quan điểm về vecto trong dạy học hình học giải tích ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH



Lê Quang Minh








Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số : 60 14 10




LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU




Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu,
người đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên
Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Chí Thành đã nhiệt tình giảng
dạy cho chúng tôi những kiến thức quý giá về didactic toán.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn cùng khóa; lãnh đạo và đồng
nghiệp ở Trường CĐSP Nha Trang nơi tôi công tác; lãnh đạo và chuyên viên Phòng
KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM; Ban giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ
Toán Trường THPT Trần Đại Nghĩa, Trường T HPT Tân Bình và Trung tâm bồi
dưỡng văn hóa Nguyễn Thượng Hiền đã ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi
trong quá trình học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã luôn cho
tôi niềm tin và động lực để học tập và công tác tốt.
LÊ QUANG MINH
MỞ ĐẦU

1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong lịch sử phát triển của toán học, hình học vectơ ra đời sau hình học giải
tích (HHGT). Sự ra đời này được phôi thai từ ý tưởng của Leibniz là xây dựng một
hệ thống tính toán trong nội tại hình học, sao cho vừa khai thác được công cụ của
đại số như phương pháp giải tích, lại vừa tận dụng được yếu tố trực quan của
phương pháp tổng hợp trong nghiên cứu hình học.
Tuy ra đời sau, hình học vectơ và HHGT đã được hình thành theo những cách
thức hoàn toàn độc lập với nhau. Nhưng từ khi xuất hiện vectơ thì việc xây dựng
HHGT đã trở nên dễ dàng hơn. Có lẽ vì thế mà ngày nay hầu hết các giáo trình môn
toán, từ phổ thông đến đại học, đều khai thác vectơ để trình bày HHGT. Đặc biệt,
nếu như trước đó việc lập phương trình các đường thẳng, mặt phẳng được giải quyết
theo một cách thức phức tạp và không trọn vẹn, thì giờ đây, với sự xuất hiện của

công cụ vectơ, vấn đề trở nên dễ dàng, đơn giản hơn nhiều. Về vấn đề này, ta biết
rằng tồn tại một cách tiếp cận khác, được đặt trong phạm vi của đại số tuyến tính.
Tuy nhiên, ở bậc phổ thông thì không thể tiếp cận theo cách đó vì học sinh chưa
được nghiên cứu ngành toán học này . Trong trường hợp đó, đ ường thẳng, mặt
phẳng được tiếp cận như thế nào? Ngoài hai cách tiếp cận trên, liệ u còn cách tiếp
cận nào khác ? Cách tiếp cận mà sách giáo khoa toán bậc phổ thông lựa chọn ảnh
hưởng ra sao đến việc dạy và học của giáo viên và học sinh?
Một cách cụ thể hơn, chúng tôi tự đặt ra cho mình hai câu hỏi :
- Q’1
: Ở cấp độ tri thức khoa học, phương trình đường thẳng, mặt phẳng và
các vấn đề liên quan đến chúng đã được tiếp cận như thế nào ?
- Q’2
: Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy ở trường phổ thông, những nội dung
này xuất hiện ra sao? Công cụ vectơ đã được khai thác như thế nào trong
việc nghiên cứu chúng? Cách trình bày của sách giáo khoa (SGK) có ảnh
hưởng gì đến việc học HHGT của học sinh?
Đề tài Quan điểm vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường phổ thông mà
chúng tôi theo đuổi nhằm mục đích tìm kiếm những yếu tố trả lời cho các câu hỏi
trên.
Về các đối tượng “đường thẳng, mặt phẳng”, liếc qua chương trình môn toán
hiện đang được áp dụng ở bậc trung học phổ thông (THPT), chúng tôi thấy có một
sự thay đổi quan trọng : nếu như trước kia, các kiến thức về vectơ trong không gian
chỉ được dạy ở lớp 12, sau khi quan hệ vuông góc (giữa các đường thẳng, mặt
phẳng) đã được nghiên cứu ở lớp 11 bằng phương pháp tổng hợp, thì giờ đây,
chương trình quy định sử dụng vectơ ngay từ lớp 11 để nghiên cứu quan hệ này.
Ghi nhận đó càng khiến chúng tôi quan tâm hơn đến vai trò của công cụ vectơ trong
dạy học hình học ở THPT theo chương trình hiện hành. Nó dẫn chúng tôi đến với
việc mở rộng phạm vi nghiên cứu : không chỉ giới hạn trong nội dung HHGT dạy ở
lớp 10 và lớp 12, chúng tôi sẽ xem xét cả vai trò của v ectơ trong việc nghiên cứu
quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ở đây, cần giải thích rõ là trong

phần HHGT dạy ở lớp 12 nội dung này cũng được xem xét, ngay cả theo chương
trình cũ. Vậy cái mới ở đây là gì ? Phải chăng câu trả lời nằm ở chú thích ghi trong
sách giáo viên : “Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không
gian làm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn gàng hơn”. Chúng
tôi sẽ cố gắng làm rõ hơn câu trả lời trong luận văn của mình.
Trong luận văn này chúng tôi dùng thuật ngữ “quan điểm vectơ” với nghĩa xem
vectơ như là công cụ để thiết lập các kiến thức của hình học liên quan đến đường
thẳng và mặt phẳng cũng như những vấn đề liên quan đến chúng mà chương trình
đề cập đến. Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi giới hạn xem xét hai vấn đề :
- Thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng và xét vị trí tương đối giữa
chúng.
- Nghiên cứu quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng trong không
gian.
Cũng do điều kiện hạn chế về thời gian, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu việc dạy
học hình học theo chương trình nâng cao.
2. Điểm qua những công trình có liên quan
Liên quan trực tiếp đến đề tài của chúng tôi, bằng tiếng việt, chúng tôi tìm thấy
luận văn thạc sĩ của Hoàng Hữu Vinh (2002) : nghiên cứu didactic toán về hoạt
động của công cụ vectơ trong hình học lớp 10. Luận văn đã chỉ ra được những ứng
dụng của công cụ vectơ trong việc xây dựng các kiến thức và giải toán hình học,
cho thấy những điểm giống và khác nhau trong cách trình bày của SGK năm 1990
và năm 2000. Đặc biệt, luận văn khẳng định phương pháp sử dụng công cụ vectơ để
giải toán không được khắc sâu trong học sinh như phương pháp tổng hợp. Công cụ
vectơ chỉ luôn sẵn sàng sử dụng ở một số rất ít học sinh. Khi thực hiện các bước
giải toán bằng công cụ vectơ, học sinh còn gặp sai lầm khi biến đổi các biểu thức
vectơ và khó khăn trong việc chọn các phép biến đổi thích hợp để đạt được kết quả.
Luận văn trên chỉ nghiên cứu vectơ trong chương trình và SGK hình học lớp 10 từ
năm 2000 trở về trước. Ở đó, không có HHGT và việc xây dựng quan hệ vuông góc
trong không gian hoàn toàn không sử công cụ vectơ. Vì vậy, chúng tôi tiếp tục
nghiên cứu vai trò của công cụ vectơ trong việc xây dựng các kiến thức và giải toán

HHGT cùng với quan hệ vuông góc trong không gian.
3. Khung lý thuyết tham chiếu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết Didactic toán. Cụ
thể, chúng tôi sử dụng thuyết nhân học với các khái niệm sau:
3.1. Chuyển đổi sư phạm (chuyển đổi didactic)
Trong nhà trường phổ thông, đối với một môn học, người ta không thể dạy cho
học sinh toàn bộ tri thức có liên quan mà nhân loại đã tích luỹ được trong suốt thời
gian tồn tại trên địa cầu. Hơn nữa, để tri thức bộ môn trở nên có thể dạy được, cần
phải chọn lựa, sắp xếp và tái cấu trúc lại nó theo một liên kết lôgic, phục vụ cho một
mục tiêu dạy học xác định. Chuyển đổi didactic, nói một cách đơn giản, là quá trình
biến đổi một đối tượng tri thức bác học thành một đối tượng tri thức dạy học. Việc
quy định các đối tượng cần dạy được thể hiện thông qua chương trình, SGK, đề thi,
tài liệu ôn thi, nhất là Bộ Giáo dục và Đào tạo, các tiểu ban khoa học giáo dục và
các tác giả SGK.
Khái niệm này được vận dụng nhằm xác định khoảng cách giữa tri thức khoa
học và tri thức cần giảng dạy đối với việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt
phẳng, vị trí tương đối và quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phảng. Nó cũng
giúp nghiên cứu tính hợp pháp của tri thức cần giảng dạy và giải thích được một số
ràng buộc của thể chế dạy học ở phổ thông đối với các kiến thức nêu trên.
3.2. Cách đặt vấn đề sinh thái học
Cách đặt vấn đề sinh thái học sẽ giúp làm rõ những điều kiện và ràng buộc cho
phép sự tồn tại và tiến triển của mỗi đối tượng vectơ, đường thẳng và mặt phẳng
cũng như mối liên hệ giữa chúng, bởi vì như Chevallard đã nói: “… Một đối tượng
tri thức O không tồn tại độc lập trong một thể chế mà nó có mối quan hệ trương hỗ
và thứ bậc với các đối tượng khác trong cùng thể chế. Những đối tượng này đặt điều
kiện và ràng buộc cho sự tồn tại của nó trong thể chế. Nói cách khác, các đối tượng
này hợp thành điều kiện sinh thái cho cuộc sống của đối tượng tri thức O trong thể
chế đang xét.”
3.3. Quan hệ thể chế
Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà

thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu, có
vai trò gì, tồn tại ra sao,… trong I?
3.4. Quan hệ cá nhân
Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà
cá nhân X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O,
có thể thao tác O ra sao?
Muốn nghiên cứu R(X,O) ta cần đặt nó trong R(I,O).
3.5. Tổ chức toán học
Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [T,
τ
,
θ
,
Θ
], trong đó T là một kiểu nhiệm vụ,
τ
là kỹ thuật cho phép giải T,
θ
là công
nghệ giải thích cho kỹ thuật
τ
, còn
Θ
là lí thuyết giải thích cho công nghệ
θ
. Một
praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức
toán học (TCTH).
Việc phân tích các TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta làm rõ
mối quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá

nhân X duy trì đối với tri thức O. Nói cách khác, nó giúp chúng tôi bổ sung cho
phần trả lời cho câu hỏi Q’2
4. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu – phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của
luận văn
Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, câu hỏi xuất
phát Q’2 được cụ thể hóa thành những câu hỏi sau:
Q1. Từ cách tiếp cận sinh thái học, trong thể chế dạy học hình học ở phổ thông,
vectơ được đưa vào ở thời điểm nào, nhằm mục đích gì? Nó có quan hệ như thế
nào với những vấn đề khác của chương trình, đặc biệt là với các nội dung về
đường thẳng và mặt phẳng?
Q2. Phương trình đường thẳng, mặt phẳng đã được thiết lập như thế nào trong SGK
hình học nâng cao lớp 10 và lớp 12 ? Sự chuyển đổi didactic nào đã được thực
hiện trong việc thiết lập đó? Đâu là đặc trưng của quan hệ thể chế đối với công
cụ vectơ trong nghiên cứu phương trình đường thẳng, mặt phẳng?
Q3. SGK Hình học 11 nâng cao đưa khái niệm quan hệ vuông góc trong không gian
vào như thế nào? Công cụ vectơ được khai thác ra sao trong việc thiết lập các
kiến thức thuộc phạm vi chương trình về quan hệ vuông góc?
Để phân tích chương trình, đặc biệt là SGK, việc nghiên cứu khoa học luận về
các đối tượng đường thẳng, mặt phẳng là cần thiết. Thế nhưng, trong điều kiện của
chúng tôi một nghiên cứu tri thức luận đầy đủ được thực hiện thông qua phân tích
lịch sử hình thành tri thức (nhằm làm rõ lý do nảy sinh tri thức, bài toán mà nó cho
phép giải quyết, những vấn đề, những quan niệm gắn liền với nó, …) là không thể.
Vì thế, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu đặc trưng khoa học luận của tri thức mà chúng
tôi quan tâm qua việc phân tích một giáo trình đại học . Cách làm này vẫn thường
được thừa nhận trong nhiều công trình của didactic toán, với giả thuyết rằng tri thức
trình bày ở bậc đại học thường khá gần với tri thức bác học. Chúng tôi đặt ra cho
mình một câu hỏi cần phải trả lời trước khi xem xét các câu hỏi Q1, Q2, Q3.
Q0. Quá trình xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng đã được tiến hành
như thế nào ở bậc đại học? Quan điểm vectơ đã được thể hiện ra sao trong việc
xây dựng đó?

Câu hỏi này là một sự cụ thể hóa của câu hỏi Q’1 mà chúng tôi đặt ra từ đầu khi
bắt đầu quan tâm đến chủ đề nghiên cứu của luận văn. Chúng tôi sẽ phân tích một
giáo trình đại học để tìm câu trả lời cho Q0. Phân tích này sẽ được trình bày trong
chương đầu tiên của luận văn. Qua phân tích đó, chúng tôi sẽ làm rõ cách xây dựng
phương trình đường thẳng, mặt phẳng và vị trí tương đối của chúng. Chúng tôi sẽ cố
gắng đánh giá vai trò của vectơ trong việc tiếp cận phương trình đường thẳng, mặt
phẳng; làm rõ những đặc trưng của đối tượng vectơ với tư cách là công cụ của
HHGT. Phân tích này sẽ được thực hiện từ góc độ chuyển đổi sư phạm (chuyển đổi
didactique). Ngoài ra, để làm nổi bật thấy rõ vị trí của vectơ trong việc thiết lập
phương trình đường thẳng, mặt phẳng , chúng tôi sẽ điểm lại vài nét lịch sử xây
dựng phương trình đường thẳng, cụ thể là cách xây dựng của Fermat.
Chương tiếp theo (chương 2) dành cho một nghiên cứu thể chế, nhằm mục đích
trả lời cho các câu hỏi Q1, Q2, Q3. Trong chương này chúng tôi phân tích chương
trình và SGK Toán phổ thông của Việt Nam để thấy được vai trò của công cụ vectơ
cũng như các đặc trưng của nó trong nghiên cứu phương trình và mối quan hệ
vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng. Phân tích SGK lớp 10 và lớp 12 ban nâng
cao hiện hành để làm rõ sự chuyển hóa sư phạm đã được thực hiện trong việc thiết
lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng. Phân tích SGK lớp 11 ban nâng cao hiện
hành để nghiên cứu thêm vai trò của vectơ trong việc thiết lập các kiến thức và giải
bài tập về quan hệ vuông góc trong không gian.
Để thấy rõ đặc trưng của quan hệ thể chế mà chúng tôi quan tâm, chúng tôi sẽ
đặt phân tích chương trình, SGK trong sự so sánh với một thể chế khác. Giả thuyết
công việc được chúng tôi thừa nhận ở đây là : việc so sánh thể chế này với thể chế
kia sẽ cho phép làm nổi rõ những đặc trưng, những điều kiện, những ràng buộc của
mối quan hệ được hình thành trong từng thể chế đối với đối tượng tri thức được
xem xét. Thể chế mà chúng tôi chọn để đối chiếu ở đây là thể chế dạy học Hình học
ở THPT của Mỹ theo chương trình hiện hành. Như thế, trước khi phân tích các SGK
Việt nam, chúng tôi sẽ nghiên cứu một cuốn SGK của Mỹ.
Nghiên cứu trình bày ở chương 2 sẽ giúp chúng tôi đưa ra những giả thuyết liên
quan đến câu hỏi Q4, cũng là một phần câu hỏi Q’2 mà chúng tôi đặt ra lúc đầu.

Q4. Cách trình bày của SGK có ảnh hưởng gì đến việc học của học sinh về phương
trình đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ vuông góc trong không gian?
Giả thuyết này cần phải được kiểm chứng bằng một nghiên cứu thực nghiệm.
Chương cuối cùng (chương 3) của luận văn dành cho việc trình bày những kết quả
đạt được từ nghiên cứu này.
Phương pháp luận nghiên cứu và cấu trúc của luận văn được chúng tôi tóm tắt
bằng sơ đồ dưới đây.
NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN
NGHIÊN CỨU
THỂ CHẾ
(tham khảo)
NGHIÊN CỨU
THỂ CHẾ
Quan điểm so sánh
Giả thuyết về ảnh hưởng của thể chế
NGHIÊN CỨU
THỰC NGHIỆM
Chương 1
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG :
MỘT ĐIỀU TRA TRI THỨC LUẬN

1.1. Vài nét về lịch sử xây dựng phương trình đường thẳng
1.1.1. Apollonius de Pergue là người đầu tiên đưa ra một “phương trình” của một
đường thẳng nhưng chỉ dưới hình thức “tu từ” không tượng trưng. Ông cho rằng
nếu tọa độ x và y của một điểm M có tỉ lệ cho trước y = ax, hoặc nếu x tăng một
hằng số và có một tỉ lệ cho trước đối với y, y = a(x + b), thì quỹ tích những điểm M
nằm trên một đường thẳng.
1.1.2. Fermat là người đầu tiên đã đưa ra, dưới hình thức tượng trưng, phương trình
biểu diễn đường thẳng trong mặt phẳng. Ông xuất phát từ việc cho trước một
phương trình và đi xác định quỹ tích của những điểm liên kết với nó.

Bằng việc sử dụng sự đồng dạng của các tam giác Fermat chỉ ra rằng :
Nếu phương trình là ax = by (a và b là những hằng số ), quỹ tích là một đường
thẳng và nếu phương trình là c
2
– ax = b, quỹ tích vẫn là một đường thẳng.
Chứng minh của Fermat như sau :
y
x
I
M
Z
N

Hình 1.
Cho NZM là một đường t hẳng, N là một điểm cố định. Cho NZ một đại lượng
bất định x và ZI một đại lượng bất định khác là y.
Nếu ax = by, điểm I vạch một đường thẳng xác định.
Thật vậy, ta có
bx
=
ay
, bởi vậy
x
y
được cho, cũng như góc tại Z. Tam giác NIZ
được xác định. Vì điểm N và vị trí của đường thẳng NZ được cho nên vị trí của
đường thẳng NI được xác định.
Tiếp theo, Fermat nói rằng chúng ta có thể đưa phương trình ax = by về dạng
y = ax + b mà a và b không cùng âm – một tọa độ âm Fermat không muốn nói tới.
Để chứng minh điều đó, ông lấy ví dụ phương trình c

2
– ax = by, viết c
2
dưới
dạng ad và nhận được phương trình
b dx
=
ay
−
. Bằng cách đặt MN = d, d – x chỉ là
MZ, từ đó, ông nhận được một giá trị cố định cho tỉ lệ
MZ

ZT
và ông kết luận chúng,
như một sự chứng minh đầu tiên, rằng điểm I nằm trên một đường thẳng cố định.
Từ phương trình đường thẳng, Fermat đánh giá rằng chúng ta có thể tìm thấy tất
cả những quỹ tích của những đường thẳng mà những mệnh đề của Apollonius đã
chỉ ra là một trường hợp.
Nhưng, sau khi chứng minh phương trình xy = a
2
biểu diễn một hyperbol và
tổng quát kết quả này với tất cả phương trình chứa một số hạng x, một số hạng y,
một số hạng xy và một hằng số, ông đi đến phương trình đường thẳng . Fermat
khẳng định rằng quỹ tích của tất cả những phương trình được tạo thành duy nhất bởi
những số hạng x
2
, y
2
và xy, không có số hạng hằng số, là một đường thẳng.

Để chứng minh kết quả này, ông lấy trường hợp một phương trình dạng x
2
+ xy
= ay
2
và dẫn đến như sau :
Nếu tỉ số
2
2
NZ + NZ.ZI

ZI
được cho và vẽ bất cứ đường song song OR nào, dễ
dàng chứng minh rằng
2
2
NO + NO.OR

OR
có cùng giá trị với tỉ lệ cho trước. Điểm I sẽ
ở trên một đường thẳng có vị trí xác định.
Bây giờ chúng ta có thể nói rằng điều mà Fermat đã chứng minh, đó chính là tất
cả những phần tử của đường thẳng NI xác định cùng một phương trình.
R
Z
N
O
I

Hình 2.

Theo đánh giá của những nhà nghiên cứu, Fermat, trong quá trình liên kết giữa
phương trình và đường thẳng và tổng quát giữa phương trình và quỹ tích đã gặp hai
khó khăn sau :
Thứ nhất, gắn liền với sự tượng trưng hóa được sử dụng, chính việc không có
duy nhất một cách viết phương trình của một quỹ tích – ở đây là đường thẳng – hay
tất cả các phương trình của cùng một bậc – bậc hai chẳng hạn. Điều đó dẫn đến
những chữ chỉ biểu diễn những số dương, vì vậy không có một cách viết nào tính
đến đồng thời hai phương trình ax – c = by và ax + c = by bởi vì +c và –c không
phải cùng một thứ như nhau.
Khó khăn thứ hai, chính sự lập luận hình học trên các hình chỉ cho phép giải
quyết những trường hợp đặc biệt. Sự lập luận này không thể tổng quát cho tất cả các
trường hợp hình vẽ. Fermat chỉ giải quyết mỗi lần một trường hợp đặc biệt và kết
luận rằng chúng ta có thể làm tương tự cho những trường hợp khác. Tuy nhiên, nếu
chúng ta thay đổi trường hợp, cần phải thay đổi hình vẽ.
Cũng theo các nhà nghiên cứu, trong trường hợp của Fermat, sự thiếu vắng các
trục cho trước làm phức tạp nhiều cho bài toán…
Fermat xuất phát từ một phương trình, xem xét một điểm nào đó mà ông giả sử
xác định phương trình này – bất kì một điểm có thể được xem như xác định tiên
nghiệm một phương trình cho trước vì không có trục cho trước và phương trình
được xem xét có tất cả các nghiệm – và vì vậy chỉ ra rằng tất cả các điểm nằm trên
một quỹ tích nào đó xác định cùng một phương trình.
Để xác định quỹ tích của những điểm liên kết với một phương trình, không chỉ
cần phải chứng minh rằng tất cả những điểm của một đường cong xác định cùng
một phương trình, như Fermat đã làm ở đây mà còn phải chứng minh rằng đó là
những điểm duy nhất xác định phương trình này.
Ở đây, chúng ta đụng đến quan niệm về khái niệm số ở Fermat – những số âm
thì không được xem xét, ông chỉ quan tâm đến những đường cong nằm trong góc
phần tư thứ nhất (x
≥
0 và y

≥
0) – việc xem xét lập luận về tỉ lệ trên hình 1 và 2
cho phép chứng minh rằng những đường thẳng đối xứng với đường thẳng NI qua
đường thẳng NZ xác định cùng phương trình với NI.
Nhưng, sự trình bày của Fermat lại khác. Trong đó, ông xuất phát từ việc cho
trước một phương trình và ông xác định quỹ tích hình học tương ứng. Điều này dẫn
ông đến chứng minh rằng những phương trình không cần thiết được viết theo cùng
một cách, có thể được rút lại thành những đường này hay những đường khác, nghĩa
là người ta có thể đi từ đường này sang đường kia bằng một “sự thay đổi biến” –
thay đổi tọa độ. Từ những phương trình như vậy xác định cùng một quỹ tích và
trong trường hợp đó chúng ta có thể rút ra những cách viết khác nhau của những
phương trình này để dạng của chúng là đơn giản nhất (chứa ít số hạng nhất có thể).
Thật vậy, chẳng hạn phương trình c + xy = ax + by được rút lại thành dạng xy = d
và phương trình c
2
– 2ax – x
2
= y
2
+ 2by được rút lại thành dạng d
2
– x
2
= y
2
.
Nhưng sự biến đổi này – thay đổi tọa độ – chỉ cho phép so sánh những phương
trình có cùng bậc, nó không cho phép thay đổi bậc của một phương trình. Đó chính
là lí do Fermat đưa phương trình c – ax = by về phương trìn h ax = by nhưng không
liên hệ được với những phương trình mà ông cho rằng chúng được biểu diễn bởi

những đường thẳng như x
2
= y
2
hay x
2
+ axy = by
2
.
1.1.3. Với sự phát triển của những phương pháp giải tích cuối thế kỷ XVII và đầu
thế kỷ XVIII những khó khăn mà Fermat gặp phải đã được giảm bớt. Sự áp dụng hệ
trục tọa độ không phụ thuộc vào mỗi hình vẽ được nghiên cứu và việc xem xét tọa
độ âm cho phép đồng thời xây dựng đường cong từ phương trình của nó và xác định
phương trình của một đường cong cho trước. Vì vậy, có thể nói đến phương trình
hoặc những phương trình của một đường.
Theo Glaeser (86), loại phương trình đường thẳng đầu tiên được đề cập trong
tác phẩm của Lagrange xuất hiện năm 1770. Glaeser thêm rằng trong hai SGK xuất
hiện trong cùng năm đó, một của hầu tước L’Hospital và một của Marie-Gaetana
Agnesi, các tác giả đưa ra ba phương trình đường thẳng:
y = ax + b, y = – ax + b, y = ax – b.
Phương trình y = – ax – b không được đề cập vì đường thẳng liên kết với nó
không đi qua góc phần từ thứ nhất.
Cuối thế kỷ XVIII, những phương pháp xử lí giải tích của những đường cong
trong mặt phẳng hay không gian đã phát triển đầy đủ để được trình bày trong nhiều
SGK và trong cả chương trình phổ thông.
1.1.4. Phương pháp xử lí giải tích đã khắc phục những khó khăn của cách xây dựng
phương trình đường thẳng bằng hình học của Fermat cũng như những yếu điểm
khác của phương pháp tổng hợp. “Tuy nhiên, do đã chuyển bài toán hình học thành
bài toán đại số, với phương pháp giải tích người ta hoàn toàn thoát khỏi phạ m vi
hình học, và do đó mà không tận dụng được yếu tố trực giác trong quá trình tìm tòi

lời giải bài toán…”. Từ đó, “ý tưởng xây dựng một phương pháp mới để nghiên cứu
hình học sao cho có thể sử dụng các phương tiện của đại số nhưng vẫn ở lại trong
phạm vi hình học” (Lê Thị Hoài Châu, Phương pháp dạy – học Hình học) đã được
Leibniz khởi xướng. Khuynh hướng này đã dẫn đến các nhà toán học xây dựng nên
lý thuyết về không gian vectơ vào thế kỷ XIX. Cho đến lúc này, tồn tại ít nhất là ba
phương pháp để tiếp cận hình học sơ cấp : phương pháp tổng hợp, phương pháp giải
tích và phương pháp vectơ. Hai phương pháp sau đều nhằm mục đích đại số hóa
hình học, tận dụng sức mạnh của đại số trong việc giải quyết các vấn đề của hình
học. Nhưng bản chất của chúng không giống nhau. Trong lịch sử, lý thuyết vectơ và
HHGT được xây dựng độc lập với nhau. Tuy nhiên, sự ra đời của lý thuyết vectơ đã
làm cho việc nghiên cứu HHGT trở nên dễ dàng hơn , bởi vì, như tác giả Lê Thị
Hoài Châu (1997) đã phân tích, bằng cách đặt các vectơ vào một hệ tọa độ, người ta
đã tạo ra sự liên thông giữa hai phương pháp vectơ và giải tích . Chính vì thế mà
các giáo trình toán ngày nay đều xây dựng HHGT trên cơ sở một không gian vectơ.
Dưới đây chúng tôi chọn một giáo trình đại học để phân tích chi tiết nhận định
này. Đó là giáo trình Hình học cao cấp của Nguyễn Mộng Hy, NXBGD, 2007. Phân
tích của chúng tôi nhằm mục đích tìm câu trả lời cho câu hỏi Q0. Cụ thể hơn, chúng
tôi sẽ tìm hiểu vai trò của vectơ trong việc :
- xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng,
- nghiên cứu quan hệ vuông góc và vị trí tương đối giữa chúng.
Hai phần tiếp theo của chương dành cho việc phân tích vai trò của vectơ đối với hai
nội dung này.
1.2. Về phương trình đường thẳng và mặt phẳng
1.2.1. Đường thẳng, mặt phẳng trong không gian afin
Đường thẳng, mặt phẳng là những m – phẳng đặc biệt. Trong các lý thuyết Hình
học, phương trình tham số v à phương trình tổng quát của m – phẳng được tiếp cận
từ không gian vectơ của đại số tuyến tính.
Cho tập A khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm, cho V là một không gian vectơ trên
trường K và cho ánh xạ f : A x A
→

V được kí hiệu là
f(M, N) =
MN

với các điểm M, N thuộc A và vectơ
MN

thuộc V.
Bộ ba (A, f, V) gọi là không gian afin nếu hai tiên đề sau đây được thỏa mãn:
i) Với mọi điểm M thuộc A và mọi vectơ
u

thuộc V có duy nhất điểm N thuộc A sao cho
MN

=
u

.
ii) Với mọi ba điểm M, N, P thuộc A ta luôn có
MN

+
NP

=
MP

.
Khi đó ta nói rằng không gian afin (A, f, V) liên kết với không gian vectơ V trên trường K và

được gọi tắt là không gian afin A trên trường K. Không gian vectơ liên kết V còn được kí hiệu
là
A

, được gọi là nền của không gian afin A. (trang 5)
Vì không gian afin được xây dựng từ không gian vectơ nên các khái niệm sau
đó cũng được hình thành từ vectơ. Chẳng hạn, mỗi hệ điểm độc lập gắn với một hệ
vectơ độc lập tuyến tính. Mỗi mục tiêu afin liên kết với một cơ sở của không gian
vectơ và theo đó, tọa độ của mỗi điểm tương ứng với tọa độ của vectơ và phụ thuộc
vào mục tiêu afin cho trước, tức phụ thuộc vào cơ sở của không gian vectơ liên kết.
Cũng trong mối liên hệ đó, cái phẳng trong không gian afin được định nghĩa
qua khái niệm không gian vectơ con. Phương của cái phẳng chính là không gian
vectơ con.
Cho không gian afin A

liên kết với không gian vectơ
A

. Gọi I là một điểm thuộc A và
α

là
một không gian con của
A

. Khi đó tập hợp những điểm M thuộc A sao cho
IM
  
thuộc
α



được gọi là cái phẳng afin
α
đi qua điểm I và có phương là
α


{ }
α M | IM α
=∈∈
A
   
.
Nếu
α

có số chiều bằng m thì
α
gọi là cái phẳng m chiều (được gọi tắt là phẳng m chiều) hay
còn gọi là m – phẳng.
Như vậy, 0 – phẳng chính là điểm, 1 – phẳng là đường thẳng, 2 – phẳng là mặt phẳng còn n –
phẳng của không gian afin n chiều A
n
chính là A
n
. Nếu dimA = n thì
(n – 1) – phẳng còn được gọi là siêu phẳng của không gian đó. (trang 12)
Trong cách xây dựng này, phương trình tham số của m – phẳng được xây dựng
dựa vào tính chất của không gian vectơ. Một m – phẳng hoàn toàn được xác định

qua phương trình tham số (ma trận lập được từ các hệ số của phương trình có hạng
bằng m).
Trong A
n
cho m – phẳng A
m
xác định bởi m + 1 điểm độc lập
A
0
, A
1
,…, A
m
.
Giả sử đối với mục tiêu {E
0
; E
i
} cho trước, các điểm A
i
có tọa độ là
A
i
= (a
i1
, a
i2
,…, a
in
) với i = 0, 1, 2,…, m.

X(x
1
, x
2
,…, x
n
)
∈
A
m

⇔

m
0
AX∈V



⇔

0 101 202 m0m
AX tAA tAA t AA= + ++
   

Với t
1
, t
2
,…, t

m
thuộc trường K.
Ta có phương trình tham số của m – phẳng A
m
dưới dạng ma trận là :
[x] = [a
0
] + t
1
([a
1
] – [a
0
]) + t
2
([a
2
] – [a
0
]) + … + t
m
[a
m
] – [a
0
])
Nếu viết dưới dạng tạo độ ta có n phương trình sau:
x
i
= a

0i

+ t
1
(a
1i
– a
0i
) + t
12
a
2i
– a
0i
) + … + t
m
(a
mi
– a
0i
) với i = 1, 2,…, n. (trang 14)
Điều kiện quan trọng trong cách xây dựng trên là m – phẳng được xác định bởi
m + 1 điểm A
0
, A
1
,…, A
m
độc lập, tức là hệ m vectơ {
0i

AA

, i = 1,2,…, m} độc lập
tuyến tính.
Phương trình tổng quát của m – phẳng được suy trực tiếp từ phương trình tham
số bằng cách khử dần các tham số. Mỗi m – phẳng trong không gian afin A
n
được
biểu thị bằng một hệ phương trình tuyến tính với các biến x
1
, x
2
,…, x
n
và có hạng
bằng n – m. Phương trình đó được gọi là p hương trình tổng quát của m – phẳng.
Ngược lại, mỗi hệ phương trình với các biến x
1
, x
2
,…, x
n
và có hạng bằng n – m
đều biểu thị một m – phẳng hoàn toàn xác định của A
n
. Với cách xây dựng và định
nghĩa này ta có thể giải thích được vì sao phương trình tổng quát của đường thẳng
trong mặt phẳng chỉ có một phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn nhưng trong
không gian thì có hai phương trình tuyến tính bậc nhất ba ẩn.
Mỗi siêu phẳng trong A

n
(ứng với m = n – 1) có phương trình tổng quát dạng:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ … + a
n
x
n
+ b = 0
trong đó hạng của ma trận (a
1
, a
2
,…, a
n
) bằng 1, tức là có ít nhất một a
i

≠
0. Trong
không gian afin không có khái niệm vectơ pháp tuyến vì không xét đến quan hệ
vuông góc.
Xét trường hợp n = 2 và n = 3.
Với n = 2, 1 – phẳng là đường thẳng và cũng chính là siêu phẳng. Khi đó, theo

những gì trình bày ở trên, phương trình tham số và phương trình tổng quát của
đường thẳng được xây dựng như sau:
Giả sử đường thẳng d xác định bởi hai điểm độc lập A, B có tọa độ là A(a
1
; a
2
) và B(b
1
; b
2
).
Khi đó:
Điểm M(x; y)
∈
d
⇔

AX tAB=
 
, t
∈

.
AB

gọi là phương của đường thẳng d.
Ta có phương trình tham số của d là :
1 11
2 22
()

()
x a tb a
y a tb a
=+−


=+−

.
Khử tham số t trong phương trình tham số ta có phương trình tổng quát của d.

Với n = 3, 1 – phẳng là đường thẳng và 2 – phẳng là mặt phẳng và cũng chính
là siêu phẳng. Khi đó phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường
thẳng và mặt phẳng được xây dựng hoàn toàn như trường hợp n = 2. Chỉ khác là
phương trình tổng quát của đường thẳng được tạo bởi từ hai phương trình tuyến tính
bậc nhất ba ẩn.
Như vậy, vectơ với vai trò công cụ trong việc thiết lập phương trình m – phẳng
được sử dụng theo tinh thần của đại số tuyến tính.
1.2.2. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Ơclit
Không gian ơclit là một loại không gian afin liên kết với không gian vectơ ơclit hữu hạn chiều.
Các định nghĩa có liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ :
1)
a

.
b

= |
a


|.|
b

|cos(

a,b

)
2) |
a

|
2
=
a

2

⇒
|
a

| =
2
a


3)
a


⊥
b


⇔

a

.
b

= 0. (trang 87)
Không gian ơclit ba chiều thông thường được học trong chương trình toán ở bậc
phổ thông được kí hiệu là E
3
. Trong không gian này, mặt phẳng ơclit là không gian
ơclit hai chiều và được kí hiệu là E
2
. Các không gian
3
E
 
và
2
E
 
là không gian các
vectơ tự do ba chiều và hai chiều. Tích vô hướng trong không gian
3
E

 
và
2
E
 
được
định nghĩa như sau:
a

.
b

= |
a

|.|
b

|cos(

a,b

)
Vì không gian ơclit là một loại không gian afin nên trong không gian ơclit các
phẳng cũng có phương trình và tính chất giống như trong không gian afin. Cái mới
trong không gian ơclit gắn liền với tích vô hướng chính là sự vuông góc của các
phẳng. Nhờ có quan hệ vuông góc này mà phương trình các phẳng có thể lập được
theo một cách khác, thông qua vectơ pháp tuyến của nó.
Giáo trình của tác giả Nguyễn Mộng Hy trình bày vấn đề này ra sao ?
Trong E

n
giả sử đối với mục tiêu trực chuẩn cho trước siêu phẳng
α
có phương trình
a
1
x
1
+ a
2
x
2

+ … + a
n
x
n
+ a
0
= 0.
Gọi
α

là phương của siêu phẳng
α
. Ta xét vectơ
( )
12 n
n= a , a , , a


và nhận thấy rằng
n


trực giao với
α

(…). Ta gọi
n

là vectơ pháp tuyến của siêu phẳng
α
. (trang 98)
Vectơ pháp tuyến được định nghĩa trực tiếp từ phương trình của siêu phẳng. Từ
định này có thể suy ra rằng vectơ pháp tuyến là vectơ trực giao với phương của
phẳng, tức là trực giao với bất kì vectơ nào thuộc phương của phẳng đó. Từ đó suy
ra, vectơ pháp tuyến của đường thẳng là vectơ vuông góc với một vectơ chỉ phương
của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ vuông góc với hai
vectơ chỉ phương độc lập tuyến tính (không cùng phương) của mặt phẳng.
Với n = 2, 3 tương ứng ta có phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt
phẳng và phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian như sau:
a
1
x
1
+ a
2
x
2

+ a
0
= 0 vectơ pháp tuyến là
( )
12
;n aa=


a
1
x
1
+ a
2
x
2

+ a
3
x
3
+ a
0
= 0 vectơ pháp tuyến là
( )
123
;;n aaa=

.
Giáo trình không đưa ra cách vi ết phương trình siêu phẳng dựa vào vectơ pháp

tuyến – nếu biết siêu phẳng có một vectơ pháp tuyến và đi qua một điểm có tọa độ
cho trước thì phương trình của siêu phẳng đó được viết như thế nào ? Tuy nhiên vấn
đề này được giải quyết ở phần bài tập. Chẳng hạn, bài tập 2.24 trang 139 với lời giải
trong sách bài tập Hình học cao cấp của cùng tác giả trang 162:
Trong E
3
tìm điểm đối xứng của điểm (1, 2, 3) đối với
a) (…)
b) đường thẳng
2
13
1
84
3
x
xx
−
−= =− +
.
Giải:
b) Gọi
∆
là đường thẳng đã cho có phương trình:

3
2
1
4
1
8

31
x
x
x
−
−
−= =
−

Đường thẳng này có vectơ chỉ phương
(1, 3, 1)a = −

.
Mặt phẳng R đi qua M(1, 2, 3) và vuông góc với đường thẳng
∆
nên có phương trình dạng:

1 23
30x xxb+ − +=
.
Vì M
∈
R nên ta có: 1 + 6 – 3 + b = 0
⇒
b = - 4.
Vậy mặt phẳng R có phương trình là:
1 23
3 40x xx+ − −=
.
1.2.3. Kết luận : hai cách tiếp cận để giải quyết bài toán lập phương trình

đường thẳng, mặt phẳng
Phân tích trên cho thấy có hai cách tiếp cận phương trình m – phẳng : tiếp cận
đại số và tiếp cận hình học.
• Tiếp cận đại số
Trong không gian A
n
, phương trình tham số của m – phẳng là một hệ m phương
trình tuyến tính n ẩn x
1
, x
2
,…, x
n
, trong đó ma trận lập được từ các hệ số của
phương trình có hạng bằng m. Phương của m – phẳng là một không gian vectơ con
m chiều của không gian
n
A
 
. Phương trình tham số được thiết lập dựa vào tính chất
của không gian vectơ con. Phương trình tổng quát của m – phẳng được suy trực tiếp
từ phương trình tham số bằng cách khử dần các tham số. Mỗi m – phẳng được biểu
thị bằng một hệ phương trình tuyến tính với các biến x
1
, x
2
,…, x
n
và có hạng bằng n
– m.

Trong cách tiếp cận này, đại số tuyến tính đóng vai trò chính trong việc xác định
phương và chiều của cái phẳng. Khái niệm vectơ được sử dụng trong đại số tuyến
tính với nghĩa tổng quát của khái niệm không gian vectơ - các vectơ hình học chỉ là
một trường hợp đặc biệt của nó.
• Tiếp cận hình học
Cách tiếp cận này chỉ được thực hiện trong không gian ơclit hai chiều và ba
chiều của ình học ơclit. Ở đó phương của đường thẳng và mặt phẳng được định
nghĩa dựa vào đặc trưng định phương của vectơ hình học . Cách thiết lập phương
trình của đường thẳng và mặt phẳng dựa vào điều kiện cùng phương hoặc điều kiện
trực giao của hai vectơ.
Theo cách tiếp cận này, tính chất trực quan của vectơ hình học đóng vai trò
chính trong việc xác định phương của đường thẳng, mặt phẳng. Tuy nhiên, khi viết
phương trình thì người ta hoàn toàn tính toán đại số trên toạ độ.
Như vậy, về phương trình đường thẳng và mặt phẳng có ít nhất là hai cách
chuyển đổi didactique có thể vận dụng trong dạy học hình học ở bậc phổ thông,
một theo cách tiếp cận đại số và một theo cách tiếp cận hình học. Cụ thể
a) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng:
- Tiếp cận hình học: Phương trình đư ờng thẳng được lập bằng phương pháp
vectơ (sử dụng vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến).
- Tiếp cận đại số: Lấy kết quả thu được trong đại số tuyến tính, thừa nhận
phương trình siêu phẳng (n – 1) – phẳng là phương trình bậc nhất n ẩn:
a
1
x
1
+ a
2
x
2

+ … + a
n
x
n
+ a
0
= 0.
Khi đó, với n = 2, siêu phẳng là đường thẳng với phương trình có dạng:
ax + by + c = 0.
Như vậy, phương trình đ ường thẳng được lập bằng phương pháp đại số - từ một
phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Phương trình mặt phẳng
- Tiếp cận hình học: Phương trình mặt phẳng được lập bằng phương pháp vectơ
(sử dụng vectơ pháp tuyến).
- Tiếp cận đại số: Phương trình mặt phẳng được lập bằng phương pháp đại số -
từ một phương trình bậc nhất ba ẩn: ax + by + cz + d = 0.
c) Phương trình đường thẳng trong không gian
- Tiếp cận hình học: Phương trình đường thẳng được lập bằng phương pháp
vectơ (sử dụng vectơ chỉ phương)
- Tiếp cận đại số: Phương trình đường thẳng được lập bằng phương pháp đại số
- từ một hệ hai phương trình bậc nhất ba ẩn:
1111
2222
0
0
ax by cz d
ax by cz d
+ + +=



+ + +=

.
Nhận xét: Với cách tiếp cận đại số thì không thể thiết lập được phương trình
tham số của đường thẳng và mặt phẳng mà chỉ có thể chuyển từ phương trình tổng
quát sang phương trình tham số.
1.3. Về vị trí tương đối gữa đường thẳng và mặt phẳng
Vị trí tương đối giữa các phẳng trong không gian afin và không gian ơclit được
định nghĩa như sau :
Trong không gian afin A
n
cho p – phẳng A
p
có phương là V
p
và q – phẳng A
q
có phương là V
q
.
Ta giả sử p
≤
q. Căn cứ vào phương chung V
p

∩
V
q
và điểm chung A
p

∩
A
q
ta có vị trí
tương đối của hai cái phẳng đó như sau :
a) Nếu V
p

∩
V
q
= {
0

} :
• và nếu A
p

∩
A
q

≠∅
thì A
p
, A
q
có một điểm chung duy nhất.
• và nếu A

p

∩
A
q
=
∅
thì A
p
, A
q
gọi là chéo nhau (hoàn toàn).
b) V
p

∩
V
q
= V
r
với r > 0, khi đó ta nói rằng hai cái phẳng A
p
, A
q
có phương chung
(hay A
p
cùng phương với A
q
).

• Nếu r < p và nếu A
p

∩
A
q

≠∅
ta có giao của chúng là một r – phẳng có
phương V
r
.
• Nếu r < p và nếu A
p

∩
A
q
=
∅
ta nói rằng A
p
, A
q
không có điểm chung và có
phương chung (có thể xem chúng chéo nhau không hoàn toàn).
• Nếu r = p tức V
p

⊂

V
q
ta nói rằng A
p
cùng phương với A
q
và nếu A
p

∩
A
q

≠∅

ta nói rằng A
p
bị chứa trong A
q
(A
p

⊂
A
q
) còn nếu A
p

∩
A

q
=
∅
ta nói A
p
song
song với A
q
và nếu p = q ta nói A
p
và A
q
song song với nhau. (trang 19)
Trong không gian ơclit còn có thêm quan hệ vuông góc được định nghĩa:
Trong không gian ơclit n chiều E
n
cho phẳng
α
có phương
α

và phẳng
β
có phương
β

.
• Hai phẳng
α
và

β
gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu
α
⊥
β
nếu hai không gian
vectơ
α

và
β

trực giao với nhau (mọi vectơ thuộc
α

đều trực giao với mọi vectơ
thuộc
β

).
• Hai phẳng
α
và
β
gọi là bù vuông góc với nhau nếu
α

và
β


bù trực giao với nhau
trong
n
E

nghĩa là
α

⊕
β

=
n
E

(dim
α

+ dim
β

= n). (trang 93)
Với các định nghĩa trên, trong không gian ơclit 3 chiều E
3
ta không có khái
niệm chéo nhau không hoàn toàn và hai mặt phẳng vuông góc. Khái niệm vuông
góc của hai mặt phẳng trong E
3
dùng ở trường phổ thông không thỏa mãn định
nghĩa ở trên về sự vuông góc của hai cái phẳng. Đó là sự vuông góc không hoàn

toàn. Khái niệm vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng ở phổ thông chính là sự
bù vuông góc theo định nghĩa trên.
1.4. Kết luận
1.4.1.Về vai trò của vectơ trong việc tiếp cận phương trình đường thẳng, mặt
phẳng
- Cách xây dựng phương trình đường thẳng bằng hình học của Fermat đã gặp
nhiều khó khăn và chưa giải quyết triệt để. Điểm cơ bản nhất trong phương pháp
của Fermat là việc gán một phương trình (đại số) bởi một đường.
- Với phương pháp giải tích khi nghiên cứu hình học chúng ta hoàn toàn thoát
khỏi phạm vi hình học, và do đó mà không tận dụng được yếu tố trực giác trong quá
trình tìm tòi lời giải bài toán.
- Với sự xuất hiện của vectơ những khó khăn và điểm yếu trên đã được giải
quyết. Việc nghiên cứu hình học có thể sử dụng các phương tiện của đại số nhưng
vẫn ở lại trong phạm vi hình học. Phương trình đường thẳng, mặt phẳng được tiếp
cận hoàn toàn dựa vào không gian vectơ.
Như vậy, vectơ đã đóng một vai trò công cụ tối quan trọng trong việc nghiên
cứu hình học giải tích mà cụ thể ở đây đó là phương trình đường thẳng, mặt phẳng.
1.4.2. Về đặc trưng của đối tượng vectơ và cách tiếp cận phương trình đường
thẳng, mặt phẳng
- Vectơ là một phần tử của không gian vectơ thỏa mãn các tiên đề của không
gian afin hay không gian ơclit.
- Phương trình m – phẳng được tiếp cận theo tinh thần của đại số tuyến tính.
Việc thiết lập nó và các vấn đề liên quan hầu hết đều phải sử dụng tọa độ. Chính vì
thế mà các đặc trưng định hướng (phương và chiều) và đặc trưng độ dài của vectơ
tự do là không được thể hiện trong việc xây dựng phương trình của m – phẳng.
Ngoài ra, đặc trưng định phương và đặc trưng độ dài của vectơ tự do cũng hoàn
toàn không được sử dụng trong vấn đề xét vị trí trương đối của các phẳng và quan
hệ vuông góc giữa chúng. Công cụ vectơ để thiết lập phương trình đường thẳng,
mặt phẳng và xét vị trí tương đối của chúng ở cấp độ tri thức khoa học hoàn toàn
được thể hiện theo tinh thần vectơ của đại số tuyến tính.

- Tuy nhiên, khi xét trong không ơclit hai chiều và ba chiều thì phương trình
của đường thẳng và mặt mặt còn có thể được tiếp cận bằng hình học. Ở đó, đặc
trưng định phương của vectơ hình học được thể hiện.
- Có hai cách trình bày phương trình đường thẳng, mặt phẳng :
+ Bằng phương pháp vectơ
+ Bằng phương pháp đại số
Chương 2
VECTƠ VỚI VAI TRÒ LÀ CÔNG CỤ
TRONG NGHIÊN CỨU ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Trong luận văn này chúng tôi không tập trung sự chú ý đến phương diện “đối
tượng” mà chỉ quan tâm đến phương diện “công cụ” của vectơ. Cụ thể ở đây là vai
trò công cụ của vectơ trong nghiên cứu đường thẳng và mặt phẳng ở trường THPT
theo chương trình hiện hành.
Phân tích quan hệ thể chế của chúng tôi sẽ được thực hiện theo cách tiếp cận
của thuyết nhân học. Từ góc độ sinh thái học, phân tích chương trình hướng đến
việc làm rõ lý do tồn tại và môi trường phát triển của công cụ vectơ. Từ góc độ
chuyển đổi sư phạm, phân tích quá trình xây dựng phương trình đường thẳng, mặt
phẳng trong SGK cho phép chúng tôi biết thể chế ưu tiên cách tiếp cận nào - đại số
hay hình học (cách tiếp cận mà vectơ giữ vị trí quan trọng). Phân tích SGK bằng
cách chỉ ra các tổ chức toán học được xây dựng sẽ còn cho phép làm rõ hơn vai trò
công cụ của vectơ : nó tác động ra sao trong các kỹ thuật giải quyết những kiểu
nhiệm vụ liên quan đến phương trình đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ vuông góc
và vị trí tương đối giữa chúng. Từ những nghiên cứu này, chúng tôi cố gắng tìm câu
trả lời cho các câu hỏi Q1, Q2, Q3. Nghiên cứu quan hệ thể chế cũng có thể cho
phép chúng tôi hình thành nên những giả thuyết về ảnh hưởng của sự lựa chọn của
thể chế lên việc học của học sinh.
Chúng tôi chọn phân tích chương trình và SGK Việt Nam hiện hành. Cụ thể là
SGK hình học ban nâng cao lớp 10, 11 và 12.

Những kết quả có được trong chương I sẽ là cơ sở tham chiếu đầu tiên cho phân
tích thực hiện ở chương này.
Ngoài ra, như đã nói khi trình bày phương pháp luận nghiên cứu, chúng tôi sẽ phân
tích hai cuốn SGK Toán hiện đang được sử dụng ở Mỹ cho các lớp 10 và 12, nhằm
hình thành nên cơ sở tham chiếu thứ hai cho việc làm rõ mối quan hệ của thể chế
Việt nam đối với công cụ vectơ trong dạy học đường thẳng, mặt phẳng.
PHẦN A
VECTƠ VỚI VẤN ĐỀ LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG,
MẶT PHẲNG TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở MỸ

Chương trình trung học ở Mỹ có ba cuốn sách, trong đó các nội dung về hình
học chỉ nằm trong hai cuốn của cùng một chương trình (không có SBT):
• GEOMETRY, 2007 (tương đương với sách Toán lớp 10 ở Việt Nam), ta kí
hiệu là M1. Cuốn này hoàn toàn viết về hình học.
• PRECALCULU, 2007 (tương đương với sách Toán lớp 12 ở Việt Nam), ta
kí hiệu là M2. Cuốn này bao gồm Graphical, Numerical và Algebraic.
Với việc nghiên cứu quan điểm vectơ với vai trò công cụ trong nghiên cứu
đường thẳng, mặt phẳng chúng tôi sẽ phân tích vectơ trong hệ thống tri thức đó.
Ngoài ra, trong hai cuốn sách trên không trình bày quan hệ vuông góc trong không
gian nên chúng tôi chỉ phân tích vấn đề phương trình của đường thẳng, mặt phẳng.
Thứ tự trình bày các kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng, mặt phẳng
trong M1 và M2 như sau:
…
→
Phương trình đường thẳng (M1)
→
Vectơ (M1)
→
Nhắc lại và bổ sung phương trình đường thẳng trong mặt phẳng (M2)
→

Phương trình mặt phẳng (M2)
→
Vectơ trong không gian (M2)
→
Phương trình đường thẳng trong không gian (M2).
Nhìn vào thứ tự trên ta có thể thấy được vectơ chỉ có thể được khai thác trong
việc thiết lập các kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian. Ta hãy
xem SGK trình bày như thế nào.