phân loại và phương pháp tìm cực trị trong bài toán điện xoay chiều

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU
MÔN VẬT LÍ
KHỐI LỚP 12
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG CẤP TỈNH
ĐIỂM THỐNG NHẤT
Bằng số:………………………………….……….……
Bằng chữ: ……………………………………….……
Họ và tên Giám khảo số 1: ………………………… …chữ ký…………
Họ và tên Giám khảo số 2: ………………………… …chữ ký…………
NĂM HỌC: 2012 – 2013
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT KẺ SẶT

Số phách
TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU
MÔN VẬT LÍ
TÊN TÁC GIẢ BÀ: ĐỖ THỊ HƯỜNG
Xác nhận của nhà trường (ký, đóng dấu)
UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU
MÔN VẬT LÍ
KHỐI LỚP 12

2
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CẤP CƠ SỞ
ĐIỂM THỐNG NHẤT
Bằng số:………………………………….……….……
Bằng chữ: ……………………………………….……
Họ và tên Giám khảo số 1: …………… ……… Ký tên……
Họ và tên Giám khảo số 2: … ………………Ký tên……
NĂM HỌC: 2012 – 2013
UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU
MÔN VẬT LÍ
KHỐI LỚP 12
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CẤP NGÀNH
3
ĐIỂM THỐNG NHẤT
Bằng số:………………………………….……….……
Bằng chữ: ……………………………………….……
Giám khảo số 1: ………………………… ……………………
Giám khảo số 2: ………………………… ……………………
NĂM HỌC: 2012 – 2013
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Thực trạng của vấn đề
Việc thay đổi hình thức thi môn vật lý của Bộ GD&ĐT từ tự luận sang trắc nghiệm khách
quan đã bộc lộ những ưu điểm mà tôi thấy rất thiết thực là: Nội dung thi bao quát cả chương
trình, tránh được tình trạng học tủ như trước đây và từ đó có thể đánh giá trình độ học sinh
một cách toàn diện. Ngoài ra việc chấm bài thi trắc nghiệm được thực hiện nhanh chóng,
khách quan nhờ sự hỗ trợ của công nghệ thông tin.

Tuy nhiên để làm tốt bài thi trắc nghiệm đòi hỏi người học phải ghi nhớ đầy đủ kiến
thức trọng tâm, biết cách vận dụng linh hoạt, sáng tạo và nhanh nhạy trong phán đoán nhận
dạng cũng như trong tính toán mới có thể đạt được kết quả cao.
Điện xoay chiều là một phần quan trọng trong chương trình vật lí lớp 12 và chiếm tỉ
trọng lớn trong đề thi của các kì thi Quốc gia hiện hành, và đây cũng là một phần có lượng
kiến thức lớn và khó đối với nhiều học sinh THPT. Với lí do đó, tôi chọn nghiên cứu đề tài:
“BÀI TOÁN CỰC TRỊ” nhằm trang bị cho các em học sinh những kiến thức cơ bản, giúp
các em có thể nhanh chóng định hình những kiến thức cần áp dụng để giải các bài tập trắc
nghiệm phần điện xoay chiều một cách nhanh chóng và tránh được những nhầm lẫn.
1.2. Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu
1.2.1. Nhiệm vụ
Đề tài nêu ra phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến cực trị trong phần điện xoay
chiều, từ đó giúp học sinh hình thành phương pháp luận căn bản để giải quyết các vấn đề khi
gặp phải, đồng thời từ đó cũng giúp cho các em có thể phân biệt được, áp dụng được các điều
kiện cụ thể trong từng bài tập. Bên cạnh đó, trên cơ sở những kết quả đã nghiên cứu, các kiến
thức được phân loại trong từng trường hợp vận dụng giúp học sinh ghi nhớ và áp dụng một
cách nhanh chóng.
1.2.2. Phương pháp
- Vận dụng những kiến thức toán học để tìm cực trị, như:
+ Tính chất của phân thức đại số.
+ Tính chất của các hàm số lượng giác.
+ Bất đẳng thức Cô-si.
+ Tính chất đạo hàm của hàm số.
1.2.3. Phạm vi của đề tài
Đề tài nghiên cứu một vấn đề tương đối khó, đề cập đến các dạng bài tập nâng cao thường
gặp trong đề thi TSĐH, CĐ và chủ yếu dành cho học sinh khá giỏi. Với phạm vi một sáng
kiến, kinh nghiệm ở trường THPT chúng tôi chỉ đề cập đến một số vấn đề nhỏ của môn vật lý
lớp 12:
- Nghiên cứu về bài toán cực trị trong điện xoay chiều và một số trường hợp vận
dụng.

4
PHẦN 2: NỘI DUNG
2.1. Những kiến thức toán học bổ trợ
2.1.1. Tính chất của phân thức đại số
Xét một phân số P =
B
A
, trong điều kiện A là hằng số dương, thì phân số P đạt giá trị
lớn nhất nếu mẫu số B nhỏ nhất.
2.1.2. Tính chất của các hàm số lượng giác
Đối với các hàm số lượng giác :
+ y = sinx thì
max
y
= 1 khi x =
π
/2 + k
π
(k
∈
Z)
+ y = cosx thì
max
y
= 1 khi x =

k
π
(k
∈

Z)
2.1.3. Bất đẳng thức Cô-si
Với hai số thực dương a,b thì ta luôn có : a + b
≥
2
ab
Điều kiện để đẳng thức xảy ra là: a = b, và nếu ab không đổi thì khi đó tổng (a + b)
bé nhất
2.1.4. Tính chất đạo hàm của hàm số
Xét hàm số y = f(x); (x ∈ R) có đạo hàm tại x = x
o
và liên tục trong khoảng chứa x
o
. Nếu hàm
số đạt cực trị tại x = x
o
thì f’(x
o
) = 0
Và : + Nếu f’’(x
o
) > 0 thì x
o
là điểm cực tiểu.
+ Nếu f’’(x
o
) < 0 thì x
o
là điểm cực đại.
2.2. Những trường hợp vận dụng cụ thể

2.2.1. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp:
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu điện thế hai đầu ổn định :
0
cos( )
u
u U t
ω ϕ
= +
R là một biến trở, các giá trị R
0
, L và C không đổi.
Gọi R
td
= R + R
0
a. Có hai giá trị R
1
≠ R
2
cho cùng một giá trị
công suất
- Công suất tiêu thụ trên mạch là :
2
2
2 2
( )
td td
td L C
U
P R I R

R Z Z
= =
+ −
- Vì P
1
= P
2
= P nên ta có thể xem như công suất trong phương trình trên là một số không đổi
ứng với hai giá trị R
1
và R
2
. Khai triển biểu thức trên ta có:
2 2 2
( ) 0
td td L C
PR R U P Z Z− + − =
- Nếu có 2 giá trị của điện trở cho cùng một giá trị công suất thì phương trình bậc 2 trên có
hai nghiệm phân biệt R
1
và R
2
. Theo định lý Viet
2 2
1 2 1 0 2 0
2 2
1 2 1 2 0
. ( ) ( )( ) ( )
2
td td L C L C

td td
R R Z Z R R R R Z Z
U U
R R R R R
P P
 
= − + + = −
 
⇔
 
+ = + + =
 
 
điều kiện R
0
<
CL
ZZ −
- Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R
1
và R
2
khác nhau cho cùng giá trị công suất
b. Giá trị của R làm cho công suất cực đại
+ Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại
5
A
B
C
R

L,R
0
- Ta có:
2 2
2
2
2 2
( )
( )
td td
L C
td L C
td
td
U U
P R I R
Z Z
R Z Z
R
R
= = =
−
+ −
+
- Đặt
2
( )
L C
td
td

Z Z
A R
R
−
= +
, áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A
-
2 2
( ) ( )
2 2
L C L C
td td L C
td td
Z Z Z Z
A R R Z Z const
R R
− −
= + ≥ = − =
- Ta thấy rằng P
max
khi A
min
=> “ =” xảy ra. Vậy:
td L C
R Z Z= −
- Khi đó giá trị cực đại của công suất là:
2 2 2
max
1 2 1 0 2 0
2

2 . 2 ( )( )
L C
td td
U U U
P
Z Z
R R R R R R
= = =
−
+ +
Với R
1td
và R
2td
là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất.
Lưu ý: Khi
0L C
Z Z R− <
thì giá trị biến trở R < 0, khi đó giá trị biến trở làm cho
công suất toàn mạch cực đại là R = 0.
+ Giá trị R làm cho công suất của R cực đại
- Công suất của biến trở R là
2 2
2
2 2
2 2
0
0
( ) ( )
( ) ( )

R
L C
L C
U U
P R I R
R R Z Z
R R Z Z
R
= = =
+ + −
+ + −
- Đặt mẫu của biểu thức trên là :
2 2 2 2
0 0
0
( ) ( ) ( )
2
L C L C
R R Z Z R Z Z
A R R
R R
+ + − + −
= = + +
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được:
2 2 2 2
2 2
0 0
0 0 0 0
( ) ( )
2 2 2 2 ( ) 2

L C L C
L C
R Z Z R Z Z
A R R R R R Z Z R const
R R
+ − + −
= + + ≥ + = + − + =
- Ta thấy rằng P
Rmax
khi A
min
nghĩa là dấu “ =” phải xảy ra, khi đó:
2 2
0
( )
L C
R R Z Z= + −
- Công suất cực đại của biến trở R là:
2
max
2 2
0 0
2 ( ) 2
R
L C
U
P
R Z Z R
=
+ − +

+ Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại, cường độ dòng điện cực đại, hiệu điện
thế cuộn dây cực đại, hiệu điện thế tụ điện cực đại.
- Ta có :
2 2 2
â 0 0
2 2
0
; ;
( ) ( )
d y d L c C
L C
P R I U I Z R U IZ
U
I
R R Z Z
= = + =
=
+ + −
- Vì R
0
; Z
L
; Z
C
và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ cần cường
độ dòng điện qua mạch cực đại. Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng I
max
khi giá trị của
biến trở R = 0.
c. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R

- Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R người ta
thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:
- Ta có công suất toàn mạch biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:
6
2
2
2 2
0
( )
td td
td L C
td
U
P R I R
R Z Z
R R R
= =
+ −
= +
- Đạo hàm P theo biến số R
td
ta có:
2 2
' 2
2 2 2
( )
( )
( ( ) )
L C td
td L C

Z Z R
P R U
R Z Z
− −
=
+ −
Khi
' 2 2
0
( ) 0 ( ) 0
L C td td L C L C
P R Z Z R R Z Z R Z Z R= ⇒ − − = ⇒ = − ⇒ = − −

Bảng biến thiên :
R
0
0L C
Z Z R− −
+∞
P’(R) + 0 -
P(R)

2
max
2
L C
U
P
Z Z
=

−
2
0
2 2
0
( )
L C
U
P R
R Z Z
=
+ −
0
Đồ thị của P theo R:
P
Nhận xét đồ thị :
a. Từ đồ thị ta thấy rằng có hai giá trị R
1
và R
2
cho cùng một giá trị
của công suất.
b. Công suất đạt giá trị cực đại khi
0
0
L C
R Z Z R= − − >
c. Trong trường hợp
0
0

L C
R Z Z R= − − <
thì đỉnh cực đại nằm ở phần
R< 0 do đó ta thấy rằng công suất của mạch sẽ lớn nhất khi R = 0.
d. Nếu R
0
= 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta luôn có giá trị R
làm cho công suất của toàn mạch cực đại là
L C
R Z Z= −
Kết luận:
e. Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1
và 2 sẽ không hiệu quả bằng phương pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và bất đẳng thức
Cauchy.
f. Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P theo biến trở
R nhằm định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi thay đổi điện trở.
d. Tìm điều kiện để U
AN
hoặc U
MB
có giá trị không đổi và không phụ thuộc vào giá trị
của điện trở R

M N
Cho mạch điện như hình vẽ: Điện trở R có giá trị thay đổi, L và C không đổi.
điện áp giữa hai đầu đoạn mạch u = U
0
)cos(
ϕω
+t

+ TH1: Tìm điều kiện để U
AN
có giá trị không đổi và không phụ thuộc vào giá trị điện trở R.
Ta có biểu thức
7
P
R
O
P
max
R=Z
L
- Z
C
- R
0
2
max
2
L C
U
P
Z Z
=
−
2
0
2 2
0
( )

L C
U
P R
R Z Z
=
+ −
R
1
R
2
A
B
C
RL
22
2222
22
22
22
2
1
2)(
L
CLCCCLL
L
CL
L
ANAN
ZR
ZZZ

U
ZZZZR
ZRU
ZZR
ZRU
IZU
+
−
+
=
+−+
+
=
−+
+
==
Nhận xét : Nếu
LCCLC
ZZZZZ 202
2
=→=−
với
R∀
thì U
AN
= U = hằng số
+TH2: Tìm điều kiện để U
MB
có giá trị không đổi và không phụ thuộc vào giá trị điện trở R.
Ta có biểu thức

22
2222
22
22
22
2
1
2)(
C
CLLCCLL
C
CL
C
MBMB
ZR
ZZZ
U
ZZZZR
ZRU
ZZR
ZRU
IZU
+
−
+
=
+−+
+
=
−+

+
==
Nhận xét : Nếu
CLCLL
ZZZZZ 202
2
=→=−
với
R∀
thì U
MB
= U = hằng số
Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là:
)100cos(2150 tu
π
=
V,
HL
π
4,1
=
, C =
F
4
10
2
1
−
π
. Tìm R để:

a. Mạch tiêu thụ công suất P = 90W và viết biểu thức của cường độ dòng điện trong mạch khi
đó.
b. Công suất tỏa nhiệt trên mạch cực đại P
max
và tính giá trị P
max
Hướng dẫn giải:
Ta có:
,200Ω=
L
Z
,125Ω=
C
Z
VU 150
=
a. Công suất của mạch tiêu thụ chính là công suất tỏa nhiệt trên điện trở R:
⇒=+−→=
+
→=→= 075.901509090
75
150
90
222
22
2
2
2
2
RR

R
R
Z
U
RIP
R = 225
Ω

R = 25
Ω
Với R = 225
Ω
107575225
22
=+=→ Z
Ω
)(
5
2
1075
2150
0
0
A
Z
U
I ===→
Độ lệch pha của u vµ i thỏa mãn
)
3

1
arctan()
3
1
arctan(
3
1
225
75
tan −=→−==→==
−
=
iiu
CL
R
ZZ
ϕϕϕϕϕ
Biểu thức cường độ dòng điện là i =
At (
3
1
arctan100cos
5
2













−
π
)
Với
1025752525
22
=+=→Ω= ZR
(
Ω
)
)(
5
6
1025
2150
0
0
A
Z
U
I ===→
.
Độ lệch pha của u vµ i thỏa mãn
)3arctan()3arctan(

3
1
25
75
tan −=→−==→==
−
=
iiu
CL
R
ZZ
ϕϕϕϕϕ
Biểu thức cường độ dòng điện là: i =
( )
[ ]
At (3arctan100cos
5
6
−
π
)
P = I
y
U
R
ZZ
R
U
R
ZZR

U
R
Z
U
R
CLCL
2
2
2
22
2
2
2
2
)()(
=
−
+
=
−+
==
víi y =
R
ZZ
R
CL
2
)( −
+
b. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

8
y =
R
ZZ
R
CL
2
)( −
+
( )
CLCL
CL
ZZyZZ
R
ZZ
R −=→−=
−
≥ 22.2
min
2
Dấu bằng xảy ra khi
75
)(
2
=−=→
−
=
CL
CL
ZZR

R
ZZ
R
(
Ω
)
Khi đó công suất cực đại của mạch
)(150
75.2
150
2
22
min
2
max
W
ZZ
U
y
U
P
CL
==
−
==
Vậy khi R = 75 (
Ω
) thì P
max

= 150(W)
Ví dụ 2: (Đại học – 2009)
Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R
mắc nối tiếp với tụ điện. Dung kháng của tụ điện là 100Ω. Khi điều chỉnh R thì tại hai giá trị
R
1
và R
2
công suất tiêu thụ của đoạn mạch như nhau. Biết điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ
điện khi R = R
1
bằng hai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R
2
. Các giá trị
R
1
và R
2
là:
A. R
1
= 50Ω, R
2
= 100Ω. B. R
1
= 40Ω, R
2
= 250Ω.
C. R
1

= 50Ω, R
2
= 200Ω. D. R
1
= 25Ω, R
2
= 100Ω.
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có P
1
=P
2

[ ] [ ]
22
12
22
212
22
2
2
1
22
1
2
2
2
21
2
1 CC

CC
ZRRZRRR
ZR
U
R
ZR
U
RIRI +=+→
+
=
+
→=→
Sau khi biến đổi ta được
2
21
2
21
100=→= RRZRR
C
(1)
Mặt khác, gọi U
1C
là điện áp tụ điện khi R = R
1
và U
2C
là điện áp tụ điện khi
R = R
2
. Khi đó theo bài ta được

4
2
2
1
1
2
2
2
21
2
121
=






=→=→=
I
I
R
R
RIRIPP
(2)
Giải (1) và (2) ta được R
1
= 50Ω, R
2
= 200Ω.

Ví dụ 3: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng và một biến
trở R được mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch điện một hiệu điện thế xoay chiều u =
)()120cos(2120 Vt
π
. Biết rằng ứng với hai giá trị của biến trở: R
1
= 18Ω và R
2
= 32Ω thì
công suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau. Công suất P của đoạn mạch có thể nhận giá
trị nào trong các giá trị sau?
Hướng dẫn giải:
Theo chứng minh công thức ở trên ta được
)(288
3218
120
2
21
2
W
RR
U
P =
+
=
+
=
Ví dụ 4: Một mạch điện gồm một tụ điện C =
)(
2

10
4
F
π
−
, một cuộn cảm L =
)(
1
H
π
thuần cảm
kháng và một biến trở R
được mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch
điện một hiệu điện thế xoay chiều u=
)()120cos(2150 Vt
π
. Tìm giá trị U
AN
để
U
AN
không phụ thuộc vào giá trị của điện trở R.
Hướng dẫn giải:
Z
L
= 100(
),Ω
Z
C
= 200(

Ω
)
22
2222
22
22
22
2
1
2)(
L
CLCCCLL
L
CL
L
ANAN
ZR
ZZZ
U
ZZZZR
ZRU
ZZR
ZRU
IZU
+
−
+
=
+−+
+

=
−+
+
==
9
A
B
C
R
L
N
Nhận xét : Nếu
LCCLC
ZZZZZ 202
2
=→=−
với
R∀
thì U
AN
= U = hằng số = 150(V)
2.2.2. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
0
cos( )
u
u U t
ω ϕ
= +
L là một cuộn dây thuần cảm có giá trị thay đổi,

R và C không đổi.
a. Có hai giá trị L
1
≠ L
2
cho cùng giá trị công suất
- Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên:
1 2
2 2
1 2
2 2 2 2
( ) ( )
L C L C
U U
P P R R
R Z Z R Z Z
= ⇔ =
+ − + −
- Khai triển biểu thức trên ta thu được :
( )
→−=−
2
2
2
1
)(
CLCL
ZZZZ
Z
CLCL

ZZZ −=−
21
(loại)
Z
)(
21 CLCL
ZZZ −−=−
(thỏa mãn)
Suy ra :
1 2
1 2
2
2
2
L L
C
Z Z
Z L L
C
ω
+
= ⇔ + =
b. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng Z
L
+ Ta có công suất toàn mạch là:
2
2 2
( )
L C
U

P R
R Z Z
=
+ −
với R, C là các hằng số, nên công suất của mạch là một hàm số theo biến số Z
L

+ Đạo hàm của P theo biến số Z
L
ta có:
[ ]
0)(
)(
2)(
'
2
22
2'
=→
−+
−
=
L
CL
LC
L
ZP
ZZR
ZZ
RUZP

khi
L C
Z Z=
+ Bảng biến thiên
Z
L
0 Z
L
= Z
C
+∞
P’(Z
L
) + 0 -
P(Z
L
)

2
max
U
P
R
=
2
2 2
C
U
P R
R Z

=
+
0
Đồ thị của công suất theo Z
L
:
10
P
Z
L
O
P
max
Z
L
= Z
C

2
max
U
P
R
=
2
2 2
C
U
P R
R Z

=
+
A
B
C
R
L
Z
L1
Z
L2
* Nhận xét đồ thị:
- Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất
- Công suất của mạch cực đại khi
1 2
2
L L
L C
Z Z
Z Z
+
= =
, với
1 2
;
L L
Z Z
là hai giá trị của cảm
kháng cho cùng một giá trị công suất.
Kết luận: Từ việc khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của Z

L
sẽ cho phép định
tính được sự tăng hay giảm của P theo Z
L
. Từ đó ta có thể tiên đoán được sự thay đổi của
công suất theo giá trị của Z
L
trong một số bài toán.
c. Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
Lmax

+ Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là :
2 2
( )
L L L
L C
U
U IZ Z
R Z Z
= =
+ −
, trong đó R; Z
C
và U là
các hằng số không đổi. Ta có thể dùng phương pháp khảo
sát hàm số này theo biến số là Z
L
. Tuy nhiên với cách

khảo sát hàm số sẽ rất phức tạp. Với phương pháp dùng
giản đồ Vectơ bài toán này có thể giải dễ hơn và rút ra
nhiều kết luận hơn.
+ Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong
tam giác ta có :
sin( ) sin
L
U U
α β γ
=
+
11
P
i
U
R
U
RC
U
O
U
C
U
L
α
β
γ
+ Vì
2 2
sin cos

R
RC
C
U R
const
U
R Z
γ β
= = = =
+
, suy ra
sin( ) sin( )
sin cos
L
U U
U
α β α β
γ β
= + = +
+ Do cosβ và U là các giá trị không đổi nên hiệu điện thế U
Lmax
khi
sin( ) 1
2
π
α β α β
+ = ⇒ + =
+ Theo hệ thức của tam giác vuông ta có:
2
RC C L

U U U=
, từ đó suy ra
2 2
L C C
Z Z R Z= +
* Tóm lại:
- Khi
2 2
C
L
C
R Z
Z
Z
+
=
thì
2 2
max
C
L
R Z
U U
R
+
=
=
R
CR
U

UU
U
22
+
- Khi U
Lmax
thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn u
RC
một góc 90
0
.
d. Có hai giá trị L
1
≠ L
2
cho cùng giá trị U
L
, giá trị L để U
Lmax
tính theo L
1
và L
2
.
+ Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế:
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
2 2 2 2

( ) ( )
L L
L L L L
L C L C
Z Z
U U Z I Z I
R Z Z R Z Z
= ⇔ = ⇔ =
+ − + −
+ Bình phương và khai triển biểu thức trên ta thu được:
1 2
1 1 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
L L
C L L C C L L C
Z Z
R Z Z Z Z R Z Z Z Z
=
+ + − + + −
* Theo kết quả phần trên khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây cực đại thì
2 2
L C C
Z Z R Z= +
với giá trị Z
L
là giá trị làm cho U
Lmax
. Thay vào biểu thức trên:

1 2
1 1 2 2
2 2
2 2
2 2
L L
L C L L C L C L L C
Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
=
+ − + −
+ Tiếp tục khai triển biểu thức trên ta thu được:
1 2 1 2 1 2
2 2
( ) 2 ( )
L L L L L L L
Z Z Z Z Z Z Z− = −
+ Vì L
1
≠ L
2
nên đơn giản biểu thức trên ta thu được:
1 2
1 2
1 2
1 2
2
2
L L
L

L L
Z Z
L L
Z L
Z Z L L
= ⇔ =
+ +
với L là giá trị làm cho U
Lmax
e. Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
LRmax
+ Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
( ) ( )
L
LR L
L C L C
L
U R Z
U
U I R Z
R Z Z R Z Z
R Z
+
= + = =

+ − + −
+
=
y
U
ZR
ZZZ
U
L
CLC
+
=
+
−
+
1
2
1
22
2
Đặt y=
22
2
2
L
CLC
ZR
ZZZ
+
−

00
)(
)(2
22'
222
22
'
=−−→=→
+
−−
=→ RZZZy
ZR
RZZZZ
y
LCL
L
LCLC
.
Nghiệm của phương trình bậc hai này là:
1
2
2 2
2 2
4
0
2
4
0
2
C C

L
C C
L
Z R Z
Z
Z R Z
Z

+ +

= >


− +

= <


.
Lập bảng biến thiên ta có:
12
Z
L
0
2 2
4
2
C C
L
Z R Z

Z
+ +
=
+∞
MT’(Z
L
)

- 0 +
MT (Z
L
)

2
2 2
4
2
C C
R Z Z
R
 
+ −
 ÷
 ÷
 
+ Từ bảng biến thiên ta thấy rằng MT đạt giá trị nhỏ nhất nên U
LR
đạt giá trị lớn nhất. Ta thu
được kết quả sau:
Khi

2 2
4
2
C C
L
Z R Z
Z
+ +
=
thì
ax
2 2
2 R
4
RLM
C C
U
U
R Z Z
=
+ −
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó
3100=R
( )
Ω
, C =
)(
2
10
4

F
π
−
. Cuộn dây
thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được. Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là u =
200cos(100πt) (V). Xác định độ tự cảm của cuộn dây trong các trường hợp sau:
a. Hệ số công suất của mạch cosφ = 1.
b. Hệ số công suất của mạch cosφ =
2
3
.
c. Điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm L là cực đại.
Hướng dẫn giải:
a. Ta có
)(200
1
Ω==
ω
C
Z
C
)(
2
2
10
.)100(
11
11cos
4
2

2
H
C
LZZZR
Z
R
CL
π
π
π
ω
ϕ
===→=⇔=→=→=
−
b. Hệ số công suất

( )
[ ]
22
2
22
)(33432
2
3
2
3
cos
CLCL
ZZRZZRRZR
Z

R
−=→−+=→=→=→=
ϕ
Khi
⇔±=−
3
R
ZZ
CL
Z
L
= 300
Ω

⇔
L =
π
3
(H)
Z
L
= 100
Ω
L =
π
1
(H)
c. Theo chứng minh trên ta được khi
Z
)(

10
35
)(350
200
200)3100(
22
22
HL
Z
ZR
C
C
L
π
=→Ω=
+
=
+
=
thì điện áp hiệu dụng hai đầu L
đạt cực đại. Giá trị cực đại:
)(
3
42100
200)3100(
3100
2100
2222
max
VZR

R
U
U
CL
=+=+=
Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC, L có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là
))(100cos(2170 Vtu
π
=
. Các giá trị R = 80
Ω
, C =
)(
2
10
4
F
π
−
. Tìm L để:
a. Mạch có công suất cực đại. Tính P
max
.
13
A
B
C
R
L
b. Mạch có công suất P = 80W.

c. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu L đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó.
* Hướng dẫn giải:
Ta có R = 80
Ω
, Z
C
= 200
Ω
a. Công suất của mạch P = I
2
R. Do R không đổi nên:
P
( )
π
2
200
maxmax
=→Ω==⇔⇔ LZZI
CL
(H) Khi đó P
)(
80
170
22
2
maxmax
W
R
U
RI ===

Z
L
= 350
Ω

Z
L
= 50
Ω
⇔
L =
π
5,3
(H)
L =
π
5,0
(H)
c. Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại
khi
)(
100
232
)(232
200
20080
22
22
HL

Z
ZR
Z
C
C
L
π
=→Ω=
+
=
+
=
.
Giá trị cực đại
)(298520080
80
170
2222
max
VZR
R
U
U
CL
=+=+=
Ví dụ 3:
Cho mạch điện RLC, điện áp hai đầu mạch điện là u =200
2
cos(100πt) (V).
L thay đổi được. Khi mạch có L = L

1
=
π
33
(H) và L = L
2
=
π
3
(H). Thì mạch có cùng
cường độ dòng điện hiệu dụng nhưng giá trị tức thời lệch pha nhau góc
3
2
π
.
a. Tính R và C
b. Viết biểu thức của i
Hướng dẫn giải:
Ta có Z
L1
= 300
3
Ω
, Z
L2
= 100
3

Ω

a. Do Z
L1
– Z
C
= Z
L2
– Z
C
⇔−+=−+→=→=
2
2
22
1
2
2121
)()(
CLCL
ZZRZZRZZII
Z
L1
– Z
C
= Z
C
– Z
L2

Theo bài thì u
1
và u

2
lệch pha nhau góc
3
2
π
nên có một biểu thức là nhanh pha hơn i và một
biểu thức chậm pha hơn i. Do
)(3100)(3300
21
Ω=>Ω=
LL
ZZ
nên u
1
nhanh pha hơn i
còn u
2
chậm pha hơn i.
Khi đó
3
tantan1
tantan
3)tan(
3
2
21
21
2121
−=
−

+
→−=+→=+
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
π
ϕϕ
(1)
Trong đó
RR
ZZ
RR
ZZ
LCCL
3100
tan;
3100
tan
2
2
1
1
=
−
==
−
=
ϕϕ
(1)
3

)
3100
(1
31003100
2
−=
−
+
⇔
R
RR
→=−−→ 01
20010.3
2
4
R
R
R = - 300 (
Ω
)
R = 100 (
Ω
)
14
⇒=
−+
→=→==
80
)200(80
80.170

80200
222
2
2
2
L
Z
R
Z
U
RIP
Vậy các giá trị cần tìm là R = 100 (
Ω
), C =
)(
32
10
4
F
π
−
b. Viết biểu thức của i
• Với R = 100
Ω
, Z
C
= 200
3
Ω
, Z

L1
= 300
3
(
Ω
)
Tổng trở của mạch Z =
)(2
200
2200
)(200)3100(100
0
22
AI ==→Ω=+
Độ lệch pha của u và i: tan
33
3
100
3100
1
π
ϕ
π
ϕϕ
−=→=→==
−
=
i
CL
R

ZZ
(rad)
Biểu thức của cường độ dòng điện i là: i =
)()
3
100cos(2 At
π
π
−
• Với R = 100
Ω
, Z
C
= 200
3
Ω
, Z
L2
= 100
3
(
Ω
)
Tổng trở của mạch: Z =
)(2
200
2200
)(200)3100(100
0
22

AI ==→Ω=−+
Độ lệch pha của u và i: tan
33
3
100
3100
2
π
ϕ
π
ϕϕ
=→−=→−=
−
=
−
=
i
CL
R
ZZ
(rad)
Biểu thức của cường độ dòng điện i là: i =
)()
3
100cos(2 At
π
π
+
* Nhận xét: Cách giải trên là tổng quát cho trường hợp độ lệch pha bất kỳ. Tuy nhiên trong
bài toán trên chúng ta có thể nhận xét được rằng do cường độ dòng điện trong hai trường hợp

bằng nhau nên trong hai trường hợp đó độ lệch pha của u và i có cùng độ lớn. Khi đó u
1
sẽ
nhanh pha hơn i góc
3
π
là giải ra R luôn chứ không cần phải khai triển công thức lượng giác.
2.2.3 Sự thay đổi C trong mạch R - L - C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu thế hai đầu ổn định:
0
cos( )
u
u U t
ω ϕ
= +
. R là điện trở, L là một cuộn dây
thuần cảm không đổi và C có giá trị thay đổi
Nhận xét: Vì trong công thức tổng trở
2 2 2 2
( ) ( )
L C C L
Z R Z Z R Z Z= + − = + −
do đó ta thấy
rằng bài toán thay đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị L. Do đó khi thực
hiện việc khảo sát ta cũng thực hiện tương tự thu được các kết
quả sau:
a. Có hai giá trị C
1
≠ C
2

cho cùng giá trị công suất P. Tìm C = C
0
để P
max
Với hai giá trị C
1
và C
2
cho cùng giá trị công suất ta có
1 2
0
1 2
0
1 2
2
1 2
2
1 1
2
2
C C
L C
C C
C
Z Z
C C
Z Z
L
C C
ω


=

+
+

= = ⇔

= +


Với giá trị C
0
là giá trị làm cho công suất mạch cực đại
b. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng
- Bảng biến thiên:
Z
C
0 Z
C
= Z
L
+∞
P’(Z
C
) + 0 -
15
A
B
C

R
L
P(Z
C
)

2
max
U
P
R
=
2
2 2
L
U
P R
R Z
=
+

0
Đồ thị của công suất theo giá trị Z
C

P P

Z
C1
Z

C2

c. Giá trị Z
C
để hiệu điện thế U
Cmax

Khi
2 2
L
C
L
R Z
Z
Z
+
=
thì :
+
2 2
ax
L
CM
U R Z
U
R
+
=
và
2 2 2 2 2 2

ax ax ax
; 0
CM R L CM L CM
U U U U U U U U= + + − − =
+ u
RL
vuông pha với hiệu điện thế hai đầu mạch
d. Có hai giá trị C
1
≠ C
2
cho cùng giá trị U
C
, giá trị Z
C
để U
Cmax

- Khi có hai giá trị C = C
1
hoặc C = C
2
cho cùng giá trị U
C
thì giá trị của C làm cho U
Cmax
khi
1 2
1 2
1 1 1 1

( )
2 2
C C C
C C
C
Z Z Z
+
= + ⇒ =
e. Giá trị Z
C
để hiệu điện thế U
RCmax
- Khi
2 2
4
2
L L
C
Z R Z
Z
+ +
=
thì
ax
2 2
2 R
4
RCM
L L
U

U
R Z Z
=
+ −
(Với điện trở R và tụ điện mắc gần
nhau).
16
P
Z
C
O
P
max
Z
L
= Z
C

2
max
U
P
R
=
2
2 2
L
U
P R
R Z

=
+
Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có R = 100(
Ω
), L =
)(
1
H
π
, C thay đổi. Điện áp hai đầu đoạn
mạch u = 100
2
cos(100πt) (V). Tìm C để:
a. Mạch tiêu thụ công suất P = 50W
b. Mạch tiêu thụ công suất cực đại. Tính P
max

c. U
C
max * Hướng dẫn giải:
a. Ta có R

= 100(
Ω
), Z
L
= 100(
Ω
) 100 – Z
C

= 100
P = I
2
R = 50
→=
−+
→=→ 50
)100(100
100.100
50
22
2
2
2
C
Z
R
Z
U
100 – Z
C
= - 100
→
Z
C
= 0
Z
C
= 200(
Ω

) Nhận nghiệm Z
C
= 200(Ω) ta được C =
F(
2
10
4
π
−
)
b. Công suất của mạch P = I
2
R. Do R không đổi nên:
P
max

)(
10
)(1000
4
max
FCZZZZI
LCCL
π
−
=→Ω==→=−→→
Khi đó P
max
=
)(100

100
100
22
2
max
W
R
U
RI ===
c. Theo công thức đã chứng minh được điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ cực đại khi:
2 2
L
C
L
R Z
Z
Z
+
=
=
( )
)(
2
10
200
100
100100
422
FC
π

−
=→Ω=
+
Khi đó
2 2
ax
L
CM
U R Z
U
R
+
=
=
)(2100100100
100
100
22
V=+
Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch:
u = 200
2
cos(100πt) (V) Khi C = C
1
=
π
4
10
4−
(F) và C = C

2
=
π
2
10
4−
(F) thì mạch có cùng công
suất P = 200(W).
a. Tính R và L.
b. Tính hệ số công suất của mạch ứng với C
1
, C
2
.
* Hướng dẫn giải
a. Z
C1
= 400(
Ω
), Z
)(200
2
Ω=
C
. Theo giải thiết ta có:
)(
3
300
2
200

21
21
2
2
2
1
2
2
2
121
HL
ZZ
Z
ZZZZZZRIRIPPP
CC
L
LCCL
π
=→Ω=
+
=→
−=−→=→=→===
Với Z
L
= 300Ω
0100200200
100
200
200
)(

200
22
22
2
2
1
2
2
1
=+−→=
+
→=
−+
→= RR
R
R
R
ZZR
U
P
CL
Giải phương trình ta được nghiệm duy nhất R = 100Ω. Vậy
,100Ω=R

)(
3
HL
π
=
b. Tính hệ số công suất ứng với các trường hợp

•Khi
2
1
2100
100
cos2100)400300(100)(
4
10
22
4
1
===→=−+=→==
−
Z
R
ZFCC
ϕ
π
•Khi
2
1
2100
100
cos2100)200300(100)(
2
10
22
4
2
===→=−+=→==

−
Z
R
ZFCC
ϕ
π
Nhận xét : Trong hai trường hợp L thay đổi và C thay đổi chúng ta thấy vai trò của L và C là
17
bình đẳng nên hoán đổi vị trí của L và C ta sẽ được kết quả. Vậy nên trong trắc nghiệm chúng
ta chỉ cần nhớ kết quả với C hoặc L.
(U
C max
) =
22
L
ZR
R
U
+
khi Z
C
=
L
L
Z
ZR
22
+
(U
L max

) =
22
C
ZR
R
U
+
khi Z
L
=
C
C
Z
ZR
22
+
2.2. 4 Sự thay đổi ω trong mạch R - L - C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)
a. Giá trị ω làm cho P
max
, U
Rmax
, I
max
- Ta có
2
2
2
2
1
U

P RI R
R L
C
ω
ω
= =
 
+ −
 ÷
 
, từ công thức này ta thấy rằng công suất của
mạch đạt giá trị cực đại khi:
.
1
0
1
0
LC
C
L ==→=−
ωω
ω
ω
Với
2
max
U
P
R
=

- Khi đó Z
min
= R và hiệu điện thế giữa hai đầu mạch và cường độ dòng điện qua mạch đồng
pha nhau.
b. Có hai giá trị ω
1
≠ ω
2
cho cùng công suất và giá trị ω làm cho P
max

- Nếu có hai giá trị tần số khác nhau cho một giá trị công suất thì:
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
21
)
1
()
1
(
C
LR

U
R
C
LR
U
RPP
ω
ω
ω
ω
−+
=
−+
⇒=
- Biến đổi biểu thức trên ta thu được:
)1(
11
2
2
1
1
C
L
C
L
ω
ω
ω
ω
−=−

)2)(
1
(
1
2
2
1
1
C
L
C
L
ω
ω
ω
ω
−−=−
- Vì ω
1
≠ ω
2
nên nghiệm (1) bị loại
- Khai triển nghiệm (2) ta thu được:
1 2
1
LC
ω ω
=
- Theo kết quả ta có :
2

0 1 2
1
LC
ω ω ω
= =
với ω
0
là giá trị cộng hưởng điện.
c. Khảo sát sự biến thiên công suất theo ω.
- Ta có
2
2
2
2
1
U
P RI R
R L
C
ω
ω
= =
 
+ −
 ÷
 
. Việc khảo sát hàm số P theo biến số ω bằng việc lấy
đạo hàm và lập bảng biến thiên rất khó khăn vì hàm số này tương đối phức tạp. Tuy nhiên, ta
có thể thu được kết quả đó từ những nhận xét sau:
+ Khi ω = 0 thì

1
C
Z
C
ω
= → ∞
làm cho P = 0
+ Khi
0
1
LC
ω ω
= =
thì mạch cộng hưởng làm cho công suất trên mạch cực đại
+ Khi
ω
→ ∞
thì
L
Z L
ω
= → ∞
làm cho P = 0. Từ những nhận xét đó ta dễ dàng thu được sự
biến thiên và đồ thị:
ω
0
0
1
LC
ω ω

= =
+∞
18
P(ω)

2
U
R
0 0
P

1
ω

2
ω


Nhận xét đồ thị
Từ đồ thị ta thấy rằng sẽ có hai giá trị
ω
1
≠
ω
2
cho cùng một giá trị công suất, điều này phù
hợp với những biến đổi ở phần trên.
d. Giá trị ω làm cho hiệu điện thế U
Lmax
Ta có :

. .
L L L
L
U U
U I Z Z
Z
Z
Z
= = =
, đặt
2
2
2
2
1
( )
L
R L
Z
C
A
Z L
ω
ω
ω
 
+ −
 ÷
 
 

= =
 ÷
 
Biến đổi biểu thức A ta thu được :
2
2
2 2 2
1
1
R
A
L LC
ω ω
 
= + −
 ÷
 
Ta tiếp tục đặt
2
1
0x
L
ω
= >
khi đó
2
2
1
R x
A x

L C
 
= + −
 ÷
 
Lấy đạo hàm của A theo biến số x ta thu được:
2
2
'( ) 1
R x
A x
L C C
 
= − −
 ÷
 
Cho A’(x) = 0 ta thu được
2 2
2
2
LC R C
x
L
−
=
Vì
2
2
0
L

x R
C
> ⇒ >
khi đó ta thu bảng biến thiên:
x
0
2 2
2
2
LC R C
L
−
∞
A’(x) - 0 +
A(x)
A
min
Thay giá trị x vào biểu thức đã đặt ta thu được hiệu điện thế cực đại của cuộn dây là:
19
0
1
LC
ω
=
ω
P
P
max
2
1 1

2
C
L R
C
ω
=
−
và
ax
2 2
2 .
4
LM
U L
U
R LC R C
=
−
Nhận xét : Khi
2
2
0
L
x R
C
≤ ⇒ ≤
thì A
min
khi x = 0 do A làm hàm số bậc 2 có hệ số
2

1
0a
C
= >
nên hàm số có cực tiểu ở phần âm, do đó x = 0 làm cho A
min
trong miền xác định
của x. Khi đó ω rất lớn làm cho Z
L
rất lớn làm cho I = 0. Do đó không thể tìm giá trị ω làm
cho U
Lmax
e. Giá trị ω làm cho hiệu điện thế U
Cmax

Tương tự như cách làm trên ta cũng thu được kết quả tương tự khi thay đổi giá trị ω làm cho
U
Cmax
là:
- Khi thì
ax
2 2
2 .
4
CM
U L
U
R LC R C
=
−

với
2
2L
R
C
>
,
2
1
2
L R
L C
ω
= −
f. Giá trị ω thay đổi. Liên hệ giữa ω
R
để U
Rmax
, ω
L
để U
Lmax
, ω
C
để U
Cmax

ω
2
R

= ω
L.
ω
C
g. Khi
1
ω=ω
hoặc
2
ω=ω
thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện có cùng một giá
trị. Khi
0
ω=ω
thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện đạt giá trị cực đại. Hệ thức
liên hệ giữa
1
ω
,
2
ω
và
0
ω
là
* Khi ω = ω
1
hoặc ω = ω
2
, ta có : U

C1
= U
C2

2
2
1
1
21

CCCC
Z
Z
U
Z
Z
U
ZIZI =⇔=⇔
2
2
1
2
4
1
2
2
1
2
2
2

2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1.2

1.2
.
)
1
(
1
)
1
(
1
CC
L

LR
CC
L
LR
C
LR
C
LR
+−+=+−+⇔
−+
=
−+
⇔
ω
ωω
ω
ωω
ω
ωω
ω
ωω
⇔
).())(
2
(
4
2
4
1
22

2
2
1
2
ωωωω
−=−− LR
C
L
⇔
).()
2
(
2
2
2
1
22
ωω
+=− LR
C
L
(với R
2
<
C
L2
)
⇔
2
2

2
2
2
1
)
2
(
)(
L
R
C
L
−
=+
ωω
Khi U
cmax
ta có
ω
0
=
2
)
)
2
(
(
2
1
2

1
2
2
2
1
2
2
2
ωω
+
=
−
=−
L
R
C
L
R
C
L
L
⇒ ω
0
2
=
)(
2
1
2
2

2
1
ωω
+
.
h. Khi
1
ω=ω
hoặc
2
ω=ω
thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm có cùng một giá
trị. Khi
0
ω=ω
thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại. Hệ thức
liên hệ giữa
1
ω
,
2
ω
và
0
ω
là
* Khi ω = ω
1
hoặc ω = ω
2

, ta có : U
L1
= U
L2

2
2
1
1
21

LLLL
Z
Z
U
Z
Z
U
ZIZI =⇔=⇔
2
2
2
2
1
2
1
22
2
2
1

2
2
1
22
1
2
2
2
2
22
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
.2

.2

)
.
1
()
.
1
(
ω
ωω
ωωω
ω
ωω
ωωω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
CC
L
LR
CC
L
LR
C
LR
C
LR
+−+=+−+⇔

−+
=
−+
⇔
⇔
22
2
2
2
1
2)
11
( CRLC −=+
ωω
(với R
2
<
C
L2
) Khi U
Lmax
ta có
20
ω
0
=
22
2
2
CRLC −

⇒ ω
0
2
=
2
)
11
(
2
2
2
1
ωω
+

k. Khi
1
ω=ω
hoặc
2
ω=ω
thì cường độ dòng điện, công suất, hiệu điện thế trên điện trở
R có cùng một giá trị. Khi
0
ω=ω
thì cường độ dòng điện, công suất, hiệu điện thế trên
điện trở R đạt giá trị cực đại. Hệ thức liên hệ giữa
1
ω
,

2
ω
và
0
ω
là
Khi I cùng giá trị I
1
= I
2

( )
2
22
2
11
2
1
)(
CLCL
ZZZZ
Z
U
Z
U
−=−→=→
Sau khi biến đổi ta được
2
ω
=

1
ω
2
ω
Ví dụ 1: Cho đoạn mạch điện MN gồm một điện trở thuần R = 100Ω, cuộn dây
thuần cảm có độ tự cảm L =
)(
1
H
π
, tụ điện có điện dung C =
)(
2
10
4
F
π
−
, mắc nối
tiếp. Mắc hai đầu M, N vào nguồn điện xoay chiều có điện áp tức thời
))(2cos(2120 VftU
MN
π
=
, tần số f của nguồn điện có thể điều chỉnh thay đổi được
a. Khi f = f
1
= 50 Hz, tính cường độ hiệu dụng của dòng điện và tính công suất tiêu thụ P
1
trên

đoạn mạch điện MN. Viết biểu thức cường độ dòng điện tức thời chạy trong đoạn mạch đó.
b. Điều chỉnh tần số của nguồn điện đến giá trị f
2
sao cho công suất tiêu thụ trên đoạn mạch
điện MN lúc đó là P
2
= 2P
1
. Hãy xác định tần số f
2
của nguồn điện khi đó. Tính hệ số công
suất.
* Hướng dẫn giải:
a. Khi f = f
1
= 50 (Hz)
→=→
πω
100
Z
L
=100(Ω)
)(2100100100
22
Ω=+=⇒ Z
Z
C
= 200(Ω)
Cường độ hiệu dụng của dòng điện trong mạch là: I =
)(

2
2,1
2100
120
A
Z
U
==
Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch điện là: P
)(72100.
2
2,1
2
2
1
WRI =






==
Độ lệch pha của u và i trong mạch: tan
44
1
100
100
π
ϕϕϕ

π
ϕϕ
=→−=−=→−=
−
=
−
=
iiu
CL
R
ZZ
(rad)
Biểu thức của cường độ dòng điện trong mạch là: i = 1,2cos(100
))(
4
At
π
π
+
b. Khi thay đổi f để P
2
= 2P
1
tức P
2
= 144(W)
Ta có P
LC
C
L

C
LR
RU
RI
1
0)
1
(144
)
1
(
144
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
=→=−→=
−+
→==
ω
ω
ω
ω

ω
Đây là trường hợp xảy ra cộng hưởng điện, thay số ta tìm được:
f
)(250
2
10
.
1
2
1
2
1
4
2
Hz
LC
===
−
ππ
π
π

Hệ số công suất khi đó cos
1==
Z
R
ϕ
Ví dụ 2: Một mạch điện xoay chiều RLC có R = 100Ω, L =
)(
1

H
π
, C =
)(
2
10
4
F
π
−
21
mắc nối tiếp. Đoạn mạch được mắc vào một hiệu điện thế xoay chiều có tần số f có thể thay
đổi. Khi hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại thì tần
số f có giá trị là bao nhiêu?
* Hướng dẫn giải:
)(61
4
650
22
6
100100.
2
3
2
10
.)
1
(2
2
10

.100
2
2
2
22
4
2
4
2
2
2
Hzf
CL
CRL
===→==
−
=
−
=
−
−
π
ω
ππ
ππ
ππ
ω
Với y = R
22222
)1( −+ LCC

ωω
đặt
1)2()1(
222222222
+−+=−+=→= xLCCRxCLLCxxCRyx
ω

Do hệ số a = L
CL
CRL
CL
CRL
CL
CRLC
a
b
xyC
2
2
2
2
2
22
22
min
22
2
2
2
2

2
2
2
0
−
=→
−
=
−
=
−
=→→>
ω
Ta có:
)(61
4
650
22
6
100100.
2
3
2
10
.)
1
(2
2
10
.100

2
2
2
22
4
2
4
2
2
2
Hzf
CL
CRL
===→==
−
=
−
=
−
−
π
ω
ππ
ππ
ππ
ω
Vậy U
C
đạt cực đại khi tần số dao động f = 61(Hz)
2.2.5. Giải một số câu trong đề thi đại học

Câu 36 – năm 2010: Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn
mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện. Dung kháng của tụ điện là 100 Ω. Khi điều
chỉnh R thì tại hai giá trị R
1
và R
2
công suất tiêu thụ của đoạn mạch như nhau. Biết điện áp
hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R=R
1
bằng hai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện
khi R = R
2
. Các giá trị R
1
và R
2
là:
A. R
1
= 50Ω, R
2
= 100 Ω. B. R
1
= 40Ω, R
2
= 250 Ω.
C. R
1
= 50Ω, R
2

= 200 Ω. D. R
1
= 25Ω, R
2
= 100 Ω.
Hướng dẫn
2 2
1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2
(1) (2) & 2 2 (3)
C C
C C
R R
P P R I R I U U I I
R Z R Z
= ⇔ = ⇔ = = ⇔ =
+ +

từ (1) và (3)

2 1
4 (4)R R⇒ =
thế (4) vào (2) ta có :
2
1 2
50 200
4
C

Z
R R= = Ω ⇒ = Ω
). Đáp án C
Câu 38 – năm 2010: Đặt điện áp xoay chiều u = U
0
cosωt có U
0
không đổi và ω thay đổi
được vào hai đầu đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp. Thay đổi ω thì cường độ dòng điện hiệu
22
dụng trong mạch khi ω = ω
1
bằng cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch khi ω = ω
2
. Hệ
thức đúng là :
A.
1 2
2
LC
ω + ω =
. B.
1 2
1
.
LC
ω ω =
. C.
1 2
2

LC
ω + ω =
. D.
1 2
1
.
LC
ω ω =
.
Hướng dẫn
( ) ( )
( )
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
2 2
2 2
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 1
.
.
L C L C L C C L
L C L C
U U
I I Z Z Z Z Z Z Z Z
R Z Z R Z Z
L L
C C
ω ω
ω ω ω ω

= ⇔ = ⇔ − = − ⇒ − = − ⇔
+ − + −
 
+ = + ⇔ = ⇔
 ÷
 
Đáp án B
Câu 27 - năm 2011: Đặt điện áp u = U
0
cosωt (V) (U
0
không đổi, ω thay đổi được) vào hai
đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm
4
5
π
H và tụ điện mắc nối
tiếp. Khi ω=ω
0
thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua đoạn mạch đạt giá trị cực đại I
m
. Khi ω
= ω
1
hoặc ω = ω
2
thì cường độ dòng điện cực đại qua đoạn mạch bằng nhau và bằng I
m
. Biết
ω

1
– ω
2
= 200π rad/s. Giá trị của R bằng
A. 150 Ω. B. 200 Ω. C. 160 Ω. D. 50 Ω.
Hướng dẫn

⇒=
2
021
.
ωωω
LC =
21
1
ωω

⇒
Z
C1
= Z
L2
, I
m
=
R
U
;
I
01

=
Z
U
0
=
2
11
2
)(
2
CL
ZZR
U
−+
= I
m
=
R
U

⇒
2R
2
= R
2
+ (Z
L1
– Z
C1
)

2

R
2
= (Z
L1
– Z
L2
)
2
= L
2
(ω
1
- ω
2
)
2

⇒
R = L (ω
1
- ω
2
) =
π
π
200
5
4

= 160(Ω).
Đáp án C
Câu 49 - năm 2011: Đặt điện áp xoay chiều u = U
0
cos
ω
t (U
0
không đổi,
ω
thay đổi được)
vào hai đầu đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp. Khi
ω
=
ω
1
thì cảm kháng và dung kháng
của đoạn mạch lần lượt là Z
1L
và Z
1C
. Khi
ω
=
ω
2
thì trong đoạn mạch xảy ra hiện tượng
cộng hưởng. Hệ thức đúng là
A.
1

1 2
1
L
C
Z
Z
ω ω
=
B.
1
1 2
1
L
C
Z
Z
ω ω
=
C.
1
1 2
1
C
L
Z
Z
ω ω
=
D.
1

1 2
1
C
L
Z
Z
ω ω
=
Hướng dẫn
Z
1L
= ω
1
L; Z
1C
=
C
1
1
ω

⇒

C
L
Z
Z
1
1
=

LC
2
1
ω
,
2
2
ω
=
LC
1
⇒

1
1 2
1
L
C
Z
Z
ω ω
=
. Đáp án B
Câu 32 - năm 2012: Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi, tần số 50Hz vào
hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ
điện có điên dung C thay đổi được. Điều chỉnh C đến giá trị
F
π
4
10

4−
hoặc
F
π
2
10
4−
thì công
suất tiêu thụ trên đoạn mạch đều có giá trị bằng nhau. Giá trị của L bằng
A.
π
3
1
H B.
π
2
1
H C.
π
3
H D.
π
2
H
Hướng dẫn
23
2
2
22
1

2
2121
2
2
2
121
)()(
CLCL
ZZRZZRZZIIRIRIPP −+=−+⇔=⇔=⇔=⇔=
HLZZZZZ
LCLCL
π
3
300)(
21
=⇔Ω=⇔−−=−⇔
⇒ Đáp án C
Câu 35 – năm 2011: Đặt điện áp xoay chiều
tcosUu
0
ω=
(U
0
không đổi và
ω
thay đổi
được) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ
điện có điện dung C mắc nối tiếp, với CR
2
< 2L. Khi

1
ω=ω
hoặc
2
ω=ω
thì điện áp hiệu
dụng giữa hai bản tụ điện có cùng một giá trị. Khi
0
ω=ω
thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản
tụ điện đạt cực đại. Hệ thức liên hệ giữa
1
ω
,
2
ω
và
0
ω
là
A.
).
11
(
2
11
2
2
2
1

2
0
ω
+
ω
=
ω
B.
).(
2
1
210
ω+ω=ω
C.
.
210
ωω=ω
D.
).(
2
1
2
2
2
1
2
0
ω+ω=ω
Hướng dẫn
* Khi ω = ω

1
hoặc ω = ω
2
, ta có : U
C1
= U
C2

2
2
1
1
21

CCCC
Z
Z
U
Z
Z
U
ZIZI =⇔=⇔
2
2
1
2
4
1
2
2

1
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1.2

1.2

)
.
1
(
1
)

.
1
(
1
CC
L
LR
CC
L
LR
C
LR
C
LR
+−+=+−+⇔
−+
=
−+
⇔
ω
ωω
ω
ωω
ω
ωω
ω
ωω
⇔
).())(
2

(
4
2
4
1
22
2
2
1
2
ωωωω
−=−− LR
C
L
⇔
).()
2
(
2
2
2
1
22
ωω
+=− LR
C
L
(với R
2
<

C
L2
)
⇔
2
2
2
2
2
1
)
2
(
)(
L
R
C
L
−
=+
ωω
Khi U
cmax
ta có
ω
0
=
2
)
)

2
(
(
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
ωω
+
=
−
=−
L
R
C
L
R
C
L
L
⇒ ω
0
2

=
)(
2
1
2
2
2
1
ωω
+
. Đáp án D
Câu 21- năm 2012: Trong giờ thực hành, một học sinh mắc đoạn mạch AB gồm điện trở
thuần 40 Ω, tụ điện có điện dung C thay đổi được và cuộn dây có độ tự cảm L nối tiếp nhau
theo đúng thứ tự trên. Gọi M là điểm nối giữa điện trở thuần và tụ điện. Đặt vào hai đầu đoạn
mạch AB một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 200V và tần số 50 Hz. Khi điều chỉnh
điện dung của tụ điện đến giá trị C
m
thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch MB đạt giá
trị cực tiểu bằng 75 V. Điện trở thuần của cuộn dây là
A. 24 Ω. B. 16 Ω. C. 30 Ω. D. 40 Ω.
Hướng dẫn
Điều chỉnh C để U
LCmax
→ cộng hưởng
U
MB
=U
r
=75V→U
R

=125V, R=40
Ω
→ r = 24
Ω
. Đáp án A
24
2.2.6. Bài tập đề nghị
Bài tập 1. Cho đoạn mạch như hình vẽ:
r = 10Ω; L =
)(
10
1
H
π
; C biến thiên. Hiệu điện thế hai đầu mạch là:
u = 100
2
cos100
π
t(V).
a. Tìm C để công suất tiêu thụ của đoạn mạch cực đại.
b. Định giá trị nhỏ nhất của công suất đoạn mạch trong điều kiện ứng với một giá trị
của công suất đoạn mạch có hai giá trị khác nhau của C.
Đáp số: a. C = 10
-3
/π(F); b. P = 500W
Bài tập 2. Cho đoạn mạch xoay chiều như hình vẽ:
R = 80Ω; L =
)(
6,0

H
π
; C biến thiên. Hiệu điện thế hai đầu mạch là:
u = 240
2
cos100
π
t(V). Khi C thay đổi, hãy tính giá trị cực đại mỗi vôn kế và giá trị điện
dung C ứng với các số chỉ cực đại này.
Đáp số: U
1max
= 240V; C = C
1
= 53µF
U
2max
= 180V; C = C
2
= 53µF
U
3max
= 300V; C = C
3
≈ 19µF
Bài tập 3. Cho đoạn mạch xoay chiều:
Điện trở thuần R = 100Ω; C =
π
4
10
−

(F); cuộn dây thuần cảm, có L biến thiên. Hiệu điện thế
hai đầu mạch là: u = 200cos100
π
t(V).
a. Tính L để hệ số công suất của đoạn mạch cực đại. Tính công suất của mạch khi đó.
b. Tính L để điện áp hiệu dụng trên L đạt cực đại.
Đáp số: a. L = 1/
π
(H); P
max
= 200W
b. L = 2/
π
(H)
Bài tập 4.
Một mạch điện xoay chiều AB
gồm biến trở R và cuộn cảm thuần có L =0,09/
π
(H) ghép nối tiếp như hình vẽ. Hiệu điện thế
hai đầu mạch AB là: u = 5
2
cos100
π
t(V).
Tính R để công suất của đoạn mạch cực đại. Tính công suất cực đại đó.
Đáp án: R = 9,0Ω; P
max
≈ 1,4W
Bài tập 5.
Một mạch điện xoay chiều như hình vẽ:

Cuộn dây có độ tự cảm L = 0,5/
π
(H) và điện trở nội r = 10
3
Ω
; Tụ điện có
C =
π
4
10
−
(F). Điện áp hai đầu mạch: u
AB
= 100
2
cos100
π
t(V).
a. Tính công suất tiêu thụ của mạch.
b. Để điện áp hai đầu cuộn dây cực đại, phải mắc thêm một tụ C
o
vào mạch, nêu cách
ghép và giá trị C
o
.
c. Để công suất đoạn mạch cực đại, phải mắc vào đoạn mạch ban đầu một điện trở R.
Nêu cách mắc và tìm giá trị R.
Đáp số: a. P = 62W
b. C
o

= C; ghép C
o
//C.
c. R = 10(
35 −
)Ω, ghép nối tiếp.
Bài tâp 6.Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ:
25
r, L
B
C
A
L
B
C
A
R
V
1
V
2
V
3
L
R
B
C
A
L
R

B
A
r, L
B
C
A
B
A
C
V
L
R