Rèn luyện tri thức phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học hình học theo quan điểm hoạt động thông qua dạy học chủ đề vectơ

1
Trờng đại học vinh
khoa Toán
--------------------------

Rèn luyện tri thức phơng pháp nhằm phát hiện
và giải quyết vấn đề trong dạy học hình học
theo quan điểm hoạt động thông qua dạy học
chủ đề vectơ ở trờng THPT

khoá luận tốt nghiệp đại học
ngành: s phạm toán

Giáo viên hớng dẫn: GS.TS. Đào Tam
ThS. Phạm Xuân Chung
Sinh viên thực hiện : Hoàng Thị Hằng
Lớp
: 46A - To¸n

vinh - 5/2009


2

LỜI CẢM ƠN

Khố luận này được hồn thành với sự hướng dẫn, giúp đỡ của các
thầy, cô giáo bộ môn phương pháp dạy học toán, khoa Toán Trường Đại học
Vinh, cùng với gia đình và bạn bè.
Tơi xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo GSTS.Đào Tam và Thầy giáo ThS. Phạm Xuân Chung.
Trong thời gian hồn thành khố luận tác giả đã có nhiều cố gắng

song vẫn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự thơng
cảm và đóng góp ý kiến của thầy, cơ giáo và các bạn để khố luận được
hồn chỉnh hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Tác giả khố luận
Hồng Th Hng

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài


3
Mục đích của dạy học là đào tạo con ngời phát triển toàn diện. Con ngời
chỉ có thể phát triển thông qua những hoạt động của chính mình. Do vậy, dạy
học muốn đạt hiệu quả cao không chỉ đơn thuần theo kiểu thầy đọc trò ghi,
thầy nói trò nghe, tức là ngời học sinh bị động chịu sự áp đặt của thầy giáo.
Ngời học sinh phải tự hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức cho chính mình. Họ
phải có nhu cầu, có hứng thú, phải biết rõ từng thao tác, nội dung của toàn bộ
hoạt động hay của mỗi thao tác và cuối cùng phải biết đợc kết quả gì. Hoạt
động trong học tập của ngời học khác với các hoạt động thông thờng khác
chính là ở chỗ đợc đặt dới sự chỉ đạo, hớng dẫn của thầy theo mục đích đÃ
đặt trớc. Do vậy, cần dạy theo cách cho học sinh có thể nắm vững tri thức, kỹ
năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Cho nên, cần tổ chức cho học sinh
học toán trong hoạt động và bằng hoạt động một cách tự giác, chủ động và
sáng tạo, đợc thực hiện độc lập hay trong giao lu.
Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngời xây dựng xà hội công nghiệp
hóa-hiện đại hóa với thực trạng lạc hậu của phơng pháp dạy học làm nảy sinh
và thúc ®Èy mét cuéc vËn ®éng ®èi víi PPDH ë tÊt cả các cấp trong nghành
Giáo dục và đào tạo từ một số năm nay với những t tởng chủ đạo đợc phát
biểu dới nhiều hình thức khác nhau: Lấy ngời học làm trung tâm, Phát

huy tính tích cực, Phơng pháp dạy học tích cực...những ý tởng này bao
hàm những yếu tố tích cực, có tác dụng thúc đẩy đổi mới PPDH nhằm nâng
cao hiệu quả giáo dục và đào tạo. Tuy nhiên, cần vạch rõ bản chất các ý tởng
đó nh là định hớng cho sự nghiệp đổi mới PPDH hiƯn nay lµ: Tỉ chøc cho
ngêi häc häc tËp trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng
tạo. Đổi mới PPDH theo hớng vận dụng quan điểm hoạt động là một trong
những giải pháp quan trọng nhằm hội nhập và góp phần tích cực vào chiến lợc phát triển giáo dục chung của thế giới.
Từ lâu trong giáo dục đà nhận ra : bản chất của tri thức là hoạt động. Để
dạy một tri thức nào đó, thầy giáo không thể trao cho học sinh điều thầy
muốn dạy, cách làm tốt nhất thờng là cài đặt tri thức đó vào những tình
huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tự giác, tích
cực và sáng tạo của bản thân. Việc tiến hành hoạt động đòi hỏi những tri
thức nhất định, đặc biệt là tri thức phơng pháp. Những tri thức nh vậy có khi
lại là kết quả của một quá trình hoạt động. Thông qua hoạt động để truyền
thụ các tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp ảnh hởng quan trọng ®Õn viÖc


4
rèn luyện kĩ năng. Tri thức và kĩ năng toán học đợc sử dụng rộng rÃi. Học
toán không chỉ để lĩnh hội tri thức, mà điều quan trọng hơn là phải biết sử
dụng tri thức đó. Phải rèn luyện cho học sinh những kĩ năng, kĩ xảo và những
phơng thức t duy cần thiết.
Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn là:
Rèn luyện tri thức phơng pháp nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề trong
dạy học hình học theo quan điểm hoạt động thông qua dạy học chủ đề vectơ
ở trờng THPT.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là xác định cơ sở lý luận và thực tiễn
làm căn cứ để đề ra các phơng pháp rèn luyện tri thức phơng pháp nhằm phát
hiện và giải quyết vấn đề theo quan điểm hoạt động thông qua chủ đề vectơ.

Qua đó nâng cao hiệu quả của việc dạy học hình học ở trờng phổ thông.
3. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở tôn trọng chơng trình sách giáo khoa nếu trong quá trình dạy
học toán giáo viên chú trọng tổ chức các hoạt động rèn luyện tri thức phơng
pháp nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề thì sẽ góp phần giúp học sinh chủ
động, tích cực nắm bắt kiến thức mới cũng nh giải quyết những vấn đề mới
đặt ra hớng học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Xác định vị trí và vai trò của việc rèn luyện tri thức phơng pháp nhằm phát
hiện và giải quyết vấn đề trong quá trình dạy học toán.
Đề ra các phơng pháp rèn luyện tri thức phơng pháp nhằm phát hiện và
giải quyết vấn đề theo quan điểm hoạt động thông qua dạy học chủ đề vectơ.
Th nghiệm s phạm để điều tra tính khả thi, tính hiệu quả của đề tài.
5. Phơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận: nghiên cứu các sách báo tạp chí về toán, giáo dục
học,... liên quan đến đề tài.
Điều tra việc thực hiện dạy học theo hớng rèn luyện tri thức phơng pháp
nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề trong quá trình dạy học toán.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, có ba chơng:
Chơng 1: Cơ sở lý ln vµ thùc tiƠn


5
1.1.

Quan điểm hoạt động trong PPDH

1.2.

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.3.

Quan điểm triết học duy vật biện chứng trong quá trình dạy học toán.

1.4.
Kết luận chơng 1
Chơng 2: Rèn luyện tri thức phơng pháp nhằm phát hiện và giải quyết
vấn đề trong dạy học hình học theo quan điểm hoạt động thông qua dạy
học chủ đề vectơ ở trờng THPT
2.1. Sơ lợc về chủ đề vectơ ở trờng THPT
2.2. Tri thức phơng pháp trong hoạt động
2.2.1. Những tri thức phơng pháp thờng gặp
2.2.2. Các cấp độ rèn luyện tri thức phơng pháp cho học sinh
2.3. Một số biện pháp rèn luyện tri thức phơng pháp thuộc phạm trù triết học
duy vật biện chứng
2.3.1. Biện pháp 1: Khắc sâu mối liên hệ giữa các kiến thức toán học nhờ
khai thác mối liên hệ tơng quan phụ thuộc giữa các kiến thức trong từng chơng, giữa các chơng mục khác nhau của các phân môn Toán, giữa các kiến
thức toán học ở cấp độ này đến cấp học khác và giữa kiến thức toán học với
các kiến thức của môn học khác.
2.3.2. Biện pháp 2: Luyện tập cho học sinh biết phân loại khái niệm và các
tính chất theo nhiỊu dÊu hiƯu kh¸c nhau.
2.3.3. BiƯn ph¸p 3: Lun tËp cho học sinh thói quen xác định nguồn gốc
của tri thức phản ánh trong các đối tợng của hoạt động; từ đó giúp học sinh
biết cách lựa chọn tri thức cho hoạt động của chủ thể chiếm lĩnh tri thức mới.
2.3.4. Biện pháp 4: Quan tâm dạy học theo hớng xây dựng chuỗi các bài
toán từ đơn giản đến phức tạp, từ đó tăng cờng huy động kiến thức cho học
sinh.
2.4. Kết luận chơng 2

Chơng 3: Thử nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thử nghiệm
3.2. Nội dung thử nghiệm
3.3. Tiến hành thư nghiƯm
3.4. KÕt ln


6

CHƯƠNG 1
Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1.Quan điểm hoạt động trong PPDH
Trong phần này chúng tôi sẽ bàn về những t tởng chủ đạo của quan điểm
hoạt động đợc đề xuất bởi tác giả Nguyễn Bá Kim, đồng thời ®a ra mét sè vÝ
dơ minh häa thĨ hiƯn trong dạy học.
1.1.1. Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động
thành phần tơng thích với nội dung và mục đích dạy học
T tởng này có thể đợc cụ thể hóa nh sau:
a. Phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung
Một hoạt động của ngời học đợc gọi là tơng thích với một nội dung dạy
học nếu nó có tác động góp phần kiến tạo hoặc củng cố, ứng dụng những tri
thức đợc bao hàm trong nội dung đó hoặc rèn luyện những kĩ năng, hình
thành những thái độ liên quan.
Với mỗi nội dung dạy học, ta cần phát hiện những hoạt động tơng thích
với nội dung này.
Ví dụ: Khái niệm hàm số
Đối với một khái niệm cần hình thành theo con đờng quy nạp nh khái
niệm hàm số thì những hoạt động phân tích so sánh những hoạt động riêng lẻ
thích hợp, trừu tợng hóa tách ra các đặc điểm đặc trng của một lớp đối tợng
là tơng thích với đối tợng đó vì chúng góp phần để ngời học kiến tạo khái

niệm này, tơng thích với khái niệm này còn có những hoạt động khác nh
nhận dạng, thể hiện, xét mối liên hệ giữa khái niệm đó với khái niệm khác,
bởi vì những hoạt động đó góp phần củng cố và ứng dụng khái niệm hàm
số.
Trong việc phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung ta cần chú
ý xem xét những hoạt động khác trên những bình diện khác nhau:
-Nhận dạng và thể hiện;
-Những hoạt động toán học phức hợp;
-Những hoạt động trí tuệ chung và riêng đối với môn toán;
-Những hoạt động ngôn ngữ.


7
Ví dụ: Dạy học khái niệm tích vô hớng của hai vectơ.
-Hoạt động thể hiện khái niệm:
Cho tam giác ABC ®Ịu, c¹nh b»ng a: TÝnh AB. AC , AC.BC
-Ho¹t ®éng ngôn ngữ: Khái niệm tích vô hớng của hai vectơ có thể phát
biểu bằng cách sau:
Với hai vectơ cho trớc a( x1 , y1 ) ,
. Dạng độ dài:

khác


0

:

1  2 2 2
a.b  ( a  b a b )

2

. Dạng lợng giác:
. Dạng toạ ®é:


b ( x2 , y 2 )


 
 
a.b  a . b cos a , b






a.b  x1 x 2 y1 y 2

b. Phân tích hoạt động thành những hoạt động thành phần
Trong quá trình hoạt động, nhiều khi một hoạt động này có thể xuất hiện
nh một thành phần của một hoạt động khác. Phân tích đợc một hoạt động
thành những hoạt động thành phần là biết đợc cách tiến hành hoạt động toàn
bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho học sinh hoạt động toàn bộ
vừa chú ý cho họ tập luyện những hoạt động thành phần khó hoặc quan trọng
khi cần thiết.
Ví dụ: Dạy học định lý về phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn
Định lý:
Cho đờng tròn (O;R) và một điểm M cố định. Một đờng thẳng thay đổi đi

qua M và cắt đờng tròn tại hai điểm A và B, khi đó tích vô hớng MA.MB là
một số không đổi.
Để dẫn dắt HS phát hiện và chứng minh Định lý này, GV có thể tổ chức
cho học sinh thực hiện các hoạt động thành phần sau:
Hoạt động 1:
-Với điểm M cố định hÃy
B
A
vẽ tiếp tuyến MT, khi đó
những đại lợng nào là không
thay đổi?
M
O
Hoạt động 2: Suy đoán
-Khi A BT thì MA.MB
nh thế nào?
T
Câu trả lời mong ®ỵi:


8

A
M

2

2

2

MA.MB MT MO  OT d 2  R 2

O

B

-Khi cát tuyến MAB đi qua O thì tích

nh thế nào?
Câu trả lời mong đợi:

MA.MB

MA.MB ( MO OA)( MO OB )
 MO  OA d 2  R 2

Ho¹t động 3:
-Từ hai trờng hợp trên, hÃy dự đoán kết quả cho trờng hợp cát tuyến MAB
thay đổi bất kỳ.
Chúng ta mong đợi học sinh dự đoán:
MA.MB d 2 R 2

Hoạt động 4:
-HÃy chứng minh định lý.
c. Lựa chọn hoạt động dựa vào mục tiêu
Nói chung, mỗi nội dung thờng tiềm tàng nhiều hoạt động. Tuy nhiên, nếu
khuyến khích tất cả các hoạt động nh thế thì có thể sa vào tình trạng dàn trải,
làm cho học sinh luôn rối ren. Để khắc phục tính trạng này, cần sàng lọc
những hoạt động đà phát hiện đợc để tập trung vào một số mục tiêu nhất

định. Việc tập trung vào những mục đích nào đó căn cứ vào tầm quan trọng
của mục đích này đối với thực hiện những mục đích còn lại.
Ví dụ: Với bài toán: Cho 2 điểm A, B cố định. Tìm quỹ tích những điểm M
sao cho: MA 2  MB 2 k 2 ( k là hằng số cho trớc).
Trong trờng hợp này, thầy giáo cần lựa chọn cho học sinh các hoạt động
tập trung vào những mục đích chính sau:
- Học sinh nắm vững công thức độ dài đờng trung tuyến, nắm vững định
nghĩa đờng tròn.
- Rèn luyện năng lực dự đoán, phân tích.


9
d. Tập trung vào những hoạt động toán học
Trong khi lựa chọn cho hoạt động, để đảm bảo sự tơng thích của hoạt
động đối với nội dung dạy học, ta cần nắm đợc chức năng mục đích và chức
năng phơng tiện của hoạt động và mối liên hệ giữa hai chức năng này. Trong
môn toán nhiều hoạt động xuất hiện trớc nh phơng tiện để đạt đợc những yêu
cầu toán học: Kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng toán học. Một trong những
hoạt động nh thế nổi bật lên do tầm quan trọng của chúng trong toán học,
trong các môn học khác cũng nh trong thực tế và việc thực hiện thành thạo
những hoạt động này trở thành một trong những mục tiêu dạy học.
Chẳng hạn, với bài toán : Tìm quỹ tích những điểm M thỏa mÃn điều kiƯn:
MA 2  MB 2 k 2 , k

lµ sè cho trớc, giáo viên cần làm cho học sinh ý thức đợc
ý nghĩa của việc lấy điểm O là trung ®iĨm cđa AB nh»m sư dơng c«ng thøc
®êng trung tun, ®Ĩ biÕn ®ỉi biĨu thøc MA 2  MB 2 k 2 ( k lµ sè cho tríc)
thµnh

OM 2 

k 2 AB 2

m
2
4

Qua đó học sinh thấy đợc việc xuất hiện biểu thức OM 2 m nh là phơng tiện
và chức năng cần thiết cho việc tìm quỹ tích của bài toán đà cho, ở đây có
vận dụng hoạt động quy lạ về quen, xem tri thức đà biết nh là phơng tiện
trên con đờng tìm tòi tri thức mới.
1.1.2. Động cơ hoạt động
Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những đối tợng
hoạt động. Gợi động cơ nhằm làm cho những mục tiêu s phạm biến thành
những mục tiêu của cá nhân học sinh, chứ không phải là sự vào bài đặt vấn
đề một cách hình thức.
Gợi động cơ và hớng đích cho hoạt động không phải là việc làm ngắn ngủi
lúc bắt đầu dạy một tri thức nào đó (thờng là một bài học), mà phải xuyên
suốt quá trình dạy học. Vì vậy có thể phân biệt gợi động cơ mở đầu, gợi
động cơ trung gian và gợi động cơ kết thúc.
a. Gợi động cơ mở đầu
Gợi động cơ cho các hoạt động hình học có thể có hình thức sau:
* Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ sự hạn chế:
Ví dụ: Khái niệm góc chuyển từ góc trong hình học phẳng (chỉ xét góc dơng
trong phạm vi từ

(0;360 0 )

sang góc lợng giác (đợc mở rộng cho góc bất kỳ,

10
bao gồm các góc dơng, góc âm, góc không). Nói cách khác vứt bỏ điều hạn
chế từ góc (0;360 0 ) sang gãc α bÊt kú.
* Híng tíi sự tiện lợi, hợp lý hoá công việc
Ví dụ: Mô tả tỉ mỉ, chi tiết quá trình giải phơng trình bậc hai thành một thuật
giải là để tiến tới việc chuyển giao công việc này cho máy tính.
* Chính xác ho¸ mét kh¸i niƯm
VÝ dơ: Trong sgk vËt lý líp 10 định nghĩa vận tốc tức thời đợc phát biểu nh
sau: VËn tèc tøc thêi hay vËn tèc t¹i mét điểm đà cho trên quỹ đạo là đại lợng đo bằng thơng số giữa quÃng đờng đi rất nhỏ tính từ điểm đà cho và
khoảng thời gian rất nhỏ để vật đi hết quÃng đờng đó, kí hiệu là

v

t

= ts .
tt

Định nghià trên có chỗ cha rõ: quÃng đờng đi rất nhỏ, khoảng thời gian
rất nhỏ là nhỏ đến mức nào? ở lớp 10, cha đủ công cụ toán để làm rõ điều
đó. Tuy nhiên ở lớp 12 ta đủ ®iỊu kiƯn ®Ĩ lµm viƯc nµy.
* Híng tíi sù hoµn chØnh hƯ thèng
VÝ dơ: Trêng hỵp b»ng nhau cđa tam giác, thực nghiệm dẫn đến nhận xét là
hai tam giác có hai yếu tố bằng nhau từng đôi một thì cha chắc đà bằng
nhau. Từ đó đi đến lần lợt xét một cách đầy đủ và hệ thống tất cả các trờng
hợp hai tam giác có ba yếu tố bằng nhau từng đôi một.
* Lật ngợc vấn đề
Sau khi đà chứng minh đợc một định lí, một câu hỏi rất tự nhiên thờng đợc
đặt ra là liệu mệnh đề đảo của định lí đó có đúng hay không.

* Xét tơng tự
Ví dụ: Trung điểm 0 của đoạn thẳng AB đợc đặc trng bởi đẳng thức vectơ

OA OB 0 .

Bằng cách tơng tự, hÃy tìm và chứng minh những đẳng thức
vectơ đặc trng cho trọng tâm G của tam giác ABC hay giao điểm O của hai
đờng chéo hình bình hành ABCD.
* Khái quát hoá
Khái quát hoá là thao tác t duy nhằm hợp nhất nhiều đối tợng khác nhau
thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ
chung giống nhau và những thuộc tính chung b¶n chÊt.


11
Theo G.S Nguyễn Bá Kim: Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tợng
sang một tập hợp đối tợng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật
một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát. [1, tr51].
Nh vậy có thể khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái
chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát hơn. Trong
toán học, ngời ta thờng khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái
niệm, định lý, bài toán thành những kết quả tổng quát.
Đặc biệt hoá là thao tác t duy ngợc lại với khái quát hoá.
Ví dụ: Xét các bài toán sau:
Bài 1: Cho 2 điểm A, B phân biệt và hai số thực , thoả mÃn 0 thì:
Tồn tại duy nhất một điểm I sao cho:



 IA   IB 0

vµ M

ta cã

 MA   MB (   ) MI

Bµi 2: Cho 2 điểm phân biệt A, B, I là điểm thoả mÃn:

IA 2 IB

thì M ta

có: MA 2MB MI .
Từ bài toán 1, cho 1 ta đợc bài toán 2; cho 1, 2 đợc bài toán
3. Nh vậy, bài toán 1 là khái quát của bài toán 2 và bài toán 3, còn bài toán 2
và bài toán 3 là đặc biệt của bài toán 1.
* Trừu tợng hoá
Trừu tợng hoá là thao tác t duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính,
những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần
thiết cho t duy. Sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ mang ý
nghĩa tơng đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động.
Ví dụ: Trừu tợng hoá khái niệm hàm số đợc khái niệm ánh xạ.
* Tìm sự liên hệ và phụ thuộc
Ví dụ: Có thể đặt vấn đề xem xét ảnh hởng của các số a và c đối với hình
dạng và vị trí của parabol y ax 2 c nh thế nào.
b. Gợi động cơ trung gian
Gợi động cơ trung gian là gợi động cơ cho những bớc trung gian hoặc cho
những hoạt động tiến hành trong những bớc đó để đạt đợc mục tiêu đó.
Sau đây là những cách dùng để gợi động cơ trung gian:

* Hớng đích:
Hớng đích cho học sinh là hớng vào mục tiêu đặt ra, vào hiệu quả dự kiến
của những hoạt động của họ nhằm đạt những mục tiêu đó.


12
Ví dụ: (Bài tập 26, trang 24, sgk hình học 10 nâng cao)
Chứng minh rằng nếu G và G lần lợt là trọng tâm tam giác ABC và ABC
thì 3GG' AA' BB' CC'
Thầy giáo có thể gợi động cơ và hớng đích cho học sinh nh sau:
-HÃy chuyển giả thiết của bài toán sang ngôn ngữ vectơ và ghi giả thiết, kết
luận của bài toán:
Giả thiết: GA GB  GC 0
KÕt luËn: 3GG' AA'  BB'  CC'
* Quy lạ về quen
Ví dụ: Xét bài toán: Cho hai điểm A, B cố định. Tìm quỹ tích những ®iĨm
M tho¶ m·n ®iỊu kiƯn: MA 2  MB 2 k 2 , k là số cho trớc .
Giả sử M là điểm thoả mÃn bài toán và O là trung ®iĨm AB.
Khi ®ã :

1
AB 2 k 2 AB 2 2k 2  AB 2
OM 2  ( MA 2 MB 2 )


2
4
2
4
4

Vậy ta đà chuyển bài toán về bài toán quen thuộc là tìm quỹ tích những
điểm m thoả mÃn điều kiện: OM 2 k , với k là một số cho trớc.
* Xét tơng tự
Ví dụ: Giả sử học sinh đà giải bài toán Cho tam giác ABC với trọng tâm G.
Chứng minh rằng với ®iĨm O bÊt k× ta cã:

1
OG  (OA  OB OC )
3

bằng cách phân tích vectơ nh sau:
OG OA  AG
OG OB  BG
OG OC  CG

Khi häc sinh giải bài toán tơng tự đối với trọng tâm G của tứ giác ABC, có
thể đặt vấn đề để họ phân tích vectơ tơng tự nh đối với trờng hợp tam gi¸c.
OG OA  AG
OG OB  BG
OG OC  CG
OG OD  DG

* Kh¸i qu¸t ho¸
VÝ dơ: Ta ph¸t triĨn vÝ dơ võa xÐt ë trªn khi häc sinh giải bài toán tổng quát
đối với trọng tâm G của hệ n điểm A 1, A2, , An trong mặt phẳng, có thể đặt


13
vấn đề để họ khái quát hoá cách làm trong trờng hợp tam giác, tứ giác, phân

tích OG theo n c¸ch nh sau:
OG OA1  A1G
OG OA2  A2 G

OG OAn An G

* Xét sự biến thiên và phụ thuộc
Ví dụ: Giải phơng trình 3 x 4 x 5 x
Tríc hÕt häc sinh dƠ dµng thÊy 2 lµ một nghiệm của phơng trình trên.Vấn đề
đặt ra là ngoài nghiệm này, phơng trình còn có nghiệm nào nữa hay không?
x

Muốn vậy, ta xét các biểu thức

x

x

3 4  3
 4
  ,  ,   
5 5 5
5

x

xem các số trị của chúng

thay đổi phụ thuộc vào giá trị của x nh thế nào. Việc xem xét này đợc gợi
động cơ nhê kinh nghiƯm cđa häc sinh cho thÊy r»ng nh÷ng mối liên hệ và

phụ thuộc nhiều khi dẫn tới những hiểu biết mới góp phần giải quyết những
vấn đề đặt ra .
a. Gợi động cơ kết thúc
Nhiều khi, ngay từ đầu hoặc trong khi giải quyết vấn đề, ta cha thể làm rõ
tại sao lại học nội dung này, tại sao lại thực hiện hoạt động kia. Những câu
hỏi này phải đợi mÃi về sau mới đợc giải đáp hoặc giải đáp trọn vẹn. Nh vậy
là ngời ta đà gợi động cơ kết thúc, nhấn mạnh hiệu quả của nội dung hoặc
hoạt động đó với việc giải quyết vấn đề đặt ra.
Ví dụ: Thầy giáo có thể làm cho học sinh hiểu đợc vai trò của tích vô hớng
để giải các bài toán tính độ dài, các bài toán liên quan đến tính góc nhờ các
kiến thức nh :
-Định nghĩa tích vô hớng.
-

AB AB

2

- m.n= a.b trong đó a , b cùng hớng và có độ dài lần lợt bằng m, n cũng
cần phải nói rằng phép cộng, trừ hai véctơ, phép nhân một véctơ với một số
đà đợc trình bày ở chơng 1 trong sách giáo khoa hình học 10 nhng khái niệm
tích vô hớng của hai vectơ, đến chơng 2 mới đợc trình bày, đó là vì phép toán
này cần thiết để xây dựng các hệ thức lợng trong tam giác và đờng tròn.


14
1.1.3. Tri thức trong hoạt động
Nội dung của t tởng chủ đạo này là: Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức,
đặc biệt là tri thức phơng pháp, nh phơng tiện và kết quả hoạt động.
Tri thức vừa là điều kiện vừa là kết quả của hoạt động. Chẳng hạn việc

cộng hai số âm đòi hỏi về tri thức giá trị tuyệt đối của một số và quy tắc cộng
hai số âm. Mặt khác việc tính đạo hàm của một hàm số dựa vào định nghĩa
cũng có thể làm nổi bật một tri thức là quy tắc chung để tính đạo hàm. Vì
vậy trong việc dạy học, ta cần quan tâm cả những tri thức cần thiết lẫn những
tri thức đạt đợc trong quá trình hoạt động. Cần chú ý dạng khác nhau của tri
thức: tri thức sự vật, tri thức phơng pháp, tri thức chuẩn và tri thức giá trị.
Đặc biệt là tri thức phơng pháp định hớng trực tiếp cho hoạt động và ảnh hởng quan trọng tới việc rèn luyện kĩ năng. Vấn đề này đợc trình bày cụ thể
trong chơng 2 của luận văn.
1.1.4. Phân bậc hoạt động
Nội dung t tởng chủ đạo này là: Phân bậc hoạt động làm một căn cứ cho
việc điều khiển quá trình dạy học.
a. Những căn cứ phân bậc hoạt động
+ Sự phức tạp của đối tợng hoạt động.
+ Sự trừu tợng, khái quát của đối tợng.
+ Nội dung của hoạt động.
+ Sự phức hợp của hoạt động.
+ Chất lợng của hoạt động.
+ Phối hợp nhiều phơng diện làm căn cứ phân bậc hoạt động.
b. Điều khiển quá trình học tập dựa vào sự phân bậc hoạt động
Ngời thầy giáo cần biết lợi dụng sự phân bậc hoạt động để điều khiển quá
trình học tập, chủ yếu là theo những hớng sau:
+ Chính xác hoá mục tiêu.
+ Tuần tự nâng cao yêu cầu.
+ Tạm thời hạ thấp yêu cầu khi cần thiết.
+ Dạy học phân hoá.
Hoạt động và hoạt động thành phần; động cơ hoạt động; tri thức trong hoạt
động; phân bậc hoạt động đợc coi là những thành tố cơ sở của phơng pháp
dạy học. Dựa vào đó, ta có thể tổ chức cho học sinh hoạt động một c¸ch tù

15
giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, đảm bảo sự phát triển nói chung và kết
quả học tập nói riêng.
1.2. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Có nhiều thuật ngữ khác nhau khi nói về xu hớng dạy học này nh dạy
học giải quyết vấn đề của Vũ Văn Tảo và dạy học phát hiện và giải quyết
vấn đề của Nguyễn Bá Kim.
Những khái niệm cơ bản và các bớc thực hiện trong dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề:
- Vấn đề: Một bài toán đợc gọi là vần đề nếu chủ thể cha có trong tay
một thuật giải nào để tìm ra phần tử cha biết của bài toán.
- Tình huống gợi vấn đề (hay tình huống có vấn đề) là một tình huống
gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ
thấy cần thiết và có khả năng vợt qua, nhng không phải ngay tức khắc
nhờ một thuật giải, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ,
hoạt động để biến đổi đối tợng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức
sẵn có.
Nh vậy tình huống gợi vấn đề là một tình huống thoả mÃn các yêu cầu
sau:
- Tồn tại một vấn đề.
- Gợi nhu cầu nhận thức.
- Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân.
Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề bao gồm các bớc sau:
Bớc 1: Phát hiện vấn đề
+ Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề
+ Giải thích và chính xác hoá tình huống để hiểu đúng vấn đề đợc đặt ra.
+ Phát biểu vấn đề và đặt mục đích giải quyết vấn đề đó.
Bớc 2: Tìm giải pháp
+ Tìm một cách giải quyết vấn đề thờng đợc thực hiện theo sơ đồ sau
Bắt đầu

Phân tích vÊn ®Ị


16
Đề xuất và thực hiện hớng giải quyết
Hình thành giải pháp

-

Giải pháp đúng
+

Kết thúc
+ Sau khi đà tìm ra một giải pháp, có thể tiếp tục thêm những giải
quyết khác (theo sơ đồ trên) so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp
lý nhất.
Bớc 3: Trình bày giải pháp
Bớc 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
+ Tìm hiểu những khả năng ứng dụng giải pháp.
+ Đề xuất những vấn đề mới có liên quan và giải quyết nếu có thể.
Những hình thức dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:
+ Tự nghiên cứu vấn đề: Trong tự nghiên cứu vấn đề, tính độc lập của học
sinh đợc phát huy cao độ, thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, học
sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề đó. Nh vậy, trong hình thức này, ngời
học độc lập nghiên cứu vấn đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá
trình nghiên cứu này.
+ Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề: Đây là hình thức mà cấp độ độc
lập của học sinh thấp hơn ở hình thức trên. Thầy giáo tạo ra tình huống gợi
vấn đề, sau đó chính bản thân thầy phát hiện vấn đề và trình bày logic của
quá trình suy nghĩ, giải quyết (không đơn thuần trình bày lời giải).

Ví dụ 1: Chứng minh rằng G là trọng tâm của tứ giác ABCD khi và chỉ khi
thoả mÃn điều kiÖn:

1
MG  ( MA  MB  MC  MD )
4

(1), M là điểm bất kỳ.

Bớc 1: Tri giác vấn đề
- Tạo tình huống gợi vấn đề: HÃy phát biểu và chứng minh bài toán tơng tự
mà chúng ta đà biết?
Nh vậy G là trọng tâm tam giác ABC

1
MG  ( MA  MB  MC )
3

Víi ®iĨm M bất kỳ. Vậy điều đó còn đúng nữa hay không ®èi víi tø gi¸c .


17
- Chính xác bài toán: Phân biệt sự giống nhau và khác nhau của bài toán
trong tam giác và trong tứ giác? Trên cơ sở đó dự đoán phơng pháp chứng
minh bài toán mới( hớng đích bộ phận: tìm cách giải quyết).
- Phát biểu vấn đề: Ta cần chứng minh theo 2 chiều:
Chiều thuận: giả sử G là trọng tâm tứ giác ABCD, M là điểm bất kỳ. Ta
chứng minh

1

MG  ( MA  MB  MC  MD )
4

ChiÒu ®¶o: gi¶ sư ®· cã

1
MG  ( MA  MB MC MD )
4

(1),với M là điểm bất

kỳ.Cần chứng minh điểm G thoả mÃn (1) là trọng tâm tứ giác ABCD.
Bớc 2: Giải quyết vấn đề
D
Vẽ tứ giác ABCD . HÃy xác định
A
trọng tâm G trên hình vẽ?
-Với xác định nh vậy, G là trung
I
J
điểm của IJ. Điều này gợi cho ta liên
G
hệ đẳng thức :

1
MG ( MI MJ )
2

B
C

- Từ kết quả trên làm thế nào ®Ó cã
(1). Ta sÏ ®a
MJ 

MI, MJ

1
MC  MD
2



qua

MA, MB, MC, MD

bởi đẳng thức:

MI

1
MA MB
2



;

Thay vào (*) ta có:

1
MG  ( MA  MB  MC  MD )
4

Ta đà chứng minh đợc chiều thuận, để hoàn chỉnh yêu cầu bài toán, ta cần
chứng minh điều gì nữa? (hớng đích bộ phận).
- Lật ngợc vấn đề: Cho tứ giác ABCD có điểm G thoả mÃn:
1
MG ( MA MB MC MD ) ,
4

với M là điểm bất kỳ.

Điểm G nh vậy có thể là trọng tâm của tứ giác hay không.
Quy về xác định trọng tâm ở trên, gọi I, J lần lợt là trung điểm của AB, CD.
Chứng minh G là trọng tâm tứ giác ABCD quy về việc chứng minh G là
trung điểm của IJ.
- Với G đà cho, I, J lần lợt là trung điểm của AB và CD ta có:
MA MB 2MI (2); MC  MD 2MJ (3).


18
- Quan sát giả thiết, ta tìm cách đa về vấn đề gần gũi hơn (quy lạ về quen):
Cộng vế theo vÕ (2) vµ (3) ta cã:



MA  MB  MC MD 2 MI MJ

Kết hợp giả thiết ta đợc:


1
MG ( MI MJ ) .
2

Chứng tỏ G là trung điểm của IJ

hay G thoả mÃn (1) chính là trọng tâm tứ giác ABCD.
Bớc 3: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
- ở trên ta đà xác định trọng tâm G bằng cách lấy G là trung điểm đoạn
thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của tứ giác. Còn cách xác định nào
khác không?
- Nhìn lại bài toán đảo: Với cách chứng minh trên cho ta tơng ứng một phơng
pháp xác định trọng tâm. Nh vậy có thể chứng minh bằng phơng pháp khác
để có cách xác định trọng tâm mới.
- Thử gọi O là trong tâm tam giác BCD, áp dụng hình học phẳng ta đợc gì?
OB OC OD 0 (4)
Làm sao sử dụng (4) khi biết (1)?
Dùng quy tắc 3 điểm, phân tÝch nh sau:
MG MO  OG
MA MO  OA
MB MO  OB
MC MO  OC
MD MO  OD

Tõ (1):

MG 

1
MA  MB  MC  MD
4





1
4

 MO  OG  (4MO  OA  OB  OC  OD)
1
4

 OG OA

Với (5) ta hoàn toàn xác định đợc trọng t©m G cđa tø diƯn khi biÕt träng t©m
O cđa tam giác BCD.
1.3. Quan điểm triết học duy vật biện chứng trong quá trình dạy học
toán.
Phép biện chứng duy vật là cơ sở phơng pháp luận cho mọi lĩnh vực khoa
học, trong đó có phơng pháp dạy học môn toán. Nó quyết định những quan
điểm xuất phát, chiến lợc nghiên cứu, quyết định việc lựa chọn phơng pháp


19

ngiên cứu và giải thích kết quả. Những t tởng cơ bản của phơng pháp duy vật
biện chứng cần đợc thể hiện trong nghiên cứu phơng pháp dạy học môn toán
là:
* Xem xét những quá trình và hiện tợng trong mối liên hệ nhiều mặt và tác
động qua lại giữa chúng.
* Xem xét những quá trình và hiện tợng trong sự vận động và phát triển,
vạch ra những bớc chuyển hoá từ sự biến đổi về lợng sang biến đổi về chất.
* Phát hiện những mâu thuẫn nội tại và sự đấu tranh giữa những mặt đối lập
để tìm ra những động lực phát triển.
* Thừa nhận thực tiễn nh nguồn gốc của nhận thức và tiêu chuẩn của tâm lí.
Chẳng hạn, muốn nghiên cứu sự phát triển năng lực khái quát hóa cho học
sinh thông qua môn toán, ta không xem xét năng lực này một cách cô lập,
trái lại phải nghiên cứu nó trong mối liên hệ chặt chẽ với những năng lực trí
tuệ khác nh phân tích, tổng hợp, so sánh, tơng tự, khái quát hóa,....
Sau đây, chúng tôi làm rõ một số cặp phạm trù trong phép biện chứng của t
duy toán học:
Quan hệ giữa cụ thể và trừu tợng trong t duy toán học: Khi nói về mối quan
hệ giữa cái cụ thể và cái trừu tợng trong quá trình sáng tạo toán học, giáo s
Nguyễn Cảnh Toàn đà nói: Trong quá trình giải quyết một đề tài, những
khái quát có tính lí luận thờng không ra đời một cách đơn giản, có khi phải
xét rất nhiều trờng hợp đặc biệt, cụ thể để từ đó lần mò ra cái trừa tợng, khái
quát.... Ngợc lại, trong quá trình giải quyết một đề tài thì càng nắm vững
những lí luận trừu tợng, hiện đại, khái quát bao nhiêu thì càng có nhiều công
cụ sắc bén để phát hiện ra cái mới bấy nhiêu. Đối với toán học thì những lý
luận và khái quát xung quanh các khái niệm tập hợp, ánh xạ, cấu trúc, mô
hình đà từng là những công cụ hiệu lực của những ngời nghiên cứu.
Trong quá trình dạy học, cái cụ thể và cái trừu tợng thống nhất biện
chứng với nhau theo hai chiều: từ cụ thể đến trừu tợng và ngợc lại. Do vậy,
giáo viên nên chú ý kết hợp t duy cụ thể và t duy trừu tợng, kết hợp các hình
thức trực quan trực tiếp với trực quan gián tiếp cũng nh các thao tác trí tuệ để

học sinh có thể chiếm lĩnh kho tàng tri thức của nhân loại một cách có chất lợng và hiệu quả.


20
Ví dụ: Trong lĩnh vực số, từ các tập hợp đối tợng cụ thể, rời rạc ngời ta xây
dựng khái niệm các số tự nhiên. Rồi từ các số tự nhiên xây dựng nên số
nguyên, rồi đến số hữu tỉ, số thực, số phức.
Quan hệ giữa cái chung và cái riêng trong t duy toán học: Nhận thức đi từ
cái riêng đến cái chung, rồi cái chung lại chuyển hóa thành cái riêng. Xét
trên một phơng diện nào đó thì cái riêng và cái chung mâu thuẫn, nhng khi
xét trên một phơng diện khác thì cái chung và cái riêng là thống nhất: cái
chung bao trùm lên cái riêng, cái riêng nằm trong cái chung; mỗi cái riêng
có thể nằm trong nhiều cái chung khác nhau và mỗi cái chung nh vậy ứng
với một cách nhìn về cái riêng, ứng với một quan điểm làm cơ sở cho sự
thống nhất giữa cái chung đó và cái riêng. Từ một cái riêng nếu biết nhìn
theo nhiều quan điểm khác nhau thì có thể khái quát hóa thành nhiều cái
chung khác nhau, và đôi khi đem đặc biệt hóa nhiều cái chung khác nhau ta
lại đợc một cái riêng.
Ví dụ: - Đờng tròn vừa là trờng hợp riêng của mặt cầu, vừa là trờng hợp
riêng của elip.
- Nếu xét về số chiều thì đờng tròn và mặt cầu là mâu thuẫn, nhng xét về
tính chất cách đều một điểm cố định thì đờng tròn và măt cầu là thống nhất.
- Nếu xét về số chiều thì đờng tròn và elip là thống nhất, nhng khi xét về
tính chất cách đều một điểm cố định thì đờng tròn và elip lại mâu thuẫn.
Quan hệ giữa nguyên nhân và kết quả: Quan hệ giữa nguyên nhân và kết
quả mà ta thờng gọi là mối liên hệ nhân quả, vừa có tính khách quan, có tÝnh
tÊt u võa cã tÝnh phỉ biÕn. Chóng ta ®Ịu biÕt, t duy to¸n häc cịng nh néi
dung, kiÕn thøc toán học là một chuỗi mắt xích liên kết chặt chẽ với nhau,
các nội dung đà biết sẽ tạo tiền đề và giải thích cho sự xuất hiện của một nội
dung mới, và đôi khi một nội dung mới xuất hiện sẽ giải thích căn nguyên sự

tồn tại của các kiÕn thøc cị. Mét kÕt qu¶ cã thĨ do nhiỊu nguyên nhân sinh
ra hoặc các kết quả đợc tạo ra từ cùng một nguyên nhân.
Ví dụ: +)
là hình bình hành
AB // CD

AB CD

ABCD

+) I là trung điểm của đoạn thẳng AB
(Với M là điểm bất kỳ).


IA  IB 0
 
 MA  MB 2 MI