hướng dẫn học sinh phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình có hiệu quả

Hướng dẫn học sinh phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương
trình có hiệu quả
1
PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học ra đời gắn liền với con người, với lịch sử phát triển và cuộc
sống xã hội loài người nói chung, con người nói riêng. Nó có lí luận thực tiễn
lớn lao và quan trọng, như đồng chí Phạm Văn Đồng đã nói: “ Toán học là môn
thể thao của trí tuệ, nó giúp chúng ta rèn luyện tính thông minh và sáng tạo”.
Đại số là một môn đặc biệt của toán học. Nếu đi sâu vào nghiên cứu về
môn đại số chúng ta sẽ thấy được cái không gian ba chiều lí thú của nó mà
không bao giờ vơi cạn. Giải bài toán bằng cách lập phương trình là một trong
những nội dung quan trọng trong chương trình đại số của trường THCS.
Việc giải bài toán bằng cách lập phương trình là một ứng dụng của
phương trình nó có ý rèn luyện óc phân tích và biểu thị toán học những mối liên
quan của các đại lượng trong thực tiễn. Trong phân môn đại số- chương trình
toán lớp 8,9 THCS số tiết về dạy học các bài toán bằng cách lập phương trình đã
chiếm một vị trí quan trọng.
Về cả phía giáo viên và học sinh đều có khó khăn khi dạy và học kiểu bài
này. Đây là một vấn đề quan trọng và bức thiết. Lâu nay chúng ta đang tìm kiếm
một phương pháp dạy học sinh giải các bài toán bằng cách lập phương trình làm
sao cho đạt hiệu quả. Các tài liệu, các sách tham khảo, sách giáo viên cũng chưa
có sách nào đề cập đến phương pháp dạy loại toán này. Có chăng chỉ là gợi ý
chung và sơ lược. Đặc biệt trong các hội thi giáo viên dạy giỏi các cấp hầu như
các tiết thi giảng giải bài toán bằng cách lập phương trình không mấy đạt kết
quả cao.
Trước tình hình trên, bản thân tôi là một giáo viên toán cấp THCS, cũng đã
từng trăn trở nhiều về vấn đề trên.Và với bài viết này tôi không có tham vọng
lớn để bàn về vấn đề: “Giải các bài toán” ở trường phổ thông. Tôi chỉ xin đề
xuất một vấn đề về phương pháp dạy loại toán: “Giải bài toán bằng cách lập
phương trình” đối với học sinh lớp 8, 9 mà tôi đã từng áp dụng thành công.

2
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN
1.Về phía nhà trường.
Trường THCS T.T Xuân Trường là đơn vị nhỏ của huyện Xuân Trường,
điều kiện phát triển kinh tế còn gặp nhiều hạn chế, đa số là làm nông nghiệp, cơ
sở vật chất phục vụ cho công tác dạy – học còn nhiều thiếu thốn do đó điều kiện
cho học tập của con em còn gặp nhiều khó khăn
2. Về phía phụ huynh và học sinh
Đa số các bËc phụ huynh đã nhận thức được cần phải quan tâm đầu tư cho
việc học tập của con em song bên cạnh đó việc quan tâm học hành của một số
phụ huynh chưa thật sự đầy đủ, chủ yếu là phó mặc cho nhà trường do đó ảnh
hưởng lớn đến kết quả học tập của học sinh nhà trường.
3.Về phía giáo viên.
Nhìn chung đội ngũ giáo viên nhà trường có nhiều thầy cô giáo đã công
tác lâu năm trong trường nên giàu hiệt huyết và kinh nghiệm dạy học song cũng
có một bộ phân thầy cô giáo còn non trẻ, nên chưa có nhiều kinh nghiệm dạy
học.
Qua quá trình giảng dạy, đồng thời qua quá trình kiểm tra đánh giá
sự tiếp thu và sự vận dụng kiến thức của học sinh tôi nhận thấy các kiến thức
trong phần giải bài toán bằng cách lập phương trình còn nhiều hạn chế và thiếu
sót. Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng các kiến thức đã học đÓ lập
phương trình của bài toán. Đây là một phần kiến thức rất khó đối với học sinh
lớp 8,9 bởi lẽ từ trước tới nay các em chỉ quen giải những dạng toán về tìm x
hoặc giải những phương trình có sẵn. Mặt khác, loại toán “ Giải bài toán bằng
cách lập phương trình” là loại toán bằng ngôn ngữ, nội dung của nó hầu hết gắn
liền với các hoạt động thực tiễn của con người, của tự nhiên, xã hội đòi hỏi học
sinh phải quan tâm đến ý nghĩa của nó, phải có hiểu biết về nhiều lĩnh vực.
Khó khăn của học sinh khi giải loại toán này là khả năng tư duy còn hạn
chế, các em gặp khó khăn trong việc phân tích đề toán, suy luận, tìm mối liên hệ
giữa các đại lượng, yếu tố trong bài toán nên không lập được phương trình . Có

3
những học sinh nắm được lí thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng vẫn lúng
túng. Hơn thế nữa loại toán này còn đòi hỏi kĩ năng trình bày lời giải phải chặt
chẽ nên nhiều em học sinh biết cách làm nhưng không đạt điểm tối đa vì:
+ Thiếu điều kiện hoặc đặt điều kiện không chính xác
+ Không biết dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng đÓ thiết lập phương trình.
+ Lời giải thiếu lí luận, đơn vị.
+ Quên đối chiếu điều kiện.
Vì vậy, nhiệm vụ của người giáo viên là phải rèn cho học sinh kĩ năng giải
các loại bài toán này sao cho khi gặp nó các em không cảm thấy lo sợ và lúng
túng. Do đó bằng những kinh nghiệm rút ra sau các năm giảng dạy tôi mạnh dạn
viết đề tài “Một số phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ
phương trình”
4
PHẦN II. NỘI DUNG
A. Các quy tắc chung :
1. Cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản về các lĩnh vực toán, lí,
hóa.
2. Yêu cầu về giải một bài toán.
3. Các bước giải một bài toán.
4. Phân loại các bài toán dựa vào quá trình tham gia của các đại lượng.
B. Nội dung:
1) Các kiến thức cơ bản cần chuẩn bị
Trước khi dạy loại toán “ Giải bài toán bằng cách lập phương trình” cần
cho học sinh tự ôn trước ở nhà những kiến thức cơ bản liên quan cụ thể các kiến
thức như:
1.1. Viết công thức thể hiện mối quan hệ giữa số bị chia a, số chia b,
thương q và số dư r:
a = q.b + r
1.2. Số a gấp m lần số b: a = mb.

1.3. Số a lớn hơn số b là m đơn vị: a = b + m
1.4. Tỉ số của a và b là m:
m
b
a
=
1.5. Biểu thị một số trong hệ thập phân. Số gồm a trăm, b chục, c đơn vị:
cbaabc ++= 10.100.
1.6. Công thức tính vận tốc v qua quãng đường s và thời gian t:
t
s
v =
1.7. Năng suất lao động là n, thời gian lao động là t, khối lượng công việc
được hoàn thành là A. Biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc bằng công thức:
A= n.t
1.8. Vận tốc riêng của canô là V
c
Vận tốc dòng nước là V
d
Vận tốc xuôi dòng là V
x
Vận tốc ngược dòng là V
n
5
Hãy lập công thức thể hiện mối quan hệ giữa các đại lượng trên;
V
x
= V
c
+ V

d
V
n
= V
c
- V
d
V
x
- V
d
= V
n
+ V
d
1.9. Công thức tính khối lượng riêng của một chất:
v
m
D =
1.10. Có m (gam) chất trong n (gam) dung dịch. Tính nồng độ N% của
dung dịch đó:
%100.%
n
m
N =
1.11. Công thức tính diện tích các hình: tam giác, hình chữ nhật, hình
vuông, hình tròn.
1.12. Tìm một số biết giá trị phân số của nó;Tìm giá trị phân số của một số
cho trước; Tính phần trăm
Ngoài các loại toán cơ bản trên thì trước khi dạy dạng toán nào trong loại

toán này cần nhắc nhở học sinh soạn và ôn lại kiến thức liên quan đến vấn đề
nêu trong dạng toán đó.
2) Yêu cầu về giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình.
*Yêu cầu 1: Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.
Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho học
sinh hiểu đề bài toán và trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức,
phương pháp suy luận, kĩ năng tính toán, ký hiệu, điều kiện của ẩn, phải rèn cho
học sinh có thói quen đặt điều kiện của ẩn và xem xét đối chiếu kết quả với điều
kiện của ẩn xem nó có hợp lý không.
*Yêu cầu 2: Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác.
Đó là trong quá trình thực hiện từng bước có logic chặt chẽ với nhau, có
cơ sở lí luận chặt chẽ. Đặc biệt phải chú ý đến việc thỏa mãn điều kiện nêu trong
giả thiết xác định ẩn khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho làm
nổi bật được ý phải tìm. Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài toán
thiết lập được phương trình từ đó tìm được giá trị của ẩn. Muốn vậy giáo viên
6
cần làm cho học sinh hiểu được đâu là ẩn, đâu là dữ kiện, đâu là điều kiện? Có
thể thỏa mãn được điều kiện hay không? điều kiện có đủ để xác định được ẩn
không? Từ đó mà xác định được hướng đi, xây dựng được cách giải.
*Yêu cầu 3: Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện.
Giáo viên hướng dẫn học sinh không được bỏ sót khả năng chi tiết nào,
không được thừa cũng không được thiếu, rèn cho học sinh cách kiểm tra lời giải
xem đã đầy đủ chưa, kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp chưa? Nếu thay
đổi điều kiện bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt thì kết quả luôn luôn đúng.
*Yêu cầu 4: Lời giải phải đơn giản.
Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mang
tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của đa số học sinh.
*Yêu cầu 5: Lời giải phải trình bày khoa học
Đó là lưu ý đến mối liên hệ giữa các bước giải trong bài toán phải logic,

chặt chẽ với nhau. Các bước sau được suy ra từ các bước trước, nó đã được kiểm
nghiệm, chứng minh là đúng hoặc những điều kiện đã biết trước.
*Yêu cầu 6: Lời giải bài toán phải rõ ràng, đầy đủ.
Lưu ý đến việc giải các bước lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau,
phủ định lẫn nhau. Kết quả phải chính xác, phù hợp. Muốn vậy cần rèn cho học
sinh thói quen thử lại kết quả sau khi giải và tìm hết các nghiệm của bài toán,
tránh bỏ sót
nghiệm nhất là đối với phương trình bậc hai.
3) Quy trình giải một bài toán
Giai đoạn 1: Phân tích đề
Trước hết cần đọc kĩ đề bài, hình dung ra vấn đề thực tế nêu ra trong đề
bài sau đó ghi tóm tắt các số liệu liên quan đến các đối tượng, các quá trình, các
đại lượng dưới dạng kí hiệu hoặc vẽ hình, vẽ sơ đồ minh họa. Xác định cho
được bài toán thuộc dạng nào? Các đối tượng, quá trình, đại lượng có trong bài
liên hệ với nhau theo công thức nào đã biết? Viết các công thức dẫn xuất từ một
công thức cơ bản, thống nhất đơn vị đo, sau đó tiến hành ghi các số liệu đã biết
của các đại lượng vào bảng số liệu gồm các dòng và cột.
7
Giai đoạn 2: Các bước giải
Bước 1: Lập phương trình (đây là bước quan trọng, quyết định cho việc
giải bài toán):
a. Chọn Èn và đặt điều kiện thích hợp cho Èn
a.1. Sau khi đã phân tích hiểu rõ vấn đề nêu ra trong bài ta bắt đầu đi chọn
Èn
Việc chọn ẩn rất quan trọng, nó quyết định đến việc lập phương trình và
phương trình lập ra đơn giản hay phức tạp. Chọn ẩn là chọn một trong những đại
lượng chưa biết làm ẩn và kí hiệu nó bằng một chữ cái. Thông thường ta chọn
chính đại lượng mà bài toán yêu cầu tìm làm ẩn( còn gọi là chọn trực tiếp). Tuy
nhiên trong một số trường hợp việc chọn ẩn lại dẫn đến phương trình rất phức
tạp vì vậy ta có thể chọn một đại lượng trung gian làm ẩn (còn gọi là chọn ẩn

gián tiếp) sẽ giúp cho việc lập phương trình dễ hơn và đôi khi sẽ có được những
phương trình gọn hơn, dễ giải hơn.
Ví dụ: Xét bài toán:
Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhau 4m. Tính chu vi của
khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1200m
2
.
Nếu gọi trực tiếp chu vi khu đất hình chữ nhật là x thì bài toán sẽ đi vào
bế tắc. Vì vậy, giáo viên cần định hướng cho các em tư duy rộng hơn. Muốn tính
chu vi hình chữ nhật cần biết những yếu tố nào? Từ đó học sinh phát hiện ra gọi
ẩn là một cạnh của hình chữ nhật thì mới giải quyết được bài toán.
a.2. Sau khi chọn ẩn công việc tiếp theo cũng rất cần thiết đó là tìm điều
kiện cho ẩn. Đây là phần học sinh rất hay quên và lúng túng khi làm bài vì vậy
giáo viên cần nêu cho học sinh những điều kiện chung nhất. Ví dụ như:
+ Ẩn số biểu thị 1 chữ số thì điều kiện là nguyên và lớn hơn hoặc bằng 0,
nhỏ hơn 10. Nếu là chữ số đứng đầu thì lớn hơn 0.
+ Ẩn biểu thị cho số tuổi, số con, số người, số sản phẩm thì điều kiện là
nguyên dương.
+ Ẩn biểu thị cho vận tốc, quãng đường, thời gian, khối lượng công việc,
năng suất, thì điều kiện là số dương.
8
Ngoài ra trong một bài toán cụ thể ẩn có thể ràng buộc bởi điều kiện hẹp
hơn.
b. Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
Trước hết, cần xác định mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài (thường
là 3 đại lượng khác nhau liên hệ với nhau bởi một công thức toán học, vật lí, hóa
học ) hay mối quan hệ của cùng một đại lượng cho các đối tượng khác nhau
(thường là bằng nhau, lớn hơn bao nhiêu, lớn hơn gấp mấy lần, tỉ số là bao
nhiêu, bằng mấy phần trăm. Từ đó ta đi viết các đại lượng chưa biết dưới dạng 1
bài toán đại số.

c. Lập phương trình
Trong một bài toán bao giờ giả thiết cũng cho ta nhiều mối liên hệ giữa các
đại lượng. Ta sẽ chọn ra một mối liên hệ để lập phương trình còn những mối
liên hệ khác là dùng làm cho mục b. Vì vậy khi chọn đại lượng để biểu diễn qua
ẩn và những đại lượng đã biết ta phải chú ý đến mối quan hệ giữa các đại lượng
mà ta chọn để lập phương trình.
Chú ý đơn vị của cùng một đại lượng phải thống nhất.
Bước 2: Giải phương trình
Để giải phương trình đã lập ở bước 1 ta cần chú ý quan sát phương trình ở
dạng nào ta đã học để tìm hướng giải phù hợp.
Bước 3: Kết luận
Cần đối chiếu kết quả tìm được của ẩn sau khi giải phương trình với điều
kiện của ẩn đã đặt ra ở bước 1. Chọn giá trị phù hợp cần thử lại bằng cách thay
các giá trị bằng số của ẩn vào đề toán xem có hợp lí không. Sau đó mới trả lời
chung yêu cầu đặt ở đề của bài toán.
Giai đoạn 3: Phân tích biện luận cách giải
Phần này thường để mở rộng cho học sinh khá giỏi. Khi đã giải xong có
thể gợi ý cho học sinh biến đổi biểu thức đã cho thành bài toán khác bằng cách:
+ Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác trong bài
+ Giữ nguyên các dữ kiện thay đổi các yếu tố khác
+ Thay kết luận thành giả thiết và lấy một đại lượng khác trong bài làm ẩn.
9
+ Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất
Bằng cách đó có thể xây dựng cho học sinh có thói quen tập hợp các dạng
toán tương tự và cách giải tương tự đến khi gặp học sinh sẽ nhanh chóng tìm ra
cách giải.
Ví dụ minh họa: Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính
rằng 13 năm sau nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương thôi. Hỏi năm
nay Phương bao nhiêu tuổi (Bài 40/31- Toán 8 tập 2)
Giai đoạn 1: Phân tích đề

Học sinh đọc đề hiểu được vấn đề thực tế ở đây là nói về mối tương quan
số tuổi của mẹ và con.
* Tóm tắt:
Cho biết:
+ Năm nay: Tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương
+ 13 năm sau: Tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương
Hỏi: Phương bao nhiêu tuổi
* Tiếp theo học sinh phải trả lời các câu hỏi:
+ Bài toán có mấy đối tượng tham gia?
Trả lời: Hai đối tượng là mẹ và con
+ Đại lượng nào liên quan đến hai đối tượng đó?
Trả lời: Đại lượng tuổi
+ Các đại lượng của 2 đối tượng có mấy mối quan hệ và quan hệ với nhau
như thế nào?
Trả lời: Có 2 mối quan hệ là năm nay và 13 năm sau
Năm nay: Tuổi mẹ = 3 tuổi Phương
13 năm sau: Tuổi mẹ = 2 tuổi Phương
+ Những số liệu nào đã biết, số liệu nào chưa biết
Giáo viên chú ý cho học sinh công thức:
Tuổi 13 năm sau = tuổi năm nay + 13
Giai đoạn 2: Các bước giải
Bước 1: Lập phương trình
10
a. Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
a.1. Ở bài này có đại lượng chưa biết. Ta gọi ẩn trực tiếp đó là tuổi của
Phương năm nay là x (tuổi)
a.2. Điều kiện của ẩn: x > 0; x nguyên
b. Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.
Cần định hướng được ta sẽ sử dụng mối quan hệ : 13 năm sau tuổi mẹ = 2
lần tuổi Phương để lập phương trình. Vậy cần viết biểu thức biểu diễn tuổi mẹ

và tuổi phương 13 năm sau.
+ Tuổi Phương 13 năm sau là: x + 13 (tuổi)
Để biểu diễn được tuổi mẹ 13 năm sau cần phải biết tuổi mẹ năm nay. Ta
sử dụng mối quan hệ thứ nhất
+ Tuổi mẹ năm nay là : 3x (tuổi)
+ Tuổi mẹ 13 năm sau là : 3x + 13 (tuổi)
c. Lập phương trình
Vì 13 năm sau tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương nên ta có phương trình:
3x+13 = 2(x+13)
Bước 2: Giải phương trình
Học sinh nhận xét đây là dạng phương trình bậc nhất một ẩn có thể đưa về
dạng ax + b = 0. Dạng này đã được học từ các bài trước.
Giải phương trình được kết quả x = 13.
Bước 3: x = 13 thỏa mãn điều kiện x nguyên, x >0.
Học sinh tự thử lại ra nháp với tuổi Phương năm nay là 13 có phù hợp với
đề bài toán không sau đó trả lời:
Vậy năm nay Phương 13 tuổi
Giai đoạn 3:
+ Từ cách giải trên, giáo viên cho học sinh suy nghĩ còn cách giải nào khác
nữa không?
Cách khác: Chọn tuổi của mẹ năm nay là x (tuổi), x nguyên dương.
Bằng cách lập luận tương tự như trên ta có phương trình:
11
x + 13 = 2 (
)13
3
1
+x
Việc giải phương trình này phức tạp hơn nên ta chọn cách 1.
+ Ngoài ra học sinh có thể tự thay đổi con số để tìm ra một đề bài mới

tương tự.
4. Phân dạng loại toán giải toán bằng cách lập phương trình
4.1. Các dạng thường gặp
+ Dạng toán chuyển động
+ Dạng toán liên quan đến số học
+ Dạng toán về năng suất lao động
+ Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng
+ Dạng toán về tỉ lệ chia phần
+ Dạng toán có liên quan đến hình học
+ Dạng toán có liên quan đến vật lí, hóa học.
4.2. Hướng dẫn giải các dạng toán
a. Dạng toán chuyển động
- Trong dạng toán chuyển động cần cho học sinh nhớ và nắm chắc mối
quan hệ giữa các đại lượng quãng đường, vận tốc, thời gian (s=v.t)
- Cần lưu ý trong dạng toán chuyển động cũng có thể chia ra thành nhiều
dạng:
+ Nếu chuyển động trên cùng 1 quãng đường thì vận tốc và thời gian tỉ lệ
nghịch với nhau.
+ Nếu chuyển động ngược chiều, sau một thời gian hai chuyển động gặp
nhau thì:
S
1
+ S
2
=S
+ Nếu chuyển động cùng chiều, tại cùng 1 địa điểm, sau 1 thời gian 2
chuyển động gặp nhau thì: S
1
=S
2

+ Nếu chuyển động trên sông thì cần chú ý đến mối quan hệ của các loại
vận tốc.
12
Ví dụ: Quãng đường AB dài 270 km, hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ
A đến B. Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ 2 là 12 km/h nên đến trước ô tô
thứ hai 42 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
* Hướng dẫn phân tích đề
- Học sinh cần xác định được vận tốc của mỗi xe, từ đó xác định thời gian
đi hết quãng đường cuả mỗi xe.
- Căn cứ vào mối quan hệ vận tốc của mỗi xe để biểu diễn các đại lượng.
- Căn cứ vào mối quan hệ thời gian của mỗi xe để lập phương trình.
* Lời giải:
Đổi : 42 phút =
10
7
giờ
Gọi vận tốc của xe thứ nhất là x (km/h) - điều kiện: x>12
vận tốc của xe thứ hai là x-12 (km/h)
Thời giang đi hết quãng đường AB của xe thứ nhất là
x
270
(h)
Thời gian đi hết quãng đường AB của xe thứ hai là
12
270
−x
(h)
Xe thứ nhất về sớm hơn xe thứ hai là
10

7
giờ nên ta có phương trình:
12
270
−x
-
=
x
270
10
7
032400847
)12(7)12(27002700
2
=−−⇔
−=−−⇔
xx
xxxx
x
1
=74,3 (thỏa mãn điều kiện của ẩn)
x
2
= -62,3 (không thỏa mãn điều kiện của ẩn)
Vậy vận tốc của xe thứ nhất là 74,3 km/h
vận tốc của xe thứ hai là 74,3 -12 = 62,3 km/h
b. Dạng toán liên quan đến số học
- Với dạng toán này cần lưu ý cho học sinh cách chọn ẩn. Có bài gọi trực
tiếp nhưng có bài phải gọi gián tiếp.
+ Nếu bài liên quan đến chữ số trong các số thì cần cho học sinh hiểu được

mối quan hệ giữa các số hàng trăm, chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị.
13
cbaabc
baab
++=
+=
10100
10
+ Nếu bài toán không có mối quan hệ giữa các chữ số mà là mối quan hệ
giữa các số với nhau thì ta chọn số cần tìm là ẩn.
Ví dụ: Một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số
hàng chục. Nếu thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn
hơn số ban đầu 370. Tìm số ban đầu.
* Hướng dẫn phân tích đề:
Học sinh phải trả lời được các câu hỏi sau:
+ Số cần tìm có mấy chữ số?
+ Quan hệ giữa các chữ số như thế nào?
+ Nêu cách viết một số có hai chữ số, ba chữ số dưới hệ thập phân?
+ Thêm chữ số 1 vào giữa thì được một số có mấy chữ số?
+ Số mới và số ban đầu có quan hệ như thế nào?
+ Muốn biết số đã cho ta cần biết điều gì?
* Lời giải:
Gọi chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là x
điều kiện: x
N∈
;0<x<10
Chữ số hàng chục của số ban đầu là 2x
Số đã cho được viết là: 2x.10 + x = 21x
Nếu thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số thì số mới được viết :
2x.100 +1.10 +x =201x +10

Số mới lớn hơn số đã cho là 370 nên ta có phương trình:
(201x +10)-21x =370
Giải phương trình: x = 2 ( thỏa mãn điều kiện của ẩn)
Vậy chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là 2
chữ số hàng chục của số ban đầu là 2.2 = 4
Số ban đầu là 42.
c. Dạng toán về năng suất lao động
14
- Loại toán này tương đối khó giáo viên cần gợi mở dần dần để học sinh
hiểu rõ bản chất nội dung của bài toán để dẫn tới mối liên quan xây dựng
phương trình và giải phương trình như các loại toán khác.
- Để phân tích loại toán này giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích theo
bảng sẽ dễ hiểu hơn.
Ví dụ: Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt tấm thảm len trong 20 ngày. Do cải
tiến kỹ thuật, năng suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy, chỉ trong 18
ngày, không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm
được 24 tấm vải nữa. Tính số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo kế hoạch?
* Hướng dẫn phân tích đề:
- Cần xác định năng suất dệt của xí nghiệp tăng thêm 20% có nghĩa là năng
suất mới bằng 120% so với kế hoạch
- Mối quan hệ giữa các đại lượng
Tổng số thảm = năng suất . số ngày dệt.
- Lập bảng:
Năng suất 1
ngày
Số ngày Số thảm
kế hoạch x 20 20x
Thực hiện 120% x 18 18.120%x
Phương trình cần lập:
2420

100
120
.18 =− xx
* Lời giải:
Gọi số thảm xí nghiệp dệt trong 1 ngày theo kế hoạch là x (thảm)
điều kiện: x nguyên dương
Số thảm len phải dệt theo hợp đồng là 20x (thảm)
Thực tế số thảm xí nghiệp dệt trong 1 ngày là :
x
100
120
(thảm)
Thực tế số thảm len xí nghiệp dệt được là :
x
100
120
.18
(thảm)
Xí nghiệp dệt vượt so với kế hoạch là 24 tấm thảm nên ta có phương trình:
15
2420
100
120
.18 =− xx
1208
=⇔
x
15=⇔ x
(thỏa mãn điều kiện của ẩn)
Vậy số thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng là 15.20 =300 (thảm)

Chú ý: Lời giải trên ta gọi ẩn gián tiếp
Bài này ta cũng có thể gọi ẩn trực tiếp và lập được phương
trình:
24
20
.
100
120
.18 =− x
x
d. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng
- Để làm dạng toán này ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc và
biểu thị bằng số 1
- Chú ý cách biểu diễn số phần công việc làm trong một ngày của mỗi đối
tượng tham gia. Từ đó tìm mối quan hệ để lập phương trình
Ví dụ: Hai đội quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày
xong công việc. Nếu họ làm riêng thì đội 1 hoàn thành công việc nhanh hơn đội
2 là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để
xong công việc
* Hướng dẫn:
- Phải xác định được một ngày hai đội làm chung được
4
1
công việc và đây
cũng là cơ sở để lập phương trình
* Lời giải
Gọi số ngày đội 1 làm một mình hoàn thành công việc là x(ngày)
điều kiện: x nguyên dương
Số ngày đội 2 làm một mình hoàn thành công việc là x +6 (ngày)
Một ngày đội 1 làm được số phần công việc là

x
1
(công việc)
Một ngày đội 2 làm được số phần công việc là
6
1
+x
(công việc)
16
Mà một ngày cả hai đội làm được
4
1
công việc nên ta có phương trình:
x
1
+
6
1
+x
=
4
1
Giải phương trình: x
1
= 6 (thỏa mãn điều kiện của ẩn)
x
2
= -4 (không thỏa mãn điều kiện của ẩn)
Vậy đội 1 làm một mình hoàn thành công việc là 6 ngày
đội 2 làm một mình hoàn thành công việc là 6+6=12 ngày

e. Dạng toán về tỉ lệ, chia phần
- Học sinh cần nhớ lại cách tìm một số biết giá trị phân số của nó, tìm giá
trị phân số của một số cho trước, tỉ số của hai số.
Ví dụ: Học kì 1, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng
8
1
số học sinh cả lớp.
Sang học kì 2, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học
sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh.
* Hướng dẫn:
Ta căn cứ vào dữ kiện
Học kì 2: Số học sinh giỏi =
100
20
số học sinh cả lớp để lập phương trình
* Lời giải
Gọi số học sinh cả lớp 8A là x( học sinh)
điều kiện: x nguyên dương
Số học sinh giỏi học kì 1 là:
x
8
1
(học sinh)
Số học sinh giỏi học kì 2 là :
3
8
1
+x
(học sinh)
Số học sinh giỏi học kì 2 bằng 20% số học sinh cả lớp nên ta có phương

trình:
3
8
1
+x
=
x
100
20
40=⇔ x
(thỏa mãn điều kiện của ẩn)
Vậy số học sinh của lớp 8A là 40 học sinh
17
g. Dạng toán liên quan đến hình học
Dạng toán này cần lưu ý học sinh các kiến thức về hình học, các mối quan
hệ trong hình học như : Công thức tính diện tích, chu vi, định lí Pitago, các hệ
thức lượng trong tam giác vuông
Ví dụ: Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6 cm và chia cạnh huyền
thành hai đoạn hơn kém nhau 5,6cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác?
*Hướng dẫn:
- Vẽ hình minh họa:
Giả sử BH<HC
? Để tìm cạnh huyền ta phải biết những đoạn nào?
-Yêu cầu nhắc lại kiến thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu trong tam
giác vuông: AH
2
= HB.HC
* Lời giải: Giả sử BH<CH
Gọi độ dài đoạn BH là x(cm) , điều kiện: x>0.
Độ dài đoạn CH là x+5,6 (cm)

Theo hệ thức lượng tong tam giác vuông ta có:
x(x+5,6) =(9,6)
2
Giải phương trình: x
1
= 7,2 (thỏa mãn điều kiện của ẩn)
x
2
= -12,8 (không thỏa mãn điều kiện của ẩn)
Vậy: BH=7,2 (cm)
CH= 7,2 +5,6 = 12,8 (cm)
Độ dài cạnh huyền là: 7,2 +12,8 =20 (cm)
h. Dạng toán liên quan đến vật lí, hóa học
Để giải loại toán này học sinh cần nắm được kiến thức về vật lý, hóa học
đặc biệt là các công thức liên quan .
18
A
B C
H
Ví dụ: Người ta hòa lẫn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối
lượng nhỏ hơn nó 200kg/m
3
để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là
700kg/m
3
. Tính khối lượng riêng của chất lỏng?
* Hướng dẫn:
Học sinh cần ôn lại công thức tính khối lượng riêng của một chất
Khối lượng riêng = khối lượng/ thể tích của chất
* Lời giải

Gọi khối lượng riêng của chất thứ nhất là x (kg/m
3
) , điều kiện: x>200
thì khối lượng riêng của chất thứ hai là x-200 (kg/m
3
)
Thể tích của chất thứ nhất là
x
008,0
(m
3
)
Thể tích của chất thứ hai là
200
006,0
−x
(m
3
)
Thể tích của khối chất lỏng hỗn hợp là
700
006,0008,0 +
(m
3
)
Theo đề bài ta có phương trình:
x
008,0
+
200

006,0
−x
=
700
014,0
Giải phương trình ta được: x
1
=800 (thỏa mãn điều kiện của ẩn)
x
2
= 100 (không thỏa mãn điều kiện của ẩn)
Vậy khối lượng riêng cuả chất thứ nhất là 800kg/m
3
khối lượng riêng cuả chất thứ nhất là 800 -200 =600 kg/m
3
Kết luận:
Trên đây tôi đã đưa ra 7 dạng toán thường gặp ở trường THCS. Mỗi dạng
toán có những đặc điểm khác nhau và trong mỗi dạng ta còn chia nhỏ ra hơn
nữa. Việc chia dạng trên đây chủ yếu dựa vào lời văn để phân loại nhưng đều
chung nhau ở các bước giải cơ bản của loại toán “Giải bài toán bằng cách lập
phương trình”.
Ở mỗi dạng toán tôi chọn một bài toán điển hình có tính chất giới thiệu về
việc thiết lập phương trình. Tuy nhiên các ví dụ đó chỉ mang tính chất tương đối.
19
IV. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI
Qua thời gian nghiên cứu, áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tế
giảng dạy trên lớp tôi nhận thấy:
+ Với phương pháp dạy trước khi áp dụng sáng kiến học sinh rất sợ khi gặp
loại toán “giải bài toán bằng cách lập phương trình” thậm chí có học sinh còn
không cần đọc đề bài cứ nhìn thấy loại toán này là bỏ qua.

+ Sau khi tôi vận dụng phương pháp đã nêu trên thì hầu hết các em đã cảm
thấy không còn sợ loại toán này nữa và có học sinh còn cảm thấy thích thú với
loại toán này. Kết quả cụ thể tôi thu được là:
- Bài kiểm tra khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến:
Lớp Sĩ số
Giỏi Khá
Trung
bình
Yếu Kém
SL Tỉ lệ% SL
Tỉ lệ
%
SL
Tỉ lệ
%
SL
Tỉ lệ
%
SL
Tỉ lệ
%
8 27 0 0% 1 3,7% 7 25,9
%
15 55,6
%
4 14,8
%
9 30 1 3,3
%
3 10% 9 30% 12 40% 5 16,7

%
- Bài kiểm tra khảo sát sau khi áp dụng sáng kiến:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém
SL Tỉ lệ
%
SL Tỉ lệ
%
SL Tỉ lệ
%
SL Tỉ lệ
%
SL Tỉ lệ
%
8 27 2 7,4% 6 22,2
%
14 51,9
%
5 18,5
%
0 0%
9 30 3 10% 10 33,3
%
12 40% 5 16,7
%
0 0%
20
PHẦN III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự

hình thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung
chuyên đề thực hiện.
3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải
quyết các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
4. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết
các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
5. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học
tích cực.
6. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả
của những biện pháp sư phạm được đề xuất.
Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện,
nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận
được.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường, từ việc áp dụng các hình
thức rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt,
bản thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện
cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đó là :
1 – Trình bày bài giải mẫu.
2 – Trình bày bài giải nhưng các bước sắp xếp chưa hợp lý.
3 - Đưa ra bài toán có gợi ý giải.
4 - Đưa ra bài giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai và sửa lại
cho đúng.
Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và
phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học
21
nói chung. Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo
viên đã áp dụng trong chuyên đề này.
2. KIẾN NGHỊ
1. Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT

- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo
viên dạy toán. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên
trong tỉnh.
2. Với BGH nhà trường
- Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên có vẻ như
chưa đầy đủ. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm
sách tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các
em có thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú,
kết quả học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói
chung.
3. Với PHHS
- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên
kiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con- Đề nghị hội
phụ huynh học sinh cần quan tâm hơn nữa đến việc học tập cuả con em mình.
- Đề nghị phòng giáo dục và đào tạo mở các chuyên đề để chúng tôi có
điều kiện trao đổi và học hỏi thêm các đồng nghiệp.
- Đề nghị hội đồng tuyển sinh cần quan tâm hơn nữa đến chất lượng tuyển
sinh đầu vào.
Tôi xin chân thành cảm ơn!


22