Ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp - Sáng kiến kinh nghiệm

Sở gdđt quảng bình
TRƯờNG THPT Số 1 Bố TRạCH
------

SáNG KIếN KINH NGHIệM
Đề TàI

ứng dụng tích phân
để giải các bài toán tổ hợp

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Hữu Quyết
Tổ: Toán
Năm học: 2012-2013
Bố Trạch, tháng 4 năm 2013


MỤC LỤC
Trang
PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................ 2
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................... 2
2. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu............................................. ….2
3. Phương pháp nghiên cứu.................................................................................. 2
NỘI DUNG.......................................................................................................... 3
1. Nhị thức Newton............................................................................................... 3
2. Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân................................. ..3
3. Các dạng tốn tổ hợp ứng dụng tích phân ........................................................ 4
3.1. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản ................................................... 4
3.2. Giải các bài tốn tổ hợp dựa vào tích phân cho trước .................................... 9
3.3. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản sau khi đã nhân thêm hàm số vắng
........................................................................................................................... 12
4. Bài tập đề nghị ............................................................................................... 14

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .......................................................................... 16
1. Kết quả từ thực tiễn........................................................................................ 16
2. Kết quả thực nghiệm ...................................................................................... 16
KẾT LUẬN ...................................................................................................... 19
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 20

1


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, các bài toán của Đại số tổ hợp thường xuất hiện
trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng khá nhiều. Trong nội dung này
có một số bài tốn ứng dụng tích phân để giải quyết. Tuy nhiên, tích phân được học
ở trong chương trình lớp 12, còn tổ hợp được học ở trong chương trình lớp 11. Hệ
thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để giải các
bài tốn tổ hợp thì khơng được trình bày, học sinh không được rèn luyện kỹ năng
này trên lớp. Do đó, khi gặp bài tốn này ở các đề thi Đại học và Cao đẳng, học sinh
phần lớn khơng làm được.
Nhằm giúp học sinh vận dụng được tích phân để giải các bài toán tổ hợp,
chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng sắp tới, tơi chọn đề
tài “Ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp” làm sáng kiến kinh nghiệm
của mình.
2. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
- Học sinh lớp 12A1, 12A2, 12A3 trường THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình.
- Các bài tốn của Đại số tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương
pháp sau: nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, cấu

trúc đề thi tuyển vào Đại học và Cao đẳng của mỗi năm, phân tích kỹ đối tượng học
sinh mà mình đang giảng dạy (đặc thù, trình độ tiếp thu, khả năng tự đọc, tự tìm
kiếm tài liệu học tập,…). Từ đó lựa chọn các bài tập cụ thể giúp học sinh vận dụng
hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của mình để đưa ra lời giải
đúng cho bài tốn.
Do khn khổ của sáng kiến, ở mỗi phần tôi xin không nhắc lại các kiến thức
cơ bản về đại số tổ hợp và tích phân vì những kiến thức này được trình bày chi tiết
trong sách giáo khoa trung học phổ thông, mà chỉ nhắc lại công thức khai triển nhị
thức Newtơn và đi chú trọng các bài tập tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết.
2


NỘI DUNG
1. Nhị thức Newton
Cho n là số nguyên dương, a và b là hai số thực.
n

2
n
k
 a  b n  C0 a n  C1 a n 1b  Cn a n  2b 2  ...  Cn bn   Cn a n  k b k
n
n
k 0

Nhận xét:
n
- Trong khai triển  a  b  có n + 1 số hạng.
n

- Tổng các số mũ trong mỗi số hạng của khai triển  a  b  bằng n.
- Các hệ số của các số hạng có tính chất đối xứng: Ck  Cn  k k  , k  n
n
n

 a  b n  Cn a n  Cn 1a n 1b  C2 a n  2b 2  ...  C0 b n
n
n
n
n
- Nếu sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của a thì số hạng tổng quát thứ k + 1 trong
n

khai triển  a  b  là Ck a n  k b k
n
Chú ý:
n

1)  a  b   C0 a n  C1 a n 1b  C2 a n  2b 2  C3 a n 3b3  ...  (1) n Cn bn
n
n
n
n
n
0
2
n
2) 2n  Cn  C1  Cn  C3  ...  Cn
n
n

2
n
3) 0  C0  C1  Cn  C3  ...  (1)n Cn
n
n
n

2. Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân
1 1 1
1
Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa các phân số 1; ; ; ;...; ;... và
n
2 3 4

mẫu số được xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm đều theo một quy luật nào đó, ta nghĩ
ngay đến việc sử dụng tích phân. Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với các cận thích hợp.
Bước 2: Tính tích phân trong cả hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton và vế đã
khai triển.
Bước 3: Cho hai kết quả bằng nhau và kết luận.
Chú ý: Khi mỗi hệ số trong tổ hợp có dạng b k  a k , ta chọn cận từ a đến b, tức là
b

 f  x  dx
a

3

Trước khi đi vào các bài toán cụ thể, ta cần nhớ các đẳng thức tích phân sau:
b

1)

 1  x 

n

b





2
n
dx   C0  C1 x  Cn x 2  ...  Cn x n dx
n
n

a

a
b

b

3
 1  x n 1 


x2
x n 1 
2 x
   C0 x  C1

 Cn
 ...  Cn

n
n
n
2
3
n  1
 n 1 



a

a
b

2)

 1  x 

n

a

b

n

dx   C0  C1 x  C2 x 2  ...   1 Cn x n dx
n
n
n
 n

a
b

b

2
3
n 1 
 1  x  n 1 
 0
n n x
1 x
2 x
  C n x  C n
 
 Cn
 ...   1 Cn


n 1 
2
3
n  1


a
a 

b

3)

  x  1

n

b





2
n
dx   C0 x n  C1 x n 1  Cn x n 2  ...  Cn dx
n
n

a

a
b

b

n 1
  x  1n 1 
 x n 1

xn
2 x
   C0

 C1
 Cn
 ...  Cn 
n
n
n
n
n 1
 n 1 
a
 n 1

a 


b

b

a

4)

a

n
n n
0 n
1 n 1
2 n 2
  x  1 dx  Cn x  Cn x  Cn x  ...   1 Cn dx


b

b

n 1
  x  1n 1 
 x n 1

xn
n
2 x
   C0


 C1
 Cn
 ...   1 Cn 
n
n
n
n
n 1
 n 1 

a
 n 1



a

n

n

Ta sẽ gọi hàm số y   x  1 và y   x  1 là các hàm đa thức cơ bản.

3. Các dạng tốn tổ hợp ứng dụng tích phân
3.1. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản
Bài 1. Cho n  * . Tính tổng: S  C0 
n

2n 1  1 n
22  1 1 23  1 2

Cn 
Cn  ... 
Cn
2
3
n 1

(ĐH Khối B-2003)
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, mẫu số được xếp theo thứ tự tăng đều một
đơn vị, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích

4


phân, các cận và số được thay vào cho biến. Vì số hạng cuối cùng có hệ số
2

nên ta biết cận từ 1 đến 2 và tổng không đan dấu nên ta sử dụng

 1  x 

n

2n 1  1
n 1

dx

1

Giải
n

2
n
Ta có 1  x   C0  C1 x  C n x 2  C3 x 3  ...  Cn x n
n
n
n

2

2

n





2
n
Suy ra  1  x  dx   C0  C1 x  Cn x 2  C3 x 3  ...  Cn x n dx
n
n
n
1

1

1  x n 1

n 1

n 1



3

1
n 1

2
n 1

Vậy S  C0 
n

2

2

1
1
1

 0
  Cn x  C1 x 2  C2 x 3  ... 
Cn x n 1 

n
n
n
2
3
n 1
1

 C0
n

22  1 1 23  1 2
2n 1  1 n
Cn 
Cn  ... 
Cn

2
3
n 1

22  1 1 23  1 2
2n 1  1 n 3n 1  2n 1
Cn 
Cn  ... 
Cn 
2
3
n 1
n 1

Bài 2. Cho n  * . Chứng minh rằng:

C0
n

1 1 1 2
1
2n 1  1
n
 Cn  Cn  ... 
Cn 
2
3
n 1
n 1

(ĐH Sư phạm TPHCM Khối D-2000)
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân.
1

Tổng khơng đan dấu, ta sử dụng

 1  x 

n

dx

0

Giải
n

Xét 1  x   C0  C1 x  C2 x 2  C3 x 3  ...  Cn x n
n
n
n
n
n
n 1 1

1

1  x 
1  x n dx 

n 1
0

0

2n 1  1

n 1

1

  Cn  Cn x  Cn x
0

1

2 2

(1)



n
 C3 x 3  ...  Cn x n dx
n

0

5


1

1
1 2
1


  C0 x  C1 x 2  Cn x 3  ... 
Cn x n 1 
n
n
n

2
3
n 1

0
1
1
1
Cn
 C 0  C1  C 2  ... 
n
n
n
n
2
3
n 1

(2)

1 2
1 n 2n 1  1
1
Cn 
Từ (1) và (2) suy ra C0  C1  Cn  ... 
n
n
3
n 1
n 1

2
Bài 3. Cho n  * . Chứng minh rằng:

1 2
1 
n 1
n
0 1
2Cn  C1 22  Cn 23  ...   1
Cn 2n 1 
1   1 
n
n

3
n 1
n 1
2
(ĐH Giao thông Vận tải - 1996)
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Vì

2n 1
số hạng cuối cùng có hệ số
nên ta biết cận từ 0 đến 2 và tổng đan dấu nên ta sử
n 1
2

dụng

 1  x 

n

dx

0

Giải
n

n

2
n
Xét 1  x   C 0  C1 x  C n x 2  C3 x 3  ...   1 Cn x n
n
n
n

2

2

 1  x 
0

n

 1  x n 1 
1 

n
 
dx   
1   1 

n 1 
n 1 


0

2

  Cn  C n x  C n x
0

1

2 2

n

(3)



 C3 x 3  ...   1 Cn x n dx
n
n

0
2

1
1
n 1


 C0 x  C1 x 2  C2 x 3  ...   1
Cn x n 1 
n
n
n
n
2
3
n 1
0


1
1 2
n 1
Cn 2n 1
 C0 2  C1 22  Cn 23  ...   1
n
n
n
2
3

n 1
Từ (3) và (4) suy ra

1
1 2
1 
n
n 1
n
2C0  C1 22  Cn 23  ...   1
Cn 2n 1 
1   1 
n
n

2
3
n 1
n 1 

6

(4)


Bài 4. Cho n  * . Chứng minh rằng:
n
n
1 1 2 2 3 3
n  n -1  2 + 1

C n + C n + C n + ...+
Cn=
2
3
4
n+1
n+1

Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số

n
nên ta khơng thể nghĩ ra ngay một hàm số nào đó để
n 1

hạng cuối cùng có hệ số

tính tích phân. Bằng cách phân tích số hạng tổng quát

k k  1  k
Cn = 1 Cn , cho ta
k+1
 k+1 

1 2 1
1 n
1
2
n
Cn  .
tổng C1 +C n +C 3 +...+C n -  C1 + C n + C 3 +...+

n
n
n
n
3
4
n+1 
2





2
n

n

Từ đó, ta sử dụng 2   1  x  dx
1

Giải
Cách 1: Xét số hạng tổng quát trong vế trái

k k  1  k
Cn =  1 Cn với k = 0, 1, 2,…,n.
k+1
 k+1 

Do đó,

1 1 2 2 3 3
n n
C n = C1 +C 2 +C 3 +...+C n
C n + C n + C n +...+
n
n
n
n
3
4
n+1
2



- 1 C
2


1 1 2 1 3
n + C n + C n +...+

3

4

1 n
C
n+1 n 


n
2n+1 -1  n-1 2 +1
=
= 2 -  1+x  dx=2 n+1
n+1
0
1

n

n

n

n

Cách 2: Xét 1+x  =C 0 +C1 x+C 2 x 2 +C 3 x 3 +...+C n x n
n
n
n
n
n
Lấy đạo hàm hai vế ta được: n 1+x 
1

n-1

=C1 +2C 2 x+3C 3 x 2 +...+nC n x n-1
n

n
n
n

0

1

1

0

Ta có  nx 1+x 

n-1

0

n-1
n
n-1
dx=   n 1+x-11+x  dx =n  1+x  - 1+x   dx









1

 1+x n+1 1+x n 
 n-1 2n +1 (5)
n
=
2 n+1 -1 -  2 n -1 =
= n


n  n+1
n+1
 n+1

0
1

  C n +2C nx+3C nx
1

0

2

3 2

1
2
3
n n

+...+nC n x n-1 dx= C1 + C 2 + C 3 +...+
Cn
n
n
n
n
2
3
4
n+1



7

(6)


n
1 1 2 2 3 3
n
n  n -1  2 + 1
Từ (5) và (6) suy ra C n + C n + C n + ...+
Cn=
2
3
4
n+1
n+1

Bài 5. Cho n  * . Chứng minh rằng:

1 1
1 3
1 5
1 2n 1 22n  1
C2n  C2n  C2n  ... 
C2n 
2
4
6
2n
2n  1
(ĐH khối A - 2007)
Giải
Xét các khai triển
2
1  x 2n  C0  C1 x  C2n x 2  C3 x 3  ...  C2n x 2n
2n
2n
2n
2n

(7)

2
2n
1  x 2n  C0  C1 x  C2n x 2  C3 x3  ...  C2n x 2n
2n
2n

n

(8)

Trừ vế theo vế (7) và (8) ta được:
2n
1  x 2n  1  x 2n  2  C1 x  C3 x 3  ...  C2n 1x 2n 1 
2n
2n

1  x 2n  1  x 2n

2

1

Suy ra 

 C1 x  C3 x 3  ...  C2n 1x 2n 1
2n
2n
2n

1  x 2n  1  x 2n dx  1

  C2n x  C2n x

2

0

1

3

3



2n
 ...  C2n 1x 2n 1 dx

0
1

1
 1  x 2n 1  1  x  2n 1 
1
1
1 2n 1 2n 

   C1 x 2  C3 x 4  ... 

C2n x 

2n
2n


2(2n  1)

4
2n
2
0

0

1 1
1 3
1 5
1 2n 1 22n  1
 C2n  C2n  C2n  ...  C2n 
2
4
6
2n
2n  1

1
1 4
1
Nhận xét: Nếu phải tính tổng C 0 + C 2 + C 2n +...+
C 2n thì ta xét
2n
2n
2n
3
5
2n+1
P x

1+x 
=

2n

2n

+ 1-x 
2n
=C 0 +C 2 x2 +...+C 2n x 2n
2n
2n
2

1

Sau đó tính tích phân  P  x  dx .
0

Cịn nếu phải tính tổng

1 0 1 2 1 4
1
C 2n thì ta lại xét
C 2n + C 2n + C 2n +...+
2n
4
6
2n+2

2

2
Q  x  =x.P  x  =C 0 x+C 2n x 3 +...+C 2n x 2n+1
2n
2n

8


1

Sau đó tính tích phân  Q  x  dx . Ta sẽ gặp dạng này ở phần tiếp theo.
0

Bài 6. Cho n  * . Chứng minh rằng:

2C0
2n

2 2
2 4
2
22n 1
2n
C2n 
 C2n  C2n  ... 
5
2n  1
2n  1

3
Giải

Xét 1  x 

2n

2
2n
 C0  C1 x  C2n x 2  C3 x 3  ...  C2n x 2n
2n
2n
2n
1

1

 1  x 
1

2n

 1  x  2n 1 
22n 1
 
dx  
n 1
 2n  1 

 1

(9)

1
0

1

2

 C2n  C2n x  C2n x


2

1

 C3 x 3  ...  C2n x 2n  dx
2n
2n

1

1
1
1
1


  C0 x  C1 x 2  C2 x 3  C3 x 4  ... 

C2n x 2n 1 
2n
2n
2n
2n
2n
2
3
4
2n  1
 1

2 2
2 4
2
 2C0  C2n  C2n  ... 
C2n
2n
2n
3
5
2n  1

(10)

2 4
2
22n 1
2 2
0

Từ (9) và (10) suy ra 2C2n  C2n  C2n  ... 
C2n 
2n
5
2n  1
2n  1
3
3.2. Giải các bài toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước
Đối với dạng này, thơng thường trong một câu có hai ý: ý thứ nhất yêu cầu tính
tích phân và ý thứ hai là chứng minh đẳng thức tổ hợp hoặc tính tổng. Khi đó, ta linh
hoạt sử dụng ý trước để làm ý sau.
Bài 1. Cho 2  n   .
1



a) Tính I   x 2 1  x 3



n

dx

0

1 0 1 1 1 2
1
2 n 1  1
n

b) Chứng minh rằng: Cn  Cn  Cn  ... 
Cn 
6
9
3(n  1)
3(n  1)
3
(ĐH Mở Hà Nội - 1999)
Giải

9


a) Đặt t  1  x 3 

dt
 x 2dx
3

Đổi cận x  0  t  1 ; x  1  t  2
2

2
1  t n 1 
2n 1  1
1 n
Khi đó, I   t dx  


31

3  n  1
3(n  1)



(11)

1

1





2
n
b) Xét I   x 2 C0  C1 x 3  Cn x 6  C3 x 9  ...  Cn x 3n dx
n
n
n
0

1





n

  C0 x 2  C1 x 5  C3 x8  C5 x11  ...  Cn x3n  2 dx
n
n
n
n
0
1

1
1
1

1
  C0 x 3  C1 x 6  C2 x 9  ... 
Cn x 3n 3 
n
n
n
n
6
9
3n  3
3
0
1
1
1 2
1
n
Cn

 C 0  C1  C n  ... 
n
n
6
9
3(n  1)
3

(12)

1
1
1 2
1
2n 1  1
n
Từ (11) và (12) suy ra C0  C1  Cn  ... 
Cn 
n
n
3
6
9
3(n  1)
3(n  1)
Bài 2. Cho n  * .
1

a) Tính tích phân

 x 1 -x 
2

n

dx

0

n

 -1 C n = 1
1 0 1 1 1 2 1 3
b) Chứng minh rằng: C n - C n + C n - C n +...+
n
4
6
8
2(n+1)
2(n+1)
2
(ĐH Luật, ĐH Bách Khoa Hà Nội - 1997)
Giải
a) Đặt t  1  x 2  

dt
 xdx
2

Đổi cận x  0  t  1 ; x  1  t  0

1

0
1  t n 1 
1
1 n
Khi đó, I    t dx  
 
21
2  n  1
2(n  1)



(13)

0

1



n



2
b) Xét I   x C0  C1 x 2  Cn x 4  C3 x 6  ...   1 Cn x 2n dx
n
n

n
n
0

10


1





n

2
n
  C0 x  C1 x 3  Cn x 5  C3 x 7  ...   1 Cn x 2n 1 dx
n
n
n
0
1

1
1
1

1
  C0 x 2  C1 x 4  C1 x 6  ... 

C1 x 2n 2 
n
n
n
n
4
6
2n  2
2
0
1
1
1
1
n
 C0  C1  C 2  ...   1
Cn
n
n
n
n
4
6
2(n  1)
2

(14)
n

 -1 C n = 1

1 0 1 1 1 2 1 3
Từ (13) và (14) suy ra C n - C n + C n - C n +...+
n
4
6
8
2(n+1)
2(n+1)
2
Bài 3. Cho n  * .
1



a) Tính tích phân I n =  1-x 2



n

dx

0

n

1
1
1
 -1 C n =  2n !!

b) Chứng minh rằng: 1- C1 + C 2 - C 3 +...+
n
n
n
5
7
2n+1 n  2n+1!!
3
Giải


u  1  x 2
a) Đặt 
dv  dx






n


du  2nx 1  x 2

 v=x






n 1

dx

Khi đó,


In   x 1  x 2






n

1

1



2
2
   2nx 1  x
0 0



n 1

1
1
2 n 1
 2n   1  x
dx-  1-x 2 1  x 2
0

0
 2n  I n 1  I n 





Do đó,

In
I n 1

Suy ra I n 

.

In
I n 1









dx



n 1


dx 



2n
2n  1

 2n !!
I n 1
I
2n 2  n  1 2
..... 1 
.
..... 
In  2
I 0 2n  1 2n  1

3  2n  1!!

 2n !! I   2n !!
 2n  1!! 0  2n  1!!

(15)

11


1



b) Xét I=  1-x

2 n



1



n



2
dx   C0  C1 x 2  Cn x 4  C3 x 6  ...   1 Cn x 2n dx

n
n
n
n

0

0

1

1
1
1
1
n


  C 0 x  C1 x 3  C 2 x 5  C 3 x 7  ...   1
C n x 2n 1 
n
n
n
n
n
3
5
7
2n  1
0


n

 -1 C n
1
1 2 1
 1- C1 + C n - C3 +...+
n
n
n
3
5
7
2n+1

(16)
n

 -1 C n =  2n !!
1
1
1
Từ (15) và (16) suy ra 1- C1 + C 2 - C 3 +...+
n
n
n
n
5
7
2n+1

3
 2n+1!!
3.3. Tính tích phân của hàm đa thức cơ bản sau khi đã nhân thêm hàm số vắng
Khi bài toán cho mà số hạng tổng quát khơng phải là

1 k
1 k
Cn mà là
Cn thì ta
k+1
k+2

phải nhân thêm x vào hàm đa thức cơ bản trước khi tính tích phân, cịn nếu là

1 k
Cn thì ta phải nhân thêm x2 vào hàm đa thức cơ bản trước khi tính tích phân,…
k+3
Bài 1. Cho n  * . Chứng minh rằng:

1 0 1 1 1 2
1
n2n 1  1
n
Cn  Cn  Cn  ... 
Cn 
3
4
n2
2
 n  1 n  2 

Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số
hạng cuối cùng có hệ số

1 k
Cn thì ta phải nhân thêm x vào hàm số cơ bản trước
k+2
1

n

khi tính tích phân. Khi đó, ta sử dụng  x 1  x  dx .
0

Giải



n

n
Xét x 1  x   x C0  C1 x  C2 x 2  C3 x 3  ...  Cn x n
n
n
n
n
1

 x 1  x 
0

n

1

dx   1  x 
0

n 1

1

n

dx   1  x  dx
0
1

 1  x n  2 1  x n 1 



 n2
n 1 

0
12



n2n 1  1
2n  2  1 2n 1  1



n2
n 1
 n  1 n  2 
1

 x 1  x 

n

1

17 





2
dx   x C0  C1 x  Cn x 2  C3 x3  ...  Cn x n dx
n
n
n
n

0

0
1





2
n
  C0 x  C1 x 2  Cn x 3  C3 x 4  ...  Cn x n 1 dx
n
n
n
0
1

1
1 2
1

1 0
  Cn x 2  C1 x 3  Cn x 4  ... 
Cn x n  2 
n
n
3
4
n2
2

0

1
1 2
1
1
n
Cn
 C0  C1  Cn  ... 
n
n
2
3
4
n2
Từ (17) và (18) suy ra

(18)

1 0 1 1 1 2
1
n2n 1  1
Cn 
Cn  Cn  Cn  ... 
n
3
4
n2
2
 n  1 n  2 

Bài 2. Cho n  * . Chứng minh rằng:

1
1 0 1 1 1 2
n 1
Cn  Cn  Cn  ...   1
Cn 
n
3
4
n2
2
 n  1 n  2 
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số
hạng cuối cùng có hệ số

1 k
Cn thì ta phải nhân thêm x vào hàm số cơ bản trước
k+2
1

n

khi tính tích phân. Vì tổng đan dấu nên ta sử dụng  x 1  x  dx .
0

Giải
n



n

Xét x 1  x   x C0  C1 x  C2 x 2  C3 x 3  ...   1 Cn x n
n
n
n
n
n



Đặt u  1  x  du  dx
Đổi cận x  0  u  1 ; x  1  u  0
1

Khi đó,  x 1  x 
0

n

1

1

 u n 1 u n  2 
dx   1  u  u dx  



 n 1 n  2 

0
0
n



1
1
1


n  1 n  2  n  1 n  2 

13

19 


1

 x 1  x 

n

1





n

dx   x C0  C1 x  C2 x 2  C3 x 3  ...   1 Cn x n dx
n
n
n
n
n

0

0
1





n

  C0 x  C1 x 2  C2 x 3  C3 x 4  ...   1 Cn x n 1 dx
n
n
n
n
n
0
1

1
1 2
n 1
1 0

  Cn x 2  C1 x 3  Cn x 4  ...   1
Cn x n  2 
n
n
3
4
n2
2
0

1
1
1
n 1
Cn
 C0  C1  C2  ...   1
n
n
n
n
3
4
n2
2

(20)

1
1 2
1
n 1
Từ (19) và (20) suy ra C0  C1  Cn  ...   1
Cn 
n
n
n
3
n 1
2
 n  1 n  2 
4. Bài tập đề nghị
Bài 1. Cho n  * . Chứng minh rằng:

1
1
1
n 1
C0  C1  C2  ...   1
Cn 
n
n
n
n
3

n 1
n 1
2
1
HD: Vì tổng đan dấu và hệ số
gắn với Cn nên sử dụng
n
n 1

1

 1  x 

n

dx

0

Bài 2. Cho n  * . Chứng minh rằng:
n

 1
1
1
1
n
C0  C1 
C2  ...   1 Cn 
n

n
n
n
n
n 1
n 1
n 1
1
HD: Vì tổng đan dấu và hệ số
gắn với C0 nên sử dụng
n
n 1

1

  x  1

n

0

Bài 3. Cho n  * . Chứng minh rằng:

1
1
3n 1  1
1
2C0  C1 22  C2 23  ...  n
Cn 2n 1 
n

n
n
n
2
3
n 1
n 1
(ĐH Đà Nẵng - 2001)
2

HD: Sử dụng

 1  x 

n

dx

0

1
1
1
1
Cn
Bài 4. Tính tổng: S  C0  C1  C2  ... 
n
n
n
n

3
4
5
n3
14

dx


0

n

HD: Sử dụng  x 2 1  x  dx
0

Bài 5. Chứng minh rằng:
a)

1+e n+1 +
n+1

1 k 2n+1 n 1 k k 1
 k+1 Cn  n+1 +  k+1 Cn e
k=0
k=0
n

n
1

22n+2  3n+1
1 k
Ck 
Cn  

k 1 n
 n+1 2n 1
k=0  k+1 2
k=0 k+1
n

b)

Bài 6. Đặt Sn  1 

1 1 1
1
   ...  . Chứng minh rằng:
n
2 3 4

1
1
1
n 1 1 n
a) Sn  C1  C2  C3  C4  ...   1
Cn
n
n
n

n
3
4
n
2
b)

2
Sn  C1 Sn 1  CnSn  2
n

Bài 7. Tính tổng S 

1.C0
n
A1
1



 ...   1

2.C1
n
A1
2



2

3.Cn

A1
3

n

n
Cn 1S1 

 1n 1
n

 n  1.Cn , biết C0  C1  C2  211
n
 ... 
A1 1
n

n

n

n

1 2
1

1
2

n
HD: Phân tích S  C0  C1  Cn  C3  ...  Cn   C1  Cn  ... 
Cn 
n
n
n
n
n
3
n 1 
2





15


THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Kết quả từ thực tiễn
Trước khi dạy thực nghiệm, tôi tiến hành khảo sát cả ba lớp mà mình đang
đảm nhiệm. Qua kết quả khảo sát, tôi thấy rằng phần lớn học sinh không làm được
các bài tốn nêu ra. Học sinh khơng làm được là tất nhiên vì các lý do sau:
+ Hệ thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để
giải các bài tốn tổ hợp thì khơng được trình bày.
+ Các kiến thức của Đại số tổ hợp trong chương trình lớp 11, học sinh đã quên.
+ Học sinh chưa định hình được cách giải.
Tuy nhiên, trước khi bắt đầu dạy thực nghiệm, tôi đã yêu cầu học sinh ôn tập
lại các kiến thức của Đại số tổ hợp. Trong khi giảng dạy, tôi hướng dẫn học sinh tỉ

mỉ cách nhận biết bài toán tổ hợp vận dụng được tích phân, phân tích các yếu tố có
trong bài tốn để từ đó đưa ra hàm lấy tích phân, các cận của tích phân và thay số
tương ứng để đi đến lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tốn
có sử dụng tích phân để giải thì các em đã thận trọng trong khi đi tìm hàm lấy tích
phân và trình bày lời cho bài toán đặt ra.
2. Kết quả thực nghiệm
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2012-2013.
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả
thi và hiệu quả của đề tài.
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại lớp 12A1, 12A2, 12A3, trường
THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình.
+ Lớp 12A1 ( 46 học sinh), 12A2( 44 học sinh), được áp dụng sáng kiến.
+ Lớp 12A3 ( 46 học sinh) không áp dụng sáng kiến.
Sau khi dạy thực nghiệm cho lớp 12A1, 12A2, cịn khơng dạy thực nghiệm ở
lớp 12A3, tôi cho cả 3 lớp làm bài kiểm tra.

Với kết quả như sau:

16


Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013
Xếp loại
Giỏi
Đối tượng

www.VNMATH.com

Khá

Tb

Yếu

Kém

12A1

10,9%

26,1%

34,8%

15,2%

13,0%

12A2

9,1%

22,7%

36,4%

18,2%

13,6%

12A3

0%

0%

13,6%

25,0%

61,4%

Vì như đã nêu ở trên nên đa số các em lớp 12A3 làm khơng được, chỉ tính
được tích phân ở Bài 3. Cịn lớp 12A1, 12A2, do các em đã được trang bị các kiến
thức và phương pháp giải quyết vấn đề nên phần lớn các em biết cách làm. Do đó,
kết quả kiểm tra cho ta sự khác biệt giữa lớp dạy thực nghiệm và lớp không dạy thực
nghiệm.
Đề kiểm tra khảo sát 45 phút
SỞ GDĐT QUẢNG BÌNH
KIỂM TRA KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM
TRƯỜNG THPT SỐ 1 BỐ TRẠCH
Thời gian làm bài: 45 phút
Họ và tên:………………………………………………………………………….Lớp: 12A…
Bài 1. (2,0 điểm) Chứng minh rằng:

1
1
22013
1

C0  C2  C4  ... 
C2012 
2013
2013
2013
2013
5
2013
2014
3
Bài 2. (2,0 điểm) Tính tổng: S 

1
1
1
n1
C0 
C1 
C2  ...   1 Cn
n
n
n
n
n2
n 1
3
n3

Bài 3. (4,0 điểm) Cho n  * .
1

a) Tính tích phân

 x 1 + x 
2

n

dx

0

1n
2 n+1 -1
1 0 1 1 1 2 1 3
Cn =
C n + C n + C n + C n +...+
b) Chứng minh rằng:
n
2
4
6
8
2(n+1)
2(n+1)
n

1 

Bài 4. (2,0 điểm) Tìm hệ số chứa x trong khai triển  x  4  , biết n là số

2 x

2

nguyên dương thỏa mãn

2C0
n

2 2 1 23 3
2n 1 n 6560
 Cn  Cn  ... 
Cn 
2
3
n 1
n 1

17


Hướng dẫn:
1

Bài 1. Sử dụng

 1  x 

2013

dx

1

1

n

Bài 2. Sử dụng  x 2  x  1 dx
0

Bài 3. a) Đặt u  1  x 2 .
n

b) Từ câu a), ta khai triển x 1 + x 2  và tính tích phân cả hai vế.
1
Ta có thể rút gọn
và sử dụng
2
2

Bài 4. Sử dụng

 1  x 

n

1

 1  x 

n

dx

0

dx . Kết quả: Hệ số cần tìm là

0

18

21
.
4


KẾT LUẬN
Trong các đề thi Đại học và Cao đẳng có nhiều dạng tốn mà trong chương
trình sách giáo khoa không được giới thiệu, trên cơ sở những kinh nghiệm của bản
thân trong q trình dạy học lớp 12, tơi đã mạnh dạng đưa ra một số bài tập của Đại
số tổ hợp có ứng dụng tích phân để giới thiệu cho các em trên lớp và hy vọng vấn đề
này trong những năm học tiếp theo học sinh được biết đến trên lớp và trong nội dung
của chương trình học.
Do sự hạn chế về thời gian cũng như kinh nghiệm giảng dạy và nghiên cứu,
trong sáng kiến này không thể tránh khỏi thiếu sót. Tơi rất mong sự góp ý, bổ sung
của quý thầy cô và các bạn để sáng kiến của tơi được hồn thiện hơn.

19

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục 2009.
2. Đồn Quỳnh (tổng chủ biên), Đại số và Giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất bản giáo
dục 2009.
3. Phạm Trọng Thư, Tuyển chọn 36 đề thử sức Đại học môn Toán, Nhà xuất bản Đại
học Sư phạm 2012.
4. Nguyễn Đức Hồng, Giới thiệu nhanh đề thi tốn học, Tốn, Nhà xuất bản Đại
học Sư phạm 2010
5. Võ Thanh Văn (chủ biên), Chuyên đề ứng dụng nguyên hàm, tích phân trong giải
toán THPT, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm 2009.
6. Trần Phương, Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân, Nhà xuất bản tri
thức 2006.
----------- HẾT ---------

20