Phân bố giá trị và vấn đề xác định duy nhất đối với đạo hàm của hàm phân hình P ADIC

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM







TRẦN QUANGVINH










PHÂN BỐ GIÁ TRỊ VÀ VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH
DUY NHẤT ĐỐI VỚI ĐẠO HÀM CỦA HÀM
PHÂN HÌNH P - ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC













Thái Ngun, năm 2012
Số hóa bởi trung tâm học liệu />




ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN QUANGVINH









PHÂN BỐ GIÁ TRỊ VÀ VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH
DUY NHẤT ĐỐI VỚI ĐẠO HÀM CỦA HÀM
PHÂN HÌNH P - ADIC



Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60.46.01.02



LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC





Người hướng dẫn khoa học: TS. Vũ Hồi An

Thái Ngun, năm 2012
Số hóa bởi trung tâm học liệu />C
p
Số hóa bởi trung tâm học liệu />• C
p
•
• N
f
(a, r)
• m
f
(∞, r)
• T
f
(r)
• E
f
(S)
• E
f
(S)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />C
Số hóa bởi trung tâm học liệu />C

{∞}
S C


{∞}
f g E
f
(S) E
g
(S) f ≡ g
S
i
i = 1, 2, C

{∞}
f g E
f
(S
i
) E
g
(S
i
)
i = 1, 2 f ≡ g
[3] f C f (z) = f
(k)
(z)
= k z ∈ C f
[3] f f
n
(z) f


(z)
= n z ∈ C f
n > 1 n ≥ 1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />f g
f
(k)
g
(k)
k = 0, 1
[12] f g n ≥ 11
a ∈ C {0} f
n
f

g
n
g

f = dg d
n+1
= 1 f (z) = c
1
e
cz
g (z) = c
2
e
−cz
c c
1

c
2
(c
1
c
2
)
n+1
c
2
= −a
2
f

+ Tf
n
T
[10] f C
p
n ≥
a ∈ C
p
{0} f
n
(z) f

(z) = a z ∈ C
p
f
f

n
(z)

f
(k)
(z)

m
[3] m, n, k f
C
p
a ∈ C
p
{0} f
n
(z) (f
(k)
)
m
(z) = a z ∈
C
p
f < k
f
k > 0 m = 1, n >
1+
√
1+4k
2
m > 1, n ≥

Số hóa bởi trung tâm học liệu />(f
n
)
(k)
, (g
n
)
(k)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />[1]
C
p
p
Q
R
Q
p
C
p
=

Q
p
Q
p
C
p
C
p
Q
p

Số hóa bởi trung tâm học liệu />D
r
= {z ∈ C
p
: |z| ≤ r} D
<r>
{z ∈ C
p
: |z| = r}
f(z) D
r
f(z) =

n≥0
a
n
z
n
lim
n−→∞
|a
n
||z
n
| = 0 n ∈ N
∗
|a
n
||z
n

|
|f|
r
= max
n≥0
{|a
n
||z
n
|}
log log
p
f C
p
a ∈
C
p

P
i
(z − a) P
i
i v
f
(a)
min {i : P
i
= 0}
d ∈ C
p

v
d
f
∈ C
p
−→ N v
d
f
(a)
v
f−d
(a) ρ
0
0 < ρ
0
≤ r N
f
(a, r)
1
lnp

r
ρ
0
n
f
(a, x)
x
dx n
f

(a, x) f(z) = a
|z| ≤ x
a = 0 N
f
(r) N
f
(0, r) l
N
l,f
(a, r)
1
lnp

r
ρ
0
n
l,f
(a, x)
x
dx n
l,f
(a, x)

|z|≤r
min {v
f−a
(z), l}
k v
≤k

f
C
p
N
v
≤k
f
(z)



0 v
f
(z) > k
v
f
(z) v
f
(z) ≤ k
n
≤k
f
(r)

|z|≤r
v
≤k
f
(z) n
≤k

f
(a, r) = n
≤k
f−a
(r)
N
≤k
f
(a, r)
1
lnp

r
ρ
0
n
≤k
f
(a, x)
x
dx a = 0 N
≤k
f
(r) N
≤k
f
(0, r)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />N
≤k
f

(a, r)
1
lnp

r
ρ
0
n
≤k
f
(a, x)
x
dx
n
≤k
l,f
(a, x)

|z|≤r
min

v
≤k
f−a
(z), l

N
<k
f
(a, r), N

<k
l,f
(a, r), N
>k
f
(a, r), N
≥k
f
(a, r), N
≥k
l,f
(a, r), N
>k
l,f
(a, r)
f C
p
f
2
, f
1
f
1
, f
2
f =
f
1
f
2

a ∈ C
p

{∞}
n
f
(a, r)
n
f
(a, r)



n
f
(∞, r) = n
f
2
(0, r)
n
f
1
−af
2
(0, r).
N
f
(a, r)
N
f

(a, r)



N
f
(∞, r) = N
f
2
(0, r)
N
f
1
−af
2
(0, r).
n
f
(∞, r) N
f
(∞, r) n
f
(a, r)
N
f
(a, r)
N
f
(a, r) = N
f

1
−af
2
(r) N
f
(∞, r) = N
f
2
(r)
f
1
=
∞

n=m
1
a
n
z
n
f
2
=
∞

n=m
2
b
n
z

n
m
2
, m
1
∈ N a
m
1
= 0
b
m
2
= 0
N
f
(0, r) N
f
1
(0, r) |f
1
|
r
|a
m
2
|
N
f
(∞, r) N
f

2
(0, r) |f
2
|
r
|b
m
1
|
N
f
(0, r) − N
f
(∞, r) |f|
r
log
|a
m
1
|
|b
m
2
|
|f|
r
− log |f
∗
( 0)|
f

∗
(0) =
a
m
1
b
m
2
f
∗
(0) lim
z−→0
z
m
2
−m
1
f(z) ∈ C
p
∗
N
f
(0, r) −N
f
(∞, r) = N
f
1
(0, r) −N
f
2

(0, r) = log|f
1
|
r
−
Số hóa bởi trung tâm học liệu />log|f
1
|
ρ
0
− log|f
2
|
r
− log|f
2
|
ρ
0
log
|f
1
|
r
|f
2
|
r
− log
|f

1
|
r
0
|f
2
|
r
0
log|f|
r
− log|f|
ρ
0
f
m
f
(∞, r) = max {0, log|f |
r
}
a ∈ C
p
m
f
(a, r) = m
1
f −a
(∞, r)
m
f

(0, r) = log
+
µ
f
(0, r) = max {0, −log|f |
r
}
[1]
i
C
p
i = 1, 2, , k
r > 0
N
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
N
f
i
(∞, r) N
k

i=1

f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
N
f
i
(∞, r)
m
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤ max
i∈{1, k}
m
f
i
(∞, r) m
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k


i=1
m
f
i
(∞, r)
f
i
=
f
i1
f
i2
f
i1
, f
i2
∈ A(C
p
)
k

i=1
f
i
=
F
f
12
f
k2

k

i=1
f
i
=
G
f
12
f
k2
F, G ∈ A(C
p
)
k

i=1
f
i
k

i=1
f
i
f
12
f
k2
f
i

n
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
n
f
i
(∞, r) n
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
n
f
i
(∞, r)
N
k


i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
N
f
i
(∞, r)+O(1) N
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
N
f
i
(∞, r)
log|
k

i=1
f
i

|
r
≤ log max
i∈{1, ,k}
|f
i
|
r
max
i∈{1, ,k}
log|f
i
|
r
Số hóa bởi trung tâm học liệu />m
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤ max
i∈{1, ,k}
m
f
i
(∞, r) log|
k

i=1
f

i
|
r
k

i=1
log|f
i
|
r
m
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
m
f
i
(∞, r)
T
f
= m
f
(∞, r) + N
f

(∞, r) T
f
(r) = max
1≤i≤2
log|f
i
|
r
+ O(1)
f lim
r−→∞
T
f
(r)
logr
= ∞
[1]
i
C
p
i = 1, 2, , k
ρ
0
< r
T
k

i=1
f
i

(r) ≤
k

i=1
T
f
i
(r) + O(1) T
k

i=1
f
i
(r) ≤
k

i=1
T
f
i
(r) + O(1)
T
f
(r) r
[2]
f 0 D
r
T
f
(r) =

N
f
(r) + O(1) r −→ ∞
|.| |.|
p
C
p
ρ ρ
0
0 < ρ
0
< ρ < ∞
[1]
f C
p
(0, ρ) a ∈ C
p
Số hóa bởi trung tâm học liệu />m
f
(a, r) + N
f
(a, r) = T
f
(r) + O(1)
m
f
(a, r) + N
f
(a, r) = T
f

(a, r) = T
f−a
(r) − log|f − a|
ρ
0
T
f−a
(r) ≤ T
f
(r) log
+
|a| T
f
(r) ≤ T
f−a
(r) log
+
|a|
[1]
f C
p
(0, ρ)
k > 0 |
f
(k)
f
|
r
≤
1

r
k
|
f
(k)
f
|
r
≤ klog
+
1
r
f ∈ A
(ρ)
(C
p
) |
f

f
|
r
= |f|
r
≤
1
r

|
f

(k)
f
|
r
= |
k

i=1
f
(i)
f
(i−1)
|
r
=
k

i=1
|
f
(i)
f
(i−1)
|
r
≤
1
r
k
f

(0)
= f
f =
g
h
∈ M
(ρ
(C
p
)
|
f

f
|
r
= |
hg

− gh

h
2
.
h
g
|
r
= |
g


g
−
h

h
|
r
≤ max

|
g

g
|
r
, |
h

h
|
r

≤
1
r

|
f
(k)

f
|
r
≤
1
r
k
Số hóa bởi trung tâm học liệu />f C
p
(0, ρ)
N
Ramf
(∞, r) = 2N
f
(∞, r) − N
f

(∞, r) + N
f

(0, r)
[1]
f C
p
(0, ρ) a
1
, , a
q
∈ C
p

δ = min
i=j
{1, |a
i
− a
j
|}, A = max {1, |a
i
|}
0 < r < ρ
(q −1)T
f
(r) ≤ N
f
(r) +
q

j=1
N
f
(a
1
, r) − N
Ramf
(∞, r) − logr + S
f
≤ N
f
(r)
q


j=1
N
f
(a
i
, r) − logr + S
f
S
f
=
q

j=1
log|f −a
j
|
ρ
0
− log|f

|
ρ
0
+ (q −1)log
A
δ
| | | |
p
r


∈ |C
p
|
ρ
0
< r

< ρ f =
f
1
f
0
f
1
, f
0
∈ A
r

(C
p
)
F
0
= f
0
, F
i
= f

1
− a
i
f
0
(i = 1, 2, , q)
|f
k
(z)| ≤ Amax {|F
2
(z)|, |F
i
(z)|} (k = 0, 1)
W = W (f
0
, f
1
) =





f

0
f

1
f

0
f
1





f
0
f
1
W
i
= W (F
0
, F
i
) = W
z ∈ C
p
[0, r

] − C
p
[0, ρ]
W (z), f
1
(z), F
i

(z) = 0 i = 0, 1, , q
j ∈ {1, 2, , q}
|F
j
(z)| = min
1≤j≤q
|F
i
(z)|
|f
0
(z)| =
|F
i
(z) − F
j
(z)|
|a
j
− a
i
|
≤
1
δ
|F
i
(z)|(i = j)
β
1

, , β
q−1
β
l
=
Số hóa bởi trung tâm học liệu />j(l = 1, 2, , q −1)
0 < max {δ|f
2
(z)|, F
j
(z)} ≤ |F
β
1
(z)| ≤ ≤ |F
β
q−1
(z)| < ∞
|f
k
(z)| ≤
A
δ
max {δ|f
2
(z)|, F
j
(z)} ≤
A
δ
|F

β
l
(z)|
k = 0, 1; l = 1, 2, q −1
|

f(z)| = max
k
|f
k
(z)| ≤
A
δ
|F
β
l
(z)
|, l = 0, , q −1

f(z) = (f
0
, f
1
) : C
p
−→ C
2
p
f W = W
j

log
|F
0
(z) F
q
(z)|
|W (z)|
= log|F
β
l
F
β
q−l
− logD
j
(z)|
D
j
=
|W
j
|
|F
0
F
j
|
= |
F


j
F
j
−
F

0
F
0
|
log|F
β
l
(z) F
β
q−l
| ≤ log
|F
0
(z) F
q
(z)|
|W (z)|
+ logD
j
(z)
(q −1)log| f(z)| ≤ log
|F
0
(z) F

q
(z)|
|W (z)|
+ logD
j
(z) + (q −1)log
A
δ
r = |z|
D
j
(z) ≤ max

|F

0
(z)|
|F
0
(z)|
,
|F

j
(z)|
|F
j
(z)|

≤

1
r
logD
j
(z) ≤ −logr
log|F
0
(z)|
r
= log|f
2
|
r
N
2
(0, r) log|f
2
|
ρ
0
N
f
(∞, r) + log|f
2
|
ρ
0
log|W (z)|
r
= log|f

0
f

1
− f
1
f

0
|
r
N
W
(0, r) + log|W |
ρ
0
N
W
(0, r) +
log|f

|
ρ
0
+ 2log|f
2
|
ρ
0
log|f


i
| = log|F
i
|
r
= log|f
1
− a
i
f
2
|
r
N
f
(a
i
, r) + log|f − a
i
|
r
+ log|f
2
|
ρ
0
i = 1, 2, , q
log


f(z)| = T
f
(r) + log|f
2
|
ρ
0
(q −1)T
f
(r) ≤ N
f
(∞, r) +
q

j=1
N
f
(a
i
, r) − N
W
(0, r) − logr + S
f
W = f
0
f

1
− f
1

f

0
= f
2
0
f

n
W
(0, r) = 2n
f
(∞, r) − n
f

(∞, r) + n
f

(0, r)
N
W
(0, r) = N
Ramf
(∞, r)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />n
f
(∞, r) +
q

j=1

n
f
(a
i
, r) − n
W
(0, r) ≤ n
f
(∞, r) +
q

j=1
n
f
(a
i
, r)
n(r,
1
f

; a
1
, a
q
) = n
f

(0, r) +
q


j=1
n
f
(a
i
, r) −
q

j=1
n
f
(a
i
, r)
n(r,
1
f

; a
1
, a
q
) =
r

ρ
0
n(t,
1

f

; a
1
, a
q
)
t
dt
0 ≤ n(r,
1
f

; a
1
, a
q
) ≤ n
f

(0, r)
(q −1)T
f
(r) ≤ N
f
(∞, r) +
q

j=1
N

f
(a
i
, r) −N(r,
1
f

; a
1
, a
q
) −logr + S
f
f
C
p
T (r, f) −→ ∞ r −→ ∞
f a ∈ C
p
δ
f
(a) lim
r−→∞
inf
m
f
(a, r)
T
f
(r)

= 1 − lim
r−→∞
sup
N
f
(a, r)
T
f
(r)
Θ
f
(a) = 1 − lim
r−→∞
sup
N
f
(a, r)
T
f
(r)
0 ≤ δ
f
(a) ≤ Θ
f
(a) ≤ 1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />a = ∞
δ
f
(∞) lim
r−→∞

inf
m
f
(∞.r)
T
f
(r)
1 − lim
r−→∞
sup
N
f
(∞.r)
T
f
(r)
Θ
f
(∞) 1 − lim
r−→∞
sup
N
f
(∞.r)
T
f
(r)
[1]
f C
p


a∈C
p

{∞}
δ
f
(a) ≤

a∈C
p

{∞}
Θ
f
(a) ≤ 2
f C
p
N
f
(r) = log|f|
r
− log|f|
ρ
0
−→ ∞
r −→ ∞ |f|
r
> 1 r
m

f
(∞, r) = log|f|
r
r
N
f
(r) = T
f
(r) + O(1)
N
f
(a, r) = T
f
(r) + O(1)
a ∈ C
p
[1]
f C
p
δ
f
(a) = 0
a ∈ C
p
δ
f
(∞) = 1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />f
n
f


f
(f
n
)

f
f
n
(f
(k)
)
m
(f
n
)
(k)
, (g
n
)
(k)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />[5]
f C
p
a
1
, a
2
, a
3

a
q
C
p
(q −1)T
f
(r) ≤ N
1,f
(∞, r) +
q

i=1
N
1,f
(a
i
, r) − logr + O(1)
[5]
f C
p
n
n > 1
(n − 1)T
f
(r) + N
f

(r) + N
f
(∞, r) ≤ T

f
n
f

(r) + O(1)
A =
f
n+1
n + 1
A

= f
n
f

, N
A

(∞, r) = (n + 1)N
f
(∞, r) + N
1,f
(∞, r)
nN
f
(∞, r) = N
A

(∞, r) − N
f

(∞, r) − N
1,f
(∞, r)
m
f

f
(∞, r) = O(1)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />nm
f
(∞, r) = m
A

f

(∞, r) ≤ m
A

(∞, r) + m
f

(o, r) + O(1)
= m
A

(∞, r) + T
f

(r) − N
f


(0, r) + O(1)
= m
A

(∞, r) + N
f

(∞, r) + m
f

f
f
(∞, r) − N
f

(0, r) + O(1)
≤ m
A

(∞, r) + N
f

(∞, r) + m
f
(∞, r) + m
f

f
(∞, r) − N

f

(0, r) + O(1)
= m
A

(∞, r) + N
f
(∞, r) + m
f
(∞, r) + N
1,f
(∞, r) − N
f

(0, r) + O(1)
= m
A

(∞, r) + T
f
(r) + N
1,f
(∞, r) − N
f

(0, r) + O(1).
nT
f
(r) ≤ T

f
n
f

(r) + T
f
(r) − N
f

(r) − N
f
(∞, r) + O(1)
(n − 1)T
f
(r) + N
f

(r) + N
f
(∞, r) ≤ T
f
n
f

(r) + O(1)
[4]
f g C
p
E
f

(1) = E
g
(1)
T
f
(r) ≤ N
1,f
(∞, r)+ N
≥2
1,f
(∞, r)+ N
1,f
(0, r)+ N
≥2
1,f
(0, r)+ N
1,g
(∞, r)+
N
≥2
1,g
(∞, r) + N
1,g
(0, r) + N
≥2
1,g
(0, r) − logr + O(1)
T
g
(r)

fg ≡
f ≡
F =
1
f −1
, G =
1
g −1
L =
f

f
− 2
f

f −1
−
g

g
+ 2
g

g −1
L =
F

F

−

G

G

Số hóa bởi trung tâm học liệu />L E
f
(1) = E
g
(1) f (a) =
1, g(a) = 1 v
1
f
(a) = v
1
g
(a) L(a) = 0
L L
f g
L L f

g

f g
M
L
(∞, r) = O(1) N
≤
f
(1, r) = N
≤

g
(1, r) ≤ N
L
(0, r) ≤ T
L
(r) + O(1)
≤ N
L
(∞, r) + O(1)
T
f
(r) ≤ N
1,f
(∞, r) + N
1,f
(0, r) + N
1,f
(1, r) − N
0,f

(r) − logr + O(1)
N
0,f

(r) f

f(f −1) N
1,0,f

(r)

f

N
≤1
f
(1, r) ≤ N
≥2
1,f
(∞, r) + N
≥2
1,g
(∞, r) + N
1,0,f

(r) + N
1,0,g

(r) +
N
≥2
1,f
(0, r) + N
≥2
1,g
(0, r) + O(1)
E
f
(1) = E
g
(1)

N
1,f
(1, r) = N
≤1
f
(1, r) + N
≥2
1,g
(1, r)
T
f
(r) ≤ N
1,f
(∞, r) + N
1,f
(0, r) + N
≤1
f
(1, r) + N
≥2
1,g
(1, r)
−N
0,f

(r) − logr + O(1)
N
≥2
1,g
(1, r)

N
g

(0, r) − N
g
(0, r) + N
1,g
(0, r) = N
g

g
(0, r) ≤ T
g

g
(r) + O(1) =
Số hóa bởi trung tâm học liệu />N
g

g
(∞, r) + m
g

g
(∞, r) + O(1) = N
1,g
(∞, r) + N
1,g
(0, r) + O(1)
N

g

(0, r) ≤ N
1,g
(∞, r) + N
g
(0, r) + O(1)
N
0,g

(r) + N
≥2
1,g
(1, r) + N
≥2
g
(0, r) − N
≥2
1,g
(0, r) ≤ N
g

(0, r)
N
0,g

(r) + N
≥2
1,g
(1, r) ≤ N

1,g
(∞, r) + N
1,g
(0, r) + O(1)
L ≡ 0
f

f
− 2
f

f −1
≡
g

g

− 2
g

g −1
F

F

≡
G

G


f ≡
ag + b
cg + d
a, b, c, d ∈ C
p
ad − bc = T
f
(r) = T
g
(r) + O(1)
=
f −
a
c
≡
b −
ad
c
cg + d
T
f
(r) ≤ N
1,f
(∞, r) + N
1,f−
a
c
(0, r) + N
1,f
(0, r) + O(1)

N
1,f
(∞, r) + N
1,g
(∞, r) + N
1,f
(0, r) + O(1)
a = 0 c = 0 f ≡
ag + b
cg + d
b = 0
T
f
(r) ≤ N
1,f
(∞, r) + N
1,f−
a
c
(0, r) + N
1,f
(0, r) + O(1)
N
1,f
(∞, r) + N
1,g
(∞, r) + N
1,f
(0, r) + O(1)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />