hướng dẫn học sinh tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức bằng phương pháp bất đẳng thức giúp nâng cao kết quả học tập môn toán cho học sinh lớp 8

PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Toán học là công cụ giúp học tốt các môn học khác, chính vì vậy nó đóng
một vai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó còn có tiềm
năng phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ,giúp học sinh hoạt động
có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất.
Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực
nghiệm, mà cả phương pháp suy diễn lôgic. Nó tạo cho người học có cơ hội rèn
luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng. Toán học còn có tiềm năng phát triển
phẩm chất đạo đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh.
Toán học ra đời từ thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn. Toán học còn
hình thành và hoàn thiện những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong
học tập, mong muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp
chung của đất nước, ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp,
trung thực, tự tin, khiêm tốn,…. Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới
một nhân cách hoàn thiện toàn diện hơn. Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ
hình thành cho HS những kỹ năng:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán để giải các bài tập toán
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào đơì sống, kỹ năng đo đạc, tính
toán,sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính….
1
Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau. Kỹ năng
thứ nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia. Chính vì vậy kỹ năng vận dụng
kiến thức để giải bài tập toán là vô cùng quan trọng đối với học sinh. Trong đó
việc trình bày lời giải một bài toán chính là thước đo cho kỹ năng trên. để có
một lời giải tốt thì học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và ngược lại có
kiến thức, có các kỹ năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bài
toán
Đại số là một ngành lớn của toán học. Đối tượng nghiên cứu của nó là
các phép tính ví dụ như cộng, trừ, nhân, chia, cụ thể hơn là mối quan hệ giữa các

phép tính. Có thể nói Đại số có lịch sử lâu đời nhất trong trong toán học. Tuy
nhiên nó ngày càng phát triển với những bước nhảy vọt. Đại số là ngành học mà
nó là động lực thúc đẩy sự phát triển của toán học nói chung và có ứng dụng cần
thiết trong thực tế cuộc sống như trong khoa học kỹ thuật. Trong trường học,
Đại số là môn toán học đầy hứng thú song cũng rất phức tạp. Nó là môn học rèn
luyện kỹ năng tính toán, phát huy trí thông minh sáng tạo cho học sinh từ đó
phát hiện ra những tài năng trẻ.
Là giáo viên dạy toán trong đó có phân môn Đại số lớp 8 tôi không khỏi
có những trăn trở về bộ môn này. Đứng trước một môn học với biết bao kiến
thức với những dạng toán phức tạp và đa dạng đòi hỏi người thầy phải tìm ra
cho mình một phương pháp dạy sao cho phù hợp với kiến thức, phù hợp với đối
tượng học sinh mà mình tiếp cận để đạt được hiệu quả cao nhất. Đối với từng
dạng toán phải đưa ra phương pháp giải phù hợp đặc biệt là trong công tác phát
hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu toán.
Một trong những dạng toán hấp dẫn mà không dễ dàng với học sinh là:
"Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 1 biểu thức". Đây là 1 vấn đề không đơn giản
nhưng rất cần thiết cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Và bởi lẽ nó không đơn
giản nên tôi chỉ dám đề cập đến 1 khía cạnh nhỏ là: "Hướng dẫn học sinh tìm
2
giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức bằng phương pháp bất đẳng thức
giúp nâng cao kết quả học tập môn toán cho học sinh lớp 8.".
II. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm
đã nêu về toán học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán nói riêng và đạt
kết quả cao trong quá trình học tập nói chung.
Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối
ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương
trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc
giải các bài toán. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có
của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em.

III. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
- Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào?
- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết
những vấn đề liên quan.
- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan, học sinh thường gặp những
khó khăn và sai lầm nào?
- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh
kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan?
- Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?
IV. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:
- Các dạng toán về và phương pháp giảng dạy toán để giúp nâng cao hứng thú
và kết quả học tập của học sinh.
- Học sinh lớp trường THCS XXX
V. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương
pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
3
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo,
phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh
dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả
thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và
đi đến kết luận.
Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của
học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của
học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
4
PHẦN II. NỘI DUNG
Ta đã biết các bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất có 1 vị trí xứng đáng
trong chương trình học và dạy toán ở các trường THCS. Các bài toán này rất

phong phú, đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức và vận dụng 1 cách hợp lý nhiều
khi khác độc đáo. Tuy nhiên để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có rất nhiều
phương pháp song ở đây tôi chỉ đề cập đến phương pháp bất đẳng thức.
Đứng trên quan điểm hàm số người ta định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của 1 hàm số trên 1 miền nào đó như sau:
"Cho hàm số F(x) xác định trên miền D. Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất
F(x) trên D nếu như đồng thời thoả mãn 2 điều kiện sau đây:
1. F(x) ≤ M
∀
x ê D
2. Tồn tại x
0
ê D sao cho F(x
0
) = M
Khi đó ta kí hiệu M = max F(x)
xê D
Số m gọi là giá trị bé nhất của F(x) trên D, nếu như đồng thời thoả mãn 2
điều kiện sau:
1. F(x) ≥ m
∀
x ê D
2. Tồn tại x
0
ê D sao cho F(x
0
) = m
Khi đó ta kí hiệu: m = min F(x)
xê D
Phương pháp bất đẳng thức thực ra dựa trực tiếp vào định nghĩa trên.

Nghĩa là để tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của 1 biểu thức A ta cần chứng
minh rằng A≥k hoặc A≤k (với k = cmst)
∀
giá trị của biểu thức và chỉ ra trường
hợp xảy ra dấu đẳng thức.
Để sử dụng phương pháp này ngoài những bất đẳng thức cơ bản đã học
tôi muốn đề cập đến 1 bất đẳng thức rất hay sử dụng là bất đẳng thức Côsi:
Nếu a
1
, a
2
,…a
n
là các số không âm, ta có:
5
1,
n
n
anaa
n
aaa


21
21
≥
++
(1)
2, Dấu "=" trong (1) xảy ra
⇔

a
1
= a
2
= a
3
=….a
n
Trong khuôn khổ có hạn tôi không đi sâu vào chứng minh bất đẳng thức
này. và ta hay thường sử dụng các trường hợp riêng của trường hợp tổng quát
trên:
+ Bất đẳng thức côsi cho 2 số không âm: a, b
Ta có: a + b
≥
2
ab

Dấu "=" xảy ra
⇔
a = b
+ Bất đẳng thức côsi cho 3 số không âm: a, b, c
Ta có: a + b + c
≥
3
3
abc
Dấu "=" xảy ra
⇔
a = b = c
Sau đây ta xét 1 số ví dụ về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu

thức bằng phương pháp bất đẳng thức.
Ví dụ 1: "Với giá trị nào của x để biểu thức
A = x
2
- 2x + 5 có giá trị nhỏ nhất ?"
Đây là biểu thức chưa biết x, giá trị của A tuỳ thuộc vào giá trị của biểu
thức x. A có giá trị thay đổi nhưng nó tồn tại 1 giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ
nhất ấy là bao nhiêu? ứng với giá trị nào của x? Để trả lời ta phải tìm cách để
chứng minh rằng A
≥
k (k là hằng số) khi đó A
min
= k ứng với giá trị của x làm
cho A = k. Muốn chứng minh được ta phải tách biểu thức A thành nhóm thích
hợp.
Lời giải:
Ta có A = x
2
- 2x + 5 = x
2
- 2x + 1 + 4
⇔
A = (x -1)
2
+ 4
6
Mà (x-1)
2

≥

0
∀
dấu "=" xảy ra
⇔
x = 1
Vậy A
min
= 4
⇔
x = 1
Hay với x = 1 thì biểu thức A có giá trị nhỏ nhất bằng 4.
Ví dụ 2:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai:
f(x)=
125
2
+− xx
b) Tìm giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai:
f(x)=
23
2
−+− xx
Bài giải:
a) Ta có f(x)=
125
2
+− xx
=
1
5

2
5
2
+






− xx
=
1
5
1
5
1
5
2
5
22
2
+















−






+− xx
=
1
5
1
5
1
5
2
+−







−x
=
5
4
5
1
5
2
+






−x
Với
∀
x, x
∈
R thì
0
5
1
2
≥







−x
nên ta có:
f(x) =
5
4
5
4
5
1
5
2
≥−






−x
Với
∀
x, x
∈
R
Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là
5
4
, đạt được khi x =

5
1
b) f (x) =
23
2
−+− xx
=






−− xx
3
1
3
2
7
=
2
6
1
6
1
3
1
3
22
2

−














−






+−− xx
=
12
23
6
1
3
2

−






−− x
Vì
0
6
1
2
≥






−x

∀
x, x
∈
R nên
12
23
12
23

6
1
3
2
≤−






−− x
Và f(x) đạt giá trị lớn nhất là

0
6
1
3
2
=






−− x
0
6
1

=−⇒ x

6
1
=⇒ x
Kết quả: f(x) đạt giá trị lớn nhất
12
23
−
ứng với giá trị x =
6
1
của biến.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = (x
2
+ x + 1)
2
Mới thoạt nhìn bài toán học sinh rất dễ nhầm lẫn và có vẻ đơn giản. Ta sẽ
cho rằng A
≥
0
∀
x (vì là bình phương của 1 biểu thức) và do đó A có giá trị nhỏ
nhất bằng 0. Không phải vậy. Nếu để ý kĩ hơn ta sẽ nhận ra ngay A >0
∀
x
Vì x
2
+ x + 1 ≠ 0

Lời giải của bài toán như sau:
Ta có x
2
+ x + 1 = x
2
+ x +
4
3
4
1
+
Nên: x
2
+ x + 1
≥

4
3

∀
x dấu "=" xảy ra
⇔
x =
2
1
Do đó A
min

⇔
(x

2
+ x + 1)
min

=> Giá trị nhỏ nhất của A =
16
9
4
3
2
=







⇔
x = -
2
1
8
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
16
9
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = (2x - 1)
2
- 3

12 −x
+ 2
Bài toán này biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất có chứa cả giá trị tuyệt đối.
Mới nhìn ta có cảm giác là phức tạp. Song nếu bình tĩnh suy xét ta sẽ thấy ngay
1 nét đặc biệt trong biểu thức đó là các luỹ thừa của (2x - 1). Từ đó gợi ý cho ta
có thể đổi biến để đưa về bài toán đơn giản hơn:
Giải:
Đặt
12 −x
= t như vậy t
≥
0
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
t
2
- 3t + 2 với t
≥
0
Ta có: t
2
- 3t + 2 = t
2
- 3t +
4
9
-
4
1
2
3

4
1
2
−






−= t
Mà
2
2
3






−t
≥ 0
∀
≥ 0
=> t
2
- 3t + 2 =
2
2

3






−t
-
4
1
≥ -
4
1

∀
≥ 0
Dấu"=" xảy ra
⇔
t =
2
3
Do đó: A ≥ -
4
1

∀
x
=> A
min

= -
4
1

⇔

12 −x
=
2
3

⇔

⇔

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -






4
1
9
2x - 1 =
2
3

1 - 2x =

2
3

x =
4
5

x = -
4
1
x =
4
5

x = -
4
1
x =
4
5

x = -
4
1
Khi và chỉ khi
Ví dụ 5:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P(x) =
2
322
2

2
+−
+−
xx
xx
b) Tìm giá trị lớn nhất của Q(x) =
4
173
2
2
+
+
x
x
Bài giải
a) Sử dụng phép chia đa thức, ta đưa P(x) về dạng:
P(x) = 2 -
2
1
2
+− xx
Xét
4
3
2
1
2
2
1
2

1
2
222
22
+






−=+






−






+−=+− xxxxx
Vì
0
2
1

2
≥






−x

∀
x, x
∈
R nên
4
3
2
2
≥+− xx
,
∀
x, x
∈
R
Và
2
2
+− xx
đạt giá trị lớn nhất khi x =
2

1
Suy ra
2
1
2
+− xx
đạt giá trị lớn nhất khi x =
2
1
và giá trị lớn nhất đó là:

3
4
3
1
=
Vậy P(x) đạt giá trị nhỏ nhất là 2 -
3
2
3
4
=
Kết quả: P






2

1
=
3
2
b) Ta có Q(x) = 3 +
4
5
2
+x
; Q(x) lớn nhất khi
4
5
2
+x
lớn nhất.
4
5
2
+x
lớn nhất khi x
2
+4 đạt giá trị nhỏ nhất.
10
Vì x
2
+
≥
4,
∀
x, x

∈
R nên x
2
+ 4 đạt giá trị nhỏ nhất là 4 khi x =0.
Vậy với x = 0, Q(x) đạt giá trị lớn nhất là 3 +
4
1
4
4
5
=
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của
M =
544
3
2
+− xx
Đây là biểu thức có tử là hằng số và mẫu là 1 tam thức bậc 2. Sẽ là không
chính xác nếu lập luận M có tử là hằng nên M lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Bây
giờ vấn đề đặt ra là ta phải làm thế nào để chứng minh được 1 bất đẳng thức nào
đó. Ta chú ý mẫu thức: 4x
2
- 4x + 5 = 4x
2
- 4x + 1 + 4 = (2x - 1)
2
+ 4 + ≥ 4
∀
x.
Từ đó ta có thể lập luận để đưa ra bất đẳng thức cho cả biểu thức M nhờ vào

phép so sánh hai phân tử.
Giải:
M =
544
3
2
+− xx
=
4)12(
3
4144
3
22
+−
=
++− xxx
Ta thấy (2x - 1)
2
≥ 0
∀
x Dấu "=" xảy ra
⇔
x =
2
1
Nên (2x - 1)
2
+ 4 ≥ 4
∀
x dấu "=" xảy ra

⇔
x =
2
1
Do đó:
4
3
4)12(
3
2
≤
+−x
(theo qui tắc so sánh 2 phân thức mà tử và mẫu đều
dương)
Dấu "=" xảy ra
⇔
x =
2
1
Vậy M
mãx
=
2
1
4
3
=⇔ x
Qua ví dụ này ta thấy để tìm được giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu
thức trước hết ta phải xem dạng của biểu thức từ đó định hướng để đi tới 1 bất
đẳng thức nào đó, thường là những bất đẳng thức thông dụng. Nhưng cũng có

11
bài toán ta phải phân tích để sử dụng một số bất đẳng thức khác đã chứng minh.
Sau đây là ví dụ:
Ví dụ 7:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
z
y
y
zx
x
zy
yx
z
xz
y
y
x
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x

z
Với x ≥ 0; y ≥ 0 ; z ≥ 0
Với bài toán này nếu để nguyên thì ta không thể đưa về: A ≥ k (k=const)
ngay được. Nếu đọc kỹ đề ta có thể nghĩ đến việc tách A thành 2 nhóm mà mỗi
nhón ta có thể chứng minh được 1 bất đẳng thức sau đó ta sẽ đưa về việc cộng
hai bất đẳng thức cùng chiều. Để ý :
yx
z
xz
y
zy
x
+
+
+
+
+
và
z
yx
y
zx
x
zy +
+
+
+
+
là các vế của những bất đẳng thức ta thường gặp
Giải:

Xét: B =
yx
z
xz
y
zy
x
+
+
+
+
+
Đặt: x +y = a; y + z = b; x + z = c => a, b, c >0
Theo bất đẳng thức côsi cho 3 số a, b, c:
a + b + c ≥ 3
abc
3
Dấu "-" xảy ra
⇔
a = b = c
≥++
cba
111
3
3
1
abc
Dấu "-" xảy ra
⇔
a = b = c

( )
9
111
≥






++++⇒
cba
cba
Dấu "=" xảy ra
⇔
a = b = c
12
Thay x + y = a; y + z = b; x + z = c ta có:
2 (x + y +z)
9
111
≥









+
+
+
+
+ zxzyyx
( )
2
9111
≥








+
+
+
+
+
++⇒
zxzyyx
zyx

2
9
11 ≥
+

+
+
++
+
+⇒
zx
y
zy
x
yx
z

2
3
≥
+
+
+
+
+
⇒
zx
y
zy
x
yx
z
Dấu "=" xảy ra
⇔
x = y = z

Xét:
y
zx
x
zy
z
xy
C
+
+
+
+
+
=
=








++







++








+
x
y
y
x
x
z
z
x
y
z
z
y
vì x, y, z > 0 nên
y
x
;
x
y
;
z

x
;
x
z
;
z
y
;
y
z
>0
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
2≥+
y
z
z
y
Dấu "=" xảy ra
⇔
x = y
2≥+
x
z
z
x
Dấu "=" xảy ra
⇔
x = z
2≥+
y

x
x
y
Dấu "=" xảy ra
⇔
x = y
⇒
C
6≥
Dấu "=" xảy ra
⇔
x =y =z
Ta có: A = B + C
Nên A
2
15
6
2
3
=+≥
Dấu "=" xảy ra
⇔
x =y =z
Vậy A
min
=
2
15

zyx ==⇔

13
Ví dụ 8:
1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x) = 2x - x
2
với 0<x<2
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q(x) =
,
4
2
x
x +
x>0
Giải
1. ta có 2x - x
2
= x(2-x) với 0 < x <2 => x > 0, 2 - x > 0
Xét tổng x + (2-x) = 2 = không đổi.
Vậy tích x(2-x) lớn nhất khi x = 2 -x => x = 1
Giá trị lớn nhất của P(x) với 0 < x < 2 là:
P(1) = 1 + 1 = 2, ứng dụng với giá trị x = 1.
2. Ta có Q(x) =
x
x 4
2
+
= x +
x
4
x>0
Xét tích x.

x
4
= 4 = không đổi.
Vậy tổng
,
4
2
x
x +
đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 4 => x
2
= 4 => x = 2
Ví dụ 9:
Với giá trị nào của biến x thì biểu thức P(x) = (x-1)(x-2)(x+3)(x+6) có giá
trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Giải
Ta biến đổi như sau:
P(x) = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
= (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)
= (x
2
+ 5x - 6)(x
2
+ 5x +6)
14
Đến đây ta có 2 cách giải quyết.
Cách 1:
Ta có: P(x) = [(x
2
+ 5x) - 6][x

2
+ 5x) +6]
= (x
2
+5x)
2
- 36
= (x
2
+5x)
2

≥
0
∀
x, x
∈
R nên rõ ràng là P(x)
≥
-36
P(x) đạt giá trị nhỏ nhất là -36 với x
2
+5x = 0
⇔
x = 0 hoặc x = -5
Cách 2:
Ta xét biểu thức đối của P(x) là - P(x) và được
-P(x) = -(x
2
+ 5x - 6)(x

2
+ 5x +6)
= (x
2
+ 5x - 6)( -x
2
- 5x - 6)
Nếu đặt X = x
2
+ 5x - 6, Y = -x
2
- 5x - 6
Thì tổng X + Y = -12 = không đổi
Vậy tích X.Y lớn nhất khi X = Y
⇒
-P(x) lớn nhất khi:
-x
2
- 5x - 6 = x
2
+ 5x - 6
⇒
2x
2
+10x = 0
⇔
x = 0 hoặc x = -5
Lúc bấy giờ - P(x) đạt giá trị 36
Vậy P(x) đạt giá trị nhỏ nhất là -36 khi x = 0 hoặc x = 5.
15

III. BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
Thông qua 9 ví dụ trên đây ta đã ứng dụng phương pháp bất đẳng thức để
tính giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của 1 biểu thức nào đó. Phương pháp này
không phải bài toán nào dạng này cũng áp dụng được mà còn tuỳ thuộc vào từng
bài cụ thể. Đứng trước bài toán dạng này nên xem xét đề kỹ càng để xác định
hướng đi cho đúng. Đặc biệt loại toán này học sinh rất dễ hay ngộ nhận (ví dụ 2)
cho nên người dạy phải cho học sinh nắm chắc về khái niệm giá trị lớn nhất
(nhỏ nhất) của 1 biểu thức. Phương pháp này gần gũi, dễ hiểu đối với các em ở
bậc THCS song cũng không nhất thiết là bài toán nào cũng áp dụng nó. Ở đối
tượng học sinh của mình, tôi đã cho các em áp dụng phương pháp này để giải
một số bài toán về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và kết quả là các
em nắm bắt được rất tốt và sử dụng thành thạo.
Trong quá trình dạy tôi rút ra đối với phương pháp dùng bất đẳng thức để
tìm giá trị lớn hoặc nhỏ nhất của một biểu thức A, ta nhất thiết phải tiến hàng
theo hai bước:
- Chứng minh 1 bất đẳng thức:
A≤ k (hoặc A≥ k) Với k = Const với mọi giá trị của biến.
- Tìm giá trị của biểu thức sao cho ứng với những giá trị ấy bất đẳng thức
vừa tìm được trở thành đẳng thức (A=k). Nếu sử dụng bất đẳng thức Côsi thì
các giá trị này của biến thường được tìm ra nhờ ở phần 2 trong cách phát biểu
định lý. Còn trong trường hợp chung để phát hiện ra dấu đẳng thức cần có nhận
xét thích hợp.
16
Tuy nhiên yêu cầu phải biết sáng tạo linh hoạt trong việc tìm ra một bất
đẳng thức để chứng minh.
PHẦN III : KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự
hình thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh

2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung
chuyên đề thực hiện.
3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải
quyết các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
4. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết
các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
5. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học
tích cực.
6. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả
của những biện pháp sư phạm được đề xuất.
Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện,
nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận
được.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường, từ việc áp dụng các hình
thức rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt,
bản thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện
cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đó là :
1 – Trình bày bài giải mẫu.
2 – Trình bày bài giải nhưng các bước sắp xếp chưa hợp lý.
3 - Đưa ra bài toán có gợi ý giải.
4 - Đưa ra bài giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai và sửa lại
cho đúng.
17
Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và
phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học
nói chung. Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo
viên đã áp dụng trong chuyên đề này.
2. KIẾN NGHỊ
1. Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT
- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo

viên dạy toán. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên
trong tỉnh.
2. Với BGH nhà trường
- Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên có vẻ như
chưa đầy đủ. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm
sách tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các
em có thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú,
kết quả học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói
chung.
3. Với PHHS
- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên
kiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con
18
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Một số vấn đề phát triển Toán 8 - tập 1, tập 2 của tác giả Vũ Hữu Bình.
2. Toán nâng cao Đại số 8 của tác giả Vũ Thế Hựu.
3. Một số chuyên đề Toán 8 của tác giả Bùi Văn Tuyên.
19