độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.3 MB, 62 trang )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
–––––––––––––––––––
LÊ THANH SƠN
ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn
Thái Nguyên - Năm 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan: Bài luận văn tốt nghiệp này là công trình nghiên cứu
thực sự của cá nhân tôi, đƣợc thực hiện trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết,
nghiên cứu khảo sát và phân tích từ thực tiễn dƣới sự hƣớng dẫn khoa học của
GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu đƣợc trình bày trong
luận văn là hoàn toàn trung thực và chƣa đƣợc sử dụng để bảo vệ cho một học
vị nào, phần trích dẫn và tài liệu tham khảo đều đƣợc ghi rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, ngày tháng năm 2013
Tác giả
Lê Thanh Sơn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ii
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận tình và nghiêm
khắc của thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, nhân dịp này em xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự hƣớng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn đối với các thầy giáo, cô giáo ở Viện Toán
học và Phòng quản lý đào tạo sau đại học cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo
của trƣờng ĐHSP Thái Nguyên.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng GD&ĐT Sông Lô, Trƣờng THCS
Lãng Công đã tạo điều kiện về thời gian để có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn học viên đã chia sẻ cùng tôi những
khó khăn trong những năm tháng học tập xa nhà.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này đƣợc hoàn chỉnh hơn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2
3. Bố cục luận văn 3
Chƣơng I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4
1.1. Các không gian thƣờng dùng 4
1.1.1. Không gian Metric. 4
1.1.2. Không gian tuyến tính định chuẩn 6
1.1.3. Không gian Hilbert 8
1.1.4. Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phƣơng Hausdoff 10
1.1.5. Không gian đối ngẫu. 11
1.2. Ánh xạ đa trị 11
1.3. Bài toán tối ƣu. 12
1.4. Kết luận 14
Chƣơng II. ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN
PHÂN SUY RỘNG 15
2.1 Khái niệm cơ bản 15
2.2. Các kết quả bổ trợ 17
2.3. Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ
thuộc tham số 19
2.4. Các trƣờng hợp đặc biệt 32
2.5. Một vài ứng dụng 34
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iv
2.6. Kết luận 37
Chƣơng III. TÍNH LIÊN TỤC HOLDER CỦA NGHIỆM BÀI TOÁN
BIẾN PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 38
3.1. Tính chất liên tục Holder của nghiệm của
,P
. 39
3.2. Các kết quả bổ trợ 41
3.3. Chứng minh định lý 3.1.1 48
3.4. Kết luận 54
KẾT LUẬN CHUNG 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO 56
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời cách đây hơn 50 năm với các
công trình quan trọng của G. Stampacchia, P. hartman, G. Fichera, J. L. Lions
và F. E. Browder. Trong suốt hơn 50 năm qua, lý thuyết này đã thu hút đƣợc
sự quan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nƣớc. Có rất nhiều bài báo, rất
nhiều cuốn sách đề cập đến các bất đẳng thức biến phân và ứng dụng của
chúng. Hiện nay những bài toán phụ thuộc tham số đang đƣợc các nhà toán
học và các nhà khoa học khác quan tâm nghiên cứu rất nhiều và có những ứng
dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực.
Giả sử
K
là một tập lồi đóng trong không gian định chuẩn
X
,
*
:f K X
là ánh xạ đơn trị từ
K
vào không gian đối ngẫu
*
X
của
X
. Bài
toán “ Tìm
xK
sao cho
,0f x x x
với mọi
xK
” đƣợc gọi là bất
đẳng thức biến phân xác định bởi toán tử
f
trên tập
K
. Nếu
*
:2
X
FK
là
một ánh xạ đa trị từ
K
vào
*
X
thì bài toán “ Tìm
xK
sao cho tồn tại
*
x F x
thỏa mãn
*
,0x x x
với mọi
xK
” đƣợc gọi là bất đẳng
thức biến phân suy rộng xác định bởi tập
K
và toán tử
F
.
Khi toán tử
fF
phụ thuộc tham số
và tập hạn chế
K
phụ thuộc
tham số
nào đó thì bài toán trên đƣợc gọi là bất đẳng thức biến phân phụ
thuộc tham số ( bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số, tƣơng
ứng). Ở đây
,
là cặp tham số của bài toán.
Bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số và bất đẳng thức biến phân
suy rộng phụ thuộc tham số, cùng với các ứng dụng khác nhau của chúng là
nội dung chính của luận văn này. Tƣơng tự nhƣ trong nhiều lĩnh vực toán học
khác, các vấn đề chủ yếu đƣợc nghiên cứu trong lý thuyết bất đẳng thức biến
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
phân là sự tồn tại nghiệm, tính liên tục của tập nghiệm theo tham số, và các
thuật toán tìm nghiệm.
Để tiện theo dõi luận văn này, ta nhắc lại kết quả trong
14
:
Giả sử
H
là không gian Hilbert thực,
M
và
là hai tập tham số khác
rỗng lấy trong hai không gian định chuẩn nào đó,
:f H M H
là ánh xạ
đơn trị,
:2
H
K
là ánh xạ đa trị nhận giá trị là các tập lồi, đóng, khác rỗng.
Xét bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số:
T m sao cho
, , 0, ,
ì x K
f x y x y K
0.1
ở đó
, M
là cặp tham số của bài toán và
,
là ký hiệu tích vô
hƣớng trong
H
. Với cặp tham số
, M
cho trƣớc, ta có thể xem
0.1
nhƣ một bài toán nhiễu của bất đẳng thức biến phân sau đây:
T m sao cho
, , 0, .
ì x K
f x y x y K
0.2
Giả sử
x
là một nghiệm của
0.2
. Chúng ta cần biết xem liệu
0.1
có thể
cónghiệm
,xx
ở gần
x
khi
,
ở gần
,
hay không, và hàm
,x
có dáng điệu nhƣ thế nào. Nói cách khác là ta cần nghiên cứu độ
nhạy của nghiệm
x
đối với sự thay đổi của
,
.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số kết quả về độ
nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng có phụ thuộc tham số
trong không gian Banch phản xạ và một số áp dụng để khảo sát độ nhạy
nghiệm của bài toán quy hoạch lồi phụ thuộc tham số.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ sau đây:
Trình bày kiến thức cơ bản.
Trình bày độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng.
Trình bày tính liên tục Holder của nghiệm bài toán biến phân phụ thuộc
tham số.
3. Bố cục luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chƣơng.
Chƣơng 1 kiến thức chuẩn bị. Trong đó mục 1.1 trình bày các không
gian thƣờng dùng. Mục 1.2 trình bày ánh xạ đa trị. Mục 1.3 nhắc lại bài toán
tối ƣu.
Chƣơng 2 nghiên cứu độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy
rộng. Trong đó, Mục 2.1 trình bày các ký hiệu và khái niệm liên quan đến bất
đẳng thức biến phân. Mục 2.2 trình bày một số sự kiện về toán tử đơn điệu
cực đại. Mục 2.3 thiết lập các điều kiện đủ cho tính liên tục tựa Holder của
ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng, Mục 2.4 đề cập tới một
số trƣờng hợp riêng. Mục 2.5 đƣợc dành cho việc áp dụng các kết quả thu
đƣợc trong các mục trƣớc để nghiên cứu độ nhạy nghiệm của bài toán quy
hoạch lồi có tham số.
Chƣơng 3 nghiên cứu các tính chất liên tục kiểu Lipschitz-Holder của
nghiệm các bài toán biến phân phụ thuộc tham số. Mục 3.1 trình bày bài toán
và các bổ đề bổ trợ. Mục 3.2 thiết lập một số kết quả về tính liên tục Lipschitz
và tính đơn điệu mạnh của toán tử đạo hàm. Mục 3.3 trình bày chứng minh
định lý chính của chƣơng này. Bằng cách sử dụng các kết quả của chƣơng 2
và các mục 3.1 và 3.2, chúng ta có đƣợc kết quả về tính chất liên tục kiểu
Lipschitz-Holder của ánh xạ nghiệm theo tham số.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Chƣơng I
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chƣơng này chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản để sử
dụng trong suốt luận văn này.
1.1. Các không gian thƣờng dùng
1.1.1. Không gian Metric.
Định nghĩa 1.1.
4, .33p
Một tập hợp
X
đƣợc gọi là một không gian
metric nếu: a) Với mỗi cặp phần tử
,xy
của
X
đều có xác định, theo một quy
tắc nào đó, một số thực
,xy
; b) Qui tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện sau
đây:
1.
,y 0x
nếu
xy
;
,y 0x
nếu
xy
( tính tự phản xạ),
2.
,y ,x y x
với mọi
,xy
(tính đối xứng),
3.
,y , z,yx x z
với mọi
,,x y z
(bất đẳng thức tam giác).
Hàm số
,yx
gọi là metric của không gian và cặp
,X
đƣợc gọi
là không gian metric.
Ví dụ. 1) Một tập
M
bất kỳ của đƣờng thẳng
R
, có khoảng cách thông
thƣờng
,yx x y
(độ dài đoạn nối
x
và
y
), là một không gian metric.
2) Tổng quát hơn, trong không gian
k
chiều
k
R
, có thể xác định
khoảng cách giữa hai điểm
12
, , ,
k
x
và
12
, , ,
k
y
là :
2
1
,
k
ii
i
xy
là không gian metric.
Trong không gian metric, nhờ có khoảng cách, nên có thể định nghĩa:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
1) Sự hội tụ. Ta nói một dãy điểm
12
, , xx
của một không gian metric
X
hội tụ tới điểm
x
của không gian đó nếu
lim , 0
n
n
xx
. Ta viết
n
xx
hoặc
lim
n
xx
, và điểm
x
gọi là giới hạn của dãy
n
x
.
2) Lân cận. Một hình cầu tâm
a
, bán kính
0rr
, trong một
không gian metric
X
, là tập:
, : ,B a r x x a r
.
Hình cầu tâm
a
, bán kinh
r
, cũng gọi là một
r
- lân cận của điểm
a
và mọi
tập con của
X
bao hàm một
r
- lân cận nào đó của điểm
a
gọi là một lân cận
của điểm
a
.
Điểm trong: điểm
x
gọi là một điểm trong của tập
A
nếu có một lân
cận của
x
nằm trong tập
A
.
3) Tập mở. Một tập là mở nếu mọi điểm thuộc nó đều là điểm trong.
4) Tập đóng. Một tập là đóng nếu mọi điểm không thuộc nó đều là
điểm trong của phần bù của nó.
Bốn khái niệm trên có mối quan hệ mật thiết với nhau: ba khái niệm
còn lại đều suy ra từ một khái niệm cho trƣớc và chúng cùng sinh ra trên tập
X
một cấu trúc, cấu trúc này đƣợc gọi là cấu trúc tôpô.
Dãy
n
xX
đƣợc gọi là dãy Cauchy nếu
,0
nm
xx
khi
,nm
. Không gian metric mà mọi dãy Cauchy đều hội tụ thì đƣợc gọi là
không gian metric đủ.
Bao đóng: Giả sử
A
là tập con của
X
. Giao của tất cả các tập hợp
đóng chứa
A
gọi là bao đóng của tập hợp
A
và ký hiệu
A
.
Từ định nghĩa lân cận ta có các định nghĩa sau: Với
aX
,
0, X
.
Tập:
( , ) : ( , )B a x X a x
, gọi là hình cầu mở tâm
a
, bán kính
.
Tập:
( , ) : ( , )B a x X a x
, gọi là hình cầu đóng tâm
a
, bán kính
.
Hình cầu đợn vị đóng trong
X
đƣợc ký hiệu
X
B
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
5) Ánh xạ liên tục. Cho hai không gian metric
X
và
Y
(metric trên
X
ký hiệu là
X
, metric trên
Y
ký hiệu là
Y
). Một ánh xạ
f
từ
X
vào
Y
gọi
là liên tục tại điểm
0
xX
nếu
00xX
:
00
,,
XY
x x f x f x
.
Ánh xạ
f
đƣợc gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm
xX
. Ta
thấy định nghĩa này cũng tƣơng đƣơng với định nghĩa qua khái niệm hội tu,
tập đóng, tập mở. Ví dụ
f
liên tục tại
0
x
khi và chỉ khi mọi
0n
xx
thì
0n
f x f x
.
Trong không gian metric ta cũng có khái niệm khoảng cách Hausdoff
giữa hai tập hợp: Cho một tập
A
trong không gian metric
,X
. Với mỗi
điểm
xX
ta đặt
, inf , :x A x y y A
và gọi
,xA
là khoảng
cách từ điểm
x
đến tập
A
. Hiển nhiên
,0xA
khi và chỉ khi có một dãy
n
yA
sao cho
1
, 1,2,
n
x y n
n
tức là sao cho
n
yx
. Do đó
,0xA
đồng nghĩa với
xA
(bao đóng của
A
). Tập
:,A x X x A
gồm những điểm cách tập
A
không quá
, gọi là
- bao của
A
. Nếu
,AB
là hai tập trong không gian metric
,X
thì
BA
có nghĩa là mọi điểm của
B
đều cách
A
không quá
. Khi ấy số
, inf 0: , ,d A B A B B A
gọi là khoảng cách Hausdoff giữa hai tập
A
và
B
.
1.1.2. Không gian tuyến tính định chuẩn
Trong mục 1.1.1 ta thấy trong không gian metric ta đã nghiên cứu các
vấn đề liên quan tới khoảng cách nhƣ sự hội tụ và tính liên tục. Trong giải tích
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
còn nhiều vấn đề khác liên quan tới các phép tính tuyến tính: cộng hai phần tử
với nhau và nhân một phần tử với một số. Để nghiên cứu vấn đề này, ta đƣa
vào khái niệm không gian véc tơ.
Định nghĩa 1.2.
4, .180p
Một tập
X
đƣợc gọi là một không gian vectơ
nếu: a) Ứng với mỗi cặp phần tử
,xy
của
X
ta có, theo một quy tắc nào đó,
một phần tử của
X
, gọi là tổng của
x
với
y
, và đƣợc ký hiệu
xy
; ứng với
mỗi phần tử
xX
và mỗi số thực
ta có, theo một quy tắc nào đó, một
phần tử của
X
gọi là tích của
x
với
và đƣợc ký hiệu
x
.
b) Các qui tắc nói trên thỏa mãn 8 điều kiện sau đây:
1)
x y y x
.
2)
x y z x y z
.
3) Tồn tại một phần tử
0
sao cho
0,x x x X
.
4) Ứng với mỗi phần tử
xX
ta có một phần tử
xX
sao cho
0xx
.
5)
1 xx
.
6)
,xx
là những số bất kỳ ).
7)
x x x
.
8)
x y x y
.
Định nghĩa 1.3.
4, .186p
Cho
X
là một không gian tuyến tính trên
trƣờng
K
, chuẩn trên
X
là hàm số:
.:XR
thoả mãn:
1)
0x
,
00xx
.
2)
xx
, với mọi
K
.
3)
x y x y
, với mọi
x
,
y
X
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Khi đó
đƣợc gọi là một chuẩn trên
X
và (
X
,
.
) đƣợc gọi là không gian
tuyến tính định chuẩn.
Giả sử
X
và
Y
là hai không gian tuyến tính định chuẩn, một toán tử
A
từ
X
vào
Y
gọi là liên tục nếu
0n
xx
luôn luôn kéo theo
0n
Ax Ax
. Ta có,
một toán tử tuyến tính
A
từ
X
vào
Y
là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn.
Vì không gian định chuẩn là trƣờng hợp riêng của không gian metric,
trong mục 1.1.1 ta đã nghiên cứu về sự hội tụ trong không gian metric, vậy sự
hội tụ trong không gian định chuẩn nhƣ thế nào? Trong không gian véc tơ
X
ta xác định một chuẩn, nghĩa là ứng với mỗi phần tử
x
một số
0x
thỏa
mãn ba điều kiện trên, thì ta biến nó thành một không gian metric, với metric:
,x y x y
.
Khi đó ta phát biểu theo chuẩn sẽ có một số kết quả sau:
1)
0n
xx
, có nghĩa là
0
0
n
xx
.
2) Nếu
0n
xx
thì
0n
xx
, nói khác đi, chuẩn
x
là một hàm liên
tục của
x
.
3) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là: Nếu
n
x
hội tụ thì
n
k n x k
.
4) Nếu
0n
xx
,
0n
yy
thì
00nn
x y x y
. Nếu
0n
xx
,
0n
,
thì
00nn
xx
. Nói khác đi là các phép toán
xy
và
x
là liên tục. Ta nói
rằng cấu trúc đại số tƣơng thích với cấu trúc tôpô.
1.1.3. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.4.
4, .315p
Một không gian vectơ thực
X
đƣợc gọi
là không gian tiền Hilbert, nếu trong đó có xác định một hàm hai biến
,xy
,
gọi là tích vô hƣớng của hai vectơ
,xy
, ký hiệu là
.,.
với các tính chất
1)
,,x y y x
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
2)
, , ,x y z x z y z
.
3)
,,x y x y
với mọi số thực
.
4)
,0xx
nếu
0x
;
,0xx
nếu
0x
.
Hơn nữa ta chứng minh đƣợc
2
,x x x
, tức là
,x x x
xác
định một chuẩn trong không gian
X
, nói cách khác không gian tiền Hilbert
định nghĩa nhƣ trên là một không gian định chuẩn và do đó cũng là một
không gian metric.
Mặt khác ta chứng minh đƣợc tích vô hƣớng
,xy
là một hàm liên tục
đối với
x
và
y
.
Một không gian tiền Hilbert đủ gọi là không gian Hilbert.
Trên không gian Hilbert ta có: Với mỗi vectơ
a
cố định thuộc một
không gian Hilbert
X
, hệ thức
,f x a x
,
xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục
fx
trên không gian
X
, với
fa
.
Ngƣợc lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục
fx
nào trên một không
gian Hilbert
X
cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dƣới dạng
,f x a x
,
trong đó
a
là một vectơ của
X
thỏa mãn
fa
.
Từ trên ta cũng có kết quả sau: Mỗi toán tử tuyến tính liên tục
A
trong
không gian Hilbert
X
xác định theo
,,f x y Ax y
một phiếm hàm song
tuyến tính liên tục
,f x y
nghiệm đúng
fA
. Ngƣợc lại bất kỳ phiếm
hàm song tuyến tính liên tục
,f x y
nào trên
X
cũng có thể biểu diễn một
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
cách duy nhất dƣới dạng
,,f x y Ax y
trong đó
A
là một toán tử tuyến
tính liên tục trên
X
thỏa mãn
fA
.
1.1.4. Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phƣơng Hausdoff
Định nghĩa 1.5.
4, .372p
Cho một tập
X
bất kỳ. Ta nói một họ
T
những tập con của
X
là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô) trên
X
nếu:
i
Hai tập
0
và
X
đều thuộc họ
T
.
ii
T
kín đối với phép giao hữu hạn, tức là, giao của một số hữu hạn
tập thuộc họ
T
thì cũng thuộc họ đó.
iii
T
kín đối với phép hợp bất kỳ, tức là, hợp của một số bất kỳ (hữu
hạn hay vô hạn) tập thuộc họ
T
thì cũng thuộc họ đó.
Một tập
X
, cùng với một tôpô
T
trên
X
, gọi là không gian tôpô
,XT
.
Vì họ các tập mở trong một không gian metric thỏa mãn các điều kiện
trên, nên các không gian metric đều là không gian tôpô.
Lân cận. Lân cận của một điểm
x
trong một không gian tôpô
X
là bất
cứ tập hợp nào bao hàm một tập mở chứa
x
. Nói cách khác
V
là lân cận của
x
nếu có một tập mở
G
sao cho
x G V
.
Tập đóng. Một tập là đóng nếu nó chứa tất cả các điểm biên của nó.
Ánh xạ liên tục. Cho
,XY
là hai không gian tôpô. Một ánh xạ
f
từ
X
vào
Y
đƣợc gọi là liên tục tại
0
x
, nếu với mọi lân cận
0
y
U
của điểm
00
y f x
đều có một lân cận
0
x
V
của điểm
0
x
sao cho
00
xy
f V U
,
nghĩa là:
00
xy
x V f x U
. Ánh xạ
f
đƣợc gọi là liên tục nếu nó liên tục
tại mọi
xX
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Không gian Hausdoff: Không gian tôpô (
X
,
T
) đƣợc gọi là
2
T
-
không gian ( không gian Hausdoff) nếu với hai điểm
12
xx
,
12
,x x X
luôn
tồn tại hai tập mở
,UV
T
sao cho:
12
,x U x V
và
0UV
.
1.1.5. Không gian đối ngẫu.
4, .404p
Khi
X
là một không gian vec tơ tô pô thì tập hợp các phiếm hàm tuyến
tính liên tục trên
X
gọi là không gian đối ngẫu của
X
và đƣợc ký hiệu
*
X
.
Đó là một không gian véc tơ với các phép toán tự nhiên:
1 2 1 2
11
,
.
f f x f x f x
f x f x
Nếu
X
là không gian định chuẩn thì ta có thể đƣa vào trong
*
X
một
chuẩn để nó biến thành một không gian định chuẩn đủ ( Banach).
Với
X
là không gian Banach, có không gian đối ngẫu là
*
X
, gọi
**
X
là không gian đối ngẫu của
*
X
. Trong trƣờng hợp
**
XX
thì
X
đƣợc gọi là
không gian Banach phản xạ.
1.2. Ánh xạ đa trị
Ta có:
2
Y
là ký hiệu họ các tập con của tập
Y
.
Định nghĩa 1.6. Cho
,XY
là các tập hợp,
:F X Y
đƣợc gọi là ánh xạ
đa trị nếu
F
chuyển
xX
thành một tập hợp
F x Y
,
Fx
là ảnh của
x
.
Ta có: 1)
,,A X F A F X x A
, là ảnh của tập hợp
A
.
2)
1
,:y Y F y x X y F y
là tiền ảnh của
y
.
3)
11
,,B Y F B F y X y B
là tiền ảnh của
B
.
4)
:0DomF x X F x
là miền định nghĩa của
F
.
5)
af , :Gr F x y X Y y F x
đồ thị của
F
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Từ định nghĩa 1.6 ta có định nghĩa ánh xạ đa trị đóng nhƣ sau: Cho
,XY
là các không gian tô pô,
:2
Y
FX
, ký hiệu là ánh xạ đa trị từ
XY
.
Nếu
afGr F X Y
là tập đóng thì
F
đƣợc gọi là ánh xạ đa trị đóng
( , ) af ,( , ) ( , ) ( , ) af
n n n n
x y Gr F x y x y x y Gr F
tức là
af ( ) ( )
nn
y Gr F x y F x
.
Ta xét tính liên tục của ánh xạ đa trị: Cho
:2
Y
FX
là ánh xạ đa trị,
ta nói rằng:
i
F
là nửa liên tục trên tại
x domF
nếu
B
là tập mở trong
Y
,
()F x B
thì tồn tại lân cận
x
U
của
:,x F x B x U
.
ii
F
là nửa liên tục dƣới tại
x domF
nếu
B
là tập mở,
( ) 0B F x
thì tồn tại lân cận
x
U
của
: 0,
x
x B F x x U domF
.
Tính Lipshitz. Cho
X
là không gian định chuẩn. Ta nói rằng
f
là
hàm Lipshitz trên tập
D
X
, nếu tồn tại
0l
sao cho:
f x f x l x x
, với mọi
,x x D
.
Hơn thế nữa: 1) Hàm
f
đƣợc gọi là Lipshitz địa phƣơng tại
xX
, nếu
tồn tại số
0
sao cho
f
là hàm Lipshitz trên hình cầu
,B x D
.
2) Hàm
f
đƣợc gọi là Lipshitz địa phƣơng trên tập
D
,
nếu nó Lipshitz địa phƣơng tại mọi điểm của
D
.
1.3. Bài toán tối ƣu.
3, .10p
Cho
D
là một tập khác rỗng của không gian
X
. Bài toán: Tìm điểm
0
xD
thỏa mãn
0
,F x F x
với mọi
xD
,
ta viết
0
min
xD
F x F x
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
và gọi
0
x
là nghiệm tối ƣu toàn cục của bài toán . Và, nếu tìm đƣợc điểm
0
xD
sao cho tồn tại lân cận
U
của
0
x
để
0
,F x F x
với mọi
x U D
,bài toán đƣợc gọi là bài toán
tối ƣu địa phƣơng và
0
x
đƣợc gọi là nghiệm tối ƣu địa phƣơng của bài toán .
Trong lý thuyết tối ƣu tổng quát, ta cũng cần lƣu ý rằng, bài toán trên
có liên quan mật thiết với một số bài toán khác dƣới đây:
1. Bài toán điểm cân bằng
Cho
D
là tập con khác rỗng của không gian
,:X f D D R
. Tìm
xD
sao cho:
, 0, .f x y x D
2. Bài toán bất đẳng thức biến phân
Gọi
*
X
là không gian đối ngẫu của
X
. Nếu
*
,x X f X
, ta định
nghĩa
,x f f x
, là giá trị của
f
tại
x
. Cho
DX
là tập hợp lồi, đóng,
khác rỗng. Cho ánh xạ
*
: , :A D X D R
. Tìm
uD
sao cho
,0A u v u v u
, với mọi
vD
.
3. Bài toán điểm bất động
Cho
X
là không gian Hilbert,
DX
là tập hợp con khác rỗng,
:T D D
là ánh xạ đơn trị. Tìm
xD
sao cho:
T x x
.
4. Bài toán cân bằng Nash
Cho
,
ii
D X i I
là các tập con khác rỗng trong
i
X
(với
I
là tập hữu
hạn các phần tử,
,
i
i I X
là những không gian). Đặt
i
iI
DD
và xét các
hàm
:
i
f D R
. Với mỗi
i
iI
x x D
, ta đặt
,
i
j
j I j i
xx
. Tìm
i
iI
x x D
sao cho :
,,
i
i i i i i
f x f x y y D
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
5. Bài toán điểm yên ngựa
Cho
12
,D D X
và
12
:D D R
. Tìm
12
,xx
sao cho
1 2 1 2
,x x D D
và
1 2 1 2 1 2
,,,x y x x y x
, với mọi
1 2 1 2
,y y D D
.
6. Bài toán bù
Cho
C
là nón lồi, đóng trong
X
. Gọi
*
C
là nón cực của
C
. Xét ánh xạ
*
:T C C
, với
*
X
là không gian tô pô đối ngẫu của
X
. Tìm
xX
sao cho
*
, , , 0x C T x C T x x
.
7. Bài toán tựa tối ƣu loại I
Cho
K
là tập hợp khác rỗng của không gian
Y
nào đó,
: 2 , : 2
DK
S D K T D K
là các ánh xạ đa trị,
:F K D D R
là
hàm số. Tìm điểm
,x y D K
sao cho
1)
,x S x y
,
2)
,y T x y
,
3)
,
, , min , ,
x S x y
F y x x F y x x
.
8. Bài toán tựa tối ƣu loại II
Tiếp theo cho
: 2 ,i 1,2, : 2
DK
i
S D T D
là các ánh xạ đa trị,
:F K D D R
là hàm số. Tìm điểm
,x y D K
sao cho
1)
1
x S x
,
2)
2
, , , , , ,F y x x F y x x x S x y T x x
.
1.4. Kết luận
Trong chƣơng 1 ta đã nhắc lại các kiến thức cơ bản về các không gian
thƣờng dùng, ánh xạ đa trị và bài toán tối ƣu, những kiến thức này sẽ đƣợc sử
dụng nhiều trong chƣơng 2 và chƣơng 3.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Chƣơng II
ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN SUY RỘNG.
Trong chƣơng này chúng ta sẽ thiết lập một số kết quả về độ nhạy
nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng có tham số trong không gian
Banach phản xạ.
Vì hệ điều kiện cần cực trị bậc nhất của một bài toán tối ƣu bất kỳ có
thể viết dƣới dạng một bất đẳng thức biến phân hoặc bất đẳng thức biến phân
suy rộng nên hầu hết các kết quả về bất đẳng thức biến phân và bất đẳng thức
biến phân suy rộng đều có ứng dụng trong tối ƣu hoá. Nói riêng ra, các kết
quả về tính ổn định và độ nhạy nghiệm của các bất đẳng thức biến phân suy
rộng có những hệ quả trực tiếp đối với ánh xạ nghiệm của các bài toán quy
hoạch lồi có tham số.
2.1 Khái niệm cơ bản
Ta ký hiệu
X
là không gian Banach phản xạ với không gian đối ngẫu
*
X
. Chuẩn trong
X
và trong
*
X
đều đƣợc ký hiệu bởi
.
. Ta nhắc lại một
số khái niệm cơ bản sau:
Khoảng cách từ điểm
zX
đến
A
đƣợc định nghĩa bằng công thức
, inf :d z A z x x A
. Theo quy ƣớc
inf 0
và
00A
.
Tập lồi: Tập hợp
AX
đƣợc gọi là tập lồi nếu với mọi
12
, , 0,1 ,x x A t
thì
12
1tx t x A
.
Véc tơ pháp tuyến: Véc tơ
**
xX
đƣợc gọi là véc tơ pháp tuyến của
tập lồi
A
tại
x
nếu thoả mãn:
*
,0x x x
, với mọi
xA
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Nón pháp tuyến: Nón pháp tuyến của tập
K
tại
x
đƣợc định nghĩa bởi
công thức
* * *
: , 0 ,
:
0 , .
K
x X x y x y K x K
Nx
xK
2.1
Hàm lồi: Cho
X
là không gian lồi địa phƣơng,
DX
,
:f D R
,
ta có:
if = ,r :ep x D R f x r
. Hàm
f
đƣợc gọi là lồi, nếu
ifep
là
tập lồi trong không gian tích
XR
.
Dƣới vi phân: Cho
: XR
là một hàm lồi và
xX
sao cho
x
. Dƣới vi phân của
tại
x
đƣợc ký hiệu bởi
x
và đƣợc xác
định bởi công thức :
* * *
: , .x x X y x x y x y X
2.2
Giả sử
*
:2
X
FX
là một ánh xạ đa trị, bất đẳng thức biến phân suy rộng,
xác định bởi ánh xạ
F
và tập lồi
K
là bài toán tìm
xK
thoả mãn bao hàm
thức:
0.
K
F x N x
2.3
Từ công thức
2.1
suy ra rằng
xX
thoả mãn
2.3
khi và chỉ khi
xK
và tồn tại
*
x F x
sao cho
*
,0x y x
với mọi
yK
.
Nếu
F x f x
, trong đó
*
:f X X
là ánh xạ đơn trị, thì
2.3
trở thành:
0
K
f x N x
2.4
và bài toán tƣơng ứng gọi là bất đẳng thức biến phân xác định bởi ánh xạ
f
và
K
.
Giả sử
,d
và
,Md
là các không gian metric. Giả sử
00
,xX
và
0
M
. Giả sử
*
: 2 , : 2
XX
F X M K
là hai ánh xạ
đa trị. Ta luôn giả sử rằng
K
nhận giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Bài toán tìm
,xx
thoả mãn bao hàm thức
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
0 , ,
K
F x N x
2.5
trong đó
, M
là một cặp tham số, đƣợc gọi là bất đẳng thức biến
phân suy rộng phụ thuộc tham số. Lƣu ý rằng
xX
thoả mãn
2.5
khi và
chỉ khi
xK
và tồn tại
*
,x F x
sao cho
*
,0x y x
với mọi
yK
.
2.2. Các kết quả bổ trợ
Để tiện theo dõi ta nhắc lại: Cho
*
:2
X
GX
là ánh xạ đa trị. Các tập
: : 0domG x X G x
và
* * *
af : , :gr G x x X X x G x
,
tƣơng ứng đựơc gọi là miền hữu hiệu và đồ thị của
G
.
Định nghĩa 2.1.1. Ánh xạ
G
đƣợc gọi là nửa liên tục dƣới theo nghĩa
Hausdoff tại
0
xX
nếu với mỗi
0
tồn tại một lân cận
U
của
0
x
trong
X
sao cho
*
0
X
G x G x B
với mọi
xU
, trong đó
*
* * *
: : 1
X
B x X x
.
Định nghĩa 2.1.2. Ánh xạ
G
đƣợc gọi là đê-mi liên tục tại
0
xX
nếu với
mỗi tập mở
*
VX
trong tô pô yếu
*
của
*
X
thoả mãn
0
G x V
tồn tại
một lân cận
U
của
0
x
trong
X
sao cho
G x V
với mọi
xU
. Ánh xạ
G
đƣợc gọi là hê mi liên tục tại
0
x
X
nếu, với mọi
, 0,1v X t
và với mọi
tập mở yếu
*
*
VX
thoả mãn
0
1G tx t v V
, tồn tại
0
sao
cho
0
1G tx t v V
với mọi
0,1t
mà
1 t
.
Định nghĩa 2.1.3.
13, .852p
Ánh xạ
*
:2
X
GX
đƣợc gọi là đơn điệu
nếu với mọi
**
1 1 2 2
, , ,x x x x grG
ta có
**
2 1 2 1
,0x x x x
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Ta nói
G
là đơn điệu cực đại nếu
G
là đơn điệu và không tồn tại ánh xạ đơn
điệu
*
:2
X
GX
sao cho
grG
là tập con thực sự của
grG
.
Hai bổ đề sau cho phép ta kiểm tra tính đơn điệu cực đại của một ánh
xạ đa trị.
Bổ đề 2.2.1. Giả sử
*
:2
X
GX
là một toán tử đơn điệu, hê-mi liên tục. Nếu
U dom G
là tập hợp sao cho với mọi
xU
ta có
Gx
là tập lồi đóng thì
khi đó
G
là đê- mi liên tục tại mỗi điểm
0
xU
.
Bổ đề 2.2.2. Giả sử
*
:2
X
GX
là một toán tử đơn điệu, đê-mi liên tục. Nếu
với mọi
xX
tập
Gx
là lồi đóng thì
G
là toán tử đơn điệu cực đại.
Bổ đề sau cho ta tiêu chuẩn để kiểm tra tính đơn điệu cực đại của tổng
hai toán tử đơn điệu cực đại.
Bổ đề 2.2.3.
. . 1970; 13, eor 32.RT Rockafellar Th em I
Nếu
*
12
, : 2
X
G G X
là các toán tử đơn điệu cực đại thoả mãn điều kiện
12
int 0domG domG
,
trong đó
int D
ký hiệu phần trong tôpô của tập
D
, thì khi đó tổng
*
12
:2
X
G G X
, xác định bởi công thức
1 2 1 2
G G x G x G x
, cũng
là toán tử đơn điệu cực đại.
Bổ đề sau đây là một trong những kết quả chính của lý thuyết toán tử
đơn điệu cực đại.
Bổ đề 2.2.4.
13,Cor 35ollary
Nếu
*
:2
X
GX
là đơn điệu cực đại và
domG
là bị chặn thì
G
là toàn ánh, nghĩa là
*
xX
U G x X
.
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ cần các khái niệm về tính đơn điệu
chặt và đơn điệu đều ( theo hàm cỡ
) của ánh xạ đa trị
*
:2
X
GX
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Định nghĩa 2.2.4. Ánh xạ
*
:2
X
GX
đƣợc gọi là đơn điệu chặt nếu cho bất
kỳ
**
1 1 2 2
, , ,x x x x grG
,
12
xx
, ta có
**
2 1 2 1
,0x x x x
.
Nhận xét rằng nếu
*
:2
X
FX
là đơn điệu chặt thì bài toán
2.3
có
nhiều nhất một nghiệm. Thực vậy, giả sử rằng
12
,x x K
là hai nghiệm của
bài toán
2.3
. Khi đó tồn tại
**
1 1 2 2
,x F x x F x
thoả mãn
**
1 2 1 2 1 2
, 0, , 0x x x x x x
.
Do đó
**
2 1 2 1
,0x x x x
. Do tính đơn điệu của
F
, ta có
**
2 1 2 1
,0x x x x
. Vì vậy
**
2 1 2 1
,0x x x x
. Từ tính đơn điệu chặt của
F
ta suy ra
12
xx
.
Định nghĩa 2.2.5. Giả sử
là một hàm số không giảm trên
:0R t R t
sao cho
t
0
với mọi
0t
. Ánh xạ
G
đƣợc gọi là
- đơn điệu đều nếu
với mọi
*
11
,x x grG
ta có
**
2 1 2 1 2 1 2 1
,.x x x x x x x x
2.6
Nếu
tt
,
0
, thì
2.6
trở thành
2
**
2 1 2 1 2 1
,.x x x x x x
2.7
Trong trƣờng hợp này
G
đƣợc gọi là đơn điệu mạnh.
2.3. Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng
phụ thuộc tham số
Xét bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số dạng
2.5
, trong đó
, , , ,F x K M
đƣợc định nghĩa nhƣ trong mục 2.1. Giả sử
0 0 0
,,x
XM
là bộ ba thoả mãn điều kiện:
0
0 0 0
0 , .
K
F x N x
2.8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Kết quả đầu tiên của chúng ta về độ nhạy nghiệm của bài toán
2.5
đối với sự thay đổi của cặp tham số
,
đƣợc phát biểu nhƣ sau:
Định lý 2.3.1. Giả sử rằng các điều kiện sau đây đƣợc thoả mãn:
1
a
Với mọi
M
,,F
là toán tử đơn điệu cực đại;
2
a
Tồn tại lân cận
U
của
0
x
sao cho với mọi
0
tồn tại
0
để:
Nếu
* * *
1 1 2 2
, , , ,x x x x gr F U X
với
M
nào đó, và
21
xx
, thì
**
2 1 2 1
,x x x x
;
3
a
Tồn tại lân cận
U
của
0
x
, lân cận
W
của
0
và hằng số
0
sao cho
,0Fx
với mọi
,WxU
,
**
sup : , , , W ,x x F x x U
2.9
và với mọi
,,x U F x
là nửa liên tục dƣới theo nghĩa Hausdoff tại
mọi điểm
W
;
4
a
Tồn tại hàm số
:RR
thoả mãn
0
lim 0
t
t
, lân cận
U
của
0
x
và lân cận
V
của
0
sao cho
,
X
K U K d B
với mọi
, V
.
2.10
Khi đó tồn tại lân cận
W
của
0
, lân cận
V
của
0
sao cho với
,WV
tồn tại duy nhất nghiệm
,x x U
của bất đẳng thức
biến phân suy rộng sau
0 , .
K
F x N x
2.11
Hơn nữa,
00
,xx
, và hàm
,,x
là liên tục trên
W V
.
Các nhận xét sau đây giúp ta hiểu rõ hơn các giả thiết
14
aa
.
