Bài toán điều khiển được hệ phương trình vi phân tuyến tính

Số hóa bởi trung tâm học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM





PHẠM NGỌC HẢI





BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC
HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH



LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM





PHẠM NGỌC HẢI


BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC
HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02


LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. VŨ NGỌC PHÁT




Thái Nguyên – 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu

i
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu trích dẫn đều có nguồn gốc rõ ràng, các kết quả trong luận văn là trung
thực và chưa từng được ai công bố ở bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận văn




Phạm Ngọc Hải

Số hóa bởi trung tâm học liệu

ii
MỤC LỤC

Lời cam đoan i
Mục lục ii
Một số kí hiệu toán học dùng trong luận văn iii
LỜI MỞ ĐẦU 1
Chƣơng 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC 3
1.1. Hệ phƣơng trình vi phân 3
1.1.1. Hệ phương trình vi phân 3
1.1.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm 4
1.1.3. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm 4
1.2. Bài toán điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình vi phân 7
1.2.1. Bài toán điều khiển được đối với hệ liên tục 7
1.2.2. Bài toán điều khiển được đối với hệ rời rạc 9
Chƣơng 2. BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC HỆ PHƢƠNG TRÌNH
VI PHÂN TUYẾN TÍNH 12
2.1. Bài toán điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính 12
2.2. Bài toán điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính có hạn
chế biến điều khiển 25
KẾT LUẬN… 35
TÀI LIỆU THAM KHẢO 36


Số hóa bởi trung tâm học liệu

iii
MỘT SỐ KÍ HIỆU TOÁN HỌC DÙNG TRONG LUẬN VĂN

R
: Tập các số thực không âm.

n
R
: Không gian véc tơ n- chiều với kí hiệu tích vô hướng là
.,.


nr
R
: Không gian các ma trận
()nr
- chiều.

([ , ], )
n
C a b R
: Tập các hàm liên tục trên
[ , ]ab
và nhận giá trị trên
n
R
.

2
([ , ], )
m
L a b R
: Tập các hàm khả tích bậc hai trên

[ , ]ab
và lấy giá trị
trong
m
R
.

A
: Ma trận chuyển vị của ma trận
A
.

I
: Ma trận đơn vị.

1
A
: Ma trận nghịch đảo của ma trận
A
.

rank A
: Hạng của ma trận
A
.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

1
LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học ứng
dụng quan trọng của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Lý thuyết điều
khiển được khởi xướng bởi những ý tưởng và kết quả quan trọng của nhà toán
học R. Kalman từ những năm 60, trong đó đã chứng minh một điều kiện đại
số về tính điều khiển được hệ tuyến tính đơn giản.
Trải qua hơn một thế kỷ, lý thuyết điều khiển ngày càng phát triển mạnh
mẽ như một chuyên ngành độc lập của toán học ứng dụng với sự kết hợp của
toán học và điều khiển kỹ thuật. Hiện nay lý thuyết này được nhiều nhà toán
học trên thế giới và trong nước quan tâm nghiên cứu như: R. Kalman, RP
Agarwal, V. Korobov, Vũ Ngọc Phát, Nguyễn Khoa Sơn,…và thu được nhiều
kết quả, tính chất quan trọng.
Một trong những vấn đề đầu tiên và quan trọng nhất trong các bài toán
điều khiển hệ thống là tính điều khiển được, tức là xác định điều khiển chấp
nhận được sao cho hệ thống chuyển từ vị trí này tới vị trí khác trong một thời
gian hữu hạn nào đó. Bài toán điều khiển được liên quan chặt chẽ đến các bài
toán khác như bài toán điều khiển tối ưu, bài toán ổn định và ổn định hóa, bài
toán quan sát được,…
Như chúng ta biết công cụ chính để nghiên cứu những vấn đề trong lý
thuyết điều khiển toán học là những mô hình và các phương pháp toán học
được ứng dụng để giải quyết những vấn đề định tính của các hệ thống điều
khiển. Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu các mô hình động

lực mô tả bằng các hệ phương trình tuyến tính có cấu trúc đơn giản. Luận văn
giới thiệu một cách tổng quan các bài toán điều khiển được các hệ động lực
mô tả bởi phương trình điều khiển với thời gian liên tục và rời rạc khác nhau.
Nội dung luận văn gồm 36 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

2
Chương 1: Cơ sở toán học.
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về hệ
phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, các bài toán điều
khiển được đối với hệ điều khiển tuyến tính liên tục. Cuối chương, chúng tôi
trình bày các bài toán điều khiển được đối với hệ điều khiển với thời gian rời
rạc.
Chương 2: Bài toán điều khiển được hệ phương trình vi phân tuyến tính.
Trong chương này, chúng tôi trình bày các điều kiện đủ về tính điều
khiển được các hệ phương trình vi phân tuyến tính và một số ví dụ minh họa.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn chân thành nhất đến
GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, người thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong
suốt quá trình làm luận văn. Đồng thời, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới
các thầy cô ở khoa Toán, khoa Sau đại học, trường Đại học Sư Phạm – Đại
học Thái Nguyên, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo điều kiện giúp đỡ,
chỉ bảo tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu tại trường. Cuối cùng tôi xin
cảm ơn những người thân, bạn bè, đồng nghiệp, những người luôn ủng hộ,
động viên và là chỗ dựa tinh thần cho tôi trong suốt quá trình học tập, làm
việc, nghiên cứu cũng như trong cuộc sống.
Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều, nhưng do thời gian thực hiện luận
văn không nhiều, kiến thức và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh

khỏi những hạn chế và sai sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý và
những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.
Tôi xin chân thành cảm ơn!





Số hóa bởi trung tâm học liệu

3
Chƣơng 1
CƠ SỞ TOÁN HỌC

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm toán học cơ sở
về hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, nghiệm của
hệ phương trình vi phân tuyến tính, lý thuyết điều khiển được hệ phương trình
vi phân tuyến tính.

1.1. Hệ phƣơng trình vi phân
1.1.1. Hệ phƣơng trình vi phân
Xét hệ phương trình vi phân có dạng:

0
0 0 0
( ) ( , ( )), ,
(1.1.1)
( ) , 0,
x t f t x t t t
x t x t



trong đó
()
n
xt R
,
:
nn
f   
, với mỗi
0
tt
.
Hàm khả vi liên tục
()xt
thỏa mãn hệ phương trình
(1.1.1)
được gọi là
nghiệm của hệ phương trình vi phân đó và được ký hiệu là
0
( , )x t x
.
Công thức nghiệm dạng tích phân của hệ
(1.1.1)
là

0
00
( , ) ( , ( )) .

t
t
x t x x f s x s ds

Các định lý sau đây khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương
trình vi phân
(1.1.1)
(xem [2]).
Định lý 1.1.1. (Định lý Picard – Lindeloff)
Xét hệ phương trình vi phân
(1.1.1)
trong đó giả sử
:
n
f I D R

00
,I t t b
liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x:

1 2 1 2
0: ( , ) ( , ) , 0.K f t x f t x K x x t


Số hóa bởi trung tâm học liệu

4
Khi đó, với mỗi
00
( , )t x DR

sẽ tìm được một số
0d
sao cho hệ
phương trình
(1.1.1)
có nghiệm duy nhất trên khoảng
00
,x d x d
. Hay nói
cách khác, qua mỗi điểm
00
( , )t x I D
có một và chỉ một đường cong tích
phân chạy qua.
Định lý 1.1.2. (Định lý Caratheodory)
Giả sử
( , )f t x
là hàm đo được theo
tI
và liên tục theo
xD
. Nếu tồn tại
hàm khả tích
()mt
trên
00
,t t b
sao cho

( , ) ( ), ( , ) ,f t x m t t x I D

thì hệ
(1.1.1)
có nghiệm trên khoảng
00
,tt
nào đó.
Với một số giả thiết thêm trên của hàm
( , )f t x
thì nghiệm
0
( , )x t x
được
xác định trên
0,
(xem [2]) .
Đặc biệt, đối với các hệ phương trình vi phân tuyến tính

( ) ( ) ( ) ( ), 0,x t A t x t g t t


trong đó
( ) , , ( ):
n n n
A t t g tR R R
là các hàm liên tục thì luôn luôn tồn
tại nghiệm
0
( , )x t x
xác định trên toàn khoảng

0,
.
1.1.2. Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính ôtônôm
Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm có dạng :

0 0 0
( ) ( ) ( ), ,
(1.1.2)
( ) , 0,
x t Ax t g t t
x t x t

R

trong đó A là
nn
- ma trận hằng số,
:
n
g RR
là hàm liên tục.
Nghiệm của hệ phương trình được biểu diễn bởi công thức CauChy

0
0
()
()
00
( , ) ( ) , 0.
t

A t t
A t s
t
x t x e x e g s ds t

1.1.3. Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính không ôtônôm
Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có dạng:

Số hóa bởi trung tâm học liệu

5

0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ), ,
(1.1.3)
( ) , 0,
x t A t x t g t t
x t x t

R

trong đó
()At
là
nn
- ma trận các hàm số liên tục trên
R
,
:
n

g RR
là
hàm liên tục.
Nghiệm của hệ phương trình
(1.1.3)
được biểu diễn ma trận nghiệm cơ
bản
( , )ts
của hệ thuần nhất

( ) ( ) ( ), 0, (1.1.4)x t A t x t t


và được cho bởi công thức tích phân

0
00
( ) ( , ) ( , ) ( ) , 0,
t
t
x t t t x t s g s ds t

trong đó
( , )ts
là ma trận nghiệm cơ bản thỏa mãn:

( , ) ( ) ( , ), ,
( , ) .
d
t s A t t s t s

dt
s s I

Định lý 1.1.3.[1]. Cho
( , )ts
là ma trận nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất
(1.1.4). Khi đó
i) Mọi nghiệm của hệ (1.1.2) với
00
()x t x
là

00
( ) ( , ) .x t t t x

ii) Nếu
0
( , )tt
là ma trận nghiệm cơ bản khác của hệ (1.1.2) thì

0 1 0 0
( , ) ( , ) , ,t t t t C t t

trong đó
C
là ma trận hằng số nào đó.
iii) Nếu
C
là ma trận nghiệm cơ bản thì
0

( , )t t C
cũng là ma trận nghiệm
cơ bản.
Chứng minh: i) Suy ra ngay từ công thức nghiệm Cauchy. Để chứng minh
ii) ta ký hiệu
0
( , ) ( )t t t
. Ta đặt

1
1
( ) ( ) ( )t t t
.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

6
Khi đó
()t
là ma trận không suy biến và

1
( ) ( ) ( )t t t
.
Lấy đạo hàm hai vế theo
t
ta có

1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d d d
t t t t t
dt dt dt
.
Vì

11
( ) ( ) ( )
d
t A t t
dt
,

( ) ( ) ( )
d
t A t t
dt
,

1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d d d
t t t t t
dt dt dt


1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )A t t A t t t

11
( ) ( ) ( ) ( ) 0A t t A t t
.
Vậy

( ) 0
d
t
dt
,
hay

()tC
.
Giả sử
0
( , )tt
là ma trận nghiệm cơ bản và C là ma trận hằng số. Khi đó


( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
t C A t t C A t t C
dt
,
tức là
()tC
cũng là ma trận ngiệm cơ bản. Định lý được chứng minh.
Ví dụ 1.1.1. Xét hệ phương trình vi phân (1.1.4)
trong đó

00
()
20
At
t
.
Ta có nghiệm cơ bản
( , )tsf


Số hóa bởi trung tâm học liệu

7

22
10
( , )
1
ts
ts
.
Vậy nghiệm của hệ (1.1.4) xuất phát
0
(0)xx
là

00
( , ) ( ,0)x t x t x

01
2
02
10
1
x
x
t


01
10
2
20
01 02
( , )
( , )
x
x t x
x t x
t x x
.

1.2. Bài toán điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình vi phân
1.2.1. Bài toán điều khiển đƣợc cho hệ liên tục
Xét hệ phương trình vi phân điều khiển:

0
( ) ( , ( ) ( )), 0

(1.2.1)
(0) ,
x t f t x t u t t
xx


trong đó
()
n
xt R
,
( , , )f t x u
thỏa mãn các điều kiện cần thiết để hệ (1.2.1)
luôn có nghiệm. Một hàm véc tơ
2
( ) 0, , , 0
m
u t L s sR
được gọi là
điều khiển chấp nhận được của hệ (1.2.1). Lớp các hàm điều khiển chấp nhận
được ta sẽ ký hiệu là
U
. Khi đó nghiệm của hệ (1.2.1) được xác định bởi

0
0
( ) ( , ( ) ( ))
t
x t x f s x s u s ds
.

Đối với hệ điều khiển tuyến tính:

0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0
(1.2.2)
(0) ,
x t A t x t B t u t t
xx


trong đó
()
n
xt R
- là véc tơ trạng thái,
()ut U
- là véc tơ điều khiển;
nm
,
( ) , ( )
n n n m
A t B tRR
.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

8
Như vậy ứng với điều khiển chấp nhận được
()ut
hệ (1.2.2) luôn có

nghiệm
0
( , , )x t x u
tại thời điểm
t
được cho bởi

00
0
( , , ) ( ,0) ( , ) ( ) ( ) , 0
t
x t x u t x t s B s u s ds t
,
trong đó
( , )ts
là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất

( ) ( ) ( ), 0x t A t x t t

.
Định nghĩa 1.2.1. Cho hai trạng thái
01
,
n
xx R
, cặp
01
( , )xx
được gọi là
điều khiển được sau thời gian

1
0t
, nếu tồn tại một điều khiển chấp nhận
được
()ut
sao cho nghiệm
0
( , , )x t x u
của hệ (1.2.2) thỏa mãn điều kiện

0 0 1 0 1
(0, , ) , ( , , )x x u x x t x u x
.
Định nghĩa 1.2.2. Hệ (1.2.2) được gọi là điều khiển được hoàn toàn
(ĐKĐHT) nếu với bất kỳ hai trạng thái
01
,
n
xx R
sẽ tìm được một thời gian
1
0t
sao cho
01
( , )xx
là điều khiển được sau thời gian
1
t
.
Trong trường hợp tồn tại một lân cận gốc

(0)
n
V R
sao cho hệ (1.2.2) là
điều khiển được hoàn toàn trong
(0)V
, thì hệ được gọi là điều khiển được địa
phương (ĐKĐĐP).
Định nghĩa 1.2.3. Hệ điều khiển (1.2.2) được gọi là đạt được hoàn toàn
(ĐĐHT) nếu với bất kỳ trạng thái
1
n
x R
sẽ tìm được một thời gian
1
0t
sao
cho
1
(0, )x
là điều khiển được sau thời gian
1
t
.
Định nghĩa 1.2.4. Hệ điều khiển (1.2.2) được gọi là điều khiển được hoàn
toàn về 0 (ĐKĐHT 0) nếu với bất kỳ trạng thái
0
n
x R
,tồn tại một thời gian

1
0t
sao cho
0
( ,0)x
là điều khiển được sau thời gian
1
t
.
Một cách hình học, nếu ta định nghĩa tập
0
()
t
xR
là tập hợp tất cả các
trạng thái
n
x R
mà từ đó hệ thống đạt được từ thạng thái
0
x
sau thời gian
1
0t
, tức là ,

Số hóa bởi trung tâm học liệu

9

00
( ) : ( ) , ( , , )
n
t
x x u t x t x u xRRU
.
Khi đó, ta có thể nói hệ (1.2.2) là:
+ ĐKĐHT nếu
00
: ( )
nn
xxRRR
.
+ ĐĐHT nếu
(0)
n
RR
.
+ ĐKĐHT 0 nếu
00
, 0 ( )
n
xxR R
,trong đó ký hiệu

00
0
( ) ( )
t
t

xx

RR

1.2.2. Bài toán điều khiển đƣợc cho hệ rời rạc
Xét hệ điều khiển với thời gian rời rạc

0
( 1) , ( ), ( ) , 0,1,2
(0) ,
x k f k x k u k k
xx

trong đó
( ) , ( )
nm
x k u kRR
.Với dãy điều khiển
( (0), (1), , ( 1), )u u u k

nghiệm của hệ phương trình đã cho được xác định:

0
0
0
(1) (0, , (0))
(2) (1, (0, , (0)), (1))
(3) (2, (1, (0, , (0)), (1)), (2))

x f x u

x f f x u u
x f f f x u u u

Xét hệ phương trình tuyến tính rời rạc

0
( 1) ( ) ( ) ( ) ( ), 0,1,2
(1.2.3)
(0) ,
x k A k x k B k u k k
xx

trong đó
( ) , ( )
nm
x k u kRR
,
( ) , ( )
n n n m
A k B kRR
.Với dãy điều khiển
cho trước
( (0), (1), , ( 1)), ( )
n
u u u k u k R
, nghiệm của hệ phương trình
(1.2.3) được xác định bởi

0
0

10
(0)
(1) (0) (0) (0)
(2) (1) (1) (1) (1) (0) (1) (0) (0) (1) (1)

xx
x A x B u
x A x B u A A x A B u B u


Số hóa bởi trung tâm học liệu

10

1
0
0
( ) ( ,0) ( , 1) ( ) ( )
k
i
x k F k x F k i B i u i
,
trong đó
( , )F k i
là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.2.3) thỏa mãn hệ phương
trình ma trận sau đây

( , ) ( 1) ( 2) ( ), ,
( , ) .
F k i A k A k A i k i

F k k I

Trong trường hợp hệ (1.2.3) là hệ ôtônôm thì ma trận
( , )
ki
F k i A
và
nghiệm
()xk
được cho bởi

1
1
0
0
( ) ( )
k
k k i
i
x k A x A Bu i
.
Ta ký hiệu

( (0), (1), , ( 1))
k km
u u u u k R
.
+ Tập đạt được sau
k
bước:

1
0
( , 1) ( ) ( ): ( )
k
km
k
i
x F k i B i u i u k RR
.
+ Tập điều khiển được về 0 sau
k
bước:

: ( ,0),
kk
x F k x RC
.
Định nghĩa 1.2.5. Hệ (1.2.3) gọi là:
+ Điều khiển được hoàn toàn về 0 (ĐKĐHT 0) nếu
n
R=C
, trong đó
0
k
k

CC
.
+ Đạt được hoàn toàn (ĐĐHT) nếu

n
RR =
, trong đó
0
k
k

RR
.
+ Điều khiển được về 0 địa phương (ĐKĐĐP 0), nếu
0 intC
.
+ Đạt được địa phương (ĐĐĐP), nếu
0 int R
.
Ví dụ 1.2.2. Xét hệ rời rạc

Số hóa bởi trung tâm học liệu

11

2
11
22
( 1) 2 ( ) ( ),
1
( 1) 4 ( ) ( ),
1
x k kx k k u k
x k kx k u k

k

0,1, (1.2.4)k

Cho trước
(0), (1), , ( ), u u u k

Điều kiện ban đầu
12
(0), (0).xx

Ta có

2
20
,.
1
04
1
k
k
AB
k
k

Khi đó nghiệm của hệ (1.2.4) được xác định

11
22
1

2
(1) (0) (0) (0) (0)
(1) (0)
0 0 0
(0)
(1) 0 0 (0) 1
(1)
0
.
(1) (0)
x A x B u
xx
u
xx
x
xu


1
2
1
2
(2) (1) (1) (1) (1)
(2)
2 0 0 1
(1)
(2) 0 4 (0) 1 2
(1)
(2)
.

1
(2)
4 (0) (1)
2
x A x B u
x
u
xu
u
x
x
uu

…







Số hóa bởi trung tâm học liệu

12
Chƣơng 2

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC HỆ PHƢƠNG
TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả cơ sở về tính điều

khiển được của hệ phương trình vi phân tuyến tính thông qua các định lý chọn
lọc đối với các hệ động lực mô tả bởi phương trình điều khiển với thời gian
liên tục. Nội dung chương này là kết quả từ công trình [3,4].

2.1. Bài toán điều khiển đƣợc cho các hệ phƣơng trình vi phân
tuyến tính
Xét một hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính
ôtônôm dạng

0
( ) ( ) ( ), 0,
(2.1.1)
(0) ,
x t Ax t Bu t t
xx


trong đó
( ) , ( )
nm
x t u tRR
,
,AB
là các ma trận hằng số,
,
n n n m
ABRR
.
Đối với hệ (2.1.1), theo công thức nghiệm ta có ma trận nghiệm cơ bản là
( ,0)

At
te
cho nên nghiệm
0
( , , )x t x u
của hệ (2.1.1) sẽ được cho bởi

()
00
0
( , , ) ( ) , 0, (2.1.2)
t
At A t s
x t x u e x e Bu s ds t

Khi đó tập đạt được từ 0 sau thời gian
t
và tập các trạng thái điều khiển
được về 0 sau thời gian
t
được mô tả

()
0
(0) : ( ) , (.)
t
n A t s
tt
x x e Bu s ds uRR R U
.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

13

0
: ( ) , (.)
t
n As
t
x x e Bu s ds uR UC
.
Chúng ta sẽ bắt đầu bằng một kết quả cơ sở đầu tiên về tính điều khiển
được cho hệ điều khiển tuyến tính dừng.
Định lý sau đây sẽ cho ta điều kiện cần và đủ để hệ (2.1.1) là điều khiển
được hoàn toàn.
Định lý 2.1.1. (Tiêu chuẩn hạng Kalman): Hệ tuyến tính (2.1.1) là điều khiển
được hoàn toàn (ĐKĐHT) khi và chỉ khi

1
, , , . (2.1.3)
n
rank B AB A B n

Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử phản chứng rằng hệ (2.1.1) là ĐKĐHT
nhưng điều kiện hạng (2.1.3) không thỏa mãn, tức là

1
, , , .
n

rank B AB A B n

Khi đó sẽ tìm được véc tơ
,0
n
vvR
sao cho

1
' , , , 0
n
v B AB A B
.
Từ đó ta có

1
' ' ' 0
n
v B v AB v A B
.
Sử dụng định lý Cayley – Hamilton ta được

1
10
( ) 0
nn
n
p A A a A a I
,
cho nên

1
10
nn
n
A a A a I
.
Nhân từ bên trái với
B
ta có

1
10
nn
n
A B a A B a B
.
Nhân vô hướng hai vế phương trình ma trận trên với véc tơ
,0
n
vvR

ta có
'0
n
v A B
. Lý luận tương tự, ta có

' 0, 0,1,2 (2.1.4)
nk

v A B k


Số hóa bởi trung tâm học liệu

14
Mặt khác theo khai triển hàm số
At
e
, với mọi
0t
, ta có

2
2
' ' ' ' ' (2.1.5)
2! !
n
At n
tt
v e B v B tv AB v A B v A B
n

Từ điều kiện (2.1.4) suy ra
' 0 0
At
v e B t
. Theo giả thiết hệ là
ĐKĐHT, và từ nhận xét hệ là ĐKĐHT 0, tức là tồn tại thời gian
1

0t
và điều
khiển chấp nhận được
1
()
t
ut U
sao cho

1
As
0
()
t
x e B u s ds
.
Nhân vô hướng hai vế bất đẳng thức trên với véc tơ
v
và áp dụng (2.1.5)
ta có

,0vx
.
Vì
x
là véc tơ tùy ý nên
0v
, suy ra mâu thuẫn với điều kiện
0v
. Vậy

điều phản chứng là vô lý, ta có điều kiện hạng (2.1.3).
Điều kiện đủ: Bây giờ ta giả sử điều kiện hạng (2.1.3) thỏa mãn. Trước
tiên ta chứng minh hệ (2.1.1) đạt được hoàn toàn sau thời gian
1
0t
nào đó,
tức là

1
1
0: . (2.1.6)
n
t
t RR

Giả sử phản chứng rằng điều này không xảy ra, hay là
,0
n
t
tRR
.
Cố định một thời gian
1
0t
bất kỳ. Vì
1
t
R
là ảnh của ánh xạ tuyến tính liên
tục

11
:
n
tt
L RU
xác định bởi
1
1
()
0
()
t
A t s
t
L u e B u s ds
qua một không gian
1
21
[0, ],
m
t
LtRU
nên
1
t
R
là một không gian con trong
n
R
.Vì

1
n
t
RR
nên
sẽ tìm được véc tơ
,0
n
vvR
sao cho

1
' 0,
t
v x x R
.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

15
Theo định nghĩa về tập đạt được của hệ sau thời gian
1
t
, ta có

1
1
1
()
0

' ( ) 0, (.)
t
A t s
t
v e B u s ds u U
.
Vì hàm dưới dấu tích phân liên tục theo
1
[0, ]st
và tích phân triệt tiêu
với mọi
1
()
t
ut U
nên

1
()
1
' 0, [0, ]. (2.1.7)
A t s
v e B s t

Trong (2.1.7) đặt
1
st
ta được
'0vB
. Đạo hàm hai vế theo

1
[0, ]st
sau
đó lại cho
1
st
ta được
'0v AB
. Tiếp tục lấy đạo hàm của biểu thức
1
()
'0
A t s
v Ae B
theo s và cho
1
st
, ta được
2
'0v A B
. Kéo dài quá trình
tương tự đến bậc
n
,ta có
1
'0
n
v A B
, hay là

1
' , , , 0
n
v B AB A B
.
Đẳng thức trên cho ta điều kiện

1
, , , ,
n
rank B AB A B n

vì
'0v
, điều mâu thuẫn với điều kiện (2.1.3) cho ta khẳng định (2.1.6). Bây
giờ việc chứng minh được hoàn thành như sau: Với bất kỳ hai trạng thái
01
,
n
xx R
, đặt véc tơ
1 1 0
a x at x
, trong đó
1
0t
được xác định từ điều
kiện (2.1.5). Vì hệ là ĐĐHT sau thời gian
1
t

nên sẽ tìm được một điều khiển
1
()
t
ut U
sao cho

1
1
()
0
()
t
A t s
a e B u s ds
,
kéo theo

1
11
()
10
0
()
t
At A t s
x e x e B u s ds
.
Theo định nghĩa về tính ĐKĐHT, hệ đã cho là điều khiển được hoàn
toàn. Định lý được chứng minh.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

16
Như vậy để xét tính điều khiển được của hệ tuyến tính dừng (2.1.1) ta
chỉ cần xác lập ma trận
1
[B,AB, ,A ] ( )
n
B n nm
-
-´
, sau đó kiểm tra hạng
của nó là đủ. Ma trận này được gọi là ma trận điều khiển được và ký hiệu tắt
[A/ B]
.
Ví dụ 2.1.1. Xét tính điều khiển được hệ

1 1 2
2 1 2
22x x x u
x x x



Ta có

22
22
11

A R
và
21
1
0
B R
.
Vì

12
[ / ] 2
01
rank A B rank
,
nên hệ đã cho là ĐKĐHT.
Ví dụ 2.1.2. Xét tính điều khiển được hệ

11
2 1 2 1
3 2 3 2
2
3 4 2
xx
x x x u
x x x u




Ta có

33
1 0 0
1 2 0
034
A R
và
32
00
10
02
B R
.
Vì

0 0 0 0 0 0
[ / ] 1 0 2 0 4 0 2
0 2 3 8 18 32
rank A B rank
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
==
÷

ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø
,
nên hệ đã cho là không ĐKĐHT.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

17
Bây giờ ta xét tính điều khiển được cho hệ phương trình vi phân tuyến
tính không ôtônôm

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0 (2.1.8)x t A t x t B t u t t


trong đó
( ), ( )A t B t
là các ma trận hàm liên tục.
Ma trận tích phân điều khiển được
t
L
là ma trận
()nn´
chiều được xác

định bởi

0
( , ) ( , )
t
t
L t s BB t s dsff
¢¢
=
ò
.
Định lý sau đây cho ta cách xác định cụ thể điều khiển chấp nhận được
()ut
mà nhờ đó hệ thống chuyển từ trạng thái này đến trạng thái khác.
Định lý 2.1.2. Hệ (2.1.8) là điều khiển được hoàn toàn sau thời gian
0T >

khi và chỉ khi ma trận
T
L
là không suy biến.
Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử hệ (2.1.8) là ĐKĐHT, nhưng
T
L
là
ma trận suy biến với
0T >
. Trước hết với véc tơ
n
x Î R

và vì ma trận
T
L
là
đối xứng nên ta có thể xét dạng toàn phương sau

0
( , ) ( , ) ,
T
t
x L x T s BB T s x x ds


2
0
( , ) . (2.1.9)
T
B T s x ds

Vì theo giả thiết phản chứng
T
L
là ma trận suy biến nên có một véc tơ
n
x R
,
0x
sao cho
0
T

Lx=
.Từ (2.1.9) ta có

2
0
( , ) 0
T
t
x L x B T s x ds
.
Từ đó suy ra

( , ) 0B T s xf
¢¢
=
với mọi
[0, ]sTÎ
.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

18
Mặt khác vì hệ (2.1.8) là ĐKĐHT nên hệ là ĐĐHT sau thời gian
0T >
,
cho nên sẽ tồn tại một điều khiển chấp nhận được
()ut Î U
sao cho

0

( , ) ( )
T
x T s Bu s dsf=
ò
.
Nhân cả hai vế đẳng thức trên với
0x
, ta có

2
00
( , ) ( ), ( ), ( , ) 0
TT
x T s Bu s x ds u s B T s x ds
.
Điều này dẫn tới mâu thuẫn vì
0x
.
Điều kiện đủ: Giả sử ma trận
T
L
không suy biến với
0T >
nào đó. Như
vậy ma trận
T
L
có ma trận nghịch đảo
1
T

L
-
.Với hai trạng thái tùy ý
0, 1
n
xx R
ta xác định được điều khiển chấp nhận được
()ut Î U
như sau

1
01
( ) ( , ) ( ( ,0) ). (2.1.10)
T
u t B T t L T x x

trong trường hợp
()ut
xác định theo (2.1.10) thì dễ kiểm tra được nó là điều
khiển chấp nhận được chuyển từ trạng thái
0
x
tới
1
x
.

1
0 0 0 1
0

( , , ) ( ,0) ( , ) ( , ) [ ( ,0) ]
T
T
x T x u T x T s BB T s L T x x ds


1
0 0 1 1
( ,0) [ ( ,0) ]
T
T
T x L L T x x x
.
Định lý được chứng minh.
Ví dụ 2.1.3. Xét hệ phương trình vi phân

1
21
2
xu
x tx



Ta có

00
()
20
At

t
và
1
()
0
Bt
.
Tìm ma trận nghiệm cơ bản
( , )tsf
của hệ

Số hóa bởi trung tâm học liệu

19

12
34
( , )ts
.
Ta có

12
3 4 1 2
0 0 0 0
( , )
2 0 2 2
( , )
d
ts
t t t

dt
s s I
ff
f
f f f f
f
ì
æ öæ ö æ ö
ï
÷ ÷ ÷
ï
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ï ç ç ç
==
÷ ÷ ÷
ç ç ç
ï
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
í
è øè ø è ø
ï
ï
=
ï
ï
î

suy ra
1 1 2 2
,ccff==
.
Vì
11
22
( , ) 1 1
( , ) 0 0
s s c
s s c
f
f
ì
ï
= Þ =
ï
í
ï
= Þ =
ï
î

44
c
,
4
( , ) 1ss
suy ra
4

1c
.
Tìm
3
( , )ts

Ta có

3
3
( , ) 2
( , ) 0
t s t
ss

suy ra
22
3
( , ) 2
s
t s sds t s
.
Ma trận nghiệm cơ bản
( , )tsf
của hệ

22
10
( , )
1

ts
ts
,
do đó ma trận tích phân điều khiển được
1
1
11
0
( , ) '( , )
t
t
L t s BB t s ds


1
3
11
35
11
2
3
28
3 15
t
tt
L
tt
.
Nhận thấy rằng
1

0t
,
1
t
L
là ma trận không suy biến.
Hệ đã cho là ĐKĐHT theo định lý 2.1.2. Với các trạng thái
0
(0,1),x


1
(0,0)x
thì điều khiển chấp nhận được
()ut
được xác định

Số hóa bởi trung tâm học liệu

20

1
1
1 1 0 1
( ) ( , ) ( ( ,0) )
t
u t B t t L t x x


22

1
5
1
45 1
3
4
tt
t

sẽ chuyển trạng thái
0
x
tới 0 sau thời gian
1
0t
.
Ví dụ 2.1.4. Xét hệ phương trình vi phân

1
21
3
xu
x tx



Ta có

00
()

30
At
t
và
1
()
0
Bt
.
Dễ tìm được ma trận nghiệm cơ bản
( , )tsf
của hệ

22
10
( , )
3
1
2
ts
ts
,
do đó ma trận tích phân điều khiển được
1
1
11
0
( , ) '( , )
t
t

L t s BB t s ds
là

1
3
11
35
11
6
5
t
tt
L
tt
.
Nhận thấy rằng
1
0t
,
1
t
L
là ma trận không suy biến.
Hệ đã cho là ĐKĐHT theo định lý 2.1.2. Với các trạng thái
01
(0,1), (0,0)xx
thì điều khiển chấp nhận được
()ut
được xác định

1
1
1 1 0 1
( ) ( , ) ( ( ,0) )
t
u t B t t L t x x


22
1
5
1
15 1
3
2
tt
t

sẽ chuyển trạng thái
0
x
tới 0 sau thời gian
1
0t
.