Khắc phục khó khăn và sai lầm thường gặp trong giải toán tổ hợp xác suất cho học sinh Trung học phổ thông

Số hóa bởi trung tâm học liệu


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM










ĐẶNG THỊ THỦY









–

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC












THÁI NGUYÊN, 2013



Thái Nguyên, 2013


Số hóa bởi trung tâm học liệu


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

ĐẶNG THỊ THỦY








–




Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11




LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN TRUNG








THÁI NGUYÊN, 2013



Thái Nguyên, 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình
nào khác.

Tác giả luận văn

Đặng Thị Thủy








Số hóa bởi trung tâm học liệu

ii

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Trung, người đã tận tình chỉ
bảo, hướng dẫn em trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô Trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, khoa
Toán và khoa Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các giáo viên và học sinh các lớp
11D1; 11D3 trường THPT Hòa Bình - Chi Lăng - Lạng Sơn đã tạo mọi điều kiện
giúp đỡ trong suốt quá trình thực nghiệm sư phạm.
Xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn bè và đồng nghiệp, những người luôn
động viên, khích lệ tôi hoàn thành luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, Tháng 4 năm 2013
Tác giả luận văn

Đặng Thị Thủy
Số hóa bởi trung tâm học liệu

iii

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mục lục iii
Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt vi
MỞ ĐẦU 1
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5
1.1 Dạy học giải bài tập toán 5
5
7
11
1.2 Quan điểm khắc phục khó khăn và sai lầm của học sinh trong một số
phương pháp dạy học 18
1.2.1. Quan điểm trong phương pháp dạy học theo thuyết hành vi 18
1.2.2. Quan điểm trong phương pháp dạy học theo thuyết kiến tạo 19
1.2.3. Quan điểm trong phương pháp dạy học theo Thuyết tình huống 22
1.3 Dạy học giải toán Tổ hợp - Xác suất ở trường Trung học phổ thông 23
1.3.1 Vai trò và ý nghĩa của nội dung Tổ hợp - Xác xuất trong chương
trình môn Toán ở trường Trung học phổ thông 23
1.3.2 Nội dung chủ đề Tổ hợp - Xác xuất trong chương trình môn Toán ở
trường Trung học phổ thông 27
1.3.3 Một số vấn đề lưu ý trong dạy học giải toán Tổ hợp - Xác suất ở
trường Trung học phổ thông 29

thông trong giải toán Tổ hợp - Xác suất 33
1.4.1 Một số khó khăn cơ bản của học sinh Trung học phổ thông trong
giải toán Tổ hợp - Xác suất 33
Số hóa bởi trung tâm học liệu

iv
1.4.2 Sai lầm thường gặp của học sinh Trung học phổ thông trong giải
toán chủ đề Tổ hợp - Xác suất 40
1.5 Thực trạng khắc phục khó khăn và sai lầm thường gặp cho học sinh
trong dạy học giải toán Tổ hợp - Xác suất ở trường Trung học phổ thông 49
1.5.1 Thuận lợi, khó khăn 49
1.5.2 Thực trạng tình hình giảng dạy của GV 50
1.5.3 Thực trạng tình hình học tập của HS 51
1.5.4 Đánh giá chung 52
1.6 Tiểu kết chương 1 53
Chƣơng 2:
–
54
2.1 Định hướng xây dựng một số biện pháp khắc phục những khó khăn
và sai lầm thường gặp trong giải toán Tổ hợp - Xác suất cho học sinh
Trung học phổ thông 54
2.2
giải toán chủ đề Tổ hợp - Xác suất cho học sinh Trung học phổ thông 55
2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh nắm vững bản chất và ý
nghĩa của các khái niệm, quy tắc, ký hiệu trong sách giáo khoa từ đó vận
dụng trong giải toán Tổ hợp - Xác suất 55
2.2.2. Biện pháp 2: Tạo tình huống phù hợp với trình độ nhận thức để
phát huy tính tích cực của học sinh trong giải toán Tổ hợp - Xác suất 64
2.2.3. Biện pháp 3: Xác định và tập luyện cho học sinh thuật giải một số
dạng toán Tổ hợp - Xác suất và vận dụng quy trình giải toán của G. Polia 69

2.2.4. Biện pháp 4: Quan tâm phát triển khả năng trực giác xác suất cho
học sinh 75
2.2.5. Biện pháp 5: Bồi dưỡng tư duy toán học và sử dụng chính xác
ngôn ngữ toán học cho học sinh khi giải toán Tổ hợp - Xác suất 81
Số hóa bởi trung tâm học liệu

v
2.2.6. Biện pháp 6: Đưa học sinh vào các tình huống thử thách với
những khó khăn và sai lầm, từ đó có các phản ví dụ cần thiết để học sinh
điều ứng sơ đồ nhận thức đã có 87
2.3 Kết luận chương 2 91
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 92
3.1 Mục đích thực nghiệm 92
3.2 Nội dung thực nghiệm 92
3.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 92
3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 92
3.3.2 Tiến trình thực nghiệm 93
3.4 Kết quả thực nghiệm 94
3.4.1 Đánh giá về mặt định tính 94
3.4.2 Đánh giá về mặt định lượng 95
3.5 Kết luận chương 3 96
KẾT LUẬN 97
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ CÓ
LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN VĂN 98
TÀI LIỆU THAM KHẢO 99
PHỤ LỤC

Số hóa bởi trung tâm học liệu

vi

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt
Viết đầy đủ
BPSP
Biện pháp sư phạm
CNTT
Công nghệ thông tin
GV
Giáo viên
HĐQT
Hội đồng quản trị
HS
Học sinh
NXB
Nhà xuất bản
PPDH
Phương pháp dạy học
SBT
Sách bài tập
SGK
Sách giáo khoa
THCS
Trung học cơ sở
THPT
Trung học phổ thông
VD
Ví dụ

Số hóa bởi trung tâm học liệu

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Chất lượng dạy và học là mối quan tâm hàng đầu của nền giáo dục trên
thế giới, hầu hết các nước đều ra sức tìm mọi biện pháp để nâng cao chất lượng
dạy và học. Với mong muốn là làm sao để người dạy truyền đạt được kiến thức
một cách dễ dàng, người học nắm
định để người dạy và người học hoàn thành nhiệm vụ trọng tâm của mình.
HS
T
HS
HS
.
T –
Số hóa bởi trung tâm học liệu

2
SGK
GV
GV
HS .
HS
, HS
HS
– X GV

HS
HS
, trong khi .
đề , B
– T
– X
HS
HS GV
.
Từ những lý do trên, chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài “ khó
–
".
Số hóa bởi trung tâm học liệu

3
2. Mục đích nghiên cứu
–
–
.
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán cho học sinh THPT
– .
3.2. Đối tượng nghiên cứu:
T – X .
4. Giả thuyết khoa học
Cần thiết THPT
– có thể
.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận về tình huống dạy học giải toán, rèn luyện

kỹ năng giải toán, quan điểm khắc phục khó khăn và sai lầm của HS khi giải
toán trong một số PPDH tích cực
5.2. Phân tích n học sinh
THPT -
HS
– .
Tổ hợp - Xác suất cho học sinh THPT.
.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về
các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn.
Số hóa bởi trung tâm học liệu

4
6.2 Phương pháp điều tra – quan sát:
– X
.
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm và
đối chứ
xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp. Kết quả thực nghiệm sư phạm
được xử lý bằng phương pháp thống kê toán học trong khoa học giáo dục.
6.4 Phương pháp thống kê toán học: Xử lí số liệu thu được sau quá trình
thực nghiệm sư phạm.
7. Đóng góp của luận văn
:
- HS
– .
-
.
:

- Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV HS
– .
-
.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung luận văn được trình bày trong
ba chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2. Một số biện pháp sư phạm khắc phục những khó khăn và sai lầm
thường gặp trong giải toán Tổ hợp - Xác suất cho học sinh Trung học phổ thông
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
Luận văn có sử dụng 33 tài liệu tham khảo và có 4 Phụ lục kèm theo.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

5
Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Dạy học giải bài tập toán

Dạy Toán là dạy hoạt động toán học là một luận điểm cơ bản đã được
mọi người thừa nhận, hoạt động toán học chủ yếu của HS là hoạt động giải bài
tập Toán. Trình độ học Toán của HS đến mức độ nào sẽ được thể hiện rõ nét
qua chất lượng giải Toán. Vai trò của bài tập trong dạy học Toán là vô cùng
quan trọng, đó là lí do tại sao nhiều công trình nghiên cứu về PPDH Toán lại
gắn với việc nghiên cứu xây dựng hệ thống bài tập (chẳng hạn, các công trình:
Tôn Thân (1995), Trần Đình Châu (1996), Nguyễn Đình Hùng (1997), ).
Theo P. M. Ecđơnnhiev: "Bài tập được coi là một mắt xích chính của quá trình
dạy học Toán"[9]. Đối với HS, có thể xem giải bài tập toán là hình thức chủ

yếu của hoạt động Toán học. Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không
thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình
thành kĩ năng và kĩ xảo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các
mục đích khác của dạy học Toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải
Toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán.
Theo Nguyễn Bá Kim thì bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn
Toán [11]. Điều căn bản là bài tập toán có vai trò giá mang hoạt động của HS.
Thông qua việc giải bài tập, HS phải thực hiện nhiều hoạt động như: Nhận
dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc - phương pháp,
những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt động trí
tuệ phổ biến trong Toán học. Do hoạt động của HS liên hệ mật thiết với mục
tiêu, nội dung và PPDH, vì vậy vai trò của bài tập toán được thể hiện trên ba
bình diện này:
- Về mặt mục tiêu dạy học: bài tập toán thể hiện những chức năng khác
nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn Toán như:
Số hóa bởi trung tâm học liệu

6
+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng Toán
học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học;
+ Phát triển năng lực trí tuệ chung: Rèn luyện các thao tác tư duy, hình
thành các phẩm chất trí tuệ;
+ Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như
những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là một phương tiện để cài đặt
nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức
đã học ở phần lý thuyết.
- Về mặt PPDH: Bài tập toán là giá mang những hoạt động để HS kiến
tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học
khác. Khai thác tốt bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt cho HS học tập

trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo được
thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau. Về PPDH: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội
dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện
không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức, khả năng làm việc độc lập
và trình độ phát triển tư duy của HS, cũng như hiệu quả giảng dạy của GV.
Bài tập toán với tư cách là một PPDH, giữ một vị trí đặc biệt quan trọng
trong việc hoàn thành nhiệm vụ dạy và học Toán ở phổ thông. Việc giải bài tập
toán có những tác dụng sau:
- Hình thức củng cố, ôn tập, hệ thống hoá kiến thức một cách sinh động.
Khi giải quyết bài toán, HS phải nhớ lại những kiến thức đã học, phải đào sâu
một số khía cạnh nào đó của kiến thức hoặc phải tổng hợp, huy động nhiều
kiến thức để giải quyết được bài tập. Tất cả những thao tác tư duy đó góp phần
củng cố khắc sâu và mở rộng kiến thức cho HS;
- Phương tiện rất tốt để phát triển năng lực tư duy. Khả năng sáng tạo
cho HS, bồi dưỡng cho HS một phương pháp nghiên cứu khoa học bởi vì giải
Số hóa bởi trung tâm học liệu

7
bài tập toán là một hình thức làm việc tự lực căn bản của HS. Trong khi giải
bài tập toán HS phải phân tích, lập luận từ đó tư duy logic, tư duy sáng tạo
của HS được phát triển. Năng lực của HS được nâng cao;
- Xây dựng và củng cố những kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào
thực tế, đời sống từ đó có tác dụng giáo dục cho HS về phẩm chất tư tưởng
đạo đức, rèn luyện khả năng độc lập suy nghĩ, tính kiên trì dũng cảm khắc
phục khó khăn, tính chính xác khoa học, kích thích hứng thú học tập bộ môn
Toán nói riêng và học tập nói chung;
- Đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học
toán và trình độ phát triển của HS.

Qua những điều nói trên, bài tập Toán có những tác dụng to lớn về cả
giáo dục lẫn giáo dưỡng. Vì thế việc giải bài tập Toán mục đích cuối cùng
không chỉ là tìm ra đáp số của nó tuy rằng điều này rất quan trọng và cần thiết,
mục đích chính của bài tập là ở chỗ HS giải bài tập nắm vững được kiến thức
đã học, đồng thời rèn luyện các năng lực phẩm chất của tư duy, vận dụng một
cách nhuần nhuyễn, linh hoạt sáng tạo trong công việc.

Sự hình thành các kỹ năng đó là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp
các thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp thu
được từ đối tượng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hành động .
Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết
các nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến hành tư duy sự vật thì chủ thể thường biến đổi,
phân tích đối tượng để tách ra những khía cạnh, những thuộc tính mới. Tất cả
những điều này được ghi lại trong tri thức của chủ thể tư duy và được biểu hiện
bằng các từ. Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích – tổng hợp,
trừu tượng hóa – khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một
mặt nào đó của đối tượng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho.
Ở đây mỗi bước, nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối tượng, thúc
Số hóa bởi trung tâm học liệu

8
đẩy tư duy tiến lên, đồng thời quyết định bước tiếp theo sau của tư duy. Vì các
khía cạnh mới của đối tượng được phản ánh trong các khái niệm mới, tư duy
diễn ra như là một sự diễn đạt lại bài toán nhiều lần.
VD: Cho bài toán "Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0.
Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm:
a(x - b)(x - c) + b(x - a)(x - c) + c(x – a)(x - b) = 0"
Tiến hành phân tích đối tượng ta nhận thấy đối tượng tư duy là một
phương trình dạng bậc hai:
(a + b + c)x

2
+ 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0
Đây là phương trình dạng bậc hai nên để chứng minh nó có nghiệm
nghĩa là phải chỉ ra:
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình: 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0 có
nghiệm.
Nếu a + b + c ≠ 0 thì ∆’ = (ab + bc + ca)
2
– 3abc(a + b + c) 0
Đó chính là sự diễn đạt lại bài toán và tiếp theo chủ thể lại phải diễn đạt
bài toán theo khía cạnh mới.
Cũng không loại trừ có chủ thể diễn đạt lại bài toán như sau: chứng
minh phương trình luôn có nghiệm có nghĩa là ta chỉ cần chỉ ra phương trình
luôn có 1 nghiệm nào đó với mọi giá trị a, b, c. Tuy nhiên, chủ thể phải nhận
thấy cách diễn đạt nào phù hợp với đối tượng, để có thể tiến hành hoạt động
giải toán. Điều này không phải mọi HS đều có thể thực hiện tốt.
Quá trình tư duy của con người diễn ra một cách liên tục và có tính kế
thừa. Với mỗi cách diễn đạt mới là kết quả của sự phân tích và tổng hợp những
kết quả của giai đoạn trước, được thể hiện trong các khái niệm. Khi hoàn thành
việc nghiên cứu đối tượng thì trong tri thức của chủ thể, tư duy sẽ ghi lại
những thuộc tính bản chất của đối tượng và nó ít nhiều sẽ giúp ích cho hoạt
động sau này. Chính quá trình này sẽ thúc đẩy tư duy tiến lên nhằm chinh phục
đỉnh cao mới và nó làm cho con người luôn không tìm ra giới hạn của tri thức
Số hóa bởi trung tâm học liệu

9
nhân loại, như S. L. Rubinstein đã khẳng định: “Trong quá trình tư duy nhờ
phân tích và tổng hợp, đối tượng tham gia vào những mối liên hệ ngày càng
mới và do đó, thể hiện qua các phẩm chất ngày càng mới, những phẩm chất
này được ghi lại trong những khái niệm mới. Như vậy, từ đối tượng dường như

khai thác được nội dung ngày càng mới, nó dường như mỗi lần quay lại một
khác và trong nó lại xuất hiện những thuộc tính mới”[30].
Theo quan điểm này, sự hình thành các kĩ năng xuất hiện trước hết như
những sản phẩm của tri thức ngày càng được đào sâu. Các kĩ năng được hình
thành trên cơ sở lĩnh hội các tri thức về các mặt và các thuộc tính khác nhau về
đối tượng đang được nghiên cứu. Các con đường chính của sự hình thành các
kĩ năng - đó là HS phải tự nhìn nhận thấy những mặt khác nhau trong đối
tượng, vận dụng vào đối tượng. Những tri thức khác nhau diễn đạt mối quan hệ
đa dạng giữa đối tượng và tri thức.
Có thể dạy cho HS kĩ năng bằng những con đường khác nhau. Một trong
những con đường đó là truyền thụ cho HS những tri thức cần thiết, rồi sau đó
đề ra cho HS những bài toán về vận dụng tri thức đó. Và bản thân HS tìm tòi
cách giải, bằng con đường thử nghiệm và sai lầm (thử các phương pháp và tìm
ra phương pháp tối ưu), qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng,
những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động. Đôi khi
người ta gọi con đường dạy học này là dạy học nêu vấn đề. Cũng có thể dạy
học kĩ năng bằng con đường: dạy cho HS biết những dấu hiệu mà theo đó có
thể đoán nhận được một cách dứt khoát kiểu bài toán và những thao tác cần
thiết để giải bài toán đó. Người ta gọi con đường này là dạy học angorit hóa
hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ. Cuối cùng, con đường thứ ba là như
sau: người ta dạy HS chính hoạt động tâm lí cần thiết đối với việc vận dụng tri
thức. Trong trường hợp này nhà giáo dục không những chỉ cho HS tìm hiểu
các mốc định hướng để chọn lọc các dấu hiệu và các thao tác mà còn tổ chức
hoạt động cho HS trong việc cải biến, sử dụng thông tin đã thu được để giải
Số hóa bởi trung tâm học liệu

10
các bài toán đặt ra. Con đường này đã được các nhà Tâm lí học Xô viết nghiên
cứu, chẳng hạn như: P. Ja. Galperin, N. F. Talyzyna và những người khác. Họ
cho rằng, để dạy được những điều nêu trên GV phải dẫn dắt HS một cách có hệ

thống trải qua tất cả những giai đoạn hoạt động đòi hỏi phải định hướng vào
các dấu hiệu đã được ghi lại trong khái niệm đang được nghiên cứu.
Trong giai đoạn đầu, những mốc định hướng (những dấu hiệu bản chất)
của đối tượng được đưa ra trước HS dưới dạng có sẵn. Được vật chất hóa dưới
dạng sơ đồ, kí hiệu các đối tượng, còn các thao tác tách ra các mốc định hướng
thì được thực hiện dưới hình thức những hành động có đối tượng.
Chẳng hạn, bài toán về giải phương trình bậc hai như:
x
2
– 5x + 6 = 0
thì phương pháp giải đầu tiên được giới thiệu là phân tích đa thức vế trái
thành nhân tử bằng cách ghép bình phương đủ, như vậy lời giải dựa trên các
mốc định hướng có đối tượng. ở giai đoạn hai, các mốc định hướng và các thao
tác có đối tượng được thay thế bằng các kí hiệu và các hành động ngôn ngữ.
Trong VD trên người ta không còn sử dụng phép phân tích đa thức thành nhân
tử để giải mà thay vào đó là các kí hiệu ∆ và công thức nghiệm, ở giai đoạn
này giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ và kí hiệu. ở giai đoạn thứ ba, các
hành động ngôn ngữ rơi rụng dần đi và thay thế chúng là những thao tác diễn
ra theo sơ đồ gọn hơn:
“Phương trình x
2
– 5x + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x=2 và x=3”.
Người ta còn gọi ý đồ dạy học trên là phương pháp hình thành các hành
động trí tuệ qua từng giai đoạn.
Trong thực tế khi hình thành những tri thức mới (có nội dung chứ không
phải khái niệm từ ngữ thuần túy) ai cũng phải trải qua các giai đoạn này. Tuy
nhiên, trong dạy học thông thường những giai đoạn không được tổ chức một
cách có ý thức. Vì thế HS phải tự phát hiện những dấu hiệu cảm tính hay
những dấu hiệu lôgic, mà điều chủ yếu là các em phải tự lựa chọn những hành
Số hóa bởi trung tâm học liệu

11
động thích hợp để làm điều đó. Do vậy không thể tránh khỏi các sai lầm và các
tri thức không phải bao giờ cũng được hình thành đầy đủ và đúng đắn. Để cho
các khái niệm được hình thành đầy đủ và đúng đắn, hoạt động tương ứng của
HS phải được xây dựng trên một cơ sở định hướng đầy đủ. Nói một cách khác,
giáo viên phải truyền thụ cho HS tất cả những dấu hiệu bản chất của các đối
tượng dưới dạng có sẵn và dạy cho họ những thao tác cần thiết để phát hiện
hay tái tạo những dấu hiệu.
Những nguyên tắc kể trên cho phép cải tiến một cách căn bản việc dạy
các khái niệm, đặc biệt tăng nhanh tốc độ chiếm lĩnh các tri thức, đảm bảo
được tính mềm dẻo và đầy đủ của chúng, vận dụng chúng đúng đắn còn cho
phép hình thành những tri thức trừu tượng phức tạp ở lứa tuổi sớm hơn nhiều.
Thực chất của sự hình thành kĩ năng là hình thành cho HS khả năng nắm
vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các
thông tin chứa đựng trong bài toán, trong nhiệm vụ.
Khi hình thành kĩ năng cho HS, GV cần tiến hành: Giúp HS biết cách
tìm tòi để nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng;
Giúp HS hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các đối tượng cùng
loại; Xác lập được mối liên hệ giữa bài toán mô hình khái quát và các kiến
thức tương ứng. Để hình thành bất kì một kĩ năng nào cũng cần được tiến hành
thông qua các hoạt động luyện tập, củng cố, vận dụng thông qua việc thực hiện
các thao tác, hành động và diễn ra theo một quy trình trong một khoảng thời
gian nhất định.
1.1.3.
Dạy học giải bài tập toán là điều kiện quan trọng để thực hiện tốt các
mục tiêu dạy học, là một trong những vấn đề trọng tâm của PPDH Toán ở
trường phổ thông. Đối với HS, giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt
động Toán học nhằm thực hiện tốt chức năng dạy học, giáo dục, chức năng
phát triển, chức năng trí tuệ và chức năng kiểm tra. Như vậy, dạy học giải bài

Số hóa bởi trung tâm học liệu

12
tập toán có một vai trò quyết định thiết yếu đối với chất lượng dạy học toán ở
trường phổ thông.
Dạy học giải bài tập toán không chỉ dừng lại ở mức độ hướng dẫn HS
trình bày một lời giải đúng đắn, đầy đủ và có căn cứ chính xác mà phải biết
cách hướng dẫn HS thực hành giải bài tập theo yêu cầu của phương pháp tìm
tòi lời giải. Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là GV chỉ đơn thuần
cung cấp cho HS lời giải bài toán. Biết lời giải bài toán không quan trọng
bằng biết cách làm thế nào để giải được bài toán. Để tăng hứng thú học tập
cho HS, phát triển tư duy, rèn luyện kỹ năng và hoạt động độc lập sáng tạo
cho họ, thầy giáo phải hình thành cho HS quy trình chung, các phương pháp
tìm tòi lời giải một bài toán.
1.1.3.1 Vấn đề lựa chọn các bài tập toán
Bài tập toán có tác dụng rất to lớn về cả giáo dục và giáo dưỡng, tác
dụng đó càng tích cực nếu trong quá trình dạy học môn Toán có sự lựa chọn
cẩn thận một hệ thống bài tập chặt chẽ phong phú về nội dung, thích hợp về
phương pháp và bám sát mục đích nhiệm vụ dạy học Toán ở trường phổ
thông. Hệ thống bài tập được lựa chọn cần phải thoả mãn một số yêu cầu sau:
- Trước hết các bài toán đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp sao
cho từng bước HS hiểu được một cách vững chắc và có kỹ năng, kỹ xảo vận
dụng các kiến thức đó.
- Mỗi bài tập được lựa chọn phải là một mắt xích trong hệ thống các
bài tập đóng góp được một phần nào đó vào việc hoàn chỉnh kiến thức của
HS, giúp các em hiểu được mối liên hệ giữa các đại lượng cụ thể hoá các khái
niệm và vạch ra những nét mới nào đó chưa được sáng tỏ.
- Hệ thống bài tập phải giúp HS nắm được phương pháp giải từng bài
cụ thể. Từ những yêu cầu đó cần làm cho HS bắt đầu từ những bài tập đơn
giản, sau đó tăng dần độ khó, việc giải bài tập sáng tạo được coi là kết thúc

việc giải hệ thống những bài tập đã được lựa chọn.
S húa bi trung tõm hc liu

13
Vic gii toỏn cn c tin hnh cú k hoch. Cỏc bi toỏn cn c
chn lc cú h thng nhm nhng mc ớch giỏo dc xỏc nh v thớch hp
vi c ba loi HS: khỏ, trung bỡnh, kộm. Cú th quy c phõn loi cỏc bi
toỏn nh sau:








S 1.1: Phõn loi cỏc bi toỏn
Khụng nờn coi nh loi no c. Nhng bi toỏn khụng cú tớnh cht vn
rt cn thit cho vic cng c kin thc, rốn luyn k nng. Cỏc bi toỏn cú
tớnh cht vn cú tỏc dng nhiu trong vic phỏt trin t duy nhng li
khụng phự hp vi tt c HS. Vỡ vy, nờn chỳ ý kt hp khộo lộo trong vic
ra bi tp cho HS lm, i t d n khú, t n gin n phc tp. Chỳ trng
nờu cỏc bi toỏn loi I v loi II cho tt c cỏc em v khuyn khớch tt c cỏc
em núi chung, cỏc em khỏ gii núi riờng gii mt s bi toỏn loi III.
1.1.3.2 Dy hc sinh phng phỏp gii bi tp toỏn
Trong dy hc gii toỏn, k nng tỡm kim li gii l mt trong cỏc k
nng quan trng, m vic rốn luyn cỏc thao tỏc t duy l mt thnh phn
khụng th thiu trong dy hc gii Toỏn. G. Pụlya ó a ra 4 bc i n
li gii bi toỏn [33].
- Bc 1. Hiu rừ bi toỏn: Tỡm hiu u bi Toỏn l vic lm trc

tiờn trong quỏ trỡnh dy hc gii toỏn. Mun HS t mỡnh gii quyt c
nhng yờu cu ũi hi ca bi Toỏn ngi GV cn phi lm cho HS nm
Có tính chất
vấn đề
Không có tính chất
vấn đề
Đơn
Phức hợp
Bài toán
(Loại II)
(Loại III)
(Loại I)
Số hóa bởi trung tâm học liệu

14
được ý nghĩa nội dung của bài toán, xác định được yếu tố cơ bản của bài
Toán đồng thời biết thể hiện bài toán dưới một hình thức ngắn gọn dễ hiểu.
Có nhiều cách để tìm hiểu đầu bài Toán và chúng ta cũng thấy rằng: mỗi cấp
học khác nhau, mỗi bài toán cụ thể sẽ có những cách tìm hiểu đầu bài toán
khác nhau. Thông thường để tìm hiểu đầu bài toán, người dạy giải Toán cần
hướng HS tới các câu hỏi: phân tích giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là
ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới
điều gì?. Có thể biểu diễn bài toán dưới một hình thức khác được không?,
Như vậy, ngay ở bước "Hiểu rõ đề Toán" ta đã thấy được vai trò của tư duy
sáng tạo trong việc định hướng để tìm tòi lời giải.
- Bước 2. Xây dựng chương trình giải: Xây dựng chương trình giải
Toán là xác định trình tự cho việc giải quyết những đòi hỏi của bài Toán
hoặc nói một cách khác là dạy cho HS tìm ra cách giải của bài toán. Có rất
nhiều cách để tìm ra lời giải bài toán. Người dạy có thể sử dụng các câu hỏi
phân tích đi lên, tổng hợp hoặc các phép suy luận, quy nạp để giúp HS tự tìm

ra lời giải của bài toán.
- Bước 3. Thực hiện chương trình giải: Hoạt động thực hiện kế hoạch
giải Toán bao gồm: việc chọn một cách giải và trình bày lời giải bài Toán dễ
hiểu nhất, phù hợp nhất với bậc học. Lời giải bài Toán được hiểu là tập hợp
các thao tác sắp theo thứ tự để đi đến mục đích yêu câu đòi hỏi của bài toán.
Thao tác đó có thể là phép tính cơ bản, phép dựng hình cơ bản, hoặc một dãy
các suy luận Cần phải lưu ý rằng: Cùng một vấn đề nhưng cách trình bày
lời giải ở mỗi cấp là khác nhau. Tuy nhiên, dù trình bày theo cách nào thì lời
giải một bài Toán không cho phép có sai lầm. Yêu cầu này có nghĩa là lời giải
bài Toán phải đảm bảo độ chính xác về kiến thức, hợp lôgíc về quy tắc suy
luận, ngôn ngữ diễn đạt trong sáng. Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm
tra lại từng bước. Em đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể
chứng minh là nó đúng không?
Số hóa bởi trung tâm học liệu

15
- Bước 4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được: HS thường có
thói quen khi đã tìm được lời giải của bài toán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra
lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì không, ít quan tâm tới việc nghiên cứu
cải tiến lời giải, khai thác lời giải. Vì vậy trong quá trình dạy học, GV cần
chú ý cho HS thường xuyên thực hiện các yêu cầu sau: Kiểm tra lại kết quả,
kiểm tra lại suy luận, xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài
toán, tìm cách giải khác của bài toán. Rất nên hệ thống hoá các bài toán có
liên quan với một chủ đề hay mô hình nào đấy để HS thấy được những tính
chất đa dạng thông qua các chủ đề và mô hình đó (rất thích hợp khi tổng kết
chương), cũng là cơ sở quan trọng để phát triển tư duy sáng tạo trong quá
trình học tập và nghiên cứu.
1.1.3.3. Hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
Muốn cho HS giải được một bài toán cụ thể nào đó thì dĩ nhiên là GV
phải giải được bài toán đó nhưng như vậy là chưa đủ. Muốn việc hướng dẫn

giải bài toán được định hướng một cách đúng đắn thì GV phải phân tích được
phương pháp giải bài tập cụ thể bằng cách vận dụng những hiểu biết về tư duy
giải bài tập toán để xem xét việc giải bài tập cụ thể này. Mặt khác phải xuất
phát từ mục đích sư phạm cụ thể của công việc cho HS giải bài tập để xác định
kiểu hướng dẫn phù hợp. Phương pháp hướng dẫn HS giải một bài toán cụ thể
nào đó là những hiểu biết khoa học về tư duy giải bài tập toán được vận dụng
vào việc phân tích phương pháp giải bài tập cụ thể này và những hiểu biết về
đặc điểm các hướng dẫn giải bài tập tuỳ thuộc theo những mục đích sư phạm
khác nhau .
Một số kiểu hướng dẫn giải bài tập tuỳ theo mục đích sư phạm của việc
giải bài tập gồm:
- Hướng dẫn theo mẫu (hướng dẫn Angôrit): Sự hành động theo một
mẫu đã có thường gọi là hướng dẫn theo mẫu hay hướng dẫn Angôrit. Hướng
dẫn theo mẫu là sự hướng dẫn chỉ rõ cho HS những hành động cụ thể cần thực
Số hóa bởi trung tâm học liệu

16
hiện và trình tự thực hiện các hành động đó để đi đến kết quả mong muốn.
Những hoạt động này được coi là những hoạt động sơ cấp được HS hiểu một
cách đơn giản và HS đã nắm vững kiểu hướng dẫn này không đòi hỏi HS phải
tìm tòi xác định các hoạt động cần thực hiện để giải quyết vấn đề đặt ra mà chỉ
đòi hỏi HS chấp hành các hoạt động giáo dục được chỉ ra.
Kiểu hướng dẫn Angorit đòi hỏi GV phải phân tích một cách khoa học
việc giải bài toán để xác định một trình tự chính xác chặt chẽ của các hoạt
động cần thực hiện để giải quyết được bài tập và phải đảm bảo các hoạt động
đó là sơ cấp đối với HS. Kiểu hướng dẫn này thường được áp dụng khi cần dạy
cho HS phương pháp giải bài tập điển hình nào đó. Người ta xây dựng các
Angôrit giải cho từng loại bài tập cơ bản điển hình và luyện tập cho HS kỹ
năng giải bài tập đó dựa trên việc làm cho HS nắm được Angôrit giải.
- Hướng dẫn tìm tòi (hướng dẫn Ơrixtic): Hướng dẫn tìm tòi là kiểu

hướng dẫn mang tính chất gợi ý cho HS suy nghĩ, tìm tòi phát hiện cách giải
quyết, không phải là GV hướng dẫn cho HS chấp hành theo mẫu đã có mà là
GV gợi mở để HS giải quyết. Kiểu hướng dẫn tìm tòi được áp dụng khi cần
giúp đỡ HS vượt qua khó khăn để giải được bài tập đồng thời vẫn đảm bảo yêu
cầu phát triển tư duy của HS tự lực tìm tòi giải quyết.
- Kiểu hướng dẫn khái quát chương trình hoá: Nó cũng là kiểu hướng
dẫn cho HS tự tìm tòi giải quyết. Nét đặc trưng của kiểu hướng dẫn này là GV
định hướng tư duy cho HS theo đường lối, khái quát của việc giải quyết vấn
đề. Sự định hướng ban đầu đòi hỏi sự tự lực tìm tòi giải quyết của HS, nếu HS
không đáp ứng được sự yêu cầu thì sự giúp đỡ tiếp theo của GV là sự phát
triển định hướng khái quát ban đầu, cụ thể hóa thêm một bước bằng cách gợi ý
thêm cho HS để thu hẹp thêm phạm vi tìm tòi giải quyết cho vừa sức của HS
nhưng nếu HS vẫn không đủ năng lực tự lực giải quyết thì hướng dẫn của GV
trở thành hướng dẫn theo mẫu để đảm bảo cho HS hoàn thành được một bước
sau đó yêu cầu HS tự lực tìm tòi bước tiếp theo cứ như thế cho đến khi giải
quyết xong vấn đề đặt ra.
Số hóa bởi trung tâm học liệu

17
Kiểu hướng dẫn này được áp dụng khi có điều kiện, tiến trình hoạt động
giải bài tập của HS. Nhằm giúp HS tự giải quyết được bài tập đã cho đồng thời
dạy cho HS cách suy diễn trong quá trình giải bài tập kiểu hướng dẫn này có
ưu điểm là kết hợp được các yêu cầu: Rèn luyện tư duy của HS trong quá trình
giải toán và đảm bảo cho HS giải được bài tập đã cho. Tuy nhiên sự hướng dẫn
đòi hỏi phải theo sát tiến trình hoạt động giải bài tập của HS không thể chỉ dựa
vào những lời hướng dẫn soạn sẵn mà phải kết hợp được việc định hướng với
việc kiểm tra kết quả hoạt động của HS để điều chỉnh sự giúp đỡ thích ứng với
trình độ của HS.
Dạy học giải Toán là một hoạt động trí tuệ khó khăn, phức tạp. Nó đòi
hỏi sự nỗ lực của cả người dạy lẫn người học bởi một lẽ: Người thầy muốn có

được phương pháp hướng dẫn để người học dễ hiểu, đòi hỏi người thầy phải tư
duy tích cực trước nội dung bài toán, đối tượng người học cụ thể thì mới tìm ra
phương pháp hướng dẫn phù hợp nhất và làm cho người học dễ đi đến lời giải
nhanh nhất, độc đáo nhất. Còn người HS, để tìm ra và hiểu được thực chất lời
giải bài toán, không chỉ cần sự tác động bởi phương pháp gợi mở của thầy mà
còn đòi hỏi chính mình phải có một hệ thống kiến thức vững chắc liên quan
đến bài toán cần giải cùng với khả năng vận dụng linh hoạt sáng tạo trong giải
quyết vấn đề bài toán đặt ra. Qua thực tế dạy học Toán ở bậc học phổ thông đã
cho chúng ta rõ một điều:
Hình thành năng lực giải Toán cho HS khó khăn hơn nhiều lần so với
hình thành kỹ thuật tính vì bài toán là sự kết hợp đa dạng của nhiều khái niệm,
quan hệ Toán học. Để hình thành cho HS năng lực giải toán, người GV phổ
thông cần phải hiểu được rằng:
Dạy học giải Toán không chỉ làm cho HS nhớ mẫu rồi áp dụng mà còn
phải làm cho học ngày càng phát triển năng lực vận dụng linh hoạt, sáng tạo
các kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề trong bài toán cũng như thực
tiễn cuộc sống. Để đạt được yêu cầu trên phương pháp tốt nhất trong dạy học