SKKN. NHUNG SAI LAM THUONG GAP TRONG GIAI TOAN.DOC

Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán

I/Đặt vấn đề
Trong chơng trình THPT Bất đẳng thức là một phần kiến thức khá quan
trọng. Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán
nh: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phơng trình, giải
bất phơng trình, hệ phơng trình
Bất đẳng thức Cauchy đợc giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số lớp 10 ở
tất cả các ban và là bất đẳng thức đợc vận dụng chủ yếu trong toàn bộ chơng trình
THPT. Nói đến bất đẳng thức Cauchy thì những ai đã từng học Toán THPT cũng
biết, cũng nhớ nhng để vận dụng đợc một cách có hiệu quả thì lại là cả một vấn
đề.
Qua quá trình giảng dạy và đặc biệt là bồi dỡng học sinh khá giỏi thì tôi
thấy học sinh trong quá trình vận dụng bất đẳng thức Cauchy thờng gặp những sai
lầm trong đó nghiêm trọng có thể làm sai đi bản chất của vấn đề.
Vì vậy tôi viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học bất
đẳng thức Cauchy sao cho có hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay
mắc phải cũng nh định hớng để giải quyết một bài toán theo bất đẳng thức Cauchy.
Nội dung bài viết gồm:
I/ Đặt vấn đề
II/Nội dung
III/Biện pháp thực hiện.
IV/Kết quả
V/Kết luận
Tuy bản thân đã hết sức cố gắng song không tránh khỏi những sai sót. Tác
giả mong đợc sự góp ý chân thành của đọc giả!
Thạch Thành, ngày 20/04/2008
Giáo viên

Đỗ Duy Thành.

Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III
1
Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán

II/Nội dung
Bài 1: Cho
3a
. Tìm giá trị nhỏ nhất của bất biểu thức: S = a +
1
a
Bình luận và lời giải
Sai lầm thờng gặp: S = a +
1
a
1
2 . 2 2a MinS
a
= =
.
Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2
1
1a
a
= =
mâu thuẫn với giả thiết
3a

.
Phân tích và tìm lời giải: Xét bảng biến thiên của a,
1

a
và S để dự đoán Min
S
a 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



30
1
a
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
10
1
11
1
12

1
30
S
3
1
3
4
1
4
5
1
5
6
1
6
7
1
7
8
1
8
9
1
9
10
1
10

11
1
11
12
1
12



30
1
30
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó dẫn đến
dự đoán khi a = 3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất. Để dễ hiểu và tạo sự ấn tợng ta sẽ nói
rằng
Min S =
10
3
đạt tại Điểm rơi: a = 3
Do bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải
bằng nhau, nên tại Điểm rơi: a = 3 ta không thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy
trực tiếp cho 2 số a và
1
a
vì
1
3
3

. Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức

Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III
2
Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán

Cauchy cho cặp số
1
,
a
a


ữ

sao cho tại Điểm rơi: a = 3 thì
1a
a

=
tức là ta có lợc
đồ Điểm rơi sau đây
Sơ đồ:
3
1 3
1 1
3
3
a
a

=


=


=


Từ đó ta biến đổi S theo sơ đồ Điểm rơi đợc nêu ở trên.
Lời giải đúng: S = a +
1
a
=
1 8 1 8.3 10
2 .
9 9 9 9 3
a a a
a a

+ + + =
ữ

Với a = 3 thì Min S =
10
3
Bài 2: Cho a

2. Tìm giá trị hỏ nhất của biểu thức: S = a +
2
1
a
Bình luận và lời giải
Sơ đồ điểm rơi :
2
2
1 2
1 1
4
4
a
a



=


=


=


Sai lầm thờng gặp:
S = a +
2
1

a
=
2 2
1 7 8 1 7 2 7
.
8 8 8 8
8
a a a a
a a a
a

+ + + = +
ữ


2 7.2 2 7 9
8 4 4 4
8.2
+ = + =
.
Với a = 2 thì Min S =
9
4
Nguyên nhân sai lầm:
Mặc dù ta đã biến đổi S theo điểm rơi a = 2 và Min S =
9
4
là đáp án đúng nhng
cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số:
Nếu a

2 thì
2 2 2
8.2 4
8a
=
là đánh giá sai

Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III
3
3a =
9

=
2a =
8

=
Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán

Để điều chỉnh lời giải sai thành lời giải đúng ta cần phải biến đổi S sao cho khi
sử dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ khử hết biến số a ở mẫu số.
Lời giải đúng: S = a +
3
2 2
1 8 8 1 6 1 6.2 9
3. .
8 8 8. 8 4
a a a
a a a a a

= + + + + =
ữ


Với a = 2 thì Min S =
9
4
Bài 3: Cho a
6

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S =
2
18
a
a
+
Bình luận và lời giải
Sơ đồ điểm rơi:
2
36
18 36
18 18
6
6
a
a

=


=


=


Lời giải đúng:
S =
2
18
a
a
+
=
2 2
2 2
18 1 18 1
1 2 . 1
2 6 2 6 2 6 2 6
a a
a a
a a


+ + +

ữ ữ

=
2 2
1 6 6 1
6 1 6 1 6
6 2 6 6 2 6
a a
a

+ +
ữ ữ

=36 + 3
6
Với a = 6 thì Min S = 36 + 3
6
Bài 4: Cho
1
0
2
a<
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 2a +
2
1
a
Bình luận và lời giải
Sai lầm thờng gặp: S = 2a +
2
1

a
= a + a +
2
1
a

3
2
1
3 . . 3 inS = 3a a M
a
=
Nguyên nhân sai lầm:
Min S = 3
2
1
1a a
a
= = =
mâu thuẫn với giat thiết
1
0
2
a<

Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III
4
6a =
2 6

=
Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán

Phân tích và tìm tòi lời giải: Xét bảng biến thiên để dự đoán Min S.
a
1
10
1
9
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
2.a
1
5
2
9
1
4

2
7
1
3
2
5
1
2
2
3
1
2
1
a
100 81 64 49 36 25 16 9 4
S 100
1
5
81
2
9
64
1
4
49
2
7
36
1
3

25
2
5
16
1
2
9
2
3
5
Nhìn bảng biến thiên ta thấy khi a càng tăng thì S càng nhỏ từ đó dẫn đến dự
đoán khi
1
2
a =
thì S nhận giá trị nhỏ nhất.
Sơ đồ điểm rơi 1:
2
1
1 4
2
1 4
2
a
a



=

=


=


Cách 1: 2a +
2
1
a
=
3
2 2 2 2
1 7 8 7
3 . .
8 8 8
a a a a
a a a a

+ + + +
ữ

3 7.4
5
2 8
+ =
.
Với a =
1

2
thì Min S = 5.
Sơ đồ điểm rơi 2:
2
1 4
2
1
2
4
a
a




=


=


=


Cách 2: S = 2a +
2
1
a
=
3

2 2
1 1
8 8 14 3 8 .8 . 14a a a a a a
a a

+ +
ữ


=
1
12 14 12 14. 5
2
a =
. Với a =
1
2
thì Min S = 5.
Bài 5: Cho
, 0
1
a b
a b
>


+

Tìm giá trị nhỏ nhất của S = ab +
1

ab

Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III
5
1
2
a =
8

=
1
2
a =
8

=
Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán

Bình luận và lời giải
Sai lầm thờng gặp: S = ab +
1
ab
1
2. . 2ab
ab
=
Min S = 2.
Nguyên nhân sai lầm:
Min S = 2
1 1 1

1 1 1
2 2 2
a b
ab ab
ab
+
= = =
: Vô lý
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Biểu thức của S chứa biến số a, b nhng nếu đặt t = ab hoặc t =
1
ab
thì S = t +
1
t
là
biểu thức chứa 1 biến số. Khi đổi biến số ta cần phải tìm miền xác định cho biến số
mới, cụ thể là:
Đặt t =
1
ab

1
ab
t
=
và t =
1
ab

2 2
1 1
4
1
2 2
a b
=
+

ữ ữ

Bài toán trở thành: Cho t
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = t +
1
t
Sơ đồ điểm rơi:
4
1 4
1 1
4
4
t
t



=

=


=


Lời giải tổng hợp:
S = t +
1
t
=
1 15 1 15 2 15 2 15.4 17
2. .
16 16 16 16 4 16 4 16 4
t t t t t
t t

+ + + = + + =
ữ

.
Với t = 4 hay a = b =
1
2
thì Min S =
17
4
.
Lời giải thu gọn: Do t = 4
1

2
a b = =
nên biến đổi trực tiếp S nh sau:
S = ab +
2
1 1 15 1 15 17
2. .
16 16 16 4
16
2
ab ab
ab ab ab ab
a b

= + + +
ữ

+

ữ

.

Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III
6
4t =
16

=
Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán

Với a = b =
1
2
thì Min S =
17
4
.
Bài 6: Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>


+ +

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểi thức S = abc +
1
abc
Bình luận và lời giải
Sai lầm thờng gặp: S = abc +
1
abc
1
2 2abc
abc
=

Min S = 2
Nguyên nhân sai lầm:
Min S = 2
3
1 1 1
1 1 1
3 3 3
a b c
abc abc
abc
+ +
= = =
Vô lí.
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Biểu thức của S chứa 3 biến sô a, b, c nhng nếu đặt t = abc hoặc t =
1
abc
thì
S = t +
1
t
là biểu thức chứa 1 biến số. Khi đổi biến só ta cần phải tìm miền xác
định cho biến số mới, cụ thể là:
Đặt t =
1
abc

1
abc
t

=
và t =
1
abc

3 3
1 1
27
1
3 3
a b c
=
+ +

ữ ữ

Bài toán trở thành: Cho t

27. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = t +
1
t
Sơ đồ điểm rơi:
27
1 27
1 1
27
27
t
t

=


=


=


Lời giải tổng hợp: S = t +
1
t

2 2
2 2 2
1 27 1 1 (27 1).
. 2 .
27 27 27
t t t
t
t t



= + + +
ữ
ữ

( ) ( )
2 2
2
2 2 2
27 1 27 1 .27
2 27 1 730
27 27 27 27 27
t +
+
+ = = =

Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III
7
27t =
2
27

=
Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán

Với t = 27 hay a = b = c =
1
3
thì Min S =
730
27
.
Lời giải thu gọn: Do t = 27

a = b = c =
1
3
nên biến đổi trực tiếp S nh
sau:
S = abc +
1
abc
=
2 2
2 2 2 2
1 27 1 1 27 1
2 .
27 . 27 27 . 27
abc abc
abc abc abc abc


+ + +
ữ

( ) ( )
2 2
2
2 2
27 1 .27 27 1 .27
2 27 1 730
27 27 27 27 27
+
+

+ = = =
Với a = b = c =
1
3
thì Min S =
730
27
.
Bài 7: Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức: S =
a b ab
a b
ab
+
+
+
Bình luận và lời giải
Sai lầm thờng gặp: S =
a b ab
a b
ab
+
+
+
2. 2
a b ab
a b
ab
+
=
+

Min S = 2
Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2

a b ab
a b
ab
+
+
+
= 1
2 1 2ab a b ab = +
.Vô lí
Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b nên dự
đoán Min S đạt tại a = b >0
Sơ đồ điểm rơi:
2 2
1 2
2
1
2 2
a b a
a
ab
ab a
a b a



+

= =


=


= =

+

Lời giải đúng:
S =
a b ab
a b
ab
+
+
+
=
( ) ( )
3. 3.
2. .
4 4. 4. 4.
a b a b
a b ab a b ab
a b a b
ab ab ab ab

+ +
+ +

+ + +
ữ
ữ
+ +


Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III
8
a b=
4

=