Bài toán quy hoạch phân tuyến tính luận án thạc sĩ

Số hóa bởi trung tâm học liệu


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC





NGUYỄN VĂN HÙNG




BÀI TOÁN QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH








LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC



NGUYỄN VĂN HÙNG



BÀI TOÁN QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH




Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.01.12



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Người hướng dẫn khoa học:
GS. TS. TRẦN VŨ THIỆU

Thái Nguyên - 2013
Mục lục
Mở đầu 3
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Tập lồi và tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Hàm lồi, hàm lõm và mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Cực tiểu địa phương và tồn cục . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính 15
2.1 Bài tốn và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Dạng chính tắc và dạng tổng qt . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Liên hệ với quy hoạch tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Bài tốn hai biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1 Lời giải tối ưu duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2 Nhiều lời giải tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.3 Lời giải tối ưu hữu hạn và vơ cực . . . . . . . . . . . . 23
2.4.4 Lời giải tối ưu tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Phương pháp giải qui hoạch phân tuyến tính 27
3.1 Biến đổi Charnes và Cooper . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Thuật tốn Gilmore và Gomory . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Thuật tốn Dinkelbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Thuật tốn Béla Martos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.1 Tiêu chuẩn tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.2 Các bước thuật tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Kết luận 44
Tài liệu tham khảo 45
1

Số hóa bởi trung tâm học liệu />LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hồn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Ngun dưới sự hướng dẫn tận tình của Giáo sư Tiến sĩ Trần Vũ Thiệu. Tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và nhiệt tình
của Thầy trong suốt q trình tác giả thực hiện luận văn.
Trong q trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo sư,
Phó Giáo sư cơng tác tại Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin thuộc
Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam, các Thầy, cơ trong Đại học Thái Ngun,
tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và
cơng tác của bản thân. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu
sắc tới các Thầy cơ.
Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học
và Quan hệ quốc tế, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Ngun đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại
trường.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hòa Bình, Ban
giám hiệu, các tổ chức Đồn thể, tổ chun mơn, nhóm tốn trường THPT
Lạc Thủy B cùng bạn bè đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện giúp
đỡ, động viên tác giả hồn thành luận văn này.
Tác giả
Nguyễn Văn Hùng
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />MỞ ĐẦU
Qui hoạch tuyến tính (Linear Programming) là bài tốn tối ưu đơn giản
nhất. Đó là bài tốn tìm cực đại (hay cực tiểu) của một hàm tuyến tính với
các ràng buộc (đẳng thức hay bất đẳng thức) tuyến tính. Qui hoạch tuyến
tính có nhiều ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết và thực tiễn. Phương pháp
đơn hình (do G. B. Dantzing đề xuất năm 1974) là phương pháp quen thuộc,
có hiệu quả để giải bài tốn qui hoạch tuyến tính và các bài tốn được đưa
về qui hoạch tuyến tính.

Mơ hình tốn học của bài tốn qui hoạch tuyến tính (chính tắc) có dạng
như sau:
Tìm các biến số x
j
(j = 1, 2, . . . , n) sao cho
c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ . . . + c
n
x
n
→ min,
với điền kiện
a
i1
x
1
+ a
i2
x
2
+ . . . + a
in
x

n
= b
i
, i = 1, 2, . . . , m,
x
j
≥ 0, j = 1, 2, . . . , n,
trong đó a
ij
, b
i
và c
j
là những hằng số cho trước (m, n ngun dương).
Có thể xét mở rộng bài tốn qui hoạch tuyến tính theo nhiều cách khác
nhau, như xét bài tốn với các biến số bị chặn, bài tốn với hàm mục tiêu
phi tuyến (phân tuyến tính, tồn phương, lồi hay lõm), qui hoạch tuyến tính
với các hệ số mục tiêu hay vế phải ràng buộc phụ thuộc tham số (qui hoạch
tham số), v.v Đáng chú ý là mở rộng trực tiếp sau đây: tìm cực đại (hay
cực tiểu) của một hàm phân thức tuyến tính (tỉ số của hai hàm tuyến tính)
với các ràng buộc (đẳng thức hay bất đẳng thức) tuyến tính. Bài tốn mở
rộng này gọi là qui hoạch hypecbolic, hay qui hoạch phân tuyến tính (Linear-
Fractional Programming, thường viết tắt là LFP).
Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính nảy sinh từ thực tiễn, khi có nhu cầu
tối ưu hóa hiệu quả của một hoạt động nào đó. Chẳng hạn, cực đại hóa lợi
nhuận thu được của cơng ty trên một đơn vị hao phí lao động, cực tiểu chi
phí sản xuất trên một đơn vị sản phẩm làm ra, cực đại lượng chất dinh dưỡng
thu được trên số tiền bỏ ra mua thực phẩm, v.v Hiện nay, do nguồn tài
ngun thiên nhiên có hạn nên việc sử dụng một tiêu chuẩn cụ thể nào đó
ngày càng trở nên phổ biến. Vì thể ứng dụng qui hoạch phân tuyến tính giải

các bài tốn thực tế về tối ưu hóa hiệu quả hoạt động cũng hữu ích như qui
hoạch tuyến tính.
Luận văn này nhằm mục đích tìm hiểu và trình bày các kết quả đã có về
3
Số hóa bởi trung tâm học liệu />bài tốn qui hoạch phân tuyến tính, một mở rộng trực tiếp của bài tốn qui
hoạch tuyến tính. Đặc biệt là các tính chất đặc thù rất đáng chú ý và các
phương pháp quen thuộc giải bài tốn qui hoạch phân tuyến tính. Luận văn
gồm lời nói đầu, ba chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo.
Chương 1 với tiêu đề "Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số kiến thức về
tập lồi (tập lồi da diện), hàm lồi (hàm lõm), các hàm lồi mở rộng và tính chất
cực trị của các hàm này. Các kiến thức này sẽ được dùng đến khi xét bài tốn
tối ưu với hàm mục tiêu phân tuyến tính, với các ràng buộc tuyến tính.
Chương 2 với tiêu đề "Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính" đề cập tới bài
tốn qui hoạch phân tuyến tính, đó là bài tốn tìm cực đại (hay cực tiểu) của
một hàm phân thức tuyến tính (tỉ số của hai hàm tuyến tính) với các ràng
buộc (đẳng thức hay bất đẳng thức) tuyến tính. Hàm phân thức có tính chất
đơn điệu (tăng hoặc giảm) theo từng phương và cực trị địa phương ln là
cực trị tồn cục. Từ đó cực trị của hàm phân thức trên một đa diện lồi ln
đạt tại một đỉnh của nó. Phần đầu nêu nội dung và ý nghĩa thực tiến của
bài tốn, các dạng hay gặp của bài tốn và nêu mối liên hệ giữa bài tốn qui
hoạch phân tuyến tính và bài tốn qui hoạch tuyến tính. Cuối chương, xét
tính chất nghiệm của bài tốn hai biến số.
Chương 3 với tiêu đề "Phương pháp giải qui hoạch phân tuyến tính" đề
cập tới các phương pháp tiêu biểu giải bài tốn qui hoạch phân tuyến tính.
Khi tập ràng buộc của bài tốn là tập đa diện lồi (tập lồi đa diện bị chặn),
thuật tốn Charnes và Cooper (1962) đưa về giải bài tốn quy hoạch tuyến
tính tương đương. Tiếp đó là thuật tốn Gilmore và Gomory (1960), chuyển
từ đỉnh nọ tới đỉnh kia của đa diện cho đến khi đạt tới đỉnh tối ưu và thuật
tốn Dinketbach (1962) dựa trên qui hoạch tham số. Cuối chương, xét thuật
tốn kiểu đơn hình của Béla Martos (1960).

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn có những
thiếu sót nhất định, kính mong q thầy cơ và các bạn đóng góp ý kiến để
tác giả tiếp tục hồn thiện luận văn này.
4
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về tập lồi, tập lồi đa diện, hàm
lồi (hàm lõm) và các mở rộng, tính chất cực trị của các hàm này. Các kiến
thức này sẽ cần đến khi xét bài tốn tối ưu với hàm mục tiêu phân tuyến tính
(tỉ số của hai hàm tuyến tính) và với các ràng buộc tuyến tính. Nội dung của
chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [2], [4] và [5].
1.1 Tập lồi và tập lồi đa diện
Tập lồi là một khái niệm quan trọng được dùng rộng rãi trong tối ưu hóa.
Tập lồi có nhiều tính chất đáng chú ý, đặc biệt là tập lồi đa diện.
Định nghĩa 1.1. Tập con C trong R
n
được gọi là một tập lồi nếu nó chứa
trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó. Nói cách khác, tập C là lồi nếu
λa + (1 − λ)b ∈ C với mọi a, b ∈ C và mọi 0 ≤ λ ≤ 1. Nói riêng tập rỗng,
tập gồm duy nhất một phần tử và tồn bộ khơng gian R
n
là các tập lồi.
Ví dụ 1.1. Các tập sau đây đều là các tập lồi:
a) Tập afin, tức là tập hợp chứa trọn đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ
thuộc nó.
b) Siêu phẳng, tức là tập có dạng H = {x ∈ R
n
: a
T
x = α, a ∈ R

n
\{0}, với
α ∈ R}
c) Các nửa khơng gian đóng H
1
= {x ∈ R
n
: a
T
x ≤ α}, H
2
= {x ∈ R
n
:
a
T
x ≥ α}
d) Các nửa khơng gian mở K
1
= {x ∈ R
n
: a
T
x < α}, K
2
= {x ∈ R
n
:
a
T

x > α}
e) Hình cầu đóng B(a,r)={x ∈ R
n
: x − a ≤ r}, (a ∈ R
n
và với r > 0
cho trước)
5
Số hóa bởi trung tâm học liệu />• Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy ra một số tính chất đơn giản sau đây:
a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là một tập lồi (nhưng hợp khơng đúng!)
b) Tổng của hai tập lồi và hiệu của hai tập lồi cũng là các tập lồi.
c) Nếu C ⊂ R
m
, D ⊂ R
n
thì tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} là tập
lồi trong R
m+n
(Có thể mở rộng cho tích nhiều tập lồi).
d) Tập M là một tập afin khi và chỉ khi M = a + L với a ∈ M và L là một
khơng gian con, gọi là khơng gian con song song với M, hay tương đương:
M là một tập afin khi và chỉ khi M là tập nghiệm của một hệ phương trình
tuyến tính, tức có biểu diễn M = {x ∈ R
n
: Ax = b, A ∈ R
m×n
, b ∈ R
m
}.
Giao của bất kỳ các tập afin là tập afin.

Định nghĩa 1.2.
a) Điểm x ∈ R
n
có dạng x = λ
1
a
1
+ λ
2
a
2
+ . . . + λ
k
a
k
với a
i
∈ R
n
,
λ
i
≥ 0, λ
1
+ λ
2
+ . . . λ
k
= 1, gọi là một tổ hợp lồi của các điểm a
1

, a
2
, . . . , a
k
.
b) Điểm x ∈ R
n
có dạng x = λ
1
a
1
+ λ
2
a
2
+ . . . + λ
k
a
k
với a
i
∈ R
n
,
λ
1
+ λ
2
+ . . . λ
k

= 1, gọi là một tổ hợp afin của các điểm a
1
, a
2
, . . . , a
k
.
c) Điểm x ∈ R
n
có dạng x = λ
1
a
1
+ λ
2
a
2
+ . . . + λ
k
a
k
với a
i
∈ R
n
,
λ
i
≥ 0, gọi là một tổ hợp tuyến tính khơng âm hay tổ hợp nón của các điểm
a

1
, a
2
, . . . , a
k
.
Định nghĩa 1.3. Cho E là một tập bất kỳ trong R
n
.
a) Giao của tất cả các tập afin chứa E gọi là bao afin của E, kí hiệu là
affE. Đó là tập afin nhỏ nhất chứa E.
b) Giao của tất cả các tập lồi chứa E gọi là bao lồi của E, ký hiệu là convE.
Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa E.
Định nghĩa 1.4.
a) Thứ ngun (hay số chiều) của một tập afin M, ký hiệu là dimM, là thứ
ngun (số chiều) của khơng gian con song song với nó. Quy ước dimφ = −1.
b) Thứ ngun (hay số chiều) của một tập lồi C, ký hiệu dimC, là thứ
ngun hay số chiều của bao afin affC của nó. Một tập lồi C trong R
n
gọi là
có thứ ngun đầy đủ nếu dimC = n.
Tập lồi đa diện là một dạng tập lồi có cấu trúc đơn giản và rất hay gặp
trong lý thuyết tối ưu tuyến tính.
Định nghĩa 1.5. Một tập lồi mà là giao của một số hữu hạn các nửa khơng
gian đóng gọi là một tập lồi đa diện (polyhedral convex set). Nói cách khác,
đó là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính.
a
i1
x
1

+ a
i2
x
2
+ . . . + a
in
x
n
≤ b
i
, i = 1, 2, . . . , m.
6
Số hóa bởi trung tâm học liệu />nghĩa là tập các x ∈ R
n
nghiệm đúng Ax ≤ b với A = (a
ij
) ∈ R
m×n
,
b = (b
1
, . . . , b
m
)
T
Nhận xét 1.1. Do một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn tương đương
bằng hai bất phương trình tuyến tính, nên tập nghiệm của một hệ phương trình
và bất phương trình tuyến tính cũng là một tập lồi đa diện:
a
i1

x
1
+ a
i2
x
2
+ . . . + a
in
x
n
= b
i
, i = 1, 2, . . . , p,
a
i1
x
1
+ a
i2
x
2
+ . . . + a
in
x
n
≤ b
i
, i = p + 1, . . . , m,
Một tập lồi đa diện có thể khơng bị chặn (khơng giới nội). Một tập lồi đa
diện bị chặn còn được gọi là một đa diện lồi (polytope). Các đa giác lồi theo

nghĩa thơng thường trong R
2
là những ví dụ cụ thể về đa diện lồi.
Cho D = {x ∈ R
n
: Ax = b, x ≥ 0}, tức D là tập nghiệm khơng âm của
một hệ phương trình tuyến tính. Theo định nghĩa, D là một tập lồi đa diện.
Tập này khơng chứa trọn đường thẳng nào (do x ≥ 0) nên D có đỉnh. Các
phương cực biên (đã chuẩn hóa) của D là các nghiệm cơ sở của hệ Ay = 0,
e
T
y = 1, y ≥ 0 trong đó e = (1, . . . , 1)
T
.
Ta có định lý biểu diễn sau đây, hay được dùng trong các chứng minh.
Định lý 1.1. Mỗi điểm của tập lồi đa diện D = {x ∈ R
n
: Ax = b, x ≥ 0}
có thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp lồi của một tập hữu hạn các đỉnh của
D cộng với một tổ hợp tuyến tính khơng âm của một tập hữu hạn các phương
cực biên của D.
Ví dụ 1.2. Ví dụ này nhằm minh họa cho cách biểu diễn một điểm thuộc
một tập lồi đa diện dưới dạng một tổ hợp lồi của một tập hữu hạn các đỉnh
cộng với một tổ hợp tuyến tính khơng âm của một tập hữu hạn các phương
cực biên chuẩn hóa, như đã được chứng minh trong Định lý 1.1 .Cho tập lồi
đa diện:
D = {x ∈ R
2
: x
1

+ x
2
≥ 2, x
1
≥ 0, x
2
≥ 0},
như vẽ ở Hình 1.1. Từ hình vẽ này ta thấy
Hình 1.1: Minh họa định lý biểu diễn
7
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Các đỉnh của D gồm có u
1
= (2, 0)
T
và u
2
= (0, 2)
T
.
Các cạnh vơ hạn của D : (x
1
≥ 2, x
2
= 0) và (x
1
= 0, x
2
≥ 2).
Các phương cực biên của D gồm có v
1

= (1, 0)
T
và v
2
= (0, 1)
T
.
Với ví dụ này, Định lý 1.1 nói rằng mỗi điểm x ∈ D có thể viết dưới dạng:
x = α
1

2
0

+ α
2

0
2

+ β
1

1
0

+ β
2

0

1

,
trong đó α
1
+α
2
= 1, α
1
≥ 0, α
2
≥ 0, β
1
≥ 0, β
2
≥ 0. Chẳng hạn, x = (1, 3)
T
có biểu diễn trên với α
1
= 0, α
2
= 1, β
1
= β
2
= 1 hoặc α
1
= α
2
= 0, 5, β

1
= 0,
β
2
= 2 hoặc một tổ hợp lồi bất kỳ của hai biểu diễn này.
1.2 Hàm lồi, hàm lõm và mở rộng
Định nghĩa 1.6.
a) Hàm f : S → [−∞, +∞] xác định trên một tập lồi S ⊆ R
n
gọi là một
hàm lồi trên S nếu với mọi x
1
, x
2
∈ S và mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta có
f[λx
1
+ (1 − λ)x
2
] ≤ λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
)
mỗi khi vế phải xác định, nghĩa là hệ thức trên cần được thỏa mãn trừ khi
f(x
1
) = −f(x
2
) = ±∞ (vì biểu thức +∞; −∞ khơng có nghĩa).

b) Hàm f được gọi là hàm lồi chặt trên S nếu với mọi x
1
, x
2
∈ S, x
1
= x
2
và mọi số thực λ ∈ (0, 1) ta có
f[λx
1
+ (1 − λ)x
2
] < λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
).
Hiển nhiên, một hàm lồi chặt là hàm lồi, nhưng điều ngược lại khơng đúng.
Định nghĩa 1.7.
a) Hàm f gọi là hàm lõm (hàm lõm chặt) trên S nếu −f là hàm lồi (hàm
lồi chặt) trên S.
b) Hàm f gọi là hàm tuyến tính afin (hay đơn giản là hàm afin) trên S nếu
f hữu hạn và vừa lồi, vừa lõm trên S.
Một hàm afin trên R
n
có dạng f(x) = a
T
x + α với a ∈ R
n

, α ∈ R bởi vì
với mọi x
1
, x
2
∈ R
n
và mọi λ ∈ [0, 1] ta có
f[λx
1
+ (1 − λ)x
2
] = λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
)
Hàm tuyến tính là trường hợp riêng của hàm afin, khi α = 0. Tuy nhiên,
hàm afin (nói riêng, hàm tuyến tính) khơng lồi chặt hay lõm chặt.
8
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Nhận xét 1.2. Hàm lồi f : S → [−∞, +∞] có thể mở rộng thành hàm lồi
xác định trên R
n
bằng cách đặt f(x) = +∞ với mọi x /∈ S. Vì vậy để đơn
giản, ta thường xét hàm lồi trên R
n
.
• Sau đây là một số ví dụ quen thuộc về hàm lồi với C ⊆ R
n
là một tập

hợp lồi khác rỗng:
+ Hàm chuẩn Euclid x =

x, x, x ∈ R
n
.
+ Hàm chỉ của C :
δ
C
(x) =

0 khi x ∈ C,
+∞ khi x /∈ C.
+ Hàm tựa của C : s
C
(x) = sup
y∈C
y
T
x (cận trên của x
T
y trên C).
+ Hàm khoảng cách từ điểm x ∈ R
n
tới C : d
C
(x) = inf
y∈C
x − y.
• Bốn phép tốn cơ bản bảo tồn tính lồi của hàm (suy trực tiếp từ định

nghĩa):
a) Nếu f
i
: R
n
→ R, (i = 1, . . . , m) là các hàm lồi thì α
1
f
1
+ . . . + α
m
f
m
lồi với mọi α
i
≥ 0 và lồi chặt nếu ít nhất một trong các hàm f
i
lồi chặt
với α
i
> 0.
b) Nếu f
i
, (i ∈ I) : R
n
→ R là các hàm lồi thì f(x) = sup
i∈I
f
i
(x) là hàm lồi.

c) Nếu A : R
m
→ R
n
là biến đổi tuyến tính và g : R
n
→ R là hàm lồi thì
hàm hợp f(x) = g(Ax) là hàm lồi.
d) Nếu g : D ⊆ R
n
→ R là hàm lồi và h : R → R là hàm lồi khơng giảm
thì hàm hợp f(x) = h(g(x)) là hàm lồi.
Ví dụ 1.3. Theo d) hàm f(x) = c
1
e
g
1
(x)
+ . . . + c
m
e
g
m
(x)
(x ∈ R
n
) lồi nếu với
mọi c
i
≥ 0 và mọi hàm g

i
(x) lồi (chẳng hạn f(x
1
, x
2
) = e
x
1
+x
2
+ 2e
x
1
−x
2
là
hàm lồi).
Định lý sau nêu mối liên hệ đáng chú ý giữa hàm lồi và tập lồi.
Định lý 1.2. Giả sử f : R
n
→ [−∞, +∞] là một hàm lồi trên tồn khơng
gian R
n
và α ∈ [−∞, +∞]. Khi đó các tập mức dưới
C
α
= {x : f(x) < α},
C
α
= {x : f(x) ≤ α}

9
Số hóa bởi trung tâm học liệu />là tập lồi. Tương tự nếu f là một hàm lõm trên R
n
và β ∈ [−∞, +∞] thì các
tập mức trên
D
β
= {x : f(x) > α}, D
β
= {x : f(x) ≥ β}
là tập lồi.
Tuy nhiên, mệnh đề đảo của định lý trên khơng đúng. Sau đây xét một
số mở rộng của hàm lồi.
Định nghĩa 1.8. Một hàm f mà mọi tập mức dưới của nó là tập lồi gọi là
một hàm tựa lồi (quasiconvex function). Một hàm f mà mọi tập mức trên là
tập lồi gọi là một hàm tựa lõm (quasiconcave function). Để ý là f tựa lõm khi
và chỉ khi −f tựa lồi.
Định nghĩa khác (tương đương) về hàm tựa lồi. Cho f : S → R, trong đó
S là một tập lồi khác rỗng trong R
n
. Hàm f được gọi là tựa lồi nếu với mọi
x
1
, x
2
∈ S ta có bất đẳng thức
f[λx
1
+ (1 − λ)x
2

] ≤ max{f(x
1
), f(x
2
)} với mọi λ ∈ (0, 1)
Ví dụ 1.4. Các hàm f(x) = x
3
, f(x) =

| x | trên R là những hàm tựa lồi,
nhưng khơng lồi.
Hàm f được gọi là tựa lõm nếu −f là hàm tựa lồi.
Định nghĩa 1.9. Cho hàm f : S → R với S là một tập lồi khác rỗng trong R
n
.
Hàm f được gọi là tựa lồi chặt (strictly quasiconvex) nếu với mọi x
1
, x
2
∈ S
và f(x
1
) = f(x
2
) ta có
f[λx
1
+ (1 − λ)x
2
] < max{f(x

1
), f(x
2
)} với mọi λ ∈ (0, 1).
Hàm f được gọi là tựa lõm chặt (strictly quasiconcave) nếu −f là tựa lồi chặt.
Nhận xét 1.3. Từ định nghĩa 1.9 trên ta suy ra mọi hàm lồi đều tựa lồi chặt.
Trong lý thuyết tối ưu phi tuyến các hàm tựa lồi chặt (tựa lõm chặt) có vai
trò đặc biệt quan trọng, vì cực tiểu địa phương của hàm tựa lồi chặt (cực đại
địa phương của hàm tựa lõm chặt) trên một tập lồi là cực tiểu (cực đại) tồn
cục, xem Định lý 1.5.
Nhận xét 1.4. Như đã thấy từ Định nghĩa 1.6, một hàm lồi chặt cũng là một
hàm lồi, nhưng một hàm tựa lồi chặt khơng nhất thiết là một hàm tựa lồi, như
chỉ ra ở ví dụ sau đây của Karamardian (1967).
10
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Ví dụ 1.5. (xem [4], tr.140). Hàm
f(x) =

1 khi x = 0,
0 khi x = 0.
tựa lồi chặt theo Định nghĩa 1.9 nhưng khơng tựa lồi, vì với x
1
= 1, x
2
= −1
thì f(x
1
) = f(x
2
) = 0 và
f(

1
2
x
1
+
1
2
x
2
) = f(0) = 1 > max{f(x
1
), f(x
2
)} = 0.
Định nghĩa 1.10. Cho S là một tập lồi mở khác rỗng trong R
n
và giả sử
hàm f : S → R khả vi trên S. Hàm f được gọi là giả lồi (pseudoconvex) nếu
với mọi x
1
, x
2
∈ S mà f(x
1
)
T
(x
2
− x
1

) ≥ 0 ta có f(x
2
) ≥ f(x
1
) hay nói
cách khác, nếu f(x
2
) < f(x
1
) thì f(x
1
)
T
(x
2
− x
1
) < 0. Hàm f được gọi là
giả lõm (pseudoconcave) nếu −f giả lồi.
Định lý 1.3. (xem [4], tr.143). Giả sử S là một tập lồi mở, khác rỗng trong
R
n
và f : S → R là một hàm giả lồi, khả vi trên S. Khi đó, f đồng thời là
hàm tựa lồi và tựa lồi chặt.
1.3 Cực tiểu địa phương và tồn cục
Định nghĩa 1.11. x
∗
∈ S gọi là một điểm cực tiểu địa phương (local minimum)
của f trên S nếu có ε > 0 sao cho f(x
∗

) ≤ f(x) với mọi x ∈ S và x−x
∗
 < ε.
Nếu f(x
∗
) < f(x) với mọi x ∈ S, x = x
∗
và x − x
∗
 < ε thì x
∗
được gọi là
cực tiểu địa phương chặt (strictly local minimum) của f trên S.
Định nghĩa 1.12. x
∗
∈ S gọi là một điểm cực tiểu tồn cục (global minimum)
của f trên S nếu f(x
∗
) ≤ f(x) với mọi x ∈ S. Nếu f(x
∗
) < f(x) với
mọi x ∈ S, x = x
∗
thì x
∗
được gọi là cực tiểu tồn cục chặt (strictly global
minimum) của f trên S.
Các khái niệm cực đại địa phương, cực đại địa phương chặt, cực đại tồn
cục và cực đại tồn cục chặt được định nghĩa tương tự.
Đối với một hàm tùy ý f trên tập S, ta ký hiệu tập tất cả các điểm cực tiểu

(cực đại) tồn cục của f trên tập S là Argmin
x∈S
f(x) ( Argmax
x∈S
f(x)).
Tập {f(x) : x ∈ S} được gọi là miền giá trị của hàm f. Có hai khả năng
xảy ra:
a) Tập {f(x) : x ∈ S} bị chặn dưới nghĩa là có một số α sao cho α ≤ f(x)
với mọi x ∈ S. Trong trường hợp này cận dưới lớn nhất của {f(x) : x ∈
S} là một số thực và được ký hiệu là inf
x∈S
f(x). Chẳng hạn, inf
x∈R
e
x
= 0.
11
Số hóa bởi trung tâm học liệu />b) Tập {f(x) : x ∈ S} khơng bị chặn dưới, tức là tập này chứa các số thực
nhỏ tùy ý. Trong trường hợp này ta viết inf
x∈S
f(x) = −∞.
Định lý sau nêu một số tính chất đặc trưng cơ bản của các hàm lồi.
Định lý 1.4. (Xem [2], tr. 67) Cho S là một tập khác rỗng trong R
n
và
f : R
n
→ R là một hàm lồi. Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên S đều
là điểm cực tiểu tồn cục. Tập tất cả các điểm cực tiểu của f trên S là một
tập lồi.

Tương tự Định lý 1.4: Bất cứ điểm cực đại địa phương nào của một hàm
lõm trên một tập lồi cũng là điểm cực đại tồn cục và tập tất cả các điểm cực
đại của một hàm lõm trên một tập lồi là lồi.
Định lý 1.4 có thể mở rộng cho hàm tựa lồi chặt (xem Định nghĩa 1.9).
Định lý 1.5. Cho S là một tập lồi, khác rỗng trong R
n
và f : R
n
→ R là một
hàm tựa lồi chặt. Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên S đều là điểm cực
tiểu tồn cục.
Chứng minh: Giả sử x ∈ S là một điểm cực tiểu địa phương của f trên
S. Nếu x khơng là cực tiểu tồn cục trên S thì tìm được ˆx ∈ S sao cho
f(ˆx) < f(x). Do S lồi nên λˆx + (1 − λ)x ∈ S với mọi λ ∈ (0, 1). Do x là
cực tiểu địa phương nên f(x) ≤ f[λˆx + (1 − λ)x] với mọi λ ∈ (0, δ), trong
đó δ > 0 đủ nhỏ. Nhưng vì hàm f tựa lồi chặt và f(ˆx) < f(x) nên ta có
f[λˆx + (1 − λ)x] < f(x) với mọi λ ∈ (0, 1). Điều này trái với x là cực tiểu
địa phương và vì thể định lý được chứng minh.
Với hàm lồi chặt ta có tính chất đáng chú ý sau.
Định lý 1.6. Một hàm lồi chặt f trên một tập lồi S có nhiều nhất một điểm
cực tiểu trên S, nghĩa là tập Argmin
x∈S
f(x) gồm nhiều nhất một phần tử.
Chứng minh: Nếu hàm f có hai điểm cực tiểu khác nhau x
1
, x
2
∈ S thì do
tính lồi chặt của f nên
f(

1
2
x
1
+
1
2
x
2
) < f(x
1
) = f(x
2
),
Điều này khơng thể xảy ra.
Ví dụ 1.6. Hàm lồi chặt một biến f(x) = (x − 1)
2
có duy nhất một điểm cực
tiểu x
∗
= 1, trong khi đó hàm lồi chặt f(x) = e
x
+ 1 (x ∈ R) khơng có điểm
cực tiểu nào.
Về cực đại của hàm lồi ta chú ý tới tính chất sau:
12
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Định lý 1.7. Giả sử S là một tập lồi compact trong R
n
và f : S → R là một
hàm lồi. Khi đó, nếu f đạt cực đại trên S thì cực đại sẽ đạt tại một điểm cực

biên của S.
Chứng minh: Trước hết ta chỉ ra rằng hàm f đạt cực đại tại một điểm biên
của S. Giả sử x
∗
∈ S là điểm tại đó f đạt cực đại trên S. Nếu x
∗
khơng phải
là điểm biên của S thì ta đặt
L = {x : x = x
∗
+ λd, λ ∈ R}
là đường thẳng đi qua x
∗
, trong đó d ∈ R
n
là véctơ với các tọa độ dương. Khi
đó, sử dụng tính lồi và tính compact của S, ta thấy rằng tập S ∩ L có dạng
{x
∗
+ λd : λ
1
≤ λ ≤ λ
2
}
với các số λ
2
> 0 và λ
1
< 0 nào đó và véctơ
x = x

∗
+ λ
1
d
là một điểm biên của S. Nếu f(x) < f(x
∗
) thì từ tính lồi của f ta có
f(x
∗
) ≤
λ
2
λ
2
− λ
1
f(x) + (1 −
λ
2
λ
2
− λ
1
)f(x
∗
+ λ
2
d)
<
λ

2
λ
2
− λ
1
f(x
∗
) + (1 −
λ
2
λ
2
− λ
1
)f(x
∗
+ λ
2
d).
Từ đó suy ra f(x
∗
) < f(x
∗
+ λ
2
d). Điều này trái với x
∗
là điểm cực đại
của f trên S và do đó f(x) = f(x
∗

), nghĩa là ta đã chỉ ra rằng cực đại của f
đạt tại điểm biên x ∈ S.
Nếu x là điểm cực biên của S thì định lý được chứng minh xong. Trái lại,
ta xét một siêu phẳng H đi qua x và để S ở một phía của nửa khơng gian
sinh bởi H. Theo giải tích lồi, tương giao T
1
= S ∩ H là một tập lồi compact
và giao này nằm trong tập afin M
1
có thứ ngun (số chiều) n − 1. Hơn nữa,
f đạt cực đại trên T
1
tại x. Lập luận tương tự như trước đây, f cũng đạt cực
đại tại một điểm biên x
1
của T
1
. Nếu x
1
là điểm cực biên của T
1
thì như đã
biết trong giải tích lồi, x
1
cũng sẽ là một điểm cực biên của S và định lý được
chứng minh. Nếu trái lại (x
1
khơng phải là điểm cực biên của T
1
) thì ta xem

M
1
như khơng gian (n − 1) chiều và xây dựng T
2
là giao của T
1
với một siêu
phẳng của T
1
đi qua M
1
trong x
1
và để T
1
ở một phía của nửa khơng gian
tạo bởi siêu phẳng đó. Siêu phẳng này có số chiều bằng (n − 2). Lặp lại q
trình này nhiều nhất n lần, cho đến khi nhận được tập T
n
gồm duy nhất một
phần tử. Đó là điểm cực biên của T
n
, do đó là điểm cực biên của T
n−1
,. . . ,
bằng cách áp dụng nhiều lần suy luận này ta thấy đó cũng là điểm cực biên
của S. Định lý được chứng minh.
13
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Định lý sau cho thấy cực đại của một hàm tựa lồi trên mỗi tập lồi đa diện
bị chặn (tức đa diện lồi) đạt được tại một đỉnh của đa diện lồi đó.

Định lý 1.8. Giả sử S là một tập lồi đa diện bị chặn trong R
n
và f : S → R
là hàm tựa lồi và liên tục trên S. Khi đó, f đạt cực đại trên S tại một đỉnh
của S.
Chứng minh: Do hàm f liên tục trên tập compact S nên f phải đạt cực
đại trên S, chẳng hạn tại điểm x
∗
∈ S. Nếu tồn tại x ∈ S với f(x) = f(x
∗
)
thì định lý được chứng minh. Trái lại, giả sử x
1
, . . . , x
k
là các đỉnh của S và
f(x
i
) < f(x
∗
) với mọi i = 1, . . . , k. Tương tự Định lý 1.1, ta có biểu diễn
x
∗
=
k

i=1
λ
i
x

i
với mọi λ
i
≥ 0, i = 1, . . . , k và
k

i=1
λ
i
= 1.
Do f(x
∗
) > f(x
i
) với mọi i = 1, . . . , k nên
f(x
∗
) > max
1≤i≤k
f(x
i
) = α. (1.1)
Xét tập S
α
= {x : f(x) ≤ α}. Để ý là x
i
∈ S
α
với mọi i = 1, . . . , k và theo
giả thiết f tựa lồi nên S

α
là một tập lồi. Do đó x
∗
=
k

i=1
λ
i
x
i
∈ S
α
. Suy ra
f(x
∗
) ≤ α, trái với (1.1). Mâu thuẫn này chứng tỏ f(x
∗
) = f(x
i
) với một
đỉnh x
i
nào đó của S.
Tóm lại, chương này đã nhắc lại kiến thức cần thiết về tập lồi, tập lồi đa
diện và các tính chất của chúng; hàm lồi, hàm lõm và một số mở rộng của các
hàm này, cùng các tính chất cơ bản. Cuối chương nêu một số tính chất cực
trị đáng chú ý của các hàm này. Các kiến thức này sẽ được dùng đến ở các
chương sau, khi xét lý thuyết và thuật tốn giải các bài tốn tối ưu với hàm
mục tiêu là tỉ số của hai hàm tuyến tính.

14
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 2
Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính
Chương này xét bài tốn tối ưu với hàm mục tiêu là tỉ số của hai hàm
tuyến tính (hàm phân tuyến tính) và với các ràng buộc (đẳng thức hay bất
đẳng thức) tuyến tính. Các bài tốn như thế gọi là bài tốn qui hoạch phân
tuyến tính. Phần đầu trình bày nội dung và ý nghĩa thực tiễn của bài tốn,
các dạng hay gặp của bài tốn và nêu mối quan hệ giữa bài tốn qui hoạch
phân tuyến tính và bài tốn qui hoạch tuyến tính. Cuối chương, xét tính chất
nghiệm của bài tốn với hai biến số. Nội dung của chương được tham khảo
chủ yếu từ các tài liệu [3], [4] và [6].
2.1 Bài tốn và tính chất
Nhà tốn học Hung-ga-ri Béla Martos (1960) đã nêu ra và nghiên cứu bài
tốn sau đây, gọi là bài tốn qui hoạch hypecbolic, trong tài liệu tiếng Anh
gọi là bài tốn qui hoạch phân tuyến tính. Ở dạng chung nhất, bài tốn này
được phát biểu như sau.
Tìm các biến số x
1
, x
2
, . . . x
n
, sao cho
(LF P ) f(x) =
p(x)
q(x)
=
n

j=1

p
j
x
j
+ α
n

j=1
q
j
x
j
+ β
→ min (hay max) (2.1)
với điều kiện
















n

j=1
a
ij
x
j
≤ b
i
, i = 1, 2, . . . , m
1
,
n

j=1
a
ij
x
j
≥ b
i
, i = m
1
+ 1, m
1
+ 2, . . . , m
2
,
n


j=1
a
ij
x
j
= b
i
, i = m
2
+ 1, m
2
+ 2, . . . , m,
(2.2)
15
Số hóa bởi trung tâm học liệu />x
j
≥ 0, i = 1, 2, . . . , m, (2.3)
trong đó p = (p
1
, p
2
, . . . , p
n
)
T
, q = (q
1
, q
2
, . . . , q

n
)
T
là các véctơ cột n−chiều,
b = (b
1
, b
2
, . . . , b
m
)
T
là các véctơ cột m−chiều, A = (a
ij
)
m×n
là ma trận cấp
m × n, α, β là hai số thực và m
1
≤ m
2
≤ m, n
1
≤ n. Ký hiệu S là tập lồi đa
diện xác định bởi (2.2) và (2.3).
Ta giả thiết q(x) = 0 với mọi x = (x
1
, x
2
, . . . , x

n
) ∈ S. Nếu q(x) có dấu
khác nhau, tức có x
1
, x
2
∈ S sao cho q
T
x
1
+ β > 0 và q
T
x
2
+ β < 0 thì do
hàm q(x) liên tục nên tồn tại x ∈ [x
1
, x
2
], tức x ∈ S, sao cho q(x) = 0. Vì
thế, khơng giảm tổng qt, ta có thể giả thiết q(x) > 0 với mọi x ∈ S. Trường
hợp q(x) < 0, nhân cả tử số p(x) và mẫu số q(x) của hàm mục tiêu f(x) với
(−1), sẽ có q(x) > 0. Hơn nữa, ta giả thiết m ≤ n và hệ (2.2) độc lập tuyến
tính, nghĩa là ma trận A = (a
ij
)
m×n
có hạng bằng m (rank A = m).
Có thể giải thích ý nghĩa thực tiễn của bài tốn qui hoạch phân tuyến tính
như sau: Giả sử một xí nghiệp có thế dùng m loại vật tư hiện có để sản xuất

ra n loại sản phẩm. Gọi b
i
là lượng vật tư i, (i = 1, 2, . . . , m) mà xí nghiệp
có và a
ij
là định mức tiêu hao vật tư i để sản xuất một đơn vị sản phẩm j,
(j = 1, 2, . . . , n). Mỗi đơn vị sản phẩm j sản xuất ra sẽ cho lợi nhuận là p
j
và
tốn chi phí sản xuất là q
j
, α là lợi nhuận cố định thu được và β là chi phí cố
định cần bỏ ra (α, β khơng phụ thuộc số lượng sản phẩm sản xuất). Hỏi với
số vật tư đã có xí nghiệp nên sản xuất bao nhiêu đơn vị sản phẩm mỗi loại
sao cho hiệu quả sản xuất của xí nghiệp (đo bằng tỉ số giữa tổng lợi nhuận
thu được trên tổng chi phí sản xuất) là lớn nhất?
Sau đây là một số khái niệm và định nghĩa cần thiết.
Trong bài tốn (2.1)−(2.3), f(x) xác định theo (2.1) được gọi là hàm mục
tiêu (objective function), các (bất) phương trình (2.2) gọi là các ràng buộc
chính (main constraints) và (2.3) gọi là các ràng buộc khơng âm hay các hạn
chế về dấu (sign restrictions). Tập S được gọi là tập ràng buộc hay miền chấp
nhận được (feasible set) của bài tốn.
Véctơ x = (x
1
, . . . , x
n
)
T
thỏa mãn các ràng buộc (2.2) − (2.3) gọi là một
phương án hay lời giải chấp nhận được (feasible solution) của bài tốn, một

phương án mà đồng thời là đỉnh của tập ràng buộc S gọi là một phương án
cực biên hay lời giải cơ sở (basic feasible solution) của bài tốn. Phương án
đạt giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của hàm mục tiêu (2.1) được gọi là một
phương án tối ưu hay lời giải tối ưu (optimal solution).
Ta nói bài tốn (2.1) − (2.3) là bất khả thi hay khơng chấp nhận được
(infeasible) nếu tập S = ∅, bài tốn gọi là giải được (solvable) nếu tập S = ∅
và hàm f(x) có cận dưới (đối với bài tốn min) hữu hạn trên S. Nếu hàm
mục tiêu f(x) khơng bị chặn dưới trên S thì bài tốn được gọi là khơng bị
chặn (unbounded).
16
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Định lý sau nêu tính chất đơn điệu theo phương của hàm f(x).
Định lý 2.1. f(x) =
p(x)
q(x)
là hàm đơn điệu trên mỗi đoạn thẳng nằm trọn
trong miền chấp nhận được S.
Chứng minh: Lấy hai điểm tùy ý a ∈ S, b ∈ S và tính giá trị hàm f
tại điểm x bất kì trên đoạn thẳng nối a và b, tức là x = λa + (1 − λ)b với
0 ≤ λ ≤ 1. Ta thấy
f(x) =
p[λa + (1 − λ)b]
q[λa + (1 − λ)b]
=
λp(a) + (1 − λ)p(b)
λq(a) + (1 − λ)q(b)
.
Đạo hàm theo λ:
df(x)
dλ
=

1
q
2
(x)
×




p(a) p(b)
q(a) q(b)




=
p(a)q(b) − p(b)q(a)
q
2
(x)
.
Dấu của đạo hàm phụ thuộc dấu của biểu thức [p(a)q(b) − p(b)q(a)]. Vì
thế, khi λ thay đổi trong đoạn [0, 1] thì hàm f(x) hoặc tăng hoặc giảm hoặc
đồng nhất bằng hằng số trên [a, b].
Định lý sau nêu một số tính chất quan trọng khác của hàm mục tiêu.
Định lý 2.2. Giả sử f(x) =
p
T
x + α
q

T
x + β
và S là tập lồi sao cho q
T
x + β = 0
trên tập S. Khi đó, hàm f(x) vừa giả lồi vừa giả lõm trên S.
Chứng minh: Ta để ý rằng hoặc q
T
x+β > 0 với mọi x ∈ S hoặc q
T
x+β < 0
với mọi x ∈ S, vì nếu trái lại sẽ có x
1
∈ S, x
2
∈ S sao cho q
T
x
1
+ β > 0 và
q
T
x
2
+ β < 0, do đó sẽ có q
T
x + β = 0 với x là một tổ hợp lồi của x
1
và x
2

,
trái với giả thiết định lý.
Trước hết ta chứng minh f giả lồi. Thật vậy, giả sử x
1
∈ S, x
2
∈ S thỏa
mãn (x
2
− x
1
)
T
 f(x
1
) ≥ 0. Ta cần chỉ rõ f(x
2
) ≥ f(x
1
). Ta có
f(x
1
) =
(q
T
x
1
+ β)p − (p
T
x

1
+ α)q
(q
T
x
1
+ β)
2
.
Do (x
2
− x
1
)
T
 f(x
1
) ≥ 0 và do (q
T
x
1
+ β)
2
> 0 nên
0 ≤ (x
2
− x
1
)
T

[(q
T
x
1
+ β)p − (p
T
x
1
+ α)q]
= (p
T
x
2
+ α)(q
T
x
1
+ β) − (q
T
x
2
+ β)(p
T
x
1
+ α)
Vì thế, (p
T
x
2

+α)(q
T
x
1
+β) ≥ (q
T
x
2
+β)(p
T
x
1
+α). Nhưng do (q
T
x
1
+β)
và (q
T
x
2
+ β) cùng dương hoặc cùng âm nên chia cả hai vế cho
(q
T
x
1
+ β)(q
T
x
2

+ β) > 0
17
Số hóa bởi trung tâm học liệu />ta được
p
T
x
2
+ α
q
T
x
2
+ β
≥
p
T
x
1
+ α
q
T
x
1
+ β
, tức là f(x
2
) ≥ f(x
1
).
Vì thế, f giả lồi.

Tương tự, ta có thể chứng minh được rằng (x
2
− x
1
)
T
 f(x
1
) ≤ 0 kéo
theo f(x
2
) ≤ f(x
1
). Vì thế, f giả lõm. Định lý được chứng minh.
Từ định lý 2.2 ở trên suy ra các hệ quả đáng chú ý sau về hàm phân tuyến
tính f(x):
1. Do hàm mục tiêu f(x) vừa giả lồi vừa giả lõm nên theo Định lý 1.3,
f(x) cũng đồng thời là hàm tựa lồi, tựa lõm, tựa lồi chặt và tựa lõm chặt.
2. Do hàm mục tiêu f(x) vừa tựa lồi chặt vừa tựa lõm chặt nên theo Định
lý 1.5 điểm cực tiểu (cực đại) địa phương cũng là điểm cực tiểu (cực đại) tồn
cục trên miền chấp nhận được.
3. Hàm mục tiêu f(x) vừa giả lồi vừa giả lõm nên theo Định lý 4.3.8 (xem
[4], tr.207), điểm thỏa mãn điều kiện KKT cho bài tốn cực tiểu cũng là điểm
cực tiểu tồn cục trên miền chấp nhận được. Tương tự, điểm thỏa mãn điều
kiện KKT cho bài tốn cực đại cũng là điểm cực đại tồn cục trên miền chấp
nhận được.
4. Do hàm mục tiêu f(x) tựa lõm (tựa lồi) nên nếu miền chấp nhận được
bị chặn thì theo Định lý 1.8, f(x) đạt cực tiểu (cực đại) tại một đỉnh của
miền chấp nhận được.
Các sự kiện nêu trên về hàm mục tiêu f(x) cho thấy rằng nếu bài tốn qui

hoạch phân tuyến tính (LFP) có lời giải tối ưu thì nó cũng có lời giải cực biên
tối ưu, nghĩa là ta có thể tìm lời giải tối ưu trong số các đỉnh của tập lồi đa
diện S. Do vậy, phương pháp đơn giản là đi từ một đỉnh của S, qua đỉnh kề
nó, cho tới khi gặp đỉnh thỏa mãn điều kiện KKT thì dừng lại và đó là đỉnh
tối ưu.
2.2 Dạng chính tắc và dạng tổng qt
Để tiện cho việc giải tốn, người ta thường xét hai trường hợp riêng sau
đây của bài tốn (2.1) − (2.3).
Dạng chuẩn (standard form). Đó là bài tốn có dạng:
f(x) =
p(x)
q(x)
=
n

j=1
p
j
x
j
+ α
n

j=1
q
j
x
j
+ β
→ min (max)

18
Số hóa bởi trung tâm học liệu />với điều kiện
n

j=1
a
ij
x
j
= b
i
, i = 1, 2, . . . , m,
x
j
≥ 0, j = 1, 2, . . . , n.
Trong bài tốn này mọi ràng buộc chính có dạng đẳng thức và mọi biến
số đều khơng âm, tương ứng với m
1
= m
2
= 0 và n
1
= n trong (2.2), (2.3).
Dạng tổng qt (general form). Đó là bài tốn có dạng:
f(x) =
p(x)
q(x)
=
n


j=1
p
j
x
j
+ α
n

j=1
q
j
x
j
+ β
→ min (max)
với điều kiện
n

j=1
a
ij
x
j
≤ b
i
, i = 1, 2, . . . , m,
x
j
≥ 0, j = 1, 2, . . . , n.
Trong bài tốn này mọi ràng buộc chính đều có dạng bất đẳng thức "≤"

và mọi biến số đều khơng âm, tương ứng với m
1
= m, m
2
= 0 và n
1
= n
trong (2.2) − (2.3).
Dùng các ký hiệu
A
j
= (a
1j
, a
2j
, . . . , a
mj
)
T
, j = 1, 2, . . . , n,
b = (b
1
, b
2
, . . . , b
m
)
T
, A = (A
1

, A
2
, . . . , A
n
),
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
T
, p = (p
1
, p
2
, . . . , p
n
)
T
, q = (q
1
, q
2
, . . . , q
n
)
T
.

ta có thể viết gọn hai bài tốn nêu trên ở dạng rút gọn như sau.
Bài tốn dạng chuẩn:
min{f(x) =
p
T
x + α
q
T
x + β
: Ax = b, x ≥ 0},
Bài tốn dạng tổng qt:
min{f(x) =
p
T
x + α
q
T
x + β
: Ax ≤ b, x ≥ 0}.
Cũng như trong qui hoạch tuyến tính, bằng cách dùng một số phép biến
đổi đơn giản ta có thể đưa bài tốn (2.1) − (2.3) về dạng chuẩn hoặc dạng
tổng qt và cũng có thể chuyển bài tốn từ dạng chuẩn sang dạng tổng qt
19
Số hóa bởi trung tâm học liệu />hoặc ngược lại.
Hơn nữa, do
max
x∈S
f(x) = − min
x∈S
[−f(x)]

nên bài tốn tìm max có thể đưa về bài tốn tìm min và ngược lại. Vì thế,
đơi khi ta chỉ cần xét bài tốn tìm min là đủ.
2.3 Liên hệ với quy hoạch tuyến tính
Rõ ràng là nếu mọi q
j
= 0, (j = 1, 2, . . . , n) và β = 1 thì bài tốn qui
hoạch phân tuyến tính (2.1) − (2.3) trở thành bài tốn qui hoạch tuyến tính:
min{p(x) : x ∈ S}. Vì thế, có thể thấy qui hoạch phân tuyến tính là sự mở
rộng của qui hoạch tuyến tính.
Trong vài trường hợp cá biệt, bài tốn qui hoạch phân tuyến tính có thể
được thay thế bằng bài tốn qui hoạch tuyến tính thích hợp:
1. Nếu q
j
= 0 với mọi j = 1, 2, . . . , n và β = 0 thì hàm mục tiêu f(x) trở
thành hàm tuyến tính
f(x) =
n

j=1
p
j
β
x
j
+
α
β
=
p(x)
β

.
Trong trường hợp này cực tiểu (cực đại) của hàm mục tiêu ban đầu f(x)
được thay bằng cực tiểu (cực đại) của hàm tuyến tính
p(x)
β
trên cùng tập
ràng buộc S.
2. Nếu p
j
= 0 với mọi j = 1, 2, . . . , n và α = 0 thì hàm mục tiêu
f(x) =
p(x)
q(x)
=
α
n

j=1
q
j
x
j
+ β
.
có thể thay bằng hàm q(x). Trong trường hợp này cực tiểu (cực đại) của hàm
mục tiêu ban đầu f(x) được thay bằng
• Cực đại (cực tiểu) của hàm mục tiêu mới q(x) trên tập S nếu α > 0.
• Cực tiểu (cực đại) của hàm mục tiêu mới q(x) trên tập S nếu α < 0.
3. Nếu véctơ p = (p
1

, p
2
, . . . , p
n
)
T
và q = (q
1
, q
2
, . . . , q
n
)
T
phụ thuộc tuyến
tính, tức là có λ = 0 sao cho p = λq thì hàm mục tiêu
f(x) =
p(x)
q(x)
=
n

j=1
λq
j
x
j
+ α
n


j=1
q
j
x
j
+ β
= λ +
α − λβ
n

j=1
q
j
x
j
+ β
20
Số hóa bởi trung tâm học liệu />có thể thay bằng hàm q(x). Rõ ràng trong trường hợp này, cực tiểu (cực đại)
của hàm mục tiêu ban đầu f(x) có thể thay thế bằng
• Cực đại (cực tiểu) của hàm q(x) trên tập S nếu α − λβ > 0.
• Cực tiểu (cực đại) của hàm q(x) trên tập S nếu α − λβ < 0.
Cần chú ý là trong trường hợp α − λβ = 0 thì f(x) = λ, nghĩa là
f(x) = const với mọi x ∈ S. Ta sẽ khơng xét bài tốn như thế, vì nó khơng
có ý nghĩa gì.
Vì vậy, từ đây về sau ta khơng cần xét tới ba trường hợp tầm thường sau:
a) p(x) = const với mọi x ∈ S.
b) q(x) = const với mọi x ∈ S.
c) f(x) = const với mọi x ∈ S.
bởi vì trong các trường hợp này bài tốn qui hoạch phân tuyến tính ban đầu
qui được về bài tốn qui hoạch tuyến tính (hai trường hợp đầu) hoặc thực sự

trở thành vơ nghĩa (trường hợp cuối).
2.4 Bài tốn hai biến số
Xét bài tốn qui hoạch phân tuyến tính hai biến số:
f(x) =
p(x)
q(x)
=
p
1
x
1
+ p
2
x
2
+ α
q
1
x
1
+ q
2
x
2
+ β
→ min(max) (2.4)
với các điều kiện
a
i1
x

1
+ a
i2
x
2
≤ b
i
, i = 1, 2, . . . , m, (2.5)
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0. (2.6)
2.4.1 Lời giải tối ưu duy nhất
Giả sử các ràng buộc (2.5) - (2.6) xác định miền chấp nhận được vẽ ở
Hình 2.1.
Cho γ là một hằng số tùy ý. Với mỗi γ, phương trình f(x) = γ hay
(p
1
− γq
1
)x
1
+ (p
2
− γq
2
)x
2
+ (α − γβ) = 0

biểu thị một đường thẳng, gọi là đường mức mục tiêu, trong mặt phẳng hai
chiều x
1
Ox
2
. Nếu đường mức cắt tập ràng buộc S thì mỗi điểm thuộc phần
21
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Hình 2.1: Lời giải tối ưu duy nhất
chung này là một lời giải chấp nhận của bài tốn và có giá trị hàm mục tiêu
f(x) = γ. Khi thay đổi giá trị γ sẽ biến tồn bộ đường thẳng này thành một
đường thẳng khác mà nó cắt đường trước đó tại tiêu điểm (điểm F trong
Hình 2.1) với tọa độ nghiệm của hệ phương trình

p
1
x
1
+ p
2
x
2
= −α,
p
1
x
1
+ p
2
x
2

= −β,
Nói cách khác, hai đường thẳng xác định bởi phương trình p(x) = 0 và
q(x) = 0 cắt nhau tại tiêu điểm F.
Nếu hai đường thẳng p(x) = 0 và q(x) = 0 cắt nhau thì định thức của hệ
phương trình trên khác 0 và hệ có duy nhất một nghiệm (hai tọa độ của F).
Trái lại, hai đường thẳng p(x) = 0 và q(x) = 0 song song với nhau, nghĩa là
có p = λq. Khi đó định thức của hệ bằng 0 và hệ sẽ khơng có nghiệm. Điều
này cho thấy sẽ khơng có tiêu điểm F và mọi đường mức sẽ song song với
nhau. Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính (2.4) - (2.6) sẽ suy biến thành bài
tốn qui hoạch tuyến tính. Vì thế, trong trường hợp này cực tiểu của hàm
mục tiêu f(x) sẽ được thay bằng cực đại hay cực tiểu của mẫu số q(x) của
nó, tùy thuộc vào dấu của biểu thức α − λβ.
Ta trở lại xét trường hợp hai đường thẳng p(x) = 0 và q(x) = 0 cắt nhau.
Lấy một giá trị γ tùy ý và vẽ đường mức f(x) = γ (xem Hình 2.1). Ta viết
lại phương trình f(x) = γ thành
x
2
=
p
1
− γq
1
p
2
− γq
2
x
1
−
α − γβ

p
2
− γq
2
Trong trường hợp này hệ số góc
k =
p
1
− γq
1
p
2
− γq
2
của đường mức f(x) = γ phụ thuộc giá trị γ của hàm mục tiêu f(x) và là
22
Số hóa bởi trung tâm học liệu />hàm đơn điệu theo γ, bởi vì
dk
dγ
=
q
1
p
2
− q
2
p
1
(p
2

− γq
2
)
2
.
Hơn nữa, dấu của
dk
dγ
khơng phụ thuộc vào γ, vì thế ta có thể viết
sign{
dk
dγ
} = sign{q
1
p
2
− q
2
p
1
} = const.
Điều này có nghĩa là khi quay đường mức mục tiêu quanh tiêu điểm F của
nó theo chiều quay của kim đồng hồ thì giá trị hàm mục tiêu f(x) tăng hay
giảm phụ thuộc vào dấu của biểu thức (q
1
p
2
− p
2
q

1
).
Hình (2.1) minh họa trường hợp khi quay đường mức theo chiều quay của
kim đồng hồ làm tăng giá trị f(x). Khi quay đường mức quanh F tới hai vị
trí giới hạn (trái và phải), đường thẳng f(x) = γ cắt tập ràng buộc S tại hai
đỉnh tương ứng x
∗
và x
∗∗
. Tại x
∗
hàm mục tiêu f(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên
S và tại x
∗∗
hàm f(x) đạt giá trị lớn nhất trên S.
2.4.2 Nhiều lời giải tối ưu
Hình 2.2: Nhiều lời giải tối ưu
Có thể xảy ra trường hợp khi ta quay đường mức mục tiêu quanh tiêu
điểm F thì đường mức f(x) = γ bắt gặp một cạnh của tập S (xem Hình
(2.2)). Trong trường hợp này bài tốn có vơ số lời giải tối ưu, đó là tất cả
các điểm x trên cạnh e, các điểm này là tổ hợp tuyến tính của hai đỉnh x
∗
và
x
∗∗∗
: x = λx
∗
+ (1 − λ)x
∗∗∗
, 0 ≤ λ ≤ 1.

2.4.3 Lời giải tối ưu hữu hạn và vơ cực
Nếu tập ràng buộc S khơng bị chặn và một cạnh vơ hạn của S nằm trên
đường mức mục tiêu (xem Hình 2.3) thì bài tốn có vơ số lời giải tối ưu, một
23
Số hóa bởi trung tâm học liệu />