rèn luyện năng lực tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trong toán 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SAU ĐẠI HỌC
——————– * ———————
Nguyễn Trọng Đức
RÈN LUYỆN NĂNG LỰC
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ y = f(x) TRONG TOÁN 12
TIỂU LUẬN
CẦN THƠ - 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SAU ĐẠI HỌC
Nguyễn Trọng Đức
RÈN LUYỆN NĂNG LỰC
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ y=f(x) TRONG TOÁN 12
TIỂU LUẬN
Ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN
Mã ngành: 60 14 01 11
Người hướng dẫn: GVC. TS. NGUYỄN VĂN QUANG
Cần Thơ - 2013
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân, được xuất phát từ
yêu cầu trong công việc để hình thành hướng nghiên cứu. Các bài toán được trình bày
trong tiểu luận này là quá trình tham khảo tài liệu của các tác giả cụ thể và quá trình
lao động của bản thân. Kết quả cuối cùng ở mỗi bài toán là trung thực.
Cần Thơ, ngày 29 tháng 12 năm 2013
Học viên
Nguyễn Trọng Đức
LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng cảm ơn đến
GVC. TS Nguyễn Văn Quang. Thầy đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành tốt tiểu
luận này.
Cần Thơ, ngày 29 tháng 12 năm 2013
Học viên
Nguyễn Trọng Đức
2
Mục lục
0.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.4 Giả thuyết khoa học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.5 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.6 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Các phương pháp tìm GTLN - GTNN của hàm số trong chương trình
Toán 12 8
1.1 Tìm GTLN - GTNN bằng phương pháp khảo sát trực tiếp . . . . . . . 8
1.2 Tìm GTLN - GTNN của hàm số bằng phương pháp gián tiếp . . . . . 8
1.3 Tìm GTLN - GTNN của hàm số bằng phương pháp miền giá trị . . . 9
2 Một số các bài toán tìm GTLN - GTNN của hàm số 10
2.1 Ví dụ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Ví dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Ví dụ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Một số các dạng bài tập nằm ở mức độ nâng cao vừa sức cho HS về
chủ đề tìm GTLN - GTNN của hàm số 17
3.1 Ví dụ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Ví dụ 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3
3.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.5 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.6 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.7 Một số bài tập về nhà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4
NHỮNG TỪ VIẾT TẮT
GTLN: Giá trị lớn nhất
GTNN: Giá trị nhỏ nhất
HS: học sinh
5
LỜI MỞ ĐẦU
0.1 Lý do chọn đề tài
Theo thang Bloom Sáng tạo là cấp độ tư duy cao nhất trong 6 cấp độ gồm nhớ, hiểu,
áp dụng, phân tích, đánh giá, sáng tạo. Rèn luyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học
sinh là một nhiệm vụ quan trọng của nhà trường phổ thông, đặc biệt trong dạy học

môn Toán. Dạy học phải phát huy sự tích cực, tự giác và sự yêu thích ở mỗi học sinh.
Có như vậy lao động mới hiệu quả, cụ thể là lao động trí óc.
Theo G. Polya "Giúp đỡ học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhấ t m à
người thầy nhất thiết phải làm. Nhiệm vụ đó không phải là dễ, nó đòi hỏi phải có thời
gian và kinh nghiệm, sự tận tâm và những nguyên tắc đúng đ ắn. Người học sinh với
sự nỗ lực của bản thân phải thu được càng nhiều càng tốt những kinh nghiệm làm việc
độc lập Tốt nhất là giúp học sinh một cách tự nhiên. Thầy giáo phải đặt địa v ị mình
là một học sinh trước một vấn đề, cố gắng xem học sinh đó nghĩ g ì , đặt một câu h ỏ i
hay hướng dẫn các bước suy luận mà học sin h có thể tự mình suy nghĩ ra." Môn Toán
là môn họ c công cụ, giữ vai trò hết sức quan trọng trong chương trình toán THPT và
trong đời sống. Trong đó các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đây là
dạng toán hay, tư duy cao và đòi hỏi các kỹ năng về tính toán. Song đối với học sinh
việc giải những dạng toán này là khó và cần những biện pháp, cần những sự hướng
dẫn của người thầy để có thể học tốt dạng toán này.
Từ những lý do trên, tiểu luận được chọn là: "Rèn luyện năng lực tìm giá trị lớn nhất
- gi á trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trong Toán 12".
0.2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu đề tài này là làm rõ hơn các phương pháp, kỹ năng tìm giá trị
lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số thông qua các bài tập từ dễ đến khó cho học
sinh.
0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu hệ thống các phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số trong chương
trình Toán 12;
Nghiên cứu các dạng toán tìm GTLN và GTNN của hàm số trong Toán 12;
0.4 Giả thuyết khoa học
Phương pháp quan trọng cho việc nâng cao kỹ năng giải toán tìm GTLN và GTNN
của biểu thức cho học sinh trung bình, khá , giỏi cuối cấp trung học phổ thông là việc
hệ thống hóa tương đối các dạng toán, các kỹ năng tìm G TLN, GTNN của biểu thức
có sự hổ trợ từ người thầy.
6

0.5 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là quá trình dạy học tìm GTLN, GTNN của hàm số trong chương
trình Toán 12;
Phạm vi nghiên cứu là các bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số;
0.6 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận;
Phương pháp nghiên cứu trường hợp;
Bố cục của tiểu luận bao gồm 3 chương.
• Chương 1 của tiểu luận trình bày tóm tắt các phương pháp tìm GTLN - GTNN
của hàm số trong chương trình Toán 12.
• Chương 2 của tiểu luận t ập trung trình bày các một số các bài to án tìm GTLN
- GTNN của hàm số gắn liền với các phương pháp nêu ra trong Chương 1;
• Chương 3 của tiểu luận trình bày thêm một số các phương pháp giải và các dạng
bài tập nằm ở mức độ nâng cao vừa sức cho HS về chủ đề GTLN - GTNN của
hàm số.
Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm tiểu
luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Chúng tôi mong nhận được sự góp ý
và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!
Cần Thơ, ngày 29 tháng 12 năm 2013
Học viên
Nguyễn Trọng Đức
7
Chương 1
Các phương pháp tìm GTLN -
GTNN của hàm số trong chương
trình Toán 12
1.1 Tìm GTLN - GTNN bằng phương pháp khảo
sát trực tiếp
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x). Ta thực hiện các bước như sau:
• Tìm miền xác định D của hàm số y = f(x);

• Tính đạo hàm y
′
, giải phương trình y
′
= 0;
• Lập bảng biến thiên trên miền D;
• Dựa vào bảng biến thiên, kết luận GTLN, GTNN của hàm số
Lưu ý: Nếu miền D = [a; b] thì ta có thể tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
đoạn [a; b] theo các bước sau:
• Tính f
′
(x), giải phương trình f
′
(x) = 0 với x ∈ (a; b). Giả sử có nghiệm x
1
; x
2
;
• Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), ;
• Kết luận: min
x∈[a;b]
y = min{f(a), f (b), f(x
1
), } và max
x∈[a;b]
y = max{f(a), f (b), f (x

1
), }
1.2 Tìm GTLN - GTNN của hàm số bằng phương
pháp gián tiếp
Ta thực hiện theo các bước sau:
• Biến đổi hàm số y = f(x) về dạng y = F (ϕ(x))
• Đặt t = ϕ(x) ta có: Điều kiện của ẩn t là D
t
và y = F (t);
• Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = F (t) trên D
t
8
1.3 Tìm GTLN - GTNN của h àm số bằng phương
pháp miền giá trị
Ta thực hiện các bước như sau:
• Xem y = f(x) là phương trình ẩn x và y là tham số;
• Tìm điều kiện của y để y = f(x) có nghiệm;
• Kết luận min y và max y
Trên đây là những phương pháp cơ bản để giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của
hàm số y = f (x). Trong chương sau, chúng tôi đề cập đến những bài tập gắn liền với
các phương pháp nhưng không quá khó đối với HS. Thêm vào đó chúng tôi khai thác
sâu phương pháp thứ hai, vì dạng bài tập liên quan đến phương pháp này rất phong
phú và đa dạng. Trong quá trình chúng tôi trình bày tiểu luận đôi chổ có đề cập đến
những bài tập mang hướng thi đại học, vì mục đích cuối cùng vẫn là tạo tư thế chuẩn
bị cho các em tiếp cận những bài tập hay và có phần thú vị này.
9
Chương 2
Một số các bài toán tìm GTLN -
GTNN của hàm số
2.1 Ví dụ 1

Cho các hàm số y = f(x), hãy:
1. Tìm GTLN và GTNN của f (x) =
9
4
x
2
− 2x + 1 trên nữa khoảng

1
2
; +∞

2. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 16x
2
− 2x + 12 trên đoạn

0;
1
4

3. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = −x
3
−
3
2
x
2
+ 6x + 3 trên đoạn [−2; 2]
4. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = x
2

+
3
x
trên đoạn [1; 3]
2.1.1
Nhìn sơ qua chúng ta thấy đây là dạng bài tập thuộc phương pháp 1. Cách giải ta đã
giới thiệu ở trên, việc còn lại ta cứ theo các bước mà làm. Ví dụ này vừa sức với học
sinh trung bình, khá, các em có thể làm được một cách dễ dàng. Bây giờ ta tiến hành
giải. Đối với câu 1, sau khi đạo hàm ta có: f
′
(x) =
9
2
x−2; cho f
′
(x) = 0 ⇔ x =
4
9
(loại)
Lập bảng biến thiên:
x
f
′
(x)
f(x)
4
9
1
2
+∞

0
+
5
9
5
9
9
16
9
16
+∞+∞
10
Vậy min
x≥
1
2
f(x) = f

1
2

=
9
16
. Hàm số không có GTLN.
2.1.2
Chúng ta làm tiếp bài tập 2. Đây cũng là bài tập không quá khó đối với học sinh trung
bình. Ta cũng có: f
′
(x) = 32x −2, cho f

′
(x) = 0 ⇔ x =
1
16
(nhận).
Ta xét bảng biến thiên sau:
x
f
′
(x)
f(x)
0
1
16
1
4
−
0
+
1212
191
16
191
16
25
2
25
2
Vậy min
x∈

[
0;
1
4
]
f(x) = f

1
16

=
191
16
là GTNN của hàm số.
Và max
x∈
[
0;
1
4
]
f(x) = max

f(0); f

1
4

= max


12;
25
2

=
25
2
là GTLN của hàm số.
2.1.3
Chúng ta tiếp tục bài tập 3. Ta có f
′
(x) = −3x
2
− 3x + 6.
Cho hàm số f
′
(x) = 0 ⇔ x = 1(n) hoặ c x = −2(n). Với f (−2) = −7 và f(2) = 1.
Xét bảng biến thiên sau:
x
f
′
(x)
f(x)
+∞
−2
1 2
+∞
0
+
0

−
+∞+∞
−7−7
13
2
13
2
11
+∞+∞
Từ bảng ta kết luận rằng max
x∈[−2;2]
f(x) = f ( 1) =
13
2
là GTLN của hàm số.
Và min
x∈[−2;2]
f(x) = min {f (−2); f(2)} = min {−7; 1} = −7 là GTNN của hàm số.
11
2.1.4
Bài tập thứ 4 là một bài tập ở dạng phân thức, đòi hỏi học sinh chú ý điều kiện của
hàm số và cũng cần phải đạo hàm cho đúng.
Ta dễ dàng có: f
′
(x) = 2x−
3
x
2
=
2x

3
− 3
x
2
; cho f
′
(x) = 0 ⇔ 2x
3
−3 = 0 ⇔ x =
3

3
2
(n)
Mặt khác ta có: f(1) = 4 và f(3) = 10. Xét bảng biến thiên:
x
f
′
(x)
f(x)
1
3

3
2
3
−
0
+
44

3
3

9
4
3
3

9
4
1010
Vậy ta có GTLN của hàm số là max
x∈[1;3]
f(x) = max {f(1); f (3) } = max {4; 10} = 10
Và GTNN của hàm số là min
x∈[1;3]
f(x) = f

3

3
2

= 3
3

9
4
Chúng ta nhận thấy các ví dụ trên không quá khó. Vậy ta hãy giải một số các bài tập
có mức độ yêu cầu cao hơn một chút. Các bài tập sau đây đòi hỏi chúng ta suy nghĩ

nhiều hơn. Trong các bài tập tìm GTLN, GTNN thì dạng bài tập có chứa trị tuyệt đối
có phần làm học sinh hơi khó xử, đơn cử như bài tập 1 của mục ví dụ 2. Hoặc như các
bài tập có chứa căn, đòi hỏi các em phải biết tính đạo hàm của hàm số dạng y =
√
x
với x ≥ 0 hay như hàm số y =
√
u trong đó u = u(x). Hay như dạng hàm số y = lnx
với x > 0 hoặc dạng hàm số y = ln(u) với u = u(x), đều là dạng khó đạo hàm đối với
HS, nhưng các em hoàn toàn có thể tính đạo hàm được để tìm GTLN, GTNN bằng
cách chú ý những gì đã học trên lớp. Vậy chúng ta hãy xét ba ví dụ điển hình dưới
đây.
2.2 Ví dụ 2
Cho các hàm số y = f(x), hãy:
1. Tìm GTLN của hàm số y = |x
3
+ 3x
2
− 72x + 90| trên đoạn [−5; 5]
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =
x + 1
√
x
2
+ 1
trên đoạn [−1; 2]
3. Tìm GTLN của hàm số y =
lnx
2
x

trên đoạn

1; e
3

12
2.2.1
Với câu 1 ta đặt g(x) = x
3
+ 3x
2
− 72x + 90, tập xác định D = [−5; 5]
Ta có g
′
(x) = 3x
2
+ 6x −72. Cho g
′
(x) = 0 ⇔ 3x
2
+ 6x −72 = 0 ⇔

x = −1 − 3
√
3(l)
x = −1 + 3
√
3(n)
Mà ta có g(−5) = −70; g(5) = 400; g


−1 + 3
√
3

= 164 − 144
√
3
Do đó:
max
x∈[−5;5]
g(x) = max

g(−5); g(−1 + 3
√
3); g(5)

= g(5) = 400
Ta có x ∈ [−5; 5] ⇒ g(x) ∈

164 −144
√
3; 400

⇒ |g(x)| ∈ [0; 40 0]
Vậy
max
x∈[−5;5]
f(x) = max
x∈[−5;5]
|g(x)| = 400

2.2.2
Đối với câu 2, ta tiến hành đạo hàm và được
y
′
=
1 − x
(x
2
+ 1)
√
x
2
+ 1
Cho y
′
= 0 ⇔ x = 1 ∈ [−1; 2].
Xét bảng biến thiên sau:
x
f
′
(x)
f(x)
−1
1 2
+
0
−
00
√
2

√
2
3
√
5
3
√
5
Vậy max
x∈[−1;2]
y = y(1) =
√
2 là GTLN của hàm số.
Và min
x∈[−1;2]
y = min {y(−1); y(2)} = min

0;
3
√
5

= 0 là GTNN của hàm số.
2.2.3
Làm tương tự đối với bài tập 3. Đạo hàm hàm số, ta được:
y
′
=
2.lnx.
1

x
.x −(lnx)
2
x
2
=
lnx (2 − lnx)
x
2
13
Cho y
′
= 0 ⇔
x = 1(n) ∨x = e
2
(n)
Ta có bảng biến thiên sau:
x
lnx
2 − lnx
y
′
y
1
e
2
e
3
0
+

+
+
0
−
0
+
0
−
00
4
e
2
4
e
2
9
e
3
9
e
3
Nhận xét thấy rằng max
x∈[1;e
3
]
y = y

e
2


=
4
e
2
là GTLN của hàm số và
min
x∈[1;e
3
]
y = min

y(1); y(e
3
)

= min

0;
9
e
3

= 0
là GTNN của hàm số.
2.3 Ví dụ 3
Cho các hàm số y = f(x), hãy:
1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y =
2x
2
+ 7x + 23

x
2
+ 2x + 10
∀x ∈ R
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =
2 sin x + cos x + 1
sin x − 2 cos x + 3
∀x ∈ R
3. Tìm GTLN của hàm số y =

12x (x −a)
x
2
+ 36

3
4
Dạng bài tập này ta dùng phương pháp miền giá trị của hàm số.
2.3.1
Trong câu 1 gọi y
0
là một giá trị tùy ý của hàm số, thì phương trình sau (của x)
y
0
=
2x
2
+ 7x + 23
x
2

+ 2x + 10
(1)
có nghiệm.
14
Dễ thấy (1) ⇔ (y
0
− 2) x
2
+ (2y
0
− 7) x + 10y
0
− 23 = 0 (2)
Ta xét hai trường hợp sau:
Nếu y
0
= 2 thì (2) ⇔ −3x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ⇒ phương trình (1) có nghiệm
Nếu y
0
= 2 thì (2) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 ⇔ 9y
2
0
−16y
0
+15 ≤ 0 ⇔
3
2
≤ y
0
≤

5
2
Tóm lại (2) có nghiệm ⇔
3
2
≤ y
0
≤
5
2
.
Vì y
0
là giá trị tùy ý của f (x) cho nên min
x∈R
f(x) =
3
2
và max
x∈R
f(x) =
5
2
2.3.2
Điều kiện để phương trình α sin x + β cos x = γ có nghiệm khi và chỉ khi α
2
+ β
2
≥ γ
2

Trong câu 2, t a có 3 −
√
5 ≤ sin x − 2 cos x + 3 ≤ 3 +
√
5 ∀x ∈ R nên f(x) xác định
trên toàn R.
Gọi y
0
là một giá trị tùy ý của hàm số f (x), ta có phương trình sau (của ẩn x)
y
0
=
2 sin x + cos x + 1
sin x −2 cos x + 3
(1)
có nghiệm.
Dễ thấy (1) ⇔ (2 −y
0
) sin x + (1 + 2y
0
) cos x = 3y
0
− 1 (2)
Vì (2) có nghiệm nên ta có điều kiện sau
(2 − y
0
)
2
+ (1 + 2y
0

)
2
≥ (3y
0
− 1)
2
⇔ 2y
2
0
− 3y
0
− 2 ≤ 0 ⇔ −
1
2
≤ y
0
≤ 2 (3)
Từ (3) suy ra min
x∈R
f(x) = −
1
2
và max
x∈R
f(x) = 2
2.3.3
Xét câu 3, hàm số xác định khi và chỉ khi x (x −a) ≥ 0
Ta xét hàm số g(x) =
12x (x −a)
x

2
+ 36
(1) thì y =
4

(g(x))
3
, g(x) ≥ 0
Gọi g
0
là một giá trị của hàm g(x) thế thì
(1) ⇔ g
0
=
12x (x −a)
x
2
+ 36
có nghiệm hay phương trình
(12 − g
0
) x
2
− 12ax −36g
0
= 0 (2)
có nghiệm. Với:
• g
0
= 12 ⇔ ax = −36 ⇔ x = −

36
a
(a = 0) suy ra phương trình (1) có nghiệm.
Suy ra phương trình ban đầu có nghiệm.
15
• g
0
= 12: (2) có nghiệm khi và chỉ khi: ∆ ≥ 0
⇔ g
2
0
− 12g
0
− a
2
≤ 0 ⇔ 6 −
√
a
2
+ 36 ≤ g
0
≤ 6 +
√
a
2
+ 36
Vì g(x) ≥ 0 cho nên 0 ≤ g
0
≤ 6 +
√

a
2
+ 36
Vậy
max g(x) = 6 +
√
a
2
+ 36 ⇔ max f(x) =
4


6 +
√
a
2
+ 36

3
16
Chương 3
Một số các dạng bài tập nằm ở mức
độ nâng cao vừa sức cho HS về chủ
đề tìm GTLN - GTNN của hàm số
Chương này chúng tôi chú trọng vào tìm hiểu các bài tập tìm GTLN, GTNN của các
hàm số nâng cao nhưng vẫn nằm trong kiến thức Toán 12. Bên cạnh đó qua các cách
giải, sẽ đề cập đến kỹ năng giải một bài toán như thế nào. Sử dụng chiều biến thiên
của hàm số để tìm GTLN, GTNN là một phương pháp cơ bản luôn được sử dụng trong
quá trình giải. Nhưng để áp dụng được chiều biến thiên của hàm số việc cần làm là
phải biến đổi bài toán về dạng hàm số chỉ có một ẩn, để làm đượ c điều đó, cần làm

nhiều dạng bài tập. Bây giờ chúng ta đi tìm hiểu những ví dụ cụ thể thú vị sau.
3.1 Ví dụ 1.
Cho các biểu thức y = f(x), hãy:
1. Tìm GTLN, GTNN của A = 3
2x
+ 3
y
với x ≥ 0; y ≥ 0 và x + y = 1
2. Tìm GTLN, GTNN của B = 2

x
3
+ y
3

− 3xy với x, y ∈ R thõa điều kiện
x
2
+ y
2
= 2
3. Tìm GTLN, GTNN của C =

4x
2
+ 3y

4y
2
+ 3x


+ 25xy với điều kiện x, y ≥ 0
và x + y = 1
4. Tìm GTLN, GTNN của D = 3

x
4
+ y
4
+ x
2
y
2

− 2

x
2
+ y
2

+ 1 với x, y thõa
mãn điều kiện (x + y)
3
+ 4xy ≥ 2
3.1.1
Xét câu 1. Hàm A là hàm hai biến, cần đưa về hàm số một biến (nên theo x). Ta có:
y = 1 −x, từ đó A = 3
2x
+ 3

1−x
= 3
2x
+
3
3
x
x ∈ [0; 1]
Ta đặt t = 3
x
, khi đó t ∈ [1; 3]
17
Lúc này hàm số A viết lại sẽ là A = f (t) = t
2
+
3
t
∀t ∈ [1; 3]
Đây là ví dụ 1, câu 4 chúng ta đã làm trong chương 2. Việc giải nữa chúng ta không
tiến hành ở đây, ta sẽ sử dụng lại kết quả.
Vậy max A = max
t∈[1;3]
f(t) = max
t∈[1;3]
{f(1); f (3 ) } = max {4; 10} = 10 ⇔ t = 3 ⇔

x = 1
y = 0
Và min A = min
t∈[1;3]

f(t) = f

3

3
2

= 3
3

9
4
⇔ t =
3

3
2
⇔







x = log
3
3

3

2
y = 1 −log
3
3

3
2
Cách khác. Đặt





x =
1
2
+ t
y =
1
2
− t
(t ∈

−
1
2
;
1
2


) Khi đó:
A = f(t) = 3
2

1
2
+ t

+ 3

1
2
− t

= 3.3
2t
+
√
3
3
t
Suy ra: f
′
(t) =
6.ln3.3
3t
−
√
3.ln3
3

t
Cho f
′
(t) = 0 ⇔ 6.3
3t
−
√
3 = 0 ⇔ t =
1
3
log
3

√
3
6

(n)
Mà:
f

−
1
2

= 4; f

1
2


= 10; f

1
3
log
3

√
3
6

= 3
3

9
4
Lập bảng biến thiên ta nhận thấy:
max A = max
t∈
[
−
1
2
;
1
2
]
f(t) = max
t∈
[

−
1
2
;
1
2
]

f(−
1
2
); f(
1
2
)

= max {4; 10} = 10
⇔ t =
1
2
⇔

x = 1
y = 0
Và
min A = min
t∈
[
−
1

2
;
1
2
]
f(t) = f

1
3
log
3

√
3
6

= 3
3

9
4
⇔ t =
1
3
log
3

√
3
6


⇔











x =
1
2
+
1
3
log
3

√
3
6

y =
1
2
−

1
3
log
3

√
3
6

Cách giải này vẫn cho ra cùng một đáp án.
18
3.1.2
Chúng ta xét ví dụ kế tiếp, câu 2.
Nhận thấy đề bài có dữ kiện x
2
+ y
2
= 2 ⇔ xy =
(x + y)
2
− 2
2
, vậy ta cần biến đổi
biểu thức B về dạng có chứa x + y và xy. Ta biến đổi biểu thức như sau:
B = 2 (x + y)

x
2
− xy + y
2


− 3xy = 2 (x + y ) (2 − xy) − 3xy (1)
Vì thế sau khi thay xy vào (1), đồng thời đặt t = x + y ta được:
B = 2t

2 −
t
2
− 2
2

− 3
t
2
− 2
2
= −t
3
−
3
2
t
2
+ 6t + 3 (2)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số sau (1; 1) và (x; y) được:
(1 + 1)

x
2
+ y

2

≥ (x + y)
2
⇔ x
2
+ y
2
≥
(x + y)
2
2
Suy ra (x + y)
2
≤ 4 ⇒ −2 ≤ t ≤ 2. Ta có điều kiện của ẩn t.
Đây là ví dụ 1, câu 3 chúng ta đã xét ở chương 2, kết quả được sử dụng lại.
Vậy ta có: max
t∈[−2;2]
f(t) = f(1) =
13
2
Do đó
max B =
13
2
⇔

x
2
+ y

2
= 2
x + y = 1
⇔





x =
1 +
√
3
2
y =
1 −
√
3
2
∨





x =
1 −
√
3
2

y =
1 +
√
3
2
Và min
t∈[−2;2]
f(t) = min {f(−2); f(2)} = min {−7; 1} = −7
Khi đó
min B = −7 ⇔

x
2
+ y
2
= 2
x + y = −2
⇔

x = −1
y = −1
3.1.3
Trong câu 3 của ví dụ 1 này, việc sử dụng dữ kiện x + y = 1 đòi hỏi chúng ta phải
biến đổi qua nhiều bước để bài toán có thể dễ nhìn, chúng ta biết biểu thức cuối sau
khi thay x + y = 1 vào sẽ còn lại biến xy, khi đó ta sẽ đặt xy là ẩn nào đó, để hàm số
lúc này chỉ chứa một ẩn, có như vậy ta mới sử dụng công cụ đạo hàm để tìm GTLN,
GTNN. Chúng ta quan sát các bước biến đổi sau:
C =

4x

2
+ 3y

4y
2
+ 3x

+ 25xy
= 16x
2
y
2
+ 12

x
3
+ y
3

+ 34xy
= 16

x
2
+ y
2

+ 12 (x + y)

x

2
− xy + y
2

+ 34xy
= 16x
2
y
2
+ 12

(x + y)
2
− 3xy

+ 34xy
= 16x
2
y
2
− 2xy + 12 (1) (do x + y = 1)
19
Tới đây ta sẽ đặt xy = t, theo giả thiết x ≥ 0; y ≥ 0 cho nên ta áp dụng BĐT
Cauchy cho hai số x và y được:
0 ≤
√
xy ≤
x + y
2
⇔ 0 ≤ xy ≤

(x + y)
2
4
=
1
4
Suy ra 0 ≤ t ≤
1
4
Lúc này hàm số viết lại sẽ là C = f(t) = 16t
2
− 2t + 12
Bài tập này ta đã làm trong ví dụ 1, câu 2 của chương 2. Chúng ta sử dụng lại kết quả
đấy.
Ta có min
t∈
[
0;
1
4
]
f(t) = f

1
16

=
191
16
Và max

t∈
[
0;
1
4
]
f(t) = max

f(0); f

1
4

= max

12;
25
2

=
25
2
Khi đó giá trị nhỏ nhất của C đạt được ứng với
t =
1
16
⇔

x + y = 1
xy =

1
16
⇔



x =
2 +
√
3
4
; y =
2 −
√
3
4
x =
2 −
√
3
4
; y =
2 +
√
3
4
Và giá trị lớn nhất của C đạt được khi
t =
1
4

⇔

x + y = 1
xy =
1
4
⇔ x = y =
1
2
3.1.4
Thoạt nhìn câu 4 của ví dụ 1 này có vẽ tương đồng với câu 3 ta vừa giải nhưng đây
là câu ẩn chứa độ phức tạp có thể buộc ta phải vận dụng nhiều kiến thức để có thể
đưa bài toán về hàm số một ẩn, rồi từ đó dùng đạo hàm để lập bảng biến thiên suy ra
GTLN, GTNN.
Trước khi đi vào giải ta nhắc lại một số bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
1. (x + y)
2
≥ 4xy (1)
2. x
2
+ y
2
≥
(x + y)
2
2
(2)
3. x
4
+ y

4
≥
(x
2
+ y
2
)
4
2
(3)
Áp dụng (1) vào (x + y)
3
+ 4xy ≥ 2 ta được:
(x + y)
3
+ 4xy ≥ 2
⇒ (x + y)
3
+ (x + y)
2
≥ (x + y)
3
+ 4xy ≥ 2
⇒ (x + y)
3
+ (x + y)
2
− 2 ≥ 0
⇒ [(x + y) − 1]


(x + y)
2
+ (x + y) + 2

≥ 0 (4)
20
Mà (x + y)
2
+ (x + y) + 2 =

(x + y) +
1
2

2
+
7
4
> 0
Kết hợp với (4) ta suy ra rằng x + y ≥ 1 ⇒ x
2
+ y
2
≥
1
2
(5)
Ta biến đổi D tiếp như sau:
D = 3


x
4
+ y
4
+ x
2
y
2

− 2

x
2
+ y
2

+ 1
=
3
2

x
2
+ y
2

2
+
3
2


x
4
+ y
4

− 2

x
2
+ y
2

+ 1
≥
9
4

x
2
+ y
2

2
− 2

x
2
+ y
2


+ 1 (do (3))
Đặt f (t) =
9
4
t
2
− 2t + 1 với điều kiện t = x
2
+ y
2
≥
1
2
Nhận thấy D ≥
9
4
t
2
−2t + 1, bài toán đưa đến yêu cầu ta tìm GTNN. Trường hợp này
ta đã làm trong câu 1, ví dụ 1, chương 2. Vậy:
min
t≥
1
2
f(t) = f

1
2


=
9
16
Suy ra: D ≥
9
16
Hay
min D =
9
16
⇔ t =
1
2
⇔ x
2
+ y
2
=
1
2
⇔ x = y =
1
2
Đồng thời nhận xét rằng D không có GTLN.
3.2 Ví dụ 2.
Những ví dụ sau đây mà chúng tôi đưa ra với mục đích là rèn luyện kỹ năng biến đổi
các biểu thức, kỹ năng vận dụng BĐT Cauchy, BĐT Bunhiacopxki, để đưa biểu thức
về dạng nhất biến, từ đó dùng công cụ đạo hàm để xét chiều biến thiên của hàm số
từ đó ta tìm được GTLN, GTNN của hàm số. Để trình bày dễ hiểu và để làm tài liệu
phục vụ mục đích giảng dạy sau này, chúng tôi sẽ làm cặn kẽ từng bước để người đọc

dễ hiểu và dễ làm theo. Tuy các bài tập này có những phần thêm bên ngoài chương
trình Toán 12 nhưng về cốt lõi, tất cả các ví dụ đều được chúng tôi sàng lọc để làm
sao vẫn gắn chặt với chương trình và khả năng tiếp thu của HS lớp 12.
3.2.1 Ví dụ
Ví dụ đầu tiên mà chúng tôi đưa đến có nội dung như sau:
Cho x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R. Hãy tìm giá trị lớn n hất của biểu thức:
P = 3

1
4
x
+
1
9
y−1
+
1
16
z−2

− 2

1
8
x
+
1
27
y−1
+

1
64
z−2

21
Quan sát bài toán ta nhận thấy có thể nhóm các số hạng là bội của 2
x
, 3
x
, 4
x
lại với
nhau. Biểu diễn lại biểu thức P ta được:
P =

3
4
x
−
2
8
x

+

3
9
y−1
−
2

27
y−1

+

3
16
z−2
−
2
64
z−2

Xét hàm số f(t) = 3t
2
− 2t
3
(t > 0)
Ta có f
′
(t) = 6t ( 1 − t) ; f
′
(t) = 0 ⇔ t = 0(l) ∨t = 1(n)
Xét bảng biến thiên sau:
t
f
′
(t)
f(t)
−∞

0 1
+∞
+
0
−
+∞+∞
00
11
−∞−∞
Dựa vào bảng biến thiên, ∀t > 0 t a có f(t) ≤ 0, ∀t > 0
Khi đó:
•
3
4
x
−
2
8
x
≤ 1, ∀x ∈ R
•
3
9
y−1
−
2
27
y−1
≤ 1, ∀y ∈ R
•

3
16
z−2
−
2
64
z−2
≤ 1, ∀z ∈ R
Cộng theo vế ta có P ≤ 3 ∀x, y, z ∈ R. Vậy max P = 3 ⇔



x = 0
y = 1
z = 2
Rèn luyện cho HS quan sát bài toán để làm đúng yêu cầu không quá khó. Quan sát để
phân tích bài toán, để có thể biến đổi để bài toán gọn hơn như ta mong muốn. Ở đây
HS cần tìm mối liên hệ giữa các hàm mũ với nhau, ví dụ như
1
4
x
,
1
8
x
, nếu ta biết biến
đổi
1
8
x

=

1
2
x

3
thì lúc này mối liên hệ dễ dàng nhìn thấy được, chính sự tương tự mà
làm cho HS sẽ biết nhóm 2 cặp hạng tử còn lại. Nhưng để HS có thể đặt ẩn, đưa về
hàm số f(t) = 3t
2
− 2t
3
, chổ này giáo viên nên trợ giúp HS. Một điều quan trọng nữa
là HS thường quên điều kiện của ẩ n t và việc phát biểu bài toán lại cũng để HS biết
rằng ta đặt ẩn để bài toán ban đầu dễ nhìn hơn và dễ làm hơn. Bài toán phát biểu lại
rằng: "Với t > 0. Hãy tìm GTLN của hàm số f(t) = 3t
2
− 2t
3
"?
22
3.2.2 Ví dụ
Bài toán sau mà chúng tôi đưa ra để minh họa r ằng việc quan sát, đặt ẩn thì bài to án
ban đầu sẽ dễ làm hơn.
Bài toán có nội dung:
Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = lg
2
x +
1

lg
2
x + 2
Điều kiện của bài toán x > 0. Sau đó ta đặt ẩn t = lgx, ∀t ∈ R ta có hàm số theo
ẩn t là:
f(t) = t
2
+
1
t
2
+ 2
⇒ f
′
(t) = 2t −
2t
(t
2
+ 2)
2
= 2t

(t
2
+ 2)
2
− 1
(t
2
+ 2)

2

Cho f
′
(t) = 0 ⇔ t = 0. Lập bảng biến thiên
t
f
′
(t)
f(t)
−∞
0
+∞
−
0
+
+∞+∞
1
2
1
2
+∞+∞
Quan sát thấy hàm số f(t) không có max f(t). Hàm có min f(t) =
1
2
tại t = 0
Vậy GTNN của hàm min y =
1
2
đạt được tại t = 0 ⇔ lgx = 0 ⇔ x = 1

Đặt ẩn t = lgx, bài toán có vẻ đơn giản, nhưng nếu có thể đặt t = lg
2
x ≥ 0, liệu bài
toán có dễ hơn không? Chúng ta cùng giải trường hợp này xem sao.
Ta có: y = lg
2
x +
1
lg
2
x + 2
(∗) với điều kiện x > 0.
Đặt t = lg
2
x ≥ 0 thì (∗) ⇔ f(t) = t +
1
t+2
Suy ra: f
′
(t) = 1 −
1
(t + 2)
2
=
(t + 3) (t + 1)
(t + 2)
2
Cho f
′
(t) = 0 ⇔ t = −3(l) ∨ t = −1(l) , f(x) không xác định tại t = −2.

Lập bảng biến thiên sau
23