bồi dưỡng một số yếu tố của t¬ư duy sáng tạo cho học sinh thcs khá và giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị trong hình học phẳng

MỞ ĐẦU
1. lý do chọn đề tài
Đất nước ta đang trên đường đổi mới, cần có những con người phát triển
toàn diện năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục
và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới về mọi mặt như:
Mục tiêu, chương trình, nội dung, phương pháp và tổ chức quản lý. Điều này đã
được khẳng định trong nghị quyết hội nghị lần thứ tư Ban chấp hành trung ương
Đảng cộng sản Việt Nam khoá VII. "Đổi mới phương pháp dạy và học ở tất cả
các cấp, các bậc học, áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề". Với mục tiêu đó hoạt động
dạy học khơng chỉ dừng lại ở việc truyền thụ cho HS những kiến thức, kỹ năng
cơ bản mà cịn đặc biệt quan tâm đến việc hình thành và phát triển tư duy sáng
tạo cho HS một cách hiệu quả.
Theo A.AStolia. Dạy toán là dạy hoạt động toán học, trong đó hoạt động
chủ yếu là hoạt động giải toán. Bài tập toán mang nhiều chức năng như chức
năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng kiểm tra và đánh giá. Dạy học
bài tập toán được xem là một trong những tình huống điển hình trong dạy học
mơn toán, khối lượng bài tập toán ở trường THCS rất phong phú và đa dạng, có
những bài tốn đã có thuật giải, nhưng cũng có những bài tốn chưa có thuật
giải. Đứng trước những bài tốn chưa có thuật giải đó người GV cần gợi ý, hướng dẫn HS tìm đường lối giải quyết bài toán là việc làm mà người GV phải thường xuyên quan tâm chú ý. Bài tập toán là một trong những phương tiện dạy
học hết sức quan trọng, nhiều tài liệu lý luận dạy học toán đã xem bài tập là
phương tiện thực hành giúp HS hiểu sâu hơn về những kiến thức toán học, biết
phân tích, tổng hợp và vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Việc giải quyết những
vấn đề liên quan đến bài tốn cực trị hình học chứa đựng nhiều tiềm năng phát


triển tư duy cho HS, giúp HS rèn luyện cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng
tạo. Do đó việc dạy tốn ở trường phổ thơng bên cạnh truyền những thụ tri thức
khoa học cơ bản cần phải dạy cho HS suy nghĩ cách phát hiện và giải quyết vấn
đề, phát triển tư duy sáng tạo cho HS.
Việc phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho HS trong học tốn có ảnh hưởng trực tiếp đến chất lượng dạy học vì đó là điều kiện tốt để HS tiếp thu kiến
thức, rèn luyện khả năng vận dụng toán, tư duy tốn học phát triển địi hỏi các

phẩm chất trí tuệ khác phát triển theo. Tiến hành các hoạt động tư duy tốn học
đưa đến việc hình thành tri thức phương pháp để xem xét, giải quyết vấn đề
mong muốn.
Việc giải các bài tốn cực trị hình học giúp HS năng lực liên hệ toán học
với thực tiễn. Điều này hồn tồn có cơ sở đúng đắn, bởi chúng ta biết rằng các
bài tốn cực trị hình học thường có nguồn gốc xuất phát từ thực tiễn. Trong thực
tiễn, có rất nhiều vấn đề đòi hỏi phải giải quyết sao cho có lợi nhất
Đã có nhiều tài liệu nghiên cứu về tư duy sáng tạo chẳng hạn như bộ sách
nổi tiếng: Sáng tạo toán học, Giải bài toán nh thế nào, Tốn học và những suy
luận có lý của G.Polia, Tư duy và hoạt động toán học của Trần Thúc Trình, Xây
dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng
tạo cho HS khá và giỏi toán ở trờng THCS Việt Nam luận án TS của Tôn Thân
v.v... Tất cả những cơng trình đó đều khẳng định sự cần thiết phải rèn luyện một
số năng lực về tư duy sáng tạo cho HS.
Xuất phát từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: "Bồi
dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh THCS khá và giỏi
thơng qua dạy học giải tốn cực trị trong hình học phẳng"
2. Mục đích nghiên cứu


- Mục đích nghiên cứu của luận văn là hệ thống một số dạng tốn cơ bản về
cực trị hình học trong chơng trình hình học ở trờng THCS và các hướng tiếp cận
để giải các bài tốn đó.
- Đề xuất một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng một số yếu tố của
tư duy sáng tạo cho HS bậc THCS khá và giỏi thông qua dạy học giải tốn cực
trị hình học.
3. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở tơn trọng nội dung chương trình SGK tốn hiện hành ở trường
THCS nếu trong quá trình dạy học giải các bài tốn cực trị hình học chúng ta xây
dựng được các biện pháp sư phạm thích hợp để bồi dưỡng một số yếu tố của tư

duy sáng tạo cho HS thì có thể góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán ở
trường THCS.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Phân tích, tổng hợp, cụ thể hóa khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo
- Tìm hiểu về quá trình sáng tạo và năng lực tư duy sáng tạo của HS bậc
THCS trong học tập
- Lựa chọn các dạng toán về cực trị hình học có tác dụng rèn luyện tư duy
sáng tạo cho HS
- Xác định các biện pháp sư phạm cần thực hiện nhằm bồi dưỡng một số
yếu tố của tư duy sáng tạo cho HS.
- Tiến hành làm thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiệu
quả của đề tài
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học mơn tốn, tâm lí học, phương
pháp dạy học toán.


- Tìm hiểu về các sách báo, bài viết khoa học tốn, các cơng trình nghiên
cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.
5.2. Điều tra khảo sát
- Khảo sát thực tiễn dạy và học ở trường phổ thông bằng cách dự giờ, quan
sát việc dạy của GV và việc học của HS, thăm dò ý kiến GV.
5.3. Thực nghiệm sư phạm
- Tiến hành làm thực nghiệm sư phạm trên lớp học thực nghiệm và lớp học
đối chứng.
- Phân tích, xử lý kết quả thực nghiệm để so sánh những kết quả thu đợc và
rút ra kết luận.
6. Những đóng góp của luận văn
6.1. Về mặt lý luận

- Góp phần hệ thống hố một số dạng tốn cực trị hình học, làm sáng tỏ một
số vấn đề về tư duy sáng tạo, đa ra một số hướng tiếp cận để giải bài tốn cực trị
hình học.
6.2. Về mặt thực tiễn
- Xây dựng một số biện pháp sư phạm có tác dụng bồi dưỡng một số yếu tố
của tư duy sáng tạo cho HS bậc THCS thông qua giải tốn cực trị hình học, đáp
ứng được u cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
- Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho HS và GV dạy tốn, góp phần
nâng cao chất lượng dạy và học mơn tốn ở trường THCS.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo luận văn cịn có 3 chương.
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.


Chương 2: Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo
cho HS bậc THCS khá và giỏi thơng qua dạy học giải tốn cực trị hình học.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

CHƯƠNG 1
CỞ SỎ LÝ LUẬN
1.1. Tư duy sáng tạo và một số thành tố đặc trưng của tư duy sáng tạo
1.1.1. Tư duy
1.1.1.1. Tư duy là gì?
Tư duy là quá trình suy nghĩ diễn ra trong trí óc, là sự nhận thức phản ánh
những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện
tượng trong hiện thực khách quan. Nhà tâm lý học X.L.Rubintein viết: “Tư duy
đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn,
toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể”.
Theo từ điển triết học “Tư duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ
chức một cách đặc biệt là bộ não, là q trình phản ánh tích cực thế giới khách

quan trong các khái niệm phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình
hoạt động sản xuất xã hội của con người, tư duy đợc thực hiện trong mối liên hệ
chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy đợc ghi nhận trong ngôn ngữ.
Tiêu biểu cho tư duy là những q trình như trừu tượng hố, phân tích và tổng


hợp, việc nêu lên những vấn đề nhận định và tìm cách giải quyết chúng”. Từ
định nghĩa trên ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản sau đây của tư duy:
- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một q trình phản ánh
tích cực thế giới khách quan.
- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện
qua ngôn ngữ.
- Bản chất của tư duy là phân biệt sự tồn tại độc lập của đối tượng được
phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động suy nghĩ của con
người nhằm phản ánh được đối tượng.
- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
- Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hồn cảnh có vấn đề, tư duy có tính khái qt,
có tính gián tiếp.
- Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu
từ nhận thức cảm tính. Dù tư duy có tính khái qt và trừu tượng đến đâu thì nội
dung của tư duy cũng chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, hình tượng tổng quan,…).
1.1.1.2. Q trình tư duy
Tư duy là một q trình hoạt động trí tuệ. Nghĩa là tư duy có nảy sinh diễn
biến và kết thúc. Quá trình tư duy bao gồm 4 bước cơ bản:
1) Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy. Nói cách khác
là tìm được câu hỏi cần giải đáp.
2) Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết về
cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
3) Xác minh giả thiết trong thức tiễn, nếu giả thiết đúng thì qua bước sau,
nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới.

4) Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.
Sơ đồ của quá trình tư duy do K.K.Platônôp xây dựng theo [33] như sau:


Nhs vậy quá trình tư duy là một quá trình hoạt động về trí tuệ có nhiều thao
tác trí tuệ tham gia vào quá trình tư duy cụ thể như: Phân tích, tổng hợp, so sánh,
trừu tượng hố và khái qt hố.
Kết quả của q trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó biểu hiện ở
khả năng con người có thể xây dựng đợc những khái niệm chung gắn liền với sự
trình bày của những quy luật tương ứng.
1.1.2. Tư duy sáng tạo
Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới cách giải quyết
vấn đề mới khơng bị gị bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của sự sáng tạo
bao gồm hai ý chính: Có tính mới (khác với cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (có
giá trị hơn cái cũ). Như vậy sự sáng tạo bao giờ cũng cần thiết cho bất kỳ hoạt
động nào của xã hội loài người. Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều ph-


ương diện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một
kiểu tư duy nh một năng lực của con người.
Trong cuốn “Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy,
nghiên cứu tốn học”. Tác giả Nguyễn Cảnh Tồn cho rằng “Sáng tạo là sự vận
động của tư duy từ những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới. Cũng theo tác
giả thì “Người có óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát triển và giải
quyết vấn đề” [28].
Theo Henry Gleitman “Sáng tạo, đó là năng lực tạo ra những giải pháp
mới hoặc duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích” [31].
Theo Lecne [31]. Có hai kiểu tư duy cá nhân: Một kiểu gọi là tư duy tái
hiện, một kiểu gọi là tư duy sáng tạo theo định nghĩa thông thường và phổ biến
nhất của tư duy sáng tạo thì đó là tư duy tạo ra cái mới. Tư duy sáng tạo dẫn đến

những tri thức mới về thế giới và phương thức hoạt động. Lecne đã chỉ ra các
thuộc tính sau đây của q trình tư duy sáng tạo.
- Có năng lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới tình
huống sáng tạo.
- Nhìn thấy vấn đề mới trong các điều kiện, đối tượng quen biết “đúng quy
cách”.
- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
- Nhìn thấy cấu trúc của đối tượng đang nghiên cứu.
- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm kiếm
lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những khía cạnh khác nhau, đơi khi mâu
thuẫn nhau).
- Kỹ năng kết hợp những kiến thức giải đã biến thành một phơng thức mới.
- Kỹ năng sáng tạo một phương thức giải độc đáo tuy đã biến phương thức
khác.


- Nhà tâm lý học Đức Mehlonr cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của
sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục” [31]. Theo ông,
tư duy sáng tạo đặc trưng bởi chất lượng hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo,
tính nhạy cảm….
Khi bàn về quan hệ giữa các khái niệm tư duy tích cực, tư duy độc lập và tư
duy sáng tạo. V. A.Krutexki cho rằng có thể biểu diễn các quan hệ đó dưới dạng
những vịng trịn đồng tầm. Đó là những mức độ tư duy khác nhau mà mỗi mức
độ tư duy đi trớc là tiền đề cho mức độ tư duy đi sau. Trong tư duy sáng tạo có
tư duy tích cực và tư duy độc lập, nhng khơng phải tư duy tích cực đều là tư duy
độc lập và không phải mọi tư duy độc lập là tư duy sáng tạo [31].

Nét nổi bật của tư duy sáng tạo là tạo ra cái mới, điều mới này có thể mới
với người này mà khơng mới đối với người khác. Có thể quan niệm sự sáng tạo
đối với người học toán, nếu họ tự đương đầu với những vấn đề mới đối và họ tự

tìm tịi độc lập những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa
từng biết. Trong quá trình học tốn thì kỹ năng vận dụng kiến thức tốn học là
quan trọng.
- Nhà trường phổ thông không những cung cấp cho HS những kiến thức
tốn học mà cịn luyện cho HS kỹ năng vận dụng, tính độc lập, sự độc đáo và
khả năng sáng tạo.


Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khai thác và
sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho HS khả năng phát triển tư duy sáng tạo biểu
hiện ở các mặt như: khả năng tìm bước đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác
nhau cho một bài tốn), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của
một bài toàn, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài tồn).
Bài đọc trong SGK tự tìm hiểu cách chứng minh thì trong trường hợp này
có thể nói đến tư duy độc lập.
Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi HS tự khám phá, tự tìm cách chứng minh
mà HS đó chưa biết.
Tác giả Tơn Thân [31] quan niệm: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc
lập tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao”.
Theo tác giả thì tư duy sáng tạo là tư duy độc lập vì nó khơng bị gị bó phụ
thuộc vào cái đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa
trong việc tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm
dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó.
Tác giả nhấn mạnh rằng: “ý tưởng mới ở đây thể hiện ở chỗ phát hiện ra
vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới”, “Tính độc đáo của ý tưởng
mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất” [31].
Trong khi đó, J.Danton lại cho rằng: “Tư duy sáng tạo đó là những năng lực
tìm thấy những ý nghĩ mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của
kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá là một quá trình, một cách dạy và học
bao gồm một chuổi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát

sinh, sự đổi mới, trí tưởng tợng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm”.
1.1.3. Một số thành tố đặc trng của tư duy sáng tạo


Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, các nhà khoa học
giáo dục … về cấu trúc của tư duy sáng tạo thì có thể thấy được năm thành tố cơ
bản sau:
Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề,
tính hồn thiện.
Ngồi năm thành phần cơ bản đó cịn có những yếu tố quan trọng như tính
chính xác năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại… Trong các yếu tố trên
thì 3 yếu tố đầu tiên (tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo) là ba yếu
tố đạt sự nhất trí cao trong hầu hết các cơng trình nghiên cứu về cấu trúc của tư
duy sáng tạo [31].
Do đó tác giả cũng xin được đề cập đến ba yếu tố đó của tư duy sáng tạo.
1.1.3.1. Tính mềm dẻo
Đó là năng lực dễ dàng thay đổi các trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ
gốc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những mối
quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều
phán đốn. Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái
độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người. Tính mềm dẻo của tư duy có
các đặc trưng nổi bật sau:
- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận
dụng linh hoạt các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái
quát hoá, đặc biệt hoá và các phương pháp suy luận nh quy nạp, diễn dịch, tương
tự.
- Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh
nghiệm, những kiến thức, kỹ năng đã có vào hồn cảnh mới trong đó có nhiều

yếu tố đã thay đổi, có khả năng thốt khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh
nghiệm, những cách suy nghĩ, những phương pháp đã có từ trước…
- Nhận ra những vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức
năng mới của đối tượng quen biết.
Như vậy tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sáng
tạo, do đó có thể rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS ta có thể cho các em giải một
số bài tập mà thơng qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy.
1.1.3.2. Tính nhuần nhuyễn
Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp của các yếu tố riêng
lẽ của tình huống, hồn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới.
Tính nhuần nhuyễn được đặc trng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất
định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra được càng nhiều thì có nhiều khả năng xuất
hiện ý tưởng độc đáo. Trong trường hợp này có thể nói số lượng làm nảy sinh
chất lượng.
Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện rõ ở hai đặc trưng sau đây.
- Tính đa dạng của cách xử lý khi giải tốn, khả năng tìm được nhiều giải
pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn đề cần giải
quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm ra và đề xuất được nhiều
phương án khác nhau và từ đó tìm ra được phương án tối ưu.
- Khả năng xem xét đối tượng nhiều khía cạnh khác nhau có cái nhìn sinh
động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ khơng phải cái nhìn bất
biến, phiến diện, cứng nhắc
1.1.3.3. Tính độc đáo
Tính độc đáo của tư duy được đặc trng bởi khả năng:
- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới.
- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngồi tưởng như khơng có liên hệ với nhau.


- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biến những giải pháp khác.
Các yếu tố cơ bản nói trên khơng tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ

mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng chuyển từ hoạt động trí
tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải
pháp trên góc độ và tình huống khác nhau và nhờ đó đề xuất được nhiều phương
án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc.
Các yếu tố cơ bản cuả tư duy sáng tạo nêu trên biểu hiện khá rõ ở HS, đặc
biệt là HS khá, giỏi. Trong học tập toán mà cụ thể là trong hoạt động giải toán,
các em biết di chuyển các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và
tổng hợp, biết khái qt hố, đặc biệt hoá, tương tự …
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho ba tính chất cơ bản đặc trưng nhất
của tư duy sáng tạo:
Ví dụ 1: Cho đường thẳng a và điểm A không thuộc đường thẳng a, hai đường thẳng thay đổi đi qua A vuông góc với nhau cắt đường thẳng a ở B và C.
Xác định vị trí hai đường thẳng vng góc trên sao cho đoạn BC là nhỏ nhất?
*) Phân tích bài toán:
- Nếu HS sử dụng kiến thức đơn giản ở lớp 7 đó là quan hệ giữa đường
vng góc và đường xiên kẻ từ một điểm tới một đường thẳng ta có:
Cách giải 1: (Hình 1 + Hình 2)
Xét ∆ ABC vuông tại A. Gọi AH, AM theo thứ tự là đường cao, đường
trung tuyến của tam giác. Ta có BC = 2AM.

A

a
B

H

M

C

BC nhỏ nhất ⇔ AM nhỏ nhất ⇔
M ≡ H.Tức là BC = 2AH. Khi đó ∆ ABC vng cân tại A. Suy ra cách dựng
các đường thẳng AB và AC:
Dựng đường thẳng a, điểm A ∉ a

A

C

H

B

a

Dựng AH ⊥ a
Dựng B, C ∈ a sao cho HB = HC = HA
Dựng AB, AC
- Nếu HS sử dụng quan hệ so sánh giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác
thì sẽ có cách giải mà khơng cần sử dụng đến điều kiện ∆ ABC vuông ở A mà
·
chỉ cần BAC = α khơng đổi, từ đó đi đến bài tốn tổng qt và ta có:

A

M
D

B

E

C

a

Cách giải 2: (Hình 3)
Ta chứng minh ∆ ABC vng cân tại A thì đoạn BC có độ dài nhỏ nhất.


Xét hai đường thẳng bất kỳ vng góc với nhau tại A cắt đường thẳng a tại
D và E. Giả sử AD > AE ta chứng minh DE > BC
Trên tia AD lấy điểm M sao cho AM = AE ⇒ ∆ ABM = ∆ ACE (c.g.c ) ⇒
BM = CE (1)
·
·
µ
Dễ thấy M nằm giữa A và D nên DMB > MBA = ·
ACB = ·
ABC > D . Trong ∆
·
µ
MDB có DMB > D nên DB > MB (2). Từ (1) và (2) suy ra:

DB > CE. Vậy DE > BC.
Ta có bài tốn tổng qt (suy ra từ cách giải 2)
Bài toán tổng quát: Trong các tam giác ABC có µ = α (khơng đổi) và
A
chiều cao AH = h (không đổi). Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A thì BC

có độ dài nhỏ nhất?.
Nếu HS biết nhìn nhận bài tốn một cách mềm dẻo và thực hiện các thao
tác trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, khái qt hố… thì sẽ nhìn thấy chức năng
mới của đối tượng và huy động được những kiến thức cần thiết để giải bài tốn,
đồng thời có cách nhìn sinh động từ nhiều phía đối với bài tốn. Từ đó tìm đợc
lời giải hợp lý, nghiên cứu đề xuất bàt tốn mới, bài tốn tổng qt.
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ AB. Một đường trịn tâm O đi
qua đỉnh A và B đồng thời tiếp xúc với đáy lớn CD tại M. M ’ là điểm bất kỳ trên
đáy lớn CD. Chứng minh rằng góc AMB là góc lớn nhất so với góc AM’B?
1. Phân tích tìm lời giải:
Muốn chứng minh góc AMB là góc lớn nhất so với mọi góc AM ’B với M’
là điểm bất kỳ trên CD ta làm như sau: Lấy M’ bất kỳ trên CD ta chứng minh
’
·
AMB > · ' B . Ta nhận ra rằng ·
AMB là góc nội tiếp chắn cung AB. Góc AM B là
AM

góc có đỉnh ngồi đường trịn (O). Ta dễ dàng so sánh được hai góc này ⇒ đpcm


* Khai thác bài toán:

B

A

O

D

M

C

M'

Nhận xét 1: Chứng minh ·
AMB lớn nhất khơng vận dụng gì đến cạnh bên
AD và BC của hình thang ABCD. Hãy mở rộng bài tốn bằng cách thay đổi một
số dữ kiện của đề bài, chẳng hạn bỏ điều kiện “Hình thang ABCD” và đặt vấn đề
thay cạnh CD của hình thang bằng đường thẳng d, với A, B bất kỳ trên (O), khi
đó AB sẽ khơng cịn song song với d. Ta có bài toán tương tự:
Bài toán 1: Cho đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tâm O tại M. Trên
đường tròn (O) lấy hai điểm A, B bất kỳ khác M. Chứng minh rằng góc AMB là
góc lớn nhất so với mọi góc AM’B với M’ là điểm bất kỳ trên d?
Để giải được bài toán này cần phân biệt 2 trường hợp:

B

O

A
x M'

I

d

M

y

a, AB // d. có cách giải tương tự như bài tốn ở ví dụ 2


b, AB ∩ d = I ⇔ I, A, B thẳng hàng, ta lại có hai trường hợp
* Với ∀ M ∈ tia Iy. Ta chứng minh như bài toán ở ví dụ 2
·
·
·
* Với ∀ M ∈ tia Ix: · ' B < BM ' I < BIM (góc ngoài của ∆ BM’I). Mà BIM
AM

< ·
AMB ⇒ · ' B < ·
AMB (đpcm).
AM
Nhận xét 2: ở bài toán 1 cho trớc 2 điều kiện
*) Đường tròn tâm O đi qua A, B
*) Đường tròn tâm O tiếp xúc với đường thẳng d tại M. Ta hãy đặt vấn đề:
Nếu cho trước 2 điểm A, B ta có thể dựng được đường tròn tâm O đi qua A, B và
tiếp xúc với đường thẳng d hay khơng? Ta có bài tốn dựng hình:
Bài tốn 2: Cho 2 điểm A, B cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng
d . Hãy dựng đờng tròn đi qua A, B và tiếp xúc với đờng thẳng d?
Nhận xét 3: Giải đợc bài tốn 2 nhìn trở lại bài tốn 1 ta đã xác định được
điểm M ∈ d và M có tính chất nhìn AB dưới một góc lớn nhất (A, B cũng nằm
trên một nửa mặt phẳng bờ là d). Từ đây ta lại có bài tốn gần với bài tốn 2
nhưng ở mức độ khó hơn.
Bài tốn 3: Cho hai điểm A, B cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ d.

Tìm điểm M trên d sao cho góc AMB lớn nhất?
Như vậy trong q trình dạy học GV chú ý rèn luyện cho HS khả năng
phân tích bài tốn, phân tích đường lối giải, ý nghĩa của lời giải hay ý nghĩa của
bài toán để sau khi tìm ra lời giải dưới nhiều hình thức khác. Bằng tổng hợp,
khái quát hoá, so sánh, tương tự, lật ngược vấn đề, xét tính giải được, phân chia
trường hợp tìm mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các yếu tố để giải bài toán,
biến đổi bài toán để được bài tốn mới. Đó chính là những cơ hội bồi dưỡng cho
HS các yếu tố đặc trng của tư duy sáng tạo.
1.2. Tốn cực trị hình học trong chương trình tốn THCS


1.2.1. Bài tốn cực trị hình học
Trong q trình giải tốn chúng ta thường gặp các bài tốn về tìm giá trị lớn
nhất hay nhỏ nhất của một đại lượng hình học nào đó. Các bài tốn này cịn được
gọi là bài tốn “Cực trị hình học”.
Thường thì những bài tốn cực trị hình học ln gắn liền với thực tiễn cuộc
sống, bởi vì việc đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, nhiều nhất, ít nhất… Chính là đi
tìm cái tối ưu đặt ra trong cuộc sống và trong kỹ thuật.
Bởi sự đa dạng và thú vị, đặc biệt là sự ràng buộc của nó với các kiến thức
trong cả chương trình hình học và thậm chí là cả các kiến thức về bất đẳng thức
trong chương trình đại số.
Trong chương trình hình học ở bậc THCS các bài tốn dạng này thường là
những bài tốn khó, địi hỏi HS phải tự tìm kết quả của bài tốn. Đối với bài tốn
cực trị hình học, thường có nhiều con đường để tìm ra lời giải, trong đó có cả
những cách ngắn gọn, hợp lý, đơi khi có có phương án sáng tạo, độc đáo. Do đó
chủ đề về tốn cực trị hình học sẽ đem đến cho HS nhiều điều bổ ích và lý thú,
nhất là đối với HS khá và giỏi.
Bài tốn cực trị hình học có dạng chung: Trong tất cả các hình có chung
một tính chất, tìm những hình mà một đại lượng f nào đó (như độ dài, đoạn
thẳng, số đo góc, bán kính đường trịn, chu vi của một hình nào đó…) đạt giá trị

lớn nhất hoặc đạt giá trị nhỏ nhất. Giả sử cho hình H trên miền D:
a. Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn
nhất, ta phải chứng tỏ: Với mọi vị trí của hình H * trên miền D thì f ≤ M. (Với M
là hằng số cố định). Ta phải xác định vị trí của hình H * trên miền D sao cho f =
M


b. Khi tìm vị trí của H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất, ta
phải chứng tỏ: Với mọi hình H trên miền D thì f ≥ m. (Với m là hằng số cố định).
Ta phải xác định vị trí của H* trên miền D sao cho f = m.
1.2.2. Tác dụng của bài tập cực trị hình học đối với HS
Ở trường phổ thơng, dạy tốn là dạy hoạt động tốn học cho HS. Trong đó
hoạt động giải tốn là hình thức chủ yếu. Khi HS được tiếp xúc với hệ thống bài
tập cực trị hình học đã được chọn lọc giúp HS có điều kiện tiếp cận, ơn lại nhiều
kiến thức tốn học được học trước đó. Được vận dụng giải quyết nhiều vấn đề
toán học khác, đồng thời rèn luyện và phát triển cho HS nhiều loại hình tư duy
tốn học.
Thật vậy việc giải các bài tốn cực trị hình học giúp HS củng cố và đào sâu
kiến thức, rèn luyện kỹ năng tư duy. Bởi vì trong chương trình mơn tốn ở trường phổ thơng, những bài tốn cực trị hình học khi giải nó cần đến rất nhiều
các loại kiến thức, thậm chí cả kiến thức về đại số, với nhiều phương pháp giải
khác nhau. Do đó khi HS giải các bài tốn cực trị hình học, các em thường xuyên
sử dụng các loại kiến thức liên quan và vận dụng linh hoạt các kiến thức đó. Các
kiến thức này luôn được củng cố và đào sâu đồng thời cần có kỹ năng, kỹ xảo
trong việc sử dụng các phương pháp giải, đặc biệt là năng lực tư duy sáng tạo,
phương pháp suy nghĩ tìm lời giải.
Mỗi bài tốn cực trị hình học có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, nên ở
đây là cơ hội để HS so sánh, lựa chọn phương pháp phù hợp và tốt nhất trong
trường hợp có thể, giúp HS rèn luyện được các thao tác tư duy như phân tích,
tổng hợp và khả năng đặc biệt hố bài tốn v.v… hình thành các phẩm chất q
báu của ngờưi làm tốn như tính thận trọng, chặt chẽ, chính xác.

Việc giải bài tốn cực trị hình học giúp HS nâng cao năng lực liên hệ tốn
học với thực tiễn. Điều này là hồn tồn có cơ sở đúng đắn, bởi vì chúng ta biết
rằng các bài tốn cực trị nói chung và cực trị hình học nói riêng thường có cơ sở


hoặc nguồn gốc xuất phát từ thực tiễn. Trong thực tiễn có rất nhiều địi hỏi giải
quyết sao cho có lợi nhất. Chẳng hạn như phải xây dựng một nhà máy ở vị trí
nào sao cho thuận tiện việc vận chuyển ngun liệu, hàng hố và cước phí vận
chuyển là nhỏ nhất. Tất cả các tình huống được đặt ra để giải quyết đều đa đến
việc tìm ra một phương pháp tốt nhất, đảm bảo được lợi ích nhiều nhất cho cuộc
sống.
1.2.3. Tiến trình phát triển bài tập cực trị hình học trong chương trình
tốn THCS
Phát triển bài tập cực trị hình học là từ một bài tập cơ bản ta có thể bổ sung,
hoặc thay đổi giả thiết, kết luận của bài toán để được một bài tập mới có mức độ
phức tạp cao hơn.
Q trình thay đổi giả thiết, kết luận của bài tốn có thể được tiến hành theo
nhiều con đường, có thể hốn đổi giả thiết, kết luận, thay đổi giả thiết hoặc kết
luận bằng cách cho gián tiếp qua các đại lượng trung gian hay thay đổi điều kiện
nào đó của bài tốn.
Q trình phát triển bài tập cực trị hình học đợc minh hoạ theo sơ đồ cụ thể
như sau:
- Bài tập ban đầu: Tóm tắt giả thiết, kết luận của bài tốn theo sơ đồ sau:

* Các hướng phát triển bài tập ban đầu để được bài tập mới.
a. Phát triển giả thiết: Bằng cách bổ sung, hốn đổi vị trí hoặc cho các đại lượng một cách gián tiếp qua các đại lượng trung gian.
+ Cho A thông qua A1, A2…


+ Cho B thông qua B1, B2…

Tuỳ theo mức độ phát triển bài tập mà các đại lượng có nhiều hay ít mối
quan hệ với các đại lượng trung gian. Ta có thể tóm tắt bài tốn theo sơ đồ.

b. Phát triển kết luận: Thay cho việc tìm C ta có thể thay u cầu tìm C n (n
= 1, 2…)

c. Phát triển đồng thời giả thiết và kết luận.
Phát triển giả thiết và kết luận của bài toán một cách đồng thời chính là sự
kết hợp giữa sơ đồ 2 và sơ đồ 3.

Từ các sơ đồ nhận thấy:
Tiến trình phát triển bài tập cực trị hình học thực chất là việc phát triển giả
thiết và kết luận của bài toán. Mức độ phức tạp của bài tập phụ thuộc vào mối
quan hệ giữa các đại lsợng trung gian với giả thiết và kết luận, nhng mối quan hệ


chính giữa giả thiết và kết luận vẫn là bài tập cơ bản ban đầu. Chính vì vậy việc
giải các bài tập đợc phát triển ra dù trực tiếp hay gián tiếp đều nên quan tâm sử
dụng lời giải của bài tập cơ bản.
1.2.4. Các mức độ phát triển bài tập cực trị hình học
Với mục đích của giờ dạy bài tập là tìm ra lời giải và đáp số một cách có
căn cứ khoa học thì việc phát triển các bài tập cực trị hình học là cần thiết. Nhng
tiến trình phát triển bài tập cực trị hình học lại phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác
nh: Nội dung bài tập, mục đích ơn luyện kiến thức, mục đích phát triển năng lực
t duy sáng tạo, trình độ và năng lực của HS. Chính vì vậy tiến trình phát triển bài
tập chỉ thực hiện ở những mức độ nhất định. Căn cứ vào những điều kiện trên
chúng tôi đa ra một số mức độ phát triển bài tập cực trị hình học ở trờng THCS
nh sau:
Mức độ 1: Phát triển bài tập cơ bản thành bài tập mới khi biến đổi giả thiết,
biến đổi kết luận hoặc biến đổi đồng thời giả thiết và kết luận, dới sự hớng dẫn

của GV.
+ Đối tợng: HS khá.
+ Yêu cầu đối với mức độ 1.
- HS không những nắm đợc một số kiến thức liên quan đến bài tốn cực trị
hình học mà cịn có thể phát triển đợc giả thiết kết luận hoặc phát triển đồng thời
giả thiết và kết luận của bài toán cơ bản ban đầu, đề ra hớng đặt các đề toán mới.
- Xác định đợc mối liên hệ có tính thống nhất giữa các phần kiến thức và
phơng pháp giải chúng.
+ Biện pháp: Từ bài tập cơ bản ban đầu đó phát triển thành bài tập mới GV
cần có những câu hỏi định hớng cho HS, hớng dẫn HS thay đổi mối quan hệ giữa
các đại lợng đã cho và đại lợng cần tìm để đợc những bài tập phù hợp. Tuỳ thuộc
vào mức độ phức tạp của bài tập mới mà mức độ rèn luyện kỹ năng lực t duy


sáng tạo cho HS đợc nâng lên, việc giải các bài tập mới phù hợp tạo điều kiện
cho HS vận dụng linh hoạt kiến thức để tự lực giải quyết thành cơng những tình
huống mới. Trong q trình giải các bài tập HS phải vận dụng các thao tác trí tuệ
nh: So sánh, phân tích, tổng hợp, khái qt hố, đặc biệt hố. Chính vì vậy việc
giải bài tập mới đợc phát triển từ bài tập cơ bản là điều kiện để phát triển t duy
sáng tạo, tính độc lập trong suy nghĩ, tính kiên trì trong khắc phục khó khăn cũng
nh lĩnh hội kiến thức một cách sâu sắc.
- Kết thúc việc chữa một bài tập GV cần có những nhận xét về: Bài tập cơ
bản và lời giải của nó, những hớng có thể phát triển, cần nhấn mạnh quá trình bài
tập mới dù trực tiếp hay gián tiếp đếu coi trọng sử dụng phơng pháp giải bài toán
cơ bản.
Mức độ 2: Phát triển bài tập cơ bản ban đầu thành bài tập mới khơng có sự
định hớng của GV với độ phức tạp cao hơn.
+ Đối tợng: HS giỏi, HS lớp chuyên có kiến thức chắc chắn và có tính sáng
tạo.
+ u cầu đối với mức độ 2:

- HS nắm đợc mức độ 1, tự đặt ra vấn đề và tự giải quyết vấn đề mà họ đặt
ra.
- HS tự đặt ra trớc những bài toán khi phát triển bài toán cơ bản và phơng
pháp giải chúng.
- HS giỏi nhận định, phân tích những bài tốn cơ bản chứa đựng trong bài
tập mới.
+ Biện pháp: GV không sử dụng những câu hỏi định hớng mà yêu cầu HS
trực tiếp phát triển bài toán dựa trên bài toán cơ bản rồi GV yêu cầu những HS
khác cho hớng giải, hoặc nhận định những yếu tố liên quan bài toán ban đầu rồi
cho HS giải quyết những bài tập đó, qua đó rèn cho HS năng lực nhìn nhận cấu


trúc đối tợng nghiên cứu, rèn luyện cho HS biết đề xuất ý kiến riêng của bản
thân, độc lập trong suy nghĩ, tự nêu lên vấn đề và tự giải quyết vấn đề đó.
1.2.5. Một số kiến thức thờng dùng để giải bài tốn cực trị hình học
• Quan hệ đờng vng góc và đờng xiên, hình chiếu
Trong các đờng xiên và đờng vng góc hạ từ một điểm đến một đờng
thẳng.
- Đờng vng góc ngắn hơn mọi đờng xiên.
- Đờng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngợc lại.
• Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, bất đồng thức tam giác, qui tắc
các điểm.
- Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngợc lại.
- Trong hai tam giác có hai cặp cạnh tơng ứng bằng nhau nếu cạnh thứ ba
của tam giác này lớn hơn cạnh thứ ba của tam giác kia thì góc đối diện cũng lớn
hơn và ngợc lại.
- Bất đẳng thức tam giác: Tam giác ABC có:
AB ≤ AB + BC, dấu “=” xảy ra ⇔ A, B, C thẳng hàng B nằm giữa A và C.
AC - AB ≤ BC, dấu “=” xảy ra ⇔ A, B, C thẳng hàng B nằm giữa A và
C.

- Qui tắc các điểm: cho n điểm A1, A2 ,… An
Ta có: A1, An ≤ A1 A2 + A2 A3 +… + An-1 An, dấu “=” xảy ra ⇔ A1, A2… An
thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó.
• Bất đẳng thức trong đờng trịn:
- Trong tất cả các dây cung của đờng trịn, đờng kính là dây lớn nhất.
- Trong một đờng tròn, dây cung nào có độ dài ngắn hơn thì có khoảng cách
đến tâm lớn hơn và ngợc lại.


- Trong hai cung nhỏ của một đờng tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở
tâm lớn hơn.
- Trong hai cung nhỏ một đờng tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trơng
cung lớn hơn.
• Bất đẳng thức đại số:
- Giả sử ta có
giá trị nhỏ nhất,

a
với a > 0, nếu a không đổi,
b

a
đạt giá trị lớn nhất nếu b đạt
b

a
đạt giá trị nhỏ nhất nếu b đạt giá trị lớn nhất.
b

- Nếu x + y là hằng số thì tích x. y lớn nhất ⇔ x = y.

x . y là hằng số thì tổng x + y nhỏ nhất ⇔ x = y.
- Bất đẳng thức cơsi: cho a, b khơng âm ta có:
a+b
≥
2

ab . Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b

Tổng quát: cho n số khơng âm a1, a2… an ta có:
a1 + a2 + ... + an
≥
n

n

a1 . a2 ... an . Dấu “=” xảy ra

⇔ a1 = a2 = … = an
- Bất đẳng thức Bunhiacopski:
Cho 4 số thực: a, b, x, y ta có:
(ax + by)2 ≤ (a2 + b2) . (x2 +y2) Dấu “=” xảy ra
⇔ ay = bx
• Hệ thức lợng trong tam giác
- Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vng
Cạnh góc vng bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối
Cạnh góc vng bằng cạnh huyền nhân với cos góc kề
Cạnh góc vng bằng cạnh góc vng kia nhân với tang góc đối