quan hệ giữa
chúng trong các mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng.
2.3.5. Biện pháp 5: Xem xét các đối tượng toán học, các quan hệ giữa
chúng theo quan điểm vận động biến đổi.
2.3.6. Biện pháp 6: Xem xét các đối tượng toán học, các quan hệ giữa
chúng theo quan điểm lượng đổi chất đổi.
7
2.3.7. Biện pháp 7: Xem xét các đối tượng toán học, các quan hệ giữa
chúng trong các mối liên hệ giữa nội dung và hình thức.
2.3.8. Biện pháp 8: Xem xét các đối tượng toán học, các quan hệ giữa
chúng theo quan điểm đấu tranh giữa các mặt đối lập.
2.4. Sự lựa chọn và phối hợp các biện pháp.
2.5. Kết luận chương 2.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Nội dung thực nghiệm.
3.3. Tổ chức thực nghiệm.
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm.
 Kết luận chung
 Tài liệu tham khảo
8

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
1.1. Phương pháp luận duy vật biện chứng là gì?
“Thuật ngữ “phương pháp” được bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp là
Methodos, theo nghĩa thông thường là dùng để chỉ những cách thức, thủ pháp
nhất định được chủ thể hành động sử dụng để thực hiện mục đích đặt ra. Còn
theo định nghĩa một cách khoa học thì phương pháp là hệ thống những
nguyên tắc được rút ra từ tri thức về các quy luật khách quan để điều chỉnh
hoạt động nhận thức và thực tiễn nhằm thực hiện mục đích nhất định” [43,
tr.29]. Vậy “Phương pháp luận là lí luận về phương pháp, là khoa học về
phương pháp. Phương pháp luận giải quyết những vấn đề như: phương pháp
là gì? bản chất nội dung, hình thức của phương pháp như thế nào? Phân loại
phương pháp ra sao? Vai trò của phương pháp trong hoạt động nhận thức và
hoạt động thực tiễn của con người như thế nào? Do đó, có thể nói cách
khác cụ thể hơn, phương pháp luận là hệ thống những quan điểm, những
nguyên tắc xuất phát chỉ đạo chủ thể trong việc xác định phương pháp cũng
như việc xác định phạm vi, khả năng áp dụng một cách hợp lí, có hiệu quả tối
đa”[43, tr 32]. Do vậy, phương pháp luận Toán học có nhiệm vụ nêu ra
những quan điểm, nguyên tắc chung chỉ đạo quá trình xác định và áp dụng
các phương pháp Toán cụ thể như phương pháp tiên đề, phương pháp giả
thiết –diễn dịch Do đó phương pháp luận triết học duy vật biện chứng là
phương pháp luận chung nhất. Nó khái quát những quan điểm, nguyên tắc
chung nhất làm xuất phát điểm cho việc xác định các phương pháp luận khoa
9
học chung, phương pháp luận bộ môn và các phương pháp hoạt động cụ thể
của nhận thức và thực tiễn trong mối quan hệ biện chứng khăng khít nhau.
Theo Ănghen thì phép biện chứng có hai loại là biện chứng khách quan và
biện chứng chủ quan, “biện chứng gọi là khách quan thì chi phối trong toàn
bộ giới tự nhiên, còn biện chứng gọi là chủ quan thì chỉ là sự phản ánh sự chi
phối, trong toàn bộ giới tự nhiên, của sự vận động thông qua những mặt đối
lập, tức là những mặt, thông qua sự đấu tranh thường xuyên của chúng và sự

chuyễn hoá cuối cùng của chúng từ mặt đối lập này thành mặt đối lập kia, với
những hình thức cao hơn, đã quy định sự sống của giới tự nhiên [42, tr.
160]”.
1.1.1. Khái niệm về tư duy
Quá trình hoạt động nhận thức của con người là một trong những hoạt
động trọng tâm cơ bản nhất của con người, do đó nó cũng tuân theo cấu trúc
tổng quát của một hoạt động nói chung. Quá trình nhận thức được phản ánh
hiện thực khách quan bởi con người, là quá trình tạo thành tri thức trong bộ óc
con người về hiện thực khách quan. Nhờ có nhận thức, con người mới có ý
thức về thế giới; ý thức về cơ bản là kết quả của quá trình nhận thức thế giới.
Nhờ đó, con người có thái độ đối với thế giới xung quanh, đặt ra mục
đích và dựa vào đó mà hành động. Nhận thức không phải một hành
động tức thời, giản đơn, máy móc và thụ động mà là một quá trình
biện chứng, tích cực, sáng tạo. Quá trình nhận thức được diễn ra theo
con đường từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ tư duy
trừu tượng đến thực tiễn. Đó là quá trình nhận thức đi từ hiện tượng
đến bản chất, từ bản chất kém sâu sắc đến bản chất sâu sắc hơn. Vì
vậy: “trong lí luận nhận thức, cũng như trong tất cả lĩnh vực khác của
khoa học, cần suy luận một cách biện chứng, nghĩa là đừng giả định
10
rằng nhận thức của chúng ta là bất di bất dịch và có sẵn, mà phải phân
tích xem sự hiểu biết nãy sinh ra từ sự không hiểu biết như thế nào, sự
hiểu biết không đầy đủ, chính xác trở thành đầy đủ hơn và chính xác
hơn như thế nào”.
Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất được
tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới
khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận Tư duy xuất hiện trong
quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và bảo đảm phản ánh thực
tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật của thực tại.
tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao

động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người. Cho nên tư
duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ nhất với lời nói,
và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư
duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên
những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả
thiết, những ý niệm Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ
nào đó. Khả năng phản ánh thực tại một cách khái quát của tư duy được biểu
hiện ở khả năng của con người có thể xây dựng những khái niệm chung, gắn
liền với sự trình bày những quy luật tương ứng. Khả năng phản ánh thực tại
một cách gián tiếp của tư duy được biểu hiện ở khả năng suy lý, kết luận lôgíc,
chứng minh của con người. Khả năng này hết sức mở rộng khả năng nhận thức.
Xuất phát từ chỗ phân tích những sự kiện có thể tri giác được một cách trực
tiếp, cho phép nhận thức được những gì không thể tri giác được nhờ các giác
quan. Những khái niệm và những hệ thống khái niệm (những lí luận khoa học)
ghi lại (khái quát hoá) kinh nghiệm của loài người và là điểm xuất phát để tiếp
11
tục nhận thức thực tại. Tư duy con người được nghiên cứu trong những lĩnh
vực khoa học khác nhau và bằng những phương pháp khác nhau” [37, tr. 4].
Từ những điều đó, ta thấy rằng nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng
trong đời sống tâm lí của con nguời, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động
tâm lí cao hơn. Tuy nhiên trong thực tế biến đổi thì cuộc sống xã hội luôn đặt
ra những vấn đề cấp bách và biến đổi khôn lường. Do đó con người không thể
giải quyết được nhiều vấn đề phức tạp đặt ra trong Toán học. Muốn giải quyết
các vấn đề như vậy con người cần phải có nhận thức cao hơn, đó là nhận thức
lí tính mà ta còn gọi đó là “tư duy”.
Tư duy được rất nhiều nhà tâm lí học nghiên cứu, một trong những
nghiên cứu đầy đủ nhất về tư duy đã được trình bày trong công trình của
X. L. Rubinstêin. Theo ông thì “Tư duy- đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của
chủ thể với khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu
cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” [38, tr. 8].

Như vậy tư duy mang bản chất xã hội và có tính sáng tạo, kết quả của nó
không phải bằng chân tay, bằng hình tượng mà bao giờ cũng là một ý nghĩ và
được thể hiện qua ngôn ngữ. Qua ngôn ngữ con người nhận thức những tình
huống có vấn đề trong cuộc sống, trong xã hội và qua quá trình phân tích,
tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hóa, tổng quát hoá để đi đến
những khái niệm, định lí, phán đoán, để có được những sản phẩm của tư
duy. Từ đó ta thấy được rằng, tư duy lúc nào cũng gắn kết với ngôn ngữ và
được thực hiện trong ngôn ngữ cho nên nếu tư duy không phát triển thì ngôn
ngữ cũng không thể phát triển được. Vì vậy nếu có tư duy tốt đúng đắn thì có
thể có triển vọng để nắm vững ngôn ngữ tốt, trong sáng và rõ ràng qua đó
phát triển được trí tuệ của học sinh.
12
Vì thế mà, khách thể trong quá trình tư duy được phản ánh dưới nhiều mức độ
khác nhau, từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con
người. Và tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
Nhà tâm lí học CRUGLIĂC nói rằng: “nhờ tư duy mà có thể chuyển
được những tri thức sơ đẳng đầu tiên sang những tri thức sâu sắc hơn,
chuyển từ hiện tượng sang bản chất và từ bản chất bậc một sang bản chất
bậc hai, Nguyên nhân là do tri thức về bản chất không nằm trên bề mặt
của hiện tượng, chỉ trong quá trình phân loại mới có thể phát hiện và tìm ra
được chúng. Tư duy càng phát triển bao nhiêu càng có khả năng lĩnh hội tri
thức một cách có kết quả và sâu sắc và càng có nhiều khả năng vận dụng
những tri thức ấy trong hoạt động thực tế bấy nhiêu. Tri thức và tư duy gắn
bó với nhau như sản phẩm đi đôi với quá trình” [1, tr 65].
Qua đó ta thấy rằng, một tình huống khi gặp vấn đề nào đó, nó sẽ kích
thích tư duy con người tìm tòi cách giải quyết, thúc đẩy nhận thức để tiến lên
thu thập các tri thức mới, từ đó làm cho tư duy ngày một phát triển cao độ
trong mối liên quan biện chứng với nhau.
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
Trước hết, cần hiểu rằng tư duy là sản phẩm cao nhất của bộ não con

người. Do đó, tư duy thuộc nấc thang nhận thức cao nhất, đó là nhận thức lý
tính. Vì vậy tư duy có những đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri
giác. Có thể thấy sự khác biệt đó qua những đặc điểm cơ bản sau:
Tư duy chỉ nảy sinh khi con người đứng trước những hoàn cảnh có
vấn đề: không phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh cũng đều gây ra tư
duy. Trên thực tế tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề mà
bằng vốn hiểu biết cũ ta không thể giải quyết đựơc nó. Để nhận thức con
13
người phải vượt qua khỏi phạm vi những hiểu biết tri thức cũ và đi tìm cái
mới đạt mục đích mới. Những hoàn cảnh như thế gọi là hoàn cảnh có vấn đề.
Theo thuật ngữ lí thuyết tình huống thì đó là sự mất cân bằng. Hoàn cảnh có
vấn đề sẽ kích thích con người tư duy. Muốn vậy con người phải nhận thức
được, ý thức được hoàn cảnh có vấn đề, nhận thức được mâu thuẫn chứa đựng
trong vấn đề, chủ thể phải có nhu cầu, nhu cầu nhận thức và đương nhiên phải
có những tri thức cần thiết có liên quan vấn đề, chỉ trên cơ sở đó thì tư duy
mới nảy sinh và diễn biến. Một trong những người có công trình nghiên cứu
nhiều nhất về tư duy là X. L. Rubinstein. Ông đã nhấn mạnh rằng “tư duy
sáng tạo luôn được bắt đầu từ một hoàn cảnh có vấn đề”.
Tư duy có tính khái quát: khác với nhận thức cảm tính, tư duy có khả
năng đi sâu vào sự vật, hiện tượng nhằm vạch ra những thuộc tính chung
những mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật giữa chúng. Vì thế tư duy có tính
khái quát.
V. I. Lênin đã vạch rõ “cảm giác vạch ra cái hiện thực, tư duy và từ vạch ra
cái chung”(Bút kí triết học).
Nhờ phản ánh khái quát, các quy luật mà tư duy giúp con người không chỉ
nhận thức thế giới mà còn có khả năng cải tạo thế giới.
Tư duy có tính gián tiếp: ở mức độ nhận thức cảm tính, con người phản
ánh trực tiếp sự vật, hiện tượng bằng giác quan của mình trên cơ sở đó cho ta
hình ảnh cảm tính về sự vật và hiện tượng đến tư duy, con người không nhận
thức thế giới một cách trực tiếp mà có khả năng nhận thức thế giới một cách

gián tiếp - nhận thức bằng ngôn ngữ, nhờ phương tiện ngôn ngữ và khả năng
phản ánh khái quát; Con người có khả năng vạch ra các thuộc tính bản chất,
14
các mối quan hệ có tính quy luật. Dự đoán được chiều hướng phát triển và
diễn biến của chúng để nhận thức và cải tạo chúng.
Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: “tư duy và
ngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau không tách rời nhau, nhưng cũng
không đồng nhất với nhau. Sự thống nhất giữa tư duy và ngôn ngữ thể hiện rõ
ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình tư duy” [38, tr 9].
Theo quan điểm của duy vật biện chứng thì tư duy và ngôn ngữ có quan
hệ chặt chẽ với nhau nhưng không đồng nhất với nhau. Và nhờ có ngôn ngữ
mà ngay từ đầu tư duy đã xuất hiện.
Nói như vậy, khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề bằng cảm giác và tri
giác con người không thể giải quyết được đòi hỏi con người cần phải tư duy
và qua quá trình gián tiếp bộ não của con người được khái quát lên thành các
định lý, phán đoán rồi từ đó thể hiện qua ngôn ngữ. Thế nhưng những người
không nói được không có nghĩa là không có ngôn ngữ, điều đó không đúng
mà ở họ có thể hiện qua ngôn ngữ khác. Chẳng hạn một người câm họ có thể
sử dụng ngôn ngữ đó là biểu hiện bằng tay.
Như vậy, nét nổi bật của tư duy là quá trình tư duy bao gồm nhiều giai
đoạn kế tiếp nhau đó là từ nhận thức vấn đề đến xuất hiện các liên tưởng và
qua quá trình tư duy bộ não sàng lọc các liên tưởng đó để hình thành nên các
giả thuyết từ đó kiểm tra giả thuyết để chính xác hoá nhằm phủ định hay
khẳng định vấn đề đó là đi đến bác bỏ hay chấp nhận giả thuyết. Trong tất cả
các bước trên tư duy luôn luôn xuất hiện khi gặp hoàn cảnh có vấn đề, và tư
duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính
.
Theo X. L. Rubinstêin
khẳng định: “nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa
hồ như làm chổ dựa cho tư duy”. Điều đó cũng cho ta nhận thấy rằng quá

15
trình tư duy luôn là một hoạt động của trí tụê và diễn ra bằng cách chủ thể tiến
hành qua những thao tác nhất định và các thao tác đó tham gia vào một quá
trình cụ thể như: phân tích, tổng hợp, so sánh,
Như vậy, qua vấn đề nêu trên ta nhận thấy tư duy có tác dụng hết sức to
lớn trong đời sống xã hội của con người. Chúng ta dựa vào tư duy để hiểu,
nhận thức các quy luật khách quan của tự nhiên và xã hội và lợi dụng nó để
phát triển xã hội. Nói như thế có nghĩa là nhờ có tư duy mà xã hội loài người
phát triển ngày một cao. Có những hiện tượng trước đây con người không thể
giải thích được khi tư duy chưa phát triển, cho đến bây giờ tư duy càng phát
triển sự giải thích ấy càng ngày, càng được sáng tỏ.
Nhà Toán học Liên xô cũ K. K. Plantônôv đã nêu lên các giai đoạn của
tư duy bằng sơ đồ sau đây.
16
Nhận thức vấn đề
Xuất hiện các liên tưởng
Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết
Kiểm tra giả thuyết
Khẳng định
Chính xác hóa Phủ định
Giải quyết vấn đề
Hoạt động tư duy mới
(dẫn theo [38,tr.10])
1.1.3. Sự phân loại tư duy
Có nhiều cách phân loại tư duy.
Theo Phạm Minh Hạc, Sácđacôp M. N có 3 loại tư duy sau đây:
a/ Tư duy trực quan hành động: đó là loại tư duy bằng các thao tác cụ thể tay
chân hướng vào việc giải quyết một vấn đề cụ thể, trực quan.
b/Tư duy trực quan hình tượng: là loại tư duy phát triển ở múc độ cao hơn, ra
đời muộn hơn so với tư duy trực quan hành động, chỉ có ở người, đó là loại tư

duy mà việc giải quyết vấn đề dựa vào hình ảnh sự vật, hiện tượng.
c/Tư duy trừu tượng(tư duy ngôn ngữ, lôgic): là loại tư duy phát triển ở mức
độ cao nhất, chỉ có ở người, đó là loại tư duy mà việc giải quyết vấn đề dựa
trên các khái niệm, các mối quan hệ lôgic và gắn chặt chẽ với ngôn ngữ, lấy
ngôn ngữ làm phương tiện [38, tr. 11].
Vì tư duy là một hình thức phản ánh gián tiếp nên nó gắn bó với ngôn
ngữ một cách hữu cơ và không có ngôn ngữ thì không có tư duy.
Theo A. V. Pêtrôvxki và L. B. Itenxơn, có 4 loại tư duy đó là: tư duy
hình tượng, tư duy thực hành, tư duy khoa học và tư duy lôgic. Việc phát triển
tư duy lôgic bao giờ cũng được coi là một nhiệm vụ quan trọng đặt ra hàng
đầu trong quá trình dạy học Toán. Nói đến tư duy lôgic người ta nhấn mạnh
tư duy biện chứng nghiên cứu tư duy dưới góc độ cách thức nhận thức sự phát
triển và biến đổi của các sự vật hiện tượng.
Như vậy, dựa trên cách chia đó ta thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa các
loại tư duy là có một mối quan hệ biện chứng lẫn nhau đi từ thấp đến cao từ
17
cái đơn giản đến phức tạp. Từ những điều trông thấy đến những vấn đề cần có
tư duy cao độ. Mối quan hệ đó có một ý nghĩa hết sức quan trọng trong sự
phát triển xã hội loài người. Sự phát triển từ thấp đến cao đó là một quá trình
nhận thức của con người phản ánh một cách biện chứng thế giới khách quan.
Quá trình nhận thức bằng tư duy diễn ra không đơn giản, thụ động, máy
móc, Mà đó là một quá trình phản ánh hiện thực khách quan vào bộ óc con
người năng động sáng tạo, biện chứng. Đó là quá trình đi từ cái chưa biết,
chưa sâu sắc, từ cái biết ít đến cái biết nhiều, từ nhận thức cảm tính đến nhận
thức lí tính. Vì vậy, quá trình tư duy con người nói chung diễn ra hai giai
đoạn nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính và quá trính đó trải qua khi gặp
tình huống có vấn đề.
Đó là hai giai đoạn khác nhau về chất, có đặc điểm
và vai trò khác nhau về việc nhận thức sự vật khách quan. Nhận thức
cảm tính là phản ánh trực tiếp, cụ thể, sinh động sự vật, còn nhận thức

lý tính là phản ánh gián tiếp, mang tính trừu tượng khái quát. Nhận
thức cảm tính đem lại những hình ảnh bề ngoài, chưa thật sâu sắc về
sự vật, còn nhận thức lý tính phản ánh được mối quan hệ bên trong,
bản chất, phổ biến, tất yếu của sự vật. Do đó nhận thức lý tính phản
ánh sự vật sâu sắc hơn đầy đủ hơn.
Tuy nhiên, nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính lại thống nhất
biện chứng với nhau, liên hệ, tác động lẫn nhau, bổ sung, hỗ trợ cho
nhau, không tách rời nhau. Chúng đều cùng phản ánh thế giới vật chất,
có cùng một cơ sở sinh lý duy nhất là hệ thần kinh của con người và
đều cùng chịu sự chi phối của thực tiễn lịch sử - xã hội. Nhận thức cảm
tính là cơ sở của nhận thức lý tính, không có nhận thức cảm tính thì
không có nhận thức lý tính. Trái lại, nhận thức cảm tính mà không có
nhận thức lý tính thì không thể nắm bắt được bản chất và quy luật của
sự vật, hiện tượng. Trên thực tế, chúng thường diễn ra đan xen vào
18
nhau trong mỗi quá trình nhận thức.
Phép biện chứng khách quan của thế
giới xung quanh ta được phản ánh vào phép biện chứng chủ quan đây là vấn
đề có tính chất nền tảng.
1.1.4. Tư duy toán học
Cụm từ “tư duy toán học” đã được sử dụng một cách rất phổ biến,
trong dạy học, trong đánh giá kết quả học tập Tuy nhiên nhiều giáo viên
chưa hiểu tường minh khái niệm về tư duy toán học mặc dầu đã ngầm quan
tâm nhiều khía cạnh của nó trong dạy học Toán. Dường như mọi người cũng
chỉ dựa khả năng toán học, sức học toán để rồi đánh giá về tư duy toán học.
Đành rằng một học sinh yếu về Toán thì không thể là tốt về tư duy toán học
nhưng một học sinh có kĩ năng giải Toán tốt chưa hẳn đã là có tư duy toán
học tốt. “Tư duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình
hoạt động toán học của học sinh, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát
triển một cách có phương hướng thì không thể đạt được hiệu quả trong việc

truyền thụ cho học sinh hệ thống các kiến thức và kỹ năng toán học”[dẫn theo
38, tr. 13]. Cho đến nay có rất nhiều tài liệu nghiên cứu khá đầy đủ về tư duy
toán học. Tuy nhiên trong một số tài liệu có nói đến thì cũng chỉ nói chung
chung còn ở một mức độ nhất định, và có nói kĩ thì cũng chỉ nói về một loại
hình tư duy cụ thể nào đó mà thôi. Cũng từ điều đó thì “tư duy toán học được
hiểu, thứ nhất là hình thức biểu lộ tư duy biện chứng trong quá trình con
người nhận thức khoa học toán học hay trong quá trình áp dụng Toán học vào
các khoa học khác như kỹ thuật, kinh tế quốc dân. Thứ hai, tư duy toán học có
các tính chất đặc thù được quy định bởi bản chất của khoa học toán học bởi sự
áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng thế giới hiện
thực, cũng như bởi chính các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng.
19
Nội dung của tư duy toán học là những tư tưởng phản ánh hình dạng không
gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực” [8, tr. 5 ]. Điều đó cho
ta thấy rằng tư duy biện chứng là một loại hình tư duy quan trọng thể hiện
trong tư duy toán học, ta cũng cần hiểu tư duy biện chứng là như thế nào?
Thuật ngữ tư duy biện chứng xuất hiện nhiều lần trên các sách báo tạp chí và
ấn phẩm khoa học, tuy nhiên hầu như chưa có một tài liệu nào đưa ra một
định nghĩa tường minh về loại hình tư duy này. Có tài liệu thay vì định nghĩa
tư duy biện chứng thì lại nhấn mạnh vai trò của nó; có tài liệu không định
nghĩa tư duy biện chứng mà chỉ nói rằng tư duy biện chứng dựa vào lôgic
biện chứng, thực ra chẳng riêng gì tư duy biện chứng mới dựa vào lôgic biện
chứng mà nói như Ilencô “Tư duy toán học đáng giá nhất thiết phải là tư duy
biện chứng”. Câu này có thể hiểu như sau mọi loại hình tư duy toán học trong
mình nó đều có hàm lượng của tư duy biện chứng, tuy nhiên hàm lượng ấy
chỗ này chỗ kia
có thể khác nhau và cũng không nên hiểu rằng tư duy biện chứng đủ để bao
quát tất cả các tình huống Toán học mặc dù nó là cần thiết.
“Nhà sư phạm xô viết A. X. Macarencô đã từng chỉ ra rằng trong dạy học
và giáo dục chúng ta phải theo kịp những yêu cầu mà xã hội chúng ta sẽ đề ra

cho con người trong một tương lai không xa. Để giáo dục được con người lao
động sáng tạo có năng lực trí tuệ cao cần phải vận dụng những phương pháp
dạy học tích cực nhằm phát triển những năng lực tư duy một cách biện chứng,
năng lực xem xét các đối tượng và hiện tượng trong mối quan hệ qua lại,
trong quá trình vận động biến đổi, mâu thuẫn và phát triển của chúng.” [1, tr
65].
20
Tuy không đưa ra định nghĩa rõ ràng nhưng một số tác giả cũng đã có
một sự thống nhất nào đó về một số thành phần của tư duy biện chứng; Để
đưa ra một khái niệm về tư duy biện chứng thật cụ thể và được mọi người
thừa nhận là điều hết sức khó khăn. Do vậy, nên tập trung vào những thành tố
mà người ta đã tương đối thống nhất. Mặt khác dành sự quan tâm cho những
thành tố có dịp thể hiện nhiều trong Toán học. Nói một cách khác có thể
không nêu hết được mọi thành tố nhưng cố gắng xem xét những thành tố phổ
biến và việc bồi dưỡng những thành tố đó cũng chính là góp phần bồi dưỡng
Tư duy biện chứng; Việc nghiên cứu một loại hình tư duy chỉ thực sự có ý
nghĩa nếu như nó có những ứng dụng trong giảng dạy Toán, chứ không phải
là chỉ đưa ra một cách hình thức; Hai chữ “biện chứng” đã nói lên được rằng
Tư duy biện chứng có tên gọi xuất phát từ duy vật biện chứng. Nói cách khác
những nguyên lí, quy luật và phạm trù của duy vật biện chứng đều có liên
quan đến tư duy biện chứng. Từ đó ta có thể hiểu tư duy biện chứng như sau:
- Theo cách hiểu thứ nhất, Tư duy biện chứng là phương thức tư duy thể
hiện ý thức và khả năng vận dụng các nguyên lí, các quy luật, các cặp phạm
trù của phép biện chứng duy vật vào quá trình xem xét và giải quyết các vấn
đề Toán học.
- Theo cách hiểu thứ hai, tư duy biện chứng là những hoạt động trí tuệ
nhằm vận dụng các nguyên lí, các quy luật, các cặp phạm trù của phép biện
chứng vào việc nghiên cứu giải quyết các vấn đề Toán học.
- Theo cách hiểu thứ ba, Tư duy biện chứng được đặc trưng bởi sự thâu
tóm tính thay đổi, tính hai chiều, tính mâu thuẫn, tính thống nhất; Bởi mối

liên quan và phụ thuộc tương hỗ của các khái niệm và quan hệ Toán học.
Ngoài ra tư duy một cách biện chứng còn ở chổ biểu hiện khả năng có được
21
những quan điểm không khuôn sáo, nhiều khía cạnh khi nghiên cứu các đối
tượng và các hiện tượng xảy ra, khi giải quyết các vấn đề. Tư duy biện chứng
còn có nét đặc trưng nữa là sự hiểu biết sự khác nhau giữa những kết luận
luôn đúng và có khả năng xảy ra là ở chỗ thể hiện rõ duy nhất và đối lập trong
sự biểu hiện của hữu hạn và vô hạn.
Trong ba cách hiểu trên, ta thấy rằng tư duy biện chứng là loại tư duy có
khả năng nhìn một đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau một cách linh hoạt
và không máy móc; nhìn đối tượng Toán học trong những mối liên quan và
phụ thuộc lẫn nhau; khả năng phối hợp giữa suy đoán và suy diễn, khả năng
nhìn đối tượng Toán học khác nhau dưới một quan điểm thống nhất (trong sự
vận động); khả năng nhận thức được tính khả biến của các tình huống Toán
học và thể hiện một cách đúng đắn.
Rõ ràng tư duy toán học đương nhiên phải là tư duy biện chứng, bởi vì
tư duy toán học vận dụng vào việc giải quyết vấn đề thì nó cũng phải nhìn vấn
đề dưới nhiều góc độ khác nhau một cách linh hoạt, nó vẫn phải nhìn các đối
tượng và sự kiện toán học trong mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau, và nó phải
phân tích và tổng hợp, suy đoán và suy diễn.
1.1.5. Vai trò của tư duy toán học
Từ vấn đề được hiểu về tư duy toán học trên ta thấy rằng “tư duy toán
học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt động toán học
của học sinh, nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự phát triển một cách có
phương hướng thì không thể đạt đựợc hiệu qủa trong sự truyền đạt cho học
sinh hệ thống các kiến thức và kỹ năng toán học” [dẫn theo38, tr 13].
Như vậy, tư duy toán học đó là một quá trình phát triển từ thấp lên cao,
việc giải quyết vấn đề thứ nhất và thứ hai có kết quả, thì sẽ dẫn tới việc giải
22
quyết công việc thứ ba. Điều này cũng có nghĩa là việc giải quyết vấn đề đó là

một quá trình biện chứng. Nó giúp ta hiểu được một cách đúng đắn và sâu sắc
qua việc nhận thức kiến thức toán học. Tư duy toán học không chỉ là thành
phần quan trọng trong quá trình hoạt động toán học của học sinh, nó còn là
thành phần mà thiếu nó thì không thể đạt được hiệu quả trong việc truyền thụ
kiến thức toán học cho học sinh.
1.1.6. Một số quan điểm biện chứng của tư duy toán học.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, Triết học duy vật biện chứng thể hiện
các quy luật chung nhất của sự phát triển tự nhiên, xã hội và tư duy của con
người. Nó là cơ sở phương pháp luận của mọi khoa học. Và cũng theo Ông,
thì nó giúp ta hiểu được đối tượng và phương pháp của khoa học toán học
một cách đúng đắn và sâu sắc giúp hình thành thế quan duy vật biện chứng
của thế hệ trẻ. Nó cung cấp cho ta phương pháp nghiên cứu đúng đắn: xem
xét những hiện tượng giáo dục trong quá trình phát triển và trong mối liên hệ
phụ thuộc lẫn nhau, trong sự mâu thuẫn và thống nhất, phát hiện những sự
biến đổi số lượng dẫn tới những biến đổi về chất lượng
Từ đó cho ta thấy phương pháp luận duy vật biện chứng đóng vai trò
hết sức quan trọng trong Toán học. Để đi đến cái mới trong Toán học phải
kết hợp được tư duy lôgic và tư duy biện chứng, cả tư duy hình tượng cũng
như tư duy khác và nhiều phẩm chất khác của con người.
Ta thấy rằng tư duy là một vấn đề không thể không nhắc tới khi nói
đến Toán học. Vậy thì từ tư duy ở đây có vai trò chủ đạo như thế nào? Chính
vì vậy mà V . I . Lênin nói: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và
từ đó trở về thực tiễn - đó là con đường biện chứng của nhận thức chân lí,
nhận thức hiện thực khách quan ” đã được đặc biệt trích dẫn trong nhiều công
23
trình nghiên cứu về tâm lí học sư phạm và lí luận dạy học. Còn theo các tác
giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình thì đối tượng và sự
kiện Toán học với tư cách là tư duy có tính hiện thực sâu vừa có tính trừu
tượng cao. Hai mặt “hiện thực” và “trừu tượng” của chúng đối lập nhau
nhưng lại tồn tại trong mối quan hệ biện chứng lẫn nhau phụ thuộc và tồn tại

hữu cơ với nhau, mặt “hiện thực” là nguồn gốc mặt “trừu tượng” là thể hiện
nguồn gốc trên, chúng thống nhất với nhau trong mối quan hệ vật ảnh ( mà cơ
quan phản ánh là não người). Mặt “hiện thực” gắn liền với cảm tính, cái
riêng cái cụ thể còn mặt “trừu tượng” gắn liền với cái lí tính, cái chung, cái
trừu tượng Cho nên trong tư duy toán học cũng phải được thể hiện mối
quan hệ biện chứng giữa các cặp phạm trù: cái cảm tính và cái lí tính, cái
riêng và cái chung, cái cụ thể và cái trừu tượng
Để nhận thức mặt nội dung của hiện thực cần có tư duy biện chứng và
để nhận thức mặt hình thức của hiện thực cần có tư duy lôgic: nên tư duy toán
học cũng phải là sự thống nhất biện chứng giữa tư duy lôgic và tư duy biện
chứng [14, tr 60-61].
Vì vậy mà lôgic biện chứng nghiên cứu tư duy dưới góc độ cách thức tư
duy nhận thức sự phát triển và biến đổi của các sự vật và hiện tượng. Chúng
ta biết rằng dạy học Toán là dạy hoạt động toán học “Mỗi nội dung dạy học
đều quan hệ mật thiết với những hoạt động nhất định. Phát hiện được hoạt
động tiềm tàng trong một nội dung cụ thể là cụ thể hoá đựơc mục đích dạy
học nội dung đó, chỉ ra được cách thực hiện mục đích này đồng thời vạch
được một con đường để người học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt được những
mục đích dạy học khác. Cho nên điều căn bản của phương pháp dạy học là
khai thác được những hoạt động tiềm tàng nội dung để đạt được mục đích dạy
24
học. Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ hữu cơ giữa mục đích, nội
dung và phương pháp dạy học” [38, tr 53].
1.2. Các quy luật cơ bản và các cặp phạm trù triết học.
1.2.1. Các quy luật cơ bản của triết học duy vật biện chứng.
Hêghen khẳng định rằng “phép biện chứng là lí luận về mối liên hệ
phổ biến, là môn khoa học về những quy luật phổ biến của sự vận động và
phát triển của tự nhiên, của xã hội loài người và của thế giới ”.
V. I. Lênin nhấn mạnh: phép biện chứng là học thuyết sâu sắc nhất,
không phiến diện về sự phát triển. Những người theo quan điểm biện chứng

xem thế giới như là một chỉnh thể thống nhất các sự vật, các hiện tượng, và
các quy luật cấu thành thế giới đó vừa tách biệt nhau vừa có mối quan hệ qua
lại thâm nhập và chuyển hoá lẫn nhau.
1.Từ việc nghiên cứu nguyên lí về mối liên hệ phổ biến của các sự vật
và hiện tượng chúng ta cần rút ra quan điểm toàn diện trong việc nhận thức
cũng như trong hoạt động thực tiễn. Với tư cách là một nguyên tắc, phương
pháp luận trong sự nhận thức các sự vật và hiện tượng quan điểm toàn diện
đòi hỏi chúng ta phải xem xét nó trong mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận,
các yếu tố, các thuộc tính khác nhau của chính sự vật đó, mặt khác là trong
mối liên hệ qua lại giữa sự vật đó với các sự vật khác.
Lênin viết: “muốn thực sự hiểu được sự vật cần phải nhìn bao quát và
nghiên cứu tất cả các mặt, tất cả các mối liên hệ và quan hệ gián tiếp của các
sự vật đó”.
Tuy nhiên trong khi nêu yêu cầu để nhận thức được sự vật cần phải nghiên
cứu tất cả các mối liên hệ thì V. I. Lênin cũng chỉ ra rằng: “chúng ta không thể
25