Đề thi Toán cao cấp c2

Đề tham khảo
−
Toán cao cấp C
2
Trần Ngọc Hội

1


ĐỀ THAM KHẢO 1
MÔN TOÁN CAO CẤP C2
Thời gian làm bài: 90 phút
(Không sử dụng tài liệu)
-----oOo-----

Câu 1. Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số thực m:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=++
=++
=−++
.
;
;
;

mxxxx
xxx
xxx
xxxx
4321
321
321
4321
26113
3683
2472
023

Câu 2. Cho ma trận
131 123
A 122; B 121
3113 2 1 3
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
=− − = −
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠
.
a) Khảo sát tính khả nghịch của A và tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có).
b) Tìm các ma trận X, Y thỏa AXA = AB và AYA = BA.

Câu 3. Trong không gian R
3

cho các véctơ:
u
1
= (1, 2 ,
–
3); u
2
= (1, 3, 2); u
3
= (2 , 5, 2);
a) Chứng minh B = {u
1
; u
2
; u
3
} là một cơ sở của R
3
.
b) Tìm toạ độ của véctơ u = (4 , 9,
–
1) theo cơ sở B.
Câu 4. Cho ma trận
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎜
⎝
⎛
−
=
220
270
123
A
.
a) Tìm các trị riêng và các cơ sở, số chiều của các không gian riêng của A.
b) Chứng minh A chéo hoá được. Tìm ma trận P sao cho P
–1
AP là ma trận
chéo và xác định ma trận chéo đó.
---------------------
Đề tham khảo
−
Toán cao cấp C
2
Trần Ngọc Hội

2

ĐỀ THAM KHẢO 2
MÔN TOÁN CAO CẤP C2
Thời gian làm bài: 90 phút
(Không sử dụng tài liệu)
-----oOo-----
Câu 1. Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số thực m :

12 3
12 3
12 3
xx x 2;
xmx 3x 4;
x2x(m1)x0.
++ =
⎧
⎪
++ =
⎨
⎪
++−=
⎩


Câu 2. Cho các ma trận
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
322
211

A
và
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
01
21
B
. Tìm tất cả các
ma trận X thỏa AX = B.

Câu 3. Trong không gian véctơ R
4
cho các vectơ:
u
1
= (1,1,0,1); u
2
= (1,2,0,1); u
3
= (1,0,1,1); u
4
= (0,3,

–
2,0).
a) Xét xem các véctơ u
1
; u
2
; u
3
; u
4
có độc lập tuyến tính hay không.
b) Tìm số chiều và một cơ sở của không gian W sinh bởi u
1
; u
2
; u
3
; u
4
.
Câu 4. Cho ma trận
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝

⎛
−
−
=
300
012
021
A
.
a) Tìm các trị riêng và các cơ sở, số chiều của các không gian riêng của A.
b) Chứng minh A chéo hoá được. Tìm ma trận P sao cho P
–1
AP là ma trận
chéo và xác định ma trận chéo đó.
---------------------
Đề tham khảo
−
Toán cao cấp C
2
Trần Ngọc Hội

3

ĐỀ THAM KHẢO 3
MÔN TOÁN CAO CẤP C2
Thời gian làm bài: 90 phút
(Không sử dụng tài liệu)
-----oOo-----

Câu 1. Giải hệ phương trình tuyến tính sau :

12345
12345
12345
12345
2x 2x x x x 1
x2xxx2x1
4x 10x 5x 5x 7x 1
2x 14x 7x 7x 11x 1
− +−+ =
⎧
⎪
+−+−=
⎪
⎨
− +−+ =
⎪
⎪
− +−+ =−
⎩


Câu 2. Cho A =
8454
6m556
32m2m3
m2 2m 2mm2
⎛⎞
⎜⎟
+
⎜⎟

⎜⎟
⎜⎟
++
⎝⎠
.
a) Tính định thức của A.
b) Xác định tất cả các tham số thực m sao cho ma trận A
2
khả nghịch.

Câu 3. Trong không gian véctơ R
4
cho các vectơ:
u
1
= (1, 2, 3, 0); u
2
= (2,
–
1, 0, 1); u
3
= (1, 7, 9,
–
1)
a) Xét xem các véctơ u
1
; u
2
; u
3

có độc lập tuyến tính hay không.
b) Định tham số m để u

= (0,5, 6, m) là một tổ hợp tuyến tính của u
1
; u
2
; u
3
.

Câu 4. Cho ma trận A với hệ số thực
7126
A 10 19 10
12 24 13
−
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
.
a) Tìm các trị riêng, cơ sở và số chiều của các không gian riêng của A.
b) Chứng minh A chéo hoá được và tìm ma trận P sao cho P
–1
AP là ma trận chéo
và xác định dạng chéo đó.
---------------------