Kĩ thuật dùng bất đẳng thức Cosi

Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng www.moon.vn
Chuyên đề 03: Bất đẳng thức – Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Facebook: LyHung95
MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P6
Thầy Đặng Việt Hùng

Bài 1. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng
1 1 1 9
1 1 1 4
a b c
+ + ≥
+ + +

Bài 2.
Cho các s
ố
d
ươ
ng a, b, c th
ỏ
a mãn a + b + c = 1.
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
1 1 1

a b c
P
a b c
= + +
+ + +

Bài 3.
Cho các s
ố
d
ươ
ng a, b th
ỏ
a mãn a + b
≤
1.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1 1 1 9
1 1 2
a b a b
+ + ≥
− − +

Bài 4.
Cho các s
ố

d
ươ
ng a, b th
ỏ
a mãn a + b
≤
1.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2
1 5
1 1 2
a b
a b
a b a b
+ + + + ≥
− − +

Bài 5.

(Khối A – 2005)
Cho các s
ố
d
ươ
ng a, b, c th
ỏ

a mãn
1 1 1
4
a b c
+ + =

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1 1 1
1.
2 2 2
a b c b a c c a b
+ + ≤
+ + + + + +

Bài 6.
Cho các s
ố
d
ươ
ng a, b, c.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
.

2 2 2 4
ab bc ca a b c
a b c b c a c a b
+ +
+ + ≤
+ + + + + +

Bài 7.
Cho các s
ố
d
ươ
ng a, b, c.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
.
3 2 3 2 3 2 6
ab bc ca a b c
a b c b c a c a b
+ +
+ + ≤
+ + + + + +

Bài 8.
Cho các s
ố
d

ươ
ng a, b, c.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1 1 1 1 1 1
3 3 3 2 2 2
a b b c c a a b c b c a c a b
+ + ≥ + +
+ + + + + + + + +

H
ướ
ng d
ẫ
n:
Ta có:
( ) ( )
1 1 4 2
3 2 3 2 2
a b b c a a b b c a a b c
+ ≥ =
+ + + + + + + + +

T
ươ
ng t
ự

cho các B
Đ
T khác r
ồ
i c
ộ
ng l
ạ
i ta
đượ
c
đ
pcm.
Bài 9.
Cho a, b, c là các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng. Ch
ứ
ng minh các b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c sau:
a)

( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1
2 3 2 3 2 3 4
a b c b c a c a b a b b c c a
 
+ + ≤ + +
 
+ + + + + + + + +
 

b)
1 1 1 1 1 1 1
2 3 2 3 2 3 2 2 2 2
a b c b c a c a b a c b a c b
 
+ + ≤ + +
 
+ + + + + + + + +
 

H
ướ
ng d
ẫ
n:
Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng www.moon.vn
Chuyên đề 03: Bất đẳng thức – Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Facebook: LyHung95
a) Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 2

2 3 16
a b c a b a c b c b c a b a c b c
 
= ≤ + +
 
+ + + + + + + + + + + +
 
…
Tương tự cho các BĐT khác rồi cộng lại ta được đpcm.
b) Ta có
( ) ( )
1 1 1 1 1
2 3 2 2 4 2 2
a b c a c c b a c c b
 
= ≤ +
 
+ + + + + + +
 
…
Tương tự cho các bất đẳng thức khác ta được đpcm.
Bài 10. Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn
3
4
a b c
+ + =
.
Tìm giá tr
ị
nh

ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
3 3 3
1 1 1
3 3 3
P
a b b c c a
= + +
+ + +

Bài 11.
Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (v
ớ
i a, b, c là
độ
dài 3 c
ạ
nh).
Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
 
+ + ≥ + +
 
− − −
 

Bài 12.
Cho các s
ố
th
ự
c a, b, c > 0, và abc = 1.
Tìm GTLN c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 3 2 3 2 3
= + +
+ + + + + +
P
a b b c c a

Bài 13.
Cho các s
ố
th
ự
c a, b, c > 0 và th
ỏ
a mãn
2 2 2
1 1 1 1 1 1
15 10 2007
   
+ + = + + +
   
   
a b c ab bc ca
.
Tìm GTLN c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2 2 2 2 2 2
1 1 1
.
5 2 2 5 2 2 5 2 2
= + +

+ + + + + +
P
a ab b b bc c c ca a

Bài 14.
Cho các s
ố
th
ự
c a, b, c > 0 và th
ỏ
a mãn a + b + c = 1.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
+ + ≥
+ + + + + + + +
ab c c cb a ac b b ab bc ac

Bài 15.

Cho 0,,
>
cba vaø a + b + c = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2
.
1 1 1
= + +
+ + +
a b c
P
b c a