Bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7

Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Ngày soạn : 16/1/2012
Buổi 1
Đề khảo sát

Cõu 1: a, cho A = 4 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ …

+ 2
20

Hỏi A có chia hết cho 128 không?
b, Tính giá trị biểu thức
104.2
65.213.2
10
1212
+
+
49
1010
2.3
5.311.3 +
Bài 2 : a, Cho A = 3 + 3
2

+ 3
3
+ …+ 3
2009
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3
n
b, Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 và 9 biết rằng chữ số hàng chục
bằng trung bình cộng của hai chữ số kia
Bài 3 : Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3) .
Chứng minh rằng p + 8 là hợp số
Bài 4 : Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 84 ,
ƯCLN của chúng bằng 6.
Bài 5: Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm ;
OB = 6 cm . Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm .
So sánh AB với AC
Hướng dẫn chấm
Bà
i
Hướng dẫn chấm Điể
m
1
a, 2A – A = 2
21


2
7
A

128

0.5
0.5
0.5
0.5
1

1
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

b, =
104.2
78.2
10
12
+
16.3
16.3
9
10
= 3 + 3 = 6
2
a, Tìm được n = 2010
b, Gọi số phải tìm là
abc
theo bài ra ta có a + b +
c

9 và
2b = a + c nên 3b


9
⇒
b

3 vậy b
{ }
9;6;3;0∈
abc

5
⇒
c
∈
{ }
5;0
Xét số
abo
ta được số 630
Xét số
5ab
ta được số 135 ; 765
1
0.5
0.5
3
P có dạng 3k + 1; 3k + 2 k
∈
N
Dạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài
⇒

p = 3k + 1
⇒
p + 8 = 3k + 9

3
⇒
p + 8 là hợp số
0.5
0.5
0.5
0.5
4
Gọi 2 số phải tìm là a và b ( a
≤
b) ta có (a,b) = 1
nên a = 6a
/
b= 6b
/
trong đó (a
/
,b
/
) = 1 ( a,b,a
/
,b
/
∈
N)
⇒

a
/
+ b
/
= 14
a
/
1 3 5
b
/
1
3
1
1
9
a 6 1
8
3
0
b 7
8
6
6
5
4

0.5
0.5
1
5

x
O
B
C
A
Hai điểm A và B trên tia Ox mà OA< OB (4<6)
nên điểm A năm giữa O và B suy ra AB = OB – OA
0.5
0.5
2

2
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

AB = 6 – 4 = 2 (cm)
Hai điểm Avà C trên tia BA mà BA < BC ( 2<3 )
nên điểm A năm giữa hai điểm B và C
Suy ra AC = BC – BA = 3 – 2 = 1 (cm)
Vậy AB > AC ( 2 >1)
0.5
0.5
Ngày soạn : 23/1/ 2012
Buổi 2:
Ôn tập số hữu tỉ số thực
Phần 1: Lý thuyết
1. Cộng , trừ , nhân, chia số hữu tỉ
Với x=
a
m
, y=

b
m
( a,b,m
∈
Z m
0
≠
)
a b a b
x y
m m m
a b a b
x y
m m m
+
+ = + =
−
− = − =
3

3
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

, ( 0)
.
. .
.
.
: : .
.

a c
x y y
b d
a c a c
x y
b d b d
a c a d a d
x y
b d b c b c
= = ≠
= =
= = =
2,Giá tri tuyệt đối của một số hữu tỉ
+/ Với x
Q
∈
Ta có
 x neỏu x ≥ 0
x = 
 -x neỏu x < 0
Nhaọn xeựt : Vụựi moùi x ∈ Q, ta coự:
x≥ 0, x = -xvaứ x≥ x
+/ Với x,y
Q
∈
Ta có

x y x y
+ ≤ +
( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y

0≥
)

x y
− ≥
x y−
( // … // )
Phần II: Bài tập vận dụng
Bài 1. Thực hiện phép tính:

1 1 1 1 1 3 5 7 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
− − − − −
+ + + +

1 1 1 1 1 3 5 7 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
− − − − −
+ + + +
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49)
( ).
5 4 9 9 14 14 19 44 49 12
− + + + + +
− + − + − + + −
=
1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9
( ).

5 4 49 89 5.4.7.7.89 28
− +
− = − = −
Bài 2: Thực hiện phộp tớnh:
4

4
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3
9 3
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
A
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
− −
= −
+
+
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

10
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3
9 3
2 4 5
12 5 12 4 10 3 4
12 6 12 5 9 3 9 3 3
12 4 10 3
12 5
9 3 3
10 3
12 4
12 5 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7
2 .3 . 3 1
5 .7 . 1 2
5 .7 . 6
2 .3 .2
2 .3 .4 5 .7 .9
1 10 7
6 3 2
A
− −
= −
+

+
− −
= −
+ +
− −
= −
+
+
−
= −
−
= − =
:
Bài 3. a) Tìm x biết:
2x3x2 +=+
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x20072006x −+−
Khi x thay đổi
Giải
a) Tìm x biết:
2x3x2 +=+

Ta có: x + 2
≥
0 => x
≥
- 2.
+ Nếu x
≥
-

2
3
thì
2x3x2 +=+
=> 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
+ Nếu - 2
≤
x < -
2
3
Thì
2x3x2 +=+
=> - 2x - 3 = x + 2
=> x = -
3
5
(Thoả mãn)
5

5
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x20072006x −+−
Khi x thay đổi
+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1
+ Nếu 2006
≤

x
≤
2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1
+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1.
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006
≤
x
≤
2007
Cách 2 : Dựa vào hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau
- GV: Gọi học sinh trình bày
Bài 4: Tỡm x biết:
a.
( )
1 4 2
3,2
3 5 5
x − + = − +
b.
( ) ( )
1 11
7 7 0
x x
x x
+ +
− − − =
- GV: Hướng dẫn giải a,

( )

1
2
3
1
2
3
1 7
2
3 3
1 5
2
3 3
1 4 2 1 4 16 2
3,2
3 5 5 3 5 5 5
1 4 14
3 5 5
1
2
3
x
x
x
x
x x
x
x
− =
− =−
= + =

−
=− + =
−
− + = − + ⇔ − + = +
⇔ − + =


⇔ − = ⇔








⇔
6

6
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

b)
( ) ( )
( ) ( )
1 11
1 10
7 7 0
7 1 7 0
x x

x
x x
x x
+ +
+
− − − =
 
⇔ − − − =
 

( )
( )
( )
1 10
1
10
7 0
1 ( 7) 0
7 0 7
( 7) 1 8
7 1 7 0
10
x
x
x
x
x x
x x
x x
+

 
 ÷
 
+
− =
− − =
− = ⇒ =
− = ⇒ =
 
⇔ − − − =
 


⇔




⇔



Bài tập về nhà : Bài 1,Cho
1,11 0,19 1,3.2 1 1
( ) : 2
2,06 0,54 2 3
7 1 23
(5 2 0,5): 2
8 4 26
A

B
+ −
= − +
+
= − −
a, Rút gọn A và B
b, Tìm x
Z
∈
để A < x < B.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M=
2002 2001x x− + −
7

7
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Ngày soạn : 2 /2/2012
Buổi 3: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.

C I.Lý thuyết
1/ Định nghĩa
+/ Với x
Q
∈
Ta có
 x neỏu x ≥ 0
x = 
 -x neỏu x < 0

2, Tính chất : Vụựi moùi x ∈ Q, ta coự:
x≥ 0, x = -xvaứ x≥ x
+/ Với x,y
Q
∈
Ta có

x y x y+ ≤ +
( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y
0
≥
)

x y− ≥
x y
−
( // … // )
II.Bài tập
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức
a, A= 3x
2
- 2x+1 với x=
1
2
Ta có x=
1
2
suy ra x=
1
2

hoặc x=
1
2
−
HS tính giá trị trong 2 trường hợp +/ Với x=
1
2
thì A=
3
4
+/ Với x=
1
2
−
thì A=
11
4
8

8
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

b, B=
3 2
6 3 2 4x x x− + +
với x= -2/ 3
c, C=
2 3x y−
với x=1/2 và y=-3
d, D=

2 2 3 1x x− − −
với x=4
e, E=
2
5 7 1
3 1
x x
x
− +
−
với x=
1
2
(về nhà )
Tương tự phần a giáo viên yêu cầu học sinh làm và chữa phần b và c

KQ: B=20/ 9
C= -8
D = -5
Bài 2: Tìm x biết
a,
6527 =++− xx

7−x
=1-2x
Do
7
−
x

0
≥
với mọi x nên xét với 1 – 2x
≥
0
2
1
≤⇔ x
Trường hợp 1: x-7 = 1-2x => 3x =8 => x=
3
8
(loại do không thoả mãn điều kiện
x
2
1
≤
)
Trường hợp 2:
x – 7 = 2x -1
⇒
x = - 6( thoả mãn điều kiện của x)
b,
2 3 2x x x− − = −
c,
xxx 313 =+++
GV: yêu cầu học sinh làm gọi lên bảng trình bày
Bài 3: Tìm x và y biết
a,
1
2 2 3

2
x
− =
b,
7,5 3 5 2 4,5x− − = −
c,
3 4 5 5 0x y− + + =
GV: Tổ chức cho học sinh làm bài
9

9
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

- Học sinh lên bảng trình bày
Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a, A=
3,7 4,3 x+ −
Ta có
4,3 0x
− ≥
với mọi x
4,3 3,7 3,7x⇒ − + ≥
Hay A
3,7≥
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
4,3 0
4,3 0
4,3
x
x

x
− =
− =
=
Vậy giá tri nhỏ nhất của A= 3,7 khi x= 4,3

Tương tự giáo viên cho học sinh làm phần b, c
b, B=
3 8, 4 24,2x
+ −
c, C=
4 3 5 7,5 17,5x y− + + +
Bài tập về nhà
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau


, 5,5 2 1,5
, 10,2 3 14
, 4 5 2 3 12
a D x
b E x
c F x y
= − −
= − − −
= − − − +

`
Ngày soạn : 10 /2/2012
Buổi 4: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.(tiếp theo)
I. Lý thuyết

1/ Định nghĩa
+/ Với x
Q
∈
Ta có
 x nếu x ≥ 0
x = 
 -x neỏu x < 0
10

10
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

2, Tính chất
Vụựi moùi x ∈ Q, ta coự:
x≥ 0, x = -xvaứ x≥ x
+/ Với x,y
Q
∈
Ta có

x y x y
+ ≤ +
( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y
0≥
)

x y
− ≥
x y−

( // … // )
II. Bài tập :
Bài 1: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a = |a|; b) a < |a|; c) a > |a|;
d) |a| = - a; e) a
≤
|a|.
Bài 2: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng:
a) |a| = |b|
⇒
a = b; b) a > b
⇒
|a| > |b|.
Bài 3: Cho |x| = |y| và x < 0, y > 0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai
a) x
2
y > 0; b) x + y = 0; c) xy < 0;
d)
;0
11
=−
yx
d)
.01 =+
y
x
Bài 4: Tìm giá trị của các biểu thức sau:
a) B = 2|x| - 3|y| với x = 1/2; y = -3.
b) C = 2|x – 2| - 3|1 – x| với x = 4;
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:

a) |a| + a; b) |a| - a; c) |a|.a; d) |a|:a;
e) 3(x – 1) – 2|x + 3|; g) 2|x – 3| - |4x - 1|.
Bài 6: Tìm x trong các đẳng thức sau:
a) |2x – 3| = 5; b) |2x – 1| = |2x + 3|;
c) |x – 1| + 3x = 1; d) |5x – 3| - x = 7.
Bài 7: Tìm các số a và b thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a + b = |a| + |b|; b) a + b = |b| - |a|.
Bài 8: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) |x| + |y| = 20; b) |x| + |y| < 20.
Bài 9: Điền vào chỗ trống (…) các dấu
=≤≥
,,
để các khẳng định sau đúng với
mọi a và b.
Hãy phát biểu mỗi khẳng định đó thành một tính chất và chỉ rõ khi nào xảy ra dấu
đẳng thức ?
a) |a + b|…|a| + |b|; b) |a – b|…|a| - |b| với |a|
≥
|b|;
c) |ab|…|a|.|b|; d)
.
||
||

b
a
b
a
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
11

11
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

a) A = 2|3x – 2| - 1; b) B = 5|1 – 4x| - 1;
c) C = x
2
+ 3|y – 2| - 1; d) D = x + |x|.
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) A = 5 - |2x – 1|; b) B =
;
3|1|
1
+−x
Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = (x + 2)/|x| với x là số nguyên.
Bài 13: Cho |a – c| < 3, |b – c| < 2. Chứng minh rằng: |a – b| < 5.
Bài 14: Đưa biểu thức A sau đây về dạng không chứa dấu giá trị tuyệt đối:
A = |2x + 1| + |x - 1| - |x – 2|.
Ngày soạn : 18 /2/ 2012
Buổi 5: Luỹ thừa của số hữu tỉ
A Lý thuyết
12

12
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

.
1, .
2, : ( 0, )
3,( )

4,( . ) .
5,( ) ( 0)
1
6,
m n m n
m n m n
m n m n
m m m
m
m
m
n
n
x x x
x x x x m n
x x
x y x y
x x
y
y y
a
a
+
−
−
=
= ≠ ≥
=
=
= ≠

=
- GV: Cho học sinh ghi lại nội dung các công thức
B – Bài tập
Bài 1:
a,Có thể khẳng định được x
2
luôn luôn lớn hơn x hay không ?
Không khẳng định được như vậy chẳng hạn x=1/2 thì
2
1 1
( )
2 2
<
b, Khi nào x
2
< x
x
2
< x
2
0 ( 1) 0x x x x⇔ − < ⇔ − <
xảy ra nếu x và x-1 trái dấu
Vì x-1 < x nên x-1 < 0 và x > 0 suy ra 0 < x <1
Vậy 0 < x <1 thì x
2
< x
Bài 2: Tính

2 2 3 2 2 2
3 0 2 2

5 3
,(3 ) (2 ) ( 5 )
1 1 1
,2 3.( ) ( ) .4 ( 2) : :8
2 2 2
1
,(4.2 ) : (2 . )
16
a
b
c
− − −
 
+ − − + −
 
 
GV : Yêu cầu học sinh làm và gọi học sinh lên bảng trình bày

Bài 3: Thực hiện phép tính :
a-
)
1
3
1
(:1
3
1
.3
3
1

.6
2
−−








+






−−






−
b-
( )
32
2003

23
12
5
.
5
2
1.
4
3
.
3
2






−






−







−






13

13
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

? Hãy nêu thứ tự thực hiện phép tính
- GV: yêu cầu học sinh làm bài , gọi học sinh trình bày
Bài 4: Tính
a,
( )
4
8
0
15
12
6
.
3
1
.9.
3

1
15
4
.
7
3






+
b,
675.4
15.1681.10
4
24
−
Gv: Hướng dẫn học sinh giải
a,
( )
4
8
0
15
12
6
.
3

1
.9.
3
1
15
4
.
7
3






+
=1.
48
88
3.2
3.2
.
3
1
= 3
5
b,
675.4
15.1681.10
4

24
−
=
238
224444
5.3.2
5.3.23.5.2 −
=
238
22224
5.3.2
)13.5(5.3.2 −
=….
=
3.2
124
4
=
3.2
7.2
4
5
=
3
2
4
3
14
=
Bài 5:

a,Tính tổng A = 1+5+5
2
+5
3
+… +5
2008
+5
2009

b , B= 2
100
-2
99
+2
98
-2
97
+… +2
2
suy ra 2B = 2
101
-2
100
+2
99
-2
98
+…+2
3
-2

2
suy ra
2B+B= 2
101
-2
3B = 2( 2
100
-1)
Suy ra B = 2(2
100
-1)/3
C, Bài tập về nhà
Bài 1: Chứng minh rằng: 7
6
+ 7
5
– 7
4
chia hết cho 55
14

14
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Bài 2: Tính tổng C = 3
100
- 3
99
+ 3
98

- 3
97
+…. +3
2
- 3 + 1
Bài 3: Tính giá trị của đa thức sau tại x = -1
x
2
+ x
4
+ x
6
+ x
8
+ … + x
100
Tuần 12- Buổi 6
Ngày dạy :10/11
Chuyên đề : Luỹ thừa của một số hữu tỉ.(tiếp theo)
I. Mục tiêu.
- Kiến thức: Nắm được các kiến thức, quy tắc và công thức cơ bản về biến đổi các
lũy thừa của một số hữu tỉ và một số kiến thức bổ sung nâng cao
- Biết vận dụng linh hoạt các công thức, kiến thức để biến đổi các biểu thức lũy
thừa của một số hữu tỉ trong quá trình làm bài tập
- Kỹ năng :- Có kĩ năng thành thạo trong việc biến đổi các lũy thừa và trình bày
chính xác khoa học một biểu thức có chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
- Thái độ : Nhận thức đúng đắn tầm quan trọng của việc biến đổi các biểu thức có
cả lũy thừa qua đó có thái độ tích cực hơn trong việc học bài và làm bài
II. Chuẩn bị :
- Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7

- Các tài liệu, tư liệu liên quan hỗ trợ cho việc giảng dạy chuyên đề
III. Tiến trình tiết dạy:
Bài 1: Dùng 10 chữ số khác nhau để biểu diễn số 1 mà không dùng các phép tính
cộng, trừ,
15

15
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

nhân, chia.
Bài 2: Tính:
a) (0,25)
3
.32; b) (-0,125)
3
.80
4
; c)
2 5
20
8 .4
2
; d)
11 17
10 15
81 .3
27 .9
.
Bài 3: Cho x ∈ Q và x ≠ 0. Hãy viết x
12

dưới dạng:
a) Tích của hai luỹ thừa trong đó có một luỹ thừa là x
9
?
b) Luỹ thừa của x
4
?
c) Thương của hai luỹ thừa trong đó số bị chia là x
15
?
Bài 4: Tính nhanh:
a) A = 2008
(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9)
;
b) B = (1000 - 1
3
).(1000 - 2
3
).(1000 - 3
3
)…(1000 – 50
3
).
Bài 5: Tính giá trị của:
a) M = 100
2
– 99
2
+ 98
2

– 97
2
+ … + 2
2
– 1
2
;
b) N = (20
2
+ 18
2
+ 16
2
+ … + 4
2
+ 2
2
) – (19
2
+ 17
2
+ 15
2
+ … + 3
2
+ 1
2
);
c) P = (-1)
n

.(-1)
2n+1
.(-1)
n+1
.
Bài 6: Tìm x biết rằng:
a) (x – 1)
3
= 27; b) x
2
+ x = 0; c) (2x + 1)
2
= 25; d) (2x – 3)
2
= 36;
e) 5
x + 2
= 625; f) (x – 1)
x + 2
= (x – 1)
x + 4
; g) (2x – 1)
3
= -8.
h)
1 2 3 4 5 30 31
. . . . .
4 6 8 10 12 62 64
= 2
x

;
Bài 7: Tìm số nguyên dương n biết rằng:
a) 32 < 2
n
< 128; b) 2.16 ≥ 2
n
> 4; c) 9.27 ≤ 3
n
≤ 243.
Bài 8: Cho biểu thức P =
( 5)
( 6)
( 6)
( 5)
( 4)
x
x
x
x
x
+
+
−
−
−
. Hãy tính giá trị của P với x = 7 ?
Bài 9: So sánh:
a) 99
20
và 9999

10
; b) 3
21
và 2
31
; c) 2
30
+ 3
30
+ 4
30
và 3.24
10
.
Bài 10: Chứng minh rằng nếu a = x
3
y; b = x
2
y
2
; c = xy
3
thì với bất kì số hữu tỉ x
và y nào ta
cũng có: ax + b
2
– 2x
4
y
4

= 0 ?
Bài 11: Chứng minh đẳng thức: 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ … + 2
99
+ 2
100
= 2
101
– 1.
Bài 12: Tìm một số có 5 chữ số, là bình phương của một số tự nhiên và được viết
bằng các
chữ số 0; 1; 2; 2; 2.
16

16
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Ngày dạy : 17/11 Buổi 7
Chuyên đề: biểu thức đại số ( tiết 1)
I. Mục tiêu
Kiến thức : Nắm được các kiến thức liên quan để giải các dạng toán cơ bản nhất :
- Tính giá trị của một biểu thức. Thực hiện phép tính một cách hợp lý. Bài toán về
dãy có quy luật
- Một số bài toán khác về biểu thức đại số
Kĩ năng : Giải được hoàn chỉnh, nhanh và chính xác các bài toán cơ bản. Biết
vận dụng vào các bài toán khác tương tự. Tự tìm tòi sáng tạo để hiểu sâu thêm và
tổng quát hóa cho các bài toán

Thái độ : Yêu thích, say mê, tìm tòi sáng tạo khi học bài. Cẩn thận, cầu tiến,
không nao núng khi làm bài
IIChuẩn bị:
GV : Giáo án soạn tỉ mỉ và các tài liệu liên quan để có thể đưa ra các
bài tập đầy đủ và đa dạng
Hsinh: - Ôn tập kiến thức cũ có liên quan .
III.Tiến trình tiết dạy:
Phần 1 . Một số dạng chính
Dạng 1
Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo quy luật
A- Kiến thức cần nắm vững:
B- Bài tập ỏp dụng
I. Dãy số cộng
Bài 1: Tỡm chữ số thứ 1000 khi viết liờn tiếp liền nhau cỏc số hạng của dóy số lẻ
1; 3; 5; 7;
Bài 2: a) Tớnh tổng cỏc số lẻ cú hai chữ số
17

17
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

b) Tớnh tổng cỏc số chẵn cú hai chữ số
c) Tớnh:
1 3 5 2 1S n
= + + + + +
L
với
( )n N∈
d) Tớnh:
2 4 6 2S n

= + + + +
L
với
*
( )n N∈
Bài 3: Cú số hạng nào của dóy sau tận cựng bằng 2 hay khụng?
1;1 2;1 2 3;1 2 3 4; + + + + + +
Hướng dẫn: Số hạng thứ n của dãy bằng:
( 1)
2
n n +
Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng bằng 4.
Điều này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6.
Bài 4: a) Viết liờn tiếp cỏc số hạng của dóy số tự nhiờn từ 1 đến 100 tạo thành
một số A. Tính tổng các chữ số của A
b) Cũng hỏi như trên nếu viết từ 1 đến 1000000
Hướng dẫn: a) ta bổ sung thờm chữ số 0 vào vị trớ đầu tiờn của dóy số (khụng
làm thay đổi kết quả). Tạm chưa xột số 100. Từ 0 đến 99 cú 100 số, ghộp thành 50
cặp: 0 và 99; 1 và 98; 2 và 97;… mỗi cặp cú tổng cỏc chữ số bằng 18. Tổng cỏc
chữ số của 50 cặp bằng: 18.50 = 900. Thờm số 100 cú tổng cỏc chữ số bằng 1.
ĐS: 901
b) Tương tự: ĐS: 27000001
Bài 5: Cho
1
2
3
4
1 2,
3 4 5,
6 7 8 9,

10 11 12 13 14,

S
S
S
S
= +
= + +
= + + +
= + + + +
Tớnh
100
S
?
Hướng dẫn: Số số hạng của S
1
, , S
99
theo thứ tự bằng 2; 3; 4; 5; …100
ĐS: S
100
= 515100
Bài 6: Khi phõn tớch ra thừa số nguyờn tố, số 100! chứa thừa số nguyờn tố 7 với
số mũ băng bao nhiờu?
Bài 7: Tớnh số hạng thứ 50 của cỏc dóy sau:
a) 1.6; 2.7; 3.8;
b) 1.4; 4.7; 7.10;
Bài 8: Cho
2 3 20
1 3 3 3 3A = + + + + +

;
21
3 : 2B =
Tớnh
B A−
Bài 9: Tớnh cỏc tổng sau:
2 3 2007 2 3 2 4 2008
2 4 2 3 5 2007 3 5 2 1
1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
+
= + + + + + = + + + + + = + + + +
= + + + + = + + + + = + + + +
n
n n
A B C
D E F
Bài 10: Tổng quỏt của bài 8
Tớnh : a)
2 3
1
n
S a a a a= + + + + +
, với (
2, a n N≥ ∈
)
b)
2 4 6 2
1
1

n
S a a a a= + + + + +
, với (
2, a n N≥ ∈
)
18

18
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

c)
3 5 2 1
2

n
S a a a a
+
= + + + +
, với (
*
2, a n N≥ ∈
)
Bài 11: Cho
2 3 99 100
1 4 4 4 4 , 4A B= + + + + + =
. Chứng minh rằng:
3
B
A <
.

Bài 12: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
50 200
) 9 99 999 999 9 ) 9 99 999 999 9
ch÷ sè ch÷ sè
= + + + + = + + + +
1 2 3 1 2 3
a A b B
Tuần 14- Buổi 8
Ngày dạy :24/11
Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo quy luật ( tiếp )
II. Dãy phân số có quy luật
1. Cỏc cụng thức cần nhớ đến khi giải cỏc bài toỏn về dóy cỏc phõn số viết theo
qui luật:
1)
1 1 1
( 1) 1n n n n
= −
+ +
.
2)
1 1
( 1) 1
k
k
n n n n
 
= × −
 ÷
+ +
 

.
3)
1 1 1 1
( )n n k k n n k
 
= × −
 ÷
+ +
 
.
4)
1 1
( )
k
n n k n n k
 
= −
 ÷
+ +
 
.
5)
1 1 1 1 1 1 1 1
2 (2 2) 4 ( 1) 2 2 2 2 4 1n n n n n n n n
   
= = × − = × −
 ÷  ÷
+ + + +
   
.

6)
1 1 1 1
(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n n n n
 
= × −
 ÷
+ + + +
 
.
7)
2
1 1 1
.( 1) ( 1).n n n n n
< <
+ −
.
(Trong đú:
, Nn k
∗
∈
,
1n
>
)
2. Bài tập
19

19
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
Chúng ta cùng bắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau :
Bài toỏn A :
Tớnh tổng :
Lời giải :
Vỡ 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta cú bài toỏn khú hơn
chút xíu.
Bài 1 : Tớnh tổng :
Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược.
Bài 2 : Tỡm x thuộc N biết :
Hơn nữa ta có :
ta cú bài toỏn
Bài 3 : Chứng minh rằng :
Do vậy, cho ta bài toỏn “tưởng như khó”
Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng :
khụng phải là số nguyờn.
Chỳng ta cũng nhận ra rằng nếu a
1
; a
2
; ; a
44
là cỏc số tự nhiên lớn hơn 1 và
khác nhau thỡ
Giúp ta đến với bài toán Hay và Khú sau :
Bài 5 : Tỡm cỏc số tự nhiờn khỏc nhau a
1
; a
2
; a

3
; ; a
43
; a
44
sao cho
20

20
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Ta cũn cú cỏc bài toỏn “gần gũi” với bài toỏn 5 như sau :
Bài 6 : Cho 44 số tự nhiờn a
1
; a
2
; ; a
44
thỏa món
Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau.
Bài 7 : Tỡm cỏc số tự nhiờn a
1
; a
2
; a
3
; ; a
44
; a
45

thỏa món a
1
< a
2
a
3
< < a
44
<
a
45
và
Cỏc bạn cũn phỏt hiện được điều gỡ thỳ vị nữa rồi chăng ?
Bài toỏn 2: Tớnh nhanh:
a)
2 3 4 7 8
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
A = + + + + + +L
.
b)
2 3 4 2007 2008
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
B = + + + + + +L
.
c)
2 3 4 1
1 1 1 1 1 1
;

3 3 3 3 3 3
n n
C n N
∗
−
= + + + + + + ∈L
.
Bài toỏn 3: (Bài toỏn tổng quỏt của bài toỏn 2)
Tớnh nhanh:
2 3 4 1
1 1 1 1 1 1
; ( ; 0)
n n
S n N a
a a a a a a
∗
−
= + + + + + + ∈ ≠L
.
Bài toỏn 3: Tớnh tổng 100 số hạng đầu tiờn của cỏc dóy saug:
a)
1 1 1 1
; ; ; ;
1.2 2.3 3.4 4.5
b)
1 1 1 1
; ; ; ,
6 66 176 336
Hướng dẫn: b) Ta thấy 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,…
Do đú số hạng thứ n của dóy cú dạng (5n – 4)(5n + 1).

Bài toỏn 4: Tớnh tổng:
a)
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39
S = + + + +L
.
b)
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 2006.2007.2008
S = + + + +L
.
c)
1 1 1 1
; ( )
1.2.3 2.3.4 3.4.5 .( 1).( 2)
S n N
n n n
∗
= + + + + ∈
+ +
L
.
Bài toỏn 5: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
21

21
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

a)
1 1 1 1

1
3 5 97 99
1 1 1 1 1
1.99 3.97 5.99 97.3 99.1
A
+ + + + +
=
+ + + + +
L
L
. b)
1 1 1 1 1
2 3 4 99 100
99 98 97 1
1 2 3 99
B
+ + + + +
=
+ + + +
L
L
.
Hướng dẫn:
a) Biến đổi số bị chia:
1 1 1 1 1 1 1 100 100 100 100
(1 ) ( ) ( ) ( )
99 3 97 5 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51
+ + + + + + + + = + + +L L
Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50.
b) Biến đổi số chia:

100 1 100 2 100 3 100 99
1 2 3 99
100 100 100 100 1 2 3 99
1 2 3 99 1 2 3 99
1 1 1 1 1 1 1
100 100 99 1 100
2 3 99 2 3 99 100
− − − −
+ + + + =
   
= + + + + − + + + + =
 ÷  ÷
   
   
= + + + + − = + + + + +
 ÷  ÷
   
L
L L
L L
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy
1
100
B =
.
Bài toỏn 6: Tỡm tớch của 98 số hạng đầu tiờn của dóy:
1 1 1 1 1
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;
3 8 15 24 35
Hướng dẫn: cỏc số hạng đầu tiờn của dóy được viết dưới dạng:

4 9 16 25 36
; ; ; ; ;
3 8 15 24 35

Hay
2 2 2 2 2
2 3 4 5 6
; ; ; ; ;
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7

Do đú số hạng thứ 98 cú dạng
2
99
98.100
.
Ta cần tớnh:
2 2 2 2 2 2
2 3 4 5 6 99 99
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50

A = × × × × =L
Bài toỏn 7: Cho
100
1
3
1
2
1
1 ++++= A
. Hóy chứng minh rằng A khụng phải là số

tự nhiờn.
22

22
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Hướng dẫn: Để qui đồng mẫu cỏc phõn số của A ta chọn mẫu chung là tớch của 2
6
với cỏc thừa số lẻ nhỏ hơn 100. Gọi k
1
, k
2
, …, k
100
là cỏc thừa số phụ tương ứng,
tổng A cú dạng:
99 9.7.5.3.2
6
21 n
kkk
B
+++
=

. Trong 100 phõn số của tổng A, chỉ cú duy nhất phõn số 1/64
cú mẫu chứa 2
6
nờn trong cỏc thừa số phụ k
1
, , k

100
chỉ cú k
64
là số lẻ, cũn cỏc
thừa số phụ khỏc đều chẵn.
Bài toỏn tổng quỏt của bài toỏn 7: Cho
n
A
1
3
1
2
1
1 ++++= 
. Hóy chứng minh rằng
A khụng phải là số tự nhiờn.
Tuần 15- Buổi 9
Ngày dạy :1/12
Dãy Số viết theo qui luật - Dãy các phân số viết theo qui luật ( tiếp )
23

23
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Phần 2 . Các dạng khác.
Các bài toán
Bài 2: Tớnh a)
( )
2
(2 )

2
2
b)
14
8
12
4
c)
1
5
7
( 1)
5
7
n
n
n
+
 
−
 ÷
 
≥
 
−
 ÷
 
Bài 2: So sỏnh 2
24
và 3

16
Bài 3: Tớnh giỏ trị biểu thức
a)
10 10
10
45 .5
75
b)
( )
( )
5
6
0,8
0,4
c)
15 4
3 3
2 .9
6 .8
d)
10 10
4 11
8 4
8 4
+
+
Bài 1: Khai triển các tích sau:
a) (x – 2)(y + 3);
b)
1 3

5 1
2 2
x y
  
+ −
 ÷ ÷
  
; c)
3 2 10 27
5 3 7
x
x y
−
 
+
 ÷
 
.
Bài 3: Viết các tổng sau thành tích:
a) ax
2
- bx
2
+ bx - ax + a - b; b) y
2
– 5y + 6;
c) x
2
- 7x + 12; d) 2a
2

+ 4a + 2.
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
M = ax + ay + bx + by + x + y biết x + y = -9/4 và a + b = 1/3;
N = ax + ay - bx - by - x - y biết x - y = -1/2 và a - b = 1/2.
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức:
P =
1
3.10
+
1
10.17
+
1
17.24
+ … +
1
73.80
-
1
2.9
-
1
9.16
-
1
16.23
-
1
23.30
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức:

Q =
1
1.3
-
1
2.4
+
1
3.5
-
1
4.6
+ … +
1
97.99
-
1
98.100
Bài 7: Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị bằng 0:
C =
1 1 1 1 1 1
x x x x x x
2 5 10 2 3 6
3 5
   
+ − − − − +
 ÷  ÷
   
×
Bài 8: Tìm các cặp số nguyên (x; y) để biểu thức sau nhận giá trị là số nguyên:

K =
( ) ( )
3x x y 6 x y 1
x 2
+ − + +
−
24

24
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Bài 9: Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
H =
1996x 1
1997x 1997
+
−
Bài 10: Tìm mối quan hệ giữa các số nguyên a; b; c (b ≠ 0; c ≠ 0) để có đẳng
thức sau:
a a a
b c b.c
− =
Bài 2: Tính:
a) (0,25)
3
.32; b) (-0,125)
3
.80
4
; c)

2 5
20
8 .4
2
; d)
11 17
10 15
81 .3
27 .9
.
Bài 4: Tính nhanh:
a) A = 2008
(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9)
;
b)B=(1000 - 1
3
).(1000 - 2
3
).(1000 - 3
3
)…(1000 - 50
3
)
Bài 5: Tính giá trị của:
M = 100
2
– 99
2
+ 98
2

– 97
2
+ … + 2
2
– 1
2
;
N = (20
2
+ 18
2
+ 16
2
+ … + 4
2
+ 2
2
) – (19
2
+ 17
2
+ 15
2
+ … + 3
2
+ 1
2
);
P = (-1)
n

.(-1)
2n+1
.(-1)
n+1
.
Bài 6: Tìm x biết rằng:
a) (x – 1)
3
= 27; b) x
2
+ x = 0;
c) (2x + 1)
2
= 25; d) (2x – 3)
2
= 36;
e) 5
x + 2
= 625; f) (x – 1)
x + 2
= (x – 1)
x + 4
;
g) (2x – 1)
3
= -8. h)
1 2 3 4 5 30 31
. . . . .
4 6 8 10 12 62 64
= 2

x
;
Bài 7: Tìm số nguyên dương n biết rằng:
a) 32 < 2
n
< 128; b) 2.16 ≥ 2
n
> 4;
c) 9.27 ≤ 3
n
≤ 243.
Bài 8: Cho biểu thức P =
( 5)
( 6)
( 6)
( 5)
( 4)
x
x
x
x
x
+
+
−
−
−
. Hãy tính giá trị của P với x = 7 ?
Bài 9: So sánh:
a) 99

20
và 9999
10
; b) 3
21
và 2
31
; c) 2
30
+ 3
30
+ 4
30
và 3.24
10
.
Bài 10: Chứng minh nếu a = x
3
y; b = x
2
y
2
; c = xy
3
thì với bất kì số hữu tỉ x và y
nào ta cũng có:
ax + b
2
– 2x
4

y
4
= 0 ?
Bài 11: Chứng minh đẳng thức: 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ … + 2
99
+ 2
100
= 2
101
– 1.
Tuần 16 -Buổi 10
25

25