Tim giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Chuyờn : Tỡm giỏ tr ln nht giỏ tr nh nht
I) Các bài tập về tìm giá trị nhỏ nhất
Bi tp1: Cho biu thc
A = a
3
+b
3
+ c
3
+a
2
(b+c)+b
2
(c+a)+c
2
(a+b)
Cho a+b+c = 1 .Hóy tỡm giỏ tr nh nht ca A
Gii: Ta cú : A = a
3
+b
3
+ c
3
+a
2
(b+c)+b
2
(c+a)+c
2
(a+b)
= a

2
(a+b+c) + b
2
(a+b+c)+c
2
(a+b+c)
= (a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
)
V i a+b+c = 1 th ỡ A = a
2
+b
2
+c
2
Ta c ú a
2
+b
2


2ab
a
2
+ c
2

2ac
b
2
+ c
2


2bc
2(a
2
+ b
2
+c
2
)

2(ab + bc + ac) (1)
Cng thờm vo hai v ca (1) vi a
2
+ b
2
+ c
2


3(a
2
+ b

2
+ c
2
)

(a+b+c)
2


3A

1


A

3
1
Du = xy ra khi a= b =c M a+b+c = 1 nờn a =b=c =
3
1
Do ú A t giỏ tr nh nht l
3
1
khi a =b=c =
3
1


Bài 2: Cho x+y = 2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x

2
+y
2
Giải:
Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski :
(ac+bd)
2


(a
2
+ b
2
)(c
2
+d
2
) dấu = xảy ra

d
b
c
a
=
(*)
Chọn a = x ; c=1 ; b=y d =1
Ta có : (x.1+y.1)
2

(x
2
+y
2
)(1+1)
(x+y)
2


(x
2
+y
2
)(1+1)
4

(x
2
+y
2
).2
2

(x
2
+y
2
)
Vậy B

2
Dấu = xẩy ra khi x=y = 1
Vậy Min B = 2 khi x = y =1
Cách 2:
Ta có : x+y =2

y =2- x
Do đó: B = x
2
+ (2-x)
2
= x
2
+x
2
- 4x + 4
= 2x
2
4x + 4
= 2(x
2
2x+1 +1)
= 2(x-1)
2
+2

2
Vậy Min B = 2 khi x-1 =0 hay x= 1 ; y =1
Giáo viên : Nguyễn Thị Phơng
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C = x
2
+ 2y
2
– 2xy – 4y + 5
Giải:
Ta có : C = (x
2

- 2xy + y
2
) + ( y
2
– 4y+4)+1
= (x –y)
2
+ (y -2)
2
+ 1
Vì (x – y)
2

≥
0 ; (y-2)
2

≥
0
Do vậy: C

≥
1 với mọi x;y
Dấu “ = ” Xảy ra khi x-y = 0 và y-2 =0
⇔
x=y =2
Vậy: Min C = 1 khi x = y =2
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức
D = 2x
2
– 2xy +5y
2
+ 5
Giải: Ta có : D = x
2
– 4xy + 4y
2
+ x
2
+2xy +y
2
+5
D = (x - 2y)
2
+ (x+y)
2
+ 5
Ta thấy : (x-2y)
2

≥

0 ; (x+y)
2

≥
0
Nên: D
≥
5
Dấu “ = ” Xảy ra khi :
x – 2y = 0
x+ y = 0

⇔
x = y = 0
Vậy Min D = 5 khi x = y =0
Bài 5: Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức
E = 5x
2
+8xy + 5y
2
– 2x + 2y
Giải: Ta có : E = (4x
2
+ 8xy +4y
2
)+(x
2
- 2x +1) + (y
2
+2y +1) – 2

E = (2x +2y)
2
+(x- 1)
2
+( y+1)
2
- 2
Do đó E
≥
- 2
Dấu “ = ” xảy ra khi




−=
=
⇔





=+
=−
=+
1
1
01
01

022
y
x
y
x
yx

Vậy Min B = -2 khi x =1 và y =-1
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F = a
3
+ b
3
+ ab ; Cho a + b = 1
Giải: Ta có : F = (a+b)(a
2
–ab+b
2
) +ab
Thay a+ b =1 vào F ta được
F = a
2
– ab +b
2
+ ab
F = a
2
+b
2

F = (a+b)
2
– 2ab
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ Ph¬ng
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất
F = 1 – 2ab
Do a+b =1
⇔
a = 1-b thay vào F ta có : F = 1- 2(1-b)b
F = 1 -2b+2b
2

F = 2(b
2
– b+
4
1
) +
2
1
F = 2(b -
2
1
)
2
+
2
1
≥
2

1
Với mọi b
Dấu “ = ” xảy ra khi : b -
2
1
= 0
⇔
b =
2
1
và a =
2
1
Vậy Min F =
2
1
Khi a =b =
2
1
Bài 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : G (x) = x +
x4
1
cho x > 0
Giải: Ta có: G = x +
x4
1

=
x
x

4
14
2
+
=
x
xx
x
xxx
4
4)12(
4
4144
22
+−
=
++−
= 1+
x
x
4
)12(
2
−
V ì x > 0 Nên G
≥
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của G là 1 khi :
x
x

4
)12(
2
−
= 0
⇔
(2x -1)
2
= 0
⇔
x =
2
1
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
H = x(x+1)(x+2)(x+3)
Giải: Ta có: H = x(x+3)(x+1)(x+2)
H = (x
2
+ 3x)(x
2
+ 3x +2)
H = (x
2
+3x)
2
+ 2(x
2
+3x)
H = (x
2

+3x)
2
+ 2(x
2
+3x)+1 – 1
H = (x
2
+ 3x +1)
2
– 1

⇔
H
≥
- 1 , Dấu ‘ = ’ xảy ra khi x
2
+ 3x +1 = 0
⇔
x =
2
53
±−
Vậy giá trị nhỏ nhất của H là -1 khi x =
2
53
±−
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
I(x) =
1
1

2
2
+
−
x
x

Giải : Ta có : I(x) =
1
1
2
2
+
−
x
x
= 1-
1
2
2
+
x
Do vậy, I(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi biểu thức
1
2
2
+
x
đạt giá trị lớn nhất
nghĩa là x

2
+ 1 đạt giá trị nhỏ nhất .
Ta có : x
2
+ 1
≥
1 Với mọi x
 Min (x
2
+ 1) = 1 tại x = 0
 Min I(x) = 1- 2 = -1
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ Ph¬ng
Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất
Vậy Min I(x) = -1 tại x = 0
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
J = 3( x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
) – 2(xy + yz + zt + tx) – ( x + y + z + t ) + 10
Giải : Ta có :
J = ( x
2
– 2xy + y
2
) + ( y

2
– 2yz + z
2
) + (z
2
– 2zt + t
2
) + ( t
2
– 2tx + x
2
)
+ ( x
2
– x +
4
1
) + ( y
2
– y +
4
1
) + ( z
2
– z +
4
1
) + ( t
2
– t +

4
1
) + 9
= ( x – y)
2
+ ( y – z )
2
+ ( z – t)
2
+ (t – x)
2
+ (x –
2
1
)
2
+ (y –
2
1
)
2
+ (z –
2
1
)
2

+ (t –
2
1

)
2
+ 9
Do vậy J
≥
9 Với mọi x ; y ; z ; t
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = t =
2
1

Vậy giá trị nhỏ nhất của J là 9 khi x = y = z = t =
2
1

Bài 11: Cho biểu thức :
K = x
2
+ y
2
+ 2z
2
+ t
2
Với x ; y ; z ; t là các số nguyên không âm . Tìm giá trị nhỏ nhất của K và
các giá trị tương ứng của x ; y ;z và t , biết rằng :
x
2
– y
2
+ t

2
= 21

x
2
+ 3y
2
+ 4z
2
= 101
Giải: Theo giả thiết , ta có :

x
2
– y
2
+ t
2
= 21

x
2
+ 3y
2
+ 4z
2
= 101
 x
2
– y

2
+ t
2
+ x
2
+ 3y
2
+ 4z
2
= 122
 2x
2
+ 2y
2
+ 4z
2
+ t
2
= 122
 2K

– t
2
= 122
 2K = 122 + t
2
Do đó : 2K
≥
122

⇔
K
≥
61
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi t = 0
Vậy K đạt giá trị nhỏ nhất là 61 tại t = 0
Ta có :
x
2
– y
2
+ t
2
= 21 (1)
x
2
+ 3y
2
+ 4z
2
= 101 (2)
Vì x ; y
∈
N nên từ (1) => x > y
≥
0
 x + y
≥
x – y > 0 . Do đó :
(x + y)( x – y) = 21 . 1= 7 . 3

Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ Ph¬ng
Chuyờn : Tỡm giỏ tr ln nht giỏ tr nh nht
=>



=
=+
1
21
yx
yx




=
=

10
11
y
x

hoc



=
=+

3
7
yx
yx






=
=
2
5
y
x
T (2) => 3y
2


101 => y
2


33 => 0

y

5
Ta chn x = 5 ; y = 2

(2) => z = 4
Vy Min K =61 ti x = 5 ; y = 2 ; z = 4 ; t = 0
II) Các bài tập về tìm giá trị lớn nhất
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = 3xy x
2
y
2
Biết x; y là nghiệm của phơng trình 5x+2y = 10
Giải:
Từ : 5x +2y = 10

y =
2
510 x

Thay y vào biểu thức A ta có:
A = 3x.
2
510 x

- x
2
(
2
510 x

)
2

A =
4
2510010043060
222
+
xxxx
A =
4
1
(-59x
2
+160x-100)
A =
4
1
.59 ( -x
2

+
)
59
100
59
160

x
A =
4
1
.59

++
3481
6400
3481
5900
)
3481
6400
2
1
59
80
.2(
2
xx
A =






+
3481

500
)
59
80
(
4
59
2
x
A =
2
)
59
80
(
4
59
59
125

x

59
125


Vậy Max A =
59
125
Khi x =

59
80
và y =
2
510 x

=
59
95
Bài 2: Cho biểu thức B = - a
2
b
2
+ab +2a+2b
B đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu và khi nào?
Giải: Ta có B = - a
2
b
2
+ab +2a+2b


2B = -2a
2
2b
2
+2ab +4a+4b
= - (a
2
- 2ab +b

2
) ( a
2
- 4a +4) (b
2
-4b +4) + 8
= 8 (a-b)
2
(a-2)
2
(b -2 )
2



2B

8


B

4
Giáo viên : Nguyễn Thị Phơng