Không gian Tô Pô sắp thứ tự bộ phận và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Nguyễn Thị Dung
KHÔNG GIAN TÔ PÔ
SẮP THỨ TỰ BỘ PHẬN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2013
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Nguyễn Thị Dung
KHÔNG GIAN TÔ PÔ
SẮP THỨ TỰ BỘ PHẬN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: TOÁN HỌC ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. HOÀNG VĂN HÙNG
Thái Nguyên - 2013
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Lời nói đầu
Các không gian tô pô sắp thứ tự bộ phận nói chung, không gian metric,
định chuẩn sắp thứ tự bộ phận nói riêng được bắt đầu nghiên cứu từ những
năm 30 của thế kỷ trước, sau khi các nhà toán học phát hiện ra rằng tất
cả các không gian Banach cổ điển như các không gian L
p
, l
p
(1 ≤ p ≤ +∞),
c

0
, C(Ω),. . . đều có một thứ tự bộ phận tự nhiên và các thứ tự này có liên
hệ chặt chẽ với tô pô của các không gian được xét. Từ đó nảy sinh một
hướng nghiên cứu là nghiên cứu các dàn Banach mà đi đầu là các nhà toán
học thuộc trường phái Leningrad ( Liên xô cũ) và các nhà toán học Pháp,
Mỹ, Nhật, Israel. Nghiên cứu các không gian tô pô có một thứ tự bộ phận
liên kết phát hiện ra nhiều tính chất hơn là xét các không gian này như
các không gian tô pô hoặc các không gian được sắp thứ tự bộ phận tách
biệt. Các nhà toán học hàng đầu thế giới như L.Kantorovich, S.Kakutani,
J.Lindenstrauss, M.Stone. . . đã ứng dụng thành công các kết quả nghiên
cứu trong lĩnh vực không gian tô pô sắp thứ tự bộ phận vào lý thuyết biểu
diễn các toán tử, biểu diễn các không gian cũng như các lĩnh vực ứng dụng
của toán học như điều khiển kinh tế và lý thuyết trò chơi. Các nghiên cứu
gần đây về lý thuyết điểm bất động trong các không gian metric sắp thứ
tự bộ phận cũng thu được nhiều kết quả và được ứng dụng vào lý thuyết
các phương trình vi phân và đạo hàm riêng. Bản luận văn “Không gian
tô pô sắp thứ tự bộ phận và ứng dụng” nằm trong hướng nghiên cứu
nói trên. Nội dung của bản luận văn gồm:
- Lời nói đầu.
- Chương 1. Không gian Tô pô và các tập được sắp thứ tự:
Nêu các định nghĩa cơ bản về không gian tô pô và các tập được sắp thứ
tự bộ phận. Chứng minh một số mệnh đề liên hệ các khái niệm trù mật tô
pô và trù mật thứ tự. Nêu khái niệm hàm tiện ích, nêu phác thảo chứng
minh hai định lý của Debreu về sự tồn tại các biểu diễn tiện ích liên tục
trong các không gian tô pô tựa được sắp đầy đủ, khả ly tô pô và liên thông
cũng như trong các không gian tô pô tựa được sắp đầy đủ thoả mãn tiên
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ii
đề thứ hai về tính đếm được, nếu các tô pô được xét là các tô pô tự nhiên
sinh bởi tựa thứ tự đầy đủ. Các chứng minh này suy ra từ một định lý của

Peleg (1970). Tư liệu của chương này chủ yếu được lấy từ công trình [1]
của Ghanshyam Mehta.
- Chương 2. Không gian Metric và sắp thứ tự bộ phận; Các
định lý điểm bất động dạng Caristi và Geraghty trong không gian
Metric sắp thứ tự bộ phận và ứng dụng: Xét các định lý điểm bất
động trong các không gian metric sắp thứ tự bộ phận, bao gồm định lý
Caristi và các mở rộng, định lý Geraghty và các mở rộng. Các kết quả của
chương 2 được ứng dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một bài
toán biên trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Tác giả đã trình
bày lại phát biểu cũng như chứng minh của các định lý trên theo sự lĩnh
hội của bản thân, đồng thời cũng đưa ra một chứng minh khác của kết
quả chính trong bài báo [5] của các tác giả M.E. Gordji, M.Ramezani, Y.J.
Cho, S. Pirbavata.
- Kết luận.
- Tài liệu tham khảo.
Tác giả chân thành cám ơn thầy hướng dẫn TS. Hoàng Văn Hùng, Viện
Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Hàng hải Việt Nam vì đã tận tình hướng
dẫn tác giả trong suốt quá trình chuẩn bị luận văn. Tác giả cũng xin chân
thành cám ơn các thày cô thuộc Khoa Toán – Tin Đại học Khoa học, Đại
học Thái Nguyên vì đã quan tâm và tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành
chương trình học tập cao học của trường.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Dung
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iii
Mục lục
1 Không gian Tô pô và các tập được sắp thứ tự 1
1.1 Không gian Tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Cơ sở của một tô pô. Các tiên đề về tính đếm được . . . . 3

1.3 Các tiên đề về tính tách được . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Các ánh xạ liên tục. Đồng phôi . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Tính Compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Tựa thứ tự và thứ tự trong một tập. Hàm tiện ích . . . . . 10
1.7 Không gian tô pô tựa được sắp đầy đủ . . . . . . . . . . . 11
1.8 Tính trù mật thứ tự và tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9 Các hàm tiện ích. Các định lý Debreu và Peleg . . . . . . . 18
2 Không gian Metric sắp thứ tự bộ phận. Các định lý điểm
bất động dạng Caristi và Geraghty trong không gian Metric
sắp thứ tự bộ phận và ứng dụng 21
2.1 Các định lý về điểm tối tiểu trong không gian metric sắp
thứ tự bộ phận. Các định lý điểm bất động dạng Caristi . 22
2.2 Định lý điểm bất động Geraghty và các mở rộng . . . . . . 29
2.3 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Tài liệu tham khảo 40
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Chương 1
Không gian Tô pô và các tập được
sắp thứ tự
Chương này liệt kê các khái niệm và sự kiện cơ bản về không gian tô
pô, các tập được sắp thứ tự cũng như không gian tô pô được sắp thứ tự bộ
phận. Tác giả chỉ đưa ra chứng minh của các sự kiện quan trọng nhất trong
lý thuyết các không gian tô pô và các tập được sắp thứ tự. Các sự kiện
khác chỉ được nêu ra nhằm đảm bảo tính hệ thống của lý thuyết không
kèm theo chứng minh.
1.1 Không gian Tô pô
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập nào đó. Một tô pô trên X là
một lớp τ các tập con của X có các tính chất sau:
1) X thuộc τ và ∅ thuộc τ

2) Hợp của một họ tuỳ ý các tập thuộc τ là thuộc τ và giao của một
họ hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ .
Một tập X cùng với một tô pô τ trên X (tức là một cặp (X, τ) ) gọi là
một không gian tô pô. Mỗi tập thuộc τ gọi là một tập mở (khi cần chính
xác ta sẽ gọi một tập thuộc τ là τ -mở).
Nếu τ và σ là hai tô pô trên cùng một tập nền X và σ ⊂ τ thì ta nói
τ mịn hơn σ hay σ thô hơn τ.
Ví dụ:
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
• Lớp tất cả các tập con của một tập X cho trước rõ ràng thoả mãn hai
tính chất 1) và 2) của định nghĩa 1.1.1, do đó lớp này là một tô pô
trên X. Tô pô này mịn hơn mọi tô pô trên X. Nó gọi là tô pô rời rạc.
Mọi tập con của X đều là mở trong tô pô rời rạc của X.
• Nếu X đã cho thì họ gồm hai phần tử τ = {∅, X} là một tô pô trên
X. Tô pô này thô hơn mọi tô pô trên X và gọi là tô pô tầm thường.
• Tập các tập mở trong một không gian metric tuỳ ý là một tô pô trên
X. Do đó các không gian metric là các trường hợp riêng của không
gian tô pô. Khi đề cập đến tô pô của một không gian metric (X, d)
ta luôn xem tô pô đó là tô pô gồm tất cả các tập mở của X sinh bởi
metric d.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử (X, τ) là một không gian tô pô và F là một
tập con của X. Khi đó tập F gọi là đóng trong X nếu X\F là tập mở.
Vậy tập đóng là các tập con của X mà phần bù của nó là mở.
Các tập đóng có tính chất:
1’) X và ∅ là đóng.
2’) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng. Hợp hữu hạn của các
tập đóng là đóng.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử (X, τ) là một không gian tô pô và x là một
phần tử của X (ta sẽ gọi các phần tử của X là các điểm của nó). Một tập

mở của X chứa x gọi là một lân cận của x. Một điểm z của X gọi là một
điểm dính của tập con A ⊂ X nếu mọi lân cận của z chứa ít nhất một
điểm của A. Điểm y của X gọi là một điểm giới hạn của A nếu trong mọi
lân cận của y tìm được ít nhất một điểm x của A sao cho x khác y. Tập
tất cả các điểm dính của tập con A của X gọi là bao đóng của A, ký hiệu
A.
Ta có:
i) A đóng ↔ A = A.
ii) A là tập đóng bé nhất của X chứa A.
iii) B mở ↔ B là lân cận của mọi x ∈ B ↔ ∀x ∈ B, ∃ tập mở V
x
⊂ B
sao cho x ∈ V
x
.
Định nghĩa 1.1.4. Tập con A của không gian tô pô (X, τ ) được gọi
là trù mật trong tập con B của X nếu A ⊃ B. Nếu X có một tập con A
không quá đếm được trù mật trong X thì không gian tô pô (X, τ) gọi là
khả ly.
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Ví dụ: Không gian metric R với metric sinh bởi trị tuyệt đối là không
gian khả ly. Khi đề cập đến không gian R như một không gian tô pô với
tô pô sinh bởi metric trị tuyệt đối ta sẽ nói là không gian R được trang bị
tô pô thông thường.
1.2 Cơ sở của một tô pô. Các tiên đề về tính
đếm được
Định nghĩa 1.2.1. Cho (X, τ) là một không gian tô pô. Tập con B
của τ được gọi là một cơ sở của tô pô τ nếu mọi tập mở trong tô pô τ biểu
diễn được dưới dạng hợp (hữu hạn hoặc vô hạn) của các tập thuộc B.

Ví dụ: Tập các hình cầu mở (với tâm tại một điểm tuỳ ý và bán kính
tuỳ ý) trong một không gian metric X là một cơ sở của tô pô gồm tất cả
các tập mở trong X.
Một cơ sở B của tô pô τ trên tập X có các tính chất sau:
1) ∀x ∈ X, ∃G ∈ B : x ∈ G.
2) Nếu x được chứa trong giao của hai tập G
1
, G
2
thuộc B thì tồn tại
tập G thuộc B sao cho x ∈ G ⊂ G
1
∩ G
2
.
Ngược lại mọi họ B các tập con của một tập X có hai tính chất nêu
trên đều là một cơ sở của tô pô τ gồm tất cả các tập con của X biểu diễn
được dưới dạng hợp của một họ con nào đó của B. Tô pô này gọi là tô pô
sinh bởi B. Nếu A là họ các tập con của X có tính chất hợp của các tập
thuộc A bằng X thì tập B các tập con của X nhận được từ các tập của A
bởi một số hữu hạn các phép giao thoả mãn cả hai tính chất 1), 2). Do đó
A được gọi là một tiền cơ sở của tô pô sinh bởi B .
Định nghĩa 1.2.2. Không gian tô pô (X, τ) gọi là thoả mãn tiên đề
thứ hai về tính đếm được nếu tô pô τ có một cơ sở B không quá đếm được.
Nhận xét: Mọi không gian tô pô thoả mãn tiên đề thứ hai về tính
đếm được đều khả ly.
Đối với không gian metric ta có:
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Mệnh đề 1.2.1. Nếu không gian metric (X, d)khả ly thì không gian

tô pô X với tô pô là các tập mở trong X thoả mãn tiên đề thứ hai về tính
đếm được.
Chứng minh. Giả sử A = {x
1
, x
2
, , x
n
, } là một tập không quá đếm
được trù mật trong X. Gọi B là tập tất cả các hình cầu mở B(x
n
; 1/m)
có tâm tại các điểm x
n
của A và bán kính 1/m ( m là số nguyên dương,
m và n biến thiên độc lập). Rõ ràng B là tập đếm được. Giả sử G là một
tập mở của X và x là một điểm tuỳ ý của G . Gọi r = 1/m ( m là số
nguyên dương) là số sao cho hình cầu mở B(x; 2r)nằm trong G . Vì A
trù mật trong X nên tồn tại một điểm x
j
nào đó của A thuộc hình cầu
mở B(x; r) ⊂ B(x; 2r) ⊂ G . Rõ ràng khi đó x ∈ B(x
j
; r) . Hình cầu mở
B(x
j
; r) nằm trong G, bởi vì từ bất đẳng thức tam giác đối với metric trên
X ta suy ra B(x
j
; r) ⊂ B(x; 2r) . Như vậy, với mọi x thuộc G tồn tại một

hình cầu mở B(x
j
; r) thuộc họ B sao cho x ∈ B(x
j
; r) ⊂ G. Theo tiên đề
chọn, tồn tại một ánh xạ đơn trị f : G → B sao cho x ∈ f(x) ⊂ G với mọi
x ∈ G . Từ đó ta có: G ⊂

x∈G
f(x) ⊂ G.
Vậy G =

x∈G
f(x). Vì mỗi f(x) là một phần tử của B nên ta suy ra B
là một cơ sở của tô pô gồm tất cả các tập mở của X.
Định nghĩa 1.2.3. Cho không gian tô pô (X, τ). Một họ U các lân
cận của điểm x ∈ X được gọi là một cơ sở lân cận của x nếu với mọi lân
cận G của x đều tìm được một phần tử U của họ U sao cho U ⊂ G.
Không gian tô pô (X, τ ) gọi là thoả mãn tiên đề thứ nhất về tính đếm
được nếu mọi điểm x ∈ X đều có một cơ sở lân cận đếm được.
Mệnh đề 1.2.2. Mọi không gian metric đều thoả mãn tiên đề thứ nhất
về tính đếm được.
Chứng minh. Nếu x là một điểm của không gian metric X thì họ lân cận
của x gồm các hình cầu mở B(x; 1/n) (n là số nguyên dương) lập thành
một cơ sở lân cận đếm được của x.
Định nghĩa 1.2.4. Cho không gian tô pô (X, τ). Họ các tập con
(U
α
)
α∈I

của X gọi là một phủ của X nếu

α∈I
U
α
= X. Nếu mọi U
α
đều mở
thì phủ (U
α
)
α∈I
gọi là một phủ mở của X.
Mệnh đề 1.2.3. Nếu (X, τ) là không gian tô pô thoả mãn tiên đề thứ
hai về tính đếm được thì từ mọi phủ mở của X đều có thể trích ra một
phủ con không quá đếm được.
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Chứng minh. Giả sử B = (G
n
) là một cơ sở đếm được của tô pô τ gồm các
tập mở (G
n
) và (U
α
)
α∈I
là một phủ của X. Với mỗi x ∈ X tồn tại một tập
mở U
α

của phủ (U
α
)
α∈I
sao cho x ∈ U
α
. Vì B là một cơ sở của tô pô τ thì
tồn tại tập mở G
n(x)
sao cho x ∈ G
n(x)
⊂ U
α
(*). Rõ ràng họ

G
n(x)

là họ
con của B nên họ này không quá đếm được. Với mỗi tập G
n(x)
có thể có
nhiều tập U
α
thoả mãn (*) nhưng theo tiên đề chọn, tồn tại ánh xạ đơn
trị f từ họ

G
n(x)


vào phủ (U
α
)
α∈I
thoả mãn x ∈ G
n(x)
⊂ U
α
= f(G
n(x)
)
với mọi x thuộc X. Rõ ràng họ

f(G
n(x)
)

là một phủ con không quá đếm
được của phủ (U
α
)
α∈I
bởi vì X ⊂

x∈X
f(G
n(x)
).
Định nghĩa 1.2.5. Không gian tô pô (X, τ) gọi là liên thông nếu ngoài
tập ∅ và X trong X không còn tập con nào khác có tính chất vừa mở vừa

đóng.
Ví dụ: Đường thẳng thực R với tô pô thông thường là liên thông.
Mệnh đề 1.2.4.Nếu (X, τ) là một không gian tô pô và Y là một tập
con của X thì họ τ
Y
gồm tất cả các tập dạng G ∩ Y , trong đó G là một
tập mở tuỳ ý thuộc họ τ, là một tô pô trên Y .
Định nghĩa 1.2.6. Không gian tô pô (Y, τ
Y
) gọi là không gian con của
không gian tô pô (X, τ).
Mệnh đề 1.2.5. Các khoảng của đường thẳng thực R với tô pô
thông thường là các không gian con liên thông của R và ngược lại, mọi
không gian con liên thông của R phải là một trong các khoảng dạng
(a; b), [a; b), (a; b], [a; b] (a có thể bằng −∞, b có thể bằng +∞).
1.3 Các tiên đề về tính tách được
Định nghĩa 1.3.1. Không gian tô pô X được gọi là thoả mãn tiên đề
thứ nhất về tính tách được hay T
1
− không gian nếu với hai điểm phân biệt
bất kỳ x, y của X tồn tại một lân cận U
x
của x không chứa y và một lân
cận U
y
của y không chứa x.
Mệnh đề 1.3.1. Không gian tô pô X là T
1
− không gian khi và chỉ khi
mọi tập gồm chỉ một điểm là đóng.

10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Định nghĩa 1.3.2. Không gian tô pô X được gọi là thoả mãn tiên đề
thứ hai về tính tách được hay Hausdorff nếu với hai điểm phân biệt bất kỳ
x, y của X tồn tại một lân cận U
x
của x và một lân cận U
y
của y sao cho
U
x
∩ U
y
= ∅. Một không gian tô pô Hausdorff còn được gọi là T
2
− không
gian.
Nhận xét: Lớp các T
2
− không gian là một lớp con thực sự của lớp các
T
1
− không gian.
Định nghĩa 1.3.3. Không gian tô pô X được gọi là thoả mãn tiên đề
thứ ba về tính tách được hay T
3
− không gian nếu:
Với mọi tập đóng A của X và mọi điểm x của X không thuộc A tồn tại
một tập mở U chứa A và một lân cận V của x sao cho U ∩ V = ∅.
Định nghĩa 1.3.4. Không gian tô pô X thoả mãn đồng thời tiên đề

thứ nhất và tiên đề thứ ba về tính tách được gọi là không gian chính quy.
Nhận xét: Lớp các không gian chính quy là lớp con thực sự của lớp
các T
2
− không gian.
Định nghĩa 1.3.5. Không gian tô pô X được gọi là chuẩn tắc nếu X
là T
1
− không gian và thoả mãn tính chất:
Nếu A, B là hai tập đóng không giao nhau của X thì tồn tại một tập
mở U chứa A và một tập mở V chứa B sao cho U ∩ V = ∅. Các không
gian chuẩn tắc còn được gọi là các T
4
− không gian.
Mệnh đề 1.3.2. Mọi không gian metric đều là các không gian chuẩn
tắc.
1.4 Các ánh xạ liên tục. Đồng phôi
Định nghĩa 1.4.1. Cho X, Y là hai không gian tô pô. Ánh xạ f của
không gian tô pô X vào không gian tô pô Y được gọi là liên tục tại điểm
x
0
nếu với mọi lân cận U
y
0
của điểm y
0
= f(x
0
) tìm được lân cận V
x

0
của
điểm x
0
sao cho f(V
x
0
) ⊂ U
y
0
.
Ánh xạ f từ X vào Y được gọi là liên tục nếu f liên tục tại mọi x ∈ X.
Mệnh đề 1.4.1. Ánh xạ f từ không gian tô pô X vào không gian tô
pô Y liên tục khi và chỉ khi nghịch ảnh bởi f của mọi tập mở trong Y là
một tập mở trong X.
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử f là ánh xạ liên tục từ X vào Y và
U là một tập mở tuỳ ý của Y , đặt V = f
−1
(U). Ta phải chứng minh V là
mở trong X. Giả sử x là một điểm tuỳ ý của V và y = f(x). Khi đó y ∈ U
nên U là một lân cận của y.Vì f liên tục tại x nên tồn tại lân cận V
x
của
x sao cho f(V
x
) ⊂ U. Suy ra V
x
⊂ f

−1
(U) = V . Do x là phần tử tuỳ ý của
V nên từ điều này ta suy ra V là mở.
Điều kiện đủ: Giả sử nghịch ảnh của mọi tập mở trong Y là một tập
mở trong X và x là một điểm tuỳ ý của X, y = f(x). Lấy một lân cận tuỳ
ý U của y, khi đó V = f
−1
(U) là mở và x ∈ V , tức V là một lân cận của
x. Nhưng rõ ràng f(V ) = f(f
−1
(U)) ⊂ U, vậy f liên tục tại x. Do x tuỳ ý
nên f là ánh xạ liên tục.
Từ mệnh đề 1.4.1 ta suy ra hệ quả:
Mệnh đề 1.4.2. Ánh xạ f từ không gian tô pô X vào không gian tô
pô Y liên tục khi và chỉ khi nghịch ảnh bởi f của mọi tập đóng trong Y là
một tập đóng trong X.
Mệnh đề 1.4.3. Giả sử X, Y, Z là các không gian tô pô và f : X →
Y, ϕ : Y → Z là các ánh xạ liên tục. Khi đó ánh xạ hợp ϕ ◦f từ X vào Z
cũng liên tục.
Định nghĩa 1.4.2. Giả sử f là một song ánh từ không gian tô pô X
lên không gian tô pô Y . Nếu các ánh xạ f và f
−1
đều liên tục thì f được
gọi là một phép đồng phôi từ X lên Y .
Hai không gian tô pô X và Y gọi là đồng phôi nếu tồn tại một phép
đồng phôi từ X lên Y .
Mệnh đề 1.4.4. Nếu f là một phép đồng phôi từ X lên Y thì ảnh bởi
f của một tập mở trong X là mở trong Y và ảnh bởi f của một tập đóng
trong X là một tập đóng trong Y .
Ví dụ: Ánh xạ f từ R vào khoảng (−

π
2
;
π
2
) cho bởi công thức f(x) =
arctan(x) là một phép đồng phôi nếu R và khoảng (−
π
2
;
π
2
) được trang bị
bởi tô pô thông thường.
Các tính chất của một không gian tô pô bất biến đối với phép đồng phôi
gọi là các tính chất tô pô. Hai không gian metric đồng phôi không nhất
thiết phải có các tính chất metric giống nhau. Chẳng hạn, R và khoảng
(−
π
2
;
π
2
) là đồng phôi nhưng R với metric sinh bởi trị tuyệt đối là không
gian metric đầy đủ, còn khoảng (−
π
2
;
π
2

) không phải là không gian metric
đầy đủ. Như vậy, tính đầy đủ của các không gian metric không phải là tính
chất tô pô.
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Mệnh đề 1.4.5. Nếu X là không gian tô pô liên thông và f là ánh
xạ liên tục từ X vào không gian tô pô Y thì f(X) là không gian con liên
thông của Y . Nói riêng nếu X và Y là hai không gian tô pô đồng phôi và
X liên thông thì Y liên thông.
Như vậy tính liên thông của không gian tô pô là một tính chẩt tô pô.
1.5 Tính Compact
Định nghĩa 1.5.1. Không gian tô pô X được gọi là compact nếu từ
mọi phủ mở của X đều có thể trích ra một phủ con hữu hạn.
Tập con Y của X gọi là một tập compact trong X nếu Y xem như
không gian con của không gian tô pô X là một không gian compact.
Định nghĩa 1.5.2. Họ (A
i
) các tập con của một tập T gọi là có tính
tương giao hữu hạn nếu giao của một họ con hữu hạn tuỳ ý của họ (A
i
) là
khác rỗng.
Định lý 1.5.1. Điều kiện cần và đủ để không gian tô pô X compact
là mọi họ các tập con đóng có tính chất tương giao hữu hạn của X đều có
giao khác rỗng.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X là không gian compact và (F
i
)
là một họ các tập con đóng của X có tính tương giao hữu hạn. Giả sử
trái lại rằng giao


i
F
i
= ∅. Theo tính chất De Morgan ta có:

i
(X\F
i
) =
X\

i
F
i
= X. Vậy họ (X\F
i
) là một phủ mở của X. Vì X compact nên
từ phủ mở này có thể trích ra được một phủ mở con hữu hạn của X:
((X\F
i
1
), , (X\F
i
n
)). Tức là X = (X\F
i
1
) ∪ ∪ (X\F
i

n
). Nhưng khi đó
lại theo luật De Morgan ta có:
F
i
1
∩ ∩F
i
n
= ∅
Điều này mâu thuẫn với tính tương giao hữu hạn của họ (F
i
). Do đó
phải có

i
F
i
= ∅.
Điều kiện đủ. Giả sử X có tính chất: “mọi họ các tập đóng có tính
tương giao hữu hạn của X đều có giao khác rỗng”, (U
i
) là một phủ mở tuỳ
ý của X. Đặt F
i
= X\U
i
ta được một họ các tập đóng của X. Nếu mọi họ
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9

con hữu hạn (U
j
)
j∈J
( J là tập hữu hạn) của phủ mở (U
i
) đều không phải
là phủ của X thì ta có:
X\(

j∈J
U
j
) = ∅ ↔

j∈J
(X\U
j
) =

j∈J
F
j
= ∅
Vậy họ các tập đóng (F
i
) có tính tương giao hữu hạn. Theo giả thiết
khi đó phải có

i

F
i
= ∅. Nhưng nếu vậy, theo luật De Morgan ta suy ra:
X\

i
U
i
= ∅, tức họ (U
i
) không phải là một phủ của X. Mâu thuẫn. Vậy
phải tồn tại một phủ con hữu hạn của X trích từ phủ (U
i
), do đó X là
không gian compact.
Mệnh đề 1.5.2. Mọi không gian con đóng của một không gian tô pô
compact là compact.
Mệnh đề 1.5.3. Nếu Y là tập con compact của không gian tô pô
Hausdorff X thì Y đóng trong X.
Mệnh đề 1.5.4. Mọi không gian tô pô compact đều là không gian
chuẩn tắc.
Đối với không gian metric compact ta có các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.5.5. Nếu X là không gian metric compact thì:
1) X là không gian đầy đủ và khả ly.
2) Mọi dãy phần tử của X luôn chứa một dãy con hội tụ.
Mệnh đề 1.5.6. Đối với không gian metric X hai khẳng định sau là
tương đương:
1) A là tập con compact của X.
2) Mọi dãy điểm của A đều chứa một dãy con hội tụ tới một điểm
thuộc A.

Mệnh đề 1.5.7. Nếu X là không gian tô pô compact và Y là không
gian tô pô, f là ánh xạ liên tục từ X vào Y thì ảnh f(X) là tập con
compact trong Y .
Mệnh đề 1.5.8. Nếu X là không gian tô pô compact và f là một song
ánh liên tục từ X lên không gian tô pô Hausdorff Y thì f là một phép
đồng phôi.
Chứng minh. Chỉ cần chứng minh tính liên tục của ánh xạ f
−1
. Theo mệnh
đề 1.4.2 chỉ cần chứng minh ảnh bởi f của mọi tập con đóng trong X là
đóng trong Y . Giả sử A là tập con đóng trong X, theo mệnh đề 1.5.2 A là
tập con compact của X. Theo mệnh đề 1.5.7, ảnh f(A) là compact trong
Y . Do Y là Hausdorff, theo mệnh đề 1.5.3 f(A) đóng trong Y .
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
1.6 Tựa thứ tự và thứ tự trong một tập.
Hàm tiện ích
Định nghĩa 1.6.1. Giả sử X là một tập và ≺ là một quan hệ hai ngôi
trên X. Quan hệ ≺ được gọi là một tựa thứ tự nếu nó thoả mãn các điều
kiện sau:
(a) x ≺ x (∀x ∈ X) ( tính phản xạ)
(b) x, y, z ∈ X&x ≺ y&y ≺ z → x ≺ z (tính truyền ứng)
Ví dụ 1: Giả sử (X, ) là một không gian định chuẩn với chuẩn . Với
hai phần tử x, y tuỳ ý của X, ta xem là x ≺ y nếu và chỉ nếu x ≤ y.
Khi đó quan hệ ≺ là một tựa thứ tự trên X.
Định nghĩa 1.6.2. Tựa thứ tự ≺ được gọi là đầy đủ nếu ngoài hai
điều kiện (a), (b) nó còn thoả mãn thêm điều kiện: (c) ∀x, y ∈ X phải xảy
ra hoặc là x ≺ y hoặc là y ≺ x (tính đầy đủ).
Ví dụ 2: Quan hệ ≺ được định nghĩa trong ví dụ 1 là một quan hệ
tựa thứ tự đầy đủ.

Định nghĩa 1.6.3. Nếu trên tập X có một quan hệ tựa thứ tự ta nói
X là một tập tựa được sắp. Nếu trên tập X có một quan hệ tựa thứ tự
đầy đủ ta nói X là một tập tựa được sắp đầy đủ hay tựa được sắp tuyến
tính.
Định nghĩa 1.6.4. Một quan hệ tựa thứ tự ≺ trên X gọi là một quan
hệ thứ tự (bộ phận) nếu nó có thêm tính chất phản đối xứng:
(d) x ≺ y&y ≺ x ⇒ x = y.
Nếu trên tập X có một thứ tự bộ phận ≺ ta nói X là một tập được
sắp. Nếu thứ tự bộ phận ≺ thoả mãn thêm điều kiện (c) ( tính đầy đủ)
thì X được gọi là một tập được sắp đầy đủ hay được sắp tuyến tính.
Quan hệ ≺ đưa ra trong các ví dụ 1 và 2 không phải là một quan hệ
thứ tự nếu X có số chiều > 0. Quan hệ ≤ thông thường giữa các số thực
là một quan hệ thứ tự. Tập số thực R với quan hệ ≤ là một tập được sắp
đầy đủ. Quan hệ bao hàm ⊂ giữa các tập con của một tập X cho trước là
một quan hệ thứ tự bộ phận nếu X có nhiều hơn một phần tử.
Định nghĩa 1.6.5. Giả sử (X, ≺) là một tập tựa được sắp đầy đủ.
Một hàm tiện ích đối với bộ đôi (X, ≺) là một hàm giá trị thực sao cho
f(x) ≤ f(y) khi và chỉ khi x ≺ y.
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Nhận xét:Hàm tiện ích là một hàm giá trị thực bảo toàn thứ tự trên
một tập tựa được sắp đầy đủ. Khi trên(X, ≺) có một hàm tiện ích ta nói
rằng X có một biểu diễn tiện ích.
Một quan hệ tựa thứ tự đầy đủ trên X liên kết với nó hai quan hệ hai
ngôi khác.
Ta định nghĩa

x ∼ y

khi đồng thời có x ≺ y và y ≺ x. Dễ thấy rằng

∼ là một quan hệ tương đương ( tức là quan hệ ∼ có các tính chất phản
xạ, truyền ứng và đối xứng: x ∼ y → y ∼ x). Ký hiệu X/ ∼ là tập các lớp
tương đương của quan hệ ∼. Hai phần tử x, y của X thuộc vào cùng một
lớp tương đương khi và chỉ khi x ∼ y. Các lớp tương đương này gọi là các
lớp đồng nhất.
Nếu f là một hàm tiện ích trên (X, ≺) thì x ∼ y khi và chỉ khi f(x) =
f(y). Như vậy, nếu tập X/ ∼ có nhiều hơn một phần tử, hàm tiện ích f
trên (X, ≺) không thể là một hàm hằng.
Ta định nghĩa

x < y

khi x ≺ y và không xảy ra y ≺ x. Ký hiệu y > x
đồng nghĩa với ký hiệu x < y.
Định nghĩa 1.6.6. Một thứ tự bộ phận ngặt < trên một tập X là một
quan hệ hai ngôi trên X có tính bất phản xạ (có nghĩa là không thoả mãn
điều kiện (a) của định nghĩa 1.6.1) và tính truyền ứng. Do đó, một thứ tự
bộ phận ngặt là không đối xứng.
Rõ ràng, < là một quan hệ thứ tự bộ phận ngặt trên X vì có thể xảy
ra x ∼ y.
Ta định nghĩa một quan hệ mới <
1
trên X/ ∼ như sau:
(1) a<
1
a với mọi a ∈ X/ ∼.
(2) Nếu a = b thì a<
1
b nếu và chỉ nếu x < y với mọi x ∈ a và mọi
y ∈ b.

Khi đó <
1
là một thứ tự đầy đủ trên X/ ∼ .
1.7 Không gian tô pô tựa được sắp đầy đủ
Định nghĩa 1.7.1. Ta nói rằng bộ đôi (X, ≺) là một không gian tô pô
tựa được sắp đầy đủ (hay tựa được sắp tuyến tính) nếu X là một không
gian tô pô và ≺ là một tựa thứ tự đầy đủ trên X.
Cho (X, ≺) là một không gian tô pô tựa được sắp đầy đủ. Giả sử f là một
hàm tiện ích liên tục trên X. Vì với mỗi số thực α các tập {x ∈ R |x ≥ α}
và {x ∈ R |x ≤ α} là đóng, nghịch ảnh của các tập này bởi f phải là các
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
tập đóng. Do đó, điều kiện cần để tồn tại các hàm tiện ích liên tục trên
(X, ≺) là với mọi y ∈ X, các tập {x ∈ X |x  y } và {x ∈ X |x ≺ y} phải
là các tập đóng. Một tô pô µ trên X sao cho các tập này là đóng gọi là
một tô pô tự nhiên đối với (X, ≺).
Giả sử (X, ≺) là một tập tựa được sắp đầy đủ. Các khoảng mở của
quan hệ ≺ là các tập dạng
{x |x < y, y ∈ X }, {x |x > y, y ∈ X }, {x |y < x < z&y, z ∈ X } và X.
Các tập này có hai tính chất của cơ sở nêu sau định nghĩa 1.2.1. Tô pô tự
nhiên đối với (X, ≺) là mịn hơn tô pô sinh bởi các khoảng mở của ≺.
Một tô pô tựa thứ tự trên đối với (X, ≺) là một tô pô trong đó các
tập {x |x < y, y ∈ X } là mở. Tương tự, một tô pô tựa thứ tự dưới đối với
(X, ≺) là một tô pô trong đó các tập dạng {x |x < y, y ∈ X } là mở.
Ví dụ: - Giả sử X = R
2
+
=

(a, b) ∈ R

2
|a ≥ 0, b ≥ 0

là góc phần tư
không âm của không gian Euclid R
2
. Giả sử ≺ ký hiệu quan hệ thứ tự từ
điển trong X, tức là (a, b) ≺ (a
1
, b
1
) nếu và chỉ nếu hoặc là a ≤ a
1
hoặc là
a = a
1
và b ≤ b
1
. Khi đó (X, ≺) không chấp nhận một biểu diễn tiện ích.
Chúng ta sẽ xem rằng R
+
2
có tô pô cảm sinh từ tô pô thông thường của
R
2
. Giả sử z ∈ X.
Tập {x |z ≺ x} chứa đoạn thẳng đứng bên trên z và mọi điểm nằm về
bên phải của đoạn này. Có một số điểm biên của tập này không thuộc nó.
Do đó {x |z ≺ x} không đóng. Tương tự, {x |x ≺ z } không đóng. Điều này
có nghĩa là tô pô thông thường của R

2
không phải là tô pô tự nhiên đối
với (X, ≺). Vậy (X, ≺) với tô pô thông thường không thể biểu diễn được
bởi một hàm tiện ích liên tục.
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng không có hàm tiện ích trên (X, ≺). Giả
sử rằng tồn tại hàm tiện ích f. Với mỗi a
0
∈ R
+
xét nửa đường thẳng
L
a
0
=

(a, b) ∈ R
2
+
|a = a
0

.
Giả sử 0 ≤ a < a
0
< b . Khi đó f(L
a
0
) bị chặn dưới bởi f(a, 0) và bị
chặn trên bởi f(b, 0) bởi vì f là hàm tiện ích. Với mỗi a
0

> 0 giả sử m
a
0
= inf {f(a, b) |(a, b)∈ L
a
0
} và M
a
0
= sup {f(a, b) |(a, b)∈ L
a
0
}. Với mỗi số
thực dương a ta có khoảng (m
a
, M
a
). Họ các khoảng {(m
a
, M
a
) |a > 0} có
các tính chất sau:
(i) Với mỗi a, m
a
< M
a
vì L
a
có nhiều vô hạn điểm và hai điểm phân

biệt không thuộc cùng một lớp tương đương.
(ii) Nếu a < b thì M
a
< m
b
, do đó nếu a = b thì (m
a
, M
a
) ∩ (m
b
, M
b
)
= ∅ .
(iii) Từ (ii) suy ra họ các khoảng {(m
a
, M
a
) |a > 0} đếm được vì tập
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
các số hữu tỉ trù mật trong tập các số thực.
Do đó ta có một song ánh giữa một tập đếm được và một tập không
đếm được. Mâu thuẫn.
1.8 Tính trù mật thứ tự và tô pô
Trong mục này ta dùng ký hiệu ≤ thay cho ≺ để chỉ một quan hệ tựa
thứ tự hoặc thứ tự trong một tập X nào đó, X không nhất thiết phải là
tập số thực R. Nếu a là phần tử của X có tính chất x ∈ X, x ≤ a kéo theo
x = a thì a gọi là phần tử tối tiểu của X, tương tự nếu b là phần tử của X

có tính chất y ∈ Y, b ≤ y kéo theo b = y thì b gọi là phần tử tối đại của X.
Định nghĩa 1.8.1. Giả sử (X, ≤) là một tập tựa được sắp đầy đủ.
Tập con Z của X được gọi là trù mật thứ tự hoàn thiện trong X nếu với
x, y ∈ X sao cho x < y tồn tại z ∈ Z thỏa mãn x ≤ z ≤ y. (X, ≤) được
gọi là khả ly thứ tự hoàn thiện nếu nó có một tập con trù mật thứ tự hoàn
thiện đếm được.
Một tập tựa được sắp đầy đủ (X, ≤) được gọi là khả ly yếu nếu tồn tại
một tập con đếm đượcZ sao cho mọi khoảng mở = ∅ của X đều chứa ít
nhất một điểm z ∈ Z.
Một tập tựa được sắp đầy đủ (X, ≤) được gọi là khả ly thứ tự nếu tồn
tại một tập con đếm được Z sao cho nếu x, y ∈ X và x < y tồn tại z ∈ Z
sao cho x < z < y.
Các mệnh đề dưới đây xác lập các quan hệ giữa các khái niệm trù mật
thứ tự nêu trên.
Mệnh đề 1.8.1. Giả sử (X, ≤ ) là một không gian tô pô tựa được sắp
đầy đủ với tô pô sinh bởi các khoảng mở của ≤. Khi đó (X, ≤ ) là không
gian tô pô khả ly nếu và chỉ nếu (X, ≤ ) là khả ly yếu.
Chứng minh. Giả sử rằng (X, ≤ ) là khả ly tô pô và Z là một tập con trù
mật tô pô đếm được. Giả sử I là một khoảng mở khác rỗng của (X, ≤ ).
Vì tô pô trên Xsinh bởi các khoảng mở nên I mở trong tô pô của X. Vì I
khác rỗng và Z trù mật tô pô trong X, tồn tại z ∈ Z sao cho z ∈ I. Như
vậy (X, ≤ ) là khả ly yếu.
Ngược lại, giả sử (X, ≤ ) là khả ly yếu và Z là một tập trù mật thứ tự
đếm được thoả mãn định nghĩa của tập khả ly yếu trong định nghĩa 1.8.1.
Giả sử rằng U là một tập mở và x ∈ U. Vì các khoảng mở của (X, ≤ ) là
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
các phần tử của cơ sở của tô pô trên X và U mở nên tồn tại khoảng mở
I chứa x và được chứa trong U, vậy I = ∅. Do (X, ≤ ) khả ly yếu, tồn tại
z ∈ Z sao cho z ∈ I , như vậy z ∈ U. Điều này chứng tỏ mỗi tập mở khác

rỗng chứa một phần tử của Z. Do đó Z là trù mật tô pô và X là khả ly tô
pô.
Nhận xét: Tính đầy đủ của quan hệ tựa thứ tự dường như không đóng
vai trò gì đặc biệt trong chứng minh trên. Điều này gợi ý rằng kết quả vẫn
còn đúng đối với không gian sắp thứ tự bộ phận.
Mệnh đề 1.8.2. Giả sử (X, ≤ ) là không gian tô pô tựa được sắp đầy
đủ với tô pô sinh bởi các khoảng mở của ≤. Khi đó (X, ≤ ) thoả mãn tiên
đề thứ hai về tính đếm được nếu và chỉ nếu nó là khả ly thứ tự hoàn thiện.
Chứng minh. Giả sử rằng (X, ≤) là không gian tô pô thoả mãn tiên đề
thứ hai về tính đếm được và B = B
1
, B
2
, là một cơ sở đếm được. Chọn
z
i
∈ B
i
để nhận được một tập đếm được trù mật tô pô Z. Giả sử X/ ∼
là tập các lớp đồng nhất. Không giảm tổng quát ta có thể xem X/ ∼ có
nhiều hơn một phần tử.
Bây giờ xét cặp phần tử a, b của X sao cho a < b và khoảng mở
(a, b) = ∅. Với mỗi cặp a, b như vậy ta liên kết với một phần tử B
b
của cơ
sở B như sau. Tập {x ∈ X |x < b}là mở và chứa a. Vì B là một cơ sở, tồn tại
B
b
∈ B sao cho a ∈ B
b

⊆ {x ∈ X |x < b}. Nếu a
1
, b
1
là một cặp điểm khác
sao cho a
1
< b
1
và (a
1
, b
1
) = ∅ chúng ta liên kết B
1
b
∈ B với cặp này theo
cùng cách miêu tả ở trên. Khi đó B
b
= B
1
b
vì nếu a < b ≤ a
1
< b
1
, a
1
∈ B
1

b
nhưng a
1
/∈ B
b
và nếu a
1
< b
1
≤ a < b thì a ∈ B
b
, a /∈ B
1
b
Vì quan hệ tựa
thứ tự ≤ đầy đủ nên không xảy ra các khả năng khác (nhớ rằng (a, b) =
∅ và (a
1
, b
1
) =∅). Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng có một đơn ánh từ
tập tất cả các cặp (a, b) với a < b và (a, b) = ∅ vào cơ sở đếm được B. Điều
này chứng tỏ rằng tập tất cả các cặp như vậy là đếm được. Chú ý rằng ta
đã sử dụng thực sự tính đầy đủ của quan hệ tiền thứ tự để nhận được kết
quả này. (Với thứ tự bộ phận có thể xảy sự “ bện chéo”, chẳng hạn, nếu
(a, b) và (a
1
, b
1
) là hai cặp, ta có thể có a

1
< b, a < b
1
với a và a
1
không so
sánh được với nhau).
Do đó, tập hợp các cặp điểm, hay chính xác hơn các cặp lớp tương
đương của các điểm với tính chất mô tả ở trên là đếm được. Đối với mỗi
cặp (a
1
, b
1
) như vậy, chọn một phần tử x
1
trong lớp a
1
ta nhận được một
tập đếm được Z
1
. Do đó Z ∪ Z
1
là một tập đếm được. Để chứng minh
(X, ≤) khả ly thứ tự hoàn thiện ta giả sử x, y ∈ X sao cho x < y. Nếu
tập mở (x, y) = ∅, nó chứa một phần tử z ∈ Z vì Z là trù mật tô pô. Nếu
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
tập (x, y) = ∅, x ∼ x
1
, với x

1
nào đó ∈ Z
1
. Do đó, tồn tại một phần tử z
trong Z
1
sao cho x ≤ z ≤ y. Như vậy trong mọi trường hợp, tồn tại phần
tử z ∈ Z ∪Z
1
sao cho x ≤ z ≤ y. Điều này chứng tỏ rằng (X, ≤) là khả ly
thứ tự hoàn thiện.
Ngược lại, giả sử rằng (X, ≤) là khả ly thứ tự hoàn thiện với tập con
trù mật thứ tự hoàn thiện đếm được Z. Giả sử U là một tập mở với x ∈ U.
Xét trường hợp x không phải là phần tử tối tiểu và cũng không phải là
phần tử tối đại của X. Khi đó do U mở và (X, ≤) tựa được sắp đầy đủ,
tồn tại một phần tử của cơ sở, chẳng hạn B có dạng B = {q |a < q < b }
sao cho x ∈ B ⊂ U. Vì X là khả ly thứ tự hoàn thiện và a < x < b, tồn tại
z
i
, z
j
∈ Z sao cho a ≤ z
i
≤ x ≤ z
j
≤ b. Có hai trường hợp có thể xảy ra:
(1) z
i
< x < z
j

(2) z
i
∼ x, x ∼ z
j
Trong trường hợp (2), (a, z
i
) = ∅ hoặc (z
j
, b) = ∅ hoặc cả hai vì nếu
khác đi chúng ta quay trở lại trường hợp (1). Nếu (a, z
i
) = ∅, a là phần
tử đứng ngay trước z
i
và ta sẽ ký hiệu a = f(z
i
). Tương tự, nếu (z
j
, b) = ∅
ta ký hiệu b = f(z
j
).
Nếu x là phần tử tối tiểu của X thì do X/ ∼ có nhiều hơn một phần
tử và (X, ≤) là tựa được sắp đầy đủ, tồn tại b ∈ X sao cho x < b. Vì Z
khả ly thứ tự hoàn thiện, tồn tại z
j
∈ Z sao cho x ≤ z
j
≤ b. Lại có hai
trường hợp:

(1’) x < z
i
≤ b
(2’) x ∼ z
j
Trong trường hợp (2’), ta có thể xem khoảng (z, b) = ∅ vì nếu trái lại
ta sẽ tìm được z

∈ Z sao cho x < z

≤ b tức là trở về trường hợp (1’). Nếu
xảy ra (2’) ta đặt b = f(z).
Tương tự, nếu x là phần tử tối đại của X thì tồn tại a ∈ X, z
i
∈ Z sao
cho một trong hai trường hợp sau xảy ra:
(1”) a < z
i
≤ x
(2”) a ∼ z
i
, (a, x) = (z
i
, x) = ∅
Nếu xảy ra (2”) ta đặt f(z
i
) = a.
Bây giờ xét hai họ tập sau:
S
1

= ({x |z
i
< x < z
j
}), i, j = 1, 2, 3, Đây là họ đếm được các tập
mở.
S
2
= ({x |f
1
(z
i
) < x < f
2
(z
j
) }), trong đó f
1
(z
i
), i = 1, 2, 3, là các
phần tử đứng ngay trước z
i
(nếu chúng tồn tại) và f
2
(z
j
), j = 1, 2, 3,
là phần tử đứng ngay sau (nếu có) của z
j

.Trong trường hợp chỉ tồn tại
một trong hai điểm f(z
i
) hoặc f(z
j
) ta sẽ xem khoảng (f(z
i
), f(z
j
)) =
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
{x |xf(z
j
)} hoặc = {x |f(z
i
)x}. S
2
cũng là họ đếm được các tập mở. Đặt
S = S
1
∪S
2
. Khi đó S là cơ sở đếm được đối với tô pô của (X, ≤). Như vậy
(X, ≤) là không gian tô pô thoả mãn tiên đề thứ hai về tính đếm được.
Hệ quả 1.8.3. Lớp các tập khả ly thứ tự hoàn thiện nằm trong lớp
các tập khả ly thứ tự yếu.
Chứng minh. Nếu (X, ≤) là một tập tựa được sắp đầy đủ và khả ly hoàn
thiện thì xem X như không gian tô pô với tô pô sinh bởi các khoảng mở
của (X, ≤) ta có X là một không gian tô pô thoả mãn tiên đề thứ hai về

tính đếm được. Do đó X là không gian tô pô khả ly. Theo mệnh đề 1.8.2
(X, ≤) là không gian khả ly thứ tự yếu.
Bây giờ chúng ta chọn một cách tiếp cận khác bằng cách xét quan hệ
thứ tự bộ phận ngặt sinh bởi một tựa thứ tự bộ phận. Giả sử (X, ≤) là
một tâp tựa được sắp bộ phận.
Ta định nghĩa x ∼ y nếu và chỉ nếu không xảy ra cả hai khả năng x < y
và y < x. Như vậy, quan hệ
,,
∼
,,
có nghĩa là không so sánh được. Nó không
có nghĩa là đồng nhất như thường lệ.
Có thể xảy ra x ∼ y, y ∼ z nhưng không có x ∼ z. Như vậy
,,
∼
,,
không
phải là một quan hệ tương đương. Ta định nghĩa x ≈ y nếu và chỉ nếu
∀z : (z < x ⇔ z < y) và (x < z ⇔ y < z). Khi đó ≈ là một quan hệ tương
đương.
Một hàm tiện ích đối với (X, <) là một hàm thực u sao cho x < y ⇒
u(x) < u(y). Vì < là một thứ tự bộ phận ngặt mũi tên ngược lại có thể
không đúng, khi mà x ∼ y.
Giả sử (X, <) là không gian tô pô sắp thứ tự bộ phận ngặt. Ta định
nghĩa x
≈
<
y nếu xảy ra một trong hai khả năng x < y hoặc x ≈ y.
Khi đó (X, <) được gọi là khả ly thứ tự hoàn thiện nếu tồn tại một
tập con đếm được Z sao cho nếu x, y ∈ X và x < y, tồn tại z ∈ Z sao cho

x
≈
<
z
≈
<
y. Một tập Z như vậy được gọi là một tập trù mật (thứ tự) hoàn
thiện. (X, <) được gọi là khả ly (thứ tự) yếu nếu tồn tại một tập con đếm
được Z sao cho nếu I là khoảng mở = ∅ thì tồn tại z ∈ Z sao cho z ∈ I .
(X, <) được gọi là khả ly thứ tự nếu tồn tại một tập con đếm được Z với
tính chất là nếu x < y thì tồn tại z ∈ Z sao cho x < z < y.
Nhận xét: Nếu (X, ≤) là tựa được sắp đầy đủ, quan hệ ≈ và ∼ là như
nhau. Do đó các định nghĩa về tính trù mật thứ tự phù hợp với các định
nghĩa đã được cho ở trên.
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Giả sử (X, <) là không gian tô pô sắp thứ tự bộ phận ngặt. Thứ tự <
trên X được gọi là liên tục nếu với mọi y ∈ X, tập {x ∈ X |x < y} = L
y
là mở. Thứ tự bộ phận < được gọi là liên tục mạnh nếu, thêm nữa, tập
U
y
= {x ∈ X |y < x } mở với mọi y ∈ X. Ký hiệu bao đóng tô pô của một
tập con A của X bởi A. Khi đó < được gọi là rộng nếu x < y kéo theo
L
y
⊇ L
x
.
Mệnh đề 1.8.4. Giả sử (X, <) là không gian tô pô sắp thứ tự bộ phận

ngặt và tô pô của X sinh bởi các tập dạng L
z
và U
z
. Khi đó (X, <) là
không gian tô pô khả ly nếu và chỉ nếu (X, <) là khả ly yếu.
Chứng minh. Chứng minh của mệnh đề 1.8.1 còn đúng trong trường hợp
này nếu thay ≤ bởi
≈
<
.
Mệnh đề 1.8.5. Giả sử (X, <) là không gian tô pô sắp thứ tự bộ phận
ngặt với tô pô sinh bởi L
z
và U
z
. Nếu (X, <) là khả ly thứ tự hoàn thiện
thì (X, <) là không gian tô pô thỏa mãn tiên đề thứ hai về tính đếm được.
Chứng minh. Chứng minh của nửa thứ hai của mệnh đề 1.8.2 vẫn còn đúng
nếu trong trường hợp này ta thay thế ≤ bởi
≈
<
.
Nhận xét: Giả sử (X, ≤) là không gian tô pô tựa được sắp đầy đủ với
tô pô sinh bởi các khoảng mở của ≤. Khi đó chúng ta có tập hợp sau các
quan hệ kéo theo:
(1) khả ly thứ tự → (2) khả ly thứ tự hoàn thiện → (3) khả ly thứ tự yếu.
 
(4) đếm được loại hai (5) khả ly tô pô.
Thật vậy:

(1) → (2) tầm thường.
(2) và (4) tương đương theo mệnh đề 1.8.2.
(3) và (5) tương đương theo mệnh đề 1.8.1.
Vì không gian tô pô đếm được loại hai ( gọi tắt của không gian tô pô
thoả mãn tiên đề thứ hai về tính đếm đươc) là khả ly tô pô, ta cũng có (2)
→ (3) (hệ quả 1.8.3).
Các ví dụ: (a) Giả sử X = R
2
+
với thứ tự từ điển. Khi đó X là không
gian tựa được sắp đầy đủ nhưng không khả ly yếu.
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
(b) Giả sử X = {0, 1} với tựa thứ tự đầy đủ thông thường. Khi đó X
khả ly thứ tự hoàn thiện nhưng không khả ly.
(c) Với mỗi số vô tỷ ξ đặt tương ứng một “lỗ hổng mở” (a
ξ
, b
ξ
), a
ξ
< b
ξ
( a
ξ
, b
ξ
là các phần tử trừu tượng, không phải là các số thực). Giả sử X
chứa tất cả các số hữu tỷ và các đầu mút của các “lỗ hổng mở” (a
ξ

, b
ξ
), ξ
là số vô tỷ. Thứ tự trong X được định nghĩa như sau: nếu q là một số hữu
tỷ và ξ là số vô tỷ với q < ξ thì q < a
ξ
< b
ξ
. Tương tự, nếu ξ < q. Nếu
ξ, µ là hai số vô tỷ và ξ < µ thì a
ξ
< b
ξ
< a
µ
< b
µ
. Khi đó X là khả ly yếu
nhưng không khả ly thứ tự hoàn thiện.
Tuy nhiên, nhận xét rằng nếu (X, ≺) là khả ly thứ tự yếu và liên thông
thì nó là khả ly thứ tự hoàn thiện. Để chứng minh điều này, giả sử x < y.
Vì {a ∈ X |a ≺ x} và {a ∈ X |y ≺ a} là không giao nhau và đóng chúng
không vét cạn X. Do đó khoảng mở (x, y) = ∅.
Bây giờ giả sử rằng (X, ≺) là không gian tô pô sắp thứ tự bộ phận ngặt
với tô pô sinh bởi các khoảng. Khi đó ta có tập các quan hệ kéo theo sau
đây:
(1) khả ly thứ tự → (2) khả ly thứ tự hoàn thiện → (3) khả ly thứ tự yếu.
 
(4) đếm được loại hai (5) khả ly tô pô.
(1) → (2) tầm thường.

(2) → (4) theo mệnh đề 1.8.5.
(3) ↔ (5) theo mệnh đề 1.8.4.
Vì không gian tô pô đếm được loại hai là khả ly tô pô, còn không gian
khả ly thứ tự hoàn thiện là khả ly thứ tự yếu.
1.9 Các hàm tiện ích. Các định lý Debreu
và Peleg
Đối với các không gian tựa được sắp đầy đủ có hai kết quả cơ bản được
chứng minh bởi Debreu, các kết quả này chỉ ra các điều kiện mà các không
gian này có các biểu diễn tiện ích liên tục.
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Định lý 1.9.1 (Debreu 1954) – Giả sử (X, ≺) là không gian tô pô
tựa được sắp đầy đủ liên thông và khả ly tô p. Khi đó (X, ≺) có biểu diễn
tiện ích liên tục trong mọi tô pô tự nhiên.
Định lý 1.9.2 (Debreu 1954) – Giả sử (X, ≺) là không gian tô pô
tựa được sắp đầy đủ thỏa mãn tiên đề thứ hai về tính đếm được. Khi đó
(X, ≺) có biểu diễn tiện ích liên tục trong mọi tô pô tự nhiên.
Năm 1970 B. Peleg chứng minh định lý sau:
Định lý 1.9.3 (Peleg 1970) – Giả sử < là một thứ tự bộ phận ngặt
trên không gian tô pô X. Nếu thứ tự < là mở, khả ly và rộng thì tồn tại
hàm tiện ích liên tục đối với (X, <).
Vì mỗi tựa thứ tự đầy đủ có một thứ tự bộ phận ngặt liên kết thì một
cách tự nhiên nảy sinh phỏng đoán rằng định lý của Debreu có thể suy ra
từ định lý của Peleg. Phỏng đoán này đã được chứng minh một phần bởi
Lee ( 1972).
Điểm cốt lõi trong lý luận của Lee như sau: Giả sử (X, ≺) là tựa được
sắp đầy đủ. Khi đó nếu X/ ∼ là không tầm thường thì có thể định nghĩa
một thứ tự bộ phận ngặt trên X/ ∼ bằng cách nói rằng lớp đồng nhất
a(x) của phần tử x là đứng trước ngặt đối với lớp đồng nhất a(y) của phần
tử y nếu và chỉ nếu mọi phần tử của a(x) là đứng trước mọi phần tử của

a(y). Bây giờ ta trang bị cho tập X/ ∼ tô pô thương. Giả sử rằng (X, ≺)
thỏa mãn điều kiện của định lý thứ nhất của Debreu (định lý 1.9.1). Vì
X là liên thông và khả ly, tập trù mật đếm được Z = {z
1
, z
2
, } có tính
chất sau: nếu x < y thì có một z trong Z sao cho x < z < y. Do đó, trong
trường hợp này không gian (X, ≺) không chỉ khả ly thứ tự hoàn thiện mà
còn khả ly thứ tự. Theo định nghĩa của thứ tự trên X/ ∼ suy ra rằng tô pô
thương cũng khả ly thứ tự. Theo định nghĩa của tô pô thương trên X/ ∼
dễ dàng suy rằng < là mở mạnh, từ đó suy ra rằng < là rộng vì thứ tự
trên X/ ∼ là đầy đủ. Do đó, tất cả các điều kiện của định lý Peleg được
thỏa mãn. Bởi vậy, tồn tại một hàm tiện ích liên tục T trên không gian
thương X/ ∼. Sau đó Lee chứng minh rằng nếu có một hàm tiện ích liên
tục (theo nghĩa Peleg) trên không gian thương thì sẽ có một hàm tiện ích
liên tục F trên không gian (X, ≺). Hàm F này nhận được bằng cách lấy
hợp của T với ánh xạ chính tắc A, tức là F = ToA. Điều này chứng minh
rằng định lý của Debreu là hệ quả của định lý Peleg.
Chúng ta thấy ở trên rằng Lee đã chứng minh rằng định lý Peleg kéo
theo sự tồn tại của hàm tiện ích liên tục trên không gian khả ly thứ tự bất
kỳ với tô pô tự nhiên. Sau đó Lee đã chỉ ra rằng không gian tô pô khả ly,
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
liên thông là khả ly thứ tự và như vậy định lý 1.9.1 của Debreu được suy
ra từ định lý của Peleg. Lee còn để ngỏ vấn đề về mối quan hệ của định
lý Peleg và định lý của Debreu về các không gian đếm được loại hai (định
lý 1.9.2). Từ nhận xét của Lee có vẻ như chỉ có định lý Debreu 1.9.1 suy
ra được từ định lý Peleg. Tuy nhiên G. Mehta vào năm 1983 (xem [1]) đã
chứng minh rằng định lý Peleg có thể xem như là một tổng quát thậm chí

của cả định lý Debreu về các không gian đếm được loại hai ( định lý 1.9.2).
Điều này cấu thành một mở rộng của công trình của Lee.
Không khó khăn để tìm các ví dụ về các không gian tô pô đếm được
loại hai tựa được sắp đầy đủ nhưng không khả ly thứ tự. Do đó, lý luận
của Lee không thể áp dụng trực tiếp cho X. Nếu chúng ta có thể mở rộng
X đến một không gian X

khả ly thứ tự, khi đó chúng ta có thể áp dụng
kết quả của Lee cho X

và kết luận rằng X

( và bởi vậy, X ) có một biểu
diễn tiện ích liên tục. Dưới đây là tóm tắt chứng minh của G. Mehta.
Giả sử X là một không gian đếm được loại hai và Y = X/ ∼ là tập
các lớp đồng nhất của X. Khi đó Y được gọi là có bước nhảy (a, b) nếu
a, b thuộc Y và không tồn tại c trong Y sao cho a < c < b. Có thể dễ dàng
chứng minh rằng tính đếm được loại hai kéo theo chỉ có một số đếm được
các bước nhảy (a
n
, b
n
) , n = 1, 2, 3, Mở rộng Y bằng cách đặt giữa mỗi
bước nhảy (a
n
, b
n
), n = 1, 2, 3, một khoảng thực mở (n, n + 1) với thứ
tự thông thường. Gọi không gian mở rộng này là Y


. Tương ứng với Y

là
không gian mở rộng X

. Tô pô của X

nhận được một cách tự nhiên từ X
và tô pô của các khoảng (n, n + 1).
Vì X là đếm được loại hai, nó có một tập trù mật đếm được Z

. Giả sử
Z

là tập các số hữu tỷ và gọi Z là hợp của Z

và Z

. Khi đó dễ dàng thấy
rằng với tập Z này X

là không gian khả ly thứ tự với tô pô tự nhiên.
Như vậy G. Mehta đã chứng minh định lý sau:
Định lý 1.9.4 - Giả sử (X, ≺) là không gian tô pô đếm được loại hai
tựa được sắp đầy đủ với tô pô tự nhiên. Khi đó (X, ≺) có thể nhúng được
vào một không gian khả ly thứ tự với tô pô tự nhiên.
Định lý 1.9.4 và định lý Peleg 1.9.3 kéo theo định lý Debreu 1.9.2.
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên