Bài tập tuyển sinh vào lớp 10 ( nâng cao )

Bi tp tuyn sinh vo lp 10 ( nõng cao )
A- Phn i s :
Cõu 1.
Cho biu thc
01
2
= xx
.
Tính giá trị của biểu thức Q =
201333
201333
236
3456
+
++
xxxx
xxxx
Cõu 2.
Giải phơng trình :
( ) ( )
[ ]
1131124
2
2
222
++++=+++ xxxxxx
Cõu 3.
Giải hệ phơng trình :

+=+
=+
4
2
2
23
9
723
19327
y
x
yx
yxy
Cõu 4.
Tìm tất cả các số nguyên dơng a thoả mãn đẳng thức sau :

( ) ( ) ( )
2
13
2

224
2
132
22112222

+++++=+++++
aaaa
aaaaa
Cõu 5
a. Gii phng trỡnh:
1 5 4 3 2 4x x x x+ + = + +
.
b. Gii h phng trỡnh:
2
( 2 2)(2 ) 2 (5 2) 2
7 3
x y x y x y y
x y
+ + =


=

Cõu 6
a. Chng minh rng:
3 3
( )a b ab a b+ +
, vi a, b l hai s dng.
b. Cho a, b l hai s dng tha món
1a b

+
.
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
( ) ( )
2
3 3 2 2
3
.
2
F a b a b ab= + + + +
Cõu 7
a) Cho x, y, z, a, b, c l cỏc s dng. Chng minh rng:

3
3 3
abc + xyz (a + x)(b + y)(c + z)
.
b) T ú suy ra :
3 3
3 3 3
3 3 3 3 2 3+ +
Câu 8
a) Giải phương trình:
x + 3 + 6 - x (x + 3)(6 - x) = 3−
.
b) Giải hệ phương trình:
2
x + y + z = 1
2x + 2y - 2xy + z = 1




Câu 9.Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn :
3x
2
+ 6y
2
+2z
2
+ 3y
2
z
2
-18x = 6.
Câu 10.
a) Cho x, y, z là 3 số thực thỏa:
0x y z+ + =
. Chứng minh rằng
3 3 3
3x y z xyz+ + =
.
b) Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
3 3 3
1005 1007 2 - 2012 0x x x- + - + =
.
Câu 11
a) Giải phương trình:
2 2
2 8 3 4 8 18x x x x

− − − − =
b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x
2
+ 2x + 2
c) Giải hệ phương trình:





=+−
=−+
85))((
45))((
22
22
yxyx
yxyx
Câu 12
a) Cho
0a b c
+ + =
, tính giá trị của biểu thức:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
P
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −
b) Tìm số tự nhiên n sao cho

2
6A n n
= + +
là số chính phương.
Câu 13Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2221616
2
10
2
10
)1()(
4
1
2
1
yxyx
x
y
y
x
Q +−++








+=

Câu 14.

Câu 15 .
Cho phương trình
2 2012
x 2011 1 0x− + =
( 3) có hai nghiệm
1 2
,x x
. Hãy lập
phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm
2
1 1
1y x= +
và
2
2 2
1y x= +
Bài 16.
a) Giải phương trình
7
5 1 3 13
3
x
x x
−
− − + =
.
b) Giải hệ phương trình
2 2

2 2
2 3 2
3
x xy y y
x y

+ = − +


− =


Bài 17.
a) Chứng minh rằng nếu
1x y≥ ≥
thì
1 1
x y
x y
+ ≥ +
.
b) Cho
1 , , 2a b c≤ ≤
. Chứng minh rằng
( )
1 1 1
10a b c
a b c
 
+ + + + ≤

 ÷
 
.
C â

u 18. Giải phương trình:
7 2 (2 ) 7x x x x+ − = + −
Câu 19.
Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b
≤

2 2
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P =
1 1
a b
+
.
Câu 20.
1) Giải phương trình
2 4 2
(x - 4x+11)(x - 8x +21) 35
=
.
Giải hệ phương trình
(
)
(
)
2 2

2 2
x+ x +2012 y+ y +2012 2012
x + z - 4(y+z)+8 0





=
=
.
Câu 21.
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2 2 2
a (b-2c)+b (c-a)+2c (a-b)+abc
.
2) Cho x, y thỏa mãn
2 2
3 3
x y- y +1+ y+ y +1
=
. Tính giá trị của biểu
thức
4 3 2 2
A x +x y+3x +xy- 2y +1
=
.
Câu 22.
Cho 3 số a, b, c thỏa mãn
0 a b c 1

≤ ≤ ≤ ≤
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
1 1 1
B (a+b+c+3) + +
a+1 b+1 c+1
 
 ÷
 
=
.
Câu 23
Cho phương trình
4 2
16 32 0x x− + =
( với
x R
∈
)
Chứng minh rằng
6 3 2 3 2 2 3x = − + − + +
là một nghiệm của
phương trình đã cho.
Câu 24
Giải hệ phương trình
2 ( 1)( 1) 6
2 ( 1)( 1) yx 6
x x y xy
y y x
+ + + = −



+ + + =

( với
,x R y R∈ ∈
).
Câu 25
a) Giải hệ phương trình:
( )
1
5 , ,
z 2
xy x y
yz y z x y z
x z x
= + +


= + + ∈


= + +

¡
b) Giải phương trình:
( )
2 2
3 2 1 6 3 1 2 2 2 1 ,x x x x x x x
+ + + − + = + + + + − ∈

¡
.
Câu 26.
Cho
, ,a b c
là các số thực dương thỏa mãn
1abc
=
. Chứng minh:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
1 1 1 1 1 1 4
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + + + + +
Câu 27.
1. Giải phương trình:
2 2 2
4 4 4x x x+ − = −
Giải hệ phương trình:
3 3
3
2 2
4( )
1
x y x y
x y

+ = +



+ =


Bài 28. :Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
3 3 2 2
5x y x y xy+ − − =
.
B-Phần hình học :
Câu 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc
với AB tại I (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B
và C ), AE cắt CD tại F. Chứng minh:
a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) AE.AF = AC
2
.
c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF
luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Câu 2: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm
M, vẽ MI
⊥
AB, MK
⊥
AC (I
∈
AB,K
∈
AC)

a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Vẽ MP
⊥
BC (P
∈
BC). Chứng minh:
· ·
MPK MBC=
.
c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP
đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R).
Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: AEHF và BCEF là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Gọi M và N thứ tự là giao điểm thứ hai của đường tròn (O;R) với
BE và CF. Chứng minh: MN // EF.
c) Chứng minh rằng OA
⊥
EF.
Câu 4: Cho đường tròn (O;R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của
đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O;R) cắt các đường thẳng AC,
AD thứ tự tại E và F.
a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật.
b) Chứng minh ∆ACD
~
∆CBE
c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.
d) Gọi S, S
1
, S

2
thứ tự là diện tích của ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF. Chứng
minh:
1 2
S S S+ =
.
Câu 5. Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn
cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông.
a) Chứng minh rằng S
ABCD

AC
4
≤
(MN + NP + PQ + QM).
b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.
Câu 6. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt
lấy các điểm D, E, F sao cho D không trùng với A, B và
·
0
60EDF =
.
a) Chứng minh rằng AF.BE = AD.DB.
b) Chứng minh
2
.
4
a
AF BE ≤
. Điểm D ở vị trí nào thì dấu đẳng thức xảy

ra?
Câu 7. Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của OB,
O’ là tâm đường tròn đường kính AC. Đường thẳng d qua A cắt đường tròn
(O) tại D (
D A≠
) và cắt đường tròn (O’) tại K (
K A≠
). BK cắt CD tại H.
a) Tính tỷ số
HC
CD
.
b) Khi d quay quanh A, điểm H chạy trên đường nào?
Câu 8.
Cho hai điểm A, B cố định. Một điểm C khác B di chuyển trên đường tròn
(O) đường kính AB sao cho
AC BC>
. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C
cắt tiếp tuyến tại A ở D, cắt AB ở E. Hạ AH vuông góc với CD tại H.
a) Chứng minh rằng
. .AD CE CH DE=
.
b) Chứng minh rằng
.OD BC
là một hằng số.
c) Giả sử đường thẳng đi qua E, vuông góc với AB cắt AC, BD lần lượt tại
F, G. Gọi I là trung điểm AE. Chứng minh rằng trực tâm tam giác IFG là
một điểm cố định.
Câu 9.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn

tâm O. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC,
BC; BO cắt EF tại I. M là điểm di chuyển trên đoạn CE.
1) Tính
·
BIF
.
2) Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM =
AB thì tứ giác ABHI nội tiếp.
3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần
lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí
của điểm M để PQ lớn nhất.
Bài 10.
Cho A và M là hai điểm trên đường tròn tâm O, bán kính R; B là
điểm đối xứng của
O qua A và D là trung điểm của OA
1. Chứng minh hai tam giác
OMD∆
và
OBM∆
đồng dạng.
2. Tính độ dài MB khi
·
0
60MOA =
.
3. Cho C là điểm cố định nằm ngoài đường tròn, xác định vị trí
của M trên đường tròn để tổng 2MC + MB đạt giá trị nhỏ
nhất.
Câu 11 :
a) Từ một điểm A nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N

∈
(O;R)). Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N. Tiếp tuyến tại P cắt
AM tại B, cắt AN tại C. Cho A cố định và AO = a. Chứng minh chu vi tam
giác ABC không đổi khi P di động trên cung nhỏ MN. Tính giá trị không đổi
ấy theo a và R.
b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 36 (đơn vị diện tích). Trên
cạnh BC và cạnh CA lần lượt lấy điểm D và E sao cho DC = 3DB và EA =
2EC; AD cắt BE tại I. Tính diện tích tam giác BID.
Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là
hình chiếu của H trên AB, N là hình chiếu của H trên AC.
a) Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC
b) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMHN
có diện tích lớn nhất? Biết BC = a (Không đổi).
Cõu 13
Cho tam giỏc ABC nhn ni tip ng trũn (O), AB < AC. Cỏc tip
tuyn ti B v C ca ng trũn (O) ct nhau ti E; AE ct ng trũn
(O) ti D (khỏc im A). K ng thng (d) qua im E v song
song vi tip tuyn ti A ca ng trũn (O), ng thng (d) ct cỏc
ng thng AB, AC ln lt ti P v Q. Gi M l trung im ca
on thng BC. ng thng AM ct ng trũn (O) ti N (khỏc
im A).
a. Chng minh rng:
2
.EB ED EA=
v
BA CA
BD CD
=
.
b. Chng minh cỏc ng trũn ngoi tip ca ba tam giỏc ABC, EBP,

ECQ cựng i qua mt im.
c. Chng minh E l tõm ng trũn ngoi tip ca t giỏc BCQP.
d. Chng minh t giỏc BCND l hỡnh thang cõn.
Cõu 14.
Cho tam giỏc nhn ABC ni tip ng trũn (O), cú AB < AC. H
cỏc ng cao BE v CF và AQ chúng cắt nhau tại H , M l giao im ca
EF v AH. V ng kớnh AK ct cnh BC ti N. Gọi S , R , T lần lợt là
hình chiếu của H trên các cạnh EF , FQ , QE . Gọi I , P theo thứ tự là hình
chiếu của M và H trên cạnh AK.
a) Chứng minh tỉ số :
( )
2013
671
=
++
HR
HTHRHS
Chng minh đẳng thức : MI.AH
2
= HP.AM
2