hình thành cho học sinh trung học phổ thông một số kiến thức về phép bcdv trong quá trình dạy học toán

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh

Ngô thị kim thoa
hình thành cho học sinh trung học phổ thông một số kiến
thức về phép biện chứng duy vật trong quá trình dạy học
toán
luận văn thạc sĩ giáo dục học


Vinh-2008
1
2
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh

Ngô thị kim thoa
hình thành cho học sinh trung học phổ thông
một số kiến thức về phép biện chứng duy vật
trong quá trình dạy học toán
chuyên ngành: lý luận và phơng pháp dạy học bộ môn toán
mã số: 60.14.10
luận văn thạc sĩ giáo dục học
Ngời hớng dẫn khoa học: TS. nguyễn văn thuận
vinh - 2008

Vinh-2008
Lời cảm ơn
Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn
Thuận, người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này
trong thời gian qua.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, ban chủ
nhiệm khoa sau Đại học trường Đại học Vinh cùng tất cả các thầy cô giáo
đã tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập nghiên cứu và hoàn
thành các chuyên đề thạc sĩ khoá 14, nghành Toán trường Đại học Vinh.
Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán
trường THPT Nam Đàn 1 , Nam Đàn, Nghệ An - nơi tôi đang công tác
giảng dạy, đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình tôi tiến hành
thực nghiệm sư phạm.
Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý quý báu
của các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng
dạy bộ môn Toán.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng
nghiệp - những người luôn cổ vũ động viên tôi để tôi hoàn thành tốt Luận
văn này.
Tuy đã có nhiều cố gắng, Luận văn chắc chắn không tránh khỏi
những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa. Rất mong nhận được những ý
kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.
Vinh, tháng 11 năm 2008
Tác giả
QUY ƯỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt

Viết đầy đủ
DVBC : Duy vật biện chứng
3
BCDV : Biện chứng duy vật
THPT : Trung học phổ thông
SGK : Sách giáo khoa
BĐT : Bất đẳng thức

NXB : Nhà xuất bản
NC : Nâng cao
HS : Học sinh
GV : Giáo viên
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 3
3. Giả thuyết khoa học 3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu 3
5. Phương pháp nghiên cứu 3
6. Những đóng góp của luận văn 4
7. Cấu trúc luận văn 4
Chương1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6
1.1. Thế giới quan DVBC là gì 6
1.2. Nội dung cơ bản của phép biện chứng duy vật 8
1.2.1. Những nguyên lý cơ bản của phép biện chứng duy vật 8
1.2.2. Những quy luật cơ bản của phép biện chứng duy vật 15
4
1.2.3. Các cặp phạm trù cơ bản của phép biện chứng duy vật 19
1.3. Khái niệm tư duy Toán học 25
1.4. Khái niệm TDBC 26
1.5. Vì sao cần phải hình thành cho học sinh THPT một số kiến
thức về phép BCDV trong quá trình dạy học toán 26
1.6. Thực trạng hình thành một số kiến thức về phép BCDV cho
học sinh THPT trong dạy học toán hiện nay 28
1.7. Kết quả tất yếu của việc không nắm vững các kiến thức của phép
BCDV trong dạy và học toán 29
Kết luận chương1 30

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM HÌNH THÀNH CHO HỌC
SINH THPT MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ PHÉP BCDV 33
2.1. Đặc điểm chương trình môn toán THPT. 33
2.2. Các định hướng nhằm hình thành cho học sinh THPT một số
kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học toán. 36
2.3. Một số biện pháp nhằm hình thành cho học sinh THPT một
số kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học toán. 43
2.4. Kết luận chương 2. 100
Chương 3 : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 102
3.1. Mục đích thực nghiệm 102
3.2. Tổ chức thực nghiệm 102
3.3. Nội dung thực nghiệm 102
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm 103
3.5. Kết luận chung về thực nghiệm 108
KẾT LUẬN 110
TÀI LIỆU THAM KHẢO 111
PHỤ LỤC 114
5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Con người luôn có nhu cầu nhận thức thế giới. Nhận thức của con người
là quá trình phản ánh một cách biện chứng thế giới khách quan trên cơ sở
thực tiễn lịch sử - xã hội. Quá trình nhận thức đó diễn ra không đơn giản, thụ
động, máy móc, nhận thức không có sẵn, bất di bất dịch, mà là quá trình phản
ánh hiện thực khách quan vào bộ óc con người một cách năng động, sáng tạo,
biện chứng. Đó là quá trình đi từ không biết đến biết, từ biết ít đến biết nhiều,
từ nông đến sâu, từ không đầy đủ và không chính xác trở thành đầy đủ hơn và
chính xác hơn.
Cũng như các khoa học khác, Toán học nghiên cứu những quy luật của
hiện thực khách quan. Nó là một trong những môi trường thuận lợi, là phương

tiện để người dạy có thể tổ chức lồng ghép, cài đặt những quy luật của hiện
thực khách quan vào trong quá trình dạy học của mình. Vì vậy các kiến thức
Toán học nếu được giảng dạy chính xác với phương pháp đúng đắn sẽ góp
phần tích cực giúp HS hiểu sâu sắc các quy luật phát triển của tự nhiên, cũng
như nhận thức đúng về thái độ của con người đối với tự nhiên, đối với những
biến đổi đang diễn ra trong tự nhiên, tức là sẽ góp phần vào việc bồi dưỡng
thế giới quan DVBC cho HS.
Và ngược lại khi HS nhận thức được các quy luật của tự nhiên, hoà
mình vào thực tế của cuộc sống thì tất yếu sẽ nảy sinh nguyện vọng và ý chí
cải tạo thực tiễn và từ đó có được động cơ mạnh mẽ vươn lên nắm lấy những
kiến thức mới mẻ khác, giải quyết những vấn đề Toán học tốt hơn.
Nhưng như vậy không có nghĩa là cứ dạy những kiến thức Toán học
thuần tuý rồi tự khắc sẽ góp phần xây dựng thế giới quan đúng đắn, mà phải
biết khai thác tư liệu Toán học đó theo một mục đích đã định sẵn, nếu không
6
HS dễ nhầm Toán học là kết quả thuần tuý của hoạt động trí tuệ, tách rời hiện
thực khách quan.
Thực tế cho thấy, ở các trường phổ thông hiện nay, cách dạy học môn
Toán của GV hoặc chỉ chú trọng đến việc truyền thụ tri thức mà không thấy
được tầm quan trọng của việc bồi dưỡng thế giới quan DVBC cho HS hoặc có
ý thức nhưng chưa biết cách cài đặt, lồng ghép một cách thích hợp những kiến
thức thuộc về phép BCDV trong quá trình giảng dạy Toán. Từ đó dẫn đến
việc HS bộc lộ những yếu kém về tư duy biện chứng, nhìn các đối tượng
Toán học một cách rời rạc, trong trạng thái tĩnh mà chưa thấy mối liên hệ phụ
thuộc, sự vận động biến đổi, quá trình phát sinh và phát triển, chưa thấy được
sự thống nhất và mâu thuẫn giữa các mặt đối lập nên chưa hiểu rõ bản chất
Toán học; vì vậy nhiều khi gặp khó khăn khi giải các bài Toán, nhất là các bài
Toán đòi hỏi phải có sự sáng tạo.
Hiện nay, vấn đề làm thế nào để bồi dưỡng thế giới quan DVBC cho
HS còn rất ít các nhà nghiên cứu giáo dục bàn tới, về tư duy biện chứng đã

được nhiều học giả nghiên cứu, bàn luận như giáo sư – tiến sĩ khoa học
Nguyễn Cảnh Toàn đề cập đến khía cạnh “tập cho HS giỏi Toán làm quen
dần với nghiên cứu Toán học” hay “phương pháp luận DVBC với việc học,
dạy, nghiên cứu Toán học”; giáo sư – tiến sĩ Đào Tam quan tâm đến khía
cạnh “một số cơ sở phương pháp luận của Toán học và việc vận dụng chúng
trong dạy học Toán ở trường phổ thông” trong tạp chí nghiên cứu giáo dục số
09/1998.
Mặt khác, yêu cầu cấp thiết của việc cải tiến, đổi mới phương pháp
dạy học của ngành giáo dục nước ta trong xu thế hiện nay càng đòi hỏi sự
nghiệp giáo dục và đào tạo sản sinh ra thế hệ những HS phát triển toàn diện,
năng động, sáng tạo phù hợp yêu cầu xã hội hiện nay. Vì vậy, quá trình dạy
học môn Toán cũng như các môn học khác phải là quá trình thống nhất giữa
7
giáo dục và giáo dưỡng, trong đó việc bồi dưỡng thế giới quan DVBC cho
học sinh là một việc làm góp phần vào việc thực hiện nhiệm vụ đó.
Từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài: “Hình thành cho học
sinh trung học phổ thông một số kiến thức về phép BCDV trong quá
trình dạy học Toán”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận về phép BCDV từ đó đưa ra các định hướng,
các biện pháp để hình thành một số kiến thức về phép BCDV cho HS THPT
thông qua dạy học môn Toán nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy học
môn Toán.
3. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình dạy học Toán ở bậc THPT, nếu đề xuất và thực hiện
được những giải pháp phù hợp thì có thể trang bị được cho HS một số kiến
thức ban đầu về phép BCDV bên cạnh những kiến thức Toán học, và việc HS
nắm được các kiến thức đó sẽ góp phần nâng cao hiệu quả phát hiện và giải
quyết các vấn đề Toán học.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích trên, luận văn có nhiệm vụ làm sáng tỏ những
vấn đề sau:
- Thế giới quan DVBC là gì?
- Nội dung cơ bản của phép BCDV (các nguyên lý, các quy luật và các
cặp phạm trù).
- Khái niệm tư duy biện chứng.
- Vì sao cần phải hình thành cho HS các kiến thức về phép BCDV
trong quá trình dạy học Toán?
- Các định hướng và các biện pháp nhằm “ hình thành cho HS THPT
một số kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học Toán ”.
5. Phương pháp nghiên cứu
8
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận :
Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo về Triết học Mác – lênin, về Toán
học, các tài liệu liên quan đến tư duy biện chứng.
5.2. Phương pháp nghiên cứu thực tế :
Sơ bộ tìm hiểu và rút ra một số nhận xét về việc hình thành một số kiến
thức về phép BCDV cho HS qua dạy học Toán ở một số trường phổ thông
qua dự giờ, điều tra, phỏng vấn GV và HS.
5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm :
- Tiến hành một số giờ dạy thực nghệm sư phạm ở trường THPT Nam Đàn I.
- Kiểm tra, đánh giá kết quả thực nghiệm, so sánh đối chiếu giữa lớp
thực nghiệm và lớp đối chứng có cùng trình độ học vấn tương đương nhằm
minh họa bước đầu những biẹn pháp đã được đề ra trong luận văn.
6. Những đóng góp của luận văn
6.1.Về mặt lý luận :
- Xác định cơ sở khoa học để xây dựng nội dung, phương pháp hình
thành các kiến thức về phép BCDV cho HS.
- Xác định được các biện pháp dạy học nhằm hình thành một số kiến
thức về phép BCDV cho HS.

- Góp phần làm sáng tỏ nội dung “ hình thành cho HS THPT một số
kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học Toán ”.
6.2. Về mặt thực tiễn :
- Xây dựng được một số biện pháp “ hình thành cho HS THPT một số
kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học Toán ”.
- Vận dụng một số biện pháp “hình thành cho HS THPT một số kiến
thức về phép BCDV trong quá trình dạy học Toán ”.
7. Cấu trúc của luận văn:
Mở đầu.
9
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
1.1. Thế giới quan DVBC là gì ?
1.2. Nội dung cơ bản của phép BCDV .
1.2.1. Những nguyên lý cơ bản của phép BCDV .
1.2.2. Những quy luật cơ bản của phép BCDV.
1.2.3. Các cặp phạm trù cơ bản của phép BCDV.
1.3. Khái niệm tư duy Toán học .
1.4. Khái niệm TDBC.
1.5. Vì sao cần phải hình thành cho HS THPT một số kiến thức về phép
BCDV trong quá trình dạy học Toán.
1.6. Thực trạng hình thành một số kiến thức về phép BCDV cho HS THPT
trong dạy học Toán hiện nay.
1.7. Kết quả tất yếu của việc không nắm vững các kiến thức của phép BCDV
trong dạy và học Toán.
Kết luận chương 1.
Chương 2: Một số biện pháp nhằm hình thành cho HS THPT một số kiến
thức về phép BCDV trong quá trình dạy học toán.
2.1. Đặc điểm chương trình môn Toán THPT.
2.2. Các định hướng nhằm hình thành cho HS THPT một số kiến thức về
phép BCDV trong quá trình dạy học Toán.

2.3. Một số biện pháp nhằm hình thành cho HS THPT một số kiến thức về
phép BCDV trong quá trình dạy học Toán.
Kết luận chương 2.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
Kết luận.
Tài liệu tham khảo.
Phụ lục.
10
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Thế giới quan DVBC là gì?
Là sản phẩm và là một bộ phận của thế giới, con người có nhu cầu
phải
nhận thức về thế giới cũng như phải nhận thức về bản thân mình trong mối
quan hệ với thế giới để lựa chọn hoạt động của mình. Kết quả của quá trình
nhận thức ấy tạo nên thế giới quan.
Như vậy thế giới quan là toàn bộ những quan điểm, quan niệm của con
người về thế giới, về bản thân con người, về cuộc sống và về vị trí của con
người trong thế giới ấy.
Ngược lại với thế giới quan duy tâm, thế giới quan duy vật là thế giới
quan thể hiện bản chất của thế giới là vật chất, thể hiện vai trò quyết định của
vật chất đối với các biểu hiện của đời sống tinh thần và thể hiện vị trí, vai trò
của con người trong cuộc sống hiện thực.
Thế giới quan duy vật trải qua nhiều giai đoạn và đến giữa thế kỷ thứ
XIX, thế giới quan DVBC đã được C.Mác và Ăngghen xây dựng, sau đó
được V.I.Lênin và những người kế tụng phát triển.
* Sự thống nhất hữu cơ giữa thế giới quan duy vật và phép biện chứng:
Trước Mác, chủ nghĩa duy vật và phép biện chứng về cơ bản bị tách rời
nhau.Việc tách rời giữa thế giới quan duy vật với phép biện chứng đã không
chỉ làm các nhà duy tâm mà ngay cả những nhà duy vật trước Mác không

hiểu về mối liên hệ phổ biến, về sự thống nhất và nối tiếp nhau của các sự
vật, hiện tượng trong thế giới vật chất. C.Mác và Ăngghen đã giải thoát thế
giới quan duy vật khỏi hạn chế siêu hình và cứu phép biện chứng khỏi tính
chất duy tâm thần bí để hình thành nên chủ nghĩa DVBC với sự thống nhất
hữu cơ giữa thế giới quan duy vật và phép biện chứng. Sự thống nhất này đem
11
lại cho con người một quan niệm hoàn toàn mới về thế giới - quan niệm thế
giới là một quá trình với tính cách là vật chất không ngừng vận động, chuyển
hoá và phát triển.
Như vậy, thế giới quan DVBC chính là cách nhìn các đối tượng, sự
vật, hiện tượng một cách biện chứng, nghĩa là nhìn chúng trong mối liên hệ,
trong sự vận động và phát triển, trong sự thống nhất và mâu thuẫn giữa các
mặt đối lập.
Lịch sử Toán học đã chứng tỏ như vậy : Trước Lobachevski cũng có
nhiều người tìm cách chứng minh tiên đề Euclide bằng phản chứng : họ phủ
nhận tiên đề Euclide với hy vọng sẽ tìm ra mâu thuẫn. Nhưng do thế giới
quan hạn chế nên họ không thể quan niệm nổi những điều họ tìm ra, phủ nhận
tiên đề Euclide và đành phải rút lui, nhường vinh quang cho Lobachevski.
Lobachevski đã có những nhận thức mới về không gian nên cho rằng những
điều họ tìm ra đó không tồn tại trong cuộc sống đời thường nhưng có thể tồn
tại trong vũ trụ bao la. Vì vậy ông không lùi bước và trở thành người đầu tiên
phát minh ra hình học phi Euclide và quan điểm của ông, mãi đến khi lý
thuyết tương đối rộng ra đời, mới được chứng minh. Hoặc như về tính giải
được băng căn thức của các phương trình đại số bậc n : Abel chứng minh sự
không giải được bằng căn thức khi n > 4. Nhưng rồi Galois không chịu dừng
ở đó mà tự đặt câu hỏi : “Tại sao ?” nên cuối cùng đã đưa ra một tiêu chuẩn
khiến cho ta thấy rõ mâu thuẫn mà thống nhất giữa hai trường hợp n
≤
4 và
n > 4.

Khi biết rằng khái niệm xạ ảnh về khoảng cách giữa hai bộ n giá trị của
một bộ n biến số đã được người ta giải quyết khi n = 2 nhưng chưa giải quyết
được khi n > 2 thì GS.TS Nguyễn Cảnh Toàn cảm thấy ở đây cũng có vấn đề
mâu thuẫn và thống nhất giữa hai trường hợp n = 2 và n > 2. Ông có niềm tin
rằng, với n > 2, nhất định sẽ có cái gì đó thống nhất mâu thuẫn với trường hợp
n = 2. Lòng tin đó đã giúp ông sự kiên nhẫn vượt khó khăn để giải quyết
12
trường hợp n > 2. Và ông đã thành công, xây dựng nên không gian phi
Euclide khi n = 2 nhưng không phải là phi Euclide (sau này gọi là siêu phi
Euclide) khi n > 2, tạo ra sự thống nhất biện chứng giữa hai trường hợp. Như
vậy thế giới quan DVBC đã thấm vào ông và phát huy tác dụng đến quá trình
ngiên cứu Toán học và đã góp phần vào những sáng tạo trong tư duy Toán
học của ông.
1.2. Nội dung cơ bản của phép BCDV :
Quan điểm DVBC không chỉ khẳng định bản chất vật chất, tính thống
nhất vật chất của thế giới, mà còn khẳng định các sự vật hiện tượng trong thế
giới đó luôn tồn tại trong sự liên hệ, trong sự vận động và phát triển không
ngừng theo những quy luật vốn có của nó. Làm sáng tỏ những vấn đề đó là
nội dung cơ bản của phép biện chứng. Chính vì vậy, Ph.Ăngghen đã khẳng
định rằng phép biện chứng là lý luận về mối liên hệ phổ biến, là môn khoa
học về những quy luật phổ biến của sự vận động và phát triển của tự nhiên,
của xã hội loài người và của tư duy. V.I.Lênin nhấn mạnh thêm: Phép biện
chứng là học thuyết sâu sắc nhất, không phiến diện về sự phát triển.
1.2.1. Các nguyên lý cơ bản của phép BCDV:
1.2.1.1. Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến:
Thế giới được tạo thành từ những sự vật, những hiện tượng, những quá
trình khác nhau. Những người theo quan điểm biện chứng xem thế giới như
một chỉnh thể thống nhất. Các sự vật, hiện tượng và các quá trình cấu thành
thế giới đó vừa tách biệt nhau, vừa có mối liên hệ qua lại, thâm nhập và
chuyển hoá lẫn nhau. Cơ sở của sự liên hệ qua lại giữa các sự vật và hiện

tượng là tính thống nhất vật chất của thế giới. Theo quan điểm này các sự vật,
các hiện tượng đa dạng trên thế giới chỉ là những dạng tồn tại khác nhau của
một thế giới duy nhất là thế giới vật chất. Ngay cả tư tưởng, ý thức của con
người cũng chỉ là thuộc tính của một dạng vật chất có tổ chức cao là bộ óc
13
con người, nội dung của chúng cũng chỉ là kết quả phản ánh của quá trình vật
chất khách quan.
Từ việc nghiên cứu nguyên lý về mối liên hệ phổ biến của các sự vật,
hiện tượng chúng ta cần rút ra quan điểm toàn diện trong việc nhận thức cũng
như trong hoạt động thực tiễn. Quan điểm toàn diện đòi hỏi chúng ta phải
xem xét nó trong mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận, giữa các yếu tố, các
thuộc tính khác nhau của chính sự vật đó; phải xem xét trong mối liên hệ qua
lại giữa các sự vật đó với các sự vật khác; "muốn thực sự hiểu được sự vật,
cần phải nhìn bao quát và nghiên cứu tất cả các mặt, tất cả các mối liên hệ và
“quan hệ gián tiếp” của sự vật đó ”(V.I.Lênin ).
Trong Toán học có vô vàn những ví dụ làm sáng tỏ nguyên lý vừa nêu.
Thật vậy ta thường xuyên nhìn những đối tượng Toán học duới nhiều góc độ
khác nhau, phải nhìn trong mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận, giữa các
yếu tố và nhìn trong mối liên hệ với các đối tượng Toán học khác.
Chẳng hạn với bài Toán : Giải phương trình :
2(tanx – sinx) + 3(cotx – cosx) + 5 = 0 (1).
Nếu ta nhìn bài Toán này trong mối quan hệ qua lại giữa các bộ phận,
các yếu tố của chính nó thì sẽ thấy được mối liên hệ giữa các số có mặt trong
bài Toán : Để ý đến sự có mặt của các số 2 và 3 trong hai số hạng đầu của vế
trái phương trình và số 5 ta sẽ có được mối liên hệ : 5 = 2 + 3.
Khi đó (1)
⇔
2(tanx – sinx + 1) + 3(cotx – cosx + 1) = 0

⇔

2(
x
x
cos
sin
– sinx + 1) + 3(
x
x
sin
cos
– cosx + 1) = 0
với điều kiện sinxcosx
≠
0,

⇔
(sinx + cosx – sinxcosx) (
xx sin
3
cos
2
+
) = 0

⇔
sinx + cosx – sinxcosx = 0 (1a)
hoặc
xx sin
3
cos

2
+
= 0 (1b).
14
Khi giải phương trình (1a) nếu để ý vế trái ta sẽ thấy mối liên hệ giữa
hai nhóm số hạng sinx + cosx và sinxcosx. Chúng có mối liên hệ với nhau bởi
hệ thức :
(sinx + cosx)
2
= 1 + 2sinxcosx.
Từ mối liên hệ đó gợi cho ta suy nghĩ là đặt ẩn phụ
t = sinx + cosx =
2
sin(x +
4
π
) với điều kiện -
2
≤
t
≤
2
.
Khi đó sinxcosx =
2
1
2
−t
và phương trình (1a) có dạng :
t -

2
1
2
−t
= 0

⇔
2t – t
2
+ 1 = 0

⇔
t
2
– 2t – 1 = 0
Đây là một phương trình bậc hai ẩn t, giải tìm t rồi trở về tìm x .
Quan điểm toàn diện cho rằng để giải quyết tốt các vấn đề của đối
tượng Toán học, ta không chỉ nhìn chúng trong mối liên hệ qua lại giữa các
bộ phận, các yếu tố, các thuộc tính khác nhau của chúng mà còn cần phải nhìn
trong mối liên hệ với các đối tượng Toán học khác. Vì vậy, khi đứng trước
một bài Toán, phải biết nhìn bài Toán trong bối cảnh chung nhưng lại phải
biết nhìn bài Toán trong từng hoàn cảnh cụ thể; lại phải nhìn bài Toán trong
mối tương quan với các loại bài Toán khác. Một bài Toán đại số có thể nhìn
nó dưới góc độ lượng giác, hình học và ngược lại. Có như vậy mới rèn luyện
được tư duy cho người học Toán.
Chẳng hạn với bài Toán : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số : u = y – 2x + 5.
Biết rằng x và y thoả mãn phương trình : 36x
2
+ 16y

2
= 9 (2).
Đây là một bài Toán liên quan đến cực trị của hàm số, HS thường có
thói quen là sẽ tìm cách đánh giá u
≤
M nào đó và u
≥
m nào đó.
15
Bài Toán này có thể giải theo nhiều cách khác nhau nếu ta nhìn nó theo
nhiều góc độ.
Lời giải 1: Nhìn dưới góc độ đại số nhưng quy việc tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của hàm số (u
max
và u
min
) thoả mãn điều kiện (2) về bài
Toán: Tìm miền giá trị của hàm số u và do đó cần phải tìm mọi giá trị của u
(xem như tham số) để hệ phương trình :



=+
=+−
91636
52
22
yx
uxy
(I) có nghiệm (x, y).

Bằng cách rút y theo x từ phương trình đầu rồi thế vào phương trình thứ
hai của hệ, ta thu được phương trình đối với x :
100x
2
+ 64 (u – 5)x + 16 (u – 5)
2
– 9 = 0 (I
’
).
Do việc tìm y theo x từ điều kiện (2) không đòi hỏi điều kiện đối với u,
chính vì vậy mà điều kiện có nghiệm x của phương trình (I
’
) cũng là điều kiện
có nghiệm (x, y) của hệ (I).
Đó là điều kiện
∆

≥
0 (2a).
Ta có (2a)
⇔
1024 (u – 5)
2
– 100 [16(u – 5)
2
– 9]
≥
0
⇔
(u – 5)

2

≤

16
25
⇔

≤
4
15
u
≤
4
25
.
Từ bất dẳng thức thu được về miền giá trị của hàm số u, ta kết luận
được rằng :
u
max
=
4
25
, u
min
=
4
15
.
Lời giải 2 : Nhìn dưới góc độ lượng giác, ta biến đổi điều kiện (2) về

dạng : (6x)
2
+ (4y)
2
= 3
2
và đặt :



=
=
ϕ
ϕ
sin34
cos36
y
x

⇒








=
=

ϕ
ϕ
sin
4
3
cos
2
1
y
x
16
Khi đó điều kiện (2) trở thành :
9(cos
2
ϕ + sin
2
ϕ) = 9 là một đồng nhất thức đúng với mọi ϕ.
Hàm số u dưới dạng lượng giác có dạng :
u =
4
3
sinϕ - cosϕ + 5.
Chỉ cần sử dụng bất đẳng thức
-
≤+
22
ba
asinϕ + bcosϕ
≤
22

ba +
,
ta suy ra :
u
max
= 5 +
1
16
9
+
=
4
25
,
u
min
= 5 -
1
16
9
+
=
4
15
.
Lời giải 3 : Nhìn dưới góc độ hình học:
Từ điều kiện (6x)
2
+ (4y)
2

= 3
2
(2),
ta có thể đặt



=
=
Yy
Xx
4
6

⇒








=
=
Yy
Xx
4
1
6

1
Điều kiện (2) có dạng :
X
2
+ Y
2
= 3
2
(2b),
là phương trình đường tròn trong hệ toạ độ
vuông góc XOY có tâm là O và bán kính
bằng 3.
Còn hàm số u =
4
1
Y -
3
1
X + 5
có thể xem như là một phương trình
hai ẩn X và Y và viết lại dưới dạng :
Y =
3
4
X + 4(u – 5) (3) ,
chính là phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng.
17
Y
Y
2

X
H
A
Y
Y
0
Y
1
m
O
P
B
M
N
3
n
4(u-5)
Đường thẳng này có phương không đổi, luôn sông song với đường
thẳng Y
0
=
3
4
X và cắt trục OY tại điểm có tung độ là 4(u – 5).
Khi đó bài Toán đã cho chuyển thành bài Toán hình học sau :
Tìm điều kiện của u để đường thẳng có phương trình (3) cắt đường tròn
có phương trình (2b). Rồi từ điều kiện thu được của u ta suy ra kết quả.
Từ hình vẽ ta có :
+ Đường thẳng Y chỉ cắt đường tròn (tức là bài Toán có nghiệm) khi Y
biến thiên trong giải mặt phẳng từ Y

1
đến Y
2.
+ u
max
xác định được khi M trùng P, tức là:
m = 4(u
max
– 5),
u
min
xác định được khi P trùng N, tức là:
n = 4(u
min
– 5).
Dễ thấy rằng n = - m và từ sự bằng nhau của hai tam giác OAB và
OHM ta được :
m = OM = OB =
22
ABOA +
= 5.
Khi đó ta có kết quả từ các phương trình:
5 = 4 (u
max
– 5)
⇒
u
max
=
4

25
,
-5 = 4(u
min
– 5)
⇒
u
min
=
4
15
.
Việc tìm ra các cách giải phụ thuộc vào việc nhìn bài Toán ấy dưới
nhiều góc độ khác nhau. Đây cũng chính là biểu hiện của những khả năng tư
duy biện chứng.
1.2.1.2. Nguyên lý về sự phát triển:
Theo quan điểm DVBC thì phát triển là một phạm trù Triết học dùng
để khái quát quá trình vận động tiến lên từ thấp đến cao, từ đơn giản đến
phức tạp, từ kém hoàn thiện đến hoàn thiện hơn. Theo quan điểm đó thì phát
18
triển là một trường hợp đặc biệt của sự vận động . Sự phát triển là kết quả
của quá trình thay đổi về lượng dẫn đến sự thay đổi về chất; sự phát triển diễn
ra theo đường xoáy trôn ốc, nghĩa là trong quá trình phát triển dường như có
sự quay trở lại điểm xuất phát, nhưng trên một cơ sở mới cao hơn.
Ví dụ : Toán học càng phát triển càng trừu tượng :
Từ các tập hợp đối tượng rời rạc, cụ thể, xây dựng nên khái niệm về
các số tự nhiên rồi trong việc đo các đại lượng và gặp các đại lượng có thể
tính theo hai chiều, từ các số tự nhiên phát triển thành các số hữu tỉ, khi gặp
các đại lượng vô ước với đơn vị lại phát triển thành khái niệm số vô tỉ; số
thực bất lực trong việc giải phương trình bậc ba đã làm cho khái niệm số thực

phát triển đến khái niệm số phức.
Từ những hình ảnh cụ thể như sợi dây căng thẳng, mặt nước đứng yên
tiến lên khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng
Như vậy, tự nhiên, xã hội và tư duy đều nằm trong quá trình vận động
và phát triển không ngừng, bản chất khách quan đó của quá trình đòi hỏi
chúng ta, để phản ánh đúng hiện thực khách quan, cần phải có quan điểm
phát triển. Điều đó có nghĩa là, khi xem xét các sự vật và hiện tượng phải đặt
nó trong sự vận động, trong sự phát triển; và phát hiện ra các xu hướng biến
đổi, chuyển hoá của chúng. V.I.Lênin viết: “Lôgic biện chứng đòi hỏi phải xét
sự vật trong sự phát triển, trong “sự tự vận động” ( ) trong sự biến đổi của
nó”.
Việc giảng dạy Toán ở trường phổ thông có rất nhiều cơ hội làm cho
HS thấu triệt hơn về nguyên lý này, nghĩa là khi dạy Toán ta có thể lồng ghép,
cài đặt hoặc chốt lại những nhận định để qua đó HS có thể hình dung được
nguyên lý này của DVBC. Nắm được nguyên lý đó thì người học sẽ được
phát triển nhận thức về tự nhiên, xã hội và tư duy; nhằm góp phần giúp họ có
nhận thức về cuộc sống tốt hơn.
19
Ví dụ ban đầu chỉ có thể tính diện tích của một số hình phẳng có dạng
tưong đối đặc biệt, về sau học về tích phân thì có thể tính được diện tích của
nhiều loại hình. Trước khi dạy tích phân người GV có thể gợi động cơ, nhằm
“khêu gợi” hứng thú của HS theo kiểu đại thể như : Ta đã biết cách tính diện
tích của hình chữ nhật, hình vuông, nhưng có những hình mà biên của nó
không phải là đoạn thẳng, chỉ là những đường cong. Cố nhiên sau khi học
xong tích phân và biết cách tìm diện tích của hình phẳng thì cũng nên làm cho
HS thấy sự phát triển kiến thức để dẫn đến kiến thức về tích phân đã mang lại
ý nghĩa gì.
Chúng ta cần lưu ý rằng trong giảng dạy Toán ở trường phổ thông, việc
rèn luyện TDBC và nói rộng hơn nữa là bồi dưỡng thế giới quan DVBC rất
khác với việc cung cấp kiến thức. Thế giới quan đó sẽ hình thành theo kiểu

“mưa dầm thấm đất” hoặc “lắng đọng phù sa” (Nguyễn Cảnh Toàn). Hạt mưa
phùn hay hạt phù sa cực nhỏ nếu tích luỹ liên tục, lâu dài thì sẽ làm nên
chuyện thấm đất hay bồi đắp phù sa.
1.2.2. Những quy luật cơ bản của phép BCDV :
Quan điểm DVBC cho rằng, mọi quy luật đều mang tính khách quan.
Các quy luật được phản ánh trong các khoa học không phải là sự sáng tạo
thuần tuý của tư tưởng. Những quy luật do khoa học phát hiện ra chính là sự
phản ánh những quy luật hiện thực của thế giới khách quan và của tư duy.
Các quy luật cơ bản của phép biện chứng phản ánh quá trình vận động và phát
triển từ những phương diện cơ bản của nó:
1.2.2.1. Quy luật chuyển hoá từ những sự thay đổi về lượng dẫn đến những sự
thay đổi về chất và ngược lại :
Quy luật này chỉ ra cách thức vận động và phát triển của sự vật, hiện
tượng. Trong đó, chất là tính quy định khách quan vốn có của sự vật, là sự
thống nhất hữu cơ giữa các thuộc tính làm cho nó là nó mà không phải là cái
khác. Lượng là tính quy định vốn có của sự vật về một số lượng, quy mô,
20
trình độ, nhịp điệu của sự vận động, phát triển của sự vật cũng như các thuộc
tính của nó. Mọi sự vật đều là sự thống nhất giữa chất và lượng. Giới hạn,
trong đó những thay đổi về lượng của sự vật chưa gây ra những thay đổi căn
bản về chất được gọi là độ. Những thay đổi về lượng vượt qua giới hạn độ sẽ
làm cho chất của sự vật biến đổi căn bản. Bước nhảy là bước thay đổi căn bản
về chất của sự vật do sự thay đổi về lượng trước đó gây ra. Mối quan hệ giữa
sự thay đổi về lượng và sự thay đổi về chất cũng có chiều ngược lại. Đến lượt
nó, sự thay đổi về chất lại tác động đến lượng, thúc đẩy lượng tiếp tục phát
triển.
Sự biến đổi về lượng dẫn đến sự biến đổi về chất và ngược lại diễn ra
một cách phổ biến trong giới tự nhiên, trong đời sống xã hội và trong lĩnh
vực tư duy. Ví dụ: Bảng tuần hoàn các nguyên tố hoá học do Menđêlêép xây
dựng đã chỉ rõ tính đa dạng về chất của các nguyên tử phụ thuộc vào số lượng

các hạt proton có trong hạt nhân nguyên tử, khi số proton tăng cũng như giảm
thì nguyên tử sẽ trở thành nguyên tử của nguyên tố khác.
Nắm được quy luật này sẽ giúp chúng ta rút ra được rằng: Để có tri
thức tương đối đầy đủ về sự vật, ta phải nhận thức cả về mặt lượng và mặt
chất của nó. Từ những nhận thức ban đầu về chất đi tới nhận thức lượng,
trong quá trình đó, tri thức về chất được làm sâu sắc thêm, khi đạt đến tri thức
về sự thống nhất về chất và lượng chúng ta sẽ có tri thức tương đối hoàn
chỉnh về sự vật đó.
Ví dụ : Trong quá trình giảng dạy môn Toán, những kiến thức Toán
học mà bản thân nó thể hiện được quy luật này thì GV nên chốt lại hoặc đưa
ra những bình luận tưong đối ngắn gọn để HS được dần dần tích luỹ kiến thức
về quy luật lượng đổi - chất đổi. Chẳng hạn khi học về cực trị của hàm số
trong chương trình giải tích lớp 12 thì HS được học bổ đề Fecma: Nếu hàm số
f(x) đạt cực trị tại x
0
mà đạo hàm của f(x) tại x
0
là tồn tại thì f
’
(x
0
) = 0. Cần
làm cho HS hiểu rằng hàm số f(x) đạt cực trị tại x
0
thì có nghĩa là điểm
21
M(x
0
,y
0

) nằm trên đồ thị phải là điểm cao nhất (thấp nhất) (trong một vùng
nào đó). Việc giải thích căn cứ vào hình ảnh trực quan như trên không nhằm
thay thế việc chứng minh bổ đề Fecma theo con đường suy diễn mà chỉ giúp
HS tiếp cận bổ đề một cách tự nhiên hơn, bởi vì nếu định lý nào cũng phát
biểu một cách áp đặt rồi sau đó chứng minh chặt chẽ thì cũng chưa khơi dậy
được ở HS khả năng sẵn sàng chiếm lĩnh tri thức. Giáo sư Phan Đình Diệu có
nói: “Dạy học Toán phải chú ý cái lý thì nó phải đúng còn cái lẽ thì nó sinh
ra”.
1.2.2.2. Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập:
Quy luật này là "hạt nhân" của phép BCDV, nó chỉ ra nguồn gốc động
lực của sự vận động, phát triển. Theo phép biện chứng, mọi sự vật và hiện
tượng đều có những mâu thuẫn, những mặt, những khuynh hướng đối lập
trong bản thân mình; các mặt, các khuynh hướng đối lập đó nằm trong trạng
thái liên hệ qua lại, phủ định lẫn nhau tạo thành xung lực nội tại của sự vận
động và phát triển, dẫn tới sự mất đi cái cũ và sự ra đời cái mới.
Toán học phát triển theo quy luật "thống nhất biện chứng giữa hai mặt
đối lập". Hai mặt đối lập đó là: Một mặt càng phát triển càng khái quát, càng
trừu tượng, mặt khác càng phát triển càng nâng cao thêm khả năng ứng dụng
cụ thể.
Ví dụ: Từ hình học Euclide, phát triển thành hình học phi Euclide, ứng
dụng cho lí thuyết tương đối trong vật lý,…
Sự thống nhất giữa số và hình, xem các hình là những biểu hiện trực
quan (thấy được, đo được) của những quan hệ sâu xa giữa các số.
dx trong
∫
f(x)dx vừa bằng không vừa khác không.
Tam giác là tam giác, đồng thời cũng là tứ giác (có một cạnh bằng
không).
Số nguyên là số nguyên, đồng thời cũng là phân số (có mẫu số bằng 1).
1.2.2.3. Quy luật phủ định của phủ định:

22
Triết học DVBC thấy rõ sự chuyển hoá từ những thay đổi về lượng
thành những thay đổi về chất và ngược lại, sự đấu tranh giữa các mặt đối lập
dẫn tới mâu thuẫn được giải quyết, sự vật cũ mất đi và sự vật mới ra đời. Mỗi
sự thay đổi ấy làm thành một mắt xích của sợi dây xích phát triển của hiện
thực và tư duy. Sự ra đời cái mới là kết quả của sự phủ định cái cũ, cái lỗi
thời. Vậy phủ định đóng vai trò rất quan trọng trong quá trình phát triển. Phủ
định biện chứng là nhân tố tất yếu của bất kỳ sự phát triển nào. Phủ định biện
chứng là quá trình tự thân phủ định, tự thân phát triển, là mắt xích trên con
đường dẫn tới sự ra đời cái mới tiến bộ hơn so với cái phủ định. Phủ định biện
chứng mang tính kế thừa. Phủ định biện chứng nói lên một giai đoạn, một nấc
thang trong quá trình phát triển, nó đi theo hình thức xoáy trôn ốc. Cái đặc
trưng của quá trình phát triển biện chứng là tính kế thừa, tính lặp lại nhưng
không quay trở lại và tính chất tiến lên của sự phát triển. Phủ định biện chứng
chẳng phải là sự phủ định sạch trơn, bác bỏ tất cả sự phát triển trước đó mà là
điều khiển cho sự phát triển, nó duy trì và gìn giữ nội dung tích cực của các
giai đoạn trước, lặp lại một số đặc điểm cơ bản của cái xuất phát nhưng trên
cơ sở mới cao hơn. "Không bao giờ có cái "mới toanh" hiểu theo nghĩa là
"không dính dáng gì đến cái cũ". Cái "mới" bao giờ cũng là cái cũ mà ra, các
nhà phát minh thế hệ sau bao giờ cũng đứng trên vai những nhà phát minh thế
hệ trước, kế thừa các thành quả của họ. Các thành quả này chỉ đẻ ra vấn đề
cho thế hệ sau nghiên cứu khi chúng bất lực trong việc giải quyết các vấn đề lí
luận hay thực tiễn mới đặt ra. Kết quả nghiên cứu sẽ là một lí thuyết mới vừa
kế thừa những mặt tích cực của lí thuyết cũ (đây là mặt thống nhất giữa hai lí
thuyết mới và cũ), vừa phủ định những mặt tiêu cực của lí thuyết cũ, theo
nghĩa là nó giải quyết được những yêu cầu mới mà lí thuyết cũ đành bất lực.
Chẳng hạn, lí thuyết số phức đã kế thừa những mặt tích cực của lí thuyết số
thực vì nó cũng thoả mãn những tính chất của một trường đồng thời nó phủ
định những mặt tiêu cực của lí thuyết số thực là đẫ bó tay trước việc lấy căn
23

bậc hai của các số âm, nhờ vậy mà phương pháp Cacđanô đã trót lọt trong
việc giải các phương trình bậc ba. Quy luật "phủ định của phủ định" này là
khách quan, không phụ thuộc chủ quan người nghiên cứu. Lôbasepki đã phát
minh ra hình học mang tên ông, chỉ nghĩ rằng mình phư định tiên đề Ơclit,
phủ định hình học Ơclit, chứ chưa nghĩ rằng mình phủ định hình học Ơclit.
Những nghiên cứu khách quan của ông và của các tác giả khác càng ngày
càng cho thấy rõ hình học Lôbasepki, một mặt phủ định hình học Ơclit nhưng
mặt khác là sự mở rộng hình học Ơclit; hình học Ơclit trở thành trường hợp
giới hạn của hình học Lôbasepki khi góc nhọn của hai đường thẳng song song
với một đường thẳng a xuất phát từ một điểm A nằm ngoài đường thẳng a,
dần tới không. Như vậy ngay một phát minh vĩ đại đã tạo nên một cuộc cách
mạng trong Toán học như hình học Lôbasepki cũng không thoát khỏi quy luật
"phủ định của phủ định" tức là phủ định có kế thừa, nghĩa là không "mới
toanh" " ([23] – tr.54,55).
Trong Toán học có rất nhiều bằng chứng nói lên quy luật phủ định của
phủ định. Ví dụ số nguyên và phép chia phủ định lẫn nhau vì với số nguyên
thì phép chia không phải khi nào cũng thực hiện được; sự ra đời của phân số
đã phủ định sự phủ định nói trên, tức phép chia (cho một số khác không) bao
giờ cũng thực hiện được.
Tất nhiên không được hiểu rằng những kiến thức Toán học xuất hiện
trước là sai, sau đó bị bác bỏ mà cần phải hiểu theo nghĩa chẳng hạn như: kiến
thức Toán học chưa đủ để giải quyết vấn đề đặt ra, có sự bất cập giữa cung và
cầu. Ở đầu lớp 10 HS học khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến, lúc đó để
xem xét một hàm số nào đấy có đơn điệu hay không chỉ có con đường duy
nhất là sử dụng trực tiếp định nghĩa. Tới lớp 12 trước khi dạy định lý về mối
liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số ta có thể nói với HS rằng:
Để xem xét hàm số f(x) có đơn điệu trên khoảng (a;b) thì theo định nghĩa ta
lấy x
1
,x

2
bất kỳ thuộc (a;b), x
1
< x
2
và xét hiệu f(x
1
) – f(x
2
) tuy nhiên chẳng
24
hạn như hàm số f(x) = x + cosx thì việc so sánh x
1
+ cosx
1
với x
2
+ cosx
2
sẽ
rất khó khăn, vì vậy ta đi tìm một công cụ mới. Trình bày như vậy với HS sẽ
có tác dụng gợi động cơ mở đầu bài học, làm cho HS tiếp thu bài học một
cách hứng thú và có mục đích hơn. Và khi hoàn thành bài học, lúc đó có thể
tổng kết lại về những phương pháp để xét tính đơn điệu của hàm số, trong
chừng mực nào đó có thể nhắc đến quy luật phủ định của phủ định.
1.2.3. Các cặp phạm trù cơ bản của phép BCDV:
1.2.3.1. Cái riêng và cái chung:
Theo quan điểm của phép BCDV, nhận thức bắt đầu từ sự phản ánh
những sự vật, hiện tượng cụ thể của thế giới. Nhưng trong quá trình so sánh
giữa những sự vật, hiện tượng này với những sự vật, hiện tượng khác; phân

biệt chỗ giống và khác nhau giữa chúng, nhận thức đi đến sự phân biệt cái
riêng và cái chung. Cái riêng là phạm trù dùng để chỉ một sự vật, một hiện
tượng, một quá trình riêng lẻ nhất định. Cái chung là phạm trù dùng để chỉ
những mặt, những thuộc tính chung không những có ở một kết cấu vật chất
nhất định, mà còn được lặp lại trong nhiều sự vật, nhiều hiện tượng hay quá
trình riêng lẻ khác nữa.
Giữa cái riêng và cái chung có mối quan hệ biện chứng với nhau. Cái
chung chỉ tồn tại trong cái riêng, biểu hiện thông qua cái riêng; ngược lại, cái
riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ với cái chung, bao hàm cái chung; cái riêng
là cái toàn bộ, phong phú hơn cái chung, cái chung là cái bộ phận nhưng sâu
sắc hơn cái riêng. V.I.Lênin viết: "Cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ đưa
đến cái chung. Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng. Bất
cứ cái riêng (nào cũng) là cái chung ( ). Bất cứ cái chung nào cũng chỉ bao
quát một cách đại khái tất cả mọi vật riêng lẻ. Bất cứ cái riêng nào cũng
không gia nhập đầy đủ vào cái chung, v.v Bất cứ cái riêng nào cũng thông
qua hành nghìn sự chuyển hoá mà liên hệ với những cái riêng thuộc loại
khác"([29] -tr.29, tr. 381).
25