Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM








TẠ VĂN HƯỞNG








SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH
VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH








LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC

Thái Ngun - 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu />

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM







TẠ VĂN HƯỞNG






SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH
VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Chun ngành: Giải tích
Mã số : 60.46.01.02



LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC


Người hướng dẫn khoa học: TS. Đào Thị Liên






Thái Ngun - 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu />i
Mục lục
MỞ ĐẦU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức cơ sở. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Hệ phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Hệ phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Hệ chuyển mạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 2. Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1. Hàm Lyapunov đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính.

28
2.2. Hệ phương trình chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính và những
ví dụ chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính . . 37
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . 46
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1
MỞ ĐẦU
Trong khoa học và ứng dụng thực tiễn hiện nay có nhiều bài tốn, chẳng
hạn mơ tả hệ thống chuyển mạch của mạng điện, hệ thống mạng viễn
thơng, đòi hỏi phải giải và xét tính ổn định của hệ chuyển mạch vi phân
thường dạng:
˙x = f
σ
(x) (0.1)
trong đó σ : R → {1, 2, , N} , N ∈ N, là tín hiệu chuyển mạch, x là tín
hiệu trong R
n
, n ∈ N, cũng như hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính
dạng:
E
σ
˙x = A
σ
x (0.2)
trong đó E
p
, A
p
∈ R

n×n
, là ma trận hằng với mỗi tham số p ∈ {1, 2, , N},
detE
p
= 0, σ là tín hiệu chuyển mạch.
Khi mỗi ma trận E
p
là khả nghịch thì hệ (0.2) đưa về hệ chuyển mạch vi
phân thường (0.1)(hoặc gọi tắt hệ chuyển mạch).
Bài tốn về ổn định của hệ chuyển mạch đã nhận được rất nhiều sự chú
ý của các nhà khoa học trong hai thập niên qua và nó đang là vấn đề mang
tính thời sự. Có những ví dụ chỉ ra rằng trong hệ chuyển mạch mặc dù tất
cả các hệ con ổn định nhưng hệ chuyển mạch vẫn khơng ổn định, cũng có
những ví dụ chỉ ra rằng trong hệ chuyển mạch tất cả các hệ con ổn định
thì hệ chuyển mạch ổn định nhưng tùy thuộc vào tín hiệu chuyển mạch. Hệ
chuyển mạch là ổn định tiệm cận với sự chuyển mạch tùy ý nếu và chỉ nếu
các hệ con có chung một hàm Lyapunov thích hợp.
Năm 1892 A. M. Lyapunov (1857-1918) nhà tốn học người Nga đã giải
quyết bài tốn ổn định bằng hai phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc
trưng Lyapunov (còn gọi là phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất
của Lyapunov) và phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2
thứ hai của Lyapunov). Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận văn là
phương pháp hàm Lyapunov.
Vấn đề đặt ra là ta cần phát triển đầy đủ các điều kiện đảm bảo sự ổn
định của hệ chuyển mạch vi phân đại số trên cơ sở tồn tại hàm Lyapunov
thích hợp. Nội dung chính của bản luận văn này là dựa trên kết quả trong
bài báo “ On stability of linear switched differential algebraic equations” của
tác giả D. Liberzon and S. Trenn, trong đó đã nêu được các điều kiện đủ về
sự ổn định cho hệ chuyển mạch vi phân đại số, tính ổn định của hệ chuyển

mạch vi phân đại số và vai trò của hàm Lyapunov thích hợp đối với hệ
chuyển mạch vi phân đại số.
Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Luận văn gồm 2
chương:
Chương 1. Các kiến thức cơ sở
Nội dung chương này là trình bày những kiến thức cơ sở về hệ phương trình
vi phân thường, hệ phương trình vi phân đại số, các kiến thức mở đầu về
hệ chuyển mạch.
Chương 2. Trình bày tóm tắt các kết quả về chuyển mạch vi phân đại số
hệ số hằng, đưa ra một số ví dụ minh họa cho bài tốn ổn định và khơng
ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số, nghiên cứu tính ổn định của hệ
chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />3
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Sư phạm-Đại
học Thái Ngun. Qua đây tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ giáo Khoa
Tốn, Ban Giám hiệu, Phòng Quản lý Sau Đại học nhà trường đã trang bị
kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tơi trong q trình học tập
và nghiên cứu. Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Đào Thị Liên,
người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến
thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hồn thành luận văn. Tơi
cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động
viên, giúp đỡ tơi q trình học tập của mình. Do thời gian và trình độ còn
hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Tơi rất mong nhận
được sự góp ý của các thầy cơ và các bạn để luận văn được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Thái Ngun, tháng 8 năm 2013
Tác giả
Tạ Văn Hưởng
Số hóa bởi trung tâm học liệu />4

Chương 1
Kiến thức cơ sở
1.1. Hệ phương trình vi phân thường
1.1.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1.1. Hệ phương trình vi phân thường (ODE)là hệ phương
trình dạng
dy
i
dt
= f
j
(t, y
1
, y
2
, , y
n
), (j = 1, 2, , m) (1.1)
trong đó t là biến độc lập; y
1
, y
2
, , y
n
là các hàm cần tìm; f
j
là các hàm
xác định trong bán trụ
T = I
t

+
× D
y
, I
t
+
= {t
0
< t < ∞}
và D
y
là miền mở thuộc R
2
; m có thể khác hoặc bằng n.
Định nghĩa 1.1.2. Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính có dạng











dy
1
dt
= a

11
(t)y
1
+ a
12
(t)y
2
+ + a
1n
(t)y
n
+ f
1
(t)
dy
2
dt
= a
21
(t)y
1
+ a
22
(t)y
2
+ + a
2n
(t)y
n
+ f

2
(t)

dy
n
dt
= a
n1
(t)y
1
+ a
n2
(t)y
2
+ + a
nn
(t)y
n
+ f
n
(t)
(1.2)
trong đó t là biến độc lập; y
1
(t), , y
n
(t) là các hàm cần tìm, các hàm
a
ij
và f

i
(t) lần lượt gọi là các hệ số và hệ số tự do và chúng được giả thiết là
liên tục trên khoảng I = (a, b) nào đó.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />5
Dùng kí hiệu ma trận có thể viết hệ (1.2) dưới dạng thu gọn
dY
dt
= A(t)Y + F (t (1.3)
trong đó A(t) = (a
ij
(t)) là ma trận cấp n × n, F (t) = (f
1
(t), , f
n
(t))
T
là
vector cột.
Nếu F(t) ≡ 0 ta gọi hệ trên là hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất, nếu F (t) = 0 ta gọi hệ trên là hệ tuyến tính khơng thuần nhất.
Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ∞) của hệ
dY
dt
= F (t, Y ) (1.4)
trong đó Y = colon(y
1
, y
2
, , y
n

)
F (t, Y ) = colon (f
1
(t, Y ), , f
n
(t, Y ))
dY
dt
= colon(
dy
1
dt
, ,
dy
n
dt
)
được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov khi t → +∞(hay ổn định Lya-
punov) nếu với mọi ε > 0 và t
0
∈ (a, ∞) tồn tại δ = δ(ε, t
0
) > 0 sao
cho
1. Tất cả các nghiệm Y = Y (t) của hệ (1.4)(bao gồm cả nghiệm Z(t))
thỏa mãn điều kiện
Y (t
0
) − Z(t
0

) < δ (1.5)
xác định trong khoảng [t
0
, +∞) tức là Y (t) ∈ D
y
khi t ∈ [t
0
, +∞)
2. Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau thỏa mãn
Y (t) − Z(t) < ε khi t
0
≤ t < ∞. (1.6)
Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ∞) được gọi là ổn định
tiệm cận khi t → +∞ nếu
1. Ổn định Lyapunov.
2. Với mọi t
0
∈ (a, ∞) tồn tại δ = δ(t
0
) > 0 sao cho mọi nghiệm Y (t),
(t
0
≤ t < ∞) thỏa mãn điều kiện Y (t
0
) − Z(t
0
) < δ thì
lim
t→∞
Y (t) − Z(t) = 0 (1.7)

Số hóa bởi trung tâm học liệu />6
1.1.2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) trong đó ma trận A(t) và
vector F (t) liên tục trên khoảng (a,∞). Giả sử
X(t) = [x
ij
(t)] (det X = 0) (1.8)
là ma trận nghiệm cơ bản của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất tương ứng
dY
dt
= A(t)Y (1.9)
tức là ma trận gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của (1.9)





X
(1)
(t) = colon (x
11
(t), , x
n1
(t))

X
(n)
(t) = colon (x
1n

(t), , x
nn
(t))
Nếu ma trận nghiệm cơ bản X(t) là chuẩn hóa tại t = t
0
, tức là X(t
0
) = I
n
,
thì
Y (t) = X(t)Y (t
0
) (1.10)
Định nghĩa 1.1.5. Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là
ổn định(hoặc khơng ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y (t) của nó ổn
định (hoặc khơng ổn định) Lyapunov khi t → +∞.
Định nghĩa 1.1.6. Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn
định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t → +∞.
Định lý 1.1.7. Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình vi phân tuyến
tính (1.3) ổn định với số hạng tự do bất kì F (t) là nghiệm tầm thường
Y
0
≡ 0 (t
0
< t < ∞, t
0
∈ (a, ∞))
của hệ thuần nhất tương ứng (1.9) ổn định.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />7

Định lý 1.1.8. Hệ phương trình vi phân tuyến (1.3) ổn định tiệm cận
khi và chỉ khi nghiệm tầm thường Y
0
≡ 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần
nhất tương ứng (1.9) ổn định tiệm cận khi t → +∞.
Xét hệ vi phân tuyến tính (1.9), trong đó A(t) liên tục trong khoảng(a, ∞).
Định lý 1.1.9. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.9) ổn
định Lyapunov khi và chỉ khi mỗi nghiệm Y = Y (t) (t
0
≤ t < ∞) của hệ
đó bị chặn trên nửa trục t
0
≤ t < ∞.
Định lý 1.1.10. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.9) ổn
định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm Y = Y (t) dần tới khơng khi
t → +∞, tức là
lim
t→∞
Y (t) = 0 (1.11)
Định lý 1.1.11. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.9) với
ma trận hằng ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng λ
i
= λ
i
(A)
của đều có phần thực khơng dương
Reλ
i
(A) ≤ 0 (i = 1, 2, , n)
Định lý 1.1.12. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.9) với

ma trận hằng ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng
λ
i
= λ
i
(A) của A đều có phần thực âm, tức là
Reλ
i
(A) < 0 (i = 1, 2, , n)
1.2. Hệ phương trình vi phân đại số
1.2.1.Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.2.1. Cho P ∈ L(R
n
). P được gọi là một phép chiếu nếu
P
2
= P .
Nhận xét 1.2.2.
1. Cho P là phép chiếu. Khi đó ta có KerP ⊕ ImP = R
n
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />8
2. Mỗi phân tích R
n
= U ⊕ V tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho
ImP = U và KerP = V , khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V .
Đặt Q := I − P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc
theo U.
Cho A, B ∈ L(R
n

), gọi S = {x ∈ R
n
: Bx ∈ im A}.
Phép chiếu Q lên KerA dọc theo S được gọi là phép chiếu chính tắc, kí
hiệu Q
can
.
P
can
= I
n
− Q
can
Định nghĩa 1.2.3. Cho A ∈ L(R
n
). Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của
ma trận A, kí hiệu là indA nếu đó là số nhỏ nhất mà KerA
k
= KerA
k+1
Định nghĩa 1.2.4. Với A ∈ L(R
n
) ta ln có
ImA
k
+ KerA
k
∈ R
n
với mọi k thỏa mãn 0 < k < indA.

ImA
k
+ KerA
k
= ImA
k
⊕ KerA
k
= R
n
với k ≥ indA
Định nghĩa 1.2.5.[5] Cho A, B ∈ L(R
n
). Cặp ma trận (A, B) được gọi
là chính quy nếu ∃ c ∈ R sao cho det (cA + B) = 0. Trường hợp ngược lại,
ta gọi cặp ma trận (A, B) là khơng chính quy.
Định nghĩa 1.2.6.[5] Cho cặp ma trận (A, B) chính quy, c là số mà
det(cA + B) = 0. Chỉ số của cặp ma trận (A, B) kí hiệu ind(A, B), là
chỉ số của ma trận (cA + B)
−1
A
ind (A, B) = ind ((cA + B)
−1
A)
(Định nghĩa này khơng phụ thuộc vào việc chọn giá trị c)
Định lý 1.2.7.[5] Nếu Q ∈ L(R
n
) khơng suy biến thì
ind (QA, QB) = ind (AQ, BQ) = ind (A, B)
Nếu A, B giao hốn được thì ind(A, B) = ind A.

Số hóa bởi trung tâm học liệu />9
Một số tính chất của cặp ma trận chính quy (A, B) (Xem [5])
1. Nếu cặp ma trận (A, B) là chính quy thì cặp ma trận (A, B +sA) cũng
là chính quy với mọi s ∈ R và ind (A, B) = ind (A, B + sA)
2. Nếu cặp ma trận (A, B) là chính quy, ind(A, B) = k và
rank


(cA + B)
−1
A

k

= r
thì tồn tại các ma trận S, T khả nghịch sao cho
A = S
−1
diag (I
r
, N)T , B = S
−1
diag (M,
I
m−r
)T
trong đó N(t) là k - lũy linh, tức là N
k
= 0, N
l

= 0 với mọi l < k.
3. Nếu A(t), B(t) ∈ C(J, L(R
n
))
η(t, λ) = det(λA(t) + B(t)) = a
r
(t)λ
r
+ + a
1
(t)λ + a
o
(t)
với a
r
= 0 trên J thì tồn tại các ma trận khả nghịch S, T ∈ C(J, L(R
n
))
sao cho
S(t)A(t)T
−1
(t) =

I
r
0
0 N(t)

S(t)B(t)T
−1

(t) =

M(t) 0
0
I
m−r

trong đó N(t) là k - lũy linh, tức là N
k
= 0, N
l
= 0 với mọi l < k.
Ngồi ra nếu
A(t), B(t) ∈ C
i
(J, L(R
n
)), (i = 0, 1, 2, , n)
và deg det(λA + B) = rankA =: r với mọi t ∈ J thì tồn tại các ma trận
khả nghịch S(t), T(t) ∈ C
i
(J, L(R
n
)) sao cho
S(t)A(t)T
−1
(t) =

I
r

0
0 0

, S(t)B(t)T
−1
(t) =

M(t) 0
0
I
n−r

Định lý 1.2.8.[5] Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là tương
đương
1. Cặp ma trận (A, B) chính quy với chỉ số 1.
2. Từ x ∈ KerA và Bx ∈ ImA kéo theo x = 0.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />10
3. Cặp ma trận (A, B) chính quy và deg det(λA + B) = rankA.
4. Cặp ma trận (A, B+AW ) chính quy và ind(A, B+AW ) = 1,∀ W ∈ R.
5. Ma trận G := A + BQ khơng suy biến với Q là phép chiếu lên KerA.
6. Với S = {x ∈ R
n
: Bx ∈ im A} thì S ⊕ KerA = R
n
.
7. Nhân vào bên trái ma trận khơng suy biến thích hợp E ∈ R
n
thỏa mãn
EA =


A
1
0

, EB =

B
1
B
2

, rankA = rankA
1
ta nhận được ma trận khơng suy biến

A
1
B
2

∈ R
n
.
Định nghĩa 1.2.9.[5] Ma trận A
+
thỏa mãn các tính chất
1. A
+
y = x ∈ ImA
T

với y ∈ ImA mà Ay = y.
2. A
+
y = 0 với y ∈ KerA
T
.
được gọi là nghịch đảo Moore -Penrose của ma trận A ∈ R
n
.
Định nghĩa 1.2.10.[5] Giả sử A ∈ R
n
và ind (A) = k. Ma trận thỏa
mãn các tính chất
1. A
D
y = x nếu y ∈ imA
k
và y = Ax
2. A
D
y = 0 và y ∈ kerA
k
được gọi là nghịch đảo Drazin của A.
Định lý 1.2.11.[5] Giả sử A ∈ R
n
ta có
1. A
+
AA
+

= A
+
và AA
+
A = A.
2. AA
+
là phép chiếu vng góc lên im(A) dọc theo ker(A
T
)) và A
+
A là
phép chiếu vng góc lên imA
T
dọc theo kerA.
Định lý 1.2.12. Nếu
ind (A) = k, rank(A
k
) = r
im (A
k
) = span (s
1
, , s
r
)
ker (A
k
) = span (s
r+1

, , s
m
) , S = [s
1
, , s
m
]
thì A = S diag (M, N)S
−1
trong đó M là (r × r)-ma trận khơng suy biến
Số hóa bởi trung tâm học liệu />11
và N là k -lũy linh.
Định lý 1.2.13. Giả sử cặp ma trận (A, B) ∈ R
n
× R
n
có ind(A, B) = 1,
khi đó S = {x ∈ R
n
: Bx ∈ Im A} được gọi là khơng gian liên hợp của cặp
(A, B).
Mệnh đề 1.2.14.[5] Nếu cặp ma trận (A, B) là chính quy, ind(A, B) và Q
là phép chiếu lên kerA thì các đẳng thức sau đây là đúng
G
−1
A = I − G, G
−1
BQ = Q
trong đó G := A + BQ
Định lý 1.2.15.[5] Giả sử cặp ma trận (A, B) chính quy chỉ số 1. Khi

đó các hệ thức sau thỏa mãn
S = im((cA + B)
−1
)A)
Q
can
= I −

(cA + B)
−1
)A
D

(cA + B)
−1
)A
trong đó c ∈ R sao cho cA + B là khả nghịch và A
D
là nghịch đảo Drazin
của A.
Ví dụ: Xét hệ

x
1

− x
1
= 0
tx
2


− x
2
= 0
, t ∈ R (α).
Ta có A =

1 0
t 0

⇒



rankA = 1
A

x
1
x
2

=

x
1
tx
1

; B =


−1 0
0 − 1

Suy ra im A =

x
1
tx
1

.
N(t) = ker A(t) =

1 0
t 0

x
1
x
2

=

x
1
tx
1

=


0
0

⇔

x
1
= 0
x
2
∈ R

=

0
x
2

|x
2
∈ R

Khi đó S(t) =

z ∈ A

−1 0
0 − 1


x
1
x
2

=

−x
1
−x
2

∈ imA

Số hóa bởi trung tâm học liệu />12
⇔ x
2
= tx
1
=

x
1
tx
1

, x
1
∈ R


Suy ra hệ (α) đã cho là hệ chính quy chỉ số 1.
P
can
là phép chiếu chính tắc lên S dọc theo N tức là

P u = 0, ∀u ∈ N
P v = v, ∀v ∈ S
(∗)
Đặt P
can
=

p
11
p
12
p
21
p
22

(∗) ⇔













p
11
p
12
p
21
p
22
 
0
x
2

=

0
0


p
11
p
12
p
21
p

22

x
1
tx
1

=

x
1
tx
1













p
12
x
2

= 0
p
22
x
2
= 0
⇒ p
12
= p
22
= 0

p
11
x
1
+ p
12
tx
1
= x
1
p
21
x
1
+ p
22
tx
1

= tx
1
⇒ p
11
= p
21
= 1
⇒ P
can
=

1 0
1 0

Suy ra Q
can
= I − P
can
=

0 0
−1 1

Xét
G(t) = A + BQ =

1 0
t 0

+


−1 0
0 −1

0 0
−1 1

=

1 0
t 0

0 0
1 −1

=

1 0
t + 1 −1

⇒ det G = −1 = 0 ⇒ G
−1
=

1 0
t + 1 −1

Dùng các phép chiếu P
can
, Q

can
nói trên, hệ (α) tương đương hệ

P
can
x

+ P
can
G
−1
BP
can
= 0
Q
can
+ Q
can
G
−1
BP
can
= 0
⇔













x
1

− x
1
= 0
x
1

− x
1
= 0

0x
1
+ 0x
2
= 0
−tx
1
+ x
2
= 0
Thậy vậy

P
can
x

=

1 0
1 0

x
1

x
2


=

x
1

x
1


Số hóa bởi trung tâm học liệu />13
Q
can
x =


0 0
−1 1

x
1
x
2

=

0
−x
1
+ x
2

P
can
xG
−1
BP
can
x =

1 0
1 0

1 0
t + 1 −1


−1 0
0 −1

x
1
x
1

=

1 0
1 0

1 0
t + 1 −1

−x
1
−x
1

=

1 0
1 0

−x
1
[−(t + 1) + 1] x


=

1 0
1 0

−x
1
−tx
1

=

−x
1
−x
1

Q
can
xG
−1
BP
can
x =

0 0
−1 −1

1 0
t + 1 −1


−x
1
−x
1

=

0
x
1
− tx
1

.
1.1.2. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
Định nghĩa 1.2.16. Phương trình vi phân đại số tuyến tính (DAEs) là
phương trình có dạng
A(t)x

(t) + B(t)x(t) = q(t), t ∈ (−∞; +∞) (1.12)
trong đó A(t) B(t) ∈ C(I, L(R
n
)), q(t) liên tục trên I, detA(t) = 0 với
∀t ∈ I.
Trường hợp A, B ∈ L (R
n
) ta gọi hệ trên là hệ phương trình vi phân đại số
với hệ số hằng.
Định nghĩa 1.2.17. Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.12) được

gọi là chính quy chỉ số 1 nếu cặp ma trận hệ số (A, B) chính quy chỉ số 1.
Định nghĩa 1.2.18. Giả sử N(t) := kerA(t) là trơn, nghĩa là tồn tại
phép chiếu Q ∈ C
1
(P ) lên N(t) , P = I − Q .
Hàm x(t) ∈ C
1
N
được gọi là nghiệm của phương trình (1.12) trên P nếu
hệ thức
A(t)(P (t)x(t))

− P

(t)x(t) + (B(t)x(t) = q(t)
thỏa mãn với mọi t ∈ R.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />14
Hơn nữa với phương trình vi phân đại số tuyến tính thuần nhất chính quy
chỉ số 1
A(t)x

+ B(t)x = 0, t ∈ R (1.13)
thì S(t) = imP
can
là khơng gian nghiệm của (1.13), khơng gian nghiệm của
(1.13) có số chiều là r (r = rank A(t)).
Nói một cách chính xác, với mỗi x
0
∈ S(t
0

) có đúng một nghiệm của (1.13)
đi qua vào thời điểm t
0
. Nghiệm của phương trình thuần nhất (1.13) được
xác định bởi
x(t) = P
can
(t)u(t),
trong đó u(t) ∈ imP (t) là nghiệm của phương trình vi phân thường
u

= (P

− P A
1
−1
B
0
)u. (1.14)
Định nghĩa 1.2.19. Phương trình (1.12) được gọi là chuyển được (trans-
ferable) nếu N(t) là trơn và ma trận G(t) := A(t) + B(t)Q(t),
trong đó Q(t) ∈ C
1
(P ) là phép chiếu lên N(t), có nghịch đảo bị chặn trên
mỗi đoạn [0; T ] ⊆ R.
Định nghĩa 1.2.20. Hai phương trình
u

= (P


− P A
1
−1
B
0
)u (1.15)
u

= (P

(t)P
can
(t) − P (t)G
−1
(t)B(t)u(t) (1.16)
được gọi là phương trình vi phân thường tương ứng với phương trình vi phân
(1.13) dưới phép chiếu P .
Định nghĩa 1.2.21. Phương trình (1.13) với hệ số A, B ∈ C(I, L(R
n
))
được gọi là phương trình vi phân đại số dạng chuẩn tắc Kronecker với chỉ
số 1 nếu các ma trận hệ số dạng
A(t) =

I
s
0
0 J(t)

, B(t) =


W(t) 0
0
I
m−s

trong đó J(t) là k-lũy linh và ker J(t) = ker J(0).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />15
Định nghĩa 1.2.22. Một ma trận vng X(t) cấp m được gọi là ma trận
nghiệm cơ bản (FSM) của (1.13) nếu r véctơ cột đầu tiên của nó là các
nghiệm độc lập tuyến tính của (1.13) và (m − r) véc tơ cột còn lại là các
véctơ khơng.
Chú ý: Mọi nghiệm của (1.13) đều thuộc khơng gian nghiệm im P
can
= S(t)
có số chiều là r do đó có nhiều nhất r nghiệm độc lập tuyến tính. Vậy tập
hợp tất cả các nghiệm của (1.13) là khơng gian tuyến tính có số chiều khơng
vượt q r.
Hơn nữa trong [5] đã chỉ ra rằng, nếu p
j
(j = 1, , r) là r véc tơ độc lập
tuyến tính của im P(0) và các véc tơ u
j
(t), x
j
(t) được suy ra từ hệ phương
trình trạng thái x(t) = P
can
(t)u(t) với điều kiện ban đầu u
j

(0) = p
j
(j =
1, , r) , khi đó các véctơ x
1
(t), , x
r
(t) là độc lập tuyến tính và
im P (t) = span(u
1
(t), , u
r
(t)), S(t) = span(x
1
(t), , x
r
(t))
Do đó, tập hợp tất cả các nghiệm của (1.13) là khơng gian con tuyến tính có
số chiều là r. Như vậy mọi ma trận nghiệm cơ bản của (1.13) đều có dạng
X(t) = [x
1
(t), , x
r
(t), 0, , 0]
Chúng ta xét DAEs tuyến tính thuần nhất tương ứng của (1.12)
A(t)x

(t) + B(t)x(t) = 0 (1.17)
trong đó A, B ∈ C(I, L(R
n

)).
Giả sử khơng gian hạch N(t) := ker A(t) là trơn, nghĩa là nó là bao tuyến
tính của những hàm khả vi liên tục.
Trong trường hợp A(t) có hạng khơng đổi, rõ ràng tất cả các nghiệm của
(1.17) thuộc về khơng gian con S(t). Giả sử (1.17) có chỉ số 1, khi đó có
đúng một nghiệm qua mỗi điểm của S(t) tại thời điểm t. Sử dụng bất kì
hàm chiếu Q(t) thuộc lớp C
1
lên N(t) và P(t) := I − Q(t), bài tốn giá trị
ban đầu (IVPs) là đúng với điều kiện đầu
P (0)(x(0) − x
0
) = 0 (1.18)
Bài tốn giá trị ban đầu (1.17),(1.18) có nghiệm duy nhất ∀x
0
∈ R. Các
nghiệm của (DAE) (1.17) thuộc về khơng gian hàm
C
1
N
:=

x ∈ C : P x ∈ C
1

Số hóa bởi trung tâm học liệu />16
Điều này dễ dàng hiểu được nhờ các đồng nhất thức
A(t) = A(t)P (t), A(t)Q(t) = 0
A(t)x


(t) = A(t)P (t)x

(t) = A(t) {(P x)

(t) − P

(t) x(t)} .
Do tính chính quy của nghiệm, các hệ số của A(t), B(t) phải trơn.
Tiếp theo, cho x ∈ C
1
N
chúng ta hiểu biểu thức A(t)x

(t) là viết tắt của
A(t) {(P x)

(t) − P

(t) x(t)} . (1.19)
Cần phải nhấn mạnh rằng, khơng gian hàm C
1
N
và giá trị của biểu thức (1.19)
là độc lập với việc chọn hàm chiếu. Tức là, với hai hàm chiếu P,
¯
P thuộc lớp
C
1
đã cho. Cả P (t) và
¯

P (t) đều chiếu dọc theo N(t). Nếu x ∈ C, P x ∈ C
1
thì
¯
P x =
¯
P P x thuộc về lớp C
1
, vì
¯
P vàPx cũng như vậy. Ngồi ra chúng
ta có
A(t) {(P x)

(t) − P

(t) x(t)}
= A(t)
¯
P (t) {(Px)

(t) − P

(t) x(t)}
= A(t){(
¯
P P x)

(t) −
¯

P

(t)P (t)x(t) −
¯
P (t)P

(t)x(t)}
= A(t){(
¯
P P x)

(t) − (
¯
P P )

(t)x(t)}
= A(t){(
¯
P x)

(t) −
¯
P

(t)x(t)}.
Nhờ ma trận nghiệm cơ bản X(t) của IVP

A(t)X

(t) + B(t)X(t) = 0

P (0)(X(0) − I) = 0
chúng ta có thể viết các nghiệm cơ bản của (1.17), (1.18) là
x(t; x
0
) = X(t)x
0
Chúng ta sử dụng dạng biểu diễn của ma trận cơ bản X của DAE, sử dụng
ma trận cơ bản của ODE (Xem [7])

U

+

−P

P
can
+ P (A + BQ)
−1
B

U = 0
U(0) = I
(1.20)
ở đây, P
can
(t) là phép chiếu chính tắc lên S(t) dọc theo N(t. Khi đó
X(t) = P
can
(t))U(t)P (0). (1.21)

Số hóa bởi trung tâm học liệu />17
Ta nhấn mạnh X(t) là độc lập với phép chiếu đặc biệt P được dùng ở (1.20),
(1.21), trong bất kì trường hợp nào ta có X(0) = P
can
(0).
Hơn nữa, trong khi U ∈ C
1
, nói chung phép chiếu chính tắc P
can
(t) là liên
tục nhưng khơng thuộc lớp C
1
.
Áp dụng biến đổi đại số x = F(t)¯x, F ∈ C
1
và E, F khơng suy biến,
DAE (1.18) biến thành
¯
A(t)¯x

(t) +
¯
B(t)x(t) = 0 (1.22)
với
¯
A = EAF,
¯
B = E(BF + AF

) (1.23)

Phương trình (1.22) gọi là dạng chuẩn tắc Kronecker nếu:
¯
A(t) =

I
n
0

,
¯
B(t) =

W(t)
I
n

Hệ thức giữa khơng gian con riêng và phép chiếu chính tắc có thể mơ tả
bằng
¯
N(t) = F
−1
(t)N(t),
¯
S(t) = F
−1
(t)S(t)
¯
P
can
(t) = F

−1
(t)P
can
(t)F (t).
Với dạng chuẩn tắc Kronecker phép chiếu lên
¯
S(t) :=

z
1
z
2

: z
2
= 0

dọc theo
¯
N(t) :=

z
1
z
2

: z
1
= 0


là
¯
P
can
(t) = diag(I, 0). Do đó bắt đầu với hệ chỉ số 1 dạng chuẩn tắc Kro-
necker sử dụng phép biến đổi F thuộc lớp C
1
chúng ta thu được DAEs với
những phép chiếu chính tắc khả vi liên tục. Như một hệ qủa, coi dạng chuẩn
tắc Kronecker thay cho DAEs với hệ số liên tục.
Định nghĩa 1.2.23. Hệ phương trình Ax

+ Bx = 0 được gọi là chính
quy chỉ số k nếu cặp ma trận (A, B) là chính quy chỉ số k.
Bổ đề: Khi cặp ma trận (A, B) là chính quy chỉ số k và
rank

(cA + B)
−1
A

k = r
Số hóa bởi trung tâm học liệu />18
thì tồn tại các ma trận khả nghịch W, T sao cho:
A = W

I
r
0
0 U


T
−1
B = W

−B
1
0
0 I
m−r

T
−1
trong đó U là k- lũy linh.
Định nghĩa 1.2.24. Giá trị phức λ = ∞ được gọi là giá trị riêng hữu
hạn của cặp ma trận (A, B) nếu det(λA + B) = 0.
Nếu λ là một giá trị riêng hữu hạn thì có một véctơ x = 0 sao cho
λAx = −Bx. Véc tơ x như thế được gọi là vectơ riêng của cặp ma trận
(A, B) tương ứng với giá trị riêng λ.
Định nghĩa 1.2.25. Cặp ma trận (A, B) được gọi là có giá trị riêng λ = ∞
nếu có một véc tơ x = 0 sao cho Ax = 0. Véc tơ x như thế được gọi là véc
tơ riêng của cặp ma trận (A, B) tương ứng với giá trị riêng λ = ∞ .
Định nghĩa 1.2.26. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của Ax

+ Bx = 0 được gọi
là ổn định Lyapunov nếu với mỗi phép chiếu P đã biết dọc theo khơng gian
con bất biến cực đại của cặp (A, B) liên hợp với các giá trị riêng hữu hạn,
bài tốn ban đầu (IVP)

Ax


+ Bx = 0
P (x(0) − x
0
) = 0
với mỗi x
0
có một nghiệm x(t, x
0
) xác định trên [0, ∞). Hơn nữa với mỗi
ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0 sao cho x(t, x
0
) < ε với t ≥ 0 và ∀x
0
∈ R thỏa
mãn P (x
0
) < δ
0
, thì ta có x(t, x
0
) → 0 khi t → ∞.
Định lý 1.2.27. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của Ax

+ Bx = 0 là ổn
định tiệm cận nếu và chỉ nếu tất cả các giá trị riêng hữu hạn của cặp ma
trận (A, B) có phần thực âm.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />19
1.2.3. Sự ổn định của hệ phương trình vi phân đại số
Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau

A(t)x

(t) + B(t)x(t) = 0 (1.24)
trong đó x : I → R
n
, A, B ∈ L(R
n
), det A = 0.
Rõ ràng, hệ (1.24) có nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0.
1.2.3.1. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1
Giả sử hệ (1.24) có chỉ số 1 và KerA(t) trơn. Gọi Q(t) là phép chiếu khả vi
liên tục lên KerA(t), đặt P(t) := I
n
− Q(t) .
Định nghĩa 1.2.29. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.24) được
gọi là ổn định (theo nghĩa Lyapunov) nếu với mọi ε > 0 cho trước và với
mọi t
0
∈ I đều tồn tại δ = δ(t
0
, ε) > 0 sao cho nếu x
0
∈ R
n
thỏa mãn
P (t
0
, x
0
) < δ thì

x(t; t
0
, x
0
) < ε, ∀t ≥ t
0
Định nghĩa 1.2.30. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.24) được gọi
là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số δ
0
(t
0
) > 0 sao cho nếu
P (t
0
, x
0
) < δ
0
(t) thì x(t; t
0
, x
0
) → 0 khi t → +∞
Định nghĩa 1.2.31. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.24) được
gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương λ và mọi số ε > 0
cho trước đều tồn tại số δ = δ(t
0
, ε) > 0 sao cho nếu x
0
∈ R

n
thỏa mãn
P (t
0
, x
0
) < δ thì
x(t; t
0
, x
0
) < εe
λ(t−t
0
)
, ∀t ≥ t
0
1.3. Hệ chuyển mạch
1.3.1. Sự chuyển mạch phụ thuộc theo thời gian (Xem [6])
Định nghĩa 1.3.1. Cho P = {1, 2, , m}; xét họ f
p
: R
n
→ R
n
, p ∈ P.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />20
Hàm hằng từng khúc σ : [0, ∞) → P , có một số hữu hạn các điểm gián đoạn
và liên tục phải tại những điểm gián đoạn đó được gọi là tín hiệu chuyển
mạch.

Gọi S là tập các cặp (σ, x), trong đó σ là tín hiệu chuyển mạch và x là tín
hiệu trong R
n
.
Định nghĩa 1.3.2. Hệ chuyển mạch là hệ phương trình có dạng
˙x = f
σ
(x) (1.25)
trong đó x = ρ(σ, σ
−
, x
−
); (σ, x) ∈ S.
Định nghĩa 1.3.3. Nghiệm của hệ chuyển mạch là cặp (σ, x) ∈ S thỏa
mãn
1. Mọi khoảng mở trên đó σ là hằng số, x là nghiệm của hệ chuyển mạch
˙x = f
σ
(t)
(x).
2. Tại mỗi thời điểm chuyển mạch t, x(t) = ρ(σ(t), σ
−
(t), x
−
(t)).
Hình 1.1: Sự chuyển mạch của hệ với các tín hiệu chuyển mạch khác nhau.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />21
Định nghĩa 1.3.4.
• K là tập các hàm liên tục tăng chặt α(.) : R
+

→ R
+
, α(0) = 0
• K
∞
là tập các hàm liên tục tăng chặt α(.) : R
+
→ R
+
, α(0) = 0 và khơng
bị chặn.
• KL là tập hợp của hàm β : [0, ∞) × [0, ∞) → [0, ∞) sao cho
1. Mỗi t cố định thì β(., t) ∈ K.
2. Mỗi s cố định thì β(s, .) là đơn điệu giảm và β(s, t) → 0 khi t → ∞.
Định nghĩa 1.3.5.
• Điểm cân bằng x
eq
là ổn định nếu ∃ α ∈ K sao cho
x(t) − x
eq
 ≤ α (x(t
0
) − x
eq
) ∀t ≥ t
0
≥ 0, x(t
0
) − x
eq

 ≤ c
dọc theo mỗi nghiệm (σ, x) ∈ S của hệ chuyển mạch.
• Điểm cân bằng x
eq
∈ R
n
ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định Lyapunov
và mỗi nghiệm mà nghiệm đó tồn tại trên [0, ∞)
x(t) → x
eq
khi t → ∞
• Điểm cân bằng x
eq
∈ R
n
là ổn định tiệm cận đều nếu ∃ β ∈ KL sao cho
x(t) − x
eq
 ≤ β (x(t
0
) − x
eq
 , t − t
0
) ∀t ≥ t
0
≥ 0
dọc theo mỗi nghiệm (σ, x) ∈ S của hệ chuyển mạch.
Định nghĩa 1.3.6. Cho hệ chuyển mạch ˙x = f
σ

(x)
trong đó x = ρ(σ, σ
−
, x
−
), (σ, x) ∈ S.
S
all
là tập tất cả cặp (σ, x) với σ là hàm hằng từng khúc và x là liên tục
từng khúc.
Nhận xét 1.3.7. Nếu một hàm f
q
, q ∈ P là khơng ổn định thì hệ chuyển
mạch là khơng ổn định.
Thật vậy
1. Tín hiệu chuyển mạch σ(t) = q, ∀t là chấp nhận được.
2. Với σ này chúng ta khơng thể tìm thấy α ∈ K sao cho
x(t) − x
eq
 ≤ α (x(t
0
) − x
eq
) ∀t ≥ t
0
≥ 0, x(t
0
) − x
eq
 ≤ c

Số hóa bởi trung tâm học liệu />22
thậm chí nếu tất cả f
q
, q ∈ P là ổn định thì hệ chuyển mạch có thể khơng
ổn định.
3. Khi các hệ con ổn định nhưng hệ vẫn khơng ổn định và sự ổn định con
tùy thuộc vào tín hiệu chuyển mạch ban đầu. Dưới đây là hình 1.2 minh
họa khi tín hiệu thay đổi thì hệ là khơng ổn định với tín hiệu chuyển mạch
ban đầu là σ(t) :=

1 với x
1
x
2
≤ 0
2 với x
1
x
2
> 0
Hình 1.2
1.3.2. Hàm Lyapunov chung (Xem [6])
Cho hệ phương trình ˙x = f
σ
(x), (σ, x) ∈ S
all
.
Định lý 1.3.9. Giả sử tồn tại hàm V : R
n
→ R khơng bị chặn theo tia, xác

Số hóa bởi trung tâm học liệu />