Phương pháp phương trình tích phân biên giải các bài toán biên của phương trình điều hòa và phương điều hòa

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN ĐỨC ANH
PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI
CÁC BÀI TỐN BIÊN CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HỊA VÀ
SONG ĐIỀU HỊA
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Thái Ngun - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN ĐỨC ANH
PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI
CÁC BÀI TỐN BIÊN CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HỊA VÀ
SONG ĐIỀU HỊA
Chun ngành : TỐN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Giáo viên hướng dẫn:
TS NGUYỄN VĂN NGỌC
Thái Ngun - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Mục lục
Mở đầu 3
1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ 5
1.1 Các khơng gian hàm khả vi và khả tổng . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Hàm liên tục và hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Các khơng gian hàm khả tổng . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Khơng gian Sobolev cấp ngun dương . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev . . . . . . . . 7
1.2.2 Khơng gian Sobolev H
k
(Q) . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Khái niệm về vết của hàm số trên một mặt . . . . . 7
1.2.4 Khơng gian H
k
o
(Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Khơng gian Sobolev cấp thực (Sobolev - Slobodeskii) . . . . 8
1.3.1 Khơng gian H
s
(R
n
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Khơng gian H
s
o
(Ω) và khơng gian H
s
(Ω) . . . . . . . 11
1.4 Các khơng gian Sobolev đối ngẫu và định lý nhúng . . . . . 12
1.4.1 Các khơng gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN
ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HỊA TRONG MẶT
PHẲNG 14
2.1 Phương trình điều hòa và các cơng thức Green . . . . . . . 14
2.1.1 Phương trình điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Cơng thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . 15

2.1.3 Các cơng thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4 Một số tính chất của hàm điều hòa . . . . . . . . . . 16
1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2.2 Hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Hàm cơ bản và hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Biểu diễn tích phân của hàm điều hòa . . . . . . . . 19
2.3 Phát biểu bài tốn biên của phương trình điều hòa trong
miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Cơng thức biểu diễn hàm điều hòa trên mặt phẳng và các
điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Phương pháp phương trình tích phân biên . . . . . . . . . . 23
2.5.1 Bài tốn Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.2 Bài tốn Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.3 Bài tốn hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Bài tốn biên của phương trình điều hòa trong miền ngồi . 24
2.6.1 Phát biểu bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.2 Phương trình tích phân biên . . . . . . . . . . . . . 25
3 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN
ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA 26
3.1 Phát biểu bài tốn hỗn hợp đối với phương trình song điều
hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1 Phương trình song điều hòa . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2 Phát biểu bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Hệ phương trình tích phân biên . . . . . . . . . . . . . . . 30
Kết luận 42
Tài liệu tham khảo 43
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Mở đầu
Trên thực tế, nhiều bài tốn trong khoa học kỹ thuật thơng qua mơ

hình tốn học được đưa đến việc giải các bài tốn biên đối với phương
trình đạo hàm riêng. Trong đó rất ít bài tốn là các trường hợp đơn giản
có thể tìm thấy nghiệm tường minh bằng các phương pháp giải tích. Còn
đại đa số các trường hợp khác thì nghiệm tường minh hoặc khơng có hoặc
rất phức tạp. Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu là phương
trình điều hòa và song điều hòa là lớp phương trình vẫn còn đang thu hút
sự quan tâm rất lớn của các nhà khoa học, kỹ sư và các nhà tốn học. Việc
nghiên cứu phương pháp tích phân biên giải các bài tốn điều hòa và song
điều hòa là một lĩnh vực cần được nghiên cứu .
Nội dung chính của luận văn trình bày các kết quả về lý thuyết đối với
phương pháp phương trình tích phân biên giải phương trình điều hòa và
song điều hòa. Luận văn bao gồm ba chương mang lại một cách nhìn khái
qt về phương trình điều hòa và phương trình song điều hòa.
Trong chương một, chúng tơi dành cho việc trình bày một số kiến thức
bổ trợ về các khơng gian hàm khả vi và khả tổng, khơng gian Sobolev
cấp ngun dương H
k
(Q), H
k
0
(Q), khơng gian Sobolev cấp thực H
s
(R
n
),
H
s
(Ω), các khơng gian Sobolev đối ngẫu và các định lý nhúng. Đây là nền
tảng cho các kết quả sẽ trình bày trong các chương tiếp theo của luận văn.
Chương hai chúng tơi giới thiệu về phương pháp phương trình tích phân

biên đối với phương trình điều hòa trong mặt phẳng, cơng thức biểu diễn
hàm điều hòa trên mặt phẳng, các cơng thức Green và các hàm cơ bản.
Đồng thời cũng trình bày phương pháp phương trình tích phân biên dối
với các bài tốn Dirichlet, bài tốn Newmann và bài tốn hỗn hợp.
Chương ba của luận văn chúng tơi giới thiệu về phương trình song điều
hòa và hệ phương trình tích phân biên để giải nghiệm bài tốn.
Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Khoa Học -
3
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Đại học Thái Ngun. Qua đây tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ giáo
Khoa Tốn ứng dụng, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường đã trang bị
kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tơi trong q trình học tập
và nghiên cứu.
Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Nguyễn Văn Ngọc, người
đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức,
khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hồn thành luận văn. Tơi cũng
xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên,
giúp đỡ tơi q trình học tập của mình.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi
những thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cơ
để luận văn được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Thái Ngun, ngày 04 tháng 05 năm 2013.
Người thực hiện
Trần Đức Anh
4
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 1
KIẾN THỨC BỔ TRỢ
Chuong này trình bày một số khái niệm bổ trợ cần thiết về các hàm khả
tổng, khả vi, hàm suy rộng và khơng gian Sobolev. Nội dung của chương
này chủ yếu được hình thành từ các tài liệu [7], [8].

1.1 Các khơng gian hàm khả vi và khả tổng
1.1.1 Hàm liên tục và hàm khả vi
• Giả sử Ω là một miền mở trong khơng gian Euclid R
n
. Ký hiệu C(Ω)
là lớp các hàm liên tục trong Ω. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R
n
,
ta kí hiệu Ω là bao đóng của Ω, tức là Ω = Ω ∪∂Ω. Khi đó C(Ω) là khơng
gian định chuẩn với chuẩn:
f
C
= max
x∈Ω
|f(x)|. (1.1)
• Giá của hàm f(x) ∈ C(R
n
) được kí hiệu là suppf là bao đóng của tập
hợp tất cả các điểm x ∈ R
n
mà tại đó f(x) = 0. Vậy
suppf := {∀x ∈ R
n
, f(x) = 0}
là một tập đóng trong R
n
. Nếu suppf là tập bị chặn trong Ω thì ta nói f
là hàm có giá compact trong Ω.
• Ký hiệu C
m

(Ω) là tập hợp của tất cả các hàm f(x) liên tục trong Ω cùng
với các đạo hàm D
α
f(x), |α| ≤ m. Như vậy, C
0
(Ω) = C(Ω). Tập hợp của
các hàm trong C
m
(Ω) có các đạo hàm D
α
f(x), |α| ≤ m được thác triển
5
Số hóa bởi trung tâm học liệu />liên tục vào Ω được ký hiệu là C
m
(Ω). Chuẩn trong C
m
(Ω) được xác định
theo cơng thức
f
C
m
(Ω)
= sup
Ω
m

|α|=0
|D
α
f(x)|.

• Ký hiệu C
∞
(Ω) là tập hợp của các hàm khả vi vơ hạn trong Ω. Tập
hợp của các hàm khả vi vơ hạn và có giá compact trong Ω được ký hiệu
là C
∞
o
(Ω). Tập hợp các hàm khả vi vơ hạn có giá compact trong R
n
ký
hiệu là C
∞
o
. Tập hợp các hàm tiêu hạn trong Ω của lớp C
m
(Ω) ký hiệu là
C
m
o
(Ω). Tập hợp của các hàm từ C
m
(Ω) bằng khơng trên biên ∂Ω cùng
với tất cả các đạo hàm cho đến cấp m được ký hiệu là C
m
o
(Ω). Cuối cùng,
ký hiệu C
m
o
là lớp các hàm thuộc C

m
(R
n
) bằng khơng tại vơ cùng với tất
cả các đạo hàm cho đến cấp m.
1.1.2 Các khơng gian hàm khả tổng
• Tích phân Lebesgue của hàm f trên tập Ω được ký hiệu là

Ω
f(x)dx,

R
n
f(x)dx =

f(x)dx.
• Với 1 ≤ p < ∞ ta ký hiệu
L
p
(Ω) = {f : Ω → C, f
p
L
p
(Ω)
:=

Ω
|f(x)|
p
dx < +∞},

L
∞
(Ω) = {f : Ω → C, f
L
∞
(Ω)
:= essup
Ω
|f(x)| < +∞},
trong đó essup
Ω
|f(x)| = inf
K
{|f(x)| ≤ K hầu khắp x ∈ Ω}.
• Nếu f ∈ L
p
(Ω

) đối với mọi Ω

 Ω thì hàm f được gọi là p- khả tích
tổng địa phương trong Ω. Tập hợp của tất cả các hàm p- khả tích tổng địa
phương trong Ω được ký hiệu là L
p
loc
(Ω).
• Hàm f (đo được) được gọi là có hạn trong Ω nếu nó bằng khơng hầu
khắp ở ngồi Ω

 Ω. Tập hợp của các hàm tiêu hạn trong Ω thuộc L

p
(Ω)
được ký hiệu là L
p
o
(Ω).
6
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1.2 Khơng gian Sobolev cấp ngun dương
1.2.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev
Định nghĩa 1.1. Giả sử Q là miền bị chặn trong R
n
với biên trơn từng
mảnh ∂Q và α = (α
1
, α
2
, ··· , α
n
) là bộ đa chỉ số. Hàm f
(α)
∈ L
1
loc
(Q)
được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm f ∈ L
1
loc
(Q), nếu
< f, D
α

g > :=

Q
f(x)D
α
g(x)dx = (−1)
|α|

Q
f
(α)
(x)g(x) dx
=< f
(α)
, g >, ∀g ∈ C
|α|
o
(Q).
Nếu f ∈ C
|α|
(Q), thì đạo hàm suy rộng f
(α)
tồn tại và f
(α)
= D
α
f(x) hầu
khắp, nên chúng ta cũng sẽ ký hiệu đạo hàm suy rộng cấp α của hàm f là
D
α

f.
1.2.2 Khơng gian Sobolev H
k
(Q)
Định nghĩa 1.2. Tập hợp của các hàm f ∈ L
2
(Q) có đạo hàm suy rộng
cho đến cấp k thuộc L
2
(Q) được gọi là khơng gian Sobolev cấp k và được
ký hiệu là H
k
(Q). H
k
(Q) là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng và chuẩn
(f, g) =

Q


|α|≤k
D
α
fD
α
g

dx,
f =



Q


|α|≤k
|D
α
f|
2

dx

1/2
.
Rõ rằng là H
0
(Q) = L
2
(Q).
Các tính chất quan trọng của khơng gian Sobolev:
1) C
∞
(Q) trù mật trong H
k
(Q) theo tiêu chuẩn của H
k
(Q).
2) H
m+1+[n/2]
(Q) ⊂ C

m
(Q).
1.2.3 Khái niệm về vết của hàm số trên một mặt
Định nghĩa 1.3. Giả sử Q là miền giới nội trong R
n
và S là một mặt
n − 1 chiều được chứa trong Q. Nếu trong Q cho hàm f(x) xác định tại
7
Số hóa bởi trung tâm học liệu />từng điểm của Q, thì ta có thể xem giá trị của hàm này trên S như là một
hàm f|
x∈S
được xác định tại mỗi điểm của S. Nếu chúng ta xét trong Q
hàm được xác định hầu khắp nơi, thì giá trị của f trên mặt S được xác
định khơng đơn trị vì mesS = 0. Tuy nhiên, trong một nghĩa hồn tồn
xác định chúng ta có thể nói đến giá trị của hàm số trên một mặt n − 1
chiều khi nó được xác định hầu khắp nơi.
Giả sử f ∈ H
1
(Q) và f
k
∈ C
1
(Q), (k = 1, 2, ) hội tụ đến f trong
H
1
(Q). Đối với mọi mặt trơn từng mảnh (mỗi một mảnh được chiếu đơn
trị xuống mặt phẳng tọa độ) trong Q tồn tại C = const > 0, sao cho

S
|f

k
− f
m
|
2
dx ≤ Cf
k
− f
m

H
1
(Q)
.
Vì L
2
(S) là khơng gian định chuẩn đầy đủ, nên tồn tại phần tử f
S
∈ L
2
(S)
là giới hạn trong L
2
(S) của dãy f
k
(x
S
), x
S
= x ∈ S. Hàm f

S
khơng phụ
thuộc vào việc chọn dãy f
k
hội tụ đến f trong H
1
(Q) và được gọi là vết
của hàm f trên mặt S.
1.2.4 Khơng gian H
k
o
(Q)
Định nghĩa 1.4. Tập hợp của các hàm trong H
k
(Q) có vết trên biên
Γ bằng khơng được ký hiệu là H
k
o
(Q). Chuẩn trong H
k
o
(Q) được sinh bởi
chuẩn trong H
k
(Q). Khi đó H
k
o
(Q) là khơng gian con đóng của H
k
(Q).

1.3 Khơng gian Sobolev cấp thực (Sobolev - Slo-
bodeskii)
1.3.1 Khơng gian H
s
(R
n
)
Định nghĩa 1.5. Giả sử s là số thực tùy ý. Khơng gian Sobolev-Slobodeski
H
s
(R
n
) theo định nghĩa gồm tất cả các hàm suy rộng u ∈ S

= S

(R
n
), có
biến đổi Fourier ˆu(ξ) thỏa mãn điều kiện:
u
2
s
=

R
n
(1 + |ξ|)
2s
|ˆu(ξ)|

2
dξ < ∞. (1.2)
8
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Ảnh Fourier của H
s
được ký hiệu là

H
s
. Cơng thức (1.1) xác định chuẩn
cả trong H
s
lẫn trong

H
s
. Nhận xét là

H
s
là khơng gian Hilbert với tích
vơ hướng
(u, v)
s
=

R
n
(1 + |ξ|)
2s

ˆu(ξ)ˆv(ξ)dξ. (1.3)
Các khơng gian H
s
,

H
s
là những khơng gian đầy đủ. Với u ∈ H
s
, ϕ ∈ S,
ta có
(u, ϕ) =

∞
−∞
u(x)ϕ(x)dx =
1
(2π)
n

∞
−∞
ˆu(ξ) ˆϕ(ξ)dξ. (1.4)
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy-Buniakovski vào (1.4), ta được
|(u, ϕ)| ≤
1
(2π)
n
u
s

ϕ
−s
. (1.5)
Rõ ràng là tơpơ trong S mạnh hơn hội tụ theo chuẩn H
s
, nghĩa là nếu
ϕ
k
→ ϕ, trong S, thì hiển nhiên ϕ
k
− ϕ
s
→ 0. Mặt khác, vì có (1.5)
nên nếu u
k
− u
s
→ 0, thì (u
k
, ϕ) → (u, ϕ), ∀ϕ ∈ S, nghĩa là u
k
→ u
trong S

.
Các trường hợp riêng của H
s
(R
n
)

1) s = 0. Khi đó

H
s
(R
n
) ≡ L
2
(R
n
). Theo Định lý Planchel, ta có
H
0
(R
n
) = F
−1
[

H
s
] = L
2
(R
n
).
2) s = m > 0 - ngun. Khi đó thì (−iξ)
k

u(ξ) ∈ L

2
(R
n
), 0 ≤ |k| ≤ m.
Suy ra D
k
u = F
−1
[(−iξ)
k

u(ξ)](x) ∈ L
2
(R
n
), 0 ≤ |k| ≤ m. Như vậy
khơng gian H
m
= H
m
(R
n
) sẽ là
H
m
= {u|u ∈ L
2
, D
k
u ∈ L

2
, 0 ≤ |k| ≤ m}.
Khi đó chuẩn (1.1) tương đương với chuẩn sau đây
u

2
m
=

|k|≤m

∞
−∞
|D
k
u(x)|
2
dx =
1
(2π)
n

|k|≤m

∞
−∞
|ξ
k

u(ξ)|

2
dξ. (1.6)
Như ta đã biết H
m
là khơng gian Sobolev cấp m và thường được ký hiệu
là W
m
2
(R
n
).
3) Trường hợp s = −m, m > 0 - ngun. Đặt

v(ξ) = (1 + |ξ|)
−m

u(ξ).
Vì u ∈ H
m
, nên

v(ξ) ∈ L
2
. Vậy ta có

u(ξ) = (1 + |ξ|)
m

v(ξ). Có thể biểu
diễn


u(ξ) ở dạng

u(ξ) = (1 + |ξ|)
m

v(ξ) =

|k|≤m
(−iξ)
k

v
k
(ξ),

v
k
(ξ) ∈ L
2
. (1.7)
9
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Lấy biến đổi ngược hai vế của (1.7), ta được
u(x) =

|k|≤m
D
k
v
k

(x), v
k
(x) ∈ L
2
. (1.8)
Như vậy H
−m
(R
n
) bao gồm các hàm suy rộng là đạo hàm theo nghĩa hàm
suy rộng của các hàm trong L
2
với cấp khơng vượt q m. Dễ thấy rằng
S ⊂ H
s
1
⊂ H
s
2
⊂ S

, s
1
> s
2
.
Ví dụ.
1) Cho u(x) = δ(x),

u(ξ) = F [δ] = 1. Suy ra

δ
2
s
=

R
n
(1 + |ξ|)
2s
dξ < ∞.
Nếu chọn −2s = n + ε

, ε

> 0. Suy ra s = −
n
2
− ε, ε = ε

/2. Vậy ta có
δ(x) ∈ H
−
n
2
−ε
, ε > 0.
2)Xét u(x) = P
1
x
. Ta có F [P

1
x
] = πi.signξ. Từ đó suy ra P
1
x
∈
H
−1/2−ε
, ε > 0.
Định lý 1.6. Tập hợp C
∞
0
(R
n
) trù mật trong H
s
theo chuẩn của H
s
.
Chứng minh. Giả sử
α(x) ∈ C
∞
0
(R
n
), α(x) ≥ 0, α(x) = 0 (|x| ≥ 1),

R
n
α(x)dx = 1.

Ký hiệu α
ε
(x) =
1
ε
n
α

x
ε

. Hàm α
ε
(x) thường được gọi là hạch làm đều.
Giả sử u là hàm tùy ý của H
s
. Đặt u
ε
= u ∗ α
ε
. Ta có u
ε
∈ C
∞
, ngồi ra

u
ε
=


u.

α
ε
. Do đó

α
ε
=

R
n
α

x
ε

e
iξ.x
dx
ε
n
=

R
n
α(y)e
iy.εξ
dy =


α(εξ),
ngồi ra
|

α
ε
| ≤

R
n
α(y)dy =

α
0
= 1. (1.9)
Do đó

u
ε
∈

H
s
và khi ε → 0, thì
u −u
ε

2
s
≤


R
n
|

u(ξ)|
2
(1 + |ξ|)
2s
|1 −

α(εξ)|
2
dξ → 0. (1.10)
10
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Thật vậy, 1 −

α(εξ) → 0 khi ε → 0 với mọi ξ cố định và |1 −

α(εξ)| ≤ 2,
nên theo Định lý Lebesgue ta có thể chuyển qua giới hạn ε → 0 trong
(1.10).
Như vậy, với mọi δ > 0, tìm được ε
1
> 0, sao cho
u −u
ε

s
< δ/2. (1.11)

Vì

α(ε
1
ξ) ∈ S(R
n
), nên

α(ε
1
ξ)

u(ξ) ∈

H
N
với mọi N. Giả sử χ(x) ∈
C
∞
0
(R
n
), χ(x) = 1, khi |x| ≤ 1. Ký hiệu v
ε
(x) = χ(εx)u
ε
1
(x).Khi đó
v
ε

(x) ∈ C
∞
0
(R
n
), vì u
ε
1
(x) ∈ C
∞
(R
n
). ta sẽ chứng tỏ rằng với mọi N và
ε → 0, u
ε
1
− v
ε

N
→ 0. Thật vậy, sử dụng chuẩn (1.6) tương đương với
chuẩn (1.1), khi ε → 0, ta có
u
ε
1
− v
ε


2

N
=

|k|≤N

|x|≥1/ε
|D
k
[(1 −χ(εx))u
ε
1
(x)]|
2
dx → 0.
Vậy, nếu N ≥ s, thì tìm được ε
2
, sao cho
v
ε
2
(x) −u
ε
1
(x)
s
≤ v
ε
2
(x) −u
ε

1
(x)
N
< δ/2. (1.12)
Từ (1.11) và (1.12), suy ra tồn tại hàm v
ε
2
(x) ∈ C
∞
0
(R
n
), sao cho u −
v
ε
2

s
< δ. Định lý 1.6 được chứng minh.
1.3.2 Khơng gian H
s
o
(Ω) và khơng gian H
s
(Ω)
Định nghĩa 1.7. Giả sử Ω là một miền mở trong R
n
. Ký hiệu H
s
o

(Ω) là
khơng gian con của H
s
(Ω), được định nghĩa như bao đóng của C
∞
0
(Ω) theo
chuẩn của H
s
(R
n
).
Như vậy, chuẩn trong H
s
o
(Ω) cũng được xác định bởi cơng thức (1.1)
và mọi hàm u ∈ H
s
o
(Ω) có giá suppu ⊂
Ω. Thật vậy, giả sử u ∈ H
s
o
(Ω).
Theo định nghĩa, tồn tại dãy {u
k
∈ C
∞
0
(Ω)}, hội tụ đến u theo chuẩn của

H
s
(R
n
). Ký hiệu Ω

= R
n
\ Ω. Như vậy, ta có (u
k
, ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω

).
Do tính liên tục , suy ra (u, ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω

). Điều đó chứng tỏ
suppu ⊂ Ω.
Bằng cách tương tự, dễ dàng chứng tỏ rằng H
s
o
(Ω) là khơng gian con
đóng của H
s
(R

n
). Ta chuyển sang định nghĩa khơng gian H
s
(Ω).
11
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Định nghĩa 1.8. Giả sử f ∈ H
s
(R
n
). Ký hiệu f
Ω
là hạn chế của f trên
Ω, nghĩa là
(f
Ω
, ϕ) = (f, ϕ), ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
Ký hiệu r, l tương ứng là các tốn tử hạn chế và tốn tử thác triển trên Ω.
Như vậy, f
Ω
= rf, f = lf
Ω
.
Tập hợp các hạn chế trên Ω của các hàm thuộc H
s
(R
n
) được ký hiệu là

H
s
(Ω). Chuẩn trong H
s
(Ω) được xác định theo cơng thức
f
s,Ω
= inf
l
lf
s
, (1.13)
trong đó inf lấy theo tất cả các thác triển lf ∈ H
s
(R
n
) của f ∈ H
s
(Ω).
1.4 Các khơng gian Sobolev đối ngẫu và định lý
nhúng
1.4.1 Các khơng gian đối ngẫu
Ký hiệu (H
s
)
∗
là khơng gian đối ngẫu của H
s
, nghĩa là khơng gian
của các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H

s
. Như trong trường hợp của
khơng gian Banach bất kỳ, khơng gian (H
s
)
∗
được xác định một cách chính
xác đến đẳng cấu. Nói riêng, vì khơng gian H
s
(R
n
) đẳng cấu với khơng
gian Hilbert với tích vơ hướng (1.3), nên (H
s
)
∗
đẳng cấu với chính H
s
. Khi
đó theo Định lý Riesz về dạng tổng qt của phiếm hàm tuyến tính liên
tục trong khơng gian Hilbert, mọi phiếm hàm Φ(u), u ∈ H
s
, được cho bởi
phần tử v ∈ H
s
, sao cho chuẩn Φ = sup
u
s=1
=


(v, v)
s
= v
s
.
Ký hiệu

w(ξ) = (1 + |ξ|)
2s

v(ξ), w = F
−1

w. (1.14)
Khi đó w ∈ H
s
, w
−s
=

(v, v)
s
, (u, v)
s
= (u, w)
0
, trong đó
(u, w)
0
=


R
n

u(ξ)

w(ξ)dξ, u ∈ H
s
, w ∈ H
−s
. (1.15)
Như vậy (1.14) thiết lập sự đẳng cấu giữa (H
s
)
∗
và H
s
, ngồi ra giá trị
của phiếm hàm w ∈ H
−s
trên phần tử u ∈ H
s
, được cho bởi cơng thức
(1.15). Sau này chúng ta ln ln hiểu (H
s
)
∗
 H
−s
.

12
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Định lý 1.9. Giả sử (H
s
o
(Ω))
∗
là khơng gian đối ngẫu của H
s
o
(Ω), s ∈ R.
Khi đó (H
s
o
(Ω))
∗
đẳng cấu với H
−s
(Ω), ngồi ra giá trị của phiếm hàm
f ∈ H
−s
(Ω) trên phần tử u ∈ H
s
o
(Ω) được cho bởi cơng thức
(u, lf)
0
=

R
n


u(ξ)

lf(ξ)dξ (1.16)
trong đó lf là thác triển bất kỳ của f từ Ω ra R.
1.4.2 Các định lý nhúng
Các định lý nhúng của các khơng gian Sobolev-Slobodeskii vào khơng
gian các hàm liên tục có một vị trí đặc biệt quan trọng khi chúng ta cần
đến giá trị tại từng điểm của các hàm số, đặc biệt là khi ta cần có các kết
quả số. Trong mục này chúng tơi sẽ giới thiệu một số định lý nhúng nói
trên.
Định lý 1.10. Ký hiệu C
k
o
= C
k
o
(R
n
) là tập hợp các hàm từ C
k
, triệt tiêu
ở vơ tận cùng với các đạo hàm cho đến cấp k. Ta có
H
s
(R
n
) ⊂ C
m
o

, s > n/2 + m.
Phép nhúng là liên tục.
Định lý 1.11. Giả sử Ω là miền giới nội trong R
n
, và có biên là siêu mặt
n − 1 chiều trơn. Khi đó khơng gian H
s
o
(Ω) nhúng liên tục vào C(Ω) khi
và chỉ khi s >
n
2
.
Định lý 1.12. Giả sử Ω là miền giới nội trong R
n
và có biên trơn. Khi
đó H
s
(Ω) nhúng liên tục vào C(Ω) khi và chỉ khi s >
n
2
.
Định lý 1.13. Giả sử Ω ⊂ R
n
thỏa mãn điều kiện trong định lý 1.11. Khi
đó
H
s
(Ω) ⊂ C
m

(Ω), s > n/2 + m.
Định lý 1.14. Giả sử Ω là miền giới nội có biên ∂Ω ∈ C
m+1+[n/2]
. Khi
đó H
m+1+[n/2]
(Ω) ⊂ C
l
(Ω), ngồi ra
f
C
m
(Ω)
≤ Cf
H
m+1+[n/2]
(Ω)
, C = const,
trong đó m là số ngun khơng âm.
13
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 2
PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI
VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU
HỊA TRONG MẶT PHẲNG
Chương này giới thiệu về phương trình điều hòa và phương pháp phương
trình tích phân biên để giải nghiệm bài tốn. Nội dung chính của chương
được hình thành từ tài liệu [2]
2.1 Phương trình điều hòa và các cơng thức Green
2.1.1 Phương trình điều hòa

Phương trình
u =
n

k=1
u
x
k
x
k
= 0, x ∈ Ω ⊂ R
n
, (2.1)
được gọi là phương trình điều hòa, hay phương trình Laplace trong miền
Ω. Nghiệm của phương trình Laplace trong Ω được gọi là hàm điều hòa
trong Ω. Tốn tử u, được xác định bởi vế trái của (2.1) được gọi là tốn
tử Laplace, hay Laplacian. Hàm u điều hòa trong Ω, nếu u điều hòa trong
Ω và liên tục trong Ω.
14
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2.1.2 Cơng thức tích phân từng phần
Giả sử Ω là miền giới nội trong R
n
với biên ∂Ω. Ký hiệu Ω = Ω ∪∂Ω.
Giả sử f(x), g(x) là các hàm khả vi liên tục trong Ω và có thác triển liên
tục trong Ω:
f(x), g(x) ∈ C
1
(Ω) ∩C(Ω).
Khi đó cơng thức


Ω
f
x
i
(x)g(x)dx = −

Ω
f(x)g
x
i
(x)dx +

∂Ω
f(x)g(x)ν
i
ds, (2.2)
trong đó ν
i
= cos(ν
x
, x
i
) là thành phần thứ i của vectơ pháp tuyến ngồi
đơn vị ν
x
= (ν
1
, ν
2
, ··· , ν

n
) đối với Ω tại điểm x ∈ ∂Ω, ds là phần tử mặt
ngun tố.
Cơng thức (2.2) còn được gọi là cơng thức Gauss - Ostrogadski.
2.1.3 Các cơng thức Green
Định lý 2.1 (Cơng thức Green thứ nhất). Giả sử u(x) ∈ C
2
(Ω) ∩
C
1
(Ω), v(x) ∈ C
1
(Ω) ∩C(Ω). Khi đó có cơng thức

Ω
v(x)∆u(x)dx = −

Ω
n

i=1
u
x
i
(x)v
x
i
(x)dx +

∂Ω

v(x)
∂u(x)
∂ν
x
ds, (2.3)
trong đó
∂u(x)
∂ν
x
là đạo hàm của u(x) theo pháp tuyến ngồi đơn vị ν
x
tại
x ∈ ∂Ω:
∂u(x)
∂ν
x
=
n

i=1
u
x
i
ν
i
, ν
i
= cos(ν
x
, x

i
). (2.4)
Chứng minh. Áp dụng cơng thức (2.2) với f(x) = u
x
i
, g(x) = v(x) (i =
1, 2, . . . , n), ta được

Ω
v(x)u
x
i
x
i
(x)dx = −

Ω
u
x
i
(x)v
x
i
(x)dx+

∂Ω
v(x)u
x
i
ν

i
ds (i = 1, 2, . . . , n).
Cộng các đẳng thức trên đây theo i từ 1 đến n và chú ý cơng thức (2.4),
ta có cơng thức (2.3). Định lý được chứng minh.
15
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Định lý 2.2 (Cơng thức Green thứ hai). Giả sử u(x), v(x) ∈ C
2
(Ω) ∩
C
1
(Ω). Khi đó ta có cơng thức

Ω
(v u − u  v)dx =

∂Ω

v
∂u
∂ν
x
− u
∂v
∂ν
x

ds. (2.5)
Chứng minh. Áp dụng cơng thức Green thứ nhất với sự hốn đổi vai trò
của u(x) và v(x), ta có cơng thức


Ω
u(x)∆v(x)dx = −

Ω
n

i=1
u
x
i
(x)v
x
i
(x)dx +

∂Ω
u(x)
∂v(x)
∂ν
x
ds. (2.6)
Trừ các vế của các đẳng thức (2.3) và (2.6), ta được cơng thức (2.5). Định
lý được chứng minh.
2.1.4 Một số tính chất của hàm điều hòa
Định lý 2.3. Giả sử u(x) ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(Ω) là hàm điều hòa trong Ω và
u(x) = 0, x ∈ ∂Ω. Khi đó u(x) ≡ 0 trong Ω.

Chứng minh. Sử dụng cơng thức Green thứ nhất (2.3). Trong cơng thức
trên cho v(x) = u(x). Do u(x) = v(x) = 0 trong Ω và u(x) = v(x) = 0
trên ∂Ω, nên:

Ω
n

i=1
u
2
x
i
(x)dx = 0.
Suy ra u
x
i
(x) = 0 (i = 1, 2, . . . , n), do đó u = const. Vì u ∈ C
1
(Ω) và
u = 0 trên ∂Ω, nên const = 0, tức là u(x) ≡ 0, trong Ω. Định lý được
chứng minh.
Hệ quả 2.4. Giả sử Ω là miền bị chặn. Khi đó bài tốn Dirichlet
u(x) = 0, x ∈ Ω,
u|
Ω
= g
trong lớp hàm C
2
(Ω) ∩C
1

(Ω) khơng thể có q một nghiệm.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử u
1
, u
2
là hai nghiệm của bài tốn. Đặt u =
u
1
− u
2
. Khi đó u thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.3, vậy u(x) ≡ 0
trong Ω, tức là u
1
(x) = u
2
(x).
16
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Định lý 2.5. Giả sử u ∈ C
2
(Ω) ∩C
1
(Ω) là hàm điều hòa trong Ω và thỏa
mãn điều kiện
∂u
∂ν
= 0, x ∈ Ω, trong đó ν = ν
x
là pháp tuyến ngồi của
Ω tại x. Khi đó u(x) = const.
Chứng minh. Sử dụng cơng thức Green thứ nhất với v = u. Vì u = v

trong Ω và
∂u
∂ν
=
∂v
∂ν
trên ∂Ω, nên

Ω
n

i=1
u
2
x
i
(x)dx = 0.
Vì u ∈ C
1
(Ω), nên u
x
i
= 0 (i = 1, 2, . . . , n) trong Ω, do đó u = const
trong Ω. Định lý được chứng minh.
Định lý 2.6. Giả sử u ∈ C
2
(Ω) ∩C
1
(Ω) là hàm điều hòa trong miền giới
nội Ω với biên ∂Ω. Khi đó


∂Ω
∂u
∂ν
x
ds
x
= 0. (2.7)
Chứng minh. Trong cơng thức Green thứ nhất cho v(x) ≡ 1. Do u =
0, v
x
i
= 0 trong Ω, nên suy ra

∂Ω
∂u
∂ν
x
ds
x
= 0.
Định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.7. Để bài tốn Neumann:
u(x) = 0, x ∈ Ω,
∂u
∂ν
x
|
∂Ω
= g(x) (2.8)

có nghiệm cần thiết phải có điều kiện

∂Ω
g(x)ds
x
= 0. (2.9)
Chứng minh. Thật vậy, theo Định lý 2.6, thì u(x) thỏa mãn điều kiện
(2.7), nếu có là hàm điều hòa trong Ω. Từ các điều kiện (2.7), (2.8), suy
ra điều kiện (2.9).
17
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2.2 Hàm cơ bản
2.2.1 Hàm cơ bản và hàm điều hòa
Giả sử x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) , ξ = (ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
). Khoảng cách giữa x và
ξ là khoảng cách Euclid bình thường
|x −ξ| =

n


i=1
(x
i
− ξ
i
)
2

1
2
.
Ta đưa vào hàm số sau:
E(x, ξ) =





1
(n −2)|x − ξ|
n−2
, n ≥ 2,
−ln |x −ξ|, n = 2.
(2.10)
Mệnh đề 2.2.1. Ta có các khẳng định sau:
∂E(x, ξ)
∂x
i
= −
x

i
− ξ
i
|x −ξ|
n
, ∀x = ξ (2.11)
∂E(x, ξ)
∂ξ
i
= −
∂E(x, ξ)
∂x
i
, ∀x = ξ (2.12)
Hơn nữa, hàm E (x, ξ) là hàm điều hòa theo x với x = ξ và là hàm điều
hòa theo ξ và ξ = x.
Chứng minh. Ta có
|x −ξ|
2
= (x
1
− ξ
1
)
2
+ + (x
i
− ξ
i
)

2
+ + (x
n
− ξ
n
)
2
.
Lấy đạo hàm theo x
i
hai vế đẳng thức trên ta có :
2|x −ξ|
∂|x − ξ|
∂x
i
= 2(x
i
− ξ
i
).
Do đó :
∂|x − ξ|
∂x
i
=
x
i
− ξ
i
|x −ξ|

, (2.13)
từ đó dễ dàng suy ra (2.11). Cơng thức (2.12) là hiển nhiên. Để chứng
minh phần sau ta lấy đạo hàm hai vế của (2.11) theo x
i
, từ (2.13) ta nhận
18
Số hóa bởi trung tâm học liệu />được :
∂
2
E(x, ξ)
∂ξ
2
i
= −
|x −ξ|
n
− (x
i
− ξ
i
)n|x −ξ|
n−1
x
i
− ξ
i
|x −ξ|
|x −ξ|
2n
=

|x −ξ|
2
− n(x
i
− ξ
i
)
2
|x −ξ|
n+2
, x = ξ (2.14)
Tổng các vế của (5) theo i từ 1 đến n, ta có

x
E(x, ξ) = 0, x = ξ.
2.2.2 Biểu diễn tích phân của hàm điều hòa
Định lý 2.8. Giả sử u (x) là hàm điều hòa trong miền Ω và u (x) ∈
C
2
(Ω) ∩C
1

Ω

. Khi đó ∀x ∈ Ω :
u(x) =
1
ω
n


∂Ω
[E(x, ξ)
∂u(ξ)
∂ν
ξ
− u(ξ)
∂E(x, ξ)
∂ν
ξ
]ds
ξ
, (2.15)
trong đó ω
n
là diện tích của mặt cầu đơn vị trong R
n
.
Chứng minh. Ta lấy x
0
∈ Ω là điểm cố định. Ta chứng minh cơng thức
(2.15) cho trường hợp x = x
0
.
Với ε > 0 ta đặt :
B
ε
(x
0
) = {x; |x −x
0

| < ε},
S
ε
(x
0
) = {x; |x −x
0
| = ε}
Ta lấy ε đủ nhỏ sao cho B
ε

x
0

⊂ Ω. Đặt
Ω
ε
= Ω\B
ε
(x
0
).
Ta có ∂Ω
ε
= ∂Ω ∪ S
ε

x
0


. Ta áp dụng cơng thức (2.12) với v (x) =
E

x
0
, x

. Do u(x) và v(x) là những hàm điều hòa trong Ω
ε
nên

∂Ω
ε
[
∂u(ξ)
∂ν
ξ
E(x
0
, ξ) − u(ξ)
∂E(x
0
, ξ)
∂ν
ξ
]ds
ξ
= 0, (2.16)
19
Số hóa bởi trung tâm học liệu />trong đó ν

ξ
là pháp tuyến ngồi đơn vị đối với Ω
ε
tại ξ ∈ ∂Ωε. Từ đó ta
suy ra

S
ε
(x
0
)
[
∂u(ξ)
∂ν
ξ
E(x
0
, ξ) − u(ξ)
∂E(x
0
, ξ)
∂ν
ξ
]ds
ξ
=

∂Ω
[
∂u(ξ)

∂ν
ξ
E(x
0
, ξ) − u(ξ)
∂E(x
0
, ξ)
∂ν
ξ
]ds
ξ
, (2.17)
trong đó ν
ξ
ở vế trái và vế phải của (8) tương ứng là các pháp tuyến ngồi
đơn vị tại ξ đối với S
ε

x
0

và ∂Ω. Ta nhận xét rằng đối với ξ ∈ S
ε

x
0

ν
ε

=
ξ − x
0
|ξ − x
0
|
. (2.18)
Mặt khác, từ các cơng thức (1) và (2) mục §3 ta có
∂E(x
0
, ξ)
∂ξ
= −
ξ − x
0
|ξ − x
0
|
n
, ξ = x
0
(2.19)
Do đó đối với ξ ∈ S
ξ

x
0

:
∂E(x

0
, ξ)
∂ν
ε
=<
∂E(x
0
, ξ)
∂ξ
, ν
ξ
>=< −
ξ − x
0
|ξ − x
0
|
n
,
ξ − x
0
|ξ − x
0
|
>
= −
1
|ξ − x
0
|

n−1
= −
1
ε
n−1
. (2.20)
Do u (x) = C
1

Ω

, nên |u
x
i
(x)| ≤ M, ∀x ∈ Ω. Ta thấy rằng E

x
0
, ξ

là hàm số phụ thuộc khoảng cách


ξ − x
0


. Do đó khi ξ ∈ S
ε


x
0

, tức


ξ − x
0


= ε thì
E(x
0
, ξ) = f(n, ε), (2.21)
trong đó ε
n−1
f (n, ε) → 0 khi ε → 0.
Vế phải của (2.17) khơng phụ thuộc ε. Ta cho ε → 0 ở vế trái của (2.17)
|

S
ε
(x
0
)
∂u(ξ)
∂ν
ξ
E(x
0

, ξ)ds
ξ
| ≤ |

S
ε
(x
0
)
<
∂u(ξ)
∂ξ
, ν
ξ
> E(x
0
, ξ)ds
ξ
|
≤ |

S
ε
(x
0
)
|
∂u(ξ)
∂ξ
||ν

ξ
|E(x
0
, ξ)ds
ξ
≤ M
√
nf(n, ε)

S
ε
(x
0
)
ds
ξ
= M
√
nf(n, ε)ω
n
ε
n−1
→ 0 khi ε → 0.
Do đó

S
ε
(x
0
)

∂u(ξ)
∂ν
ξ
E(x
0
, ξ)ds
ξ
→ 0, ε → 0
20
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Mặt khác, từ cơng thức (1.11) ta có
−

S
ε
(x
0
)
u(ξ)
∂E(x
0
, ξ)
∂ν
ξ
ds
ξ
= −

S
ε
(x

0
)
[u(x
0
) + u(ξ) − u(x
0
)]
∂E(x
0
, ξ)
∂ν
ξ
ds
ξ
=

S
ε
(x
0
)
u(x
0
)
1
ε
n−1
ds
ξ
+


S
ε
(x
0
)
[u(ξ) −u(x
0
)]
1
ε
n−1
ds
ξ
= ω
n
u(x
0
) +
1
ε
n−1

S
ε
(x
0
)
[u(ξ) −u(x
0

)]ds
ξ
.
(2.22)
Do u(x) là hàm liên tục tại x
0
, nên


u (ξ) − u

x
0



< δ
|
1
ε
n−1

S
ε
(x
0
)
[u(ξ − u(x
0
)]ds

ξ
| ≤
1
ε
n−1
ω
n
ε
n−1
δ = ω
n
δ.
và do đó số hạng thứ hai ở vế phải (13) tiến tới 0 khi ε → 0.
2.3 Phát biểu bài tốn biên của phương trình điều
hòa trong miền bị chặn
Trong mục này trình bày phương pháp đưa bài tốn biên hỗn hợp hai
chiều về phương trình tích phân biên một chiều.
Xét phương trình Laplace hai chiều

2
Φ(x, y) =
∂
2
Φ
∂x
2
+
∂
2
Φ

∂y
2
= 0, (x, y) ∈ Ω
+
, (2.23)
trong đó Ω
+
⊂ R
n
là một miền bị chặn được giới hạn bởi biên Γ trơn từng
khúc. Ký hiệu (x
s
, y
s
) là điểm trên Γ tại cung ngun tố chiều dài s và ký
hiệu
φ(s) = Φ(x
s
, y
s
). (2.24)
Ký hiệu ν
s
là vectơ pháp tuyến ngồi đơn vị tại s ∈ Γ. Ta định nghĩa đạo
hàm pháp tuyến tại s ∈ Γ:
ψ(s) =
∂Φ(s)
∂ν
s
= lim

(x,y)→(x
s
,y
s
)
ν
s
. Φ(x, y). (2.25)
Giả sử Γ
j
⊂ Γ (j = 1, 2), Γ
1
∩ Γ
2
= ∅, Γ
1
∪ Γ
2
= Γ. Trên Γ xét các điều
kiện biên hỗn hợp dưới đây:
Φ(s) = b
1
(s), s ∈ Γ
1
, (2.26)
21
Số hóa bởi trung tâm học liệu />ψ(s) = b
2
(s), s ∈ Γ
2

. (2.27)
2.4 Cơng thức biểu diễn hàm điều hòa trên mặt
phẳng và các điều kiện biên
Đối với điểm cố định F = (x
F
, y
F
) ∈ Ω, hàm Green, hay nghiệm cơ
bản của phương trình Laplace hai chiều được cho bởi cơng thức
G(x, y, x
F
, y
F
) = −
1
2
ln[(x −x
F
)
2
+ (y − y
F
)
2
].
Ta biết rằng, tại điểm F thì

2
G(x, y, x
F

, y
F
) = 0.
Tại điểm (x, y) ∈ Ω ta có cơng thức
2πΦ(x, y) =

Γ

ψ(s)G(x
s
, y
s
; x, y) − φ(s)
∂G(x
s
, y
s
; x, y)
∂ν
s

ds. (2.28)
Nếu trong cơng thức (2.28) chuyển qua giới hạn (x, y) → t ∈ Γ và chú
ý tới (2.24) ta có cơng thức
πφ(t) =

Γ

ψ(s)G(s; t) −φ(s)
∂G(s; t)

∂ν
s

ds, t ∈ Γ, (2.29)
trong đó tích phân được hiểu theo nghĩa chính Cauchy tại s = t. Tại mỗi
điểm t trên cung trơn của Γ có cơng thức:
πψ(t) =

Γ

ψ(s)
∂G(s; t)
∂ν
t
− [φ(s) − φ(t)]
∂
2
G(s; t)
∂ν
s
∂ν
t

ds, t ∈ Γ, (2.30)
Giả sử r là véctơ từ điểm t đến điểm s, còn r = |t −s| là độ dài của véctơ
r. Khi đó cơng thức (2.29) có thể được viết lại dưới dạng:
πφ(t) =

Γ


φ(s)
ν
s
.r
r
2
− ψ(s) ln(r)

ds, t ∈ Γ, (2.31)
Tương tự, cơng thức (2.30) có thể được viết lại dưới dạng
πψ(t) =

Γ

[φ(s)−φ(t)]×
2(ν
s
.r)(ν
t
.r) −r
2
ν
t
.ν
s
r
4
+ψ(s)
ν
t

.r
r
2

ds, t ∈ Γ
(2.32)
22
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2.5 Phương pháp phương trình tích phân biên
2.5.1 Bài tốn Dirichlet
Giả sử φ(s) = b
1
(s) được cho trên tồn bộ Γ. Khi đó từ (2.31) ta có
phương trình tích phân đối với hàm ψ(s):

Γ
ψ(s) ln(r) ds = −πb
1
(t) +

Γ
b
1
(s)
ν.r
r
2
ds, t ∈ Γ (2.33)
Trong trường hợp này giả thiết rằng b
1
(t) ∈ H

1/2
(Γ) và tìm hàm ψ(t) trong
lớp H
−1/2
(Γ). Nhận xét rằng phương trình (2.33) là phương trình tích phân
loại một, và là đặt chỉnh (ill-posed) vì nghiệm của nó thường khơng được
ổn định theo vế phải. Để tìm nghiệm ổn định của các phương trình tích
phân loại một thường vận dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov [7].
Nếu sử dụng cơng thức (2.32) thì ta có phương trình tích phân:
πψ(t)−

Γ
ψ(s)
ν
t
.r
r
2
=

Γ

[b
1
(s)−b
1
(t)]
2(ν
s
.r)(ν

t
.r) −r
2
ν
s
.ν
t
r
4

ds, t ∈ Γ,
(2.34)
Phương trình (2.34) là phương trình tích phân Fredholm loại hai và là
phương trình đặt chỉnh.
2.5.2 Bài tốn Neumann
Giả sử ψ(s) = b
2
(s) ∈ H
−1/2
(Γ) được cho trên tồn bộ Γ. Khi đó từ
(2.31) ta có phương trình tích phân đối với hàm φ(s) ∈ H
1/2
(Γ) :
πφ(t) −

Γ
φ(s)
ν.r
r
2

ds = −

Γ
b
2
(s) ln(r) ds, t ∈ Γ. (2.35)
Phương trình (2.35) là phương trình tích phân Fredholm loại hai và có
cùng dạng với phương trình (2.34). Để bài tốn Neumann trong miền bị
chặn Ω
+
giải được phải có điều kiện

Γ
ψ(s) ds =

Γ
b
2
(s) ds = 0. (2.36)
23
Số hóa bởi trung tâm học liệu />