hướng dẫn học sinh tiếp cận cách khai thác các ứng dụng từ một bài toán

HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN CÁCH KHAI THÁC CÁC ỨNG DỤNG
TỪ MỘT BÀI TOÁN
- 1 -
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Học sinh thường có cách học giải toán chứ không lưu ý đến phương pháp giải
do đó chóng quên, thường giải bài nào biết bài đó nên nếu như đề bị biến tấu thì
không nhận ra. Do đó đáp ứng đổi mới phương pháp dạy họccũng nên đổi mới
phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi. Tôi xin mở rộng bài toán cụ thể bài 71 trang
14 (sách bài tập toán 9 tập 1). Tôi thấy bài tập này có nhiều ứng dụng, tôi xin đưa
ra một số cách khai thác để giúp học sinh nhớ bài lâu hơn , vận dụng tốt hơn vào
giải bài toán khác.
II. NỘI DUNG :
Nội dung gồm 3 phần chính:
A.Khai thác ứng dụng bài 71 trong tính toán.
B.khai thác các ứng dụng bài 71 trong chứng minh bất đẳng thức.
C. Khai thác các ứng dưng bài 71 trong giải phương trình.
Bài 71 trang 14 (Sách bài tập tóan 9 tập I ) chứng minh rằng

nn
nn
++
=−+
1
1
1
với n là số tự nhiên.
Chứng minh : (
nnnn ++−+ 1)(1
)
11
=−+=

nn
⇔
nn
nn
++
=−+
1
1
1
Phát biểu cách khác :
1. Chứng tỏ với mọi số tự nhiên n thì (
)1 nn −+
và
nn ++1(
) là hai số nghịch
đảo.
- 2 -
2 .
nn
nn
++=
−+
1
1
1
(với n là số tự nhiên)
A. KHAI THÁC ỨNG DỤNG BÀI 71 TRONG TÍNH TOÁN .
Bài 1 : Tính
a.
99100

1

34
1
23
1
12
1
+
++
+
+
+
+
+

b.
1
1

34
1
23
1
12
1
−+
++
+
+

+
+
+ nn
với n
≥
1
Giải :
a.
99100
1

34
1
23
1
12
1
+
++
+
+
+
+
+
=
9110099100 342312 =−=−++−+−+−
b.
1
1

34
1
23
1
12
1
−+
++
+
+
+
+
+ nn
với n
≥
1
=
11 342312 −=−−++−+−+− nnn

Bài 2 : Tính
a. A =
200620005
1

43
1
32
1
21
1

−
++
−
+
−
−
−

b. B =
122
1

43
1
32
1
21
1
+−
−+
−
+
−
−
− kk

Định hướng :
21
1
21

+
−
=−
hay
1
1
1
++
−
=+−
nn
nn
Giải :
a. A =
200620005
1

43
1
32
1
21
1
−
++
−
+
−
−
−

- 3 -
=
)20062005( )43()32()21( +−++−+++−
=
20062005 433221 −−+−−++−−

=
)20061( +−

b. B =
122
1

43
1
32
1
21
1
+−
−+
−
+
−
−
− kk
B =
)122( )43()32()21( +++++−+++− kk

=
122 433221 ++++−−++−− kk

=
)112( −+k
ở Bài 71, thay 1 = x
∈
N ta có bài toán 3
Bài 3 Chứng minh: Với x>0,n
0≥
Ta có:
nxn
x
nxn
++
=−+

Bài4: Tính
a. C =
1316
3

710
3
47
3
14
3
+
++

+
+
+
+
+

b. D =
1212
1

57
1
45
1
13
1
−++
++
+
+
+
+
+ kk
Với k là số tự nhiên
≥
1
Giải
a. áp dụng bài 3 vào bài bài 4 a. (
4
)

2
-
2
1
= 3 , ở đây x = 3
Ta có:
- 4 -
C =
+
+ 14
3
+
+ 47
3
+
+ 710
3
… +
1316
3
+
=
1316 7104714 −++−+−+−

=
314116 =−=−
b. áp dụng bài3vào bài bài 4b (
3
)
2

- (
1
)
2
= 2, ở đây x = 2
Do đó ta đưa về dạng bài toán 4a như thế nào ? ( Nhân 2 vào 2 vế )
2D =
2 2 2 2

3 1 5 3 7 5 2 1 2 1k k
+ + + +
+ + + + + −

2D =
1212 573513 −−+++−+−+− kk

2D =
⇒−+ 112k
D =
2
112 −+k
Bài 5 : Tính
a. E =
25242425
1

3223
1
2112
1

+
++
+
+
+
Định hướng :
nnnn )1(1
1
+++
= ?

nnnn )1(1
1
+++
=
1
1
+nn
.
1
1n n+ +
=
1.
1
+
−+
nn
nn
=
1

11
+
−
nn
E =
25
1
24
1

3
1
2
1
2
1
1
1
−++−+−
= 1-
5
4
5
1
1
25
1
=−=
- 5 -

3 3 3
.
5 2 2 5 8 5 5 8 2006 2003 2003 2006
b P = + + +
+ + +

Ta có
3
5 2 2 5+
3(5 2 2 5)
(5 2 2 5)(5 2 2 5)
−
=
+ −
3(5 2 2 5)
30
−
=
=
5 2 2 5
10
−
=
5 2 2 5
10 10
−
=
1 1
2 5
−

1 1 1 1 1 1

2 5 5 8 2003 2006
1 1
2 2006
P
P
= − + − + + −
= −
B. KHAI THÁC PHẠM VI ỨNG DỤNG BÀI TẬP 71 TRONG VIỆC SO SÁNH VÀ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 6 : Không dùng máy tính hãy so sánh
A =
20062007 −
và B =
20052006 −
Giải :
Áp dụng bài 71
A =
20062007
1
+
B =
20052006
1
+


⇒
A < B do

20052007 >

⇒

2007 2006 2006 2005− < −
Bài 7 : Tổng quát từ bài 6 ta có :
- 6 -

11 −−<−+ nnnn
với n
≥
1
áp dụng bài 71 (bài tập toán 9 tập I) ta có điều phải chứng minh.
Bài 8 : Thay 1 = x ở bài 7 ta có : Với
n x≥
>1
A =
nxn −+

B =
xnn −−
ta có : A < B
từ bài toán 6 ta có bài toán sau:
Bài 9 : So sánh C và D
C =
mpm −+

D =
npn −+
Với m > n > 0 ,p > 0

Ta có
C =
mpm
p
++

D =
npn
p
++
Vì m > n
⇒
C < D
*Úng dụng bài 71 chứng minh bất đẳng thức
Bài 10 : Chứng minh
a.
nnn 211 <−++
(Với n
≥
1)
b.
nxnxn 2<−++
(với n> x
≥
0)
- 7 -
Chứng minh
a.
nnn 211 <−++

11 −−<−+⇔ nnnn
Bất đẳng thức này đã chứng minh ở bài 7
b.
nxnxn 2<−++

xnnnxn −−<−+⇔
Đã chứng minh ở bài 8
Bài 11 : Chứng minh :
122222 +<++ mmm
với m
≥
-1
Chứng minh: Với n = 2 m +1, thay vào bài 10a thì ta được :
122222 +<++ mmm

Bài 12:Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng tỏ
1,099101 >−
Giải

99101
2
99101
+
=−

Vì 0 <
100299101 <+
( Suy ra từ bài 10a )
⇔

1,099100
1002
2
99101
2
>−⇔>
+

Bài13 : a. Chứng minh rằng với mọi n
∈
N*

nn
n
−+<
+
1
12
1
b. Chứng minh:
)1(2
1
)1(2 −−<<−+ nn
n
nn

- 8 -
Giải
a.
nn

n
−+<
+
1
12
1
⇔
nnn ++
<
+ 1
1
12
1
( Áp dụng bài 71 trang 14 )
⇔
2
1+n
>
1+n
+
n
(hiển nhiên đúng )
b.
)1(2
1
)1(2 −−<<−+ nn
n
nn

* Chứng minh : 2 (

1+n
-
n
) <
n
1

⇔
0 <
nn ++1
1
<
n2
1


⇔

1+n
+
n
> 2
n

⇔

1+n
>
n

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng
* Chứng minh

n
1

2( 1)n n< − −

⇔
0 <
n2
1
<
1
1
−+ nn

⇔
2
n
>
n
+
1−n
⇔

n
>
1−n

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng
- 9 -

⇒
Bất đẳng thức đã cho được chứng minh
Bài 14 : Cho S = 1+
+++
4
1
3
1
2
1
… +
100
1
Chứng minh
18 < S < 19
Chứng minh
Áp dụng bài 13b ta có :
)1(2
1
)1(2 −−<<−+ nn
n
nn
Thay n = 2,3,4, 100 ta có:
2 (
23 −
) <
2

1
< 2 (
12 −
)
2 (
34 −
) <
3
1
< 2 (
23 −
)
2 (
5 4) 2( 4 3)− < −
……………………….
2(
99100(2
100
1
)100101 −<<−
)
Cộng vế với vế ta có
1 + 2 (
100101 3423 −++−+−
)< S < 1 + 2(
12 −
+
23 −
+
34 −

+
99100 −
)
⇔
1+2 (
100 2−
) < S < 1+2 (
1100 −
)

⇔
1+2 ( 10 -1,5 ) < S < 1+2 (10-1)
Vậy ta có : 18 < S < 19
- 10 -
Chú ý : Cũng có thể thay đổi nội dung bài này như sau :
Cách 1: Chứng minh S không phải là số tự nhiên
Cách 2: Tìm phần nguyên của S
Bài15: So sánh A và B
A = 2 (
2008)2006 42 ++++
; B = 2 (
)2007 31 +++
Áp dụng bài 11 .
122222 +<++ mmm
với m
≥
-1
Cho m = 0 , 1, 2 , …,1003 ta có:

1220 <+

3242 <+
……………
……………
……………

2007220082006 <+

Cộng vế với vế ta có:
2007 31(22008)2006 42(2 +++<++++⇒
)
⇒
A < B
Bài 16 : Chứng minh rằng :
1+
100
2500
1

4
1
3
1
2
1
<++++

Chứng minh : Từ bài 13 b ta cũng có :
)1(2
1

1
nn
n
−+<
+
- 11 -
Lần lượt cho n = 0 , 1 , 2 , 3…, 2499 ta có
1 < 2
)12(2
2
1
−<
)23(2
3
1
−<
………………
)24992500(2
2500
1
−<
Cộng vế với vế ta có:
1+
)2499250023121(2
2500
1

4
1
3

1
2
1
−+−+−+<++++
25002
2500
1

4
1
3
1
2
1
1 <+++++⇔
100
2500
1

4
1
3
1
2
1
1 <+++++⇔
( Điều phải chứng minh )
C. KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA BÀI 71 TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 17 : Giải phương trình

1
1
1
12
1
23
1
=
++
+
+++
+
+++ xxxxxx
với x
0
≥

Giải:
1
1
1
12
1
23
1
=
++
+
+++
+

+++ xxxxxx
1)1()12()23( =−+++−+++−+⇔ xxxxxx

- 12 -
)13( =−+⇔ xx
1)323( =+−++⇔ xxxx
xxx 3222
2
+=+⇔
xxx 31
2
+=+⇔
1312
22
=⇔+=++⇔ xxxxx
Bài 18: Giải phương trình :
2
2
2
+
+
+
x
x
x
= 9 ( 18 )

x
x
++

+
11
2
( Có 2007 số 2 )
Giải :
Với x
≥
-1 ta có :

11
11
−+=
++
x
x
x
( Tương tự bài 7 )
Ta có : 2 +
11112
11
++=−++=
++
xx
x
x
Phương trình (18)
99
1001
101
911

=⇔
=+⇔
=+⇔
=−+⇔
x
x
x
x
Bài 19 : Giải phương trình :
- 13 -
(
4)32()32 =−++
xx
( 19 )
Giải :
Đặt y = (
y
xx
1
)32()32 =−⇒+

Phương trình (19)
014
4
1
2
=+−⇔
=+⇔
yy
y

y

32
32
314
2
1
/
−=
+=⇒
=−=∆
y
y
Thay lại ẩn x ta có :
2
)32()32(
)32(
1
)32(
32)32(
2
)23()32(
2
2
−=⇔
+=+⇔
+
=+⇔
−=+
=⇔

+=+
−
x
x
x
x
x
x
x
Vậy phương trìmh đã cho có nghiệm
x = ± 2
Bài 20 :Giải phương trình

(9 4 5 ) ( 9 4 5 ) 18
x x
− + + =
(20)
Giải:
Đặt y =
x
)549( +

- 14 -
=>
y
x
1
)549( =−
Phương trình (20)

⇔

18
1
=+ y
y

⇔
y
2
- 18y + 1 = 0
Có
80181
'
=−=∆
y
1
= 9 +
80
= 9 +
54
y
1
= 9 -
80
= 9 -
54
Thay lại ẩn x nếu: y = 9 +
54
=>

x
)549( +
=
2
)549( +
Nếu y = 9 -
54
=> x=-2
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = ± 2
*.Bài tập :
Bài 1: Tính

2 2 2 2 2
.
3 7 7 11 11 15 15 19 2003 2007
a A = − + − + +
− − − − −
4 4 4 4
.
9 13 13 17 17 21 221 225
b B = + + + +
+ + + +
1 1 1
.
6 1 1 6 11 6 6 11 2006 2001 2001 2006
c C = + + +
+ + +
- 15 -
Bài2:Chứng minh S = 1+
+++

4
1
3
1
2
1
… +
1
40000
không phải là số tự nhiên
Bài 3:Giải phương trình:
1 1 1 1
2
1 3 3 5 5 7 7 9x x x x x x x x
− + − =
+ − + + − + + − + + − +
với
x ≥
-1
III KẾT LUẬN :
Kinh nghiệm trên tôi đã từng áp dụng trong khi bồi dưỡng học sinh giỏi và có
hiệu quả cao.Qua đây học sinh được rèn luyên khả năng tư,khả năng khái quát hoá,
rèn luyện tính sáng tạo trong học toán. Đặc biệt là biết vận dụng linh hoạt trục căn
thức ở mẫu vào giải toán cũng như vận dụng một bài toán đã biết về giải bài toán
mới, tuy nhiên nội dung đề tài còn có nhiều chỗ có thể tôi chưa khai thác sâu, mong
bạn đọc góp ý để tôi bổ sung hoàn thiện hơn .
- 16 -