phép tính vi phân hàm 1 biến

Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM

1
Chương 2
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
§1. GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
I. Dãy số - Giới hạn dãy số.
1. Dãy số
1.1 Định nghĩa
Dãy số là một tập hợp các số được viết theo một thứ tự xác định:
{
}
1 2, 3
, , , ,
n
x x x x
.
Để chỉ dãy số đó, người ta thường dùng kí hiệu
{ }
1
n
n
x
∞
=
hay gọn hơn
{
}
n
x

.
Trong chương này, ta chỉ xét các dãy số thực. Dãy số thực là một ánh xạ :

( )
:

→
=
 

n
f
n f n x

Kí hiệu
{
}
∈

n
n
x
hay
{
}
n
x
.
Lúc đó:
• n được gọi là chỉ số.

•
n
x
được gọi là số hạng tổng quát của dãy.
Chú ý
:
Dãy số còn có thể xác định bởi công thức tổng quát
1 2
1 2
1, 2
2 , 3
n n n
x x
x x x n
− −

= =




= + ∀ ≥




Ghi chú
: Ta th
ườ
ng xét dãy s

ố
th
ự
c là ánh x
ạ
t
ừ

*

vào

.
Ví d
ụ
1.

1
1 1 1 1
) 1, , , , ,
2 3
n
a
n n
∞
=
   
=
   
   

;
( )
{
}
( )
{
}
) 1 1,1, 1,1, , 1 ,
n n
b − = − − −
;
{
}
{
}
2 2
) 1,4,9, , ,
c n n
=
;
1 2 3
) , , , , ,
1 2 3 4 1
n n
d
n n
   
=
   
+ +

   
.

Dãy s
ố

{
}
n
x
g
ọ
i là t
ă
ng n
ế
u
*
1, n n
x x n
+
< ∀ ∈

, g
ọ
i là gi
ả
m n
ế
u

*
1
,
n n
x x n
+
> ∀ ∈

.
Trong ví d
ụ
1, dãy a) là dãy s
ố
gi
ả
m, dãy c) là dãy s
ố
t
ă
ng. Dãy s
ố
t
ă
ng và dãy s
ố
gi
ả
m
đượ
c g

ọ
i là dãy s
ố

đơ
n
đ
i
ệ
u.

Dãy s
ố

{
}
n
x
g
ọ
i là b
ị
ch
ặ
n trên n
ế
u t
ồ
n t
ạ

i m
ộ
t s
ố
M sao cho
*
,
n
x M n≤ ∀ ∈

;
g
ọ
i là b
ị
ch
ặ
n d
ướ
i n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t s
ố
m sao cho

*
,
n
x m n≥ ∀ ∈

; g
ọ
i là b
ị
ch
ặ
n n
ế
u nó
v
ừ
a b
ị
ch
ặ
n trên v
ừ
a b
ị
ch
ặ
n d
ướ
i.
Ví d

ụ
2. Trong ví d
ụ
1
Dãy a) là dãy s
ố
gi
ả
m, nó b
ị
ch
ặ
n d
ướ
i b
ở
i 0 và b
ị
ch
ặ
n trên b
ở
i 1;
Dãy b) không ph
ả
i là dãy s
ố

đơ
n

đ
i
ệ
u, nó b
ị
ch
ặ
n d
ướ
i b
ở
i -1 và b
ị
ch
ặ
n trên b
ở
i 1;

B
ộ
môn Tóan- Th
ố
ng kê Khoa Kinh T
ế
-Lu
ậ
t
Đ
HQG Tp.HCM

2
Dãy c) là dãy t
ă
ng, nó b
ị
ch
ặ
n d
ướ
i b
ở
i 1 nh
ư
ng không b
ị
ch
ặ
n trên, do
đ
ó nó không b
ị

ch
ặ
n;
Dãy d) là dãy s
ố
t
ă

ng, nó b
ị
ch
ặ
n d
ướ
i b
ở
i 0 và b
ị
ch
ặ
n trên b
ở
i 1.
2. Các dãy số đặc biệt
2.1 Dãy số cộng
2.1.1 Định nghĩa
Là m
ộ
t dãy s
ố
tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ

n: hai ph
ầ
n t
ử
liên ti
ế
p nhau sai khác nhau m
ộ
t h
ằ
ng
s
ố
. Ch
ẳ
ng h
ạ
n, dãy s
ố
3, 5, 7, 9, 11, là m
ộ
t c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng v
ớ
i các phân t

ử
liên ti
ế
p sai
khác nhau h
ằ
ng s
ố
2.
H
ằ
ng s
ố
sai khác chung
đượ
c g
ọ
i là
công sai
c
ủ
a c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng. Các ph
ầ
n t

ử
c
ủ
a nó
c
ũ
ng
đượ
c g
ọ
i là các s
ố
h
ạ
ng.
2.1.2 Số hạng tổng quát
N
ế
u c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng kh
ở
i
đầ
u là ph
ầ

n t
ử
u
1
và công sai là d, thì s
ố
h
ạ
ng th
ứ
n c
ủ
a c
ấ
p s
ố

c
ộ
ng
đượ
c tính theo công th
ứ
c:
n 1
u u (n 1)d
= + −

2.1.3 Tổng
T

ổ
ng c
ủ
a n s
ố
h
ạ
ng
đầ
u c
ủ
a c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng
đượ
c g
ọ
i là t
ổ
ng riêng th
ứ

n
. Ta có:
[
]

1
1 n
n 1 2 n
n 2a (n 1)d
n(a a )
S a a a
2 2
+ −
+
= + + + = =
2.2 Dãy số nhân
2.2.1 Định nghĩa
Là m
ộ
t dãy s
ố
tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ỷ
s
ố
c
ủ

a hai ph
ầ
n t
ử
liên ti
ế
p là h
ằ
ng s
ố
. T
ỷ
s
ố
này
đượ
c g
ọ
i là công b
ộ
i c
ủ
a c
ấ
p s
ố
nhân. Các ph
ầ
n t
ử

c
ủ
a c
ấ
p s
ố
nhân còn
đượ
c g
ọ
i là các
s
ố
h
ạ
ng.Nh
ư
v
ậ
y, m
ộ
t c
ấ
p s
ố
nhân có d
ạ
ng
2 3
a,ar,ar ,ar ,

Trong
đ
ó
r 0
≠
là công b
ộ
i và a là s
ố
h
ạ
ng
đầ
u tiên
2.2.2 Số hạng tổng quát
S
ố
h
ạ
ng th
ứ
n c
ủ
a c
ấ
p s
ố
nhân
đượ

c tính b
ằ
ng công th
ứ
c
n-1
n
a ar
=
trong
đ
ó n là s
ố
nguyên th
ỏ
a mãn n>1
Công b
ộ
i khi
đ
ó là

1
n 1
n n
n 1
a a
r ,r
a a
−

−
 


= =




 
trong
đ
ó n là s
ố
nguyên th
ỏ
a mãn
n 1
≥

2.2.3 Tổng
T
ổ
ng các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a c

ấ
p s
ố
nhân :

B
ộ
môn Tóan- Th
ố
ng kê Khoa Kinh T
ế
-Lu
ậ
t
Đ
HQG Tp.HCM

3
0

1
2

1

2
3

3
4

4
5

n
k 0 1 2 n
n
k 0
S ar ar ar ar ar
=
= = + + + +
∑

Hay
n 1
n
a(1 r )
S
1 r
+
−
=
−

2.3 Dãy Fibonacci
Dãy Fibonacci
là dãy vô h
ạ
n các s
ố

t
ự
nhiên b
ắ
t
đầ
u b
ằ
ng hai ph
ầ
n t
ử
0 và 1, các ph
ầ
n
t
ử
sau
đ
ó
đượ
c thi
ế
t l
ậ
p theo quy t
ắ
c
m
ỗ

i ph
ầ
n t
ử
luôn b
ằ
ng t
ổ
ng hai ph
ầ
n t
ử
tr
ướ
c nó
.
Công th
ứ
c truy h
ồ
i c
ủ
a dãy Fibonacci là:
n
0 ,khin 0
F : F(n) : 1 ,khin 1
F(n 1) F(n 2) ,khin 1

=





= = =



− + − >




3. Giới hạn của dãy số
Tr
ở
l
ạ
i dãy d) c
ủ
a ví d
ụ
1. Bi
ể
u di
ễ
n hình h
ọ
c c
ủ
a nó

đượ
c cho
ở
hình sau:





Ta nh
ậ
n th
ấ
y r
ằ
ng khi n càng l
ớ
n thì
n
x
càng g
ầ
n 1, t
ứ
c là kho
ả
ng cách
1
n
x

−
càng
nh
ỏ
, nó có th
ể
nh
ỏ
bao nhiêu c
ũ
ng
đượ
c mi
ễ
n là n
đủ
l
ớ
n.
Ta nói r
ằ
ng dãy
{
}
n
x
g
ầ
n t
ớ

i 1 ( hay có gi
ớ
i h
ạ
n là 1) khi n d
ầ
n t
ớ
i vô cùng.
Ta có
đị
nh ngh
ĩ
a sau:
Định nghĩa:
S
ố
a g
ọ
i là gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a dãy s
ố

{
}

n
x
n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i s
ố

ε
d
ươ
ng bé tùy ý cho
tr
ướ
c, t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t s
ố
t
ự
nhiên
0
n

sao cho v
ớ
i m
ọ
i
0
n n
>
thì
n
x a
ε
− <
.
Ta vi
ế
t: lim
n
n
x a
→∞
=
hay
n
x a
→
khi
n
→ ∞
.

Khi
đ
ó, dãy s
ố

{
}
n
x
đượ
c g
ọ
i là
h
ộ
i t
ụ
. Dãy s
ố
không h
ộ
i t
ụ

đượ
c g
ọ
i là
phân kì
.

Chú ý:
Ch
ỉ
s
ố

0
n
ph
ụ
thu
ộ
c vào
ε
, nên ta có th
ể
vi
ế
t
(
)
0 0
n n
ε
=
.
Ví d
ụ
3
.

a) Ch
ứ
ng minh
1
lim 0
2
n
n→∞
=
.
Th
ậ
t v
ậ
y, cho tr
ướ
c
0
ε
>
, ta s
ẽ
ch
ỉ
ra r
ằ
ng tìm
đượ
c
(

)
*
0
n
ε
∈

để
cho
0
1
0 ,
2
n
n
x n n
ε
− = < ∀ >
. Ta có,
1
2
n
ε
<
khi
1
2
n
ε
>

, t
ứ
c là khi
2
1
log
n
ε
> .
V
ậ
y ch
ỉ
c
ầ
n ch
ọ
n
( )
0 2
1
log
n
ε
ε
= thì v
ớ
i
0
n n

>
ta có
0
n
x
ε
− <
.

B
ộ
môn Tóan- Th
ố
ng kê Khoa Kinh T
ế
-Lu
ậ
t
Đ
HQG Tp.HCM

4
b) Dùng
đị
nh ngh
ĩ
a ch
ứ
ng minh r
ằ

ng
n
4n 3
lim
n 1
→∞
−
+

4. Các Tính chất và định lý về giới hạn dãy số
Dùng
đị
nh ngh
ĩ
a gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a dãy s
ố
, có th
ể
ch
ứ
ng minh
đượ
c các
đị

nh lý sau:
Định lý 1
. a)
N
ế
u m
ộ
t dãy s
ố
có gi
ớ
i h
ạ
n thì gi
ớ
i h
ạ
n
đ
ó là duy nh
ấ
t
.
b)
N
ế
u m
ộ
t dãy s
ố

có gi
ớ
i h
ạ
n thì nó b
ị
ch
ặ
n
.
Chú thích
: M
ệ
nh
đề
b) c
ủ
a
đị
nh lý 1 là
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n c
ủ
a dãy s

ố
h
ộ
i t
ụ
. T
ừ

đ
ó suy ra
r
ằ
ng n
ế
u m
ộ
t dãy s
ố
không b
ị
ch
ặ
n thì nó không có gi
ớ
i h
ạ
n. Ch
ẳ
ng h
ạ

n, dãy c) trong
ví d
ụ
1 không có gi
ớ
i h
ạ
n vì nó không b
ị
ch
ặ
n.
Định lý 2
.
N
ế
u các dãy s
ố

{
}
n
x
và
{
}
n
y

đề

u có gi
ớ
i h
ạ
n (
lim ;lim
n n
n n
x a y b
→∞ →∞
→ →
) thì

i)
(
)
lim lim lim
n n n n
n n n
x y x y a b
→∞ →∞ →∞
± = ± = ±

ii)
(
)
lim . lim .lim .
n n n n
n n n
x y x y a b

→∞ →∞ →∞
= =

iii)
lim
lim
lim
n
n n
n
n n
n
x
x
a
y y b
→∞
→∞
→∞
= =
( v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
lim 0

n
n
y
→∞
≠
).
Ví d
ụ
4.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n các dãy s
ố
sau

{ } { }
{ } { }
{ } { }
n
n n
2
n
n
n
n n
2
n
n

n
n n
2
n
n
1 1 a
a) a , b lim
n n b
1 1 b
b) a , b lim
n n a
1 1 a
c) a , b lim
n n b
→∞
→∞
→∞
= = ⇒
= = ⇒
= = ⇒

d)
{ }
(
)
{ }
n 1
n
n n
n

n
1
1 a
a , b lim
n n b
−
→∞
−
= = ⇒

Chú ý: Trong tính toán v
ề
gi
ớ
i h
ạ
n, có khi ta g
ặ
p các d
ạ
ng sau
đ
ây g
ọ
i là d
ạ
ng vô
đị
nh
0

, , 0. , ,
0
∞
∞ ∞ − ∞
∞
. Khi
đ
ó không th
ể
dùng các k
ế
t qu
ả
c
ủ
a
đị
nh lý 2, mà ph
ả
i dùng
các phép bi
ế
n
đổ
i
để
kh
ử
các d
ạ

ng vô
đị
nh
đ
ó.
Ch
ẳ
ng h
ạ
n,
2
2
2 1
lim
3 5
n
n n
n
→∞
+ +
+
có d
ạ
ng
∞
∞
. Ta bi
ế
n
đổ

i:
2
2
2
2
1 1
2
2 1 2
lim lim
5
3 5 3
3
n n
n n
n n
n
n
→∞ →∞
+ +
+ +
= =
+
+
.
4.1 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn
Định lý 3
. Cho 3 dãy s
ố

{

}
{
}
{
}
, ,
n n n
x y z
. N
ế
u:
a)
*
,
n n n
n x y z
∀ ∈ ≤ ≤

;
b)
lim lim
n n
n n
x z a
→∞ →∞
= =

thì dãy
{
}

n
y
có gi
ớ
i h
ạ
n và
lim
n
n
y a
→∞
=
.
Định lý 4.
a) N
ế
u dãy s
ố
t
ă
ng và b
ị
ch
ặ
n trên thì nó có gi
ớ
i h
ạ
n.

B
ộ
môn Tóan- Th
ố
ng kê Khoa Kinh T
ế
-Lu
ậ
t
Đ
HQG Tp.HCM

5
b) N
ế
u dãy s
ố
gi
ả
m và b
ị
ch
ặ
n d
ướ
i thì nó có gi
ớ
i h
ạ

n.
Định lý 5.
Dãy s
ố

{
}
n
x

đượ
c g
ọ
i là dãy c
ơ
b
ả
n ( hay dãy Cauchy) n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
0
ε >

t
ồ
n t

ạ
i s
ố
n
0
>0 sao cho
n m
x x
− < ε
v
ớ
i m
ọ
i ch
ỉ
s
ố
n, m > n
0
.
Ý ngh
ĩ
a: K
ể
t
ừ
m
ộ
t lúc nào
đ

ó tr
ở

đ
i hai ph
ầ
n t
ử
b
ấ
t k
ỳ
c
ủ
a dãy s
ố
g
ầ
n nhau bao nhiêu
c
ũ
ng
đượ
c.
4.2 Các ví dụ về giới hạn của dãy số
Ví d
ụ
5. Cho dãy s
ố

{
}
n
x
v
ớ
i
3 5
9 4
n
n
x
n
−
=
+
. Ch
ứ
ng minh
1
lim
3
n
n
x
→∞
=
. V
ớ
i k nào thì x

k
n
ằ
m
ngoài kho
ả
ng
1 1 1 1
;
3 1000 3 1000
L
 
= − +
 
 
.
Ta có
5
5
3
3
3 5 1
lim lim lim
4
4
9 4 3
9
9
n n n
n

n
n
n
n
n
n
n
→∞ →∞ →∞
 
−
−
 
−
 
= = =
+
 
+
+
 
 
.
Kho
ả
ng cách t
ừ
x
n

đế

n
1
3
b
ằ
ng
( ) ( )
1 3 5 1 19 19
3 9 4 3 3 9 4 3 9 4
n
n
x
n n n
−
− = − = − =
+ + +
;
x n
ằ
m ngoài kho
ả
ng L khi và ch
ỉ
khi
1 1
3 1000
x − >
hay
( )
19 1

3 9 4 1000
n
>
+
.
Do
đ
ó
18988 7
703
27 27
n < =
. V
ậ
y các s
ố
c
ủ
a dãy n
ằ
m ngoài kho
ả
ng L là x
1
, x
2
, …, x
703.
Ví d
ụ

6. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2
lim 0
!
n
n
n
→∞
=
.
Ta có
( )
3
3 sô
2 2.2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1
2.1. . 2.1. . .
! 1.2.3 3 4 3 2 2 2 3 2
n
n
n
n n n
−
−
 
= = < =
 

 

.
Vì
3
1
lim 0
2
n
n
−
→∞
 
=
 
 
nên
2
lim 0
!
n
n
n
→∞
=
.
Ví d
ụ
7. Tính các gi
ớ

i h
ạ
n sau:
a)
2
2
3 5 4
lim
2
n
n n
n
→∞
+ +
+
b)
3
2
2
3 2
lim
4 2 7
n
n n
n n
→∞
 
+ −
 
+ +

 

Gi
ả
i.
a)

Ta có
2
2
2
2
5 4
3
3 5 4
lim lim 3
2
2
1
n n
n n
n n
n
n
→∞ →∞
+ +
+ +
= =
+
+

.

B
ộ
môn Tóan- Th
ố
ng kê Khoa Kinh T
ế
-Lu
ậ
t
Đ
HQG Tp.HCM

6
b)

Ta có
3
3
2
2
2
2
1 2
3
3 2 3 27
lim lim
2 7
4 2 7 4 64

4
n n
n n
n n
n n
n n
→∞ →∞
 
+ −
 
 
+ −
 
= = =
 
 
 
+ +
 
 
 
+ +
 
.

Ví d
ụ
8. Tìm gi
ớ
i h

ạ
n c
ủ
a các dãy s
ố

{
}
n
x
sau:
a)
2 3 1
n
x n n
= + − −
b)
3 2 3
n
x n n n
= − +
c)
2
34
1
n
n n
x
n n n
+ +

=
+ −
.
Gi
ả
i.
a)

Khi
n
→ ∞
,
2 3 1
n
x n n
= + − −
có d
ạ
ng vô
đị
nh
∞ − ∞
. Mu
ố
n kh
ử
d
ạ
ng vô
đị

nh
ấ
y, ta nhân t
ử
và m
ẫ
u c
ủ
a x
n
v
ớ
i l
ượ
ng liên h
ợ
p
2 3 1
n n
+ + −
, ta
đượ
c:
(
)
(
)
( ) ( )
2 2
2 3 1 2 3 1

2 3 1
lim lim lim
2 3 1 2 3 1
4
1
4
lim lim
2 3 1 2 3 1 1
n
n n n
n n
n n n n
n n
x
n n n n
n
n
n n
n n n n
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞
+ − − + + −
+ − −
= =
+ + − + + −
+
+
= = = +∞
+ + −
+ + −

b)

Ta có
2 3 3
1
1n n n
n
 
− = − → −∞
 
 
khi
n
→ ∞
, vì v
ậ
y
3 2 3
n
x n n n
= − +
có d
ạ
ng
∞ − ∞
. Nhân t
ử
và m
ẫ

u c
ủ
a x
n
v
ớ
i l
ượ
ng liên h
ợ
p
( )
2
3
2 3 2 3 2
3
n n n n n n
− − − +
, ta
đượ
c:
(
)
( )
( )
( )
2
3 32 3 2 3 2 3 2
3
2

3
2 3 2 3 2
3
2
2 2
32 3 2 3 2
3
3 3
lim lim
1 1
lim lim
3
1 1
1 1 1
n
n n
n n
n n n n n n n n n
x
n n n n n n
n
n n n n n n
n n
→∞ →∞
→∞ →∞
 
− + − − − +
 
 
=

− − − +
= = =
 
− − − +
− − − +
 
 

c)

Ta có
2
2
2
4
3
3
4
4
4 4
4 4
2
2
1 1
1 1
1
1
1
.
1 1

1 1
1
1
n
n
n n
n n
n n
x n
n n n
n
n n
n n
 
+ +
 
+ +
+ +
 
= = =
 
+ −
+ −
+ −
 
 
.
Do
đ
ó

2
4
4 4
2
1 1
1
lim lim .
1 1
1
n
n n
n n
x n
n n
→∞ →∞
+ +
= = +∞
+ −
.
Ví d
ụ
9. Tìm gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a các dãy s
ố

{
}
n
x
sau:
a)
n
sin n
lim
n
→∞


Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM

7
b)
2
n
1 4
lim 2 3
n n
→∞
  
 
 
− +
 
 
 

 
  

c)
(
)
(
)
2
3 2
n
2n 1 n 3n 2
lim
4n n 1
→∞
− + −
− +

d)
(
)
n
lim n n 1 n
→∞
+ −

4.3 Giới hạn mở rộng
n
n
n

n
n
n
lim x
lim x
lim x
→∞
→∞
→∞
= +∞
= −∞
= ∞

Ví d
ụ
10.
( )
( )
( )
2
n
2
n
2
n
n
2
n
a) lim n
b) lim n 5

c) lim n 5n
d) lim 1 n
→∞
→∞
→∞
→∞
− +
− +
−

Gi
ả
i.
a) Ta có
2
n
lim n
→∞
= +∞

4.4 Một số giới hạn đặc biệt
( )
n
n
n
n
n
n
n
1

lim 1 e
n
1
lim 0( 0)
n
lim n 1
lim a 1 a 0
→∞
α
→∞
→∞
→∞
 


+ =




 
= α >
=
= >

n
n
0 ,0 q 1
lim q ,q 1
1 ,q 1

→∞

< <




= ∞ >



=




Ngoài ra n
ế
u q =-1 thì gi
ớ
i h
ạ
n không t
ồ
n t
ạ
i
Ví d
ụ
11.

Tính gi
ớ
i h
ạ
n các dãy s
ố
sau
a)
n n
n n
n
3 2.4
lim
5.4 2
→∞
−
−

b)
(
)
8
4 2n
n
lim 2 2 2 2
→∞


Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM

8
II. Giới hạn của hàm số
Ví d
ụ
12.
Cho hàm s
ố

2
x 4
f (x)
x 2
−
=
−
. Khi gán cho x l
ầ
n l
ượ
t các giá tr
ị
càng d
ầ
n v
ề
1
t
ừ
2 phía ( <1, >1) nh
ư

ng r
ấ
t g
ầ
n 1 thì f(x) càng d
ầ
n v
ề
3

x 0.8 0.9 0.99 0.999 1 1.000001 1.0001 1.001 1.05
1.1
f (x) 2.8 2.9 2.99 2.999 3.000001 3.0001 3.01 3.0
5 3.1

T
ươ
ng t
ự
khi gán cho x các giá tr
ị
d
ầ
n v
ề
2 t
ừ
2 phía ( <2, >2) nh
ư
ng r

ấ
t g
ầ
n 2 thì f(x)
càng d
ầ
n v
ề
4
x 1.8 1.9 1.99 1.9999 2 2.000001 2.00001 2.001 2.
05 2.1
f (x) 3.8 3.9 3.99 3.9999 4.000001 4.00001 4.001
4.05 4.1

Nhậ
n xét r
ằ
ng f(x) không t
ồ
n t
ạ
i giá tr
ị
t
ạ
i 2 nh
ư
ng các giá tr
ị
c

ủ
a f(x) khi x d
ầ
n v
ề
2
cho ta c
ả
m nh
ậ
n r
ằ
ng f(x) s
ẽ
có giá tr
ị
x
ấ
p x
ỉ
là 4 khi x ti
ế
n v
ề
2 t
ừ
c
ả
hai phía
1. Định nghĩa

Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
(
)
f x
xác
đị
nh
ở
lân c
ậ
n
đ
i
ể
m a (có th
ể
tr
ừ
t
ạ
i a ). Ta nói hàm s
ố

(
)

f x

có gi
ớ
i h
ạ
n là A khi x d
ầ
n t
ớ
i a n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i s
ố

0
ε
>
cho tr
ướ
c,
đề
u t
ồ
n t
ạ

i m
ộ
t s
ố

0
δ
>
sao cho khi
x a
δ
− <
thì
(
)
f x A
ε
− <
, kí hi
ệ
u là
(
)
lim
x a
f x A
→
=
hay
(

)
f x A
→

khi
x a
→
.
Ví d
ụ
13.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
(
)
1
lim 2 1 3
x
x
→
+ =
.
Ta c
ầ
n ch
ỉ
ra r

ằ
ng n
ế
u cho tr
ướ
c s
ố

0
ε
>
, thì tìm
đượ
c s
ố

0
δ
>
sao cho
2 1 3x
ε
+ − <

hay
(
)
2 1x
ε
− <

n
ế
u
1x
δ
− <
. Ta có
( )
2 1 2 1 1
2
x x x
ε
ε
− = − < ⇔ − <
.
V
ậ
y l
ấ
y
2
ε
δ
=
, ta có
(
)
1
lim 2 1 3
x

x
→
+ =
.
Chú ý:
Trong
đị
nh ngh
ĩ
a trên, khi nói x d
ầ
n t
ớ
i a, có th
ể
x > a, c
ũ
ng có th
ể
x < a. N
ế
u
khi x d
ầ
n t
ớ
i a v
ề
phía trái (t
ứ

c là x d
ầ
n t
ớ
i a và x luôn nh
ỏ
h
ơ
n a) mà
(
)
f x
d
ầ
n t
ớ
i
gi
ớ
i h
ạ
n A thì A g
ọ
i là gi
ớ
i h
ạ
n trái t
ạ
i a, kí hi

ệ
u là:
(
)
lim
x a
f x
−
→
.
T
ươ
ng t
ự
, ng
ườ
i ta
đị
nh ngh
ĩ
a gi
ớ
i h
ạ
n ph
ả
i t
ạ
i a, kí hi
ệ

u là:
(
)
lim
x a
f x
+
→
.
Hàm s
ố

(
)
f x
có gi
ớ
i h
ạ
n A khi
x a
→
khi và ch
ỉ
khi nó gi
ớ
i h
ạ
n trái t
ạ

i a và gi
ớ
i h
ạ
n
ph
ả
i t
ạ
i a và hai gi
ớ
i h
ạ
n
ấ
y
đề
u b
ằ
ng A:
(
)
(
)
lim lim
x a x a
f x f x A
− +
→ →
= =

.
Ví d
ụ
14.
Cho hàm s
ố

( )
, 0
1 , 0
x x
f x
x x
<

=

− >

. Tìm gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a
(
)
f x
?

Ta th
ấ
y
(
)
0
lim 0
x
f x
−
→
=
và
(
)
0
lim 1
x
f x
+
→
=
.
Do
đ
ó
(
)
f x
không có gi

ớ
i h
ạ
n khi
0
x
→
.
Ví d
ụ
15.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n các hàm s
ố
sau khi
0
x
→
:

Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM

9
a)
x
f (x)
x

=
b)
1
f (x)
x
=

Ví d
ụ
16.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n 1 phía, 2 phía các hàm s
ố
sau:
2
x
x
x
1
a) lim
x
4x 1
b) lim
2x 5
x
c) lim
x 1

→+∞
→+∞
→−∞
−
+
+

(
)
x
x
x
x 0
2
x 3
2 3
d) lim
2 3
1
e)lim
x
1
f )lim
x 3
→+∞
→
→
−
+
−

−

1
x 1
x 1
1
x 1
x 1
g) lim 2
h) lim 2
x x 2
l)f(x)
3x x 2
+
−
−
→
−
→

>


=


≤



Nh
ậ
n xét:
Hàm s
ố
có th
ể
có gi
ớ
i h
ạ
n m
ộ
t phía nh
ư
ng không ph
ả
i lúc nào c
ũ
ng có gi
ớ
i
h
ạ
n 2 phía suy ra gi
ớ
i h
ạ
n không ph
ả

i t
ồ
n t
ạ
i
đố
i v
ớ
i m
ọ
i hàm s
ố

2. Các phép toán về giới hạn
Định lý 5.
Gi
ả
s
ử

(
)
lim
x a
f x A
→
=
,
(
)

lim
x a
g x B
→
=
. Khi
đ
ó:
i)
(
)
(
)
(
)
lim
x a
f x g x A B
→
± = ±

ii)
(
)
(
)
(
)
lim . .
x a

f x g x A B
→
=

iii)
(
)
( )
lim
x a
f x
A
g x B
→
=
, n
ế
u
0
B
≠
.
iv)
n
n
n
x a x a
lim f(x)= limf(x)= A; A 0
→ →
>

, n chẵ
n
v)
k
k k
x a x a
limf (x) limf (x) A ,k
→ →
 
= = ∈
 
 

.
vi)
x a
lim f (x)
f (x) A
x a
lim b b b ,b 0
→
→
= = >
.
vii)
[ ]
(
)
b b b
x a x a

lim log f (x) log limf (x) log A(A 0,0 b 1or b>1)
→ →
= = > < < .
Chú ý:
Trong quá trình tìm gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố
ta n
ế
u g
ặ
p m
ộ
t s
ố
các d
ạ
ng vô
đị
nh
sau:
0 0
0 0
;0. ; ; ; ; ;1 ;0 , ,
1 1

0
0
∞
∞ ∞
∞−∞ ∞ ∞
∞
∞
. thì ph
ả
i tìm cách bi
ế
n
đổ
i
để
kh
ử

chúng.
Ví d
ụ
17.

a)
( )
2 2
2
2 2 2
2
2

2 2 2
2
limsin limsin
sin 1 4
lim
3 1 lim 3 lim lim1 3 2 4
lim 3 1
3 1
2 2
x x
x
x x x
x
x x
x
x x x x
x x
π π
π
π π π
π
π π
π π
→ →
→
→ → →
→
= = == =
+ + + − + −
+ −

 
+ −
 
 

b)
(
)
(
)
( )
2
2 2
2
2 2
2
2 2
lim( 3).lim 3
3
1.1 1
lim
5 2 lim 5 lim 2 10 2 8
x x
x
x x
x x
x
x x
→ →
→

→ →
− −
−
= = =
− − −


Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM

10

c)
( )
(
)
( )
3
3
3
3
3
lim 3
3
lim 0
2 lim 2
x
x
x
x
x

x x
→
→
→
−
−
= =
− −

Ví d
ụ
18.

a) Xét
2
1
1
lim .
1
x
x
x
→
−
−

Ở

đ
ây ta g

ặ
p d
ạ
ng vô
đị
nh
0
0
. Khi
1,
x
→
có th
ể
xem
1,
x
≠

Ta khai tri
ể
n
(
)
(
)
2
1 1
1
1

1 1
x x
x
x
x x
− +
−
= = +
− −
.
Do
đ
ó
( )
2
1 1
1
lim lim 1 2
1
x x
x
x
x
→ →
−
= + =
−
.
b) Tính
3

2
8
lim
2
x
x
x
→
−
−
.
Vì
(
)
(
)
3 2
8 2 2 4
x x x x
− = − + +
nên
( )
3
2
2 2
8
lim lim 2 4 12
2
x x
x

x x
x
→ →
−
= + + =
−

Ví d
ụ
19. Tính các gi
ớ
i h
ạ
n sau:
(
)
( )
5 3
x +
4 3
x +
2
3
x
a) lim 7x 4x 2x 9
b) lim x 4x 2x 9
4x x
c) lim
2x 5
→ ∞

→ ∞
→−∞
− + −
− − + −
 
−








−
 

( )
3
x +
2
x
6 3
x +
2
3
x + x
3
3x 5
d) lim

6x 8
x 2
e) lim
3x 6
f ) lim x 5 x
2x 5 x 0
g)f (x) , lim f (x), lim f (x)
3 5x
x 0
1 4x x
→ ∞
→−∞
→ ∞
→ ∞ →−∞
+
−
+
−
+ −


+ <



=

−

≥



+ +



3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số:
Định lý 6.
a) N
ế
u
ở
lân c
ậ
n c
ủ
a a, các hàm s
ố

(
)
(
)
(
)
1 2
, ,
f x f x f x
th
ỏ

a mãn b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c:
(
)
(
)
(
)
1 2
.
f x f x f x
≤ ≤

b) N
ế
u các hàm s
ố

(
)
(
)
1 2
,
f x f x

có gi
ớ
i h
ạ
n khi
(
)
(
)
1 2
,lim lim
x a x a
x a f x f x A
→ →
→ = =
thì hàm
s
ố

(
)
f x
c
ũ
ng có gi
ớ
i h
ạ
n khi
x a

→
và
(
)
lim .
x a
f x A
→
=

Định lý 7.

B
ộ
môn Tóan- Th
ố
ng kê Khoa Kinh T
ế
-Lu
ậ
t
Đ
HQG Tp.HCM

11

a) N
ế
u
ở

lân c
ậ
n
ở

đ
i
ể
m a, hàm s
ố

(
)
f x
t
ă
ng và b
ị
ch
ặ
n trên b
ở
i s
ố
M thì t
ồ
n t
ạ
i gi
ớ

i
h
ạ
n c
ủ
a
(
)
f x
khi
x a
→
và
(
)
lim .
x a
f x M
→
≤

b) N
ế
u
ở
lân c
ậ
n
ở

đ
i
ể
m a, hàm s
ố

(
)
f x
gi
ả
m và b
ị
ch
ặ
n d
ướ
i b
ở
i s
ố
m thì t
ồ
n t
ạ
i gi
ớ
i
h
ạ

n c
ủ
a
(
)
f x
khi
x a
→
và
(
)
lim .
x a
f x m
→
≥

Hai
đị
nh lý này cho phép ta tìm m
ộ
t gi
ớ
i h
ạ
n quan tr
ọ
ng, ch
ẳ

ng h
ạ
n nh
ư
:
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
,
1
lim 1
x
x
e
x
→∞
 
+ =
 
 
, …T
ừ

đ
ó d

ự
a vào nh
ữ
ng gi
ớ
i h
ạ
n này ta có th
ể
gi
ả
i
đượ
c nhi
ề
u bài
toán tính gi
ớ
i h
ạ
n khác.
Ví d
ụ
20
.
Tính các gi
ớ
i h
ạ
n sau:

a)
0 0 0 0
sin 1 sin 1
lim lim . lim .lim 1.1 1
cos cos
x x x x
tgx x x
x x x x x
→ → → →
= = = =

b) Xét
0
arcsin
lim .
x
x
x
→

Đặ
t
arcsin
x t
=
, ta có
sin .
x t
=

Khi
0
x
→
thì
0
t
→
.
V
ậ
y
0 0 0
0
arcsin 1 1
lim lim lim 1
sin sin
sin
lim
x t t
t
x t
t t
x t
t t
→ → →
→
= = = =

c) T

ươ
ng t
ự
,
0
lim 1.
x
arctgx
x
→
=

Ví d
ụ
21. Tính các gi
ớ
i h
ạ
n sau:

a)
3
lim
x
x
x
x
→∞
+
 

 
 
b)
3
2
lim
1
x
x
x
x
+
→∞
+
 
 
−
 

Gi
ả
i.
a)
3 3
1
x x
x
x x
+
   

= +
   
   
có d
ạ
ng
1
∞
khi
x
→ ∞
.
Đặ
t x = 3t, khi
x
→ ∞
thì
t
→ ∞
. V
ậ
y
3
3
3 3 1
lim 1 lim 1 lim 1 .
x t t
x t t
e
x t t

→∞ →∞ →∞
 
 
     
+ = + = + =
 
     
     
 
 

b)
3
2
1
x
x
x
+
+
 
 
−
 
có d
ạ
ng
1
∞
khi

x
→ ∞
. Ta có
3 3
2 3
1 .
1 1
x x
x
x x
+ +
+
   
= +
   
− −
   

Đặ
t
1 3
x t
− =
, ta có
3 1
x t
= +
. Khi
x
→ ∞

thì
t
→ ∞
. V
ậ
y
3 3 4 3 4
3 3
3 1 1 1
lim 1 lim 1 lim 1 .lim 1 .1 .
1
x t t
x t t t
e e
x t t t
+ +
→∞ →∞ →∞ →∞
       
+ = + = + + = =
       
−
       

Ví d
ụ
22. Tính các gi
ớ
i h
ạ
n sau:

B
ộ
môn Tóan- Th
ố
ng kê Khoa Kinh T
ế
-Lu
ậ
t
Đ
HQG Tp.HCM

12

x 0
x +
n
*
m
x
x 4
2
x 0
1
a)lim xsin
x
1 1
b) lim cos
x x

2 3x
c) lim ; n,m
1 x
d) lim x 4
1
e)lim
x
+
→
→ ∞
→−∞
→
→
 






 
+
∈
−
−


4. Một số giới hạn cơ bản
x 0
sinx

lim 1
x
→
=

x 0
tgx
lim 1
x
→
=

x
x 0
e 1
lim 1
x
→
−
=

x 0
ln(1 x)
lim 1
x
→
+
=

x 0

1
lim 0( 0)
x
α
→
= α >

( )
1
x
x x 0
x
x
1
lim 1 e; lim 1 x e
x
1 1
lim 1
x e
→+∞ →
→+∞
 


+ = + =




 

 


− =




 

Ví d
ụ
23. Tính các gi
ớ
i h
ạ
n sau:
x 0
x 0
x 0
2
x 0
sin5x
a)lim
7x
sinx
b) lim
5 x
x
c)lim

tgx
x
d)lim
1 cosx
+
→
→
→
→
−

x 0
x 0
2
x 0
x 0
1
e) lim cos
x
1
f ) lim sin
x
x 3sin x
g)lim
x
2x sinx
h)lim
x
+
+

→
→
→
→
 






 
 






 
−
+

5. Vô cùng bé và vô cùng lớn
5.1 Định nghĩa
•
Hàm s
ố

(

)
f x
g
ọ
i là m
ộ
t vô cùng bé ( vi
ế
t t
ắ
t là VCB ) khi
x a
→
n
ế
u
(
)
lim 0.
x a
f x
→
=


B
ộ
môn Tóan- Th
ố
ng kê Khoa Kinh T

ế
-Lu
ậ
t
Đ
HQG Tp.HCM

13

Trong
đ
ó a có th
ể
là h
ữ
u han hay vô cùng. T
ừ

đị
nh ngh
ĩ
a gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố
, ta có

th
ể
suy ra r
ằ
ng n
ế
u
(
)
f x A
→
khi
x a
→
thì
(
)
(
)
f x A x
α
= +
, v
ớ
i
(
)
x
α
là m

ộ
t VCB
khi
x a
→
.
•
Hàm s
ố

(
)
F x
g
ọ
i là m
ộ
t vô cùng l
ớ
n ( vi
ế
t t
ắ
t là VCL) khi
x a
→
n
ế
u
(

)
lim .
x a
F x
→
= +∞

Có th
ể
d
ễ
dàng th
ấ
y r
ằ
ng n
ế
u
(
)
f x
là m
ộ
t VCB khi
x a
→
thì
( )
1
f x

là m
ộ
t VCL và
ng
ượ
c l
ạ
i.
Ví d
ụ
24. Tính các gi
ớ
i h
ạ
n sau:
x 0
2
x 0
a)lim(1 cosx)
b)lim x
→
→
−

x 0
x 0
c)lim(sinx)
d)limx
→
→

x 0
x
x 0
e)limln(1 x)
f)lime 1
→
→
+
−

(
)
( )
4
x 0
4
4
x 0
g)lim 3x x
3x x
h)lim
5x
→
→
+
+

5.2 Tính chất
N

ế
u
(
)
(
)
,
f x g x
là hai VCB khi
x a
→
thì
(
)
(
)
(
)
(
)
, .
f x g x f x g x
±
c
ũ
ng là nh
ữ
ng VCB
khi
x a

→
.
N
ế
u
(
)
(
)
,
f x g x
là hai VCL cùng d
ấ
u khi
x a
→
thì
(
)
(
)
f x g x
±
c
ũ
ng là m
ộ
t VCL khi
x a
→

. Tích c
ủ
a hai VCL khi
x a
→
c
ũ
ng là m
ộ
t VCL khi
x a
→
.
Ví d
ụ
25. Tình gi
ớ
i h
ạ
n sau
10 8 2 2
x 0
lim(x -7x +x ln(1+2x )(1 cos3x)
→
−

5.3 So sánh các VCB
a) Bậc của các VCB
Định nghĩa
. Gi

ả
s
ử

(
)
(
)
,
x x
α β
là hai VCB khi
x a
→
.
N
ế
u
(
)
( )
lim 0
x a
x
x
α
β
→
=
, ta nói r

ằ
ng
(
)
x
α
VCB b
ậ
c cao h
ơ
n
(
)
x
β
hay
(
)
x
β
là VCB b
ậ
c
th
ấ
p h
ơ
n
(
)

x
α

N
ề
u
(
)
( )
lim
x a
x
x
α
β
→
= ∞
, ta nói r
ằ
ng
(
)
x
α
VCB b
ậ
c th
ấ
p h
ơ

n
(
)
x
β
hay
(
)
x
β
là VCB b
ậ
c
cao h
ơ
n
(
)
x
α

N
ề
u
(
)
( )
( )
lim 0,
x a

x
A
x
α
β
→
= ≠ ≠ ∞
, ta nói r
ằ
ng
(
)
x
α
và
(
)
x
β
là hai VCB cùng b
ậ
c.
Đặ
c bi
ệ
t
khi A =1 ta nói
(
)
(

)
,
x x
α β
là t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i nhau, ký hi
ệ
u là
(x) ~ (x)
α β

N
ế
u
(
)
x
α
là VCB ngang c
ấ
p v
ớ
i
(
)

( 0)
>
k
x k
β
thì ta nói
(
)
x
α
là VCB c
ấ
p k so v
ớ
i
VCB
(
)
x
β


B
ộ
môn Tóan- Th
ố
ng kê Khoa Kinh T
ế
-Lu
ậ

t
Đ
HQG Tp.HCM

14

N
ề
u
(
)
( )
lim
x a
x
x
α
β
→
không t
ồ
n t
ạ
i, ta nói r
ằ
ng không th
ể
so sánh hai VCB
(
)

x
α
và
(
)
x
β
.
Ví d
ụ
26.

a)
1 cos
x
−
và 2x
đề
u là nh
ữ
ng VCB khi
0
x
→
. Vì
2
0 0 0 0
sin sin
1 cos 1
2 2

lim lim limsin .lim . 0
2 2 2
2
x x x x
x x
x x
x
x x
→ → → →
−
= = =

Nên
1 cos
x
−
là VCB b
ậ
c cao h
ơ
n 2x.
b)
1
.sin
x
x
và 2x là nh
ữ
ng VCB khi
0,

→
x
Vì
0 0 0
1 1
sin sin
1 1
lim lim limsin
2 2 2
x x x
x
x x
x x
→ → →
= =

nh
ư
ng không t
ồ
n t
ạ
i
0
1
limsin
x
x
→
nên

1
sin
x
x
và 2x là hai VCB khi
0
x
→
không so sánh
đượ
c v
ớ
i nhau.
c) 1 –cosx và x
2
là hai VCB ngang c
ấ
p khi
0,
→
x
và do
đ
ó 1 – cosx c
ũ
ng là VCB c
ấ
p
hai so v
ớ

i x
2
, vì
2
2 2
x 0 x 0
x
2sin
1 cosx 1
2
lim lim
x x 2
→ →
−
= =

d) sinx và x
2

đề
u là nh
ữ
ng VCB khi
0,
→
x
vì
2 2
x 0 x 0 x 0
sinx x 1

lim lim lim
x x x
+ + +
→ → →
= = = +∞
nên
sinx là VCB c
ấ
p th
ấ
p h
ơ
n x
2
hay x
2
là VCB c
ấ
p cao h
ơ
n sinx.
b) Vô cùng bé tương đương
Định nghĩa:
Hai VCB khi
x a
→
g
ọ
i là t
ươ

ng
đươ
ng v
ớ
i nhau n
ế
u
(
)
( )
lim 1
x a
x
x
α
β
→
=
,
Kí hi
ệ
u
:
(
)
(
)
x x
α β
∼

.
N
ế
u
(
)
0
x
α
→
khi
x a
→
thì :
(
)
(
)
( ) ( )
sin ,
sin ,





∼
∼
x x
acr x x

α α
α α

(
)
(
)
( ) ( )
,





∼
∼
tg x x
arctg x x
α α
α α

2
(x)
1 cos (x) ~
2
(x)
ln(1 (x)) ~
2



α

− α





α

+α





[
]
k
(x)
1 (x) 1 ~ k (x)
e 1 ~ (x)
α


+α − α



− α




Định lý 8:
N
ế
u
(
)
x
α
và
(
)
x
β
là hai VCB khi
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
, ,
x a x x x x
α α β β
→

∼ ∼
khi
x a
→
thì
(
)
( )
(
)
( )
1
1
lim lim .
x a x a
x x
x x
α α
β β
→ →
=


Th
ậ
t v
ậ
y, vì
(
)

(
)
(
)
(
)
1 1
, ,
x x x x
α α β β
∼ ∼
ta có

B
ộ
môn Tóan- Th
ố
ng kê Khoa Kinh T
ế
-Lu
ậ
t
Đ
HQG Tp.HCM

15

(
)
( )

(
)
( )
1 1
lim 1,lim 1
x a x a
x x
x x
α β
α β
→ →
= =

Do
đ
ó :
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
1 1
1 1

lim lim . .
x a x a
x x x x
x x x x
α α α β
β α β β
→ →
 
=
 
 
 


(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
1 1 1
1 1 1
lim .lim .lim lim .
x a x a x a x a

x x x x
x x x x
α α β α
α β β β
→ → → →
= =

Định lý 9
: (quy t
ắ
c ng
ắ
t b
ỏ
các VCB b
ậ
c cao). N
ế
u
(
)
(
)
,
x x
α β
là các VCB khi
(
)
,

x a x
β
→
là VCB b
ậ
c cao h
ơ
n
(
)
x
α
thì khi
x a
→


(
)
(
)
(
)
.
x x x
α β α
+
∼



Th
ậ
t v
ậ
y, ta có
(
)
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
lim lim 1 1 lim 1
x a x a x a
x x x x
x x x
α β β β
α α α
→ → →
 
+
= + = + =
 
 
 

Ví d
ụ
27. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 3
sin
x x x x
+
∼
khi
0
x
→
.
Khi
0
x
→
thì
3 3
4 4
sin sin ;
x x x x
=
∼

3 3 3
2 3 2
2 2 4
x x x x x x
+ = + =
∼
.
Vì b
ậ
c c
ủ
a
2
x
cao h
ơ
n b
ậ
c c
ủ
a
3
2
x
. Do
đ
ó
2 3
sin
x x x x

+
∼
khi
0
x
→
.
Ví d
ụ
28.
Tính các gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
2 2
0
sin2 arcsin
lim ;
3
x
x x arctg x
x
→
+ −

b)
3 2 4
3 2 3

0
1 cos 2sin sin 3
lim
6sin 5
x
x x x x x
tg x x x x
→
− + − − +
− + −

Gi
ả
i.
a) Ta có
2 2 2 2
sin2 arcsin 2 2
x x arctg x x x x x
+ − + − =
∼
khi
0
x
→

Do
đ
ó
2 2
0 0

sin2 arcsin 2 2
lim lim
3 3 3
x x
x x arctg x x
x x
→ →
+ −
= =

b)

Ta bi
ế
n
đổ
i t
ử
s
ố
:
3 2 4 2 3 2 4
1 cos 2sin sin 3 2sin 2sin sin 3
2
x
x x x x x x x x x
− + − − + = + − − +
∼

2

3 4
2 2 3 2
2
x
x x x x
 
+ − +
 
 
∼ ∼
khi
0
x
→

Còn m
ẫ
u s
ố
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
3 2 3
6 5
x x x x x
− + −

∼
khi
0
x
→

V
ậ
y ta
đượ
c:
0
2
lim 2
x
x
x
→
=
.
Ví d
ụ
29. Tính các gi
ớ
i h
ạ
n sau s
ử
d
ụ

ng các VCB t
ươ
ng
đươ
ng

B
ộ
môn Tóan- Th
ố
ng kê Khoa Kinh T
ế
-Lu
ậ
t
Đ
HQG Tp.HCM

16

2
2 3
2 3
x 1
2x
x 0
2
2
x 0
x 0

10 8 2 2
3 x 7 8
x 0
3 4 x 1
x 1
ln(1 x 3x 2x )
a)lim
ln(1 3x 4x x )
e 1
b)lim
ln(1 4x)
sin 3x
c)lim
ln (1 2x)
1 2x 1
d)lim
tg3x
x 7x x ln(1 2x )(1 cos4x)
e)lim
sin x.(e 1).arctg(3x)+x x
(x 1) sin (x 1).(e 1)
f )lim
1 (
→
→
→
→
→
−
→

+ − +
+ − +
−
−
+
+ −
− + + −
− −
− − −
+
(
)
( ) (
)
3
6 9
2
x 1) 1 arcsin x-1 x 1
 
− − + −
 
 

c) So sánh các VCL
Gi
ả
s
ử

(

)
F x
và
(
)
G x
là hai VCL khi
x a
→
.
N
ế
u
(
)
( )
lim
x a
F x
G x
→
= ∞
, ta nói
(
)
F x
là VCL b
ậ
c cao h
ơ

n
(
)
G x
khi
x a
→

N
ế
u
(
)
( )
lim 0
x a
F x
G x
→
=
, ta nói
(
)
F x
là VCL b
ậ
c th
ấ
p h
ơ

n
(
)
G x
khi
x a
→

N
ế
u
(
)
( )
( )
lim 0,
x a
F x
A
G x
→
= ≠ ≠ ∞
, ta nói
(
)
F x
và
(
)
G x

là nh
ữ
ng VCL cùng b
ậ
c.
N
ế
u
(
)
( )
lim 1
x a
F x
G x
→
=
, ta nói
(
)
F x
và
(
)
G x
là hai VCL t
ươ
ng
đươ
ng khi

x a
→
kí h
ệ
u
(
)
(
)
F x G x
∼
khi
x a
→
.
C
ũ
ng nh
ư

đố
i v
ớ
i các VCB, ta d
ễ
dàng ch
ứ
ng minh
đượ
ccác

đị
nh lý sau.
Định lý 10
: N
ế
u
(
)
F x
và
(
)
G x
là hai VCL khi
x a
→
,
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
,
F x F x G x G x
∼ ∼
khi

x a
→
thì :
(
)
( )
(
)
( )
1
1
lim lim
x a x a
F x F x
G x G x
→ →
=

Định lý 11:
N
ế
u
(
)
F x
và
(
)
G x
là hai VCL khi

x a
→
,
(
)
G x
là VCL b
ậ
c th
ấ
p h
ơ
n
(
)
F x
thì khi
x a
→
,
(
)
(
)
(
)
F x G x F x
+
∼
(Quy t

ắ
c ng
ắ
t b
ỏ
các VCL).
Ví d
ụ
30. Tính các gi
ớ
i h
ạ
n sau
3 5
3 2
23 5 10 30
13 2 25 30
7 6
)lim
12 6
7 6 4 8
)lim
12 6 1000
x
x
x x x
a
x x x
x x x x x
b

x x x x x
→∞
→∞
− +
+ −
− + + −
+ − + −


B
ộ
môn Tóan- Th
ố
ng kê Khoa Kinh T
ế
-Lu
ậ
t
Đ
HQG Tp.HCM

17

(
)
(
)
4 2 4
2
)lim 3 1

)lim 1
x
x
c x x x
d x x x
→∞
→∞
+ − −
+ −

Gi
ả
i.
a) Ta có
3 5 3
7 6 7
x x x x
− +
∼
khi
x
→ ∞


3 2 3
12 6 12
x x x x
+ −
∼
khi

x
→ ∞
.
V
ậ
y
3 5 3
3
3 2
7 6 7 7
lim lim
12 12
12 6
x x
x x x x
x
x x x
→∞ →∞
− +
= =
+ −
.
III. Hàm số liên tục
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
. Cho f là m
ộ
t hàm s
ố
liên t

ụ
c trong kho
ả
ng (a, b ), x
0
là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c
( a, b). Ng
ườ
i ta nói r
ằ
ng hàm s
ố
f liên t
ụ
c t
ạ
i x
0
n
ế
u:
(

)
(
)
0
0
lim
x x
f x f x
→
= . (1)
N
ế
u hàm s
ố
f không liên t
ụ
c t
ạ
i x
0
, ta nói r
ằ
ng nó gián
đ
o
ạ
n t
ạ
i x
0

.
N
ế
u
đặ
t:
(
)
(
)
0 0
,
x x x y f x f x
= + ∆ ∆ = −
, thì
đẳ
ng th
ứ
c (1) có th
ể
vi
ế
t là:
(
)
(
)
0
0
lim 0

x x
f x f x
→
− =
 
 
hay
0
lim 0
x
y
∆ →
∆ =
.
Ví d
ụ
31. Ch
ứ
ng minh hàm s
ố

2
y x
=
liên t
ụ
c t
ạ
i m
ọ

i
0
x
∈

.
Ta có: x
∀ ∈


đặ
t
( ) ( )
2 2
2 2 2
0 0 0 0 0 0 0
thì , 2
x x x y x y x x x x x x x x
= + ∆ = ∆ = − = + ∆ − = ∆ + ∆
;

0
0 0 0 0
lim 2 . lim lim . lim 0
x x x x
y x x x x
∆ → ∆ → ∆ → ∆ →
∆ = ∆ + ∆ ∆ =
(
đ

pcm).
Ví d
ụ
32. Ch
ứ
ng minh hàm s
ố

sin
y x
=
liên t
ụ
c t
ạ
i m
ọ
i
0
x
∈

.
Ta có:
0
x
∈

,
đặ

t
(
)
0 0 0 0 0 0
thì sin , sin sin sin sin
x x x y x y x x x x x
= + ∆ = ∆ = − = + ∆ − =


0
2sin cos 2 sin
2 2 2
x x x
x
∆ ∆ ∆
 
= + ≤
 
 
.
Do
đ
ó
0
lim 0
x
y
∆ →
∆ =
.

T
ươ
ng t
ự
nh
ư
v
ậ
y, có th
ể
ch
ứ
ng minh
đượ
c r
ằ
ng m
ọ
i hàm s
ố
s
ơ
c
ấ
p c
ơ
b
ả
n
đề

u liên
t
ụ
c t
ạ
i nh
ữ
ng
đ
i
ể
m thu
ộ
c mi
ề
n xác
đị
nh c
ủ
a nó.
Nh
ậ
n xét:
Để
d
ễ
dàng trong tính tóan ng
ườ
i ta th
ườ

ng phát bi
ể
u
đị
nh ngh
ĩ
a 1 d
ướ
i
d
ạ
ng sau:
i)

f(x
0
) ph
ả
i xác
đị
nh
ii)

0
x x
lim f (x)
→
ph
ả
i t

ồ
n t
ạ
i
iii)

0
0
x x
lim f (x) f (x )
→
=

Ví d
ụ
33. Xét s
ự
liên t
ụ
c c
ủ
a các hàm s
ố
sau

B
ộ
môn Tóan- Th
ố
ng kê Khoa Kinh T

ế
-Lu
ậ
t
Đ
HQG Tp.HCM

18

2
2
2
a)f (x) x 2x 3
x 9
b)g(x)
x 5x 6
= − +
−
=
− +

Gi
ả
i.
a) Ta có
2
f (x) x 2x 3
= − +
là m
ộ

t hàm s
ố
s
ơ
c
ấ
p nên xác
đị
nh, có gi
ớ
i h
ạ
n
f
x D
∀ ∈
.
Nên hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i m
ọ
i x thu
ộ
c t
ậ
p xác

đị
nh D
f

b) Ta có
2
2
x 9
g(x)
x 5x 6
−
=
− +
là m
ộ
t phân th
ứ
c h
ữ
u t
ỉ
( là m
ộ
t d
ạ
ng c
ủ
a hàm s
ố
s

ơ
c
ấ
p)
nên hàm s
ố
xác
đị
nh, có gi
ớ
i h
ạ
n
{
}
f
x D \ 2,3
∀ ∈ =

. Nên hàm s
ố
c
ũ
ng liên t
ụ
c t
ạ
i
m
ọ

i x thu
ộ
c D
f
. Riêng t
ạ
i x=2, 3 ta nghi ng
ờ
r
ằ
ng hàm s
ố
có ho
ặ
c không liên t
ụ
c nên ta
làm nh
ư
sau:
* Khi x= 3 thì ta ki
ể
m tra 3
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ

a hàm liên t
ụ
c:
i)
2
2
x 9 0
g(x) g(3)
x 5x 6 0
−
= ⇒ =
− +
không xác
đị
nh nên ta có th
ể
b
ỏ
qua 2
đ
i
ề
u ki
ệ
n kia
và k
ế
t lu
ậ
n hàm s

ố
không liên t
ụ
c t
ạ
i x=3.
* T
ươ
ng t
ự
khi x=2.
Ví d
ụ
34. Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố

f (x) x
=
.
Định nghĩa 2. (Liên tục trái, phải)
* Liên tục trái
M
ộ
t hàm s
ố
f

đượ
c g
ọ
i là liên t
ụ
c trái t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m x =c thu
ộ
c D
f
n
ế
u th
ỏ
a mãn 3
đ
i
ề
u
ki
ệ
n sau
-

f(c)
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a ( xác
đị
nh).
-
x c
lim f (x)
−
→
ph
ả
i t
ồ
n t
ạ
i.
-
x c
lim f (x) f (c)
−
→
=
.
Ta phát bi
ể

u t
ươ
ng t
ự
cho tr
ườ
ng h
ợ
p liên t
ụ
c ph
ả
i.
Định nghĩa 2
. Hàm s
ố
f
đượ
c g
ọ
i là liên t
ụ
c trong kho
ả
ng m
ở
( a, b) n
ế
u nó liên t
ụ

c t
ạ
i
m
ọ
i
đ
i
ể
m c
ủ
a kho
ả
ng
đ
ó;
đượ
c g
ọ
i là liên t
ụ
c trong kho
ả
ng
đ
óng [a, b] n
ế
u nó liên t
ụ
c

t
ạ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m c
ủ
a kho
ả
ng m
ở
(a, b), liên t
ụ
c ph
ả
i t
ạ
i a và liên t
ụ
c trái t
ạ
i b.
Ví d
ụ
35. Tìm t
ấ
t c

ả
các giá tr
ị
c
ủ
a x mà t
ạ
i
đ
ó hàm s
ố
f(x) không liên t
ụ
c


B
ộ
môn Tóan- Th
ố
ng kê Khoa Kinh T
ế
-Lu
ậ
t
Đ
HQG Tp.HCM

19

2
2
2
x 1 x 1
a)f(x) x 3x 4 1 x 3
5 x x 3
x
b)g(x)
x 1
x 3
c)k(x)
x 3x

+ <




= − + ≤ ≤



− >



=
+
+
=

+

2. Các phép toán về hàm số liên tục
T
ừ
các
đị
nh lý v
ề
gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a t
ổ
ng, tích, th
ươ
ng và t
ừ

đị
nh ngh
ĩ
a c
ủ
a hàm s
ố
liên t

ụ
c
t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m, có th
ể
d
ễ
dàng suy ra:
Định lý 12
. N
ế
u f và g là hai hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i x
0
thì:
a)

f + g liên t

ụ
c t
ạ
i x
0
.
b)

f.g liên t
ụ
c t
ạ
i x
0.

c)

f
g
liên t
ụ
c t
ạ
i x
0
n
ế
u
(
)

0
g x
≠
.
Định lý 13
.N
ế
u hàm s
ố

(
)
u x
ϕ
=
liên t
ụ
c t
ạ
i x
0
, hàm s
ố

(
)
y f u
=
liên t
ụ

c t
ạ
i
(
)
0 0
u x
ϕ
=
thì hàm s
ố
h
ợ
p
(
)
(
)
(
)
y f g x f x
ϕ
= =
 
 

liên t
ụ
c t
ạ

i x
0
.
Ví d
ụ
36. Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
sinx
,khi x 0
x
a)f (x)
1 ,khi x 0
1
sin ,khi x 0
b)f (x)
x
a ,khi x 0



≠


=




=






≠

=



=



( )
2
3x
1 cosx
,khi x
x-
c)f (x)
1
,khix
2
ln(1 2x)

,khix 0
1 e
d)f (x)
2
,khi x 0
3

+


≠ π


π

=




= π




+


>



− +

=



≤





2.1 Tính chất của hàm số liên tục
Các
đị
nh lý sau
đ
ây nêu lên nh
ữ
ng tính ch
ấ
t c
ơ
b
ả
n c
ủ
a hàm s
ố

liên t
ụ
c.
Định lý 14.
N
ế
u hàm s
ố

(
)
f x
liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n [a, b] thì nó b
ị
ch
ặ
n trong
đ
o
ạ
n
đ
ó,
t

ứ
c là t
ồ
n t
ạ
i hai s
ố
m và M sao cho

(
)
[
]
,
m f x M x a b
≤ ≤ ∀ ∈
.
Định lý 15
. N
ế
u hàm s
ố

(
)
f x
liên t
ụ
c trên
đ

o
ạ
n [a, b] thì nó
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t m và
giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t M c
ủ
a nó trên
đ
o
ạ
n
đ
ó, t
ứ
c là t
ồ
n t

ạ
i hai
đ
i
ể
m
[
]
1 2
, ,
x x a b
∈
sao cho:

(
)
(
)
[
]
1
, ;
f x m f x x a b
= ≤ ∀ ∈


(
)
(
)

[
]
2
,
f x M f x x a b
= ≥ ∀ ∈
.

B
ộ
môn Tóan- Th
ố
ng kê Khoa Kinh T
ế
-Lu
ậ
t
Đ
HQG Tp.HCM

20

Định lý 16
. (
Đị
nh lý v
ề
giá tr
ị
trung gian) N

ế
u hàm s
ố

(
)
f x
liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n [a, b],
m và M là các giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t và l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a nó trên
đ
o
ạ

n
đ
ó thì m
ọ
i s
ố

µ
n
ằ
m gi
ữ
a
m và M, luôn t
ồ
n t
ạ
i
đ
i
ể
m
[
]
,
a b
ξ
∈
sao cho:
(

)
f
ξ µ
=
.
Hệ quả.
N
ế
u
(
)
f x
liên t
ụ
c trên [a, b],
(
)
(
)
. 0
f a f b
<
thì trong kho
ả
ng (a, b) t
ồ
n t
ạ
i
m

ộ
t
đ
i
ể
m
ξ
sao cho
(
)
0
f
ξ
=
.
Chú ý:
Dùng tính ch
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
liên t
ụ
c, ta ch
ứ
ng minh
đượ
c các công th
ứ

c sau:
(
)
0
ln 1
lim 1
α
α
α
→
+
=
;
0
1
lim 1
e
α
α
α
→
−
=
;
0
1
lim ln
a
a
α

α
α
→
−
=
. T
ừ

đ
ó ta có th
ể
suy ra r
ằ
ng n
ế
u
(
)
0
x
α
→
khi
x a
→
thì khi
x a
→
:

(
)
(
)
(
)
ln 1
x x
α α
+
∼
;

(
)
(
)
1
x
e x
α
α
− ∼
;

(
)
(
)
1 ln

x
a x a
α
α
− ∼
.
2.2 Các ví dụ
Ví d
ụ
37.
Tính
2
2 3
lim
4 2
x
x
x
→±∞
+
+

Khi
x
→ ±∞
, các t
ử
s
ố
và m

ẫ
u s
ố

đề
u là các VCL. Theo nguyên t
ắ
c ng
ắ
t b
ỏ
các VCL

2 2
2
2 3 2
lim lim lim .
4 2 4 4
x x x
x
x x
x x x
→±∞ →±∞ →±∞
+
= =
+

V
ậ
y

2
2 3 2
lim
4 2 4
x
x
x
→+∞
+
=
+
,
2
2 3 2
lim
4 2 4
x
x
x
→−∞
+
= −
+

Ví d
ụ
38.
Tìm
2
3

lim 5
x
x
x
+
→±∞
.
Ta có
2 2
lim
2
3 3
lim 5 5 5 25
x
x x
x x
x
→±∞
+ +
→±∞
= = =

Ví d
ụ
39.
Tìm
3
1
2 2
lim .

26 3
x
x
x
→
−
+ −

Ta ph
ả
i kh
ử
d
ạ
ng vô
đị
nh
0
0
.
Đặ
t
3
26
x z
+ =
, suy ra
3
26
x z

= −
.
Khi
1
x
→
thì
3
27
z →
hay
3
z
→
. Ta có

(
)
(
)
(
)
(
)
( )
3 3 2
3
2
3
2 26 2 2 27 2 3 3 9

2 2 2 54
2 3 9
3 3 3 3
26 3
z z z z z
x z
z z
z z z z
x
− − − − + +
− −
= = = = = + +
− − − −
+ −

khi
3.
z
≠

V
ậ
y
( )
2
3
1 3
2 2
lim lim 2 3 9 54
26 3

x z
x
z z
x
→ →
−
= + + =
+ −

Ví d
ụ
40.
Tìm
6
sin
6
lim .
3 2cos
x
x
x
π
π
→
 
−
 
 
−