Đề Thi Tuyển Sinh Vào Lớp 10 Năng Khiếu Toán Năm Học 2007-2008 (PTNK ĐHQG TPHCM)

Đề Thi Tuyển Sinh Vào Lớp 10 Năng Khiếu Toán Năm Học 2007-2008
(PTNK ĐHQG TPHCM)
Thời Gian Làm Bài : 150 phút
Câu 1.
a) Giải hệ phương trình :
b) Cho . Chứng Minh Rằng Là Nghiệm Của
Một Phương Trình Bậc Với Hệ Số Nguyên
c) Cho . Chứng Minh Rằng là nghiệm của
phương trình bậc với hệ số nguyên.
Câu 2. Cho tam giác nội tiếp . là điểm di động trên cung
không chứa . Hạ lần lượt vuông góc với .
a) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua điểm cố đinh.
b) Xác định vị trí của điểm sao cho biểu thức đạt giá trị
lớn nhất.
Câu 3.
a) Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Chứng
minh bất đẳng thức
b) Cho là các số dương thỏa mãn điều kiện . CHứng minh bất
đẳng thức
Câu 4. CHo hình thang có đáy và . Biết rằng đường tròn
đường kính đi qua trung điểm các cạnh bên và tiếp xúc với .
Hãy tìm số đo các góc của hình thang.
Câu 5.
a) Cho là các số thực dương phân biệt có tổng bằng . Chứng minh rằng
trong phương trình có ít
nhất phương trình có nghiệm phân biệt và có ít nhất một phương trình vô
nghiệm.
b) Cho là tập hợp gồm số tự nhiên có tính chất : tổng phần tử tùy ý của S
là số chính phương ( Ví dụ S ={5;20;44} hoặc S= {10;54;90} là các tập hợp
thỏa mãn điều kiện trên ). Chứng minh rằng trong tập có không quá số lẻ.
Giải:

Câu 1)
a) Cộng hai pt lại ta có
Thay vào pt(1) ta có
hay
b) áp dụng vi-et
ta có
tương tự
Ta có
=> a, b là nghiệm của pt X^2-6X+7=0 có các hệ số nguyên
c)Ta có
Vậy . Vậy
Từ đó ta được . Mặt khác ta cũng có
Theo định lí Vi-ét đảo ta có là hai nghiệm của phương trình
suy ra đpcm
Câu 2)
a)Hạ => cố định
Do nội tiếp nên ;
mà (cùng bù )
=> =>
=> thẳng hàng => luôn đi qua điểm cố định(đpcm)
b)
mà nên <=> => là điểm chính
giữa cung không chứa
Câu 3)
mà
tương tự
=>(1) đúng, vậy bđt được cm
b) tương tự
ta có
ta có

tương tự
=> bđt (1) đúng=> đpcm
Câu 4)
Gọi trung điểm của AB,BC,CD,DA lần lượt là M,K,N,O
MN giao với KO ở H
Dễ dàng chứng minh được ABCD là hình thang cân
Gọi bán kính đường tròn đầubài là R
ON=OK=OM=OC=OD=R
dễ dàng chứng minh OH=R/2
Mà ON=R NHO vuông ở O
=30
=30
Mà ONC cân ở O
= =75
Vậy hình thang ABCD có các góc có số đo là 75 và 105
Câu 5 )
a)
gọi
Ta có
dễ dàng cm được
dấu = xảy ra khi (trái đk bài toán)
=>có ít nhất 1 pt có 2 no phân biệt
Giả sử tất cả các pt đều có nghiệm(giả sử pt 1 có 2 nghiệm phân biệt)
<=>
từ đây có thể suy ra
trái với giả thiết
Vậy có ít nhất 1 => pt đó vô nghiệm
câu 5)
b)
Mọi số chính phương khi chia cho 4 có số dư là 0 hay1

Giả sử ba số tự nhiên là a, b, c
th: cả 3 số đều lẻ
Các số lẻ chia 4 dư 1 hay 3. Vì cả 3 đều lẻ nên có 2 số có cùng số dư khi chia 4
Tổng 2 số đó khi chia 4 dư 2 ko thể là số chính phương
TH : có 2 số lẻ(giả sử là a và b)
Nhận thấy để tổng 2 số trên có thể là số chính phương thì chúng phải có số dư
khác nhau khi chia cho 4
giả sử
Xét c là 1 số chẵn hay
Nếu ko là số chính phương
ko là số chính phương
Vậy có ko quá 1 số lẻ