Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và những vấn đề liên quan

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
–––––––––––––––––––







PHẠM ĐỨC CHÍNH








BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO
LOẠI I VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn












Thái Nguyên - Năm 2013


S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

i
Lời cam đoan
Dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của GS.TSKH NguyễnXuân Tấn,
luân văn thạc sĩ chuyên ngành toán giải tíchvới đề tài: “Bao hàm thức tựa
biến phân Pareto loại I và những vấn đề liên quan” được hoàn thành từ

chính sự nhân thức của bản thân, không trùng với luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biêt ơn sâu sắc
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013


Phạm Đức Chính



S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

ii
Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người đã tận tình hướng dẫn tôi để
tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với các thầy cô trường
ĐHSP Thái nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành
luận văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đã
động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013


Phạm Đức Chính

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

iii
MỤC LỤC

Trang
MỞ ĐẦU 1
1. Lí do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3
5. Phương pháp nghiên cứu 3
6. Những đóng góp mới của đề tài 3
CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4
1.1. Các không gian thường dùng 4
1.2. Nón và các khái niệm liên quan 11
1.3. Ánh xạ đa trị 13
1.4. Tính liên tục của ánh xạ đa trị 14
1.5. Tính lồi của ánh xạ đa trị 16
1.6. Điểm bất động của ánh xạ đa trị 17
CHƢƠNG 2: BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO LOẠI I 19
2.1. Tổng quan về các loại bao hàm thức tựa biến phân. 19
2.2. Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I 20
2.3. Sự tồn tại nghiệm 21
2.4. Nhận xét 27
2.5. Một số ví dụ 27


S

ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

iv


S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

CHƢƠNG 3: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 28
3.1. Sự tồn tại nghiệm bài toán bao hàm thức tựa biến phân yếu 28
3.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto 31
3.3. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng yếu 33
3.4. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu tựa cân bằng Pareto 34
3.5. Bài toán tối ưu tựa cân bằng yếu 36
3.6. Một số ví dụ 37
KẾT LUẬN 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

1

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài
Lí thuyết tối ưu được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lí
thuyết giá trị của Edgeworth và Pareto từ cuối thế kỉ 19 và đầu thế kỉ
20.Trong sự phát triển của lý thuyết này có rất nhiều công trình nghiên cứu và
ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau trong các ngành khoa học,đời

sống….như: Borel(1921), Von Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi
dựa trên các khái niệm và kết quả toán học, Koopman (1947) đã đưa ra lý
thuyết lưu thông hàng hóa, Hoàng Tụy - Reiner Horst đã đưa ra lý thuyết tối
ưu toàn cục …. Lý thuyết tối ưu véctơ là bộ phận quan trọng của lý thuyết tối
ưu. Sau những công trình của H.W. Kuhn và A.W.Tucker về các điều kiện
cần và đủ cho một véctơ thoả mãn các ràng buộc là nghiệm hữu hiệu thỡ tối
ưu véctơ trở thành một ngành toán học độc lập và có nhiều ứng dụng trong
thực tế và đời sống. Các bài toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu véctơ bao gồm:
bài toán tối ưu, bài toán cân bằng Nash, bài toán bù, bài toán bất đẳng thức
biến phân,bài toán điểm yên ngựa, Bài toán điểm cân bằng được biết đến
bởi các công trình của Arrow-Debreu, Nash. Sau đó các công trình này được
nhiều nhà toán học sử dụng để xây dựng những mô hình kinh tế từ nửa sau
thế kỷ 20. Ky Fan (1972) và Browder-Minty (1978) đã phát biểu và chứng
minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng dựa trên các định lý điểm bất
động. Năm 1991, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách
tổng quát và tìm cách liên kết bài toán của Ky Fan và Browder - Minty với
nhau thành dạng chung cho cả hai. Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: tìm
∈ K sao cho f( , x) ≥ 0 với mọi x ∈K, trong đó K là tập cho Trước của không
gian, f : K× K→ R là hàm số thực thỏa mãn f(x, x) ≥ 0. Đây là dạng suy rộng
trực tiếp của các bài toán cổ điển trong lý thuyết tối ưu véctơ. Khởi đầu người
2

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

ta nghiên cứu những bài toán liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu
hạn chiều này sang không gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự được đưa ra bởi
nón orthant dương. Sau đó mở rộng sang không gian có số chiều vô hạn với
nón bất kỳ. Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được xây dựng và phát triển do nhu
cầu phát triển của bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học khác mà ỏnh xạ

đơn trị chưa đáp ứng được. Những định nghĩa, tínhchất, sự phân lớp của ánh
xạ đơn trị dần được mở rộng cho ánh xạ đa trị. Từ đó người ta tìm cách chứng
minh các kết quả thu được từ đơn trị sang đa trị.
Xuất phát từ những vấn đề thực tế trong kinh tế và đời sống một số nhà
toán học đã mô hình hóa những vấn đề đó thành bài toán tựa cân bằng tổng
quát loại I như sau: Cho X, Y, Z là các không gian tuyến tính, các tập con D
X, K ⊆ Z. Cho các ánh xạ đa trị
S: D× K→
,
T: D×K→
,
F: K×D×D→
với các giá trị khác rỗng. Bài toán: tìm ( , ) ∈ D× K sao cho
1) ∈ S( , );
2) ∈
T
( , );
3) 0 ∈F ( , ,x, z) với mọi z ∈ S( , )
Các ánh xạ S, T được gọi là ánh xạ ràng buộc, F được gọi là ánh xạ mục
tiêu, F có thể là đẳng thức, bất đẳng thức, bao hàm thức hay sự tương giao
của các ánh xạ đa trị. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I là
trường hợp mở rộng của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I. Việc nghiên
cứu bài toán mở rộng này và một số bài toán liên quan sẽ cho chúng ta thấy rõ
ràng hơn về sự tồn tại nghiệm của các bài toán ấy. Với những lí do trên và sự
hướng dẫn định hướng của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, tôi đã chọn đề tài
“Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và những vấn đề liên quan”.
3

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

2.Mục đích nghiên cứu
Đưa ra mô hình bài toán và một số bài toán liên quan và nghiên cứu sự
tồn tại nghiệm của chúng.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và một số bài toán
liên quan, sự tồn tại nghiệm của chúng.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức tựa biến phân Pareto
loại I và một số bài toán liên quan trong lý thuyết tối ưu.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán đặt ra ta sử dụng các
định lý về điểm bất động của Ky Fan, Fan-Browder, bổ đề Fan-KKM.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Trình bày kiến thức cơ bản về bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I
và một số bài toán liên quan. Nghiên cứu một số ứng dụng của định lý tồn tại
nghiệm trong một bài toán tối ưu.





4

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong thực tế, nhiều bài toán liên quan đến phép chuyển mỗi điểm của
tập này thành một tập con của tập kia. Những khái niệm cổ điển về hàm số, về
toán tử hay về ánh xạ không còn thích hợp.Việc mở rộng ánh xạ đa trị là tất
yếu nhằm đáp ứng các vấn đề nảy sinh từ tự nhiên và cuộc sống. Vỡ vậy mà
môn giải tích đa trị được hình thành và trở thành công cụ đắc lực để nghiên
cứu các bài toán liên quan đến ánh xạ đa trị. Ta dành chương này để nhắc lại
một số kiến thức cơ bản của giải tích cổ điển và giải tích đa trị. Các kiến thức
này rất quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán ở các chương sau.
1.1 .Các không gian thƣờng dùng
Trong mục này chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức quan trọng về các
không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian
tuyến tính lồi địa phương Hausdorff để phục vụ cho việc nghiên cứu ở các
chương sau.
Định nghĩa 1.1.1.Tập M khác rỗng cùng với ánh xạ d: M × M → ℝ là một
không gian metric nếu các tiên đề sau được thỏa mãn:
i) (∀x, y ∈M) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 x = y;
ii) (∀x, y ∈M) d(x, y) = d(y, x);
iii) (∀x, y, z ∈M) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z).
Không gian metric kí hiệu là (M, d), (hoặc viết tắt là M). Ánh xạ d được gọi là
metric trên M; d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y.
Ví dụ 1.1.2.i) Cho M⊆ℝ, với khoảng cách d(x, y) = , thì M là một
không gian metric.
5

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

ii) Tổng quát hơn, trong không gian ta có thể xác định khoảng cách
giữa hai điểm x = ( ,…, ) và y = ( ,…, ) như sau:
d(x, y) = .

Thấy rằng trên một tập hợp có thể xây dựng nhiều metric khác nhau để có
những không gian metric khác nhau.
Ta có các khái niệm dãy hội tụ trong không gian metric như sau:
Định nghĩa 1.1.3. Ta nói rằng dãy điểm { } của không gian M hội tụ tới
điểm của M nếu ∀ > 0 ∃ ∈ sao cho ∀n > d( , ) < , ta kí
hiệu
lim
n
n
x
= hay → (n →∞).
Ví dụ 1.1.4. i) Sự hội tụ trên đường thẳng là sự hội tụ của một dãy số theo
nghĩa thông thường.
ii) Sự hội tụ trong không gian là sự hội tụ của dãy = ( ,…, )
tới x = ( ,…, ) có nghĩa là → , (i = 1, 2,…, k ). Sự hội tụ trong không
gian là hội tụ theo tọa độ.
Dễ thấy rằng, nếu một dãy hội tụ thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ. Ta có
hai tính chất quan trọng sau:
1. Nếu → và → thì = (tính duy nhất của giới hạn).
2. Nếu → và → thì d( , ) → d( , ) (khoảng cách d là
một hàm liên tục đối với x và y).
Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian metric (M, d), a ∈M, r > 0, ta gọi:
Tập S(a, r) = {x ∈ M : d(x, a) <r} là hình cầu mở tâm a bán kính r.
Tập S'(a, r) = {x ∈ M :d(x, a) ≤ r} là hình cầu đóng tâm a bán kính r.
Định nghĩa 1.1.6. Cho không gian metric (M, d), tập con V X được gọi là
lân cận của điểm nếu tồn tại số r > 0 sao cho:
S( , r) V.
6

S

ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

Cho không gian metric (M, d), A là tập con của M, x ∈ M, người ta phân loại
các điểm trong không gian metric như sau:
i) x được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại r > 0 sao cho: S(x, r) A.
ii) x được gọi là điểm dính của A nếu: S(x, r) ∩ A ≠ ∅, ∀ r> 0.
iii) x được gọi là điểm tụ của A nếu: S(x, r) ∩ A \{x} = ∅, ∀ r> 0.
iv) x được gọi là điểm biên của A nếu: S(x, r) ∩ A ≠ ∅ và S(x, r) ∩ CA ≠ ∅.
(CA = X \ A là phần bù của A trong X).
v) x được gọi là điểm cô lập của A nếu: S(x, r) ∩ A = x.
Ta lần lượt ký hiệu tập tất cả các điểm trong (tương ứng các điểm dính, các
điểm tụ, các điểm biên) của A được kí hiệu là
o
A
hoặc IntA (tương ứng , A',
∂A).
Định nghĩa 1.1.7. Cho A là một tập con trong không gian metric (M, d):
i) Ta nói tập A là tập mở nếu
o
AA
.

ii) Ta nói tập A là tập đóng nếu CA là tập mở.
Mệnh đề 1.1.8. Trong không gian metric, hình cầu mở là tập mở, hình cầu
đóng là tập đóng.
Mệnh đề 1.1.9. Trong không gian metric (M, d), tập con A≠∅ của M là tập
đóng khi và chỉ khi mọi dãy { }

A hội tụ tới x thì x ∈ A.
Định nghĩa 1.1.10. Cho X là một tập khác rỗng. Một họ các tập con của X

được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
i) ∅, X ∈ .
ii) , ∈ ⇒ ∈ .
iii) ∈ , i ∈ I ⇒ ∈ .
Cặp (X, ) khi đó được gọi là không gian tôpô. Ta thường viết X thay cho (X, ).
Các khái niệm lân cận, hội tụ, tập mở, tập đóng đều xác định trên
không gian metric cùng một cấu trúc ta gọi là cấu trúc tôpô.
7

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

Định lý 1.1.11. Trong không gian metric (M, d), họ các tập mở trong M lập
thành một tôpô trên M.
Định nghĩa 1.1.12. Họ tất cả các tập mở trong không gian metric (M, d) gọi
là tôpô sinh bởi metric d.
Định lý 1.1.13. Trong không gian metric (M, d), tôpô sinh bởi metric d là
tôpô có cơ sở lân cận đếm được.
Định lý 1.1.14. Trong không gian metric (M, d), dãy { } được gọi là dãy cơ
bản nếu
,
lim ( , )
m
nm
n
d xx
= 0, tức là ∀ ε > 0, ∃ ∈ sao cho ∀ n, m ≥ thì
d( , ) < ε.
Ta thấy rằng mọi dãy ( )
⊂ M hội tụ trong M đều là dãy cơ bản.

Định nghĩa 1.1.15. Không gian metric (M, d) gọi là không gian đầy đủ nếu
mọi dãy cơ bản của không gian này đều hội tụ.

Định nghĩa 1.1.16. Cho M là một tập khác rỗng, các phần tử của M được gọi
là các véctơ. Trên M xác định hai phép toán:
(+) :M ×M→M : (x, y) → x + y;
(.) : ℝ ×M→M : (λ, x) → λx;
M được gọi là không gian tuyến tính trên trường số thực ℝ nếu hai phép toán
trên thỏa mãn các tiên đề sau:
i) x + y = y + x;
ii) (x + y) + z = x + (y + z);
iii) ∃ 0 ∈ M : 0 + x = x + 0;
iv) ∃ (− x) ∈ M : x + (− x) = 0;
v) λ (x + y) = λx + λy;
vi) (α + β)x = αx + βx;
vii) α (βx) = (αβ)x;
8

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

viii) ∃ 1 ∈ M : 1x = x;
∀x, y, z∈M, ∀ α, β ∈ℝ;
0 và 1 lần lượt được gọi là phần không và phần tử đơn vị của M.
Thấy rằng trên M có một cấu trúc đại số.

Ví dụ 1.1.17.Tập với phép cộng và phép nhân thông thường là một không
gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.18. Không gian tuyến tính định chuẩn thực là cặp (M, ),
trong đó M là một không gian tuyến tính còn là một ánh xạ : M → ℝ thỏa

mãn :

i)
≥ 0,
∀ x ∈ M,
= 0 ⇔ x = 0;

ii)
= . ;

iii)
≤ + .

(
được gọi là chuẩn của x
)
Ví dụ 1.1.19. Không gian tuyến tính định chuẩn (không gian các hàm
bị chặn trên đoạn [a, b]) với chuẩn : = .
Dễ thấy mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric với khoảng cách
d(x, y) = . Vậy không gian định chuẩn cũng là một không gian
metric.
Định nghĩa 1.1.20. Cho M là không gian tuyến tính trên trường số thực ℝ,
hàm : M ×M→ℝ được gọi là tích vô hướng trên M nếu các điều kiện sau
thỏa được mãn:
i)
= ;

ii)
= + ;

iii)
= λ ;

iv)
≥ 0, = 0 ⇔ x = 0;

∀x, y, z∈M, ∀ α, β ∈ℝ;
9

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

Định nghĩa 1.1.21. Không giantuyến tính M được trang bị một tích vô hướng
được gọi là không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi
là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.1.22. Không gian với tích vô hướng = là các
không gian Hilbert .
Trên M ta cho ánh xạ ρ được xác định như sau:
ρ (x, y) = .
Thấy rằng (M, ρ) là không gian metric. Trên M có cả hai cấu trúc tôpô và đại
số. Hai cấu trúc này tương thích với nhau, tức là hai phép tính đại số liên tục
trong tôpô.
Nếu (M, ρ) là không gian metric đầy đủ thì (M, ) được gọi là không gian
Banach. Do vậy ta định nghĩa với x ∈ M đặt = thì dễ dàng chứng
minh được (M, ) là không gian định chuẩn. Vậy không gian tiền Hilbert là
một không gian định chuẩn, do đó nó cũng là không gian metric và trên M có
cả hai cấu trúc: tôpô và đại số. Nếu M là không gian Banach thì (M, ) là
không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.1.23. Cho M là không gian tuyến tính thực đồng thời được
trang bị một cấu trúc tôpô τ và một cấu trúc đại số (phép cộng hai phần tử và

phép nhân một số với một phần tử). Nếu hai phép toán cộng và nhân liên tục
trong τ thì M được gọi là không gian tôpô tuyến tính.
Nếu cơ sở lân cận của 0 gồm các tập lồi thì M được gọi là không gian tôpô
tuyến tính lồi địa phương.
Nếu M là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương thỏa mãn: x, y ∈ M, x≠y,
∩ = ∅ ( , lần lượt là lân cận của x, y) thì M được gọi là không gian
tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff.
10

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

Ví dụ 1.1.24. Không gian Banach, không gian Hilbert là không gian tôpô
tuyến tính lồi địa phương Hausdorff.

11

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

1.2 . Nón và các khái niệm liên quan
Trong không gian các số thực hai phần tử bất kỳ đều so sánh được với
nhau qua khái niệm lớn hơn hay bé hơn hoặc bằng. Điều này không có được
trong các không gian khác. Muốn mở rộng các bài toán nhận giá trị thực sang
các bài toán nhận giá trị véctơ và đa trị người ta đưa vào các khái niệm mới
đồng thời có thể xây dựng những khái niệm tương tự của số thực, số phức
trong không gian tôpô tuyến tính. Một phương pháp hữu hiệu để xây dựng
những khái niệm đó là đưa nón vào không gian tôpô tuyến tính.
Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C là tập con trong Y. C
gọi là nón trong Y nếu tc ∈ C với mọi c ∈ C; t ≥ 0.

i) Nón Cđược gọi là nón lồi nếu C là tập lồi.
ii) Nếu Y là không gian tôpô tuyến tínhvà C là nón trong Y, ký hiệu clC, intC,
convC tương ứng là bao đóng, phần trong và bao lồi của nón C, l(C) = C∩ {−
C}.
iii) Nón C gọi là nón đóng nếu C là tập đóng.
iv) Nón C gọi là nón nhọn nếu: l(C) = {0}.
v) Nón C gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn.
Chúng ta có một số ví dụ về nón.
Ví dụ 1.2.2. i) Tập {0}và Y là nón trong không gian Y. Ta gọi chúng là các
nón tầm thường.
ii) Cho là không gian Euclide n chiều, tập
C = = {x = ( , ,…, ) ∈ ⎸ ≥ 0, j = 1, 2,…,n};
là nón lồi, đóng, nhọn và được gọi là nón Orthant dương trong .
Khi ta xây dựng một nón trên không gian tuyến tính ta có thể tìm được các
điểm hữu hiệu của tập hợp. Ta có các định nghĩa và khái niệm sau:
Định nghĩa 1.2.3. Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y: B ⊆ Y được
gọi là tập sinh của nón C, ký hiệu C = cone(B) nếu C = {tb │b ∈ B, t ≥ 0}.
12

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

Trong trường hợp B không chứa điểm gốc và với mọi c ∈ C, C≠ 0 đều tồn tại
duy nhất b ∈ B, c = tb thì B được gọi là cơ sở của nón C.
Định nghĩa 1.2.4.Cho A là một tập con khác rỗng của Y. Ta nói rằng:
i) x ∈ A là một điểm hữu hiệu lí tưởng của tập A đối với nón C nếu y – x ∈
C, với mọi y ∈ A; Tập hợp các điểm hữu hiệu lý tưởng của A được ký hiệu là
IMin(A │C);
ii) x ∈ A là một điểm hữu hiệu Pareto (hoặc cực tiểu Pareto) của A đối với
nón C nếu x − y ∈ C, với y ∈ A, thì y – x ∈ C; tập các điểm hữu hiệu Pareto

của A được ký hiệu là PMin (A│C);
iii) x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với C nếu tồn tại nón lồi khác
toàn không gian và chứa C
∖
l(C) trong phần trong của nó để x ∈ PMin
(A│(intC ∪{0})); Tập hợp các điểm hữu hiệu thực sự của A được ký hiệu là
PrMin(A│C).
iv) Giả sử rằng intC là khác rỗng, x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu của A với C
nếu x ∈ PMin (A│(intC ∪{0})); Tập các điểm hữu hiệu yếu của A được kí
hiệu là WMin(A│C).
Chúng ta có mệnh đề sau :
PrMin(A│C) ⊆ PMin (A│C) ⊆WMin(A│C).
Mệnh đề 1.2.5. Cho X, Y và Z là không gian véctơ tôpô lồi địa phương
Hausdorff, Cho D X , K Z là các tập con khác rỗng và C Y là một nón.
Chúng ta gọi l (C) = C ∩ (− C). Nếu l (C) = {0}, C là một nón nhọn. Cho Y'
là không gian tôpô đối ngẫu của Y. Chúng ta kí hiệu cặp giá trị ξ, y là cặp
đối ngẫu ξ∈ Y' và y∈Y. Nón đối ngẫu C', nón dương đối ngẫu chặt và
nón yếu đối ngẫu của C được xác định như sau :
C'
=
{ξ∈ Y': ξ, c ≥ 0, với mọi c ∈ C};
+
={
ξ
∈Y':
ξ,
c

>
0, với mọi c ∈

C
∖
l
(
C
)};

13

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

−
={
ξ
∈Y':
ξ,
c

>
0, với mọi c ∈
intC
} .
Trong luận văn này, chúng ta luôn giả thiết rằng C là một nón nhọn trong Y.
1.3.Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.3.1. Cho X là tập hợp bất kỳ. Ký hiệu là tập gồm các tập con
của X. Mỗi ánh xạ F từ tập X vào được gọi là ánh xạ đa trị từ X vào Y: Ký
hiệu F: X→ .
Ta xét một ánh xạ đa trị F: D → . Miền định nghĩa và đồ thị của F được
định nghĩa lần lượt như sau :

domF = {x∈D: f(x) = ∅};
Gr (F) = {(x, y) ∈D × Y :y∈F(x)}.
Ví dụ 1.3.2. Cho a, b là các số thực, F: ℝ→ được xác định bởi:
F(x) =
khi đó F là ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.3.3. Cho F: X → , ánh xạ : Y → được xác định bởi :
(y) = {x∈ X: y ∈ F(x)} được gọi là ánh xạ ngược của F.
Chúng ta thấy rằng ánh xạ đa trị bất kì luôn tồn tại ánh xạ ngược (khác với
ánh xạ đơn trị). Nếu tập (y) mở ∀y ∈ Y thì F được gọi là có nghịch ảnh
mở.
Tương tự ánh xạ đơn trị ta cũng có các phép toán sau đối với ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.3.4. Cho , : X → là các ánh xạ đa trị, ánh xạ giao của
và được xác định như sau : ∩ = (x) ∩ (x).
Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính, F: X → , các ánh xạ bao đóng( ),
phần trong (
o
F
) của ánh xạ F được xác định là :
(x) = và (
o
F
) (x) = (
()
o
Fx
).
14

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

Nếu X, Y là các không gian tôpô tuyến tính thì ánh xạ bao lồi và bao lồi đóng
của F được xác định lần lượt là :
(coF)(x) = coF(x) và ( F)(x) = F(x).
1.4 .Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Trong mục này ta trình bày khái niệm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới và
liên tục theo nón của ánh xạ đa trị. Trước hết ta nhắc lại khái niệm liên tục
của ánh xạ đơn trị. Cho f: X →Y là ánh xạ đơn trị từ X vào Y; ánh xạ f gọi là
liên tục tại ∈ X nếu với mỗi tập mở V chứa f( ) tồn tại lân cận mở U của
sao cho f(x) ∈V, ∀ x ∈ U. Ta nói f liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm
trong X. Dễ thấy f liên tục trên X nếu với mỗi tập mở V⊂Y, (V) ={x ∈,
f(x) ∈V} mở trong X.
Do ánh xạ đa trị biến mỗi điểm thành một tập hợp, nên với mỗi tập mở V bất
kỳ và điểm x có thể xảy ra hai trường hợp, hoặc f(x) ⊆V, hoặc f(x) ⋂V≠ . Vì
vậy có thể mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị liên tục sang cho ánh xạ đa trị
theo hai cách khác nhau và ta có hai khái niệm hoàn toàn khác nhau: ánh xạ
đa trị nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới. Ta nhắc lại một số định nghĩa sau
đây.
Định nghĩa 1.4.1. (xem [4]) Cho F: X→ là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô
X vào không gian tôpô Y:
a) F gọi là nửa liên tục trên tại ∈ domF nếu mọi tập mở V⊂ Y thoả mãn
F( ) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của sao cho F(x) ⊂ V ∀x ∈U.
b) F được gọi là nửa liên tục dưới tại ∈ domF nếu với mọi V mở, F( ) ∩ V
≠ ∅ đều tồn tại tập mở U ⊃ sao cho F(x) ∩ V≠∅ ∀x ∈ U.
c) F được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu nó đồng thời nửa liên tục trên và nửa liên
tục dưới tại x. F được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X.
15

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

Định nghĩa 1.4.2. (xem [3]) Cho X, Y là các không gian tôpô, F: X→ là ánh
xạ đa trị. F được gọi là ánh xạ đóng nếu đồ thị Gr(F) của F là một tập đóng
trong không gian X × Y.
Nếu là tập compact trong Y thì F gọi là ánh xạ compact.
Sau đây chúng ta sẽ xét một số mệnh đề về điều kiện của một ánh xạ đa
trị là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới.
Bổ đề 1.4.3. (xem [4]) Cho X và Y là không gian véctơ tôpô Hausdorff, F: X
→ 2
Y
là một ánh xạ đa trị;
i) Nếu F là một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị đóng, thì F là ánh xạ
đóng .
ii) Nếu X là tập compact và F là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với các giá trị
compact thì F(X) là tập compact.
iii) Nếu F là ánh xạ đa trị đóng và Y là một tập hợp compact thì F là nửa liên
tục trên.

Ta nhắc lại, hàm vô hướng f: X→R gọi là nửa liên tục trên (hoặc dưới)
tại nếu với bất kỳ ε > 0 đều tồn tại lân cận U ⊃ sao cho f(x) ≤ f( ) +ε
(hoặc f(x) ≥ f( ) −ε). Khái niệm này có thể mở rộng cho trường hợp ánh xạ đa
trị trong không gian vộctơ tôpô lồi địa phương với nón C.
Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D, K là tập
con khác rỗng trong X, C là nón trong Y và F là ánh xạ đa trị từ D vào Y. Ta
có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.4.4. Cho F: D → là một ánh xạ đa trị;
i) F được gọi là C − liên tục trên (dưới) tại ∈ domF nếu bất kỳ lân cận V
trong Y có một lân cận U của sao cho
F (x) ⊆F ( ) + V + C.
( hoặc F ( ) ⊆ F (x) + V − C) với mọi x ∈ U ∩ domF.

16

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

ii) Nếu F vừa là C − liên tục trên và C − liên tục dưới tại , ta nói rằng F là
C − liên tục tại .
iii) Nếu F là trên, dưới, . . , C − liên tục tại mọi điểm của domF, chúng ta nói
rằng nó trên, dưới, . , C −liên tục trên D.
iv) Trong trường hợp C = {0}, ta nói F là liên tục trên (liên tục dưới) thay vì
nói 0 − liên tục trên (0− liên tục dưới). F là liên tục nếu nó vừa liên tục trên và
liên tục dưới .
1.5. Tính lồi của ánh xạ đa trị
Trong mục này chúng ta trình bày định nghĩa tính lồi, tựa giống như lồi
của ánh xạ đa trị. Các khái niệm này mở rộng các khái niệm đã quen biết
trong trường hợp ánh xạ đơn trị và là các khái niệm cần thiết trong việc kiểm
tra các định lý tồn tại nghiệm ở các chương sau
Định nghĩa F là một ánh xạ đa trị từ D đến 2
Y
:
i) F được gọi là C − lồi trên (C − lồi dưới) trên D nếu mọi dãy hữu hạn
{ , , } ⊆D và
≥ 0, = 1 ta có

F
(
) +
C
.
(

tương ứng
F
( )
−
C
)
.
ii) F được gọi là C – tựa giống như lồi trên (C – tựa giống như lồi dưới)
trên D nếu mọi dãy hữu hạn { , , , } ⊆ D và


≥
0, tồn tại
j
∈ {
1
,
,
n
}sao cho
F( ) +
C
.
(
tương ứng
F
(
)
−
C

).
Trong [7], Ferrocó một số ví dụ cho thấy có ánh xạ đa trị là C− lồi trên (C
− lồi dưới) mà không phải là C – tựa giống như lồi trên (C – tựa giống như lồi
dưới) và ngược lại cũng có ánh xạ đa trị là C – tựa giống như lồi trên (C – tựa
giống như lồi dưới) mà không phải là C − lồi trên (C − lồi dưới) .
17

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

1.6. Điểm bất động của ánh xạ đa trị
Năm 1912, Brouwer đã dùng phương pháp tổ hợp chứng minh một ánh
xạ đơn trị liên tục từ một đơn hình K⊆ vào chính nó có điểm bất động. Sau
đó năm 1941, Schauder đã mở rộng định lý cho trường hợp K là tập lồi
compact khác rỗng trong . Kakutani mở rộng cho trường hợp ánh xạ đa trị
với ánh xạ nửa liên tục trên. Đến năm 1967, Ky Fan đã chứng minh định lý
điểm bất động với K nằm trong không gian tuyến tính lồi địa phương. Năm
1929, ba nhà toán học Knater, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh
một kết quả rất quan trọng, hiện nay gọi là bổ đề KKM, từ đó suy ra được
nguyên lý điểm bất động Browder. Năm 1961, Ky Fan đã mở rộng Bổ đề
KKM cổ điển trong không gian véctơ tôpô Hausdorff hữu hạn chiều với ánh
xạ đa trị. Năm 1968, Browder đã chứng minh kết quả của Fan theo một dạng
khác đó là định lý điểm bất động và ngày nay người ta thường gọi định lý đó
là định lý điểm bất động Fan-Browder. Các kết quả những công trình trên là
công cụ quan trọng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các loại bài toán tối
ưu. Chúng ta nhắc lại một số kiến thức quan trọng về điểm bất động phát
biểu trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương sau đây.
Định lý 1.6.1. (Fan-Browder, 1968) Cho X là một không gian véctơ tôpô, K

X là một tập con lồi, khác rỗng, compact. F:K→ là ánh xạ đa trị thoả mãn

các điều kiện:
a) Với mọi x ∈ K; F(x) là tập lồi;
b) Với mọi y ∈ K; (y) là tập mở trong K;
thì tồn tại điểm ∈ K sao cho ∈ F( ).
Định lý 1.6.2. (Định lý điểm bất động S.Park, xem [16]) Cho X là không gian
tôpô tuyến tính lồi địa phương, K

X là một tập con lồi, compact.
F :K→ là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng khác rỗng. Khi
đó tồn tại tồn tại điểm ∈ K sao cho ∈ F( ).
-->