Các dạng quỹ tích phức thầy Đặng Việt Hùng phần 1

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!





I. CÁC DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN
a) Đường thẳng
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường thẳng nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn
phương trình đường thẳng : Ax + By + C = 0.
b) Đường tròn
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường tròn nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương
trình đường tròn (C) : (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
, trong đó I(a ; b) là tâm đường tròn và R là bán kính đường
tròn.
c) Đường Elip
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường elip nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương
trình đường elip
2 2
2 2
( ): 1
x y
E
a b
+ =

, trong đó a, b tương ứng là các bán trục lớn và bán trục nhỏ của elip.



Chú ý :

Điểm M thuộc Elip nhận A, B làm các tiêu điểm thì theo định nghĩa elip ta có MA + MB = 2a, và đồng
thời AB = 2c, là độ dài tiêu cự của elip.

Mối quan hệ giữa các đại lượng a, b, c của elip là a
2
= b
2
+ c
2
II. CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
b) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1]
c) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3].
d) |z| ≤ 2
e) 2 ≤ |z| ≤ 3
f) |z –1 + 2i| ≤ 2
g)
2 2 2 1
i z z
− = −

Hướng dẫn giải :
Gọi z = x + yi và M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z.

a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của z, tức là x = 2y, hay x – 2y = 0.
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là đường thẳng d : x – 2y = 0.
b) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1], tức là –2 ≤ x ≤ 1.
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = –2 và x = 1
c) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3], tức là –2 ≤ x ≤ 1 và
1 ≤ y ≤ 3
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là miền trong của hình chữ nhật ABCD giới hạn bởi bốn đường thẳng
x = –2 ; x = 1 ; y = 1 và y = 3.
d)
2 2 2 2
2 2 4
z x y x y
≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤

Vậy quỹ tích các điểm M(z) là miền trong của hình tròn tâm I(0; 0), bán kính R = 2, (kể cả những điểm nằm
trên đường tròn)
Cách gi
ải khác:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z
M
1
là điểm biểu diễn số phức z
1
= 0 ⇒ M
1
(0; 0)
Theo bài toán tiền đề ta được |z – z
1
| = MM
1

, hay |z | = MM
1
Từ đó ta được MM
1
≤ 2, (1)
Tài liệu bài giảng:

02. CÁC DẠNG QUỸ TÍCH PHỨC – P1

Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Do điểm M
1
cố định, nên từ (1) ta thấy quỹ tích M là miền trong của hình tròn tâm M
1
(0; 0), bán kính R = 2.
e)
2 2
2 2 2 2
2 2
9
2 3 2 3 4 9
4
x y
z x y x y
x y

+ ≤


≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔

+ ≥



V
ậ
y qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m M(z) là hình vành kh
ă
n gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i hai hình tròn
đồ
ng tâm (C
1
): x
2
+ y
2

= 4 và (C
2
):
x
2
+ y
2
= 9
f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 4
z i x y i x y x y
− + ≤ ⇔ − + + ≤ ⇔ − + + ≤ ⇔ − + + ≤

V
ậ
y qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m M(z) là mi
ề
n trong c
ủ
a hình tròn tâm I(1; –2), bán kính R = 2, (k
ể
c

ả
nh
ữ
ng
đ
i
ể
m
n
ằ
m trên
đườ
ng tròn)
Cách giải khác:
G
ọ
i M là
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z
M

1
là
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z
1
= 1 – 2i
⇒
M
1
(1; –2)
Theo bài toán ti
ề
n
đề
ta
đượ
c |z – z
1
| = MM
1

, hay |z –1 + 2i| = MM
1
T
ừ

đ
ó ta
đượ
c MM
1

≤
2, (2)
Do
đ
i
ể
m M
1
c
ố

đị
nh, nên t
ừ
(2) ta th
ấ
y qu
ỹ
tích M là mi

ề
n trong c
ủ
a hình tròn tâm M
1
(1; –2), R = 2.
g)
2 2 2 1
i z z
− = −

Ta có
z x yi
= −
, t
ừ

đ
ó ta
đượ
c:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2
i z z i x yi x yi x y i x yi
− = − ⇔ − − = + − ⇔ − + + = − +
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
4 4 1 2 1 4 4 4 2 1 4 4 1 4

x y x y x y y x x y
⇔ + + = − + ⇔ + + + = − + +

⇔
4
x
+ 8
y
+ 3 = 0
V
ậ
y qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m
M
(
z
) là
đườ
ng th
ẳ
ng
d
: 4
x
+ 8

y
+ 3 = 0
Ví dụ 2.
Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c, tìm t
ậ
p h
ợ
p các
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n các s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn
đ
i

ề
u ki
ệ
n:
a)
3 4
z z
+ + =

b)
1 2
z z i
− + − =

c)
2
z i z
+ = −

Hướng dẫn giải :
Gi
ả
s
ử
s
ố
ph
ứ
c
z

=
x
+
yi
, có
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n là
M
(
x
;
y
).
a)
( ) ( ) ( )
2
1
3 4 3 4 3 4 3 2
5
x
z z x yi x yi x x
x
= −


+ + = ⇔ + + − + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔

= −


V
ậ
y qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m
M
(
z
) là hai
đườ
ng th
ẳ
ng
x
= –1 và
x
= –5
b)
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

z z i x yi x yi i y i y
− + − = ⇔ + − − + − = ⇔ + − = ⇔ + − =

( )
2
1 3
2
1 2 1 4 2 1 3
1 3
2
y
y y
y

+
=


⇔ + − = ⇒ − = ⇒

−
=



V
ậ
y qu
ỹ
tích các

đ
i
ể
m M(z) là hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1 3
2
y
±
= .
c)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 1
z i z x yi i x yi x yi x y i
+ = − ⇔ + + = − + ⇔ + + = − + −

( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2

2 1 4 4 2 1 4 2 3 0
x y x y x x y x y y x y
⇔ + + = + − ⇔ + + + = + − + ⇔ + + =

V
ậ
y qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m M(z) là
đườ
ng th
ẳ
ng d: 4x + 2y + 3 = 0
Ví dụ 3.
Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c, tìm t
ậ
p h
ợ
p các
đ

i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n các s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
a)
1 3
z z
+ + =

b)
2 2 5
z z i− + + =
c)
3 2
z i z i

+ = + +

Ví dụ 4.
Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c, tìm t
ậ
p h
ợ
p các
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n các s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn
đ
i

ề
u ki
ệ
n:
a)
(
)
2
2
4
z z
+ =

b)
2 2 1
iz i z i
+ = + −

c)
2 2 2 3
i z z
− = +

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Ví dụ 5. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a)
2
z
z i

−
là số thực
b)
z i
z i
+
+
là số thực
c)
( 2)( )
z z i
− +
là số thực
Ví dụ 6. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức 2 1
z i z i
+ − = +
. Tìm các điểm M biểu diễn số phức z sao cho
MA ngắn nhất, với A(1; 4).
Ví dụ 7. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức
2 2 3 1
z i z i
+ = − +
. Tìm các điểm M biểu diễn số phức z sao cho
MA ngắn nhất, với
3
1;
4
A
 
 

 
.
Đ/s:
5
1; .
4
M
 
− −
 
 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho số phức z = a + bi . Hỏi a, b phải thoả mãn điều kiện gì để
a) Điểm biểu diễn chúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng x = –2 và x = 2
b) Điểm biểu diễn chúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng y = –3i và y = 3i
c) Điểm biểu diễn chúng nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 2
Bài 2. Tìm quỹ tích các điểm M(z) biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a)
1 z 2
≤ ≤
và phần ảo lớn hơn hoặc bằng
1
2
. b)
z 1 1
+ <


c)

1 z i 2
< − <
d)
2iz 1 2 z 3
− = +

Bài 3.
Tìm qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m M(z) bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn:
a)
(
)
2 z (i z)
− +
là s

ố
th
ự
c tùy ý,
(
)
2 z (i z)
− +
là s
ố

ả
o tùy ý.

b)
z (3 4i) 2
− − =
c)
2 z i z z 2i
− = − +

d)
2 2
z (z) 4
− =

Bài 4.
Tìm qu
ỹ
tích các

đ
i
ể
m M(z) bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn:
a)
z 1 i 2
− + =
b)
2 z 3i z z 2i
− = + −

c)
z 1 z 1 4
− + + =
d)
z 1 2i z 3 2i 6
− − + + − =

Bài 5.
Trên m

ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
, tìm t
ậ
p h
ợ
p các
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n các s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a
đ
i
ề
u ki

ệ
n:
a)
Ph
ầ
n th
ự
c c
ủ
a z b
ằ
ng 2.
b)
Ph
ầ
n
ả
o c
ủ
a z thu
ộ
c kho
ả
ng
(
)
1;3
−
.
c)

Ph
ầ
n th
ự
c và ph
ầ
n
ả
o c
ủ
a z
đề
u thu
ộ
c
đ
o
ạ
n
[
]
2;2
−
.
Bài 6.
Tìm qu
ỹ
tích các
đ
i

ể
m M(z) bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn:
a)
z 3
≤
b)
1 z 3
< ≤
c)
z 4
>
d)
z i 1
+ <