dò tìm cộng hưởng electron-phonon bằng quang học trong dây lượng tử với thế giam giữ dạng bán parabol

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ THU HẰNG
DÒ TÌM CỘNG HƯỞNG ELECTRON-PHONON
BẰNG QUANG HỌC TRONG DÂY LƯỢNG TỬ
VỚI THẾ GIAM GIỮ DẠNG BÁN PARABOL
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số : 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học
TS. LÊ ĐÌNH
Huế, năm 2011
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng
tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công
trình nghiên cứu nào khác.
Tác giả luận văn
Trần Thị Thu Hằng
ii
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Tiến sĩ Lê
Đình, người thầy với sự quan tâm thường xuyên và tận tụy, với tấm lòng
nhiệt thành, đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu, hướng
dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở khoa Vật Lý và phòng
Sau Đại Họ c - trường Đại Học Sư Phạm Huế, Ban giám hiệu trường Trung
học phổ thông Hương Trà đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi hoàn

thành khóa học và luận văn.
Xin gởi lời cảm ơn đến các anh chị học viên cao học chuyên
ngành Vật lý lý thuyết và vật lý toán khóa XVIII, gia đình, bạn bè và
đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và
thực hiện luận văn.
Trần Thị Thu Hằng
iii
MỤC LỤC
Trang
Trangphụbìa i
Lờicamđoan ii
Lờicảmơn iii
Mụclục 1
Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
MỞ ĐẦU 4
Chương 1. TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH KHẢO SÁT
VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 12
1.1. Tổng quan về dây lượng tử thế bán parabol . . . . . . . . 12
1.1.1. Tổng quan về dây lượng tử . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng điện tử của điện tử
trong dây lượng với giam giữ dạng bán parabol . . 13
1.1.3. Biểu thức của thừa số dạng đối với tương tác electron-
phonon trong dây lượng tử với thế giam giữ dạng bán
parabol 16
1.1.4. Hamiltonian của hệ electron - phonon trong dây lượng
tử với thế giam giữ bán parabol khi có mặt điện
trường ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2. Tổng quan về phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . 20
1.2.1. Lý thuyết phản ứng tuyến tính . . . . . . . . . . . 20
1.2.2. Phương pháp chiếu toán tử độc lập trạng thái . . . 24

1
Chương 2. KẾT QUẢ GIẢI TÍCH 26
2.1. Biểu thức của tenxơ độ dẫn tuyến tính . . . . . . . . . . . 26
2.1.1. Biểu thức tường minh của tenxơ độ dẫn tuyến tính 26
2.1.2. Biểu thức của hàm dạng phổ . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Biểu thức của công suất hấp thụ . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1. Biểu thức của phần tử ma trận của mật độ dòng điện 38
2.2.2. Tốc độ hồi phục của electron trong dây lượng tử thế
bánparabol 40
Chương 3. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN 50
3.1. Điều kiện cộng hưởng electron-phonon trong dây lượng tử
thế bán parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. Kết quả tính số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào
tần số của photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào
tần số đặc trưng của dây lượng tử . . . . . . . . . . 53
3.2.3. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào
nhiệtđộ 55
KẾTLUẬN 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
PHỤ LỤC 64
2
DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
3.1 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số của trường
ngoài ứng với với nhiệt độ 150K (đường màu xanh), 200K
(đường màu đỏ), 250K (đường màu đen). 52
3.2 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số của trường
ngoài với nhiệt độ 97K và ω
x

=0, 4ω
LO
. 52
3.3 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số của trường
ngoài ứng với T =98K và tần số photon ω)x =0.4ω
LO
(đường màu xanh), ω
x
=0.41ω
LO
(đường màu đỏ). 54
3.4 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số của trường
ngoài ứng với T = 110K (đường màu xanh), T = 100K
(đường màu đỏ) với tần số photon ω =31.5 × 1.6 × 10
−22
/ 54
3.5 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số của trường
ngoài ứng với ω =31.5×1.6×10
−22
/ (đường màu đỏ), ω =
40×1.6×10
−22
/ (đường màu xanh), ω =50.5×1.6×10
−22
/
(đường màu đen) ở nhiệt độ 100K. 55
3.6 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào nhiệt độ 55
3
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Ngày nay, việc nghiên cứu cấu trúc với khí điện tử thấp chiều trở
thành một mũi nhọn của vật lý và có quan hệ rất chặt chẽ với sự phát triển
mạnh mẽ, sâu rộng của các lĩnh vực công nghệ. Với sự phát triển cao của
kỹ thuật trong nuôi tinh thể như epitaxy chùm phân tử (MBE: Molecules
Beam Epitaxy) và kết tủa hơi kim loại hữu cơ (MOCVD: Metal - Organic
Chemical Vapor Deposition) [11], người ta đã tạo ra rất nhiều hệ bán dẫn
với kích thước nằm trong khoảng từ 0,1 đến 100nm. Ngành khoa học và
công nghệ nghiên cứu, chế tạo ra các cấu trúc này được gọi là ngành công
nghệ nano. Sự phát triển của ngành khoa học, công nghệ này là một tiên
lượng tốt đẹp cho sự phát triển của các lĩnh vực khoa học, công nghệ ở thế
kỉ 21.
Có thể kể đến một số cấu trúc thấp chiều: cấu trúc phẳng hai chiều
như siêu mạng hay giếng lượng tử (quantum wells), cấu trúc một chiều-
dây lượng tử (quamtum wires) và cấu trúc không chiều-chấm lượng tử
(quantum dots). Trong các cấu trúc có kích thước nhỏ và thấp chiều như
trên, các qui luật lượng tử bắt đầu có hiệu lực, trước hết thông qua sự biến
đổi đặc trưng phổ năng lượng. Phổ năng lượng của các hệ điện tử trở nên
gián đoạn dọc theo phương giam giữ của điện tử. Ngày nay, việc nghiên
cứu hiện tượng chuyển tải electron trong trường điện từ mạnh, nghiên cứu
tính chất quang trong hệ điện tử thấp chiều, đang tiếp tục được hoàn
thiện.
Trên phương diện nghiên cứu lý thuyết, những vấn đề trên được giải
quyết theo quan điểm lượng tử bằng cách sử dụng nhiều phương pháp khác
nhau như lý thuyết nhiễu loạn, phương pháp phương trình động lượng tử,
4
lý thuyết hàm Green hoặc phương pháp chiếu toán tử. Vì mỗi phương
pháp đều có ưu điểm cũng như nhược điểm riêng của nó nên việc sử dụng
phương pháp nào tốt hơn chỉ có thể đánh giá tuỳ vào bài toán cụ thể.
Một trong những thành tựu đáng kể trong việc nghiên cúu lý thuyết và
thực nghiệm trong những năm gần đây là nghiên cứu dịch chuyển electron

trong điện trường mạnh. Có nhiều lý thuyết liên quan đến vấn đề này, một
trong những lý thuyết sớm nhất nghiên cứu sự chuyển tải trong trường điện
từ mạnh là lý thuyết chuyển tải của Boltzmann. Tuy nhiên, do phương pháp
còn mang tính bán cổ điển nên kết quả tìm được chưa thỏa đáng. Lý do
của điều này là do trường mạnh đã làm thay đổi trạng thái lượng tử và
năng lượng của hạt tải.
Trong quá trình tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện kết quả, một vài lý
thuyết mới đã ra đời. Baker, khi nghiên cứu về phương trình Boltzmann
cho trường mạnh, đã dự đoán sự tồn tại của hai ảnh hưởng lượng tử như là
hệ quả của sự mở rộng do hiệu ứng hồi phục và hiệu ứng gia tốc của trường
khi va chạm. Đã có nhiều phương pháp khác nhau được đề xuất như: gần
đúng tích phân đường của Feymann, gần đúng cân bằng lực, gần đúng hàm
Green, gần đúng phương trình Langevin lượng tử tổng quát, phương pháp
mô phỏng Monte - Carlo, phương pháp chiếu toán tử, Trong số những
phương pháp này, phương pháp dựa trên lý thuyết phản ứng tuyến tính
của Kubo, phương pháp sử dụng phương pháp chiếu toán tử đã thu được
những kết quả đáng chú ý. Sử dụng các kỹ thuật chiếu toán tử, các nhóm
nghiên cứu đã giải quyết thành công khá nhiều các bài toán. Tuy vậy, các
khảo sát này đa phần dừng lại ở vật liệu khối và phương pháp sử dụng chủ
yếu là kỹ thuật chiếu phụ thuộc trạng thái và kỹ thuật chiếu cô lập.
Năm 2000, nhóm nghiên cứu của Kang N. L., Lee Y. J. và Choi S. D.
5
đã giới thiệu một kỹ thuật chiếu mới, gọi là kỹ thuật chiếu độc lập trạng
thái. Bằng việc sử dụng kỹ thuật này, nhóm của Kang N. L. đã biểu diễn
được tenxơ độ dẫn của một hệ điện tử tương tác với phonon trong gần
đúng phản ứng tuyến tính và độ rộng phổ cộng hưởng cyclotron trong bán
dẫn khối Ge [21]. Chúng tôi hy vọng sẽ khai thác được tường minh các kết
quả và áp dụng kỹ thuật này vào khảo sát hệ điện tử trong mô hình bán
dẫn dây lượng tử với thế giam giữ dạng bán parabol.
Hiện tượng cộng hưởng electron-phonon (EPR-electrophonon reso-

nance) liên quan đến tính kỳ dị của mật độ trạng thái trong hệ một chiều.
Khi hiệu số hai mức năng lượng của electron bằng năng lượng phonon cùng
với điều kiện thế đặt vào đủ lớn thì sẽ xảy ra sự cộng hưởng EPR [33][36].
Nếu quá trình hấp thụ LO-phonon có sự hấp thụ hoặc phát xạ photon thì
ta sẽ có hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon dò tìm quang học (Optically
detected electron-phonon resonance-ODEPR)[36]. Hiện tượng EPR được
bắt đầu nghiên cứu kể từ năm 1972 bởi Bryskin và Firsov cho trường hợp
bán dẫn không suy biến đặt trong điện trường mạnh. Cho đến nay đã có
một số công trình nghiên cứu vấn đề này, chẳng hạn nhóm của Sang Chil
Lee và đồng nghiệp [33]; nhóm Se Gi Yu [44].
Việc nghiên cứu hiệu ứng EPR/ODEPR trong các thiết bị lượng tử
hiện đại đóng vai trò rất quan trọng trong việc hiểu biết tính chất chuyển tải
lượng tử của hạt tải điện trong bán dẫn. Hiện tượng EPR/ODEPR tương
đương với hiện tượng cộng hưởng từ (MPR/ODMPR - magnetophonon res-
onance/optically detected magnetophonon resonance) được quan sát trực
tiếp qua việc nghiên cứu độ rộng vạch phổ và khối lượng hiệu dụng trong
cộng hưởng electron - cyclotron trong bán dẫn khối GaAs [20] và trong
bán dẫn hai chiều GaAs/AlxGa1-xAs. Hiện tượng này cho phép đo được
6
cường độ tán xạ đối với các mức Landau cụ thể, từ đó cung cấp thông tin
về bản chất của tương tác electron-phonon trong bán dẫn. Vì vậy, nghiên
cứu hiệu ứng EPR/ODEPR cũng sẽ cho ta thu được các thông tin của hạt
tải và phonon.
Việc nghiên cứu hiệu ứng EPR/ODEPR trong bán dẫn dây lượng tử
đang là vấn đề thời sự nóng hổi hiện nay, vì nó sẽ góp phần làm sáng tỏ các
tính chất mới của khí electron chuẩn 1 chiều dưới tác dụng trường ngoài,
từ đó cung cấp thông tin về tinh thể và tính chất quang của dây lượng
tử bán dẫn cho công nghệ chế tạo các linh kiện quang điện tử và quang
tử. Chính vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Dò tìm
cộng hưởng electron-phonon bằng quang học trong dây lượng tử

với thế giam giữ dạng bán parabol" làm đề tài cho luận văn này.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là khảo sát hiện tượng cộng hưởng electron-
phonon (EPR) và cộng hưởng dò tìm quang học electron-phonon (ODEPR)
trong dây lượng tử với thế giam giữ dạng bán parabol khi chịu tác dụng
của trường ngoài.
3. Nội dung nghiên cứu
- Thành lập biểu giải tích của tenxơ độ dẫn tuyến tính trong bán
dẫn khi có mặt trường ngoài và giải thích ý nghĩa vật lý của hiện tượng
dịch chuyển electron giữa các mức năng lượng.
- Áp dụng cho mô hình bán dẫn dây lượng tử với thế giam giữ dạng
bán parabol để đưa ra biểu thức tường minh của công suất hấp thụ.
7
- Khảo sát số và vẽ đồ thị sự phụ thuộc công suất hấp thụ vào: tần
số trường ngoài, nhiệt độ và biện luận các điều kiện cộng hưởng electron-
phonon và cộng hưởng dò tìm quang học electron-phonon.
4. Lịch sử nghiên cứu của đề tài
Ở nước ta, từ trước năm 2000 việc nghiên cứu các bán dẫn có cấu
trúc nano chủ yếu là về phương diện lý thuyết của một số nhóm tác giả
tại Viện Vật lý và Khoa Vật lý, Trường ĐHKH Tự nhiên thuộc ĐHQG Hà
Nội. Các nghiên cứu thực nghiệm chủ yếu bắt đầu từ 2001 tại một số trung
tâm lớn như Viện Khoa học vật liệu, Viện Vật lý kỹ thuật thuộc ĐH Bách
khoa Hà Nội. Các nghiên cứu lý thuyết về các bán dẫn thấp chiều trong đó
có dây lượng tử bán dẫn ở nước ta ra đời sau 1995, với các nhóm nghiên
cứu của các tác giả như GS Trần Thoại Duy Bảo (TP. HCM), GS Đoàn
Nhật Quang, PGS Nguyễn Như Đạt, GS Nguyễn Văn Liễn (Viện Vật lý),
GS Nguyễn Quang Báu (ĐHKHTN ĐHQG Hà Nội). Các nhóm nghiên cứu
khác nhau quan tâm, đi sâu nghiên cứu các vấn đề khác nhau. Trong đó
có thể kể ra một số nghiên cứu trong trong nước gần đây như:
+ Năm 2008 có:

- ThS Trương Hồng Nhung với đề tài "Áp dụng kĩ thuật chiếu cô lập
để nghiên cứu cộng hưởng cyclotron trong bán dẫn hố lượng tử với thế
parabol và bán parabol". Trong đó, đề tài sử dụng kỹ thuật chiếu cô lập
tính công suất hấp thụ cộng hưởng cyclotron trong bán dẫn hố lượng tử
thế parabol và bán parabol. Cuối cùng là tích số và so sánh với các nghiên
cứu lý thuyết khác và với kết quả thực nghiệm [12].
- ThS Trần Thị Phú với đề tài "Nghiên cứu lý thuyết để phát hiện cộng
hưởng electron-phonon trong hố lượng tử sâu vô hạn bằng quang học". Sử
8
dụng toán tử chiếu để tìm biểu thức hàm độ rộng phổ, từ đó tìm điều kiện
xảy ra và khảo sát các đặc điểm của cộng hưởng electron - phonon (EPR)
cho bán dẫn hố lượng tử sâu vô hạn. Tính số cho bán dẫn thực, khảo sát
đặc tính hiệu ứng ODEPR theo nhiệt độ, độ rộng hố lượng tử và theo tần
số của điện trường ngoài [13].
+ Năm 2009 có:
- ThS Lê Văn Hưng với đề tài "Nghiên cứu lý thuyết về cộng hưởng
electron-phonon trong dây lượng tử hình trụ với thế vô hạn". Trong luận
văn này sử dụng phưng pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái để tìm biểu
thức tenxơ độ dẫn và công suất hấp thụ trong dây lượng tử hình trụ thế
vô hạn do tương tác electron-phonon, xác định điều kiện có cộng hưởng
electron-phonon và các phương pháp để phát hiện hiệu ứng này [10].
- ThS Nguyễn Ngọc Hoàn với đề tài "Nghiên cứu lý thuyết cộng hưởng
electron-phonon trong dây lượng tử hình trụ thế parabol". Luận văn đã sử
dụng phương pháp toán tử chiếu cô lập tìm biểu thức tenxơ độ dẫn và công
suất hấp thụ từ đó tìm điều kiện xảy ra hiện tượng cộng hưởng electron-
phonon khảo sát độ rộng phổ và đường cộng hưởng electron-phonon trong
dây lượng tử hình trụ thế parabol theo nhiệt độ, kích thước dây và tần số
của điện trường ngoài [8].
- ThS Nguyễn Đình Hiên với đề tài "Nghiên cứu lý thuyết về cộng
hưởng electron-phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật" đã sử dụng

phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại II để nghiên cứu
cộng hưởng electron-phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật và dò tìm
quang học hiện tượng này [7].
Tuy nhiên, chưa có nhóm nghiên cứu nào đề cập đến vấn đề dò tìm
quang học cộng hưởng electron-phonon trong dây lượng tử thế giam giữ
9
dạng bán parabol mà đề tài dự tiến hành.
Ở nước ngoài, trong những năm gần đây, hiệu ứng cộng hưởng electron-
phonon và dò tìm quang học cộng hưởng electron-phonon trong hệ bán dẫn
thấp chiều đang được quan tâm nghiên cứu do tính thiết thực của vấn đề.
Từ những kết quả của nghiên cứu, ta có thể thu được những thông tin
hữu ích liên quan đến tính chất dịch chuyển của bán dẫn như: cơ chế tán
xạ của các hạt tải, khối lượng hiệu dụng, tương tác electron-phonon và sự
khác nhau về năng lượng của các electron giữa các mức kề nhau trong nội
vùng. Ta có thể kể ra một số nhóm tác giả nghiên cứu vấn đề kể trên:
+ Sang Chil Lee, Dò tìm quang học hiệu ứng cộng hưởng electron-
phonon trong dây lượng tử [37].
+ Sang Chil Lee, Jeong Woo Kang, Hyung Soo Ahn, Min Yang, Nam
Lyong Kang, Suck Whan Ki (2005): Dò tìm quang học hiệu ứng cộng hưởng
electron-phonon trong giếng lượng tử [36].
+ Se Gi Yu, Pevzner V. B. và Kim K. W. (1998): Nghiên cứu cộng
hưởng electron-phonon trong dây lượng tử hình trụ, tập trung vào nghiên
cứu sự khác nhau về quy tắc lọc lựa để khảo sát khả năng phát hiện sự
giam giữ electron trong dây lượng tử [45].
+ W. Xu, F. M. Peeters and J. T. Devreese: Cộng hưởng electron-
phonon trong hệ điện tử chuẩn hai chiều [20].
+ Yu Se Gi, PevznerV. B., and Kim K. W., Stroscio M. A.: Cộng
hưởng electron-phonon trong dây lượng tử hình trụ [44].
10
5. Phạm vi nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp lý thuyết phản ứng tuyến tính và phương
pháp chiếu toán tử độc lập trạng thái.
- Sử dụng chương trình Mathematica để tính số và vẽ đồ thị.
6. Giới hạn luận văn
- Chỉ xét đến tương tác electron-phonon, bỏ qua các tương tác cùng
loại (electron-electron, phonon-phonon).
- Chỉ xét thành phần tuyến tính của độ dẫn.
- Khảo sát trường hợp phonon quang không phân cực.
7. Bố cục luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, và phụ lục, nội
dung của luận văn gồm có ba phần chính được thể hiện thành ba chương.
Chương một trình bày những vấn đề tổng quan. Chương tiếp theo tìm biểu
thức tenxơ độ dẫn tuyến tính và công suất hấp thụ. Chương cuối là kết
quả tính số, vẽ đồ thị và thảo luận.
11
Chương 1
TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH KHẢO SÁT VÀ
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Chương này trình bày tổng quan về bán dẫn dây lượng tử, Hamil-
tonian của hệ electron-phonon khi có mặt trường ngoài, thừa số
dạng của tương tác electron-phonon trong dây lượng tử thế bán
parabol, lý thuyết phản ứng tuyến tính và phương pháp chiếu toán
tử độc lập trạng thái.
1.1. Tổng quan về dây lượng tử thế bán parabol
1.1.1. Tổng quan về dây lượng tử
Dây lượng tử là một cấu trúc vật liệu trong đó chuyển động của điện
tử bị giới hạn theo hai chiều kích cỡ nanô mét ( thường chọn là hướng x
và y) , chỉ chuyển động tự do theo một chiều còn lại (hướng z), vì thế hệ
điện tử còn được gọi là khí điện tử một chiều.
Vì dây lượng tử là cấu trúc một chiều nên các hiệu ứng lượng tử thể

hiện rõ hơn trong cấu trúc lượng tử hai chiều. Các khảo sát lý thuyết chủ
yếu dựa trên hàm sóng, phổ năng lượng thu được nhờ giải phương trình
Sch¨odinger với các mô hình thế giam giữ khác nhau. Các mô hình được
sử dụng là dây lượng tử thế cao vô hạn, thế parabol, thế bán parab ol, thế
tam giác Trong giới hạn của đề tài này, ta sẽ xét đến mô hình dây bán
dẫn lượng tử thế bán parabol.
12
1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng điện tử của điện tử trong
dây lượng với giam giữ dạng bán parabol
Theo cơ học lượng tử, chuyển động của điện tử trong các cấu trúc
bán dẫn thấp chiều nói chung và cấu trúc dây lượng tử nói riêng đều bị
lượng tử hóa.
Một cách tổng quát, năng lượng và hàm sóng của electron trong dây
lượng tử thu được bằng cách giải phương trình Sch¨odinger cho electron
∆ψ(r)+
2m
e

2
[E − U(r)]ψ(r)=0, (1.1)
trong đó, U(r) là thế năng tương tác Coulomb giữa electron và trường
mạng tinh thể, m
e
là khối lượng hiệu dụng của điện tử. Trong luận văn
này chúng ta giả sử electron chuyển động tự do theo phương z và bị giam
giữ trong mặt phẳng (x,y). Từ đó, thế năng U được phân thành hai thành
phần
U(r)=U(x,y,z)=U(x, y)+U(z),
trong đó U(z)=0do electron tự do theo trục z. Vì chuyển động của
electron theo trục z độc lập với chuyển động trong mặt phẳng (x, y) nên

phương trình (1.1) có thể tách thành hai phương trình:
∆
z
ψ(z)+
2m
e

2
ε
z
ψ(z)=0 (1.2)
∆
x,y
ψ(x, y)+
2m
e

2
(ε
x,y
− U(x, y))ψ(x, y)=0, (1.3)
trong đó ψ(z) và ε
z
lần lượt là hàm sóng và năng lượng của electron theo
phương z; ψ(x, y),ε
x,y
lần lượt là hàm sóng và năng lượng của electron
trong mặt phẳng (x, y).
Theo cơ học lượng tử, phương trình (1.2) có nghiệm:
13

ε
z
=

2
k
2
z
2m
e
; ψ(z)=
1
√
L
z
e
ik
z
z
,
với k
z
, L
z
lần lượt là thành phần vectơ sóng

k và độ dài của dây theo
phương z. Phương trình (1.3) cho nghiệm là ε
x,y
và ψ(x, y) với dạng cụ thể

phụ thuộc vào dạng của thế năng U(x, y).
Trong trường hợp bài toán của chúng ta, điện tử chỉ chuyển động theo
một phương (ta chọn là phương z) và bị giới hạn theo hai phương còn lại
(ta chọn là phương x,y) bởi thế năng giam giữ bán parabol có dạng:
U(x)=





∞ khi x<0
1
2
mω
2
x
x
2
khi x>0,
(1.4)
U(y)=





∞ khi y<0
1
2
mω

2
y
y
2
khi y>0
(1.5)
Phổ năng lượng của hệ điện tử chuyển động trong cấu trúc này có
dạng tổng quát là:
E = E
k
z
,n
x
,n
y
=

2
k
2
z
2m
e
+ E
n
x
,n
y
(1.6)
và hàm sóng có dạng:

ψ(x,y,z)=

1
L
z
e
ik
z
z
ψ(x, y), (1.7)
Vì hai phương x và y là độc lập nhau nên năng lượng và hàm sóng của
điện tử bị giam giữ trong mặt phẳng (x,y) có thể viết dưới dạng:
E
n
x
,n
y
= ε
n
x
+ ε
n
y
, (1.8)
ψ(x, y)=ψ
n
x
(x)ψ
n
y

(y). (1.9)
Bằng cách giải hai phương trình Sch¨odinger cho điện tử:
ψ

n
x
(x)+
2m
e

2

ε
n
x
−
1
2
mω
2
x

ψ
n
x
(x)=0, (1.10)
14
ψ

n

y
(y)+
2m
e

2

ε
n
y
−
1
2
mω
2
y

ψ
n
y
(y)=0 (1.11)
(xem phụ lục 1) ta tìm được biểu thức của ψ
n
x
(x),ψ
n
y
(y),ε
n
x

và ε
n
y
như
sau:
E
n
x
,n
y
= ε
n
x
+ ε
n
y
= ω
x
(2n
x
+
3
2
)+ω
y
(2n
y
+
3
2

) (1.12)
ψ(x, y)=ψ
n
x
(x)ψ
n
y
(y)
= C
n
x
C
n
y
.e
[(A
x
x)
2
+A
y
y)
2
]
2
H
2n
x
+1
(A

x
x)H
2n
y
+1
(A
y
y) (1.13)
=

m
e

(ω
x
.ω
y
)
1
2
π.2
2(n
x
+n
y
)
(2n
x
+ 1)!(2n
y

+ 1)!

1
2
e
−
m
2
(ω
x
x
2
+ω
y
y
2
)
× H
2n
x
+1


mω
x


1
2
x


.H
2n
y
+1


mω
y


1
2
y

(1.14)
Vậy phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử chuyển động trong dây lượng
tử với thế giam giữ dạng bán parabol có dạng:
E
k
z
,n
x
,n
y
=

2
k
2

z
2m
+ ε
n
x
+ ε
n
y
=

2
k
2
z
2m
e
+ ω
x
(2n
x
+
3
2
)+ω
y
(2n
y
+
3
2

) (1.15)
ψ(x,y,z)=ψ
0
e
ik
z
z
ψ(x, y)=ψ
n
x
(x)ψ
n
y
(y)ψ
0
e
ik
z
z
=
1
√
L
z
C
n
x
C
n
y

e
−

(A
x
x)
2
+(A
y
y)
2
2

H
2n
x
+1
(A
x
x)H
2n
y
+1
(A
y
y)e
ik
z
z
=

1
√
L
z

m
e

(ω
x
ω
y
)
1
2
π.2
2(n
x
+n
y
)
(2n
x
+ 1)!(2n
y
+ 1)!

1
2
e

−
m
e
2
(ω
x
x
2
+ω
y
y
2
)
× H
2n
x
+1


m
e
ω
x


1
2
x

.H

2n
y
+1


m
e
ω
y


1
2
y

e
ik
z
z
, (1.16)
trong đó ta đã đặt
A
x
=(
m
e
ω
x

)

1
2
,A
y
=(
m
e
ω
y

)
1
2
.
15
1.1.3. Biểu thức của thừa số dạng đối với tương tác electron-
phonon trong dây lượng tử với thế giam giữ dạng bán
parabol
Khi nghiên cứu các tính chất động, tốc độ tán xạ electron-phonon,
của các cấu trúc bán dẫn thấp chiều, thừa số dạng G là đại lượng rất quan
trọng. Trong các công trình nghiên cứu trước đây, để đơn giản cho tính
toán, người ta cho thừa số dạng là một hằng số không thay đổi. Tuy nhiên,
các nghiên cứu gần đây cho thấy rằng thừa số dạng là một đại lượng phức
tạp. Đối với mỗi loại vật liệu, hình dạng vật liệu hoặc đối với các phonon
khác nhau sẽ có thừa số dạng khác nhau. Cho nên, đối với các bài toán
tán xạ, ta cần phải thiết lập được biểu thức tổng quát rồi sau đó áp dụng
để tính đối với từng trường hợp cụ thể.
Để xác định biểu thức của thừa số dạng, ta đưa ra tích phân bao phủ
G được cho bởi công thức sau:
G = β | e

iqr
| α,
trong đó, | β = ψ
β
(x,y,z) và | α = ψ
α
(x,y,z) là các hàm sóng có dạng
như ở (1.16) . Thay biểu thức của hàm sóng ở (1.16) vào G ta thu được kết
quả
G =

∞
0
dxdydz
1
L
z
e
−ik
zβ
z
C
n
xβ
C
n
yβ
e
−


(A
x
x)
2
+(A
y
y)
2
2

× H
2n
xβ
+1
(A
x
x)H
2n
yβ
+1
(A
y
y)
× e
i(q
x
x+q
y
y+q
z

z)
e
ik
zα
z
C
n
xα
C
n
yα
e
−

(A
x
x)
2
+(A
y
y)
2
2

H
2n
xα
+1
(A
x

x)H
2n
yα
+1
(A
y
y)
=

∞
0
1
L
z
e
i(k
z
+q
z
−k
zβ
)z
dz
× C
n
xβ
C
n
xα


∞
0
exp

iq
x
x − (A
x
x)
2

H
2n
xβ
+1
(A
x
x)H
2n
xα
+1
(A
x
x)dx
× C
n
yβ
C
n
yα


∞
0
exp

iq
y
y − (A
y
y)
2

H
2n
yβ
+1
(A
y
y)H
2n
yα
+1
(A
y
y)dy
16
= G
1
× G
2

× G
3
(1.17)
Sử dụng phụ lục 2 ta thu được biểu thức của G
1
,G
2
và G
3
như sau:
G
1
=
1
L
z
δ
k
zα
+q
z
,k
zβ
G
2
= C
n
xβ
C
n

xα

∞
0
exp[iq
x
x − (A
x
x)
2
]H
2n
xβ
+1
(A
x
x)H
2n
xα
+1
(A
x
x)dx
=
√
π
A
x
C
n

xβ
C
n
xα
2
2n
xβ
+2
(2n
xα
+ 1)!exp(−
q
2
x
4A
2
x
)(−
q
2
x
4A
2
x
)
n
xβ
−n
xα
× L

2(n
xβ
−n
xα
)
2n
xβ
+1
(
q
2
x
2A
2
x
)
G
3
= C
n
yβ
C
n
yα

∞
0
exp[iq
y
y − (A

y
y)
2
]H
2n
yβ
+1
(A
y
y)H
2n
yα
+1
(A
y
y)dy
=
√
π
A
y
C
n
yβ
C
n
yα
2
2n
yβ

+2
(2n
yα
+ 1)!exp(−
q
2
y
4A
2
y
)(−
q
2
y
4A
2
y
)
n
yβ
−n
yα
× L
2(n
yβ
−n
yα)
2n
yβ
+1

(
q
2
y
2A
2
y
)
trong đó L
m
n
(u) là đa thức Laguerre và n
xα
≤ n
xβ
, n
yα
≤ n
yβ
.
Thừa số dạng I được xác định bởi biểu thức
|G|
2
= δ
k
zα
+q
z
,k
zβ

× I
= δ
k
zα
+q
z
,k
zβ

1
L
z
π
A
2
x
C
n
xβ
C
n
xα
C
n
yβ
C
n
yα
2
2n

xβ
+2
2
2n
yβ
+2
(2n
xα
+ 1)!(2n
yα
+ 1)!
× (−
q
2
x
4A
2
x
)
n
xβ
−n
xα
(−
q
2
y
4A
2
y

)
n
yβ
−n
yα
exp(−
q
2
x
4A
2
x
)exp(−
q
2
y
4A
2
y
)
× L
2(n
xβ
−n
xα
)
2n
xβ
+1
(

q
2
x
2A
2
x
)L
2(n
yβ
−n
yα
)
2n
yβ
+1
(
q
2
y
2A
2
y
)

2
, (1.18)
trong đó
I =

1

L
z
π
A
2
x
C
n
xβ
C
n
xα
C
n
yβ
C
n
yα
2
2n
xβ
+2
2
2n
yβ
+2
(2n
xα
+ 1)!(2n
yα

+ 1)!
× (−
q
2
x
4A
2
x
)
n
xβ
−n
xα
(−
q
2
y
4A
2
)
n
yβ
−n
yα
exp(−
q
2
x
4A
2

x
)exp(−
q
2
y
4A
2
y
)
17
× L
2(n
xβ
−n
xα
)
2n
xβ
+1
(
q
2
x
2A
2
x
)L
2(n
yβ
−n

yα
)
2n
yβ
+1
(
q
2
y
2A
2
y
)

2
. (1.19)
1.1.4. Hamiltonian của hệ electron - phonon trong dây lượng
tử với thế giam giữ bán parabol khi có mặt điện trường
ngoài
Xét một hệ điện tử không tương tác với nhau mà chỉ tương tác với
phonon trong một dây lượng tử đặt trong điện trường ngoài biến thiên
theo thời gian có dạng

E(t)=
3

l=1
E
l
e

−iωt
e
l
,
với e
l
, E
l
và ω lần lượt là vectơ đơn vị, biên độ và tần số vòng của điện
trường theo phương l.
Hamiltonian toàn phần của hệ electron-phonon trong biểu diễn lượng
tử hóa lần thứ hai được xác định bởi biểu thức [24], [28]
H(t)=H
eq
+ H
int
(t), (1.20)
trong đó H
eq
và H
int
(t) tương ứng là phần cân bằng và không cân bằng
của Hamiltonian.
Gọi |α và |α

 là trạng thái của electron trước và sau khi tương tác với
phonon trong dây lượng tử. Nếu bỏ qua tương tác giữa các hạt cùng loại
thì Hamiltonian cân bằng của hệ bao gồm Hamiltonian của hệ electron,
phonon tự do có dạng chéo H
d

và Hamiltonian tương tác electron - phonon
không chéo H
e−ph
, chúng có dạng [30]
H
eq
= H
d
+ H
e−ph
= H
e
+ H
ph
+ H
e−ph
, (1.21)
18
H
e
=

α
a
+
α
a
α
E
α

,
H
ph
=

q
ω
q
b
+
q
b
q
,
H
e−ph
=

αα

,q
C
αα

(q)a
+
α
a
α


(b
q
+ b
+
−q
), (1.22)
Trong các biểu thức trên, H
e
và H
ph
là các Hamitonian của hệ electron
và hệ phonon tự do; trong đó a
+
α
(a
α
) là toán tử sinh (hủy) electron ở trạng
thái |α với năng lượng E
α
; b
+
q
(b
q
) là toán tử sinh (hủy) phonon có năng
lượng ω
q
và q là vectơ sóng của phonon; C
αα


(q) là yếu tố ma trận tương
tác electron-phonon và có dạng:
C
αα

(q)=α|C
q
e
iqr
|α

 = C
q
I
αα

(q), (1.23)
với C
q
là hằng số tương tác điện tử phụ thuộc vào loại phonon và I
αα

(q)
là thừa số dạng của electron trong dây lượng tử.
Hamiltonian tương tác phụ thuộc vào trường ngoài biến thiên theo
thời gian được cho bởi [40]
H
int
(t)=−
i

ω

E(t)

J. (1.24)
Sử dụng giả thiết đoạn nhiệt, nghĩa là tương tác được mắc vào tại thời
điểm t →−∞, biểu thức Hamiltonian tương tác có thêm thừa số e
−at
,với
a → +0. Lúc đó (1.24) trở thành
H
int
(t)=−
i
ω
E

e
−i¯ωt
J

, (1.25)
với ¯ω = ω − ia.
19
1.2. Tổng quan về phương pháp nghiên cứu
1.2.1. Lý thuyết phản ứng tuyến tính
Xét một đại lượng động lực A. Giá trị trung bình theo tập hợp thống
kê của A được xác định bởi
<A>=
∞


n=1
<A
n
>=
∞

n=1
T
R
Aρ
n
(t), (1.26)
trong đó T
R
A là vết của nhiều hạt của toán tử A và ρ
n
(t) là toán tử ma
trận mật độ. Giả sử rằng ban đầu, khi chưa có điện trường ngoài, hệ ở
trạng thái cân bằng nhiệt động có toán tử mật độ là ρ
eq
. Khi có mặt điện
trường ngoài phụ thuộc thời gian, toán tử mật độ được khai triển thành
hai thành phần
ρ(t)=ρ
eq
+ ρ
int
(t), (1.27)
trong đó ρ

int
(t) là toán tử mật độ của hệ khi có nhiễu loạn.
Phương trình Liouville cho toán tử mật độ có dạng:
i
∂ρ(t)
∂t
=[H(t),ρ(t)] ≡ L(t)ρ(t), (1.28)
với L(t) là toán tử Liouville toàn phần được định nghĩa bởi L(t)X ≡
[H(t),X],vớiX là toán tử tuyến tính bất kỳ. Toán tử Liouville cũng có
thể phân thành hai phần L(t)=L
eq
+ L
int
(t), tương ứng với các thành
phần H
eq
,H
int
(t) và L
eq
= L
d
+ L
v
tương ứng với H
d
,V. Thay H(t)=
H
eq
+ H

int
(t), ρ(t) ở (1.27) vào (1.28) sau đó khai triển các số hạng với chú
ý rằng toán tử mật độ cân bằng không phụ thuộc thời gian ta thu được
biểu thức:
i
∂ρ
eq
∂t
+i
∂ρ
int
(t)
∂t
=[H
eq
,ρ
eq
]+[H
int
(t),ρ
eq
]+[H
eq
,ρ
int
(t)]+[H
int
(t),ρ
int
(t)].

(1.29)
20
Do toán tử mật độ cân bằng không phụ thuộc thời gian
i
∂ρ
eq
∂t
=0=[H
eq
,ρ
eq
]
nên phương trình (1.29) trở thành
i
∂ρ
int
(t)
∂t
=[H
int
(t),ρ
eq
]+[H
eq
,ρ
int
(t)]+[H
int
(t),ρ
int

(t)]. (1.30)
Trong biểu diễn Dirac, [29] toán tử mật độ dòng được định nghĩa
như sau:
ρ
D
int
(t)=e
i

H
eq
t
ρ
int
(t)e
−
i

H
eq
t
. (1.31)
Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế phương trình (1.31) và chú ý đến (1.29)
ta thu được kết quả (xem Phụ lục 3):
i
∂ρ
D
int
(t)
∂t

= e
iH
eq
t

[H
int
(t),ρ
eq
]e
−
iH
eq
t

+ e
iH
eq
t

[H
int
(t),ρ
int
(t)]e
−
iH
eq
t


.(1.32)
Áp dụng tính chất được chứng minh ở Phụ lục 4, một toán tử A không
phụ thuộc thời gian thỏa mãn A

(t)|
t=0
=0thì:
e
i

H
eq
t
Ae
−
i

H
eq
t
= e
i

L
eq
t
A,
ta được:
i
∂ρ

D
int
(t)
∂t
=e
i

L
eq
t
L
int
(t)ρ
eq
+ e
i

L
eq
t
L
int
(t)ρ
int
(t).
Tích phân hai vế của phương trình trên từ −∞ đến t với điều kiện ρ
D
int
(t)|
t→−∞

=
0:
ρ
D
int
(t)=
1
i

t
−∞
e
i

L
eq
t
1
L
int
(t
1
)ρ
eq
dt
1
+
1
i


t
−∞
e
i

L
eq
t
1
L
int
(t
1
)ρ
int
(t
1
)dt
1
.
Đổi biến số t
1
= t − u
1
và các cận lấy tích phân ta được:
ρ
int
(t)=
1
i


∞
0
e
−
i

L
eq
u
1
L
int
(t − u
1
)ρ
eq
du
1
+
1
i

∞
0
e
−
i

L

eq
u
1
L
int
(t − u
1
)ρ
int
(t − u
1
)du
1
.
21
Viết lại biểu thức trên đối với ρ
int
(t − u
1
):
ρ
int
(t − u
1
)=
1
i

∞
0

e
−
i

L
eq
u
2
L
int
(t − u
1
− u
2
)ρ
eq
du
2
+
1
i

∞
0
e
−
i

L
eq

u
2
L
int
(t − u
1
− u
2
)ρ
int
(t − u
1
− u
2
)du
2
.
Thay ρ
int
(t − u
1
) vào biểu thức của ρ
int
(t), ta được:
ρ
int
(t)=
1
i


∞
0
e
−
i

L
eq
u
1
L
int
(t − u
1
)ρ
eq
du
1
+
1
(i)
2

∞
0
du
1

∞
0

du
2
e
−
i

L
eq
u
1
L
int
(t − u
1
)e
−
i

L
eq
u
2
× L
int
(t − u
1
− u
2
)ρ
eq

+
1
(i)
2

∞
0
du
1

∞
0
du
2
e
−
i

L
eq
u
1
L
int
(t − u
1
)e
−
i


L
eq
u
2
× L
int
(t − u
1
− u
2
)ρ
int
(t − u
1
− u
2
).
Tiếp tục thay biểu thức ρ
int
(t − u
1
− u
2
) cho đến ρ
int
(t − u
1
− u
2
− u

n
)
ta được biểu thức khai triển của ma trận mật độ đến số hạng thứ n
ρ
int
(t)=
∞

n=1
1
(i)
n

∞
0
du
1

∞
0
du
2


∞
0
du
n
e
−

i

L
eq
u
1
L
int
(t − u
1
)
× e
−
i

L
eq
u
2
L
int
(t − u
1
− u
2
) ×
× e
−
i


L
eq
u
n
L
int
(t − u
1
− u
2
− u
n
)ρ
eq
=ρ
(1)
(t)+ρ
(2)
(t)+ + ρ
(n)
(t), (1.33)
trong đó, ρ
(n)
(t) chứa n lần toán tử L
int
(t).
Trung bình theo tập hợp thống kê của thành phần thứ k của toán tử
mật độ dòng điện

J có dạng:

J
k

ens
=
∞

n=1

J
(n)
k

=
∞

n=1
T
R
{J
k
ρ
(n)
(t)}, (1.34)
trong đó, k = x,y,z,   là ký hiệu trung bình thống kê và J
k
là toán tử
dòng của hệ electron được viết dưới dạng khai triển theo các toán tử dòng
22