skkn bài toán về va chạm

Phần 1: MỞ ĐẦU
Va chạm là một hiện tượng thường xuyên gặp trong đời sống. Trong ngôn ngữ
hàng ngày thì va chạm xảy ra khi một vật va vào một vật khác. Các va chạm có thể
là: những quả bi a, cái búa và cái đinh, đạn va chạm với con lắc thử đạn, một quả
bóng chày và một chày đập bóng và còn rất nhiều va chạm khác nữa. Va chạm
cũng có rất nhiều ứng dụng trong thực tế. Ví dụ như: đo vận tốc của đạn bằng cách
cho đạn va chạm với con lắc thử đạn… Trong chương trình vật lý phổ thông và
chương trình ôn thi đại học các bài toán về va chạm là các dạng bài toán hay và
khó. Va chạm có rất nhiều đặc điểm và với mỗi đặc điểm ta có một loại va chạm
khác nhau. Việc phân biệt các loại va chạm và phân tích quá trình xảy ra va chạm
là một điều khá khó khăn đối với học sinh phổ thông. Chuyên đề “bài toán va
chạm” đưa ra nhằm giúp học sinh hiểu rõ các loại va chạm và đặc điểm của từng
loại va chạm, hướng giải quyết các bài toán va chạm. Từ đó học sinh có thể vận
dụng kiến thức để giải các bài toán va chạm từ đơn giản đến phức tạp hình thành
cho học sinh kĩ năng phân tích hiện tượng đưa ra cách giải quyết ngắn gọn và đúng
nhất.
Trong chuyên đề bài toán về va chạm qua quá trình giảng dạy và ôn luyện cho
các em học sinh sau nhiều năm tôi thấy rằng đa số các em còn lúng túng khi gặp
những bài toán về va chạm. Qua thực tế giảng dạy chuyên đề này, để khắc phục
những vấn đề nêu trên tôi mạnh dạn đưa ra một số ý kiến của mình để phần nào
giúp các em học sinh nắm vững hơn bài toán về va chạm. Trong chuyên đề này
không tránh khỏi những khiếm khuyết rất mong sự đóng góp của các đồng nghiệp.
Phần 2: NỘI DUNG
2.1 – CƠ SỞ LÝ THUYẾT.
Va chạm là một hiện tượng thường gặp trong đời sống và trong kỹ thuật. Việc
áp dụng các định luật động lực học để giải bài toán va chạm thường gặp nhiều khó
khăn do thời gian va chạm giữa các vật thường rất ngắn ( chỉ vào khoảng từ 10
-2
đến 10
-5
giây) nên cường độ tác dụng của các lực lên các vật thường rất lớn. Khảo

1
sát kỹ, ta thấy nói chung quá trình va chạm gồm hai giai đoạn, giai đoạn biến dạng
và giai đoạn khôi phục. Giai đoạn biến dạng kể từ lúc bắt đầu xảy ra va chạm cho
đến khi các vật va chạm hết biến dạng. Giai đoạn khôi phục kể từ lúc kết thúc biến
dạng, các vật khôi phục hình dạng cũ cho đến lúc kết thúc va chạm.
Va chạm được phân thành : va chạm mềm, va chạm đàn hồi và va chạm hoàn
toàn đàn hồi.
Đặc điểm của va chạm mềm là sau giai đoạn biến dạng hình dáng cũ của các vật
va chạm không được khôi phục lại mà chúng gắn liền lại với nhau thành một vật,
nghĩa là không xảy ra giai đoạn khôi phục, mà chỉ có giai đoạn biến dạng. Nếu
trong va chạm xảy ra cả hai giai đoạn biến dạng và khôi phục thì va chạm được gọi
là va chạm đàn hồi. Trong va chạm đàn hồi sau khi kết thúc va chạm các vật chỉ
khôi phục được một phần hình dáng của mình trước khi va chạm. Nếu sau khi va
chạm mà các vật khôi phục toàn bộ hình dạng của mình trước khi va chạm thì va
chạm được gọi là hoàn toàn đàn hồi.
Trong quá trình va chạm các vật thể chịu tác dụng của hai loại lực : lực thường
và lực va chạm.
Lực va chạm là những phản lực liên kết động lực xuất hiện khi hai vật va chạm
nhau. Ngoài lực va chạm các lực khác tác dụng lên cơ hệ được gọi là lực thường.
Lực va chạm là lực có xung lượng giới nội trong thời gian va chạm, còn lực thường
có xung lượng cùng bậc với thời gian va chạm vô cùng bé.
Xung lượng của lực va chạm được gọi tắt là xung lực va chạm.
Các giai đoạn va chạm thường được đánh giá qua các xung lực va chạm trong
các giai đoạn đó. Nếu S
1
và S
2
là xung lực va chạm trong giai đoạn biến dạng và
khôi phục tương ứng, quá trình va chạm thường được đánh giá qua tỷ số, được gọi
là hệ số khôi phục, được định nghĩa như sau:

2
1
S
k
S
=
Rõ ràng ta có k = 0 trong va chạm mềm ;
2
k = 1 trong va chạm hoàn toàn đàn hồi ;
0 < k < 1 trong va chạm đàn hồi.
Chú ý rằng trong va chạm của cơ hệ có thể xảy ra đồng thời va chạm giữa các
vật thuộc cơ hệ và va chạm của các vật đó với các vật ngoài cơ hệ đang xét. Va
chạm loại đầu gọi là va chạm trong, va chạm loại sau được gọi là va chạm ngoài.
Xung lực va chạm ngoài tác dụng vào cơ hệ được ký hiệu là
1, 2e e
S S
r r
…Xung lực va
chạm trong bao giờ cũng xuất hiện từng đôi một trực đối nhau, ký hiệu là
1 2
,i i
S S
r r
…
Quá trình va chạm là quá trình rất phức tạp. Để đơn giản dựa vào các đặc điểm
của quá trình va chạm người ta đưa ra các giả thiết sau:
+ Giả thiết thứ nhất : Trong quá trình va chạm các ngoại lực thường được bỏ
qua và chỉ xét các lực va chạm
+ Giả thiết thứ hai : Thời gian va chạm rất ngắn do vậy trong quá trình va chạm

các chất điểm không di chuyển
+ Giả thiết thứ ba : Trong quá trình va chạm hệ số khôi phục là hằng số đối với
các thông số động học của quá trình va chạm (giả thiết này tương đương với giả
thiết của Newton)
Hiện tượng mất động năng khi va chạm
Trong quá trình va chạm bao giờ cũng có quá trình biến dạng và do đó bị mất
động năng cho quá trình này. Vì vậy trong bài toán va chạm không áp dụng được
định lí biến thiên động năng
Gọi động năng của hệ trước và sau va chạm là W
đ0
và W
đ
tương ứng, bao giờ ta
cũng có W
đ

≤
W
đ0
. Lượng
∆
W
đ
= W
đ0
- W
đ
là phần động năng bị mất đi qua va
chạm. Trong quá trình va chạm, việc tính lượng động năng bị mất đi qua quá trình
va chạm là một nhiệm vụ quan trọng của bài toán va chạm, nó chỉ được tính cụ thể

trong từng loại va chạm mà không có công thức tổng quát. Lượng mất động năng
trong va chạm quan hệ mật thiết với biến dạng trong va chạm . Va chạm càng đàn
3
hồi thì lượng mất động năng càng nhỏ, trái lại nếu va chạm càng mềm, tức là biến
dạng nhiều và khôi phục ít, thì lượng mất động năng càng lớn.
2.2 – PHÂN LOẠI BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
2.2.1 – PHƯƠNG PHÁP:
Không chỉ trong vật lý, ngay cả trong hoá học chúng ta cũng thường gặp các bài
hoá sử dụng các phương pháp bảo toàn như: bảo toàn khối lượng, bảo toàn electron
… Các phương pháp bảo toàn không phải là phương pháp giải quyết duy nhất, tuy
nhiên nó lại là cách giải hay nhất, ngắn gọn nhất và dễ hiểu nhất. Vì vậy, qua bài
viết này tôi hi vọng sẽ giúp các bạn học sinh có một cái nhìn tổng quát về các định
luật bảo toàn trong các bài toán va chạm để các bạn có thể giải các bài toán vật lý
một cách nhanh gọn - một điều vô cùng quan trọng trong các kỳ thi trắc nghiệm.
1. Hệ thống về các định luật bảo toàn:
Trong vật lý, va chạm được hiểu là một quá trình tương tác trong khoảng thời
gian ngắn giữa các vật. Khi đang ở cách xa nhau một khoảng lớn các vật là tự do.
Khi đến gần nhau, các vật tương tác với nhau dẫn đến có thể xảy ra những quá trình
khác nhau: các vật chập lại thành một vật, hoặc đơn giản chỉ là thay đổi hướng và
độ lớn của vận tốc
… Cũng có thể xảy ra va chạm đàn hồi và va chạm không đàn hồi. Trong va
chạm đàn hồi các vật sau khi tương tác nhau sẽ bay ra xa nhau mà không có bất kỳ
thay đổi nào về nội năng, còn trong va chạm không đàn hồi thì nội năng của hệ sau
va chạm sẽ bị biến đổi.
Trong thực tế, ở mức độ nào đó va chạm xảy ra giữa các vật thường là va chạm
không đàn hồi vì bao giờ các vật cũng bị nóng lên do một phần nội năng đã bị
chuyển hóa thành nhiệt năng do tác dụng của lực ma sát. Tuy nhiên trong vật lý thì
khái niệm về va chạm đàn hồi lại đóng vai trò quan trọng.
Trong các bài toán về va chạm, có 2 dạng bảo toàn được sử dụng:
+ Các định luật bảo toàn về động lượng (trong chuyển động tịnh tiến) và momen

4
động lượng (trong chuyển động quay).
+ Định luật bảo toàn về cơ năng.
Định luật về bảo toàn cơ năng thì chỉ được áp dụng trong va chạm tuyệt đối đàn
hồi. Đối với các va chạm có sự biến đổi về nội năng thì ngoài việc sử dụng các định
luật về bảo toàn động lượng ( áp dụng được
với mọi loại va chạm) ta có thể áp
dụng thêm định luật về biến thiên nội năng của hệ.
Các biểu thức
 Đối với chuyển động tịnh tiến
- Động lượng :
p mv=
r r
- Năng lượng
+ Động năng :
2
1
W
2
d
mv
=
+ Thế năng hấp dẫn :
W
t
mgh=
+ Thế năng đàn hồi :
2
1
W

2
dh
kx=
 Đối với chuyển động quay tròn
+ Momen động lượng :
L I
ω
=
+ Động năng quay :
2
1
W=
2
I
ω
 Đối với chuyển động tổng quát
Đối với một chuyển động bất kỳ, người ta đã chứng minh tổng quát được rằng
một chuyển động bất kỳ luôn có thể biểu diễn được dưới dạng các chuyển động
tịnh tiến và chuyển động tròn. Nhưng trong chương trình vật lý phổ thông, ta chỉ
gặp các chuyển động dạng đơn giản như: vừa lăn không trượt ( vừa quay vừa tịnh
tiến)
2. Chiến thuật giải quyết một bài toán vật lý có liên quan đến va chạm:
Các bài toán va chạm thường bao gồm các bài toán thuận, bài toán ngược và bài
toán tổng hợp
5
Bài toán thuận : Cho biết trạng thái động học của cơ hệ trước và sau va chạm.
Tìm các xung lực va chạm và lượng mất mát động năng.
Bài toán ngược : Cho cơ hệ và các xung lực va chạm cùng với hệ số khôi phục
và các yếu tố động học trước va chạm của cơ hệ. Tìm các yếu tố động học của cơ
hệ sau va chạm

Bài toán tổng hợp bao gồm cả hai bài toán trên.
Khi giải các bài toán va chạm, điều quan trọng nhất là phải nhận biết được quá
trình va chạm và các quá trình không va chạm. Trong các quá trình không va chạm
(quá trình trước va chạm và sau va chạm) ta áp dụng các định lí đã thiết lập cho quá
trình động lực không va chạm, còn trong các quá trình va chạm chúng ta sử dụng
các công thức nêu ra ở trên. Nói cách khác, việc giải bài toán va chạm bao giờ cũng
kèm theo giải các bài toán không va chạm
Chiến thuật
Bước 1: Đọc kĩ đề bài, để ý và đánh dấu các trọng tâm của đề bài.
Bước 2: Tập trung nhận xét, đánh giá đề bài để rút ra những giai đoạn khác nhau
trong bài toán: trước va chạm và sau va chạm, bên cạnh đó cần tìm ra dạng của va
chạm đó để xét những định luật bảo toàn có thể sử dụng. Nếu không thể rút ra được
dạng của va chạm đó thì ta bắt buộc phải sử dụng các định luật về bảo toàn động
lượng và momen động lượng.
Bước 3: Từ các nhận xét rút ra từ bước 2, rút ra hướng làm và hoàn thiện bài
làm một cách đầy đủ
3. Các trường hợp bài toán va chạm cơ bản:
Nội dung của bài toán va chạm là như sau: biết khối lượng và vận tốc của các
vật trước va chạm, ta cần tìm vận tốc của các vật sau va chạm.
Xét hai vật có khối lượng m
1
và m
2
chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang
(mặt phẳng xOy) và ngược chiều nhau đến va chạm trực diện với nhau. Vận tốc
6
ban đầu của các vật lần lượt là
10
v
r

và
20
v
r
. Trong mặt phẳng nằm ngang chúng ta có
thể áp dụng định luật bảo toàn động lượng của các vật tham gia va chạm, tức là :
1 10 2 20 1 1 2 2
m v m v m v m v
+ = +
r r r r
(1)
trong đó
1
v
r
và
2
v
r
là vận tốc của các vật sau va chạm.
a/ Va chạm hoàn toàn đàn hồi :
Người ta gọi va chạm giữa hai vật là hoàn toàn đàn hồi nếu trong quá trình va
chạm không có hiện tượng chuyển một phần động năng của các vật trước va chạm
thành nhiệt và công làm biến dạng các vật sau va chạm. Nói cách khác, sau va
chạm đàn hồi các quả cầu vẫn có hình dạng như cũ và không hề bị nóng lên.
Lưu ý rằng va chạm xảy ra trong mặt phẳng nằm ngang tức là độ cao so với mặt
đất của các quả cầu không thay đổi nên thế năng của chúng không thay đổi trong
khi va chạm, vì vậy bảo toàn cơ năng trong trường hợp này chỉ là bảo toàn động
năng.
Do vậy, ta có phương trình :

2 2 2 2
1 10 2 20 1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
m v m v m v m v+ = +
(2)
Để giải hệ phương trình (1) và (2) ta làm như sau :
Vì các vectơ
10 20 1 2
, , ,v v v v
r r r r
có cùng phương nên ta chuyển phương trình vectơ (1)
thành phương trình vô hướng :
1 10 2 20 1 1 2 2
m v m v m v m v+ = +
và biến đổi phương trình này thành :
1 10 1 2 2 20
( ) ( )m v v m v v− = −
(1’)
Biến đổi (2) thành :
2 2 2 2
1 10 1 2 2 20
( ) ( )m v v m v v− = −
(2’)
Chia (2’) cho (1’) ta có :
10 1 2 20
( ) ( )v v v v+ = +
7
Nhân hai vế của phương trình này với m
1

ta có :
1 10 1 1 2 20
( ) ( )m v v m v v+ = +
(3)
Cộng (3) với (1’) ta tìm được vận tốc của vật thứ hai sau va chạm :
1 10 1 2 20
2
1 2
2 ( )m v m m v
v
m m
− −
=
+
(4)
Ta nhận thấy vai trò của hai quả cầu m
1
và m
2
hoàn toàn tương đương nhau nên
trong công thức trên ta chỉ việc tráo các chỉ số 1 và 2 cho nhau thì ta tìm được vận
tốc của quả cầu thứ nhất sau va chạm:
2 20 2 1 10
1
1 2
2 ( )m v m m v
v
m m
− −
=

+
(5)
Ta xét một trường hợp riêng của biểu thức (4) và (5) :
Giả sử hai quả cầu hoàn toàn giống nhau , tức là m
1
= m
2
. Từ (4) và (5) ta có :
2 10
1 20
v v
v v
=
=
Nghĩa là hai quả cầu sau va chạm trao đổi vận tốc cho nhau: quả cầu thứ nhất có
vận tốc của quả cầu thứ hai trước khi có va chạm và ngược lại.
Hình trên minh họa trường hợp một trong hai quả cầu trước va chạm đứng yên :
Hình trên cho thấy sau va chạm, quả cầu thứ hai có vận tốc v
2
= v
10
= 0, nghĩa là
nó đứng yên như quả cầu thứ nhất trước khi va chạm, còn quả cầu thứ nhất sau va
chạm lại có vận tốc v
1
= v
20
nghĩa là nó chuyển động như quả cầu thứ hai trước khi
va chạm. Hai quả cầu đã thay đổi vai trò cho nhau. Nếu ma sát ở điểm treo dây rất
nhỏ thì các quả cầu sẽ lần lượt lúc đứng yên lúc chuyển động xen kẽ nhau.

b/ Va chạm mềm:
8
Người ta gọi va chạm giữa các vật là va chạm mềm nếu sau va chạm hai vật
dính liền với nhau thành một vật. Trong va chạm mềm một phần động năng của các
quả cầu đã chuyển thành nhiệt và công làm biến dạng các vật sau va chạm. Dĩ
nhiên trong va chạm mềm ta không có sự bảo toàn cơ năng của các vật.
Định luật bảo toàn động lượng dẫn đến phương trình :
1 10 2 20 1 2
( )m v m v m m v
+ = +
r r r
trong đó
v
r
là vận tốc của vật sau va chạm. Từ đó, ta tính được vận tốc của các
vật sau va chạm:
1 10 2 20
1 2
m v m v
v
m m
+
=
+
(6)
Ta hãy tính phần động năng tổn hao trong quá trình va chạm :
Động năng của hai vật trước va chạm :
W
đ0
2 2

1 10 2 20
1 1
2 2
m v m v= +
Động năng của chúng sau va chạm :
W
đ
2
2
1 10 2 20
1 2
1 2
( )1
( )
2 2( )
m v m v
m m v
m m
+
= + =
+
Phần động năng tổn hao trong quá trình va chạm là :
∆
W
đ
= W
đ0
- W
đ

2
1 2
10 20
1 2
1
( ) 0
2 ( )
m m
v v
m m
= − >
+
(7)
Biểu thức trên chứng tỏ rằng động năng của các quả cầu luôn luôn bị tiêu hao
thành nhiệt và công làm biến dạng các vật sau va chạm.
Muốn đập vỡ một viên gạch, tức là muốn chuyển động năng của búa thành năng
lượng biến dạng làm vỡ viên gạch thì theo (7) ta cần tăng vận tốc v
10
của búa trước
khi va chạm, tức là phải đập búa nhanh. Ngược lại, khi đóng đinh ta phải làm giảm
9
phần động năng tiêu hao vì ta muốn chuyển động năng của búa thành động năng
của đinh ấn sâu vào gỗ. Muốn vậy, phải tăng khối lượng m
1
của búa để đạt được
động năng của búa vẫn lớn khi mà vận tốc v
10
của búa không lớn , nhờ vậy mà
giảm được phần động năng tiêu hao thành nhiệt.
(*) Ví dụ :

Sau đây chúng ta sẽ trình bày một áp
dụng của va chạm mềm để xác định
vận tốc ban đầu của đầu đạn khi bay
ra khỏi nòng súng
Để xác định vận tốc v
10
của viên đạn
có khối lượng m
1
khi bay ra khỏi
nòng súng, người ta bắn
viên đạn vào một bao cát có khối lượng m
2
đứng yên (v
20
= 0). Sau va
chạm, viên đạn và bao cát dính vào nhau và có cùng vận tốc là v . Bao cát được
treo bằng một thanh kim loại cứng có chiều dài
l
. Đầu thanh có gắn một lưỡi dao O
làm trục quay. Nhờ động năng sau va chạm mà hệ quay đi một góc
θ
, và được
nâng lên một độ cao h so với vị trí cân bằng. Tất cả động năng của hệ đã chuyển
thành thế năng. Đo góc
θ
, biết m
1
, m
2

và
l
ta có thể xác định được vận tốc ban đầu
v
10
của viên đạn khi bay ra khỏi nòng súng. Thật vậy, áp dụng (6) và để ý rằng v
20
=
0 ta có :
1 10
1 2
m v
v
m m
=
+
Từ đó có thể tính động năng sau va chạm của hệ là :
W
đ
2 2
2
1 10
1 2
1 2
1 1
( )
2 2 ( )
m v
m m v
m m

= + =
+
Thế năng của hệ ở vị trí được xác định bởi góc
θ
là :
10
t 1 2 1 2
W ( ) ( ) (1 os )m m gh m m gl c
θ
= + = + −
Theo định luật bảo toàn cơ năng :
2 2
1 10
1 2
1 2
1
( ) (1 os )
2 ( )
m v
m m gl c
m m
θ
+ − =
+
Dựa vào hệ thức lượng giác :
2
1 os 2sin
2
c
θ

θ
 
− =
 ÷
 
Ta có thể biến đổi phương trình trên thành :
2
2 2
1
10
1 2
4 sin
2
m
gl v
m m
θ
 
 
=
 ÷
 ÷
+
 
 
Từ đó tính được:
1 2
10
1
2 sin

2
m m
v gl
m
θ
 
+
 
=
 ÷
 ÷
 
 
Hệ thống bố trí như trên cho phép ta xác định được vận tốc của viên đạn khi đo
góc lệch
θ
, do đó được gọi là con lắc thử đạn.
c/ Va chạm đàn hồi giữa các vật:
Thực tế, va chạm giữa các vật không hoàn toàn đàn hồi cũng như không phải là
va chạm mềm mà là trường hợp trung gian giữa hai trường hợp trên. Trong quá
trình va chạm, một phần động năng của các vật đã chuyển thành nhiệt và công biến
dạng mặc dù sau va chạm hai vật không dính liền nhau mà chuyển động với những
vận tốc khác nhau.
Từ thời Niutơn, bằng thực nghiệm người ta đã xác định được rằng trong va
chạm thật giữa các vật thì tỉ số e của vận tốc tương đối ( tức là hiệu của hai vận
tốc ) sau va chạm
1 2
( )v v−
và vận tốc tương đối trước va chạm
10 20

( )v v−
chỉ phụ
thuộc vào bản chất của các vật va chạm :
1 2
10 20
v v
e
v v
−
− =
−
Tỉ số e gọi là hệ số đàn hồi.
11
Trong va chạm hoàn toàn đàn hồi, từ biểu thức (3) ta suy ra :
1 2 10 20
( )v v v v
− = − −
Như vậy, đối với va chạm hoàn toàn đàn hồi thì e = 1. Trong va chạm mềm thì
vì sau va chạm hai vật cùng chuyển động với vận tốc v như nhau nên vận tốc tương
đối của chúng sau va chạm bằng không, do đó e = 0. Đối với va chạm của các vật
thật thì e có giá trị giữa 0 và 1
Niutơn đã xác định được với thủy tinh thì e = 15/16 còn đối với sắt thì e = 5/9.
Biết hệ số đàn hồi e , ta có thể xác định được vận tốc sau va chạm của các vật và
phần động năng tiêu hao trong va chạm . Thật vậy , từ định nghĩa của hệ số đàn hồi
e ở trên và định luật bảo toàn động lượng ta có hệ phương trình :
1 2 10 20
( )v v e v v
− = − −
1 1 2 2 1 10 2 20
m v m v m v m v

+ = +
Muốn giải hệ phương trình này, chúng ta nhân hai vế của phương trình đầu với
m
2
rồi cộng phương trình thu được với phương trình thứ hai của hệ ta được :
1 2 1 1 2 10 2 10 20
( ) ( ) ( 1)( )m m v m m v m e v v+ = + − + −
Từ đó tính được :
2 10 20
1 10
1 2
( 1)( )m e v v
v v
m m
+ −
= −
+
Tương tự , ta tìm được :
1 20 10
2 20
1 2
( 1)( )m e v v
v v
m m
+ −
= −
+
Phần động năng tiêu hao trong va chạm là :
∆
W

đ
= W
đ0
- W
đ

2 2 2 2
1 10 2 20 1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
m v m v m v m v= + −
∆
W
đ

2 2 2 2
1 10 1 2 20 2
1 1
( ) ( )
2 2
m v v m v v= − + −
12
∆
W
đ

1 10 1 10 1 2 20 2 20 2
1 1
( )( ) ( )( )
2 2

m v v v v m v v v v= − + + − +
Từ các biểu thức của v
1
và v
2
mà ta tìm được ở trên ta có đẳng thức sau :
1 2
1 10 1 2 20 2 10 20
1 2
( ) ( ) ( 1)( )
m m
m v v m v v e v v
m m
− = − − = + −
+
Vậy :
∆
W
đ

[ ]
1 2
10 20 10 1 20 2
1 2
1
( 1)( ) ( ) ( )
2 ( )
m m
e v v v v v v
m m

= + − + − +
+
Mặt khác :
10 1 20 2 10 20
1( ) ( ) ( )( )v v v v v v e+ − + = + −
Cuối cùng:
∆
W
đ

2 2
1 2
10 20
1 2
1
(1 )( )
2 ( )
m m
e v v
m m
= − −
+
Từ biểu thức trên , ta thấy trong va chạm hoàn toàn đàn hồi (e = 1) thì
∆
W
đ
= 0,
tức là không có sự tổn hao động năng của các quả cầu sau va chạm. Trong va chạm
mềm (e = 0) thì biểu thức trên hoàn toàn trùng với biểu thức (7) mà ta đã tính được
trước đây.

2.2.2 – PHÂN LOẠI BÀI TOÁN:
Dạng 1: Tính vận tốc của các vật trước và sau va chạm
1.1 Phương pháp.
- Chọn chiều dương là chiều chuyển động của một vật.
- Viết biểu thức động lượng của hệ trước và sau va chạm:
trước va chạm:
n
n
i
i
ppppp
rrrrr
+++==
∑
=

21
1

sau va chạm:
''
2
'
1
1
''

n
n
i

i
ppppp
rrrrr
+++==
∑
=
- Theo định luật bảo toàn động lượng:

∑∑
=
=
'
1
i
n
i
i
pp
rr
(1)
- Chiếu (1) xuống trục tọa độ ta sẽ tìm được kết quả bài toán.
Chú ý: Nếu khác hệ quy chiếu thì ta phải áp dụng công thức cộng vận tốc để
13
đưa về cùng hệ quy chiếu.
1.2 Bài tập ví dụ.
Bài 1: Viên bi thứ nhất đang chuyển động với vận tốc
smv /10
1
=
thì va vào viên bi

thứ hai đang đứng yên. Sau va chạm, hai viên bi đều chuyển động về phía trước.
Tính vận tốc của mỗi viên bi sau va chạm trong các trường hợp sau:
1. Nếu hai viên bi chuyển động trên cùng một đường thẳng và sau va chạm viên
bi thứ nhất có vận tốc là
smv /5
1
'
=
. Biết khối lượng của hai viên bi bằng nhau.
2. Nếu hai viên bi hợp với phương ngang một góc:
a)
0
45==
βα
. b)
0
60=
α
,
0
30=
β
Giải
- Xét hệ gồm hai viên bi 1 và 2.
- Theo phương ngang : các lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực và phản lực cân
bằng nhau nên hệ trên là một hệ kín.
- Chọn chiều dương là chiều chuyển động của viên bi thứ nhất trước va chạm.
- Động lượng của hệ trước va chạm:
121
.vmppp

rrrr
=+=
- Động lượng của hệ sau va chạm:

'
2
'
1
'
2
'
1
'
vmvmppp
rrrrr
+=+=
- Theo định luật bảo toàn động lượng:

'
2
'
1
pp
rr
=

'
2
'
11

vmvmvm
rrr
+=⇒

'
2
'
11
vvv
rrr
+=⇒
(1)
1. Hai viên bi chuyển động trên cùng một đường thẳng:
- Chiếu (1) xuống chiều dương như đã chọn:
- Ta có :
'
2
'
11
vvv +=

smvvv /5510
'
11
'
2
=−=−=⇒
Vậy vận tốc của viên bi thứ hai sau va chạm là 5m/s.
2. Hai viên bi hợp với phương ngang một góc:
a)

0
45==
βα
:
14
'
1
v
r
'
2
v
r
α
β
1
v
r
O
Theo hình vẽ:
smvvv /1,7
2
2
.10cos.
1
'
2
'
1
====

α

Vậy vận tốc của hai viên bi sau va chạm là 7,1m/s.
b)
0
60=
α
,
0
30=
β
:
Theo hình vẽ:
'
2
'
1
,vv
rr
vuông góc với nhau.
Suy ra:
smvv /5
2
1
.10cos.
1
'
1
===
α

smvv /7,8
2
3
.10cos.
1
'
2
===
β
Vậy sau va chạm: Vận tốc của viên bi thứ nhất là 5m/s.
Vận tốc của viên bi thứ hai là 8,7m/s.
Bài 2: Một xe ôtô có khối lượng m
1
= 3 tấn chuyển động thẳng với vận tốc v
1
=
1,5m/s, đến tông và dính vào một xe gắn máy đang đứng yên có khối lượng m
2
=
100kg. Tính vận tốc của các xe sau va chạm.
Giải
- Xem hệ hai xe là hệ cô lập
- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng của hệ.

vmmvm
rr
)(.
2111
+=

v
r
cùng phương với vận tốc
1
v
r
.
- Vận tốc của mỗi xe là:

21
11
.
mm
vm
v
+
=
= 1,45(m/s)
Bài 3: Toa tàu thứ nhất đang chuyển động với vận tốc v
1
=15m/s đến va chạm với
toa tàu thứ 2 đang đứng yên có khối lượng gấp đôi toa tàu thứ nhất. Sau va chạm 2
toa tàu móc vào nhau và cùng chuyển động. Tính vận tốc của 2 toa sau va chạm
Giải
- Xem hệ hai toa tàu là hệ cô lập
-Động lượng trước khi va chạm
15
α
β
'

1
v
r
1
v
r
'
2
v
r
O
1 1t
p m v=
uur ur
- Động lượng sau khi va chạm
1 2
( )
s
p m m v= +
uur r
-Áp dụng định luật bảo toàn động lượng của hệ.

t
p
uur
=
s
p
uur

vmmvm
rr
)(.
2111
+=
v
r
cùng phương với vận tốc
1
v
r
.
- Vận tốc của mỗi toa là:
1 1 1 1
1
1 2 1
. 15
5 /
3 3 3
m v m v
v v m s
m m m
= = = = =
+
Bài 4: Một người khối lượng m
1
= 50kg đang chạy với vận tốc v
1
= 4m/s thì nhảy
lên một chiếc xe khối lượng m

2
= 80kg chạy song song ngang với người này với
vận tốc v
2
= 3m/s. sau đó, xe và người vẫn tiếp tục chuyển động theo phương cũ.
Tính vận tốc xe sau khi người này nhảy lên nếu ban đầu xe và người chuyển động:
a) Cùng chiều.
b) Ngược chiều
Giải
Xét hệ: Xe + người là hệ kín
Theo định luật BT động lượng
( )
1 2
1 2 1 2
. .m v m v m m v
+ = +
r r r
a/ Khi người nhảy cùng chiều thì
1 1 2 2
1 2
50.4 80.3
3,38 /
50 80
m v m v
v m s
m m
+
+
= = =
+ +

- Vậy xe tiếp tục chuyển động theo chiều cũ
với vận tốc 3,38 m/s.
b/ Khi người nhảy ngược chiều thì
/
1 1 2 2
1 2
50.4 80.3
0,3 /
50 8 0
m v m v
v m s
m m
− +
− +
= = =
+ +
- Vậy xe tiếp tục chuyển động theo
chiều cũ với vận tốc 0,3m/s.
16

Bài 5: Một người có khối lượng m
1
=50kg nhảy từ một chiếc xe có khối lượng
m
2
=80kg đang chuyển động theo phương ngang với vận tốc v=3m/s. Biết vận tốc
nhảy đối với xe là v
0
=4m/s. Tính vận tốc sau khi người ấy nhảy
a) Cùng chiều

b) Ngược chiều
Giải
-Xét hệ người và xe là hệ kín
+
0
v
uur
vận tốc của người đối với xe( 4m/s)
+
v
r
vận tốc của xe đối với đất( 3m/s)
Vậy vận tốc của người đối với đất

1 0
v v v= +
ur uur r
+
2
v
uur
là vận tốc của xe so với mặt đất ngay sau khi người nhảy
-Động lượng của người và xe trước khi nhảy:
1 2
( )
t
p m m v= +
uur r
-Động lượng của người và xe sau khi nhảy:
1 1 2 2s

p m v m v= +
uur ur uur
-Áp dụng định luật bảo toàn động lượng:
t
s
p p=
uur ur

1 2
( )m m v+
r
=
1 1 2 2
m v m v+
ur uur

1 2 1 0 2 2
( ) ( )m m v m v v m v+ = + +
r uur r uur
Chọn chiều (+) là chiều chuyển động

1 2 1 0 2 2
( ) ( )m m v m v v m v+ = + +
a.Cùng chiều (v
0
>0; v>0)
1 2 1 0
2
2
2

( ) ( )
130.3 50(4 3)
0,5 /
80
m m v m v v
v
m
v m s
+ − +
=
− +
= =
b. Ngược chiều:( v
0
<0; v>0)
17
1 2 1 0
2
2
( ) ( )m m v m v v
v
m
+ − +
=

⇒

2
130.3 50( 4 3)
5,5 /

80
v m s
− − +
= =
Bài 6: Hai viên bi hình cầu giống hệt nhau có khối lượng m. Viên thứ 1 đang nằm
im trên bàn thì viên thứ 2 trượt đến với vận tốc
0
v
và đập vào viên thứ 1.
( xem hình vẽ) Cho góc
α
= 45
0
. Sau va chạm 2 viên chuyển động theo 2 hướng
tạo với nhau 1 góc
β
= 60
0
. Xác định hướng và vận
tốc trượt của 2 viên bi sau va chạm.
Xác định loại va chạm này là va chạm loại gì?
Giải
+ Phân tích dữ liệu: trước hết ta không thể nói ngay xem đây là va chạm tuyệt
đối đàn hồi hay là va chạm mềm. Phải qua các bước tính toán thì mới có thể khẳng
định được điều đó. Vì vậy ta không thể áp dụng các phương pháp bảo toàn cơ năng.
Tuy nhiên trong thời gian xảy ra va chạm, do nội năng trong quá trình này là tương
đối lớn nên có thể bỏ qua các yếu tố ngoại lực, vì vậy ta hoàn toàn có thể coi trong
quá trình này thì hệ là hệ kín
⇒
được phép áp dụng định luật bảo toàn động lượng.

+ Giải quyết vấn đề
Trong quá trình va chạm, 2 viên bi chỉ tiếp xúc tại một điểm duy nhất do tính
chất của hình cầu. Vì vậy nên tổng hợp lực tác dụng lên hòn bi thứ nhất khi đó có
hướng trùng với đường thẳng nối điểm tiếp xúc A với tâm
1
O
, tức là tạo với
phương vận tốc ban đầu
0
v
của viên bi thứ 2 một góc bằng
α
. Vì vậy, vận tốc
1
v
của
viên bi thứ nhất sau va chạm có hướng tạo với
0
v
góc
α
2
v⇒
có hướng tạo với
0
v

góc
( )
β α

−
Trước va chạm viên bi thứ 2 có động lượng
0 0
p mv=
r r
Sau va chạm 2 viên bi có động lượng tương ứng là :
1 1
p mv=
r r
và
2 2
p mv=
r r
Theo nguyên tắc tam giác
0 1 2
, ,p p p
r r r
được biểu diễn như hình vẽ :
18
α
v
r
0
p
r
1
p
r
2
p

r
Theo định lý hàm số sin ta có
0
1 2
sin(180 ) sin sin( )
p
p p
β α β α
= =
− −
0
1 2
sin(180 ) sin sin( )
v
v v
β α β α
⇔ = =
− −
và
0
1
0
2
sin
sin(180 )
sin( )
sin(180 )
v
v
v

v
α
β
β α
β

=

−

⇔

−

=

−

0
1 0
0
2 0
sin 45
2
sin(180 60) 3
sin(60 45)
0,3
sin(180 60)
v
v v

v
v v

= =

−

⇔

−

= ≈

−

Bây giờ ta xét về phương diện năng lượng
Năng lượng của hệ trước va chạm:
0
2
0 0
1
W
2
d
E mv= =
Năng lượng của hệ sau va chạm

1 2
2 2
1 1 2

1
W W ( )
2
d d
E m v v= + = +
2
0
2
0
1 2
( 0,09)
2 3
0,378
m v
mv
≈ +
≈
Dễ thấy năng lượng trước và sau va chạm là khác nhau
⇒
đây không phải là
va chạm hoàn toàn đàn hồi cũng như va chạm hoàn toàn mềm.
19
Dạng 2: Cho biết trạng thái động học của cơ hệ trước và sau va chạm. Tìm các
xung lực và lượng mất mát động năng
2.1 Phương pháp.
Đây là loại bài toán về độ biến thiên động lượng và xung lượng của lực tác dụng
lên vật. Chỉ cần xác định và vẽ chính xác vectơ động lượng của vật lúc trước và sau
va chạm từ đó xác định được đúng vectơ biểu thị độ biến thiên động lượng và xác
định được lực
F

r
(phương, chiều, độ lớn) làm biến thiên động lượng của vật (dĩ
nhiên, ngược lại, nếu biết
F
r
suy ra
p∆
r
). Ở đây chỉ nói đến lực trung bình, bởi vì
trong khoảng thời gian
t
∆
, lực
F
r
có thể thay đổi. Cần chú ý rằng có lực ma sát nên
vận tốc bật ngược trở lại của quả bóng có thể có độ lớn và phương khác với vận tốc
lúc va chạm (đề bài sẽ cho biết)
2.2 Bài tập ví dụ.
Bài 1: Quả bóng có khối lượng m = 500g chuyển động với vận tốc v = 10 m/s đến
đập vào tường rồi bật trở lại với vận tốc v, hướng vận tốc của bóng trước và sau va
chạm tuân theo quy luật phản xạ gương. Tính độ lớn động lượng của bóng trước,
sau va chạm và độ biến thiên động lượng của bóng nếu bóng đến đập vào tường
dưới góc tới bằng:
a)
0
α =
b)
0
60α =

Suy ra lực trung bình do tường tác dụng lên bóng nếu thời gian va chạm
t 0,5s∆ =
Giải
Độ lớn của động lượng của quả bóng trước và sau va chạm:
( )
, ,
p p mv mv 0,5.10 5 kgm / s= = = = =
Độ biến thiên động lượng của bóng
, ,
p p p mv mv∆ = − = −
uur r r r r
20
a) Trường hợp 1:
Nếu góc tới của bóng bằng 0 (bóng đến đập vuông góc với tường), bóng sẽ bật
ngược trở lại hướng ban đầu.
Vì
,
p
ur
và
p
r
ngược chiều:
,
p p p∆ = +
( )
,
p mv mv 2.mv 10 kgm / s∆ = + = =
Lực do tường tác dụng lên bóng:
p

F
t
∆
=
∆
r
r
Suy ra:
p
F 20N
t
∆
= =
∆
b) Trường hợp 2:
Nếu góc tới của bóng là 60
0
: các vectơ vận tốc (và động lượng) của bóng trước và
sau va chạm sẽ hợp với nhau một góc bằng 60
0
p = p
,
= 5 kgm/s và
( )
, 0
p,p 60=
ur
r
Các vectơ
,

p,p , p∆
ur
r r
sẽ tạo thành một tam giác đều.
Suy ra:
,
p p p 5kgm / s∆ = = =
Lực do tường tác dụng lên bóng:
p
F 10N
t
∆
= =
∆
Bài 2: Một vật khối lượng m
1
chuyển động với vận tốc v
1
đến va chạm vào vật
khác có khối lượng m
2
đang đứng yên. Sau va chạm 2 vật dính vào nhau và cùng
chuyển động với vận tốc
,
v
.
a. Tính
,
v
theo m

1
,

m
2
và v
1
.
b. Chứng tỏ trong va chạm này (va chạm mềm) động năng không được bảo toàn.
21
c. Tính phần trăm động năng đã chuyển thành nhiệt trong 2 trường hợp sau đây và
nêu nhận xét:
+
1 2
1
m m
9
= =
+
1 2
m 9m=
Giải
a. Tính vận tốc
,
v
:
Định luật bảo toàn động lượng:
( )
,
1 1 1 2

,
1
1
1 2
m v m m v
m
v v
m m
= +
⇒ =
+
b. Trong va chạm mềm động năng không được bảo toàn:
Động năng của hệ hai vật trước va chạm:
W
đ
=
2
1 1
1
m v
2
Động năng của hệ hai vật sau va chạm:
W
đ’

( ) ( )
2
2
'2 2
1 1

1 2 1 2 1 1
1 2 1 2
m m1 1 1
m m v m m v v
2 2 m m 2 (m m )
 
= + = + =
 ÷
+ +
 
W
đ’
2
1
1 1
1 2
m 1
m v
m m 2
 
=
 ÷
+
 

→
W
đ’
1
1 2

m
m m
=
+
W
đ
< W
đ
Động năng của hệ đã giảm khi va chạm mềm tức động năng không được bảo toàn
c. Phần trăm động năng đã chuyển thành nhiệt:
Theo định luật bảo toàn năng lượng, phần động năng đã giảm đúng bằng nội năng
(nhiệt) tỏa ra:
22
Q = W
đ
- W
đ’

1
1 2
m
1
m m
 
= −
 ÷
+
 
W
đ

2
1 2
m
m m
=
+
W
đ
2
d 1 2
mQ
H
W m m
⇒ = =
+
* Với
1 2
1
m m
9
=
thì
2
1
2 2
m
H 90%
1
m m
9

= =
+
* Với
1 2
m 9m=
thì
2
2
2 2
m
H 10%
9m m
= =
+
Nhận xét:
- Để có nhiệt tỏa ra lớn thì khối lượng vật đứng yên (m
2
) phải lớn so với m
1
. Đó là
trường hợp búa đập xuống đe.
- Để có nhiệt lượng tỏa ra không đáng kể thì khối lượng vật đứng yên (m
2
) phải nhỏ
hơn m
1
. Đó là trường hợp đóng đinh.
Bài 3: Hai hòn bi A và B có khối lượng m
1
= 150g và m

2
= 300g được treo bằng
hai sợi dây, có khối lượng không đáng kể có cùng chiều dài
l
= 1m, vào một điểm
O. Kéo lệch hòn bi A cho dây treo nằm ngang rồi thả nhẹ nó ra, nó đến va chạm
vào hòn bi B. Sau va chạm hai hòn bi chuyển động như thế nào? Lên đến độ cao
bao nhiêu tính từ vị trí cân bằng? Tính phần động năng biến thành nhiệt năng khi
va chạm.
Xét hai trường hợp:
a) Hai viên bi bằng chì, va chạm là mềm
b) Hai hòn bi bằng thép, va chạm là đàn hồi.
Trong mỗi trường hợp kiểm lại định luật bảo toàn năng lượng.
Giải
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng (cho hệ gồm trái đất và hòn bi A, chọn mốc thế
năng tại ví trí cân bằng của hòn bi B trước va chạm) ta tính được vận tốc v của hòn
bi A trước va chạm:
23
2
1 1
1
1
m v
0 m gl 0
2
v 2gl
+ = +
⇒ =
a) Va chạm là mềm:
Một phần động năng của hòn bi A

2
1 1
d 1
m v
W m gl
2
 
= =
 
 
biến thiên thành nhiệt. Ngay
sau va chạm cả hai hòn bi có cùng vận tốc u. Áp dụng định luật bảo toàn động
lượng ta có:
( )
1 1 2
1
1 2
m v m m u
m v v
u
m m 3
= +
⇒ = =
+
(thay
2 1
m 2m=
theo đề bài)
Động năng của hệ hai hòn bi sau va chạm là
W

đ’

2 2 2
2
1 2 1 1
1
m u m u m v m gl3
m u
2 2 2 6 3
= + = = =
Sau va chạm hai hòn bi dính vào nhau và tiếp nối chuyển động tròn ban đầu của
hòn bi A. Động năng W
đ’
của hệ hai hòn bi chuyển thành thế năng. W
t’
( )
1 2 1
m m gh 3m gh= + =
của hòn bi ở độ cao tối đa h (chọn mốc thế năng như trên):
W
t’
= W
đ’

1
1
m gl
3m gh
3
⇒ =

suy ra
1 1
h m 11cm
9 9
= = ≅
phần động năng của hòn bi A đã biến thành nhiệt khi va chạm là:
Q=W
đ
- W
đ’
=
1 1
1
m gl 2m gl
m gl
3 3
− =
Thay số ta có: Q = 1(J)
Ta kiểm tra lại định luật bảo toàn năng lượng. Ban đầu năng lượng của hệ hai hòn
bi là thế năng m
1
gl của hòn bi A ở độ cao
l
. Về sau hệ có thế năng
1
m
gl
3
, cơ năng
không được bảo toàn là một phần Q =

1
2m gl
3
đã chuyển thành nhiệt trong quá trình
va chạm mềm. Nhưng năng lượng được bảo toàn: m
1
gl = Q +
1
m gl
3
24
b)Va chạm là đàn hồi. Gọi v
1
và v
2
là vận tốc của hòn bi A và hòn bi B ngay sau va
chạm. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và định luật bảo toàn động năng cho
hệ hai hòn bi ta có(lưu ý m
2
= 2m
1
)
m
1
v = m
1
v
1
+ m
2

v
2
→
v = v
1
+ v
2
và
2 2 2
2 2 2
1 1 1 2 2
1 2
m v m v m v
v v 2v
2 2 2
= + → = +
.
suy ra: v
1
= -
v
3
; v
2
=
2v
3
.
v
1

ngược dấu với v có nghĩa là hòn bi A bật ngược trở lại; v
2
cùng dấu với v có
nghĩa là hòn bi B bật lại về phía trước và tiếp nối chuyển động tròn ban đầu của
hòn bi A và hòn bi B lần lượt là:
W
đ1
=
2 2
1 1 1 1
m v m v m gl
2 18 9
= =
W
đ2
=
2 2
2 2 1 1
m v 4m v 8m gl
2 9 9
= =
Nhờ có động năng hai hòn bi đi lên các độ cao tối đa h
1
và h
2
ở đó thế năng của
chúng bằng các động năng trên dây (áp dụng định luật bảo toàn cơ năng). Ta có:
W
đ1
= W

t1
→
m
1
gh
1
=
1
1
m gl l 1
h m 11cm
9 9 9
→ = = ≅
và W
đ2
= W
t2
1
2 2 2
8m gl 4l 4
m gh h m 44cm
9 9 9
→ = → = = ≅
Ta kiểm tra lại định luật bảo toàn năng lượng. Ban đầu năng lượng của hệ hai hòn
bi là thế năng m
1
gl của hòn bi A ở độ cao
l
. về sau hệ có thế năng
W

t1
= W
t2
=
1 1
1
m gl 8m gl
m gl
9 9
+ =
bằng năng lượng ban đầu.
Chú ý : Đây là loại bài toán va chạm giữa hai vật. Trong trường hợp va chạm
mềm (như trong ví dụ trên hoặc trong bài toán về con lắc thử đạn ), ta áp dụng
định luật bảo toàn động lượng, trong đó cần chú ý rằng sau va chạm vật có cùng
vận tốc (hai vật “dính vào nhau”); trong trường hợp này động năng (cơ năng)
25