Tìm GTNN của biểu thức bằng cách cân đối hệ số

Bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht ca mt biu thc bng cỏch cõn i biu thc.
Bài 1:
Cho x, y, z là các số thực dơng thoả mãn điều kiện:
1x y z+ + =
(1) tìm giá trị nhỏ
nhất của
1 1 1
P
x y z
= + +
(2).
Bài này dễ dàng nhìn ra cách giải.
Xét
9P + =
1 1 1
9( )x y z
x y z
+ + + + +
=
1 1 1
9 9 9 18x y z
x y z


+ + + + +
ữ
ữ ữ


.
Dấu bằng khi

1
3
x y z= = =
.
Bài 2:
Ta hãy nhìn nhận bài tập này ở góc khác nếu thay đổi các hệ số của x, y, z ở tổng
1 2 3
1 1 1
P
a x a y a z
= + +
ta có giá trị nhỏ nhất của tổng P đợc xác định nh thế nào?
Trớc hết nhìn lại bài 1 ta thấy vai trò của x, y, z trong cả hai biểu thức (1) và (2) đều
bình đẳng nên nếu đạt đợc GTNN thì
1
3
x y z= = =
.
Hãy thử với a
1
= 16; a
2
= 4; a
3
= 1.
Nếu lúc này thử theo hớng chọn hệ số? Nếu thử với
1
3
x y z= = =
không đạt đợc yêu

cầu.
Hãy cân đối dới dạng:
( )
1 2 3
1 1 1
P x y z
a x a y a z

+ = + + + + +
.
Vấn đề đặt ra cần đạt đợc dấu bằng sau khi đánh giá bới BĐT Cosi có dấu bằng tơng
ứng với tổng
1x y z+ + =
. Chọn
49
16

=
có
( )
49 1 1 1 49 1 49 1 49 1 49
( ) ( ) ( )
16 16 4 16 16 16 4 16 16
P x y z x y z
x y z x y z
+ = + + + + + = + + + + +
.
Có :
2
1 49 49 14

2
16 16 16 16
x
x
+ =
;
1 49 49 14
2
4 16 16.4 8
y
y
+ =
;
1 49 49 14
2
16 16 4
z
z
+ =
.
49 98 49
16 16 16
P P+
Dấu bằng khi và chỉ khi;
2
2
2
1 49 1 1
16 16 49 7
1 49 4 2

4 16 49 7
1 49 16 4
16 49 7
1
x x x
x
y y y
y
z z z
z
x y z

= = =



= = =



= = =


+ + =

.
Gía trị nhỏ nhất của P là
49
max
16

P =
đạt khi
( )
1 2 4
; ; ; ;
7 7 7
x y z

=
ữ

.
Vấn đề đặt ra chọn

nh thế nào?
Nếu tổng
2
1 2 3
1 1 1
1x y z
a a a


+ + = = + +
ữ
ữ

;
NÕu tæng
2

2
1 2 3
1 1 1 1
x y z
a a a
β α
β
 
+ + = ⇒ = + +
 ÷
 ÷
 
.
Nh vËy cã thÓ gi¶i quyÕt bµi tËp tæng qu¸t khi hÖ sè cña (1) nh nhau.
Bµi tËp ¸p dông:
1)Tìm gía trị nhỏ nhất cuả:
2 2 2
1 1 1
2 32
P
x y z
= + +
biÕt x, y, z lµ c¸c sè thùc kh¸c kh«ng tho¶
m·n
2 2 2
4 2 5x y z+ + = +
.
Ta có:
2
2

1 1 1
32
2 2
x
x
+ ≥
dấu bằng đạt được khi và chỉ khi
2 4 2
2
1 1
32 4 2
32
x x x
x
= ⇔ = ⇔ =
2
2
1 1 1
2 32 4
y
y
+ ≥
dấu bằng đạt được khi và chỉ khi
2 4 2
2
1 1
16 4
2 32
y y y
y

= ⇔ = ⇔ =
.
2
2
1 1 1
32 32 16
z
z
+ ≥
dấu bằng đạt được khi và chỉ khi
2 4 2
2
1 1
1 1
32 32
z z z
z
= ⇔ = ⇔ =
.
Khi đó
( )
4 2 5
32
P
+
+ ≥
4 2 5
16
+
⇒

( )
4 2 5
32
P
+
≥
dấu bằng đạt được khi và chỉ khi.
2
2
2
2 2 2
4 2
4
1
4 2 5
x
y
z
x y z

=

=


=


+ + = +


2
2
2
4 2
4
1
x
y
z

=


⇔ =


=


2)Tìm gía trị nhỏ nhất cuả:
1 1 1
3 2
P
x y z
= + +
biÕt x, y, z lµ c¸c sè thùc dương kh¸c kh«ng tho¶
m·n
3
2

x y z+ + =
3.
đặt X =
3
2
x; Y = y; Z= z thì 3x = 2X; 2y = 2Y; z = Z và
3X Y Z+ + =
thì
1 1 1
2 2
P
X Y Z
= + +
.
3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2
( ) ( ) ( )
9 2 9 2 9 9
P X Y Z
X Y Z
+ + + +
+ = + + + + +
. Có
( )
2 2 1
1 3 2 2
2 9 3
X
X
+
+

+ ≥
dấu bằng đạt được khi và chỉ khi
1 3 2 2
2 9
X
X
+
= ⇔
( )
3
2 2 1
X =
+
( )
2 2 1
1 3 2 2
2 9 3
Y
Y
+
+
+ ≥
dấu bằng đạt được khi và chỉ khi
1 3 2 2
2 9
Y
Y
+
= ⇔
( )

3
2 2 1
Y =
+
1 3 2 2
9
Z
Z
+
+ ≥
( )
2 2 1
3
+
dấu bằng đạt được khi và chỉ khi
1 3 2 2
9
Z
Z
+
=
( )
3
2 1
Z⇔ =
+
Từ đó ta có
( )
5 3 2 2
3

P
+
≥
dấu bằng đạt được khi và chỉ khi
( )
3
2 2 1
X Y= =
+
;
( )
3
2 1
Z =
+
và
3X Y Z+ + =
Vậy Min
( )
5 3 2 2
3
P
+
=
đạt khi
( )
( )
( )
3
2 2 1

3
2 2 1
3
2 1
X
Y
Z


=

+


=

+



=

+


( )
( )
( )
2
2 2 1

3
2 2 1
3
2 1
x
y
z


=

+


⇔ =

+



=

+

_____________________________________________________________________