Một số phương pháp lặp giải bài toán biên hỗn hợp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.27 MB, 65 trang )
®¹i häc th¸I nguyªn
Tr-êng ®¹i häc khoa häc
®inh tõ s¬n
Mét sè ph-¬ng ph¸p lỈp
gi¶i bµi to¸n biªn hçn hỵp
ln v¨n th¹c sÜ khoa häc m¸y tÝnh
Th¸i nguyªn, n¨m 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />
®¹i häc th¸I nguyªn
Tr-êng ®¹i häc khoa häc
®inh tõ s¬n
Mét sè ph-¬ng ph¸p lỈp
gi¶i bµi to¸n biªn hçn hỵp
Chuyªn ngµnh: To¸n øng dơng
M· sè : 60 46 01 12
ln v¨n th¹c sÜ to¸n häc
Ng-êi h-íng dÉn khoa häc:
TS. Vò Vinh Quang
Th¸i nguyªn, n¨m 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />
MỤC LỤC
MỤC LỤC 1
Mở đầu 1
Chương 1 Các kiến thức cơ bản 3
1.1 Các kiến thức cơ bản về khơng gian hàm 3
1.1.1 Khơng gian
k
C
3
1.1.2 Khơng gian
()
P
L
3
1.1.3 Khơng gian
1,
W ( )
p
4
1.1.4 Khái niệm vết của hàm 5
1.1.5 Khơng gian Sobolev với chỉ số âm
1
H
và
1/2
H
7
1.1.6 Nghiệm yếu của phương trình 8
1.2 Lý thuyết về sơ đồ lặp 9
1.3 Phương pháp sai phân 11
1.3.1 Phương pháp lưới 11
1.3.2 Bài tốn sai phân 11
1.3.3 Thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn 13
Chương 2 Một số kiến thức về phương pháp lặp giải bài tốn cấp hai và
cấp bốn 20
2.1 Phương pháp chia miền 20
2.1.1 Cơ sở của phương pháp 20
2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp lặp 21
2.2 Phương pháp lặp song song giải bài tốn biên hỗn hợp mạnh. 26
2.2.1 Bài tốn 26
2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp 27
2.3 Phương pháp xấp xỉ biên giải phương trình song điều hòa 30
Chương 3 Mơ hình bài tốn biên hỗn hợp 35
3.1 Mơ hình tốn học 35
Số hóa bởi trung tâm học liệu />
3.2 Một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài tốn biên hỗn hợp
38
3.2.1 Phương pháp lặp tuần tự 39
3.2.2 Phương pháp lặp song song 43
3.2.3 Phương pháp lặp đối với bài tốn biên hỗn hợp mạnh 44
Kết luận 49
Tài liệu tham khảo 50
Phần phụ lục 51
Số hóa bởi trung tâm học liệu />
Các ký hiệu
L
Tốn tử Elliptic
n
Khơng gian Euclid
n
chiều
Miền giới nội trong khơng gian
n
Biên trơn Lipschitz
k
C
Khơng gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục
2
L
Khơng gian các hàm đo được bình phương khả tích
1,p
W
Khơng gian Sobolev với chỉ số
p
1/2
H
Khơng gian Sobolev với chỉ số
1 / 2
1
0
H
Khơng gian các hàm có vết bằng 0 trên
1
H
Khơng gian đối ngẫu với
1
0
H
1/2
H
Khơng gian đối ngẫu với
1/2
H
.
V
Chuẩn xác định trên khơng gian
V
.
V
Tích vơ hướng xác định trên khơng gian
V
C
Hằng số vết
C
Hằng số poincare
E
Ma trận đơn vị
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 1
Mở đầu
Trong thực tế, các bài tốn cơ học và vật lý thường được mơ tả bằng các bài
tốn biên với phương trình đạo hàm riêng dạng cấp hai và cấp bốn trong đó phương
trình Elliptic và phương trình song điều hòa là các phương trình được các nhà khoa
học kỹ thuật rất quan tâm bởi các phương trình đó liên quan đến các bài tốn mơ tả
độ uốn, dao động của các tấm và màng mỏng. Đại đa số các trường hợp, các bài
tốn thực tế thường được mơ hình hóa bằng chỉ một loại phương trình. Tuy nhiên
khi nghiên cứu mơ hình chuyển dịch ngang của một tấm đàn hồi được cấu thành bởi
hai thành phần khác nhau, một là màng mỏng và phần còn lại là bản cứng, thơng
qua mơ hình tốn học, dao động của hệ hỗn hợp trên sẽ được mơ tả bởi bài tốn
biên tiêu biểu dạng hỗn hợp giữa phương trình cấp hai và cấp bốn với các điều kiện
biên hỗn hợp hoặc hỗn hợp mạnh. Trong tài liệu [5], tác giả đã mơ tả bài tốn,
chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm và đồng thời và đưa ra một phương pháp
lặp xác định nghiệm gần đúng của bài tốn hỗn hợp trên cơ sở sơ đồ chia miền
Dirichle-Neumann. Tuy nhiên trên cơ sở phương pháp phân rã bài tốn cấp bốn về
hai bài tốn cấp hai kết hợp với phương pháp chia miền cùng phương pháp tốn tử
biên, ta có thể xây dựng một số phương pháp lặp khác để giải bài tốn trên.
Nội dung chính của luận văn đặt vấn đề nghiên cứu mơ hình tốn học của bài
tốn hỗn hợp, trên cơ sở các kết quả về phương pháp phân rã, phương pháp xấp xỉ
biên và phương phương pháp chia miền xây dựng một số phương pháp lặp để tìm
nghiệm xấp xỉ của bài tốn, khảo sát sự hội tụ và tính tốn tử nghiệm trên máy tính
điện tử để kiểm tra sự hội tụ của các sơ đồ lặp. Cấu trúc của luận văn gồm ba
chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các khơng gian hàm, các khái
niệm cơ bản về nghiệm yếu của phương trình Elliptic, lý thuyết về sơ đồ lặp,
phương pháp sai phân, thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn giải hệ phương trình
vectơ 3 điểm. Đây là những kiến thức quan trọng làm cơ sở nghiên cứu về mơ hình
bài tốn được mơ tả ở các chương tiếp theo của luận văn.
Chương 2: Đưa ra các kết quả đã biết về phương pháp chia miền dưới dạng
tuần tự và song song để giải các bài tốn biên hỗn hợp mạnh, phương pháp xấp xỉ
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 2
biên giải bài tốn song điều hòa. Đây là cơ sở lý thuyết chính để đề xuất các sơ đồ
lặp tìm nghiệm xấp xỉ của bài tốn biên hỗn hợp trình bày trong chương 3.
Chương 3: Mơ tả mơ hình tốn học của các bài tốn biên hỗn hợp giữa phương
trình cấp hai và phương trình cấp bốn. Trên cơ sở các phương pháp đã trình bày
trong chương 2, luận văn xây dưng một số phương pháp lặp xác định nghiệm xấp xỉ
của bài tốn hỗn hợp, tiến hành tính tốn kiểm tra sự hội tụ của các sơ đồ lặp từ đó
đưa ra kết luận về tính hữu hiệu của các phương pháp. Các kết quả số trong luận
văn được thực hiện trong mơi trường MATLAB.
Mặc dù đã cố gắng song nội dung bản luận văn khơng thể tránh được những
sai sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo của các Thầy Cơ giáo, đóng góp ý kiến
bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hồn thiện.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn TS. Vũ Vinh
Quang đã tận tình hướng dẫn em trong suốt q trình làm luận văn.
Em cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cơ giáo, bạn bè, đồng nghiệp và gia
đình đã ln giúp đỡ, động viên em trong suốt q trình học tập và nghiên cứu.
Thái Ngun, tháng 8 năm 2013
Học viên
ĐINH TỪ SƠN
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 3
Chương 1
Các kiến thức cơ bản
Nội dung chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về các
khơng gian hàm, đặc biệt là khơng gian Sobolev, khái niệm về nghiệm yếu của
phương trình, các kiến thức về các sơ đồ lặp và đặc biệt là phương pháp sai phân và
thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn. Đây là các kiến thức nền tảng, là cơ sở cho
việc trình bày các nội dung trong chương 2 và chương 3 của luận văn. Các kiến thức
trên được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 6, 7].
1.1 Các kiến thức cơ bản về khơng gian hàm
1.1.1 Khơng gian
k
C
Giả sử
là miền bị chặn trong khơng gian Euclid
n
chiều
n
và có
là bao
đóng của
. Ta kí hiệu
, 1,2, 3
k
Ck
là tập các hàm có đạo hàm đến cấp k kể
cả k trong
, liên tục trong
. Ta đưa vào
k
C
chuẩn
max
k
C
k
u D u x
(1.1)
Trong đó
1
( , , )
n
được gọi là đa chỉ số là vectơ với các tọa độ ngun
khơng âm,
1
n
,
1
1
1
n
n
n
u
Du
xx
.
Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong
của các hàm và tất cả các
đạo hàm của chúng đến cấp
k
kể cả
k
. Rõ ràng tập
k
C
với chuẩn (1.1) là một
khơng gian Banach.
1.1.2 Khơng gian
()
P
L
Giả sử
là một miền trong
n
và
p
là một số thực dương. Ta kí hiệu
()
P
L
là lớp các hàm đo được
f
xác định trên
sao cho
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 4
p
f x dx
. (1.2)
Trong
()
P
L
ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên
. Như vậy các
phần tử của
()
P
L
là các lớp tương đương các hàm đo được thỏa mãn (1.2) và hai
hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên
. Vì
( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )
p
p p p
p
f x g x f x g x f x g x
nên rõ ràng
()
P
L
là một khơng gian vectơ.
Ta đưa vào
()
P
L
phiếm hàm
.
p
xác định bởi
1/
()
p
p
p
u u x dx
. (1.3)
Định lí 1.1 (Bất đẳng thức Hoder). Nếu
1 p
và
()
P
uL
,
()
P
vL
thì
()
P
uv L
và
'
( ) ( )
pp
u x v x dx u u
(1.4)
trong đó
' / ( 1)p p p
tức là
1/ 1/ ' 1pp
,
'p
được gọi là số mũ liên hợp
với
p
.
Định lí 1.2 (Bất đẳng thức Minkowski). Nếu
1 p
thì
pp
f g f g
. (1.5)
Định lí 1.3 Khơng gian
()
P
L
với
1 p
là một khơng gian Banach.
1.1.3 Khơng gian
1,
W ( )
p
Định nghĩa 1.1 Cho
là miền trong của
n
. Hàm
()ux
được gọi là khả tích địa
phương trong
nếu
()ux
là một hàm trong
và với mỗi
0
x
đều tồn tại một
lân cận
của
0
x
để
()ux
khả tích trong
.
Định nghĩa 1.2 Cho
là miền trong của
n
. Giả sử
( ), ( )u x v x
là hai hàm khả tích
địa phương trong
sao cho ta có hệ thức
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 5
1
1
1
n
k
k
kk
n
u dx v dx
xx
đối với mọi
1
( ) , , 0( 1,2, , )
k
o n i
x C k k k k i n
. Khi đó,
()vx
được
gọi là đạo hàm suy rộng cấp
k
của
()ux
.
Kí hiệu
1
1
()
n
k
kk
n
u
vx
xx
.
Định nghĩa 1.3 Giả sử
p
là một số thực,
1 p
,
là miền trong của
n
.
Khơng gian Sobolev
1,
W ( )
p
được định nghĩa như sau:
1,
W ( ) ( ), ( ), 1,2, , .
p p p
i
u
u u L L i n
x
trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng.
Với
2p
, ta kí hiệu
1, 1
W ( ) ( )
p
H
, nghĩa là
1 2 2
( ) ( ), ( ), 1,2, ,
i
u
H u u L L i n
x
.
Bổ đề 1.1
i) Khơng gian
1,
W ( )
p
là khơng gian Banach với chuẩn
1,
1
pp
p
n
WL
i
i
L
u
uu
x
.
ii) Khơng gian
1
()H
là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng
12
2
1
( ) ( )
1
()
( , ) ( , ) , , , ( )
n
HL
i
ii
L
uv
u v u v u v H
xx
.
1.1.4 Khái niệm vết của hàm
Định nghĩa 1.4. Khơng gian Sobolev
1,
W ( )
p
được định nghĩa như các bao đóng
của khơng gian các hàm khả vi vơ hạn có giá compact trong
tương ứng với chuẩn
của
1,
W ( )
p
.
Khơng gian
1
0
()H
được định nghĩa bởi
1 1,2
00
( ) W ( )H
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 6
Định lí 1.4 (Định lí vết)
Giả sử
là một tập mở trong
n
với biên
là liên tục Lipschitz. Khi đó
tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục
12
: ( ) ( )HL
sao cho với bất kì
10
( ) ( )u H C
ta có
()uu
. Hàm
()u
được gọi là vết
của
u
trên
.
Định nghĩa 1.5 Giả sử biên
là liên tục Lipschitz. Khơng gian
1/2
()H
được
gọi là miền giá trị của ánh xạ vết
, tức là
1/2 1
( ) ( ( ))HH
.
Định lí 1.5
i) Kí hiệu
1/2
()H
là khơng gian Hilbert với chuẩn
1/2
2
22
1
()
( ) ( )
()
x x y
n
H
u x u y
u u x dS dS dS
xy
.
ii) Tồn tại một hằng số
()C
sao cho:
1
1/2
1
()
( ) ( ) ( ) , ( )
HH
u C u u H
.
Khi đó,
()C
là một hằng số vết.
Bổ đề 1.2. Giả sử biên
là biên liên tục Lipschitz . Khơng gian
1/2
()H
có các
tính chất sau:
i) Tập
, ( )
n
u u C
trù mật trong
1/2
()H
.
ii) Nhúng
1/2 2
( ) ( )HL
là compact.
iii) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục
1/2 1
( ) ( )
g
g H u H
với
()
g
ug
và tồn tại hằng số
1
()C
chỉ phụ thuộc miền
sao cho
1 1/2
1/2
1
( ) ( )
( ) , ( )
HH
u C g g H
.
Bổ đề 1.3 Giả sử biên
là biên liên tục Lipschitz, khi đó
11
0
( ) ( ), ( ) 0H u u H u
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 7
Định lí 1.6 (Bất đẳng thức Poincare)
Tồn tại hằng số
C
sao cho:
22
1
0
()
, ( )
LL
u C u u H
(1.6)
Nhận xét:
Bất đẳng thức Poincare có ý nghĩa rằng:
2
L
uu
là một chuẩn trên
1
0
H
,
tương đương với chuẩn của
1
H
được xác định bởi
1 2 2
2 2 2
H L L
u u u
.
Định lí 1.7 (Bất đẳng thức Poincare mở rộng)
Giả sử biên
liên tục Lipschitz,
12
trong đó
1
,
2
là các tập
đóng, rời nhau,
1
có độ đo dương. Khi đó tồn tại hằng số
C
sao cho
22
LL
u C u
,
1
,0u H u
trên
1
.
1.1.5 Khơng gian Sobolev với chỉ số âm
1
H
và
1/2
H
Định nghĩa 1.6 Kí hiệu
1
H
là khơng gian Banach được định nghĩa bởi
11
0
'HH
,
tức là khơng gian đối ngẫu của
1
0
H
. Chuẩn của phần tử
1
FH
được xác
định như sau
11
0
1
1
0
1
0
,
\0
,
sup
HH
H
H
H
Fu
F
u
,
trong đó
11
0
,
,
HH
F u Fudx
.
Định nghĩa 1.7 Giả sử biên
liên tục Lipschitz. Kí hiệu
1/2
H
là khơng gian
Banach được định nghĩa bởi
1/2 1/2
0
'HH
,
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 8
tức là khơng gian đối ngẫu của
1/2
H
. Chuẩn của phần tử
1/2
FH
được xác định như sau
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
,
\0
,
sup
HH
H
H
H
Fu
F
u
, (1.7)
trong đó
1/2
1/2
,
,
HH
F u FudS
.
1.1.6 Nghiệm yếu của phương trình
Xét phương trình
uf
.
(1.8)
Giả sử
2
,u C f C
và phương trình (1.8) thỏa mãn trong miền
. Khi đó,
ux
được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.8).
Lấy hàm
bất kì thuộc
0
DC
nhân hai vế của (1.8) rồi lấy tích phân ta
được
u dx f dx
.
(1.9)
Áp dụng cơng thức Green vào (1.9) và kết hợp với điều kiện
0
ta có
ii
u
dx f dx
xx
,
(1.10)
hay
u dx f dx
Như vậy nếu
u
là nghiệm cổ điển của phương trình (1.8) thì có (1.10). Nhưng
nếu
fC
thì phương trình (1.8) khơng có nghiệm cổ điển. Vậy ta cần mở rộng
khái niệm khi
2
fL
.
Định nghĩa 1.8 Giả sử
12
,,u H f L u
được gọi là nghiệm yếu của phương
trình (1.8) nếu (1.10) được thỏa mãn.
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 9
Mệnh đề 1.1 Nếu
u
là nghiệm yếu của phương trình (1.8) và
2
uC
,
fC
thì
u
là nghiệm cổ điển , tức là
uf
.
Chứng minh
Giả sử
u
là nghiệm yếu của phương trình (1.8), tức là
1
uH
và ta có
(1.10) với mọi hàm
D
, kết hợp với điều kiện
2
uC
ta suy ra
( ) 0,u f dx u D
.
Vì
D
trù mật trong
2
,L u f
trực giao với mọi
D
nên
0uf
trong
2
L
. Nhưng vì
u
liên tục nên
0uf
trong
C
. Vậy
u
là nghiệm cổ điển của phương trình (1.8).
1.2 Lý thuyết về sơ đồ lặp
Lược đồ lặp hai lớp
Xét bài tốn
Au f
,
(1.11)
Trong đó
:A H H
là tốn tử tuyến tính trong khơng gian Hilbert thực
n
chiều
H
với tích vơ hướng
,
và chuẩn
,y y y
.
Giả sử A là tốn tử đối xứng, xác định dương,
fH
là vectơ tùy ý. Trong mỗi
phương pháp lặp, xuất phát từ
0
y
bất kỳ thuộc H, người ta đưa ra cách xác định
nghiệm xấp xỉ
12
, , , ,
k
y y y
của phương trình (1.11). Các xấp xỉ như vậy được biết
như là các giá trị lặp với chỉ số lặp
1,2, k
Bản chất của những phương pháp này
là giá trị
1k
y
có thể được tính thơng qua các giá trị lặp trước:
1
, ,
kk
yy
Phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước
nếu xấp xỉ
1k
y
có thể tính được thơng qua một hoặc hai giá trị trước đó.
Dạng chính tắc của lược đồ lặp 2 lớp là
1
1
, 0,1,2,
kk
kk
k
yy
B Ay f k
(1.12)
Lược đồ (1.12) cho ta xấp xỉ chính xác nghiệm
u
của phương trình
Au f
với bất
kỳ tốn tử
k
B
và cách chọn tham số
1k
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 10
+ Nếu
k
BE
thì lược đồ lặp (1.12) được gọi là lược đồ lặp hiển
1
1
, 0,1,2,
kk
k
k
yy
Ay f k
(1.13)
Trong trường hợp
k
là hằng số, lược đồ (1.13) còn được gọi là lược đồ
lặp đơn giản.
+ Nếu
k
BE
thì lược đồ lặp (1.12) được gọi là lược đồ ẩn.
Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phép lặp.
Lược đồ lặp (1.12) với tốn tử
k
BB
, tham số
1k
khơng đổi
0,1,2,k
còn được gọi là lược đồ lặp dừng.
1
, 0,1,2,
kk
k
yy
B Ay f k
(1.14)
Định lý 1.8 Nếu A là tốn tử đối xứng, xác định dương thì
1
2
BA
hay
1
, A , ,
2
Bx x x x x H
(1.15)
là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.14) trong khơng gian
A
H
với tốc độ
hội tụ cấp số nhân
1
, 0,1,2 , 1
kk
AA
z z k
(1.16)
Trong đó
1/2
**
* 0 0
2
2
1
1 , min , min ,
22
kk
kk
BB
A B A B
B
là phần đối xứng của tốn tử B.
Nhận xét
Với
k
BB
cố định, định lý đã đưa ra quy tắc lựa chọn giá trị
để lược đồ
lặp hội tụ. Trong trường hợp
BE
, điều kiện hội tụ sẽ được đảm bảo nếu tất cả
các giá trị riêng thỏa mãn
11
10
22
kk
E A A
.
Hay
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 11
1
10
2
A
.
Như vậy, lược đồ lặp hội tụ với mỗi
2
A
.
1.3 Phương pháp sai phân
1.3.1 Phương pháp lưới
Lưới sai phân
Xét bài tốn
,,
,.
u f x
u g x
(1.17)
trong đó
2
( , ) , ,x y R a x b c y d
, chọn 2 số ngun
>1N
và
>1M
,
đặt
= ( )/h b a N
gọi là bước lưới theo
x
,
= ( )/k d c M
gọi là bước lưới theo
y
. Đặt
= , = , 0, , , 0, , .
ij
x a ih y c jk i N j M
Mỗi điểm
( , )
ij
xy
gọi là một
nút lưới ký hiệu là nút
( , )ij
. Tập tất cả các nút trong ký hiệu là
hk
. Nút ở trên biên
gọi là nút biên, tập tất cả các nút biên ký hiệu là
hk
, tập
=
hk hk hk
gọi là
một lưới sai phân trên
.
Hàm lưới: Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm lưới, giá trị của
hàm lưới
( , )u x y
tại nút lưới
( , )ij
viết tắt là
,ij
u
. Mỗi hàm
( , )u x y
xác định tại mọi
( , )xy
tạo ra hàm lưới
u
xác định bởi
,ij
u
.
1.3.2 Bài tốn sai phân
Kí hiệu
=
, Xét bài tốn
Lu f
, giả sử bài tốn có nghiệm
4
()uC
và
giả sử
4
1
4
( , )
max ( , ) =
xy
u
x y C const
x
,
4
2
4
( , )
max ( , ) =
xy
u
x y C const
y
.
Do đó theo cơng thức Taylor ta có:
1
( , ) = ( , )
i j i j
u x y u x h y
2 2 3 3
4
23
= ( , ) ( )
2! 3!
ij
u h u h u
u x y h O h
x
xx
hay
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 12
2
11
2
22
( , ) 2 ( , ) ( , )
= ( )
i j i j i j
u x y u x y u x y
u
Oh
hx
.
Tương tự ta có:
2 2 3 3
4
1
23
( , ) = ( , ) = ( , ) ( )
2! 3!
i j i j i j
u k u k u
u x y u x y k u x y k O k
y
yy
.
2 2 3 3
4
1
23
( , ) ( , ) = ( , ) ( )
2! 3!
i j i j i j
u k u k u
u x y u x y k u x y k O k
y
yy
.
Do đó:
2
11
2
22
( , ) 2 ( , ) ( , )
= ( )
i j i j i j
u x y u x y u x y
u
Ok
ky
Vậy ta có:
1 1 1 1
22
22
( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )
= ( )
i j i j i j i j i j i j
u x y u x y u x y u x y u x y u x y
hk
u O h k
Đặt:
1, , 1, , 1 , , 1
22
22
i j i j i j i j i j i j
hk
u u u u u u
u
hk
Khi đó chứng tỏ:
22
= ( )
kh
u u O h k
.
Số hạng
22
O h k
là một vơ cùng bé bậc hai. Ta nói tốn tử
kh
xấp xỉ tốn
tử
, điều đó cho phép
thay phương trình vi phân bằng phương trình sai phân:
= , = ( , ), ( , )
hk ij ij i j i j hk
u f f f x y x y
tức là:
1, , 1 , 1 , , 1
22
22
( , ), ( , )
i j i j i j i j i j i j
i j i j hk
u u u u u u
f x y x y
hk
(1.18)
đồng thời thay điều kiện biên bằng điều kiện:
( , ), ( , )
ij i j i j hk
u g x y x y
(1.19)
Ta được bài tốn sai phân hồn chỉnh: Tìm hàm lưới
u
tại các nút
( , )ij
thoả
mãn hệ phương trình sai phân (1.18) với điều kiện biên (1.19). Như vậy việc tìm
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 13
nghiệm xấp xỉ của bài tốn vi phân (1.17) với độ chính xác cấp hai được đưa về
việc giải bài tốn sai phân (1.18) với điều kiện (1.19) bằng các phương pháp đại số.
1.3.3 Thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn
Thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn được đề xuất bởi Samarski – Nicolaev.
Bằng các phép biến đổi đơn giản về véctơ và ma trận, các bài tốn sai phân
ln được đưa về hệ phương trình véctơ ba điểm thuộc một trong các dạng sau đây:
Bài tốn biên thứ nhất
Xét bài tốn biên thứ nhất đối với phương trình véc tơ ba điểm
11j j j j
Y CY Y F
,
1 1,jN
00
,YF
NN
YF
(1.20)
Trong đó
j
Y
là các véctơ cần tìm,
C
là ma trận vng,
j
F
là véctơ cho trước.
Giả sử
2
n
N
,
0n
Ký hiệu
(0) (0)
, ; 1,2, , 1.
jj
C C F F j N
Khi đó (1.20)
được viết dưới dạng
00
1 1 0 0
1 1 , , .
j j j j N N
Y C Y Y F j N Y F Y F
(1.21)
Bước khử thứ nhất: Từ các phương trình đầu của (1.21) ta khử các
j
Y
với
j
lẻ.
Muốn vậy ta viết ba phương trình liên tiếp:
0 (0)
2 1 1
0 (0)
11
0 (0)
1 2 1
j j j j
j j j j
j j j j
Y C Y Y F
Y C Y Y F
Y C Y Y F
Nhân 2 vế của phương trình thứ hai với
0
C
vào bên trái rồi cộng cả 3 phương
trình lại ta được
0 (1)
2 2 2 0 0
, 2,4, 2, , .
j j j j N N
Y C Y Y F j N Y F Y F
(1.22)
trong đó:
2
(1) (0) (1) (0) (0) (0) 0
11
2 , , 2,4, , 2
j j j j
C C E F F c F F j N
.
Hệ (1.22) chỉ chứa các ẩn
j
Y
với
j
chẵn, số véctơ ẩn
j
Y
là
1
2
N
. Do đó, nếu
giải được hệ này thì các
j
Y
với
j
lẻ sẽ tìm được từ phương trình
(0) (0)
11
, 1,3, , 1
j j j j
C Y F Y Y j N
. (1.23)
Như vậy hệ (1.21) tương đương với hệ gồm (1.22) và (1.23)
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 14
Bước khử thứ hai: Ở bước khử này ta sẽ tiến hành khử các
j
Y
của hệ (1.22) với
j
là
bội của 2 nhưng khơng là bội của 4. Muốn vậy ta viết 3 phương trình liên tiếp của
(1.22)
(1) (1)
4 2 2
(1) (1)
22
(1) (1)
2 4 2
, 4, 8, , 4 ,
j j j j
j j j j
j j j j
Y C Y Y F
Y C Y Y F j N
Y C Y Y F
Nhân 2 vế của phương trình thứ hai với
1
C
vào bên trái rồi cộng cả 3 vế
phương trình ta lại được
(2) (2)
4 4 0 0
, 4,8, 4, ,
j j j j N N
Y C Y Y F j N Y F Y F
(1.24)
trong đó:
2
(2) (1) (2) (1) (1) (1) (1)
22
2 , , 4,8, , 4.
j j j j
C C E F F C F F j N
Hệ (1.24) chỉ chứa
1
4
N
véctơ ẩn
j
Y
, trong đó
j
là bội của 4 sẽ tìm được từ
phương trình hai nhưng khơng là bội của 4 sẽ tìm được từ phương trình:
(1) (1)
22
, 2,6,10, , 2.
j j j j
C Y F Y F j N
Cứ tiếp tục q trình khử này. Kết quả là sau bước khử thứ
l
ta nhận được một
hệ gồm
1
l
N
c
ẩn
j
Y
, trong đó
j
là bội của
2
l
,
22
00
, 2 ,2.2 , 3.2 , , 2 ,
,
ll
l l l l l l
jj
jj
NN
Y C Y Y F j N
Y F Y F
(1.25)
và nhóm các phương trình:
1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
2
, 2 ,3.2 , , 2, , 1, ,1
k
k k k k
jj
j
C Y F Y j N k l l
(1.26)
trong đó các ma trận
()k
C
và các véc tơ vế phải
()k
j
F
được tính theo các cơng thức
truy tốn:
11
( ) ( 1) 2 ( ) ( 1) ( 1) ( 1)
22
( ) 2 , ,
2 ,2.2 , , 2 , , 1, ,1
kk
k k k k k k
jj
jj
kk
C C E F F C F F
j N k l l
(1.27)
Từ các bước khử trên suy ra rằng sau
1n
bước thử
( 1)ln
ta thu được hệ chỉ
gồm một phương trình đối với biến
2 /2
1
N
N
YY
là
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 15
11
( 1) ( 1) ( 1)
0
22
00
,
,
nn
n n n
j j j N
jj
NN
C Y F Y Y F Y Y
Y F Y F
(1.28)
Với vế phải đã biết. Vì vậy từ (1.28) ta có thể tìm được
/2N
Y
, và tất cả các ẩn còn lại
được tìm liên tiếp từ các phương trình
11
( 1) ( 1)
22
00
1 1 1 1
,
;,
2 ,3.2 ,5.2 , , 2 ,
, 1, ,1
kk
kk
jj
jj
NN
k k k k
C Y F Y Y
Y F Y F
jN
k n n
(1.29)
Các cơng thức trên đã mơ tả phương pháp rút gọn hồn tồn. Việc tính các
()k
j
F
theo
cơng thức truy tốn có thể dẫn đến việc tích lũy sai số nếu như chuẩn của ma trận
( 1)k
C
lớn hơn 1. Ngồi ra các ma trận
()k
C
nói chung là các ma trận đầy đủ, thậm
chí cả với ma trận ban đầu là
(0)
CC
là ma trận ba đường chéo. Điều này dẫn đến
tăng khối lượng tính tốn khi tính các
()k
j
F
theo (1.29). Để khắc phục những khó
khăn trên, thay cho
()k
j
F
ta sẽ tính các véctơ
()k
j
p
và
()k
j
q
liên hệ theo cơng thức sau:
( ) ( ) ( ) ( )
, 2 ,2.2 ,3.2 , , 2 , 0,1,2, , 1
k k k k k k k k
j j j
F C p q j N k n
(1.30)
trong đó ta chọn
(0)
j
p
và
(0)
, 1,2, , 1.
jj
q F j N
Bằng các cơng thức tốn học, có
thể thấy mối quan hệ mà
()k
j
p
và
()k
j
q
thỏa mãn như sau:
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
2 2 2 2
,
2 ,2.2 ,3.2 , , 2 , 1,2,3,
k k k k
k k k k k k k k k k k
j j j j
j j j j
k k k k
C p q C q p C p p q q
j N k
Ta sẽ chọn
()k
j
p
và
()k
j
q
thỏa mãn
( ) ( ) ( 1) ( 1)
2( 1) 2( 1)
2,
k k k k
j j j k j k
q p q q
Khi đó, kết hợp với cơng thức
( ) ( 1) 2
2 [ ]
kk
C E c
ta có
11
( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
22
kk
k k k k k k k
j j j
jj
C p q p C p p
.
Đặt
( 1) ( ) ( 1)
,
k k k
j j j
S p p
suy ra
( 1)k
j
S
phải thỏa mãn
11
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
22
kk
k k k k k
jj
jj
C S q p p
.
Như vậy ta thu được thuật tốn sau đây để xác định các véctơ
()k
j
p
và
()k
j
q
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 16
11
11
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( 1)
22
( ) ( ) ( 1) ( 1)
22
(0) (0)
,,
2
; 0, 2 ,2.2 , 3.2 , , 2 , 0,1,2, , 1.
kk
kk
k k k k k k k k
j j j j j
jj
k k k k
jj
jj
k k k k
j j j
C S q p p S p p
q p q q
q F p j N k n
(1.31)
Ký hiệu
( 1) ( 1)
,
kk
j j j
t Y p
ta sẽ thấy rằng
j
Y
có thể tính được từ các cơng thức sau
11
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
22
00
;,
;,
2 ,2.2 ,3.2 , , 2 , , 1, ,1
kk
k k k k k
j j j j j
jj
NN
k k k k
C t q Y Y Y p t
Y F Y F
j N k n n
(1.32)
Các q trình (1.31) và (1.32) ln cần tính ma trận nghịch đảo
1
( 1)k
C
. Bằng các
phép biến đổi sơ cấp từ các mối quan hệ của ma trận
k
C
và đa thức Chebysev
()
2
1
2 ( ),
2
k
k
C T C
ta có
1
( 1) 2
( 1) , 1
,
k
k
l l k
CC
trong đó
,1
(2 1)
2cos
2
lk
k
l
C C E
Như vậy, chẳng hạn ta có phương trình
1k
Cv
(1.33)
thì với việc giải lần lượt các phương trình
1
, 1 1 0
, 1,2, ,2 ,
k
l k l l
C v v l v
sẽ cho nghiệm của bài tốn (1.33) là
1
2
k
vv
Dựa vào các bước phân tích ở trên, thuật tốn rút gọn hồn tồn giải bài tốn
biên thứ nhất như sau
Q trình xi
Bước 1: Cho các giá trị ban đầu
(0) (0)
, , 1,2,3, , 1
j j j
p q F j N
Bước 1: Với
1k
giải phương trình:
(1) (0)
jj
Cp q
và tính
(1) (1) (0) (0)
( 1) ( 1)
2 , 2,4,6, , 2
j j j j
q p q q j N
Bước 3: Với
2,3, , 1kn
xác định các véctơ
11
(0) ( 1) ( 1) ( 1)
22
, 2 ,3.2 , , 2 .
kk
k k k k k k
jj
jj
v q p p j N
Sau đó, với mỗi
1
1,2, ,2
k
l
và với mỗi
2 ,3.2 , , 2
k k k
jN
giải phương trình
( ) ( 1)
,1
ll
l k j j
C v v
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 17
Khi đó
1
11
( ) ( 1) (2 ) ( ) ( ) ( 1) ( 1)
( 2 ) ( 2 )
, 2 , 2 ,2.2 ,3.2 , , 2
k
kk
k k k k k k k k k k
j j j j j
jj
p p v q p q q j N
Q trình ngược
Bước 1: Cho các giá trị ban đầu
00
,
NN
Y F Y F
Bước 2: Với
, 1, ,2n n n
tính
11
(0) ( 1) 1 1 1
22
, 2 ,3.2 , , 2
kk
k k k k
jj
jj
v q Y Y j N
.
Sau đó, với mỗi
1
1,2, ,2
k
l
và với mỗi
1 1 1
2 , 3.2 , , 2
k k k
jN
, giải phương trình
( ) ( 1)
,1
ll
l k j j
C v v
Khi đó
1
( 1) (2 )
, 2 ,2.2 ,3.2 , , 2
k
k k k k k
j j j
Y p v j N
Bước 3: Với
1k
, giải phương trình
(0)
11
, 1,3,5, , 1
j j j j
CY q Y Y j N
Bài tốn biên thứ hai
Xét bài tốn thứ hai
00
11
1
, 0,
,1 1,
2.
j j j j
N N N
Y F j
Y CY Y F j N
Y CY F
(1.34)
Trong đó
2 , 0
n
Nn
. Để giải bài tốn (1.34) ta cũng thực hiện các bước khử lần
lượt như đã được trình bày ở bài tốn biên thứ nhất. Sau
n
phép thử, ta nhận được
các phương trình
( ) ( ) ( )
0 0 (0)
,2
n n n
NN
Y F Y C Y F
(1.35)
Và nhóm các phương trình
11
( 1) ( 1) 1 1 1
22
, 2 ,3.2 , , 2 , , 1, ,1.
kk
k k k k k
jj
jj
C Y F Y Y j N k n n
Trong đó
k
j
F
và
()k
C
được xác định bởi cơng thức truy tốn sau
11
1
()
00
( ) 1 ( 1) 1
1
12
( ) 1 ( 1) ( 1)
2
( ) ( 1) 2
,
,
2 ,2.2 , , 2
2,
[ ] 2 ,
kk
k
k
k k k k
jj
jj
k k k
k k k k
NN
N
kk
FF
F F C F F
jN
F F C F
C C E
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 18
Kí hiệu:
( ) ( ) ( ) ( )
, 2 ,2.2 , , 2 , , 1,2, ,
k k k k k k k
j j j
F C p q j N N k n
.
Bằng các phép biến đổi đơn giản và cách chọn
()k
j
p
và
()k
j
q
thích hợp, ta nhậnđược
q trình sau để xác định các véctơ
()k
j
p
và
()k
j
q
với
JN
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
22
11
( ) ( ) ( 1) ( 1)
22
(0) (0)
; 2 ,
,0
2 , 3.2 , , 2 , 0,1,2, , 1
kk
kk
k k k k k
jj
jj
k k k
k k k k
j j j j j
jj
j j j
k k k
C S q p q
p p S q p q q
q F p
j N k n
Tương tự, với
jN
, ta có:
( 1)
( 1)
( 1) 1 ( 1) ( 1)
2
( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1)
2
(0) (0)
2,
; 2 2 ,
; 0,
k
k
k k k k
NN
N
k k k k k k
N N N N N
N
N N N
C S q p
p p S q p q
q F p
Trong đó
( 1) ( 1) 1 1 1
, 2 ,3.2 , , 2 , , 1, ,2,1
k k k k k
j j j
Y p t j N k n n
Trong đó
( 1)k
j
t
là nghiệm của phương trình.
( 1)
( 1) ( 1)
( 1)
( 1)
22
k
j
kk
kt
k
j
jj
C q Y Y
Dưới đây là thuật tốn giải bài tốn biên thứ hai:
Q trình xi:
Bước 1: Xác định các giá trị ban đầu
(0) (0)
0; , 1,2, ,
j j j
p q F j N
Bước 2: Với
1,2, , 1kn
xác định các véctơ:
( 1) ( 1)
(0) ( 1) ( 1) ( 1)
22
, 2 ,2.2 , , 2
kk
k k k k k k
jj
jj
v q p p j N
Sau đó, với
( 1)
1,2, ,2
k
l
và với mỗi
2 ,2.2 , , 2 ,
k k k
jN
giải phương trình
( ) ( 1)
,1
ll
l k j j
C v v
Khi đó
( 1) ( 1)
( ) ( 1) (2 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1)
22
, 2 , 2 ,2.2 , , 2
kk
k k k k k k k k k k
j j j j j
jj
p p v q p q q j N
.
Bước 3: Với
1,2, , 1kn
xác định các véctơ
( 1)
(0) ( 1) ( 1)
2
2
k
kk
NN
N
v q p
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 19
Sau đó, với
( 1)
1,2, ,2 ,
k
l
giải phương trình
( ) ( 1)
,1
ll
l k N N
C v v
Khi đó
1
1
( ) ( 1) (2 ) ( ) ( ) ( 1)
2
, 2 2
k
k
k k k k k
N N N N N
N
P p v q p q
.
Q trình ngược:
Bước 1: Xác định
N
Y
. Xác định véc tơ
0
0
2
n
NN
v q Y
sau đó, với
1,2, ,ln
giải hệ
( ) ( 1)
,
ll
l n N N
C v v
Khi đó
nn
N N N
Y p v
Bước 2: Xác định
, 1,2, , 1
j
Y j N
Với
, 1, ,2,1k n n
xác định các véctơ
11
01
1 1 1
22
, 2 ,3.2 , , 2
kk
k
k k k
jj
jj
v q Y Y j N
Sau đó, với
1
1,2, ,2
k
l
và với mỗi
1 1 1
2 ,3.2 , , 2
k k k
jN
giải phương trình
1
,1
ll
l k j j
C v v
Khi đó
1
2
1
, 2 ,2.2 ,3.2 , , 2
k
k
k k k k
j j j
Y p v j N
.
Trên đây là nội dung của thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn giải bài tốn
biên thứ nhất và bài tốn biên thứ hai. Trong các tài liệu của Samaski - Nicolaev đã
chứng minh độ phức tạp của các thuật tốn là
( log )O M N N
. Xuất phát từ thuật
tốn thu gọn khối lượng tính tốn trên, ta có thể xây dựng thư viện mẫu gồm các
hàm để xác định nghiệm số đối với các bài tốn biên elliptic cấp hai với các loại
điều kiện biên khác nhau (Xem [3, 4]).
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 20
Chương 2
Một số kiến thức về phương pháp lặp giải bài tốn cấp
hai và cấp bốn
Trong chương này, luận văn sẽ trình bày một số kết quả nghiên cứu về các
phương pháp lặp giải bài tốn cấp hai và cấp bốn, các kết quả được tham khảo trong
các tài liệu [8, 9, 10, 11].
2.1 Phương pháp chia miền
2.1.1 Cơ sở của phương pháp
Cho
2
là miền với biên Lipschitz
, xét bài tốn
,,
,.
u x f x x
lu x g x x
Giả thiết
2 1/2
,f x L g x H
. Ta xét trường hợp tổng qt khi điều kiện
biên
lu x g x
là điều kiện biên dạng hỗn hợp mạnh tức là trên một phần biên
trơn gồm cả hai điều kiện biên Dirichlet (l là tốn tử hàm) và Neumann (l là tốn tử
đạo hàm hướng). Ta áp dụng phương pháp chia miền để xác định nghiệm của bài
tốn biên hỗn hợp mạnh.
Giả sử
cho bởi
Hình 2.1
Xét bài tốn
,,
,,
, \ .
n
n
u f x
u
x
v
ux
Chia
thành hai miền
12
,
với biên trơn
,
1 2 1 2
,
. Kí hiệu
1 1 2 1
\ , \ ,
d n i
u
là nghiệm trong miền
, 1,2
i
i
. Tư
n
d
1
2
2
1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />
