sử dụng phương pháp đại số vào giải các bài tập hình học

SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ VÀO GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC
A. Đặt vấn đề.
I. Lí do chọn đề tài.
II. Đối tượng, phương pháp nghiên cứu.
B.Giải quyết vấn đề.
I. Một số dạng toán hình học sử dụng phương pháp Đại số
1. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc tính toán các yếu tố hình học.
2. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh điểm cố định.
3. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh tam giác đều.
4. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc tìm vị trí điểm.
5. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh đẳng thức hình học.
6. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc giải quyết bài toán dựng hình.
7. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc Chứng minh bất đẳng thức hình học và
tìm cực trị hình học.
II. Một số bài tập áp dụng
III. Một số điểm cần lưu ý khi sử dụng phương pháp đại số vào giải
các bài tập hình học
IV.Kết quả.
1. Kết quả
2. Bài học kinh nghiệm và những điều kiện để áp dụng đề tài.
C. Kết luận và kiến nghị.
4
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
PHẦN A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài
1. Cơ sở lí luận:
Trong chương trình toán THCS hình học - đại số có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.
Phương pháp đại số có thể áp dụng vào để giải quyết những bài tập hình học khó, rèn luyện cho
học sinh những kĩ năng toán học như kĩ năng tính toán, vẽ hình, kĩ năng đo đạc, ước lượng

đồng thời giúp học sinh hình thành và phát triển những phương pháp, phương thức tư duy và
hoạt động như Toán học hóa tình huống thực tế, phát hiện và xây dựng thuật giải,vận dụng toán
học vào thực tiễn.
Sử dụng phương pháp Đại số trong hình học có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí
tuệ như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa. Rèn luyện những đức tính như :
tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ cho HS.
2. Cơ sở thực tiễn
Trong chương trình SGK Lớp 9 có rất nhiều bài toán hai chiều hình học - đại số nhằm
hình thành và phát triển tư duy toán học cho HS, giúp các em hiểu rõ hơn vẻ đẹp của toán
học.Rèn cho HS khả năng dự đoán,tính sáng tạo trong giải toán.
Sử dụng phương pháp đại số trong hình học giúp cho HS hiểu được mối liên hệ hình học -
đại số, giúp cho các em có cái nhìn nhiều góc độ về bộ môn hình học.Chính vì vậy tôi xin được
hệ thống các dạng bài tập hình học sử dụng phương pháp đại số nhằm giúp HS đặc biệt là HS
khá, giỏi làm quen và hiểu được phương pháp này một cách hiệu quả nhất.
II. Mục tiêu,đối tượng
1. Mục tiêu
- Giúp HS làm quen và giải quyết các bài tập hình học bằng phương pháp đại số theo các
mức độ từ dễ đến khó.
- Rèn cho HS khả năng dự đoán,tính sáng tạo,giúp HS hoạt động tự giác,tích cực. Rèn cho
HS đồng đều hai mặt là tri thức toán học và hoạt động thể hiện ngôn ngữ toán học.
2. Đối tượng: Áp dụng cho bồi dưỡng HS khá ,giỏi lớp 9.
III. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu SGK,tài liệu tham khảo sau đó vận dụng vào hướng dẫn cho HS từ đó rút ra
những bài học kinh nghiệm.
- Thường xuyên trao đổi, hội thảo với GV bộ môn nhằm tháo gỡ những khó khăn của đề
tài.
- Một số tài liệu tham khảo:
+ Toán học tuổi trẻ,Toán học tuổi thơ
+ Toán nâng cao và phát triển 9
+ Một số tài liệu tham khảo khác.

PHẦN A. NỘI DUNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ.
1. Sử dụng phương pháp đại số trong việc tính toán các yếu tố hình học.
 Phương pháp tiến hành:
+ Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn.
+ Biểu thị các yếu tố hình học theo ẩn.
+ Từ các mối quan hệ hình học lập phương trình hoặc hệ phương trình.
+ Giải phương trình hoặc hệ phương trình, chọn giá trị thích hợp.
5
C
O
B
I
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
Bài 1: Cho đường tròn (O), A là một điểm nằm ngoài (O), AO cắt đường tròn tại I. Biết AI =
7
, IB = 5. Tính độ dài AB?

Phân tích bài toán:
+)Tính AB bằng cách đưa AB về cạnh một tam giác
vuông
+) Vẽ tam giác vuông ABK, kẻ
AH BK⊥
có thể
biểu thị AB, BK theo KH từ đó dẫn đến việc chọn ẩn
là KH
Giải:
Đường vuông góc với AB tại A cắt BI tại K kẻ AH
⊥
BK do OA

⊥
BC
=> I là điểm chính giữa
»
BC
=> BI là phân giác của
µ
B
.
Có
·
·
0
KBA AKB 90+ =
·
·
0
CBI BIO 90+ =
Mà
·
·
·
·
KBA CBI AKB BIO= ⇒ =
và
·
·
BIO AIK=

·

·
AKB AIK AKI⇒ = ⇒ ∆
cân =>
HK = IH
Đặt HK = HI = x (x > 0) => BK = 2x + 5
Có AI = AK =
7
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông : AK
2
=KH. KB

( )
( )
2
7 2 5 .x x
⇒ = +

2
2 5 7 0x x
⇔ + − =
x
1
= 1 (thoả mãn)
x
2
=
7
2
−
( loại)

=> BK = 7 do AB
2
= KB
2
- AK
2
= 7
2
-
( )
2
7
= 40 => AB =
2 10
Nhận xét: Đây là bài tập mà tôi đã khai thác từ bài tập 48 SBT toán 9 - T134. Bài tập này nhằm
giúp học sinh củng cố các hệ thức lượng trong tam giác vuông, tính chất tiếp tuyến
Bài 2:
Cho điểm B nằm giữa A và C sao cho AB = 14 cm, BC = 28 cm. vẽ về một phía của AC các
nửa đường tròn tâm I, K, O có các đường kính theo thứ tự AB, BC, AC. Tính bán kính của
đường tròn tâm M tiếp xúc ngoài với các nửa đường tròn tâm I, K và tiếp xúc trong với nửa
đường tròn tâm O.
Phân tích bài toán:
6


M

A
B
C

E
F
N
H
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
+) Có thể tính OA, OI, OK, IK.
+) Từ hệ thức MO
2
- MI
2
= OH
2
- IH
2
Và MK
2
- MI
2
= HK
2
- HI
2
dẫn đến việc chọn bán kính của (M) và chọn IH là ẩn.
Giải:
Gọi D là giao điểm của OM và đường tròn ( O ). Ta có:
OA = OD = OC =
AC 14 28
21
2 2
+

= =
(cm)
OI = OA - IA = 21 - 7 = 14 ( cm )
OK = OC - KC = 21 - 14 = 7 ( cm )
IK = 14 + 7 = 21 ( cm )
Gọi bán kính của đường tròn ( M ) là x ( x > 0 ). ta có :
IM = x + 7, MK = x +14 , MO = OD - MD = 21 - x.
kẻ MH
⊥
AC. Gọi HI = y ( y > 0 ) ta có:
MK
2
- MI
2
= HK
2
- HI
2

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
21 14 7y y x x
⇔ − − = + − +

⇔
x + 3y = 21
(1)
Ta lại có : MK
2

- MI
2
= HK
2
- HI
2
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
14 21 7y y x x
⇔ − − = − − +

⇔
2x - y = 7
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
3 21
2 7
x y
x y
+ =


− =

Giải hệ ta được x = 6, y = 5. Bán kính đường tròn ( M ) bằng 6 cm
2. Sử dụng phương pháp đại số trong việc chứng minh điểm cố định
 Phương pháp tiến hành:
Trong dạng toán này cần dự đoán hình bằng cách:
- Dựa yếu tố cố định hoặc không đổi.

- Đặc biệt hoá bài toán để tìm hình cố định.
- Tìm giao điểm của các hình cố định.
Bài 3. Cho đường thẳng a và một điểm A cố định nằm ngoài a, H là hình chiếu vuông góc của
A xuống a. Hai điểm B, C thay đổi trên a sao cho
·
0
90BAC
=
. GọiE, F lần lượt là hình chiếu
vuông góc của H xuống AB, AC. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm B, E, F, C cùng thuộc một đường tròn (O).
b) Đường tròn (O) luôn đi qua hai điểm cố định.

Phân tích bài toán:
+) Do A và a cố định => đường thẳng AH cố định => dự
đoán các điểm cố định thuộc AH.
+) Các điểm cố định là giao của đường thẳng AH và (O).
Giải:
a) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AE. AB = AH
2
= AF. AC

AEF ACB
⇒ ∆ ∆
:
( hai cạnh góc vuông tỉ lệ)

·
·

AEF ACB
⇒ =
⇒
BEFC là tứ giác nội tiếp
b) Gọi M, N lần lượt là các giao điểm của (O) với AH (M thuộc đoạn AH).
7
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
Ta đặt HM = x, HN = y ( x > 0; y > 0 ) AH = h (h > 0, h không đổi)
Theo hệ thức đường tròn ta có: HM.HN = HB. HC
Mà HB. HC = AH
2
=> HM. HN = AH
2
hay x.y = h
2
(1)
Có AH
2
= AE. AB
theo hệ thức lượng đường tròn ta có: AE. AB = AM. AN
=> AH
2
= AM. AN = ( AH - HM ). (AH + HN )
=> AH
2
= AH
2
- HM. HN + AH. ( HN - HM )
=> AH. (HN - HM ) = HM .HN
=> AH. (HN - HM ) = AH

2
=> HN - HM = AH hay y - x = h (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
2
x.y h
y x h
=


− =

Giải hệ phương trình ta được:
5 1
x h
2
−
=
và
5 1
y h
2
+
=
=> M và N cố định vậy (O) luôn đi qua M, N cố định.
3. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc tìm vị trí của điểm.
 Phương pháp tiến hành:
- Cho hình vẽ thỏa mãn điều kiện đầu bài
- Sử dụng phương pháp đại số tìm khoảng cách của điểm với đường thẳng cố định hoặc một
điểm cố định khác.
Bài 4

Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R. Điểm C thuộc đường tròn (C không trùng với A
và B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O). GọiM
là điểm chính giữa của cung nhỏ AC. Tia BC cắt Ax tại Q, AM cắt BC tại N, AC cắt BM tại P.
a) Chứng minh rằng tam giác ABN cân.
b) Xác định vị trí của C trên nửa đường tròn (O) để đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp
xúc với (O).
Phân tích bài toán:
Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau tại M thì chúng có tiếp tuyến chung tại M.Có điểm B cố định
vậy tìm vị trí điểm C bằng cách tìm độ dài đoạn BC
a)
∆
ABN cân tại B (vì BM là đường cao đồng thời là
phân giác) => AB = BN.
b) Đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp
∆
MNQ
tiếp xúc với nhau tại M
⇔
chúng có tiếp tuyến chung tại
M.
Gọi My là tia tiếp tuyến chung của hai đường tròn, My
cắt BQ tại E. Có ME //AC (cùng vuông góc với MO).
⇔
ME QB.
Do
·
·
NME EMC=
(vì cùng bằng góc MAC).
⇔

∆
MNC cân
⇔
EN = EC
(1)
Vì
·
·
MQB NME
=
8
A B
N
M
C
O
P
Q
E
Xx
Xy
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm

·
·
MBC CME
=
·
·
MQB MBC

⇒ =
.
⇔
∆
MQB cân
⇔
EQ = EB
(2)
Từ (1) và (2)
⇔
NQ = CB
Theo hệ thức lượng: AB
2
= BC.BQ = BC.(BN+QN)
⇔
AB
2
= BC.(AB+BC) vì BN = AB; QN=BC
Đặt BC = x (x > 0) ta có: 4R
2
= x.(2R+x)
⇔
x
2
+ 2Rx - 4R
2
= 0
(*)

Giải phương trình (*) ta được

( )
1
x 5 1 .R= −
(thoả mãn)

( )
2
x 5 1 .R= − −
(loại)
Vậy
( )
BC 5 1 .R= −
thì đường tròn ngoại tiếp
∆
MNQ và đường tròn (O) tiếp xúc nhau.
4. Sử dụng phương pháp đại số trong việc chứng minh tam giác đều.
 Phương pháp tiến hành:
Sử dụng phép biến đổi đại số hoặc phương pháp bất đẳng thức để chứng minh ba cạnh hoặc
các yếu tố khác như ba đường cao của tam giác bằng nhau.
Bài 5. Một tam giác có số đo đường cao là số nguyên và bán kính đường tròn nội tiếp là 1.
Chứng minh rằng tam giác đó đều.
Giải:
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c và độ dài đường cao tương ứng là x, y, z.
Do vai trò của x, y, z như nhau, giả sử x
≥
y
≥
z.
áp dụng công thức r =
S

P
và z =
2S
c

r =
S
P
=
2S
a b c+ +
<
2S
2c
=
S
c
=
z
2
=> z > 2 (vì r = 1)
(1)
=> x > 2, y > 2
Ta có
1 1 1 a b c a b c 1
1
x y z 2S 2S 2S 2S r
+ +
+ + = + + = = =
Vì

1 1 1 3
x y z z
+ + ≤
=>
3
1
z
≥
=> z
3≤
(2)

Từ (1) và (2) suy ra z = 3
Suy ra
1 1 2
x y 3
+ =

(3)
mà
1 1
x 3
≤
,
1 1
y 3
≤
=>
1 1 2
x y 3

+ ≤
(4)
Từ (3) và (4) suy ra x = y = 3 => a = b = c => Tam giác đó đều.
5. Sử dụng phương pháp Đại số để chứng minh đẳng thức hình học.
 Phương pháp tiến hành:
+) Biểu thị các đoạn thẳng theo các chữ.
+) Từ mối liên hệ hình học biến đổi hai vế bằng phương pháp Đại số về hai biểu thức bằng
nhau.
9
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
Bài 6. cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn cắt các
cạnh AB và ACtheo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng:
a) MN
2
= AM
2
+ AN
2
- AM.AN.
b)
AM AN
1
MB NC
+ =


Giải:
a) Kẻ NH
⊥
AB. Đặt AB = AC = BC = a, AM = x, AN

= y, MN = z.
Ta có
y
AH
2
=
, NH
y 3
2
=
, HM
y
x
2
= −
theo định lí Py-Ta-Go:
2
2
2 2 2 2 2
y 3 y
MN NH HM x x y xy
2 2
 
 
= + = + − = + −
 ÷
 ÷
 
 
b) Theo tính chất tiếp tuyến ta có: AM + AN + MN = 2AD

=> x + y + z = 2 AD = a. ta có

AM AN
1
MB NC
+ =
x y x y
1 1
a x a y y x x z
⇔ + = ⇔ + =
− − + +

⇔
x(x +z) + y(y + z) = (x +z)(y + z)

2 2 2
x xz y yz xy xz yz z
⇔ + + + = + + +

2 2 2
x y xy z⇔ + − =
(*)
đẳng thức (*) đã được chứng minh ở phần a)
6. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc giải quyết bài dựng hình.
a) Các bài toán dựng hình cơ bản:
- Dựng tổng hay hiệu hai đoạn thẳng: Dựng x = a
±
b (a > b )
- Dựng đoạn thẳng bằng
m

n
lần đoạn thẳng cho trước:
Dựng
m
x a
n
=
(m, n là số nguyên dương cho trước)
- Dựng đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho trước;
dựng x
ab=
.
- Dựng đoạn x
2 2
a b= ±
đưa về cạnh của tam giác vuông .
b) Giải bài toán dựng hình bằng phương pháp Đại số
- Giả sử đã dựng được một hình thỏa mãn các điều kiện của đề bài, tìm xem trong hình ấy
những đoạn thẳng nào chưa biết (x) , dùng phương trình thiết lập sự tương quan hình học để tìm
x.
10
Phân tích bài toán:
Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta có:
AM + AN + MN = 2AD => có thể biểu thị MB,
NC theo AM, AN,MN và các cạnhcủa tam giác
ABC vì vậy chọn biến là AM, AN, MN và cạnh
của tam giác ABC.
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
- Đưa về bài toán dựng hình cơ bản dựng x sau đó dựng hình cần dựng.
Bài 7. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Dựng hình chữ nhật ABCD nội tiếp nửa

đường tròn ( A và D thuộc MN, Bvà C thuộc nửa đường tròn) sao cho hình chữ nhật đó có diện
tích có diện tích lớn nhất.
Phân tích: Giả sử hình chữ nhật ABCD dựng được như hình vẽ.
Đặt AD = 2a, AB = b, OB =R .
Xét
∆
OAB vuông: OA
2
+ AB
2
= OB
2
=> a
2
+b
2
= R
2
.
Gọi S là diện tích hình chữ nhật ta có S
2 2 2
2ab a b R
= ≤ + =
max S = R
2

⇔
R 2
a b
2

= =
Vậy hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn nhất bằng R
2

⇔
AD = 2AB.và
·
0
AOB 45
=
Cách dựng:
dựng B sao cho
·
0
MOB 45=
=> dựng hình chữ nhật ABCD.
7. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh bất đẳng thức hình học và tìm cực
trị hình học.
Một số bất đẳng thức cần nhớ:
a) Bất đẳng thức Cô-Si:
với hai số không âm a,b ta có:
a b
2 ab
2
+
≥
b)
( )
2
a b 4ab

+ ≥
c) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( 2số ):
( )
( )
2
2 2
2 a b a b
+ ≥ +
Dấu "=" của các bất đẳng thức này xảy ra
⇔
a = b.
Bài 8: Cho đường tròn (O) dây cung BC . A là mộtđiểm trên cung lớn BC . AA', BB', CC' là ba
đường cao của tam giác. H là trực tâm của tam giác
Chứng minh rằng A’A.A’H
4
2
BC
≤
1) Chứng minh rằng
2
3'''
≥++
HC
HC
HB
HB
HA
HA
.
2) Chứng minh rằng

9
.
.
.
.
.
.
≥++
HBHA
CBCA
HAHC
BABC
HCHB
ACAB
.
3) Gia sử BC cố định A là điểm chuyển động trên cung lớn BC.
Xác định vị trí điểm A để chu vi
Δ
A’B’C’ lớn nhất.

Giải:
11
B
A
D
O
C
M
N
R

b
a
A
C
B
B ’
C ’
A ’
H

O
M
R
S
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
Để giải quyết các phần khai thác này cần chứng minh các bất đẳng thức phụ sau:
a) (a+b)
2
≥
4ab.
b) (a+b+c)(
cba
111
++
)
9
≥
. (a, b, c dương).
c)
.

2
3
≥
+
+
+
+
+ ab
c
ca
b
cb
a
(a, b, c dương).
Chứng minh:
a) Xét (a+b)
2
– 4ab = (a-b)
2
≥
0 => (a+b)
2
≥
4ab. Dấu “=” xảy ra  a = b.
b) (a+b+c)(
cba
111
++
) = 1+
11 +++++++

b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
= 3 +






++






++







+
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
.
Do
2.2 =≥+
a
b
b
a
a
b
b
a
.
Tương tự
2≥+

a
c
c
a

2≥+
b
c
c
b
=> (a+b+c)(
cba
111
++
)
9
≥
. Dấu “=” xảy ra  a = b = c.
c)
3111 −






+
+
+







+
+
+






+
+
=
+
+
+
+
+ ab
c
ca
b
cb
a
ab
c
ca

b
cb
a
= (a+b+c)(
baaccb +
+
+
+
+
111
) – 3
=
( ) ( ) ( )
[ ]
3
111
.
2
1
−






+
+
+
+

+
+++++
baaccb
bacacb

2
3
39.
2
1
=−≥
(theo b)
dấu “=” xảy ra  a = b = c.
1) Do
∆
AA'B ∆:
CA'H có A’A.A’H = A’B.A’C
(1)
áp dụng BĐT: (a+b)
2

≥
4ab => ab
4
)(
2
ba +
≤
=> A’B.A’C
44

)''(
22
BCCABA
=
+
≤

(2)
Từ (1) và (2) => A’A.A’H
4
2
BC
≤
. Dấu “=” xảy ra  A’B = A’C 
Δ
ABC cân tại A.
2) Gọi diện tích các tam giác ABC, HBC, HAC, HAB lần lượt là S, S
1
,
S
2
, S
3
Có S = S
1
+ S
2
+ S
3
Có

32
1
1
11
'
''
'
'.
2
1
'.
2
1
'
'
SS
S
HA
HA
SS
S
HAAA
HA
S
S
BCAA
BCHA
AA
HA
+

=⇒
−
=
−
⇒==
Chứng minh tương tự:
21
3
31
2
'
;
'
SS
S
HC
HC
SS
S
HB
HB
+
=
+
=
12
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
Ta có
2
3'''

21
3
31
2
32
1
≥
+
+
+
+
+
=++
SS
S
SS
S
SS
S
HC
HC
HB
HB
HA
HA
. (theo BĐT phần c).
Dấu “=” xảy ra  S
1
= S
2

= S
3
=
3
S
=> H là trọng tâm của
Δ
ABC. Mà H là trực tâm của
Δ
ABC =>
Δ
ABC đều.
3) Do
Δ
CHB’ ~
Δ
CAC’ (g-g). =>
S
S
CCAB
CBHB
ACAB
HCHB
CC
CB
CA
CH
1
'.
2

1
'.
2
1
.
.
'
'
==⇒=
Chứng minh tương tự:
;
.
.
;
.
.
3
2
S
S
BCCA
HBHA
S
S
BCAB
HCHA
==

;1
.

.
.
.
.
.
321
=
++
=++
S
SSS
BCCA
HBHA
BABC
HAHC
ACAB
HCHB
(1)
áp dụng bất đẳng thức: (a+b+c)(
cba
111
++
)
9
≥

9
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
≥






++






++
HBHA
CBCA
HAH C
BABC
HCHB

ACAB
BCCA
HBHA
BABC
HAHC
ACAB
HCHB
(2)
Từ (1) và (2) =>
9
.
.
.
.
.
.
≥++
HBHA
CBCA
HAHC
BABC
HCHB
ACAB
Dấu “=” xảy ra 
Δ
ABC đều.
Từ phần 2) và dựa vào kết quả của bài tập 4 (SGKtrang 54-Ôn tập chương II) có thể khai thác
thêm:
a) Chứng minh rằng:
9

'
'
'
'
'
'
≥++
HC
CC
HB
BB
HA
AA
.
b) AA’, BB’, CC’ lần lượt cắt đường tròn tại M, R, S.
Chứng minh rằng:
3≥++
HC
HS
HB
HR
HA
HM
.
4) Vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn. Do Ax//B’C’ => OA ┴ B’C’.
 S
AB’OC’
=
''.
2

1
''.
2
1
CBRCBOA =
Tương tự S
BC’OA’
=
''.
2
1
CAR
S
BC’OA’
=
''.
2
1
BAR
S
AB’OC’
+ S
BC’OA’
+ S
BC’OA’
=
)''''''.(
2
1
BCCABAR ++

 S
ABC
=
'''
.
2
1
CBA
PR
.
 P
A’B’C’
lớn nhất  S
ABC
lớn nhất  A là điểm chính giữa của cung lớn BC.
Có thể khai thác thêm cho học sinh khá, giỏi tham khảo thêm một số bài toán cực trị:
Xác định vị trí điểm A để:
a) Diện tích
Δ
HBC lớn nhất.
b) Chu vi
Δ
HBC lớn nhất.
c) Tổng HA + HB + HC lớn nhất.
d) Tổng khoảng cách từ Ođến các cạnh
Δ
ABC lớn nhất.B.
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG.
13
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm

Bài 1: Tính sin36
0
mà không sử dụng máy tính hoặc bảng số.
(Đề thi học sinh giỏi tỉnh năm học 2005- 2006).
Bài 2: Tính các góc của một tam gáic vuông biết tỉ số giữa các bán kính của đường tròn ngoại
tiếp và đường tròn nội tiếp bằng
3 1+
.
Bài 3: Cho tam giác ABC có
µ
µ µ
A B 2C= +
và độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp. Tính độ
dài các cạnh của tam giác.
Bài 4: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác.
Đường vuông góc với CI tại I cắt AC, AB theo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng:
a) AM. BN = IM
2
= IN
2
b)
2 2 2
IA IB IC
1
bc ca ab
+ + =
.
Bài 5: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn
đến các cạnh của tam giác bằng tổng các bán kính của đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác đó
Bài 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

( )
O;R 5=
có hai đường chéo vuông góc với
nhau tại I, OI = 1. Gọi S là diện tích tam giác ICD. Chứng minh rằng
1 S 4≤ ≤
.
III. MỘT SỐ ĐIỂM CẦN LƯU Ý KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ VÀO GIẢI
CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC .
1. Những khó khăn mà học sinh thường gặp phải khi giải các dạng toán này.
- Học sinh thường lúng túng trong việc chọn ẩn.
- Học sinh thường khó khăn trong việc phát hiện ra mối quan hệ hình học để lập phương
trình hoặc biểu thức.
- Học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc dự đoán hình để phát hiện ra điểm cố định
hoặc tìm vị trí của điểm.
2. Biện pháp khắc phục.
- Phân tích kĩ bài toán để phát hiện mối quan hệ của yếu tố hình học cần tìm và các yếu tố
hình học đã biết để chọn ẩn trực tiếp hoặc gián tiếp thông qua một yếu tố hình học khác.
- Cần chú ý các mối quan hệ hình học thường gặp: Hệ thức lượng trong tam giác vuông,
hệ thức đường tròn, tam giác đồng dạng từ đó dự đoán để thiết lập được mối quan hệ hình
học.
- Hướng dẫn học sinh dự đoán hình bằng cách đưa về các trường hợp đặc biệt hoặc vẽ hai
trường hợp trên cùng một hình để phát hiện điểm cố định.
- Khi hướng dẫn HS giải các bài tập hình bằng phương pháp Đại số tôi đã cố gắng đưa ra
hệ thống bài tập đa dạng, nhằm phát triển tư duy toán học cho HS. Các kiến thức trong hệ thống
bài tập có sự liên quan chặt chẽ với nhau. Nhiều lời giải hay được chính các em phát hiện trong
quá trình giải bài toán. Tôi xin được trình bày sơ đồ chung giải loại toán này:
14
Dự đoán hình, chọn ẩn
Biểu thị các yếu tố hình
học có liên quan theo ẩn

Lập phương trình hoặc biểu thứcc
Sử dụng bất đẳng thức đại số
để chứng minh bất đẳng thức
hình học
Giải phương trình
Chứng minh
biểu thức
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm

*Trong khi hướng dẫn HS giải bài toán, tôi cũng chú trọng đến việc khuyến khích học sinh tự
khai thác nhằm giúp các em rèn luyện tư duy sáng tạo, tính chủ động trong học tập. Tự khai
thác cũng chính là một trong những phương pháp tự học rất tốt. Nó giúp học sinh yêu thích bộ
môn hình học, thấy được vẻ đẹp của toán học giúp các em tự tin hơn trước bộ môn này.
* Việc hệ thống các bài tập theo nhóm sẽ giúp cho học sinh nắm được cơ sở xuất phát
của một số dạng bài tập. Từ đó các em có thể phân loại được các dạng bài tập và tìm ra mối liên
hệ giữa các bài tập này. Việc hệ thống bài tập sẽ giúp các em có cái nhìn sâu sắc hơn, tổng quát
hơn về các bài tập hình học.
IV. KẾT QUẢ.
1)Kết qủa:
Sau khi áp dụng đề tài này thu được kết quả như sau:
+ Kết quả HS giỏi xếp thứ 2 trong toàn huyện.
+ Có một HS tham gia dự thi HS giỏi tỉnh đạt giải nhì.
Các em không còn bở ngỡ mà thường tỏ ra yêu thích môn hình học, biết vận dụng
phương pháp hợp lý nhất để giải các bài tập, nhất là đối với các dạng bài tập nâng cao, bồi
dưỡng học sinh giỏi.
2)Hạn chế đề tài
- Các bài toán hình học sử dụng phương pháp giải đại số thường rất đa dạng và đặc sắc
nhưng cũng rất khó đối với học sinh tại tâm lý các em ngại đi sâu khai thác và tìm tòi.
- Việc chuyển từ lý thuyết sang thực hành, học sinh chưa thực sự đầu tư suy nghĩ vì vậy còn
lúng túng khi giải quyết các bài tập này.

- Các bài toán loại này thường kết hợp nhiếu phương pháp đại số và sử dụng rất nhiều kiến
thức hình học đây là khó khăn rất lớn không chỉ của học sinh mà còn cả đối với giáo viên.
Do vậy đề tài này không thể đưa hết được những bài toán đặc sắc mà chỉ dừng lại ở việc hệ
thống một số dạng toán cơ bản.
3)Bài học kinh nghiệm .
- Để thực hiện tốt phương pháp dạy học có phân hoá tôi thường sử dụng ngay các bài tập có
sẵn trong sách giáo khoa, để phù hợp với mọi đối tượng học sinh, sau đó khai thác nâng
cao kiến thức trong phạm vi cho phép. Vì vậy khi hướng dẫn học sinh tôi thường chia làm
2 phần:
- Dạy kiến thức cơ bản.
- Khai thác, đào sâu cho học sinh khá giỏi.
- Khuyến khích các em tập khai thác các bài toán giúp học sinh say mê, tìm tòi và sáng tạo
khi giải toán.
- Hướng dẫn học sinh tự đọc các tài liệu tham khảo, sách báo nhằm rèn thói quen tự tiếp cận
với kiến thức của học sinh.
PHẦN C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
* Bổ sung, khai thác sâu chương trình môn toán, phát triển tư duy, khả năng sáng tạo của học
sinh, đáp ứng nhu cầu nguyện vọng của học sinh là mục tiêu và là những kết quả đã đạt được
của "Sử dụng phương pháp Đại số vào giải bài toán hình học" mặc dù có những điểm còn
hạn chế song kết quả của đề tài là không thể phủ nhận. Việc áp dụng đề tài này hoàn toàn có thể
15
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
thực hiện được đối với dạy bồi dưỡng học sinh giỏi. Bản thân tôi đã và đang nhận được sự
khích lệ, động viên của đồng nghiệp và nhà trường.
* Để đề tài này ngày càng có hiệu quả tôi xin mạnh dạn nêu một số đề xuất, kiến nghị sau:
+ Đối với tổ chuyên môn: Cần tăng cường thảo luận để rút kinh nghiệm và ngày càng
hoàn thiện đề tài.
+ Đối với nhà trường:
- Tiếp tục chỉ đạo, kiểm tra việc thực hiện đề tài.
- Mạnh dạn mở các cuộc giao lưu liên trường để giáo viên có điều kiện trao đổi, học hỏi

kinh nghiệm của đồng nghiệp.
+ Đối với phòng giáo dục, sở giáo dục và đào tạo: Nên có những buổi hội thảo các cấp về
vấn đề hai chiều Hình học - Đại số, để giáo viên có thể trau dồi, tích luỹ kiến thức và kinh
nghiệm để giảng dạy tốt hơn.
Trên đây là một số ý kiến nhỏ được rút ra từ thực tế giảng dạy của tôi. Mặc dù đã rất cố
gắng và luôn nhận được sự động viên, khích lệ của nhà trường và các đồng nghiệp nhưng chắc
chắn đề tài còn nhiều hạn chế. Vậy tôi rất mong sự góp ý, giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp để
việc thực hiện đề tài của tôi ngày càng đạt hiệu quả cao hơn.
.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Ngày 15 tháng 3 năm 2007
16