ĐỀ thi toán cao cấp c2

Trường Đại học Duy Tân
Khoa: Khoa học Tự Nhiên
Bộ môn: Toán

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Môn : Toán cao cấp C2
Khối lớp: K15KKT 1-6
Học kỳ : 1 Năm học: 2010-2011.
Thời gian làm bài: 90phút

Đề số:


2

Câu 1 (3đ) Cho phương trình
AX
=
B
, trong đó
122
123
132
A
⎡
⎤
⎢
⎥
=
⎢
⎥

⎢
⎥
⎣
⎦
và
103
240
052
B
⎡⎤
⎢⎥
=−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

a) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
A
.
b) Tìm ma trận
X
thỏa mãn phương trình trên.
Câu 2 (3.5đ)
1) Hỏi họ vec tơ sau có là cơ sở trong không gian vectơ không?

2) Trong không gian vectơ P2 cho các cơ sở
123 123
{, , }, '{, ,}
B
ppp B qqq

=
=
với

22
123
1,,1pxxpxpx=+ − = =+
;
2
123
12 , 1 , 3qxxqxqx
=
−+ =+ =−

a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở B’.
b) Cho
[]
'
1
2
3
B
p
⎡⎤
⎢⎥
=−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
tìm ma trận tọa độ

[
]
B
p
?
Câu 3 (3.5đ)
a. Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi số sau:
1
1
3(4)
1.
5
nn
n
n
∞
−
=
+−
∑

3
1
(!)
2.
3
n
n
nn
∞

=
∑


b. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:

(Đề thi không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Tổ trưởng Bộ môn




ThS. Nguyễn Đức Hiền
Giảng viên ra đề




ThS. Nguyễn Thị Lệ Nhung
4
\
(
)
(
)
(
)
{
}

= 1,0,3,0 , 0,1,2,3 , 0,0,1, 2 ,(1,3, 2,1)S −−
()
2
1
3
1
n
n
n
x
n
∞
=
−
+
∑
Trường Đại học Duy Tân
Khoa: Khoa Khoa Học Tự Nhiên
Bộ môn: Toán

ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Môn: Toán cao cấp C2
Khối: Kinh tế
Lớp: K15KKT 1-6
Học kỳ :1 Năm học: 2010-2011.
Thời gian làm bài: 90 phút

Đề số:

2
Câu 1:


Điểm
a)(2đ) det(A)=-1 nên tồn tại ma trận nghịch đảo A
-1
Tìm ma trận C:
11
11
23
(1) 5
32
c
+
=− =−
12 13 21 22 23
,1, 1,2,0, 1,ccccc
=
== = =−

31 32 33
2, 1, 0cc c==−=

Suy ra ma trận
51 1 52 2
20 1 10 1
210 110
t
CC

−−
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
=−⇒=−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
−−
⎝⎠⎝⎠

Ma trận nghịch đảo của A là

1
52 2 5 2 2
1
11 0 1 1 0 1
det( )
110 110
t
AC
A
−
−
−−
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
==− −=−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
−−
⎝⎠⎝⎠

0.25

0.5
0.5


0.25



0.5
b) Từ phương trình suy ra ma trận

1
522103 91811
10 1 240 1 5 1
11 0 052 3 4 3
XAB
−
−− −
⎛⎞⎡⎤⎛ ⎞
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎢⎥
==− − =− −
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎢⎥
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎢⎥

−−−
⎝⎠⎣⎦⎝ ⎠






1
Tổng điểm câu 1: 3.0
Câu 2:
1) Xét
123 4
(1,0,3,0) (0,1,2,3) (0,0,1, 2) (1,3, 2,1) (0,0,0,0)
α
αα α
++−+−=


14
24
1234
234
0
30
32 2 0
32 0
αα
αα
αααα

ααα
+=
⎧
⎪
+=
⎪
⇔
⎨
++−=
⎪
⎪
−+=
⎩

10 0 1 10 0 1 10 0 1 100 1
01 0 3 01 0 3 01 0 3 010 3
det( ) 30 0
321202150011100111
03210028002 800030
A === ==−≠
−−−−
−−−−−−

Vậy họ đã cho là cơ sở của R
4
vì số vectơ của họ bằng số chiều của R
4
là 4.
0.25

0.25




0.75


0.25
2) a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở B’.
Biểu diễn tuyến tính các đa thức của B’ sang B ta được:
[]
13
1
1112233 12 2 1
13 3
1
0
0
22 2
1
11
B
qppp q
αα
α
αα α αα α
αα α
+=

=
⎧
⎧
⎡
⎤
⎪⎪
⎢
⎥
=+ +⇔+=−⇔=−⇒ =−
⎨⎨
⎢
⎥
⎪⎪
⎢
⎥
−+ = =
⎣
⎦
⎩
⎩

[]
1
13
2112233 12 2 2
13
3
1
1
2

1
2
1
1
1
2
2
0
1
1
2
2
B
qppp q
α
αα
αα α αα α
αα
α
⎧
=
⎪
⎡
⎤
+=
⎧
⎪
⎢
⎥
⎪⎪

⎢
⎥
=+ +⇔+=⇔=⇒ =
⎨⎨
⎢
⎥
⎪⎪
−+ =
⎢
⎥
⎩
⎪
⎣
⎦
=
⎪
⎩

[]
1
13
3112233 12 2 3
13
3
3
3
2
32
5
5

1
2
2
0
3
3
2
2
B
qppp q
α
αα
αα α αα α
αα
α
⎧
=
⎪
⎡
⎤
+=
⎧
⎪
⎢
⎥
−
⎪⎪
⎢
⎥
−

=+ +⇔+=−⇔=⇒ =
⎨⎨
⎢
⎥
⎪⎪
−+ =
⎢
⎥
⎩
⎪
⎢
⎥
⎣
⎦
=
⎪
⎩

Ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ là
'
3
1
0
22
5
1
2
22
3
1

1
22
BB
P
→
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
−
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠






0.3




0.3

0.4






0.5



b) Ma trận tọa độ [p]
B
là








0.5
T
ổn
g
đi
ể
m câu 2: 3.5

Câu 3:
a)
1)(1đ)
111
111
3 ( 4) 3 ( 4)
555
nn n n
nnn
nnn
∞∞∞
−−−
===
+− −
=+
∑∑∑

Chuỗi
1
1
3
5
n
n
n
∞
−
=
∑
hội tụ và có tổng

1
1
3315
3
52
1
5
n
n
n
∞
−
=
=
=
−
∑

Chuỗi
1
1
(4)
5
n
n
n
∞
−
=
−

∑
hội tụ và có tổng
1
1
(4) 4 20
4
59
1
5
n
n
n
∞
−
=
−
−−
==
−
−
∑

Điểm

0.25


0.25

0.25


[] []
'
'
3
17
0
22
2
1
5
121
22
22 2
3
39
1
1
22 2
BB
BB
pPp
→
⎛⎞
⎡
⎤
⎡⎤
⎜⎟

⎢
⎥
⎢⎥
⎜⎟
⎢
⎥
−
−
==− −=
⎢⎥
⎜⎟
⎢
⎥
⎢⎥
⎜⎟
⎢
⎥
⎣⎦
⎜⎟
⎣
⎦
⎝⎠
Suy ra chuỗi
1
1
3(4)
5
nn
n
n

∞
−
=
+−
∑
hội tụ và có tổng
1
1
3 ( 4) 15 20 95
52918
nn
n
n
∞
−
=
+−
=−=
∑



0.25
2) (1đ) Áp dụng tiêu chuẩn Đalămbe ta có:

33
1
13 3
(1)!(1)3 (1)(1)
lim lim lim 1

3!() 3
n
n
n
nn n
n
u
nn nn
unnn
+
+
→∞ →∞ →∞
++ ++
===+∞>

Vậy chuỗi đã cho phân kì.
0.25

0.5

0.25
b)(1.5đ)



- Đặt X = x-3, chuỗi đã cho trở thành

0.25
- Ta có



Khoảng hội tụ:


0.25


0.25
- Tại x = 2:
phân kì

Tại x = 4:
phân kì

Vậy, miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là



0.25

0.25

0.25
Tổng điểm câu 3:

3.5
Tổ trưởng B
ộ môn




ThS. Nguyễn Đức Hiền
Giảng viên ra đề




ThS. Nguyễn Thị Lệ Nhung

2
1
X
1
n
n
n
n
∞
=
+
∑
2
1
2

(1) 1
lim lim 1 1
2
n
nn
n
a
nn
r
an
n
+
→∞ →∞
++
==⇒=
+
()
2
1
1
1
n
n
n
n
∞
=
−
+
∑

()
(
)
X1,1 2,4x∈− ⇒ ∈
2
1
1
n
n
n
∞
=
+
∑
(
)
D2,4=
()
2
1
3
1
n
n
n
x
n
∞
=
−

+
∑