SKKN phương pháp tìm tòi lời giải các bài toán hình học THCS

Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
Mục lục
Trang
Mục lục 3
Phần I: Đặt vấn đề 4
1. Lí do chọn đề tài 4
2. Phạm vi của đề tài 4
Phần II. Giải quyết vấn đề 5
A. Cơ sở lí thuyết và minh hoạ 5
1. Tìm hiểu bài toán 5
1.1. Tìm hiểu, phân tích đề 5
1.2. Vẽ hình 6
1.3. Chọn kí hiệu trên hình vẽ 9
2. Xây dựng chơng trình giải 9
2.1. Phân tích bài toán thành từng bộ phận hoặc thành những bài
toán đơn giản.
9
2.2. Thay đổi cách phát biểu bài toán 11
2.3. Mò mẫm dự đoán 12
3. Thực hiện chơng trình giải. 15
4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải 16
4.1. Kiểm tra lại kết quả 16
4.2. Kiểm tra các trờng hợp có thể xảy ra 16
4.3. Tìm cách giải khác của bài toán 18
4.4. Tìm cách sử dụng kết quả hay phơng pháp giải bài này cho
một bài toán khác
18
B. Bài tập vận dụng 21
Phần III. Kết quả thực nghiệm 22
Phần IV. Kết luận - kiến nghị 23
1. Kết luận 23

2. Kiến nghị 23
3
Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
Phần I. Đặt vấn đề
1. Lí do chọn đề tài:
Trong quá trình dạy học hiện nay việc dạy cho học sinh cách học là một
yêu cầu quan trọng trong việc đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay. Việc dạy
cho học sinh có đợc phơng pháp học tập là đề tài tơng đối rộng nh dạy cho học
sinh tự nghiên cứu, hình thành khái niệm, định lí, tính chất hay dạy cho học
sinh tự tìm tòi nghiên cứu lời giải của các bài toán Đây là những vấn đề đã
đợc nhà khoa học giáo dục, các nhà giáo đã nghiên cứu, tuy nhiên để cụ thể
vào từng vấn đề cụ thể thì vẫn còn cha thực sự triệt để. Với điều kiện có hạn
đề tài này tôi xin đợc trình bày vấn đề phơng pháp tìm tòi lời giải bài toán
Hình học THCS.
Toán học nói chung và hình học nói riêng có rất nhiều bài toán cha có hoặc
cha có angorit (thuật toán, thuật giải) để giải. Bài toán đặt ra là với những bài
toán đó phải hớng dẫn học sinh nên bắt đầu từ đâu, suy nghĩ theo trình tự
nào, là vấn đề khó khăn và phức tạp đối với mỗi giáo viên trong việc rèn
luyện cho học sinh có đợc những kĩ năng, kinh nghiệm trong việc giải các bài
tập toán. Vì lẽ đó không có cách nào khác, không có phơng pháp tổng quát
nào mà chúng ta phải dạy cho học sinh từ việc tìm tòi lời giải các bài toán cụ
thể mà truyền cho học sinh có đợc kinh nghiệm và nghệ thuật trong phơng
pháp suy nghĩ, giúp các em tự tìm lời giải của các bài toán khác, trong những
tình huống mới.
Thực tiễn hiện nay cho thấy việc tìm tòi lời giải các bài toán hình học đối
với học sinh THCS là vấn đề còn rất yếu mà việc dạy học các phơng pháp tìm
tòi lời giải các bài toán đối với nhiều giáo viên cũng cha thực sự chú ý. Chính
vì lẽ đó tôi đã chọn đề tài phơng pháp tìm tòi lời giải bài toán Hình học
THCS với mục đích hệ thống lại các bớc tìm tòi lời giải của bài toán hình học
và những chú ý khi dạy học hình học THCS để cùng các bạn đồng nghiệp

nghiên cứu, trao đổi kinh nghiệm trong dạy học.
2. Phạm vi của đề tài:
Là giáo viên Toán THCS ngoài việc dạy học, tôi đã không ngừng học hỏi,
tích luỹ kiến thức kinh nghiệm dạy học cho bản thân. Với thời gian và điều
kiện không cho phép đề tài này xin thu gọn ở phạm vi phơng pháp tìm tòi lời
giải bài toán Hình học THCS trong chơng trình Toán THCS với những nội
dung cụ thể sau:
- Cơ sở lí thuyết về các phơng pháp tìm tòi lời giải của bài toán hình học.
- Một số ví dụ minh hoạ.
Đề tài này đợc nghiên cứu trên cơ sở phơng pháp luận của phơng pháp dạy
học Toán ở trờng THCS, trong quá trình nghiên cứu đề tài chỉ mang tính ứng
dụng, triển khai và vận dụng, phát triển các luận điểm đã đa ra.
4
Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
Phần II: Giải quyết vấn đề
A. Cơ sở lí thuyết và minh hoạ
Để giải một bài toán (có thể là số học, đại số, hình học hay một bài toán
thực tế) cần phải tiến hành theo 4 bớc sau:
- Tìm hiểu bài toán
- Xây dựng chơng trình giải
- Thực hiện chơng trình giải
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Ví dụ: Đối với một bài toán thực tế đặt ra cho một ngời thợ sửa chữa cũng
cần phải trải qua bốn bớc nh: định hớng tìm hiểu, xác định nguyên nhân hỏng
máy; xây dựng kế hoạch, chơng trình sửa chữa; thực hiện kế hoạch, chơng
trình sửa chữa; kiểm tra lại sau khi sữa chữa, rút ra những kinh nghiệm lần
sau.
Trong thực tiễn nhiều khi mỗi bớc trên đây lại là một bài toán nhỏ mà cũng
đợc giải quyết bằng bốn bớc trên. Trong các bớc trên ta không thể bỏ qua đợc
bớc nào tuy nhiên ngay từ bớc đầu cũng là bài toán phức tạp cần phải giải

quyết và nó đóng vai trò quyết định trong việc giải quyết bài toán.
Ví dụ Đối với ngời thợ sửa chữa việc xác định nguyên nhân hỏng máy là
vấn đề khá phức tạp cũng cần phải xác định tính chất của máy, những nguyên
nhân có thể gây ra hỏng máy, từ đó xây dựng kế tìm ra chỗ hỏng, đến việc
thực hiện kế hoạch, kiểm tra chỗ hỏng.
Việc tìm tòi lời giải một bài toán hình học cũng nh vậy cần phải trải qua đủ
4 bớc mà từ bớc tìm hiểu bài toán, xây dựng chơng trình giải đến việc kiểm tra
và nghiên cứu lời giải đóng vài trò hết sức quan trọng trong việc tìm tòi giải
của bài toán.
1. Tìm hiểu bài toán
Để tìm hiểu bài toán hình học phải trải qua 3 bớc: tìm hiểu, phân tích đề;
vẽ hình; chọn kí hiệu trên hình vẽ. Trong mỗi bớc có một vai trò nhất định
trong việc hình thành lời giải của bài toán.
1.1. Tìm hiểu, phân tích đề
Để giải một bài toán, trớc hết phải tìm hiểu bài toán và hơn nữa, còn
phải có hứng thú giải bài toán đó. Chính vì vậy ngời thầy cần chú ý hớng dẫn
học sinh giải toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải toán của các em,
giúp các em tìm hiểu bài toán đó.
Trớc hết, phải tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp (xem bài toán thuộc
loại gì; có những yếu tố nào đặc biệt ) tránh thói quen đi vào ngay các chi
tiết trớc khi nhìn nhận bài toán một cách tổng quát, phải hiểu bài toán một
cách toàn bộ.
Sau đó, phân tích bài toán cái đã cho, đã biết và cái cha biết, cái cần
tìm, cần chứng minh; mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm Trong quá
trình phân tích cũng cần lọc ra đợc những yếu tố nào là bản chất, yếu tố nào là
không bản chất, chỉ giữ lại những yếu tố, quan hệ toán học trong bài toán.
1.2. Vẽ hình
Đối với các bài toán hình học, nói chung phải vẽ hình: thông thờng phải
sau khi vẽ hình học sinh mới hiểu đợc nội đợc bài toán, mới nhìn đợc bài toán
một cách tổng hợp sau đó mới phân tích đợc các chi tiết cần thiết của bài toán.

Việc vẽ hình khi giải bài tập hình học cũng cần phải chú ý đến một số
vấn đề sau:
(1) Hình vẽ phải có tính tổng quát, không vẽ hình trong những trờng hợp
đặc biệt.
5
Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
Ví dụ: Khi vẽ hình cho bài toán có ghi Cho tam giác ABC thì phải vẽ
một tam giác ABC bất kì không rơi vào trờng hợp tam giác vuông, tam giác
cân (nên vẽ tam giac có 3 góc nhọn, không có hai góc nào bằng nhau).
Nếu bài toán có ghi Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B
thì ta vẽ hai đờng tròn có bán kính khác nhau, cắt nhau tại A và B mà tâm
của đờng tròn này không nằm trên đờng tròn kia, OA không vuông góc với
O'A
(2) Hình vẽ phải rõ, dễ nhìn thấy mối quan hệ và tính chất. Muốn vậy,
nhiều khi phải thay đổi thứ tự dựng từng phần trong bài toán. Đối với
nhiều bài toán, nếu vẽ hình theo trật tự của bài toán thì sẽ dẫn đến hình
thiếu chính xác hoặc hình khó nhìn, khó nhận ra các yếu tố trong bài
toán.
Ví dụ: Xét bài toán cho hình thang vuông ABCD (có ),
phân giác góc A đi qua trung điểm E của BC. Chứng minh rằng AB + CD
= BC.
Với bài toán này thông thờng học sinh sẽ vẽ tuần tự theo các thứ tự nêu
trong đề bài toán và vì vậy khi đó hình vẽ sẽ dẫn đến AE không là phân
giác góc BAD hoặc E không là trung điểm của BC nh hình bên
E
A
B
D
C

E
A
B
D
C
Từ việc vẽ hình thiếu chính xác trên rất có thể tìm đợc lời giải của bài
toán hoặc dự đoán đợc các bớc đi cho việc xây dựng chơng trình giải.
Trong trờng hợp này ta có thể vẽ hình theo theo một trật tự khác:
- Trớc hết cần vẽ phác hoạ hình vẽ theo đúng trật tự của bài toán.
- Vẽ lại hình theo các bớc sau: Vẽ góc vuông BAx, kẻ phân giác của góc
BAx, trên đó lấy điểm E tuỳ ý. Lấy sao cho E là trung điểm của BC. Từ
C kẻ đờng vuông góc với Ax cắt Ax tại D ta có hình thoả mãn yêu cầu
đề bài.
x
D
C
A
B
E
Ta xét ví dụ khác: (Bài 97 - trang 105. SGK Toán 9 tập hai) Cho tam
giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đờng tròn đờng kính
6
Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
MC. Kẻ BM cắt đờng tròn tại D. Đờng thẳng DA cắt đờng tròn tại S.
Chứng minh rằng:
a) ABCD là một tứ giác nội tiếp;
b) ;
c) CA là tia phân giác của góc SCB
- Nếu vẽ hình theo trật tự bài toán thì ta có thể dẫn tới hình sau:
S

D
M
A
C
B
- Hình vẽ hai điểm S và D rất gần nhau và có nhiều trờng hợp S và D
trùng nhau hoặc gần nh trùng nhau. Chính vì vậy dẫn đến việc xác định
lời giải của bài toán gặp không ít khó khăn. Trong trờng hợp này ta
thực hiện nh sau:
+ Vẽ hình theo đúng trật tự của đề toán ta đợc hình nh hình trên.
+ Vẽ lại hình theo cách sau: Vẽ góc vuông CAx, lấy M trên CA và vẽ đờng
tròn đờng kính MC, kẻ cát tuyến ASD (sao cho S, D không gần nhau), lấy B
là giao của DM và Ax ta có hình vẽ rõ ràng hơn (hình vẽ sau) và qua đó ta
xác định lời giải bài toán dễ dàng hơn.
S
D
M
A
C
B
(3) Vẽ hình bằng tay và vẽ hình bằng dụng cụ (thớc và compa )
Khi dạy học sinh ta thờng dạy cho các em vẽ hình một cách chuẩn mực,
ngoài việc rèn kĩ năng sử dụng dụng cụ để vẽ hình còn phải rèn cho các em
tính chính xác, chặt chẽ khoa học. Tuy nhiên trong quá trình dạy học ta cũng
không nên cứng nhắc quá vấn đề này, việc vẽ hình bằng tay cũng có vai trò
không nhỏ trong việc phát triển t duy của học sinh.
7
Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
Thông thờng đối với học sinh lớp 6 và lớp 7 ta cần rèn cho các em tính
chuẩn mực trong vẽ hình đó là phải sử dụng các dụng cụ trong vẽ hình. Đối

với học sinh lớp 8 và lớp 9 ta cũng cần dạy cho các em vẽ hình bằng tay cho
nhanh, chỉ vẽ hình bằng dụng cụ khi là bài viết hoặc khi cần vẽ hình tơng đối
chính xác để dự đoán các mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán.
Ví dụ: Để vẽ trung điểm của đoạn thẳng nếu dễng thớc và compa thì trong
mỗi bài toán cũng có rất nhiều lần phải thực hiện mà với những việc làm nh
vậy thì dẫn đến mất rất nhiều thời gian trong vẽ hình. Hơn nữa đối với mỗi
bài toán hình học thông thờng để có đợc lời giải nhiều khi học sinh phải vẽ
thêm đờng phụ theo nhiều hớng khác nhau và qua đó phải vẽ nhiều hình khác
nhau để đi đến đợc hình vẽ cuối cùng cho bài toán.
Tuy nhiên vẽ hình bằng thớc và compa hay vẽ hình bằng tay cũng phải yêu
cầu học sinh vẽ cẩn thận, thể hiện gần đúng các mối quan hệ về độ lớn giữa
các yếu tố góc, đoạn thẳng cho bài toán.
1.3. Chọn kí hiệu trên hình vẽ
Chọn kí hiệu cũng là khâu quan trọng trong vẽ hình Thời gian dành để
chọn kí hiệu sẽ đợc trả công rất hậu bởi thời gian tiết kiệm đợc tránh khỏi mọi
sự do dự và lẫn lộn (theo G. Polia).
Kí hiệu phải có nội dung, dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểu nớc đôi; thứ tự
tơng quan giữa các kí hiệu phải giúp chúng ta liên tởng đến thứ tự và tơng
quan giữa các đối tợng tơng ứng.
Ví dụ: Khi chứng minh hai tam giác bằng nhau viết các đỉnh theo thứ tự t-
ơng ứng, chẳng hạn nếu muốn chứng minh hai tam giác ABC và DEF bằng
nhau có ; AB = ED và BC = DF ta nên viết xét hai tam giác ABC và
EDF. Với cách viết này ta không cần nhìn vào hình vẽ cũng xác định đợc các
góc ; và CA = EF.
2. Xây dựng chơng trình giải
Xây dựng chơng trình giải là khâu quan trọng để hình thành lời giải bài
toán. Để xây dựng chơng trình giải cho học sinh trung hoc cơ sở cần giúp các
em làm tốt các thao tác sau: phân tích bài toán đã cho, chia bài toán thành
nhiều bài toán đơn giản hơn, biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm, dự đoán bằng
cách xét trờng hợp đặc biệt, xét bài toán tơng tự hay khái quát hơn

2.1. Phân tích bài toán thành từng bộ phận hoặc thành những bài toán
đơn giản.
Khi gặp một bài toán ta có thể chia bài toán thành những bài toán đơn
giản hơn, việc giải quyết các bài toán nhỏ sẽ giúp ta giải quyết dễ dàng đợc
bài toán lớn.
Ví dụ ta xét bài toán: Dựng tam giác ABC biết cạnh BC = a, trung
tuyến AM = m, đờng cao AH = h .
Bài toán này có thể đợc chia thành hai bài toán nhỏ:
- Dựng tam giác ABC biết cạnh BC = a, trung tuyến AM = m
- Dựng tam giác ABC biết cạnh BC = a, đờng cao AH = h
Qua việc giải hai bài toán trên ta có A chạy trên đờng tròn (M; m) và
chạy trên đờng thẳng d song song với BC và cách BC khoảng H. Từ đó lấy
giao của (M; m) và d ta đợc điểm A của bài toán đã cho
8
Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
a
h
m
a
a
m
h
d
h
H
M
B
C
B
C

A
A
Xét bài toán:
Hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ cát tuyến CAD với
hai đờng tròn (C (O), D (O)). Từ C vẽ tiếp tuyến với đờng tròn (O), từ
D vẽ tiếp tuyến với đờng tròn (O) chúng cắt nhau tại S.
Chứng minh rằng:
a) Khi cát tuyến CAD luôn quay quanh A thì góc CSD có số đo không
đổi.
b) Tứ giác BCSD là tứ giác nội tiếp
S
C
A
B
O
O'
D
Để chứng minh góc CSD không đổi và tứ giác BCSD nội tiếp thì ta phải
có góc CBD không đổi. Từ đó ta có hai bài toán (với giả thiết trên).
- Chứng minh rằng khi cát tuyến CAD quay xung quanh A thì và
có số đo không đổi.
- Chứng minh rằng tứ giác BCSD nội tiếp.
Việc tách một bài toán thành nhiều bài toán đơn giản hơn cũng là một bài
toán đòi hỏi học sinh phải có kinh nghiệm trong việc giải toán. Chính vì lẽ đó
ta cần truyền cho các em kinh nghiệm thực sự thông qua từng bài toán cụ thể.
9
Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
Việc này chỉ thực hiện đợc thông qua việc dạy cho học sinh cách tự học, tự
luyện tập nhiều khi giải các bài toán.
2.2. Thay đổi cách phát biểu bài toán

Việc tách bài toán thành nhiều bài toán đơn giản hơn là một phơng pháp
để xây dựng chơng trình giải. Tuy nhiên đối với mỗi bài toán ta lại phải sử
dụng những nghệ thuật khác nhau. Trong thực tế có nhiều bài toán tơng đối
khó, phức tạp nhng nếu chỉ thay đổi cách phát biểu bài toán lại cho ta bài toán
tơng đơng nhng dễ dàng giải đợc.
Để thay đổi cách phát biểu bài toán ta có thể dùng định nghĩa hay định
lí đã biết để thay đổi điều phải chứng minh, cái phải tìm bằng điều tơng đơng,
bài toán đợc phát biểu theo cách khác
Ví dụ:
Xét bài toán: Cho hình bình hành ABCD, gọi M, N lần lợt là trung
điểm của BC, CD. Chứng minh rằng AM, AN chia đờng chéo BD thành ba
đoạn bằng nhau.
H
G
M
N
C
A
B
D
Trên hình điều cần chứng minh của bài toán là BG = GH = HD. Nếu ta
chứng minh bài toán này thì hớng đi, việc bắt đầu từ đâu quả là vấn đề không
dễ, cần phải vẽ thêm đờng phụ nào? việc xây dựng chơng trình giải của bài
toán cũng là yêu cầu khó đối với học sinh lớp 8.
Ta có thể thay đổi kết luận bài toán thay vì chứng minh BG = GH = HD
ta chứng minh ; DH bài toán sẽ trở lên đơn giản hơn. Ta
có bài toán:
Cho hình bình hành ABCD, gọi M, N lần lợt là trung điểm của BC,
CD. Gọi G, H lần lợt là giao của AM, AN với đờng chéo BD. Chứng minh
rằng: ; DH

Đối với bài toán này nếu nối AC cắt BD tại O ta có ngay chơng trình
giải cho bài toán dựa trên tính chất của ba đờng trung tuyến cắt nhau (lớp 7)
và tính chất đờng chéo của hình bình hành (lớp 8).
O
H
G
M
N
C
A
B
D

E
H
G
M
N
C
A
B
D
10
Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
Bài toán có thể chứng minh bằng các cách khác nhau ví dụ kéo dài BN
cắt AD tại E, thì ta có H là trọng tâm của tam giác AEB.
2.3. Mò mẫm, dự đoán kết hợp với suy luận
Khi chúng ta đọc tài liệu, ngời ta chứng minh bài toán rất ngắn gọn mà
không phân tích quá trình tìm tòi ra lời giải bài toán. Thực ra không phải tự
nhiên ngời ta nghĩ ra ngay đợc bổ đề nọ, bổ đề kia, vẽ đờng phụ này, đờng phụ

nọ mà đó là kết quả của một quá trình mò mẫm, dự đoán, suy luận, tìm tòi.
Ngay những ý tởng sáng tạo độc đáo, bất ngờ cũng thờng nảy sinh từ con đ-
ờng quanh co khi tìm lời giải của bài toán. Để có đợc lời giải bài toán nhiều
khi ta phải dạy cho học sinh bằng cách mò mẫm, dự đoán kết hợp với suy luận
để tìm ra đợc hớng đi cho bài toán.
Mò mẫm dự đoán là bằng cách thử các trờng hợp có thể xảy ra, xét trờng
hợp đặc biệt, trờng hợp tơng tự hay xét bài toán tổng quát hơn, từ đó kết hợp
với suy luận ta có thể đi đến những phán đoán (giả thuyết), những đờng phụ,
những bổ đề từ đó hình thành lời giải bài toán.
Thực tế hiện nay nhiều học sinh khi làm các bài nh vậy không biết thử
một cách có hệ thống, ít chú ý đến suy luận để giảm phép thử. Các em thờng
không biết nhận xét khi thử, không suy luận khi thử, cũng không xét đến các
trờng hợp đặc biệt, trờng hợp tơng tự hay tổng quát hơn Chính vì vậy phép
thử nhiều mà không đem lại hiệu quả.
Ví dụ 1: Tìm kích thớc của tam giác có diện tích lớn nhất nội tiếp đờng tròn
(O; R) cho trớc.
Việc xác định dạng của tam giác, tìm lời giải của bài toán đối với học
sinh thì đây là bài toán khó, mà học sinh không biết đi từ hớng nào, giải bằng
cách nào. Để có đợc chơng trình giải bài toán không còn cách nào khác ở bài
này cần phải mò mẫm để dự đoán ra kết quả của bài toán. Việc mò mẫm yêu
cầu học sinh phải thực hiện trên cơ sở suy luận để có đợc hớng đi đúng.
Mò mẫm và dự đoán và suy luận: Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O;
R), vẽ đờng cao AH thì . nếu cố
định BC thì diện tích tam giác lớn nhất khi AH
lớn nhất, lúc đó A nằm chính giữa cung BC hay
tam giác ABC cân tại A.
Tơng tự, nếu cố định AB thì diện tích tam
giác lớn nhất khi tam giác ABC cân tại C. Vì vậy
ta dự đoán diện tích tam giác ABC lớn nhất khi
ABC là tam giác đều. Và khi đó ta tính đợc

Từ việc mò mẫm, dự đoán trên dân ta đến gợi ý phải chứng minh
đẳng thức xảy ra khhi ABC là tam giác đều.
Lời giải:
Xét tam giác ABC bất kì, kẻ AH và OK cùng vuông góc với BC (H, K
BC). Đặt OK = x (0 x R), ta có , AH AK OA + OK. Do
đó
11
K
H
O
A
B
C
Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
=
áp dụng BĐT Cauchy với hai số không âm dẫn đến:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Hay ABC là tam giác đều, có cạnh .
Ví dụ 2: Cho góc . Trên
tia Ox lấy điểm A cố định, trên tia Oy
có một điểm B chuyển động. Đờng
tròn nội tiếp tam giác OAB tiếp xúc
với AB tại M, tiếp xúc với OB tại N.
Chứng minh rằng đờng thẳng MN
luôn đi qua điểm cố định.
Cũng giống ví dụ trên nếu
không mò mẫm, chỉ bằng suy luận
thiết nghĩ để có đợc MN đi qua điểm
cố định nào quả thật là bài toán khó.

Mò mẫm, dự đoán và suy luận: Trớc
hết cần phải xác định MN đi qua
điểm cố định nào? Không còn cách
nào khác là học sinh phải cho B
chuyển động trên hình (lấy điểm B khác B).

Sau khi lấy thêm điểm B,
ta thấy MN và MN cắt
nhau tại điểm H, cho B tiếp
tục chuyển động (nếu vẽ
trên máy tính) hoặc lấy
thêm điểm B để kiểm tra
lại H có phải là điểm cố
định hay không.
Ngoài ra nếu vẽ trên
máy tính (dễng phần mềm
Geo Skechpat có thể không cần lấy điểm B mà cho B chạy, tạo vết cho MN thì
ta có thể dễ dàng xác định đợc điểm cố định bằng trực quan.
12
y
x
M
N
I
O
B
A
Incircle
y
x

H
N'
M'
I'
M
N
I
O
B
A
B'
Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
Sau khi có đợc điểm H ta
tiếp tục quan sát tới đặc điểm
của điểm H. Bằng quan sát ta có
thể thấy đợc O, I, H thẳng hàng =>
H nằm trên tia OI (là tia phân
giác của ). Vấn đề xác định
tiếp H còn nằm trên đờng nào
nữa.
Bằng suy luận bài toán cho
và điểm A cố định. ?
- H còn phụ thuộc vào A.
- Nối HA và quan sát, có
thể dự đoán đợc AH
OI.
Qua đây ta có thể khẳng định MN đi qua điểm cố định H là giao của phân
giác và đờng vuông góc hạ từ A đến phân giác đó.
Lời giải:
Xét trờng hợp OA < OB. Gọi I là tâm

đờng tròn nội tiếp tam giác OAB và H là
giao của OI và MN. Khi đó ta có:
AI là phân giác của , OI là phân
giác của , BM = BN.
Tam giác BMN cân tại B,
nên: , suy ra
, suy ra AIHM là tứ
giác nội tiếp. Suy ra
=> AH OI
Suy ra MN đi qua điểm H
cố định.
Trờng hợp OB OA, chứng
minh tơng tự ta cũng có AIMH là
13
y
x
H
M
N
I
O
A
B
y
x
H
M
N
I
O

A
B
y
x
H
M
N
I
O
A
B
Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
tứ giác nội tiếp vì có hai góc AIH và AMH là hai đỉnh kề nhau và bằng nhau
cùng nhìn AH. Từ đó cũng suy ra đợc AH OI
Vậy MN luôn đi qua điểm H cố định khi B chuyển động trên OI.
Kinh nghiệm cho thấy để mò mẫm, dự đoán cho ta đợc hiệu quả cao
cần chú ý:
(1)Xét các trờng hợp khác nhau của hình vẽ, để có đợc phán đoán chính
xác.
(2)Xét trờng hợp đặc biệt, liên hệ đến những bài toán tơng tự hoặc xét các
bài toán tổng quát hơn.
(3)Phân tích bài toán theo hớng đi ngợc, đi phân tích từ những điều cha
biết đến những điều cha biết khác gần hơn và đến những điều đã biết.
Việc mò mẫm, dự đoán sẽ cho ta có đợc những đoạn thẳng, góc bằng nhau,
những phán đoán về các đờng thẳng song song, đồng quy, điểm cố định của đ-
ờng thẳng cũng nh các quan hệ hình học khác. Thông qua các phán đoán (giả
thuyết) đó ta sẽ đi tìm cách để chứng minh đợc giả thuyết (dự đoán) của ta là
đúng hay sai và từ đó hình thành đợc lời giải của bài toán.
3. Thực hiện chơng trình giải.
Thực hiện chơng trình giải chính là việc trình bày lời giải bài toán. Hiện

nay phần lớn học sinh THCS chúng ta rất kém trong việc trình bày lời giải của
bài toán. Chữ viết xấu, trình bày cẩu thả, sai ngữ pháp, các số viết không rõ
ràng, hình vẽ thiếu chính xác, kí hiệu sử dụng tuỳ tiện,
Điều này không khó khắc phục nếu chúng ta mỗi thầy cố giáo nhận thức
rõ tác hại của nó và phải có yêu cầu cao, có thái độ nghiêm khắc trong mỗi
giờ học, đối với mọi bài làm của học sinh.
Việc thực hiện chơng trình giải phải đợc xây dựng trên cơ sở của việc xây
dựng chơng trình giải. Để lời giải bài toán đợc chọn vẹn, đầy đủ, chính xác,
khoa học thì sau khi trình bày lời giải cần phải kiểm tra, nghiên cứu lời giải.
4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Hiện nay học sinh thờng có thói quen khi đã tìm đợc lời giải của bài toán
thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giả,i ít đi sâu vào việc cải tiến lời giải
cũng nh khai thác lời giải.
Kiểm tra và nghiên cứu lời giải của bài toán có ý nghĩa hết sức quan trọng
trong việc tìm lời giải của bài toán nh: Kiểm tra sai lầm, thiếu sót gì không,
bài toán đã đủ hết các trờng hợp đặt ra cha ; nghiên cứu, cải tiến lời giải;
khai thác lời giải để có đợc những bài toán mời, có kinh nghiệm để giải quyết
các bài toán tơng tự. Có thể cụ thể hoá vấn đề này nh sau:
4.1. Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận
Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận phải trở thành thói quen đối
với mỗi học sinh và giáo viên phải yêu cầu học sinh thực hiện thờng xuyên.
ở tiểu học các em đã đợc luyện tập việc kiểm tra lại kết quả nh: kiểm
tra lại kết quả phép tính cộng bằng phép trừ, phép trừ bằng phép cộng, phép
chia bàng phép nhân. ở THCS các phân môn đại số, số học hay hình học cũng
cần phải đợc rèn luyện tốt cho các em thói quen này. Ví dụ khi giải phơng
trình cần cho các em kiểm tra lại nghiệm bằng cách thay nghiệm đó vào ph-
ơng trình ban đầu
Đối với phân môn hình học cũng vậy, sau khi trình bày lời giải cần
kiểm tra lại xem trong quá trình trình bày việc có ghi nhầm kí hiệu không, có
thiếu không, quá trình lập luận có bị lộn vị trí các bớc không, có đủ cơ sở cho

từng bớc cha
14
Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
Bên cạnh kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận ta cần phải kiểm tra
các trờng hợp xảy ra của bài toán, đặc biệt đối với hình học thì vấn đề này xảy
ra thờng xuyên ở mỗi bài toán.
4.2. Kiểm tra các trờng hợp có thể xảy ra
Đối với học sinh THCS yêu cầu này tuy không thể triệt để, trong nhiều
trờng hợp ta không đòi hỏi học sinh phải biện luận, phải xét đủ các trờng hợp.
Tuy nhiên cũng cần từng bớc luyện tập cho học sinh về mặt này qua một số
bài toán đơn giản, giúp các em xây dựng dần thói quen nhìn vấn đề ở nhiều
khía cạnh, một cách toàn diện hơn.
Việc kiểm tra các trờng hợp xảy ra các em đã đợc gặp nhiều trong việc
chứng minh các định lí toán học, qua các bài tập đơn giản từ tiểu học đến
THCS, tuy nhiên việc này học sinh lại rất ít quan tâm trong quá trình trình bày
lời giải bài toán. Ta xét các ví dụ:
Ví dụ 1:
Dựng hình bình hành có ba đỉnh là A,
B, C cho trớc.
Khi giải bài toán này nhiều học sinh
khi xác định điểm thứ 4 (D) các em chỉ the
thói quen hình bình hành ABCD mà quên đi
các trờng hợp còn lại.
Ví dụ 2:
Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt
nhau tại A, B. Một cát tuyến quay quanh A
cắt (O) tại C, cắt (O) tại D. Chứng minh
có số đo không đổi khi cát tuyển quay
quanh A.
Thông thờng gặp bài này học sinh chỉ chứng minh trong trờng hợp A

nằm giữa C và D mà không xét đến trờng hợp C nằm giữa A và D (hoặc D
nằm giữa A và C).
C
B
A
O
O'
D

C
B
A
O
O'
D
Ví dụ 3:
Cho đờng tròn tâm (O) và một điểm M cố định (M khác A và B) không
nằm trên đờng tròn. Qua M kẻ hai đờng thẳng. Đờng thẳng thứ nhất cắt đờng
tròn (O) tại A và B. Đờng thẳng thứ hai cắt đờng tròn (O) tại C và D. Chứng
minh rằng MA.MB = MC.MD
(Bài 22, trang 76 - SGK Toán 9 tâp 2. NXBGD)
Đối với bài này SGK hớng dẫn xét hai trờng hợp điểm M nằm bên trong
và bên ngoài đờng tròn đờng tròn.
Đây là bài tập ứng dụng sau khi học về góc nội tiếp, để tránh việc HS
xét không hết các trờng hợp của bài toán, SGK đã đa ra hớng dẫn xét hai tr-
ờng hợp M nằm trong và M nằm ngoài tam giác (đây là yêu cầu mà HS phải
15
F
E
D

A
B
C
Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
làm). Tuy nhiên để đây là vấn đề mà HS vẫn cha thực sự quan tâm, chính vì
vậy việc SGK đa ra nhằm mục đích rèn cho HS tính cẩn thận, tính chặt chẽ,
đầy đủ trong khi giải các bài toán về toán học cũng nh các bài toán thực tiễn.
Việc kiểm tra các trờng hợp xảy ra của bài toán còn có ý nghĩa hết sức
quan trọng đối với các bài toán dựng hình trong việc biện luận số nghiệm
hình. Vì sao phải kiểm tra các trờng hợp xảy ra của bài toán thì có thể qua các
ví dụ trên ta có thể thấy rõ đợc tầm quan trọng của nó trong việc tìm lời giải
bài toán. Chính vì vậy ta cần tạo cho học sinh có thói quen này đó là công việc
không phải dễ đối với mỗi giáo viên, nhng chúng ta phải quyết tâm để giải
quyết bài toán này.
4.3. Tìm cách giải khác của bài toán.
Một bài toán thờng có nhiều cách giải, học sinh thờng có những cách
suy nghĩ khác nhau trớc một bài toán, nhiều khi khá độc đáo và sáng tạo. Việc
tìm ra các cách giải khác nhau, tìm cách giải tối u nhất là một trong những vấn
đề cót lõi trong việc thực hành giải toán đối với học sinh. Chính vì vậy ta cần
khai thác triệt để các cách giải của học sinh trong quá trình giải toán, đây
cũng là một mục tiêu của môn toán trong trờng THCS.
Cần lu ý phát huy năng lực sáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải
ngắn gọn, hay của một bài toán. Tuy nhiên cũng cần tránh tình trạng quá thiên
về lời giải hay, làm cho nhiều học sinh kém, trung bình có thể chán nản, vấn
đề đầu tiên quan trọng nhất là tìm đợc lời giải bài toán.
Trong quá trình tìm các lời giải khác nhau của bài toán đôi khi sẽ hình
thành cho các em có đợc phơng pháp để giải các bài toán khác hay hình thành
nên những bài toán mới.
Sau đây là một ví dụ về bài toán có nhiều lời giải, qua đó ta có thể nhận
thấy đợc tác dụng của việc đi tìm các lời giải khác nhau của bài toán.

4.4. Tìm cách sử dụng kết quả hay phơng pháp giải bài này cho một bài
toán khác
Tìm cách sử dụng kết quả hay phơng pháp giải bài này cho một bài toán
khác, đề xuất bài toán mới là phơng hớng cho việc bồi dỡng và phát huy năng
lực sáng tạo đối với những học sinh giỏi. Đây là vấn đề quá cao đối với học
sinh đại trà, tuy nhiên trong một số trờng hợp đơn giản, dễ hiểu, có thể cho
học sinh cả lớp thấy đợc việc phân tích lời giải bài toán để áp dụng vào các bài
toán khác, đề xuất ra bài toán mới. Đối với học sinh giỏi, thì cần phát huy tính
sáng tạo của các em trong việc phát triển các bài toán. Đây cũng là biện pháp
để kích thích tình cảm của học sinh đối với môn học. Chính vì vậy tuỳ theo
đổi tợng học sinh giáo viên cần áp dụng phơng pháp này cho phù hợp cũng
nh việc đa ra nhng dạng bài, hớng phát triển cho mỗi đối tợng ngời học.
Ví dụ1:
Xét bài toán: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB (đờng kính của đ-
ờng tròn chia đờng tròn đó thành hai nửa). Gọi Ax, By là các tia tiếp tuyến
vuông góc với AB (Ax, By và nửa đờng tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ
AB). Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa
đờng tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
a)
b)
c) Tích AC . BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đờng tròn.
(Bài 30, trang 116 - SGK Toán 9, tập một)
Lời giải:
16
D
C
B
O
A
M

Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
a) Vì CA, CM là hai tiếp tuyến của đờng tròn (O) nên OC là phân giác của
, tơng tự OD là phân giác của
. Từ đó suy ra OC OD hay
b) Vì CA, CM là hai tiếp tuyến của đ-
ờng tròn (O) nên AC = CM, tơng tự
BD = DM, suy ra
AC + BD = CM + DM = CD
c) Vì CD là tiếp tuyến của (O) nên
OM CD. Trong tam giác
vuông COD, đờng cao OM ta có , mà theo phần b có
CM = AC, DM = BD, từ đó suy ra .
Vì AB không đổi nên đờng tròn (O) không đổi hay OM là bán kính của
đờng tròn không đổi. Vậy không đổi khi M chuyển động
trên nửa đờng tròn.
Qua bài toán ta có kết quả của phân (b) đợc sử dụng cho việc giải
quyết tiếp phần (a) của bài toán. Việc khai thác kết quả của phần (b) này
nên đợc áp dụng cho mọi đối tợng học sinh.
Đối với bài toán này từ kết luận của bài toán, có thể hớng dẫn các em
lật ngợc bài toán để có những bài toán mới:
Bài toán 1.
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB. Gọi Ax, By là các tia tiếp
tuyến vuông góc với AB (Ax, By và nửa đờng tròn thuộc cùng nửa mặt
phẳng bờ AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho AC + BD =
CD. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
Bài toán 2.
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R. Gọi Ax, By là các tia tiếp
tuyến vuông góc với AB (Ax, By và nửa đờng tròn thuộc cùng nửa mặt
phẳng bờ AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho AC . BD =
. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đờng tròn (O).

Bài toán 3.
Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB, qua A và B kẻ hai tia
Ax, By cùng vuông góc với AB (Ax, By cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB).
Một góc vuông quay quanh O cắt Ax tại C, căt By tại D. Chứng minh rằng:
a) CD cách O khoảng không đổi.
b) AC + BD = CD.
c) AC . BD không đổi.
Ví dụ 2:
Xét bài toán: Cho hai đờng tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ
tiếp tuyến chung ngoài BC, B (O), C (O). Tiếp tuyến chung trong A
cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I.
a) Chứng minh rằng .
b) Tính số đo góc OIO
c) Tính độ dài BC biết OA = 9cm, OA = 4cm.
17
E
F
C
B
M
K
O'
O
A
Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
(Bài 39, trang 123 - SGK Toán 9, tập 1)
Lời giải:
a) Vì IA, IB là hai tiếp tuyến
của đờng tròn (O), suy ra
IA = IB, tơng tự ta có IA =

IC, suy ra I là trung điểm
của BC, . Tam
giác ABC có trung tuyến
AI bằng nửa cạnh đối
diện BC suy ra tam giác
ABC cân tại A hay
.
b) Vì IA, IB là hai tiếp tuyến của đờng tròn (O), suy ra IO là phân giác
, tơng tự ta có IO là phân giác , suy ra IO IO, hay
.
c) Tam giác OIO vuông tại I, có đờng cao ứng với cạnh huyện IA, nên
ta có suy ra IA = 6 (cm).
Theo phần (a) có BC = 2IA nên BC = 2.6 = 12 (cm)
Qua bài toán từ kết quả của phần (a), phần (b) để có có thể dể dàng giải đ-
ợc phần (c), nhờ kết quả BC = 2IA và tam giác OIO vuông tại I.
Qua cách giải bài toán (phần c) ta có thể giải đợc bài toán:
Bài toán 4.
Cho hai đờng tròn (O; R) và (O; R) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến
chung ngoài BC. Tính độ dài BC theo R và R.
Việc sử dụng kết quả, phơng pháp giải bài toán cũng cho ta dể dàng
giải đợc bài toán:
Bài toán 5.
Cho hai đờng tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài BC, B (O), C (O). Tiếp tuyến chung trong A cắt tiếp tuyến
chung ngoài BC ở M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm
của OM và AC. Chứng minh rằng:.
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) OO là tiếp tuyến chung của đờng tròn đờng kính BC.
c) BC là tiếp tuyến chung của đờng tròn đờng kính OO
(Bài 42, trang 128 - SGK Toán 9, tập 1).

Qua ví dụ 2, tứ giác AEMF có , nên bài toán chỉ cần
chứng minh tứ giác có thêm một góc nữa bằng 90
0
thì nó là hình chữ nhật (đối
với phần (a)).
Phần (b) Xuất phát từ IA = IB = IC (phần (a) ví dụ 2) ta có thể có ngay đ-
ợc kết luận của bài toán.
Gọi K là trung điểm của OO , từ kết quả
câu (a) của ví dụ 2, có M là trung
điểm của BC, ta dể dàng chứng
18
C
B
I
O'
O
A
Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
minh đợc KM vuông góc với BC và KM là bán kính của đờng tròn đờng kính
OO .
Ví dụ 3: Xét bài toán: Cho đờng tròn (O) và một điểm M cố định không
nằm trên đờng tròn, qua M kẻ hai đờng thẳng. Đờng thẳng thứ nhất cắt (O) tại
A và B. Đờng thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh rằng MA.MB =
MC.MD.
Hớng dẫn. Xét cả hai trờng hợp M nằm bên trong và bên ngoài đờng tròn.
Trong mỗi trờng hợp, xét hai tam giác đồng dạng.
(Bài 23 - trang 76 - SGK Toán 9. Tập 2)
Việc giải bài toán không khó đối với mỗi học sinh từ trung bình trở lên.
Tuy nhiên ta có thể khai thác bài toán để có những bài toán khác nhau hoặc
sử dụng bài toán nh một bổ đề để chứng minh các bài toán khác.

Bài toán 6: Cho đờng tròn (O) và điểm M không nằm trên đờng tròn, qua
M kẻ cát tuyến MAB chứng minh rằng tích MA.MB không đổi khi cắt tuyến
MAB luôn quay quanh A.
Bài toán 7: Cho đờng tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đờng tròn, qua
M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD. Từ O
hạ OH vuông góc với CD.

B. Bài tập vận dụng
Một số bài tập vận dụng tìm tòi lời giải bài toán:
Tìm tòi, hình thành lời giải các bài toán, hình thành, phát triển các bài toán
mới.:
Bài 1:
Cho tam giác ABC, các đờng cao AA, BB, CC. Các góc của tam giác
ABC lần lợt là 42
0
, 56
0
, 82
0
. Tính các góc của tam giác ABC
Bài 2:.
Cho đờng tròn (O) và một dây AB cố định. Dựng tam giác đều MNP
thoả mãn M và P thuộc đờng tròn, N thuộc AB và MN vuông góc với AB.
Bài 3:
Cho hai điểm A, B trên đờng thẳng xy. Hai đờng tròn bất kì tiếp xúc
ngoài với nhau tại T và cùng tiếp xúc với đờng thẳng đã cho lần lợt tại A và B.
Hãy tìm quỹ tích các điểm T.
Bài 4:
Trong mặt phẳng có 11 đờng thẳng đôi một không song song với nhau.
Chứng minh rằng luôn tồn tại hai đờng thẳng tạo với nhau một góc nhỏ hơn

17
0
.
Bài 5:
Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng d cố định nằm ngoài đờng tròn. M là
một điểm chuyển động trên đờng thẳng d. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB
với đờng tròn. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên d thì AB luôn đi qua
một điểm cố định.
Bài 6:
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, M là một điểm bất kì
trên cung nhỏ BC. Chứng minh rằng MA = MB + MC.
Hãy phát triển bài toán với giả thiết M không nằm trên cung nhỏ BC
của đờng tròn (O)?
Bài 7:
Cho tam giác ABC, trung tuyến AD. Gọi I là một điểm trên AD, BD và
CD cắt AC, AB lần lợt tại E và F. Chứng minh EF // BC.
Với D không là trung điểm của BC ta có kết luận gì?
19
Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
Phần III. Kết quả thực nghiệm:
Đề tài này đã đợc tôi áp dụng nhiều năm trong quá trình dạy học nhng
cha đợc hệ thống hoá. Tuy nhiên sau khi tập hợp nghiên cứu, áp dụng một
cách có bài bản trong mỗi tiết học tôi nhận thấy sau khi áp dụng đề tài vào
thực tiễn giảng dạy:
- Phần lớn học sinh đã có kĩ năng vẽ hình, phân tích các bài toán hình
học, kể cá những bài toán có nội dung khá phức tạp, vẽ hình khó.
- Học sinh đã biết giải các bài tập hình đơn giản nh các bài tập trong sách
giáo khoa. Bên cạnh đó các bài khó đã nhiều em hình thành đợc cách
giải độc đáo mà gây bất ngờ cho cả giáo viên và học sinh.
Để áp dụng đề tài này rộng rãi cần lu ý một số điểm sau:

- Giáo viên cần kiên trì trong việc rèn cho học sinh phơng pháp tìm tòi lời
giải bài toán, việc phát huy khả năng của học sinh phải đợc quan tâm
thờng xuyên, đúng mức và có động viên khích lệ.
- Giáo viên phải biết tin tởng vào khả năng sáng tạo của học sinh, phải
chấp nhận hy sinh thời gian để các em có thể suy nghĩ, phát triển năng
lực của bản thân.
- Ngoài ra trong quá trình dạy học, giáo viên cần phải không ngững đào
sâu, suy nghĩ, bắt tay vào cùng giải quyết với học sinh những vấn đề
khó, mới.
Phần IV. Kết luận - kiến nghị:
1. Kết luận:
Là giáo viên toán tôi luôn trăn trở trong việc dạy cho học sinh có đợc một
phơng pháp học tập, tự học, tự nghiên cứu trong quá trình học tập. Chúng ta
thờng nói không thể cho họ cá mà phải cho họ cần để họ tự câu cá.
Trong thời kì mời hiện nay, trớc sự phát triển của khoa học công nghệ,
khoa học thông tin, thì phơng pháp dạy học truyền thống đã bị lạc hậu, không
còn thích ứng trong thời kì mới. Việc hình thành phơng pháp học cho học
sinh, hớng các em trở thành những nhà khoa học nhỏ (tự tìm tòi kiến thức mới
có định hớng của giáo viên) là mục tiêu của quá trình dạy học. Chính vì vậy
cần luyện cho các em có một thòi quen tự học, tự tìm tòi, cần tạo cho các em
có t duy sáng tạo trong quá trình nghiên cứu kiến thức mới theo con đờng của
những nhà khoa học.
Đề tài này tơng đối rộng, chúng ta không thể hình thành cho học sinh một
Angôrit cụ thể cho tất cả các bài hình học mà chỉ hớng cho các em có đợc ph-
ơng pháp khái quát trong việc đi tìm lời giải của các bài toán.
Đề tài này tôi đã nghiên cứu và đa vào ứng dụng thờng xuyên trong quá
trình dạy học và dã đạt hiệu quả, học sinh đã biết tự giải các dạng bài toán mà
cha từng gặp phải thông qua kết quả kiểm tra, kết quả thi hoc sinh giỏi. Tuy
nhiên để áp dụng có hiệu quả hơn nữa thì bản thân tôi cũng cần nghiên cứu
nhiều hơn nữa, tập thể giáo viên chúng ta cũng cần phải áp dụng một cách

đồng bộ để các em có đợc thói quen xuyên suốt quá trình học tập. Với thời
gian không cho phép đề tài này rất mong đợc sự cổ vũ, đóng góp ý kiến của
các nhà quản lí giáo dục, các nhà nghiên cứu giáo dục và các bạn đồng nghiệp
để đề tài đợc phát huy hiệu quả cao hơn.
2. Kiến nghị:
Đối với các cấp quản lí giáo dục: Cần tăng cờng đầu t hơn nữa cho giáo
dục về đội ngũ, CSVC, thời gian làm việc cho giáo viên để giáo viên có đợc
những CSVC, tài liệu, thời gian phù hợp cho quá trình nghiên cứu và học tập.
Cần tăng cờng tổ chức các hội thảo theo cụm nhóm, động viên, khuyến khích
20
Ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán Hình học THCS
kịp thời những giáo viên có đợc những công trình nghiên cứu tuy nhỏ nhng
hữu ích trong quá trình dạy học.
Đối với các nhà nghiên cứu: nghiên cứu, biên soạn tài liệu cụ thể hơn trong
việc định hớng phơng pháp dạy học cho giáo viên. Đối với SGV cần chi tiết
hơn về mục tiêu, phơng pháp cho từng bài học, đặc biệt các tiết luyện tập, ôn
tập. Cần biên soạn ngân hàng đề kiểm tra làm tiêu chuẩn để đánh giá chất l-
ợng học sinh.
Đối với giáo viên: phải không ngừng học tập, nâng cao trình độ qua các
kênh thông tìn khác nhau, đặc biệt cần táo bạo trong việc nghiên cứu thực
nghiệm nh dạy, soạn thực nghiệm theo những mô hình mới, phơng pháp mới,
cách tổ chức mới cho từng dạng bài học, tuy nhiên cần đa ra hội đồng khoa
học kiểm định trớc khi thực nghiệm. Ngoài ra cần xây dựng thói quen dạy cho
học sinh phơng pháp học, tránh tình trạng bao biện về thói quen học sinh hay
điều kiện CSVC, ý thức tự học và kiến thức của học sinh, Quá trình dạy học
theo phơng pháp tích cực chỉ có hiệu quả khi học sinh đợc thực hiện đối với
tất cả các môn học, khối lớp đó là sự thống nhất về phơng pháp hoc mà sự
thống nhất của giáo viên yếu tố quyết định.
Cuối cùng tôi xin chân thành cám ơn các bạn đồng nghiệp đã giúp
tôi hoàn thành đề tài này!

21