Góp phần bồi dưỡng một số yếu tố năng lực toán học cho học sinh thông qua việc khai thác các bài tập trong chương trình THPT luận văn thạc sỹ giáo dục học

1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN DUY THÀNH

GĨP PHẦN BỒI DƯỠNG MỘT SỐ YẾU TỐ
NĂNG LỰC TỐN HỌC CHO HỌC SINH
THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC BÀI TẬP
TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT

LUẬN VĂN THẠC SỸ GIÁO DỤC HỌC

Vinh, 2011


2

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong giai đoạn hiện nay, trước thời cơ và thách thức mới, để tránh nguy
cơ tụt hậu, việc rèn luyện cho HS khả năng tự học, khả năng sáng tạo ngày
càng cần thiết và cấp bách. Để đạt được điều đó, một vấn đề quan trọng cần
thiết phải đổi mới phương pháp dạy học nhằm tích cực hố hoạt động học tập
của học sinh, làm cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động.
Để hồn thành trách nhiệm của mình trước cộng đồng và nâng cao cuộc
sống cá nhân, con người cần có một số năng lực nhất định. Năng lực cá nhân
chỉ có thể được hình thành và phát triển thơng qua hoạt động, trong đó hoạt
động học tập có ý nghĩa quan trọng hàng đầu. Yêu cầu then chốt đó đã được
phản ánh trong phần mục tiêu của nền giáo dục nước nhà. Do vậy, mục tiêu
giáo dục trước hết phải là năng lực suy nghĩ, năng lực hành động của người

học. Năng lực này được phát triển trên nền tảng một hệ thống kiến thức cơ
bản, vững chắc. Mặt khác, năng lực cá nhân không tự phát triển mà nền giáo
dục có trách nhiệm phát hiện và góp phần phát triển năng lực đó. Nói một
cách khác, năng lực được hình thành qua các biện pháp phát hiện và ni
dưỡng nó của bản thân ngành giáo dục nói riêng và tồn xã hội nói chung. Về
phía cá nhân, mỗi người phải học tập suốt đời; thời gian học tập ở nhà trường
thì có hạn mà kiến thức cần có (dù là tối thiểu) lại tăng lên không ngừng, điều
quan trọng là năng lực của chính họ được bồi dưỡng một cách thường xuyên
và liên tục thông qua từng môn học cụ thể (Trần Kiều, Thông tin khoa học
giáo dục, số 48/1995).
Việc phát triển năng lực toán học ở HS là một nhiệm vụ đặc biệt quan
trọng của thầy giáo vì hai lý do: Thứ nhất, Tốn học có một vai trò to lớn
trong sự phát triển của các ngành khoa học, kỹ thuật; sự nghiệp cách mạng
cần thiết có một đội ngũ những người có năng lực tốn học. Thứ hai, như
Nghị quyết Đại hội Đảng Cộng sản Việt Nam lần IV đã ghi rõ: “Trên cơ sở


3
những đòi hỏi tất yếu của cộng đồng của quyền làm chủ tập thể phải bảo đảm
sự phát triển phong phú của nhân cách, bồi dưỡng và phát huy sở trường và
năng khiếu của cá nhân”. Nhà trường là nơi cung cấp cho HS những cơ sở
đầu tiên của Toán học, khơng ai khác chính thầy giáo là những người hoặc
chăm sóc, vun xới cho những mầm mống năng khiếu Toán học của HS, hoặc
làm thui chột chúng [26, tr. 130].
Bồi dưỡng năng lực toán học cho HS là một vấn đề thu hút sự quan tâm
của các nhà Toán học, các nhà khoa học giáo dục, các giáo viên dạy Toán ở
nhiều nước trên thế giới, kể cả Việt Nam. Tuy nhiên, cho đến nay vẫn chưa
có được định nghĩa thống nhất về năng lực nói chung và năng lực tốn học nói
riêng.
Có rất nhiều ý kiến khác nhau đề cập tới những thành tố của năng lực

toán học mà trong số đó có nhiều tác giả nổi tiếng chẳng hạn như V. A.
Krutecxki, A. N. Kôlmôgôrôv, A. I. Marcusêvich, B. V. Gơnhedencơ, ...
Chương trình Tốn ở trường THPT có nhiều tiềm năng thuận lợi cho việc
bồi dưỡng một số thành tố của năng lực tốn học, bởi vì, Đại số và Giải tích
cũng như Hình học có nhiều chủ đề mà trong đó nổi bật lên một số kĩ năng
trong q trình giải quyết nó.
Đã có những cơng trình đề cập đến bồi dưỡng năng lực tốn học, chẳng
hạn Luận án "Xây dựng hệ thống bài tập số học nhằm bồi dưỡng một số yếu tố
năng lực toán học cho học sinh khá, giỏi đầu cấp THCS" của Trần Đình Châu,
nhưng cơng trình này chỉ chủ yếu nói về cách thức xây dựng hệ thống bài tập
nhằm bồi dưỡng một số yếu tố năng lực toán học cho HS đầu cấp THCS trong
dạy học Số học. Đến nay, việc nghiên cứu việc bồi dưỡng năng lực toán học
cho HS trung học phổ thơng vẫn cịn nhiều vấn đề khó khăn và vướng mắc.
Vì những lý do trên đây mà chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận
văn là: “Góp phần bồi dưỡng một số yếu tố năng lực tốn học cho HS thơng
qua việc khai thác các bài tập trong chương trình THPT”.


4
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Mục đích của Luận văn là nghiên cứu việc bồi dưỡng một số yếu tố năng
lực tốn học cho HS trung học phổ thơng trong việc khai thác các bài tập ở
chương trình THPT.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau:
3.1. Có những quan điểm nào về cấu trúc của năng lực toán học?
3.2. Từ việc tổng hợp các quan điểm nói ở 3.1, sẽ chọn ra một số yếu tố
nào để bồi dưỡng cho HS trung học phổ thông trong dạy học nhằm khai thác
các bài tốn trong chương trình THPT?
3.3. Những căn cứ nào làm cơ sở để chọn lọc các thành tố mà ta sẽ xem

xét vấn đề bồi dưỡng?
3.4. Những biện pháp nào sẽ được sử dụng để bồi dưỡng các yếu tố đó?
3.5. Thực nghiệm sư phạm.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Luận văn sử dụng các phương pháp sau đây trong quá trình nghiên cứu:
4.1. Nghiên cứu lý luận: tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề
liên quan đến đề tài Luận văn.
4.2. Điều tra quan sát: thực trạng về năng lực tốn học của học sinh trung
học phổ thơng.
4.3. Thực nghiệm sư phạm: tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét
tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC:
Nếu dựa vào những cơ sở lý luận và thực tiễn thì có thể xác định được
một số yếu tố năng lực toán học cần phải bồi dưỡng; đồng thời, nếu xác định
được một số biện pháp sư phạm thích hợp thì có thể góp phần bồi dưỡng cho
HS trung học phổ thơng những yếu tố này trong q trình dạy Tốn.
6. ĐĨNG GĨP CỦA LUẬN VĂN:


5
6.1. Góp phần làm rõ thêm về sơ đồ cấu trúc năng lực toán học của học
sinh;
6.2. Đã nêu lên được những khó khăn, những sai lầm phổ biến của học
sinh khi đứng trước các vấn đề toán học – mà việc giải quyết các vấn đề đó
địi hỏi một sự thể hiện về các yếu tố năng lực toán học;
6.3. Đưa ra được những biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển
bốn năng lực thành tố cho học sinh THPT trong dạy học mơn Tốn;
6.4. Luận văn có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên
Tốn nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học mơn Tốn ở trường trung
học phổ thơng.

7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN:
Luận văn, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, có 3
chương:
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN CÁC QUAN ĐIỂM VỀ CẤU TRÚC
NĂNG LỰC TOÁN HỌC
1.1. Khái niệm năng lực.
1.2. Khái niệm năng lực toán học.
1.3. Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học.
1.4. Một số nhận định.
1.5. Kết luận Chương 1.
CHƯƠNG 2: “GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG MỘT SỐ YẾU TỐ NĂNG
LỰC TOÁN HỌC CHO HS THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC BÀI
TẬP TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT”.
2.1. Các điểm tựa để xác định các yêú tố.
2.2. Các yêú tố năng lực cần bồi dưỡng cho học sinh.
2.3. Góp phần bồi dưỡng một số yêú tố của năng lực toán học.


6
2.4. Kết luận chương 2.
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.4. Kết luận.

CHƯƠNG I
TỔNG QUAN CÁC QUAN ĐIỂM
VỀ CẤU TRÚC CỦA NĂNG LỰC TOÁN HỌC

7

1.1. Khái niệm năng lực
Kết quả nghiên cứu của các cơng trình tâm lý học và giáo dục học cho
thấy, từ nền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bước vào hoạt động. Qua
quá trình hoạt động mà dần hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ
xảo cần thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới
với mức độ mới cao hơn. Đến một lúc nào đó, trẻ em đủ khả năng bên trong
để giải quyết những hoạt động ở những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập
và cuộc sống thì lúc đó học sinh sẽ có được một năng lực nhất định. Dưới đây
là một số cách hiểu về năng lực:
+) Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người khả
năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao [56].
+) Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con
người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện cần
thiết để hồn thành có kết quả một số hoạt động nào đó [1].
+) Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp
ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để
hoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động nào đó (Dẫn theo[2]).
Như vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy
sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ, và
do đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (định
nghĩa 3 gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc).
Mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản như
tính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thơng minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng
tạo và độc đáo trong giải quyết nhiệm vụ ...
Phần lớn các cơng trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều thừa
nhận rằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng,
tức là sự thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi

cho sự hình thành và phát triển của những năng lực khác nhau.


8

1.2. Khái niệm năng lực toán học
Theo V. A. Krutecxki [33, tr. 13] năng lực toán học được hiểu theo 2 ý
nghĩa, 2 mức độ:
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với
việc học Tốn, đối với việc nắm giáo trình Tốn học ở trường phổ thông, nắm
một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.
Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt
động sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn
đối với xã hội loài người.
Giữa hai mức độ hoạt động tốn học đó khơng có một sự ngăn cách tuyệt
đối. Nói đến năng lực học tập Tốn khơng phải là khơng đề cập tới năng lực
sáng tạo. Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình Tốn học một
cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài tốn khơng phức tạp lắm;
đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các
định lý, độc lập suy ra các cơng thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc đáo
những bài tốn khơng mẫu mực ...
Với mức độ học sinh trung bình và khá, Luận văn chỉ chủ yếu tiếp cận
NLTH theo góc độ thứ nhất (năng lực học Toán). Sau đây là một số định
nghĩa về NLTH:
Định nghĩa 1: Năng lực học tập Toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân
(trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động tốn
học và giúp cho việc nắm giáo trình Tốn một cách sáng tạo, giúp cho việc
nắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ
xảo toán học [33, tr. 14].
Định nghĩa 2: Những năng lực học Toán được hiểu là những đặc điểm

tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng u
cầu của hoạt động tốn học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì
là ngun nhân của sự thành cơng trong việc nắm vững một cách sáng tạo


9
Tốn học với tư cách là một mơn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ
dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học [26, tr. 126].

Nói đến HS có năng lực tốn học là nói đến HS có trí thơng minh trong
việc học Tốn. Tất cả mọi HS đều có khả năng và phải nắm được chương
trình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ HS này qua HS khác.
Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi: Các năng lực này
không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình
học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng; vì vậy, cần nghiên cứu
để nắm được bản chất của năng lực và các con đường hình thành, phát triển,
hồn thiện năng lực.
Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ NLTH. Do vậy,
trong dạy học Toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và phương pháp
thích hợp để sao cho mọi đối tượng HS đều được nâng cao dần về mặt NLTH.
Về vấn đề này nhà Tốn học Xơviết nổi tiếng, Viện sĩ A. N. Kơlmơgơrơv cho
rằng: “Năng lực bình thường của HS trung học đủ để cho các em đó tiếp thu,
nắm được Tốn học trong trường trung học với sự hướng dẫn tốt của thầy
giáo hay với sách tốt”.

1.3. Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học
1.3.1. Quan điểm của V. A. Krutecxki
V. A. Krutecxki – nguyên Phó Viện trưởng Viện nghiên cứu Tâm lý học
thuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo dục Liên Xô trước đây, đã nghiên cứu tâm
lý năng lực tốn học với cơng trình đồ sộ “Tâm lý năng lực tốn học” – Luận

án Tiến sĩ của ơng được Hội đồng bác học Liên Xô đánh giá rất cao. Cơng
trình là kết quả của việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn, có tiến hành thực
nghiệm hết sức công phu, được tiến hành từ năm 1955 đến 1968. Ông đã
nghiên cứu sâu sắc về mặt lý luận, tham khảo hơn 747 tài liệu trong và ngoài
nước. Về mặt thực tiễn, Ông đã quan sát tự nhiên; theo dõi sự phát triển của
HS có năng khiếu về Tốn; thực nghiệm trên 157 HS giỏi, trung bình và kém;


10
nghiên cứu tình trạng học tập (qua tài liệu) về các bộ môn của khoảng 1000
HS từ lớp VII đến lớp X; tiến hành tọa đàm với 62 giáo viên dạy Toán; phỏng
vấn bằng giấy đối với 56 giáo viên Toán; phỏng vấn bằng giấy đối với 21 nhà
Toán học; nghiên cứu và phân tích tiểu sử của 84 nhà tốn học và vật lý học
nổi tiếng trong và ngồi nước ... . Chính vì độ tin cậy trên về những kết luận
khoa học của V. A. Krutecxki nên Luận văn sẽ kế thừa kết quả và là điểm tựa
quan trọng về cơ sở khoa học của đề tài.
Kết quả chủ yếu và quan trọng nhất là Ông đã chỉ ra cấu trúc năng lực
toán học của học sinh bao gồm những thành phần sau (dựa theo quan điểm
của Lý thuyết thơng tin):
* Về mặt thu nhận thơng tin tốn học
Đó là năng lực tri giác hình thức hố tài liệu Tốn học, năng lực nắm cấu
trúc hình thức của bài tốn.
* Về mặt chế biến thơng tin tốn học
1) Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không
gian, hệ thống ký hiệu số và dấu. Năng lực tư duy bằng các ký hiệu tốn học;
2) Năng lực khái qt hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toán học
và các phép toán;
3) Năng lực rút gọn q trình suy luận tốn học và hệ thống các phép
toán tương ứng. Năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn;
4) Tính linh hoạt của q trình tư duy trong hoạt động tốn học;

5) Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng đơn giản, tiết kiệm, hợp lý của lời
giải;
6) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình
tư duy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo
(trong suy luận tốn học).
* Về mặt lưu trữ thơng tin tốn học


11
Trí nhớ tốn học (trí nhớ khái qt về các: quan hệ toán học; đặc điểm về
loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải toán; nguyên tắc,
đường lối giải toán).
* Về thành phần tổng hợp khái quát
Khuynh hướng tốn học của trí tuệ.
Các thành phần nêu ở trên có quan hệ mật thiết lẫn nhau, ảnh hưởng lẫn
nhau và hợp thành hệ thống định nghĩa một cấu trúc tồn vẹn của năng lực
tốn học.
Sơ đồ triển khai của cấu trúc NLTH có thể được biểu thị bằng một cơng
thức khác, cơ đọng hơn: Năng lực tốn học được đặc trưng bởi tư duy khái
quát, gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực các quan hệ toán học, hệ thống ký
hiệu số và dấu, và bởi khuynh hướng tốn học của trí tuệ [33, tr. 170].
Cùng với cấu trúc nói trên, V. A. Krutecxki cũng đưa ra những gợi ý về
phương pháp bồi dưỡng NLTH cho HS.
Nghiên cứu quan điểm của V. A. Krutecxki về năng lực toán học, có thể
thấy một số vấn đề quan trọng sau:
+) Về mặt lý luận
1) Theo V. A. Krutecxki thì nói đến HS có NLTH là nói đến HS có trí
thơng minh trong việc học tốn;
2) Vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân. Khi nói về năng
lực tức là giả định rằng có sự khác biệt về những mặt nào đó giữa các cá

nhân, chẳng hạn về NLTH. Điều quan trọng năng lực không chỉ là bẩm sinh
mà còn được phát sinh và phát triển trong hoạt động, trong đời sống của mỗi
cá nhân;
3) Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại hoạt động
nhất định của con người. Năng lực tốn học cũng vậy, nó chỉ tồn tại trong
hoạt động tốn học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới thấy
được biểu hiện của năng lực toán học;


12
4) Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của con người thường
phụ thuộc vào một tổ hợp năng lực. Kết quả học tập Tốn cũng khơng nằm
ngồi quy luật đó, ngồi ra cịn phụ thuộc vào một số yếu tố khác, chẳng hạn
niềm say mê, thái độ chăm chỉ trong học tập, sự khuyến khích hỗ trợ của giáo
viên, của gia đình và xã hội.
Nghiên cứu về nguồn gốc của năng lực và tài năng mặc dầu còn nhiều
trường phái khác nhau, nhưng các nhà tâm lý học đã dần dần đi đến thống nhất
trên một số quan điểm cơ bản sau:
- Thứ nhất: Những tố chất bẩm sinh - di truyền là điều kiện cần thiết ban
đầu cho sự phát triển năng lực.
- Thứ hai: Năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, mang bản chất xã
hội - lịch sử.
Thứ ba: Năng có nguồn gốc từ hoạt động, là sản phẩm của hoạt động.
* Về mặt thực tiễn
1) Trong lĩnh vực đào tạo con người phải nghiên cứu NL của mỗi người
trong lĩnh vực đào tạo, phải biết những phương pháp tốt nhất để bồi dưỡng
năng lực đó;
2) Năng lực tốn học là năng lực tạo thành các mối liên tưởng khái quát,
tắt, linh hoạt, ngược và hệ thống của chúng dựa trên tài liệu toán học. Các
năng lực đã nêu biểu hiện với các mức độ khác nhau ở các em HS giỏi, trung

bình, kém. ở các em năng khiếu và giỏi thì các mối liên tưởng đó được tạo
thành ngay tức khắc sau một số ít bài tập, ở các em trung bình thì muốn hình
thành các mối liên tưởng phải cần cả một hệ thống bài tập và phải có sự rèn
luyện.
1.3.2. Quan điểm của A. N. Kôlmôgôrôv
Trong cuốn sách Về nghề nghiệp của nhà Tốn học, A. N. Kơlmơgơrơv
đã chỉ ra rằng, năng lực ghi nhớ máy móc một số lượng lớn các sự kiện, công


13
thức, cộng và nhân nhẩm hàng dãy dài các số có nhiều chữ số khơng quan hệ
đến NLTH. Trong thành phần các năng lực tốn học, ơng nêu ra:
1) Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm
kiếm các cách hay để giải các phương trình khơng phù hợp với qui tắc giải
thơng thường, hoặc như các nhà Toán học gọi là năng lực tính tốn hay năng
lực “angơrit”;
2) Trí tưởng tượng hình học hoặc “trực giác hình học”;
3) Nghệ thuật suy luận lơgic, được phân nhỏ hợp lý, tuần tự. Có thể nói
rằng tiêu chuẩn của sự trưởng thành lôgic cần thiết cho nhà Toán học là hiểu
nguyên nhân quy nạp toán học và có kỹ năng vận dụng nó một cách đúng đắn.
Ơng cịn nhấn mạnh rằng: các khía cạnh khác nhau của năng lực toán học
thường được gặp trong các tổ hợp khác nhau và các năng lực này thường bộc
lộ rất sớm và đòi hỏi phải luyện tập liên tục.
1.3.3. Quan điểm của A. I. Marcusêvich
Viện sĩ A. I. Marcusêvich đã chỉ ra 6 phẩm chất sau đây của trí tuệ và
tính cách cần được giáo dục cùng với việc dạy Tốn:
1) Có kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại bỏ các chi tiết
không cơ bản (kỹ năng trừu tượng hoá);
2) Kỹ năng xây dựng được sơ đồ của hiện tượng sao cho trong đó chỉ giữ
lại những gì cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt Tốn học, đó chính là

các quan hệ thuộc, thứ tự, số lượng và độ đo, phân bố khơng gian (kỹ năng sơ
đồ hố);
3) Kỹ năng rút ra các hệ quả lôgic từ các tiên đề đã cho (tư duy suy diễn);
4) Kỹ năng phân tích vấn đề đã cho thành các trường hợp riêng, kỹ năng
phân biệt được khi nào chúng bao quát được mọi khả năng, khi nào chúng chỉ
là các ví dụ chứ không bao quát hết mọi khả năng;
5) Kỹ năng vận dụng các kết quả rút ra được từ các suy luận lý thuyết cho
các vấn đề cụ thể và đối chiếu các kết quả đó với các kết quả dự kiến, kỹ năng


14
đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của các kết
quả;
6) Khái quát hoá các kết quả nhận được và đặt ra những vấn đề mới ở
dạng khái quát.
1.3.4. Quan điểm của X. I. Svacxbuốc
X. I. Svacxbuốc sau khi khái quát hoá ý kiến của các nhà Toán học, đã
nghiên cứu các yếu tố sau đây trong sự phát triển Toán học:
1) Các biểu tượng không gian;
2) Tư duy trừu tượng;
3) Chuyển thành sơ đồ tốn học;
4) Tư duy suy diễn;
5) Phân tích, xem xét các trường hợp riêng;
6) Áp dụng các kết luận;
7) Tính phê phán;
8) Ngơn ngữ tốn học;
9) Kiên trì khi giải tốn.
1.3.5. Quan điểm của B. V. Gơnhedencơ
Viện sĩ B. V. Gơnhedencô trong một loạt bài báo đăng trên Tạp chí
“Tốn học trong nhà trường” trong các năm từ 1962 đến 1965 đã đưa ra các

tính chất sau đây của tư duy tốn học:
1) Năng lực nhìn thấy được tính khơng rõ ràng của suy luận, thấy được sự
thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;
2) Có thói quen lý giải lơgic một cách đầy đủ;
3) Chia nhỏ một cách rõ ràng tiến trình suy luận;
4) Sự cơ đọng;
5) Sự chính xác của kí hiệu.
1.3.6. Quan điểm của UNESCO


15
Theo quan điểm của Tổ chức UNESCO thì 10 yếu tố cơ bản của NLTH
đó là:
1) Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép tốn và
các khái niệm;
2) Năng lực tính nhanh, cẩn thận, và sử dụng các kí hiệu;
3) Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu;
4) Năng lực biểu diễn dữ kiện bằng các kí hiệu;
5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;
6) Năng lực xây dựng một chứng minh;
7) Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán tốn học;
8) Năng lực áp dụng cho bài tốn khơng tốn học;
9) Năng lực phân tích bài tốn và xác định các phép tốn có thể áp dụng;
10) Năng lực tìm cách khái qt hố tốn học.
1.3.7. Quan điểm của một số tác giả khác
1.3.7.1. Quan điểm của E. L. Thorndike
So với các tác giả đề cập ở trên, khi nghiên cứu về năng lực toán học của
học sinh, E. L. Thorndike đã đi sâu vào lĩnh vực Đại số. Theo E. L.
Thorndike, những thành tố của năng lực Đại số gồm:
1) Năng lực hiểu và thiết lập công thức;

2) Năng lực biểu diễn các tương quan số lượng thành công thức;
3) Năng lực biến đổi công thức;
4) Năng lực thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng đã
cho;
5) Năng lực giải phương trình;
6) Năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất;
7) Năng lực biểu diễn bằng đồ thị phụ thuộc hàm của hai đại lượng.
1.3.7.2. Quan điểm của G. Tômac
G. Tômac đưa ra cấu trúc năng lực toán học bao gồm các thành tố sau:


16
1) Năng lực trừu tượng hóa;
2) Năng lực suy luận lơgic;
3) Tri giác đặc thù;
4) Có kỹ năng sử dụng các cơng thức;
5) Năng lực trực giác;
6) Trí tưởng tượng tốn học.
1.3.7.3. Quan điểm của Pellery
1) Nhìn thấy những quan hệ, những điều cần phải phân biệt (chẳng hạn
giả thiết và kết luận);
2) Lưu trữ và dịch chuyển (qua lời, đồ thị và kí hiệu);
3) Năng lực theo dõi một số hướng suy luận;
4) Năng lực hiểu bài toán;
5) Năng lực theo dõi những con đường giải toán;
6) Khái quát hố, mở rộng bằng tương tự. Tìm một mơ hình thích hợp
(trong các mơ hình đã biết);
7) Xây dựng một mơ hình tốn học có thể giải bài tốn;
8) Xây dựng một thuật toán để giải toán.

1.4. Một số nhận định
Ở mục 1.3 chúng tơi đã trình bày các quan điểm về cấu trúc năng lực
toán học của HS của các nhà khoa học khác nhau. Xem xét, so sánh các quan
điểm chúng tôi nhận ra giữa các quan điểm đều có chung một số thành tố
năng lực tốn học (có thể cách diễn đạt ở mỗi quan điểm có khác nhau).
Chẳng hạn, năng lực phân chia trường hợp riêng đều có trong các quan điểm
của A. N. Kơlmơgơrơv, X. I. Svacxbuốc, B. V. Gơnhedencô, ...; năng lực suy
luận lôgic có trong quan điểm của V. A. Krutecxki, A. N. Kôlmôgôrôv, X. I.
Svacxbuốc, B. V. Gơnhedencô, ...; năng lực khái quát hóa có trong các quan
điểm của V. A. Krutecxki, A. I. Marcusêvich, ..., năng lực diễn đạt các vấn đề


17
tốn học theo những cách khác nhau có trong quan điểm của X. I. Svacxbuốc,
Pellery, …
Tuy nhiên, giữa các quan điểm vẫn có những thành tố năng lực chưa
thống nhất hoặc có những quan điểm vẫn chưa thể đưa ra đầy đủ các thành tố
trong cấu trúc năng lực toán học của HS. Chẳng hạn, năng lực khái quát hoá
theo V. A. Krutecxki là một trong những năng lực cơ bản trong cấu trúc năng
lực tốn học, đó là năng lực khái quát hoá các đối tượng, quan hệ toán học và
các phép tốn; Ơng cũng cho rằng năng lực khái qt hóa tài liệu tốn học là
năng lực đặc thù. Nhưng khi đưa ra cấu trúc năng lực toán học của HS, Viện
sĩ A. I. Marcusêvich lại không đề cập năng lực khái quát hoá mà chỉ coi trọng
năng lực trừu tượng hoá (kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại
bỏ các chi tiết khơng cơ bản).
Mặt khác, khi bắt đầu q trình tư duy và trong mỗi lần chuyển hướng
tương tự, thường phải đánh giá tình huống với mục đích lựa chọn một tìm tịi
hợp lý hơn. Trong các tình huống tốn học hồn tồn mới mà kinh nghiệm
khơng có đủ để giải quyết, lúc này vai trị chính lại là trực giác toán học, sự
nhạy bén của tư duy, năng lực dự đốn phương hướng tìm kiếm có thể đưa

đến mục đích. Mặc dù, trực giác toán học cho đến nay vẫn cịn ít được nghiên
cứu (cũng như bản chất, cơ chế của q trình tư duy nói chung) nhưng sự tồn
tại của nó đã được khẳng định bởi các nhà Tốn học vĩ đại có kinh nghiệm
sáng tạo khoa học cũng như các nhà Sư phạm Tốn có nhiều kinh nghiệm và
đã có thời gian dài theo dõi tư duy của các em HS có năng lực về Tốn.
Chẳng hạn, nhà tốn học Pháp vĩ đại A. Poăngcarê thừa nhận có tính đặc thù
của năng lực sáng tạo tốn học và đã chỉ ra thành phần quan trọng nhất của
chúng là trực giác toán học; trong sơ đồ cấu trúc về năng lực toán học của HS
của Viện sĩ A. N. Kơlmơgơrơv cũng đã nói về trực giác nhưng trực giác theo
một nghĩa hẹp (trực giác hình học). Nhưng trên thực tế, như chúng ta đã biết
trực giác có thể mang tính lơgic. ở đây, trực giác tốn học cần được coi như


18
một năng lực phức hợp đoán định trước các kết quả mà cách thức dẫn đến
mục đích của tư duy sáng tạo trong lĩnh vực Tốn học. Tư duy lơgic không
tham gia trực tiếp vào hành động trực giác (vai trị của nó chưa nhận thức
được), nhưng nhất thiết sau đó nó phải được lơi cuốn vào để kiểm tra tính
đúng đắn của dự đốn trực giác; G. Tơmac cũng rất coi trọng vai trò của trực
giác trong việc sáng tạo Tốn học. Vì vậy, trực giác tốn học khơng chỉ là
nhân tố phức hợp quan trọng nhất trong năng lực sáng tạo khoa học mà nó
cần phải có trong thành phần sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học.

1.5. Kết luận chương 1
Trong Chương I, Luận văn trình bày một số cách hiểu về khái niệm năng
lực toán học và các quan điểm về những thành phần của năng lực toán học
của một số nhà khoa học .
Sự so sánh, đối chiếu các quan điểm đã cho thấy rằng, đến nay vẫn chưa
có một quan điểm thống nhất về những thành tố của năng lực toán học. Có rất
nhiều quan điểm, mỗi quan điểm nhấn mạnh một số loại thành tố nào đó, mỗi

quan điểm đều có những nét hợp lý riêng khi ta đối chiếu với một bậc học nào
đó (chẳng hạn, V. A. Krutecxki thì thiên về các giai đoạn cơ bản của việc giải
bài tập của HS cấp I hoặc cấp II).

CHƯƠNG II
GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA NĂNG LỰC
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG,
THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC BÀI TẬP TỐN TRONG
CHƯƠNG TRÌNH THPT


19

2.1. Các điểm tựa để xác định các năng lực thành tố
Để xác định được các năng lực thành tố cần bồi dưỡng cho học sinh
trung học phổ thông trong dạy học khai thác các bài tập, chúng tôi dựa vào
các điểm tựa sau:
- Những thành tố đưa ra phải thực sự có ý nghĩa đối với dạy học thơng
qua việc khai thác các bài tập ở trường trung học phổ thơng;
- Chương trình THPT có nhiều tiềm năng để bồi dưỡng các năng lực
thành tố đó;
- Các năng lực thành tố phải xuất hiện trong những quan điểm của các
nhà khoa học;
- Trong thực tiễn học Toán, học sinh cịn có những hạn chế về những
năng lực thành tố này.

2.2. Các yêú tố năng lực toán học cần bồi dưỡng cho học sinh
2.2.1. Năng lực phân chia trường hợp
2.2.1.1. Trong việc trình bày lý thuyết, hệ thống hố các kiến thức, cũng
như khi giải toán biện luận, ... ta cần phải phân chia một khái niệm.

Trong lôgic học, người ta quan niệm: “Phân chia khái niệm là thao tác
lôgic, chia các đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm cần phải phân chia thành
các nhóm theo những tiêu chuẩn nhất định” [45, tr. 72].
Nói cách khác, phân chia một khái niệm tức là đem ngoại diên của khái
niệm ấy chia thành nhiều bộ phận [11, tr. 141].
Phân loại là phân chia một tập hợp đối tượng cho trước thành những tập
hợp con, dựa trên cơ sở một dấu hiệu chung.
Giữa phân chia khái niệm và phân loại thường khơng có sự phân biệt rõ
ràng, người ta thường dùng phân loại theo nghĩa phân chia khái niệm.
Việc phân chia, phân loại phải tuân theo một số quy tắc nhất định:
+ Sự phân chia (phân loại) phải triệt để, khơng bỏ sót;
+ Sự phân chia (phân loại) không trùng lặp;


20
+ Cùng một lúc không được đưa vào nhiều dấu hiệu khác nhau để phân
chia (phân loại);
+ Phân chia phải liên tục [45, tr. 141].
2.2.1.2. Trong mơn Tốn THPT, nói riêng trong mơn Đại số và Giải tích,
hay Hình học có nhiều tình huống liên quan đến việc phân chia và xem xét các
trường hợp riêng. Chẳng hạn:
- Lớp các bài tốn giải và biện luận phương trình, hệ phương trình, hệ bất
phương trình có chứa tham số;
- Lớp các bài tốn tìm điều kiện của tham số để một phương trình hoặc
bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình (chứa tham số) thỏa
mãn một yêu cầu nào đó về tập nghiệm;
- Lớp các bài tốn về giải phương trình, bất phương trình mà tập xác định
của nó cần phải được tách thành các bộ phận để thuận lợi cho việc sử dụng
các phép biến đổi tương đương;
- Lớp các bài tốn tích phân liên quan đến việc chọn cận trung gian;

- Lớp các bài toán về đại số tổ hợp;
- Lớp các bài toán về phép biến hình;
- Lớp các bài tốn về thiết diện;
- Lớp các bài tốn về đường thẳng vng góc;
- Lớp các bài tốn về thể tích
Trong khi ở trường THCS học sinh chủ yếu làm việc với phương trình,
bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình với hệ số bằng số thì ở
các lớp THPT, đi sâu vào những phương trình, bất phương trình hệ phương
trình có chứa tham số đòi hỏi học sinh phải biện luận trong khi giải, “phép
biện luận đòi hỏi phép ứng xử linh hoạt trong mỗi hồn cảnh cụ thể, và biết
cách phân tích đầy đủ các tình huống có thể xảy ra ..., khơng thể không dạy
cho học sinh làm quen và học tập phương pháp biện luận” [7, tr. 78, 79].


21
2.2.1.3. Thực tiễn Sư phạm và những cuộc điều tra, thăm dị đã cho thấy:
Tốn biện luận (giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương
trình, chứa tham số; tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương
trình, hệ có nghiệm thoả mãn u cầu nào đó ...) là một trong những dạng
tốn khó khăn nhất đối với học sinh THPT. Đặc trưng của dạng toán này là
phải biết phân chia thành những trường hợp riêng và lần lượt giải trong những
trường hợp đó.
Chương trình Đại số THPT không đưa thêm nhiều khái niệm mới, mà
chủ yếu đi sâu vào các khái niệm cơ bản như hàm số, phương trình, bất
phương trình, nhằm chính xác hố và hệ thống hoá chúng lại, theo một quan
điểm thống nhất: Quan điểm hàm số. Sách giáo khoa Toán phổ thơng cũng
khơng nói gì về việc phải cần thiết phân chia trường hợp trong giải tốn hay
cũng khơng nói gì cách thức hoặc tiêu chí làm cơ sở cho sự phân chia, đây là
yếu tố gây khó khăn rất lớn cho HS trong q trình giải loại tốn này.
Học sinh thường gặp những khó khăn hoặc sai lầm sau đây khi giải

những bài tốn có liên quan đến việc phân chia trường hợp riêng.
a) Không ý thức được sự suy biến của phương trình, bất phương trình
Ví dụ: Giải và biện luận phương trình:
(m - 2)x2 - 2(m + 1)x + 3- m = 0
Đứng trước bài toán này học sinh thường cho rằng đây là phương trình
bậc hai và đi thẳng vào phân tích ∆ ' = (m + 1)2 - (m-2)(3-m ) = 2m2 – 3m – 5
= (m + 1)(2m – 5)
Từ đó họ xét các trường hợp của ∆ ' . Trường hợp này học sinh khơng
nghĩ rằng m là tham số thì nó có thể nhận bất kì giá trị nào và như vậy họ
khơng xét khi m = -2
b) Khơng nắm chính xác về điều kiện để có thể thực hiện phép biến đổi
tương đương


22
Khi giải các phương trình, đặc biệt là bất phương trình, thường phải dùng
phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình – bất phương trình thành
phương trình – bất phương trình đơn giản hơn. Nhưng nhiều khi HS không
nắm được các phép biến đổi nào là tương đương, thậm chí có thể “nhầm”
rằng phép biến đổi nào là tương đương đối với phương trình thì cũng là phép
biến đổi tương đương đối với bất phương trình. Thực ra hai bất phương trình
có thể tương đương với điều kiện này, nhưng khơng tương đương với điều
kiện khác. Nói cách khác, các trường hợp được xem xét mà hai phương trình,
bất phương trình có phải là đương tương hay khơng.
Ví dụ: Giải bất phương trình:
x2 + x − 2 +

x2 + 2x − 3 ≤

x 2 + 4 x − 5 (1)

Nói chung khơng khó để nhận ra rằng, các biểu thức trong dấu “

” đều

có chung hạng tử x – 1. Cũng vì thế mà họ sẵn sàng rút gọn cả hai vế cho
x − 1 để nói rằng bất phương trình đã cho tương đương với
x+2+ x+3 ≤ x+5.
Thực chất thì tập xác định của bất phương trình là x ≥ 1 hoặc x ≤ −5 . Để
bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình nào, thì phải xét ba
trường hợp: x >1, x ≤ −5 , x = 1.
Ví dụ khác, giải bất phương trình:

1
x − 2x − 3
2

>

1
2x + 1

Nhiều học sinh cho rằng phân thức vế trái vế phải đều có tử thức bằng 1,
vậy bất phương trình tương đương với

x 2 − 2 x − 3 < 2 x + 1 , đến đây họ lại

tiếp tục bình phương hai vế của bất phương trình để khử dấu “

”.

Thực ra để biết bất phương trình tương đương với bất phương trình nào,
ta cần phải chia tập xác định làm hai trường hợp: x < -1, x > 3.
c) Không ý thức được sự biến thiên của hàm số


23
2
Ví dụ: Tìm k để bất phương trình log k ( x − 2 x + 2k + 1) < 0 có nghiệm

với mọi x.
Nhiều học sinh có sự biến đổi ngay là:
log k ( x 2 − 2 x + 2k + 1) < 0 ⇔ x 2 − 2 x + 2k < 1 ⇔ x 2 − 2 x + 2k < 0
Hầu hết học sinh cho rằng đây là bất phương trình bậc hai có hệ số bậc
hai a = 1 > 0 mà chiều bất phương trình bé hơn 0 nên khơng thể tồn tại k để
1
bất phương trình có nghiệm với ∀x ∈ ¡ . Thực ra khi k ∈ ( ;1) thì bất phương
2
trình sẽ có nghiệm ∀x ∈ ¡
Như vậy, sai lầm bắt nguồn từ chỗ không nắm vững sự biến thiên của
hàm số lôgarit nên không xét được các trường hợp cho tham số m.
Một ví dụ khác, giải bất phương trình log x (
2

x
1
) ≤ (1)
x−3 2

Nhiều học sinh cho rằng đây là bất phương trình chứa ẩn ở cả cơ số và

biểu thức dưới dấu log nên họ đặt điều kiện rất cẩn thận là:
 x < 0
 x < 0
x


>0
 x > 3


⇔ 
⇔  x > 3
x −3

0 < x 2 ≠ 1
 x ≠ 0
x ≠ 1


  x ≠ ±1

Nhưng tiếc là họ lại cho rằng, bất phương trình tương đương với
1
x
≤ ( x 2 ) 2 = x (2), chỗ này ta thấy xuất hiện hai sai lầm: đó là (1) chỉ tương
x− 3

đương với (2) khi x2 > 1(hàm số lôgarit đồng biến), ngoài ra

x2 = x chỉ khi

x ≥ 0.
d) Chưa nắm vững một số khái niệm toán học cơ bản, chẳng hạn các khái
niệm có cấu trúc hội, vì vậy khơng ý thức được tác động của tham số đối với
kết quả bài toán.


24
Ví dụ, Xét Bài tốn: “Tuỳ theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2
2
2
2
F = ((m + 1) x − 2 y + 1 − m) + (m x − y − m − 2m) ”.

Suy nghĩ để giải bài tốn có thể được mơ tả như sau: Do F là tổng các
bình phương, nên F ≥ 0 với mọi x và mọi y, tuy nhiên chưa khẳng định được
giá trị nhỏ nhất của F có phải bằng khơng hay khơng, giá trị nhỏ nhất của F
( m + 1) x0 − 2 y0 + 1 − m = 0
bằng 0 khi và chỉ khi tồn tại (x 0; y0) thoả mãn:  2
. Từ
2
 m x0 − y0 − m − 2m = 0
đó giá trị nhỏ nhất của F phụ thuộc vào sự có nghiệm của hệ nên phải xét các
trường hợp sau:
( m + 1) x − 2 y = m − 1

TH1: Hệ 
có nghiệm

2
2
 m x − y = m + 2m

Đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có:
D=
Dy =

m + 1 −2
m − 1 −2
= (m – 1)(2m +1); Dx = 2
= (m +1)(2m + 1);
m2
−1
m + 2m − 1
m +1
m −1
= 2m(2m +1)
2
m
m 2 + 2m

D m +1

x= x =
m ≠ 1



D m −1

* Nếu D ≠ 0 ⇔ 
thì hệ có nghiệm duy nhất 
.
1
Dy
m≠−
2m

y =
=

2

D m −1

Nên giá trị nhỏ nhất của F bằng 0.
* Nếu D = 0 ⇔

m = 1

1
m = −

2

+) m = - 1/2 thì Dx = Dy = 0 do đó hệ vơ số nghiệm thoả mãn x – 4y = -3
+) m = 1 hệ vô nghiệm
TH2: m = 1 thì F = (2x – 2y)2 + (x –y – 3)2

25
Đặt t = x – y (t ∈ ¡ )
Khi đó F = 5t2 - 6t + 9 = ( 5t −

3 2 36 36
) +
≥ . Vậy giá trị nhỏ nhất
5
5
5

của F bằng 36/5 khi x – y = 3/5.
Trong thực tế, rất nhiều học sinh đã mắc sai lầm khi giải bài tốn này. Có
em cho rằng vì F ≥ 0 với mọi x và mọi y nên giá trị nhỏ nhất của F bằng 0,
cũng có em suy luận:
( m + 1) x − 2 y = m − 1

≥ 0 với mọi x và mọi y, F = 0 ⇔ 
F
2
2
 m x − y = m + 2m

HS đưa hệ về (2m + 1)(m – 1)x = (2m + 1)(m + 1), HS biện luận tiếp:
+) Nếu m = -1/2 thì phương trình có nghiệm với mọi x, do đó hệ vơ số
nghiệm, nên giá trị nhỏ nhất của F bằng 0.
+) Nếu m = 1 thì hệ vơ nghiệm, nên F khơng có giá trị nhỏ nhất (!?).
e) Không biết chia thành những trường hợp nào, nói cách khác khơng biết
tìm tiêu chí làm cơ sở cho sự phân chia.
Có rất nhiều dạng tốn mà khi giải nó chúng ta cần phải phân chia thành

các trường hợp, nhưng cái khó là HS thường gặp là không biết phân thành
những trường hợp nào cho hợp lý.
Ví dụ: Giải và biện luận phương trình

x − m + 2m = x + 2m (1)

Ta phải xét ba trường hợp (TH) m < 0; m = 0; m > 0.
TH1: m = 0, phương trình có nghiệm duy nhất x = 0;
TH2: m > 0, điều kiện của phương trình là x ≥ m. Khi đó phương trình (1)
tương đương với x − m + 4m x − m + 4m 2 = x + 2m ⇔ 4 x − m = 3 − 4m (2)

Bình phương hai vế của (2) ta được:
16m 2 − 8m + 9
16(x – m) = (3 – 4m) ⇔ x =
(3)
16
2

Tuy nhiên, (2) khơng tương đương với (3) bởi vì 3 – 4m có thể âm, do đó
TH2 phải chia thành các khả năng (KN) sau: