đối ngẫu của bài toán tối ưu đa mục tiêu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






NGUYỄN QUANG PHÚ


ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TOÁN
TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU




Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC








Thái Nguyên, năm 2013


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

i
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM





NGUYỄN QUANG PHÚ


ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TOÁN
TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60.46.01.02


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: PGS.TS Đỗ Văn Lưu








Thái Nguyên, năm 2013


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ii
MỤC LỤC
Trang
Trang bìa phụ i
Mục lục ii
MỞ ĐẦU 1
Chương 1: SÁU LOẠI BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ĐA MỤC TIÊU VÀ CÁC
ĐỊNH LÍ ĐỐI NGẪU 4

1.1. Các khái niệm và định nghĩa 4
1.2. Bài toán tối ưu vô hướng và các đối ngẫu của nó 5
1.3. Đối ngẫu
1
()D
và họ các đối ngẫu
( ),D


F
7
1.4. Các bài toán đối ngẫu đa mục tiêu (D
FL
),(D
F
),(D
L
) và (D
P
) 11
1.5. Mối quan hệ giữa các đối ngẫu
1
( ),( ), vµ ( )
FL
D D D


F
18
Chương 2: MỐI QUAN HỆ GIỮA SÁU LOẠI BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

ĐA MỤC TIÊU 27
2.1. Các định nghĩa và khái niệm 27
2.2. Mối quan hệ bao hàm thức giữa D
FL
, D
F
, D
L
và D
P
29
2.3. Điều kiện bằng nhau của các tập hợp D
FL
, D
F
, D
L
và D
P
35
2.4. Đối ngẫu đa mục tiêu Nakayama 39
2.5. Đối ngẫu đa mục tiêu Wofle 44
2.6. Đối ngẫu đa mục tiêu Weir – Mond 49
KẾT LUẬN 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết đối ngẫu là một bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu. Với bài
toán cực tiểu người ta xây dựng bài toán đối ngẫu cực đại và thiết lập các định lý
đối ngẫu mạnh, yếu, ngược. Các loại bài toán đối ngẫu thường được nghiên cứu là:
đối ngẫu Lagrange, đối ngẫu Wolfe, đối ngẫu Weir – Mond, đối ngẫu Nakayama,
đối ngẫu Bot – Wanka. Các định lý đối ngẫu mạnh có nhiều ứng dụng trong việc
xây dựng các thuật toán tìm nghiệm tối ưu.
Lý thuyết đối ngẫu cho các bài toán tối ưu đa mục tiêu đã được phát triển bởi
nhiều tác giả như: J. Jahn, N. Nakayama, P. Wolfe, T. Weir, B. Mond, R.I. Bot, G.
Wanka, (xem chẳng hạn [2], [3], [5] – [7], [9] – [11]). Với các giả thiết về tính lồi
của dữ liệu bài toán , Bot – Wanka [2,3] đã xây dựng sáu loại bài toán đối ngẫu cho
bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón trong không gian hữu hạn chiều, thiết
lập các định lý đối ngẫu yếu, mạnh và các kết quả về quan hệ bao hàm thức của các
tập ảnh các bài toán đối ngẫu đa mục tiêu.
Lý thuyết đối ngẫu của Bot – Wanka cho các bài toán tối ưu đa mục tiêu
được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Chính vì vậy tôi chọn đề tài “Đối ngẫu của
bài toán tối ưu đa mục tiêu”. Đây là đề tài có tính thời sự và đang được nhiều nhà
toán học quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn này là trình bày các định lý đối ngẫu yếu
và mạnh của Bot – Wanka [2], [3] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc
nón và các kết quả về quan hệ bao hàm thức của các tập ảnh của sáu loại bài toán
đối ngẫu đó cùng với các kết quả so sánh với các bài toán đối ngẫu Nakayama,
Wolfe, Weir – Mond.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Đọc, dịch tài liệu từ hai bài báo tiếng Anh của R.I. Bot và G.Wanka (2004)
đăng trên tạp chí Optimization.
- Sử dụng các kết quả của hai bài báo đó để viết luận văn.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
3. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi và các kiến thức của lí thuyết tối ưu.
4. Bố cục của luận văn
- Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài
liệu tham khảo.
Chương 1. Sáu loại bài toán đối ngẫu đa mục tiêu và các định lí đối ngẫu
Trình bày các định lí đối ngẫu yếu và mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêu
(P) với ràng buộc nón trong không gian hữu hạn chiều. Với các giả thiết về tính lồi
của các hàm mục tiêu và ràng buộc, các định lí đối ngẫu mạnh cho bài toán vô
hướng (

P
) được trình bày. Từ bài toán vô hướng (

P
) sáu bài toán đối ngẫu cho (P)
được trình bày cùng với các định lí đối ngẫu yếu và mạnh. Một số kết quả về quan
hệ bao hàm thức của các tập ảnh của các bài toán đối ngẫu (D
1
),
(D )


, và (D
FL
)
được trình bày cùng với các kết quả so sánh tập nghiệm hữu hiệu của các bài toán
đối ngẫu đó. Các kết quả trình bày trong chương 1 là của R.I. Bot và G. Wanka [2].
Chương 2. Mối quan hệ giữa sáu loại bài toán đối ngẫu đa mục tiêu
Trình bày các kết quả về quan hệ bao hàm thức giữa sáu loại bài toán đối
ngẫu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (P) đã trình bày trong chương 1 là (D
1
),
(D )

,
(D
FL
), (D
F
), ( D
L
) và (D
P
). Kết quả chỉ ra rằng khi các giả thiết (A
f
),(A
g
) và (A
CQ
)
đúng thì với


F
, ta có quan hệ bao hàm thức giữa các tập ảnh của các bài toán
đối ngẫu:
1

    
mm
FL L F P
D D D D D DÖÖ
và các đẳng thức giữa các tập
các phần tử cực đại của các bài toán đối ngẫu:
1
max max max max max max

    
FL F L P
v D v D v D v D v D v D

Các quan hệ bao hàm thức giữa sáu loại bài toán đối ngẫu đó cũng được so
sánh với các bài toán đối ngẫu Nakayama, Wolfe và Weir – Mond. Các kết quả
được trình bày trong chương 2 la của R.I. Bot và G. Wanka [3].
Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS-
TS Đỗ Văn Lưu, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành bản
luận văn này.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3

Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Sau
Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại
học sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn
thành khoá học.
Tôi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Tuyên Quang, trường
THPT Phù Lưu, gia đình, các bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao
học Toán K19 đã quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và
quá trình làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2012.


Nguyễn Quang Phú



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Chương 1
SÁU LOẠI BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ĐA MỤC TIÊU
VÀ CÁC ĐỊNH LÍ ĐỐI NGẪU

Chương 1 trình bày các định lí đối ngẫu mạnh và yếu của R.I. Bot và G.
Wanka [2] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu (P) với ràng buộc nón trong không gian
hữu hạn chiều. Các định lí đối ngẫu yếu được trình bày trong trường hợp tổng quát,
các định lí đối ngẫu mạnh được trình bày với các giả thiết về tính lồi của các hàm
dữ liệu. Từ định lí đối ngẫu cho bài toán vô hướng (

P
), các định lí đối ngẫu yếu và

mạnh cho sáu loại bài toán đối ngẫu được trình bày cho bài toán (P). Một số kết quả
về quan hệ bao hàm thức của các tập ảnh của các bài toán đối ngẫu (D
1
),
(D )

,
(D
FL
) được trình bày cùng với các kết quả so sánh về tập nghiệm hữu hiệu của các
bài toán đối ngẫu.
1.1 Các khái niệm và định nghĩa
Xét bài toán tối ưu xuất phát với ràng buộc nón:
( ) min ( )


xA
P v f x
,
 
12
: ( ) ( ( ), ( ), , ( )) 0   
nT
m
K
x g x g x g x g xA
,
trong đó
 
12

( ) ( ( ), ( ), , ( )) à :      
Tn
mi
f x f x f x f x v f
, i = 1,…,m, là những
hàm chính thường,
: , 1, , à     
nk
i
g j k v K
là nón lồi đóng với
int

K
.
Xác định thứ tự bộ phận
21

K
xx
nếu và chỉ nếu
12
x x K
.
Từ “v-min” có nghĩa là nghiệm hữu hiệu Pareto của bài toán
()P
.
Định nghĩa 1.1
Một phần tử
x A

được gọi là nghiệm hữu hiệu Pareto của bài toán (P) nếu
( ) ( )



m
f x f x
, với
xA
suy ra
( ) ( )f x f x
.
Ở đây nón
m


là được xác định nghĩa bởi

 
12
( ( , , , )) , 0, 1,
mT
mi
y y y y y i m

   
.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
Định nghĩa 1.2
Một phần tử
x A
được gọi là nghiệm hữu hiệu chính thường của (P) nếu
nó là nghiệm hữu hiệu Pareto và nếu tồn tại một số M > 0 sao cho với mỗi i và
x A
thỏa mãn
( ) ( )
ii
f x f x
, tồn tại ít nhất một số j sao cho
( ) ( )
jj
f x f x
và
( ) ( )
( ) ( )
ii
jj
f x f x
M
f x f x



.
Bây giờ chúng ta đưa vào ba giả thiết tổng quát:
()

f
A
các hàm
, 1, ,
i
f i m
lồi và
1
()
m
ii
ri domf



,
()
g
A
Hàm g là lồi theo nón K, tức là
12
, , [0,1]
n
xx

   
,
1 2 1 2
( ) (1 ) ( ) ( (1 ) )g x g x g x x K
   

     

()
CQ
A
tồn tại
1
' ( )
m
ii
x ri domf


sao cho
( ') intg x K
.
1.2. Bài toán tối ưu vô hướng và các đối ngẫu của nó
Cho
12
( , , , )
T
m
   

là véc tơ cố định trong
m


và xét bài toán vô hướng
1

( ) inf ( )





A
m
ii
x
i
P f x
.
Để nghiên cứu đối ngẫu của bài toán đa mục tiêu (P) trước hết chúng ta trình
bày đối ngẫu cho
()

P
bằng cách áp dụng cách tiếp cận liên hợp.
Xét các bài toán đối ngẫu vô hướng :

*
0
i=1
( ) sup inf [ ( ) ( )]







n
K
m
T
L i i
x
q
D f x q g x
‡
,
**
, 1, ,
11
( ) sup ( ) ( )
n
i
mm
F i i i A i i
p i m
ii
D f p p

  



  





,

0
*
**
, 1, ,
11
( ) sup ( ) ( ) ( )






  




n
i
q
K
mm
T
FL i i i i i
p i m
ii

D f p q g p
,
ở đây
A
0, nÕu x
(x)
, nÕu x




 

A
A



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6
kí hiệu hàm chỉ của tập hợp
A

Mặt khác với một hàm
:
n
f
ta kí hiệu:
 

**
: , ( ) sup ( )
a
nT
x
f f p p x f x

  


là hàm liên hợp của
f
,
 
*
: 0,
KT
K q q x x K    
là nón đối ngẫu của K.
Định lý 1.1[10]
Giả sử rằng giá trị cực tiểu của
( ),(inf( ))PP

là hữu hạn và các giả thiết
 
( ), vµ (A )
f g CQ
AA
đúng. Khi đó, các bài toán đối ngẫu
( ),( ) vµ ( )

L F FL
D D D
  
có nghiệm
và tính đối ngẫu mạnh đúng, tức là
inf( ) ax( ) ax( ) ax( )
L F FL
P m D m D m D
  


.
Chứng minh của định lý 1.1 có trong [10] . Chú ý rằng
L
(D )

là bài toán đối
ngẫu Lagrang của
(P )

.
Ta nhắc lại các điều kiện tối ưu cho bài toán vô hướng
(P )

trong [9].
Định lý: 1.2
(a) Giả sử
( ),( ) vµ (A )
f g CQ
AA

đúng và
x
là một nghiệm của
()P

.
Khi đó, tồn tại
*
1
( , ), ( , , ) , 0
nn
m
K
p q p p p q    
là một nghiệm của
()
FL
D


sao cho điều kiện tối ưu sau thỏa mãn:
(i)
*
( ) ( ) ( ); 1, ,
T
i i i i
f p f x p x i m  

(ii)
( ) 0

T
q g x

(iii)


   
  
   
   

*
11
( ) ( )
T
mm
T
i i i i
ii
q g p p x
(1.1)
(b) Giả sử
x
điểm chấp nhận được của
()P

và
( , )pq
là điểm chấp nhận được
của

()
FL
D

thỏa mãn (i),(ii) và (iii). Khi đó,
x
là một nghiệm của
( ), ( , )P p q

là một
nghiệm của
()
FL
D

, và tính đối ngẫu mạnh đúng, tức là

*
1 1 1
( ) ( ) ( )*( )
m m m
T
i i i i i i i
i i i
f x f p q g p
  
  
   
  
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
1.3. Đối ngẫu
1
()D
và họ các đối ngẫu
( ),D


F

Bài toán đối ngẫu đa mục tiêu đầu tiên của (P) là:
1
1
( , , , )
( ) : - max ( , , , )
l
p q t
D v h p q t


B
,













1
( , , , )
.
( , , , ) .
.
( , , , )
l
l
l
m
h p q t
h p q t
h p q t
,
với




     



**
1
1
1
( , , , ) ( ) ( ) ( ) , 1,
m
lT
j j j i i j
m
i
i
i
h p q t f p q g p t j m
,
các biến đối ngẫu:
1
( , ) , ,
n n k
m
p p p q      

11
( , , ) , ( , , )
T m T m
mm
t t t
  
   

và tập hợp các ràng buộc

*
1
1
( , , , ) : int , 0, 0
m
m
ii
K
i
p q t q t
  



   



B
.
Đối ngẫu (D
1
) là bài toán cực đại véc tơ mà chúng ta cũng xét nghiệm hữu
hiệu Pareto, nhưng theo nghĩa cực đại.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày các định lý đối ngẫu yếu và mạnh cho các bài
toán đa mục tiêu (P) và (D
1
).
Định lý 1.3 ( Đối ngẫu yếu cho (D
1

))
Không tồn tại
1
vµ ( , , , )x p q t

AB
thỏa mãn
( , , , ) ( )
m
l
h p q t f x




và
( , , , ) ( )
l
h p q t f x


.
Chứng minh:
Chúng ta giả sử rằng tồn tại
1
vµ ( , , , )x p q t

AB
sao cho


( ) ( , , , ),
l
ii
f x h p q t



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8

 
1, ,im
và

( ) ( , , , )
l
jj
f x h p q t
với ít nhất một
 
1, ,jm
.
Điều này có nghĩa là

11
( ) ( , , , )
mm
l
i i i i

ii
f x h p q t
  



(1.2)
Mặt khác bằng cách sử dụng bất đẳng thức Young trong tài liệu [1]
   
*
( ) ( ) ; 1, ,
T
i i i i
f p f x p x i m

và




   


*
1
11
11
( ) ( ) ( ) ( )
mm
T T T

j j j j
mm
jj
jj
jj
q g p q g x p x
,
ta có:
    

  
  
   

  
  
   


   

  

**
1 1 1 1
1
1 1 1
1 1 1
1
( , , , ) ( ) ( ) ( )

+ ( ) ( )
- ( ) ( ) ( )
m m m m
lT
i i i i i i j j
m
i i i j
i
i
m m m
T
i i i i i
i i i
m m m
TT
i i i i i i
i i i
h p q t f p q g p
t f x q
p x p x f x

.

Bất đẳng thức đã nhận được ở trên
11
( , , , ) ( )
mm
l
i i i i
ii

h p q t f x
  



mâu thuẫn với (1.2).
Do đó ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.4 (Đối ngẫu mạnh cho (D
1
))
Giả sử rằng
( ),( ) vµ (A )
f g CQ
AA
đúng, và
x
là một nghiệm hữu hiệu chính
thường của (P). Khi đó, tồn tại một nghiệm hữu hiệu
1
( , , , )p q t

B
của bài toán
đối ngẫu (D
1
) và tính đối ngẫu mạnh đúng
( ) ( , , , ).
l
f x h p q t




Chứng minh
Nếu
x
là nghiệm hữu hiệu chính thường của bài toán (P), thì tồn tại một véc
tơ
1
( , , ) int
Tm
m
  


([4]) sao cho
x
là nghiệm của bài toán vô hướng:


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9





x
1
( ) : inf ( )

m
ii
i
P f x
A
.
Theo định lý 1.2 sự tồn tại nghiệm
( , )pq

của bài toán đối ngẫu

()
FL
D
sao cho
các điều kiện tối ưu (i),(ii) và (iii) trong định lí 1.2 thỏa mãn.
Xét:


  


*
1
1
: , : 0
m
K
i
i

p p q q
và




    



*
1
1
1
: ( ) ( ) , 1, , .
m
TT
i j j
m
j
j
j
t p x q g p i m

Ta có :
1
0
m
ii
i

t




. Vì thế
( , , , )p q t

là điểm chấp nhận được của (D
1
), có nghĩa là
1
( , , , )p q t

B
.
Hơn nữa, từ định lý 1.2 (i) suy ra
( ) ( , , , ), 1, , .
l
ii
f x h p q t i m


Tính cực đại
của
( , , , )p q t

đúng là do định lý 1.3. Định lý được chứng minh.
Bây giờ chúng ta đưa vào một họ những bài toán đa mục tiêu đối ngẫu của (P).
Chúng ta xét họ các hàm sau đây:

      
    



  
   



1
1
1
{ : int : ( ) ( ( ), , ( )) sao cho
( ) 1, ( , , ) int }.
m m T
m
m
Tm
i i m
i
F

Với mỗi

F
, ta xét bài toán đối ngẫu sau:
( , , , )
( ) v- max ( , , , ),
p q t

D h p q t








B



















1

( , , , )
.
( , , , ) .
.
( , , , )
m
h p q t
h p q t
h p q t
,
với
**
1
( , , , ) ( ) ( ) )( ( ) ) , 1, ,
m
T
j j j j j i i j
i
h p q t f p q g p t j m

   

     


,
các biến đối ngẫu
11
( , , ) , ( , , ) ,
n n k k

mm
p p p q q q       

   


11
( , , ) , ( , , ) ,
T m T m
mm
t t t
  
   



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
và tập hợp các ràng buộc
*
11
( , , , ) : int , 0, 0
mm
m
i i i i
K
ii
p q t q t


   



   




B
.
Ta chứng minh tính đối ngẫu “yếu” hoặc “mạnh” giữa bài toán gốc và những
bài toán vừa mới đưa vào.
Định lý 1.5 (Đối ngẫu yếu cho
( ),D


F
)
Với mỗi

F
không tồn tại




vµ ( , , , )x p q tAB
thỏa mãn
( , , , ) ( )

m
h p q t f x







và
( , , , ) ( )h p q t f x




.
Chứng minh
Giả sử

F
cố định. Chúng ta giả sử rằng tồn tại



1
vµ ( , , , )x p q tAB
sao
cho
 
( ) ( , , , ), 1, ,

i
f x h p q t i m


  

và
( ) ( , , , )
jj
f x h p q t




với ít nhất một
 
1, , .jm

Điều này có nghĩa là:

11
( ) ( , , , )
mm
i i i i
ii
f x h p q t

  





. (1.3)
Áp dụng bất đẳng thức Young, ta có:
**
1 1 1 1
1 1 1
1
( , , , ) ( ) ( ) ( )
+ ( )
+ ( ) (
m m m m
T
i i i i i i i i j j
i i i j
T
m m m
i i i i i i
i i i
T
m
i i i i
i
h p q t f p q g p
t f x p x
q g x

      
  
 

   
  


   










   
  


1 1 1
) ( ).
T
m m m
i i i i
i i i
p x f x
  
  
  


  
  
  

Nhưng bất đẳng thức
11
( , , , ) ( )
mm
i i i i
ii
h p q t f x

  




mâu thuẫn với (1.3).
Điều khẳng định của định lý là đúng.
Định lí 1.6 (Đối ngẫu mạnh cho
( ),D


F
)


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11

Giả sử

F
và
( ),( ) vµ (A )
f g CQ
AA
đúng. Nếu
x
là một nghiệm hữu hiệu
chính thường của (P), thì tồn tại một nghiệm hữu hiệu
( , , , )p q t




B
của bài toán
đối ngẫu
()D

và tính đối ngẫu mạnh đúng
( ) ( , , , ).f x h p q t





Chứng minh
Nếu

x
là nghiệm hữu hiệu chính thường của (P), thì tồn tại một véc tơ
1
( , , ) int
Tm
m
  


([4]) sao cho
x
là nghiệm của bài toán vô hướng:
x
1
( ) inf ( )
m
ii
i
P f x





A
.
Giống như trong chứng minh định lí 1.4 chúng ta chú ý rằng định lí 1.2 đảm
bảo sự tồn tại các nghiệm
( , )pq


của

()
FL
D
sao cho các điều kiện tối ưu (i),(ii)
và (iii) thỏa mãn.
Xét
: , : ( ) , 1, ,
k
ii
p p q q i m

   


, và
*
1
: ( ) ( ) , 1,
m
TT
i i i j j
i
t p x q g p i m
  


    





,
ta có
*
1
0
m
ii
K
i
qq





, và
1
0
m
ii
i
t




.

Điều này có nghĩa là
1
( , , , ), ( , , )
m
p q t q q q



là điểm chấp nhận được của
()D

. Hơn nữa, từ định lí 1.2(i) ta suy ra
( ) ( , , , ), 1, ,
ii
f x h p q t i m




.
Tính cực đại của
( , , , )p q t


được suy ra từ định lí 1.5.
1.4. Các bài toán đối ngẫu đa mục tiêu (D
FL
),(D
F
),(D

L
) và (D
P
)
Trong phần này chúng tôi tiếp tục trình bày các bài toán đối ngẫu đa mục
tiêu khác của bài toán (P). Với tất cả các đối ngẫu đa mục tiêu chúng ta chứng minh
đối ngẫu yếu và mạnh.
Chúng ta cho bắt đầu với bài toán sau:


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
( , , , )
( ) -max ( , , , )
FL
FL
FL
p q y
D v h p q y


B
,





















11
( , , , )
. .
( , , , ) . .
. .
( , , , )
FL
FL
FL
m
m
h p q y y
h p q y
y
h p q y
,

với
( , , , ) , 1, ,
FL
jj
h p q y y j m


.
các biến đối ngẫu
1
( , , ) , ,
n n k
m
p p p q      

11
( , , ) , y ( , , ) ,
T m T m
mm
yy
  
   

và tập hợp các ràng buộc

*
1
( , , , ) : ( , , ) int , 0,
Tm
FL m

K
p q y q
   

   B

**
1 1 1
( ) ( )
m m m
T
i i i i i i i
i i i
y f p q g p
  
  


   




  
.
Định lí 1.7 (Đối ngẫu yếu cho (D
FL
))
Không tồn tại


 vµ ( , , , )
FL
x p q yAB
thỏa mãn
( , , , ) ( )
m
FL
h p q y f x




và

( , , , ) ( )
FL
h p q y f x


.
Chứng minh
Giả sử rằng tồn tại
vµ ( , , , )
FL
x p q y

AB
sao cho
 
( ) , 1, ,

ii
f x y i m  
và
( ) ,
jj
f x y
với it nhất một
 
1, ,jm
. Điều này có nghĩa là:

11
()
mm
i i i i
ii
f x y




. (1.4)
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Young cho
, 1, ,
i
f i m
ta có


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
  
  

  
  


   


   
   
   
   

  
  

**
1 1 1
1 1 1
1
( ) ( )
( ) ( )
( ).
m m m
T
i i i i i i i

i i i
TT
m m m
T
i i i i i i
i i i
m
ii
i
y f p q g p
f x p x q g x p x
fx

Nhưng bất đẳng thức
11
()
mm
i i i i
ii
y f x




mâu thuẫn (1.4).
Định lí được chứng minh.
Định lí 1.8 ( Đối ngẫu mạnh cho (D
FL
)
Giả sử

( ),( ) vµ (A )
f g CQ
AA
đúng. Nếu
x
là một nghiệm hữu hiệu chính thường
của (P), thì tồn tại nghiệm hữu hiệu
 
, , ,
FL
p q y

B
của bài toán đối ngẫu (D
FL
) và
tính đối ngẫu mạnh đúng:
( ) ( , , , )
FL
f x h p q y y


.
Chứng minh
Nếu
x
là một nghiệm hữu hiệu chính thường của bài toán (P), thì tồn tại một
véc tơ
1
( , , ) int

Tm
m
  


([4]) sao cho
x
là nghiệm của bài toán vô hướng:
1
( ) inf ( )
m
ii
x
i
P f x





A
.
Do tính đối ngẫu mạnh của định lí 1.1, tồn tại một nghiệm
( , )pq
của

()
FL
D

sao cho
 
**
1 1 1
( ) inf( ) max ( ) ( )
m m m
T
i i FL i i i i i
i i i
f x P P f p q g p


  
  

     


  
.
Lấy
( ), 1, ,
ii
y f x i m
ta có
 

, , ,
FL
p q y B

và
( ) ( , , , )
FL
f x h p q y y


.
Tính cực đại của
 
, , ,p q y

được suy ra từ định lí 1.7.
Bằng cách làm tương tự, ta sử dụng dạng của hàm mục tiêu của đối ngẫu vô hướng
   
vµ
FL
DD

, chúng ta đưa vào 2 bài toán đối ngẫu đa mục tiêu khác cho (P).
 


( , , )
v- max ( , , )
F
F
F
py
D h p y
B

,


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14




















11
( , , )
. .
( , , ) . .

. .
( , , )
F
F
F
m
m
h p y y
h p y
y
h p y
,
với
( , , ) , 1, ,
F
jj
h p y y j m


;
các biến đối ngẫu
1
( , ) ;
nn
m
p p p   

1
=( , , )
Tm

m
  

;
1
( , , )
Tm
m
y y y

và tập hợp các ràng buộc

   
   

  
   


   




  

11
**
1 1 1
( , , ) : ( , , ), ( , , ) int ,

( ) ,
Tm
F m m
m m m
i i i i i A i i
i i i
p y p p p
y f p p
B

và
 


( , , )
v-max ( , , )
L
L
L
qy
D h q y
B
,





















11
( , , )
. .
( , , ) . .
. .
( , , )
L
L
F
m
m
h q y y
h q y
y
h q y
,
với

( , , ) , 1, ,
L
jj
h q y y j m


;
các biến đối ngẫu
1
; =( , , ) ;
k T m
m
q
  

1
( , , )
Tm
m
y y y

và tập hợp các ràng buộc
*
1
11
( , , ) : ( , , ) int , 0, inf ( ) ( ) .
n
mm
T m T
L m i i i i

x
K
ii
q y q y f x q g x
     





     






B

Định lí 1.9 ( Đối ngẫu yếu của (D
F
))
Không tồn tại

 vµ ( , , )
F
x p yAB
thỏa mãn
( , , ) ( )
m

F
h p y f x




và
( , , ) ( )
F
h p y f x


.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
Chứng minh
Chúng ta giả sử tồn tại
vµ ( , , )
F
x p y

AB
sao cho
 
  ( ) , 1, ,
ii
f x y i m

và
()
jj
f x y
với it nhất một
 
1, ,jm
. Sử dụng các bất đẳng thức này ta nhận
được:




11
( ) .
mm
i i i i
ii
f x y
(1.5)
Nhưng
   
   

  
  


   



   
   
   
   
  
  

**
1 1 1
1 1 1
1
()
( ) ( )
= ( ).
m m m
i i i i i A i i
i i i
TT
m m m
i i i i A i i
i i i
m
ii
i
y f p p
f x p x x p x
fx

Bất đẳng thức
11
()
mm
i i i i
ii
y f x




mâu thuẫn với (1.5).
Định lí được chứng minh.
Định lí 1.10 ( Đối ngẫu yếu của (D
L
))
Không tồn tại
vµ ( , , )
F
x q y

AB
thỏa mãn
( , , ) ( )
m
L
h q y f x





và
( , , ) ( )
L
h q y f x


.
Chứng minh
Giả sử tồn tại
vµ ( , , )
L
x q y

AB
sao cho
 
  ( ) , 1, ,
ii
f x y i m
và
()
jj
f x y
với ít nhất một
 
1, ,jm
. Do đó,
11
()

mm
i i i i
ii
f x y




(1.6)
Ta lại có

















11
1
1

inf ( ) ( )
( ) ( )
( ).
n
mm
T
i i i i
x
ii
m
T
ii
i
m
ii
i
y f x q g x
f x q g x
fx

Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức từ (1.6).


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
Định lí được chứng minh.
Định lí 1.11 ( Đối ngẫu mạnh của (D
F
))

Giả sử
( ),( ) vµ (A )
f g CQ
AA
đúng. Nếu
x
là một nghiệm hữu hiệu chính thường
của (P), thì tồn tại nghiệm hữu hiệu
 
,,
F
py

B
của (D
F
) và tính đối ngẫu mạnh
đúng:
( ) ( , , )
F
f x h p y y


.
Chứng minh
Nếu
x
là một nghiệm hữu hiệu chính thường của (P), thì tồn tại một véc tơ
1
( , , ) int

Tm
m
  


([4]) sao cho
x
là nghiệm của bài toán vô hướng:





1
( ) inf ( )
m
ii
x
i
P f x
A
.
Theo định lí 1.1 về tính đối ngẫu mạnh, ta có tồn tại một nghiệm
1
( , , )
m
p p p
của
()
F

D

sao cho



   
  

     


  
**
1 1 1
( ) inf( ) max( ) ( ) .
m m m
i i F i i i A i i
i i i
f x P D f p p

Lấy
: ( ), 1, ,
ii
y f x i m
, ta có
( , , ) vµ ( ) ( , , )
F
F
p y f x h p y y


  B
. Theo định lí
1.9 phần tử
( , , )py

là cực đại của (D
F
).
Định lí được chứng minh.
Định lí 1.12 ( Đối ngẫu mạnh cho (D
L
))
Giả sử
( ),( ) vµ (A )
f g CQ
AA
đúng. Nếu
x
là một nghiệm hữu hiệu chính thường
của (P), thì tồn tại nghiệm hữu hiệu
 
,,
L
qy

B
của (D
L
) và tính đối ngẫu mạnh

đúng:
( ) ( , , )
L
f x h q y y


.
Chứng minh
Nếu
x
là một nghiệm hữu hiệu chính thường của (P), thì tồn tại một véc tơ
1
( , , ) int
Tm
m
  


([4]) sao cho
x
là nghiệm của bài toán vô hướng:





1
( ) inf ( )
m
ii

x
i
P f x
A
.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
Theo định lí 1.1 về tính đối ngẫu mạnh, tồn tại một nghiệm
*
0
K
q 
của
()
L
D

sao cho







   





11
( ) inf( ) max( ) inf ( ) ( ) .
n
mm
T
i i L i i
x
ii
f x P D f x q g x

Lấy
: ( ), 1, ,
ii
y f x i m
, ta có
( , , ) vµ ( ) ( , , )
L
L
q y f x h q y y

  B
.
Theo định lí 1.10, phần tử
( , , )qy

là cực đại của (D
L

).
Định lí được chứng minh.
Nhận xét 1.1
Bài toán đối ngẫu (D
L
) trong không gian hữu hạn chiều của được đưa vào bởi
Jahn trong [5].
Bài toán đa mục tiêu chúng tôi trình bày ở đây có sử dụng bài toán vô hướng
()P

. Vì vậy bài toán đối ngẫu sẽ là
( , )
( ) v-max ( , )
p
p
P
y
D h y


B
,





















11
( , )
. .
( , ) . .
. .
( , )
P
P
P
m
m
h y y
hy
y
hy
,
với
( , ) , 1, , ,

P
jj
h y y j m



các biến đối ngẫu
1
=( , , )
Tm
m
  

,

1
( , , )
Tm
m
y y y
,
và tập hợp các ràng buộc
1
11
( , ) : ( , , ) int , inf ( )
mm
Tm
P m i i i i
x
ii

y y f x
     




   




A
B
.
Với toán (P) và đối ngẫu (D
P
) tính đối ngẫu yếu và mạnh đúng.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18
Định lí 1.13[2] ( Đối ngẫu yếu cho (D
P
))
Không tồn tại
vµ ( , )
P
xy


AB
thỏa mãn
( , ) ( )
m
P
h y f x




và
( , ) ( )
P
h y f x


.
Định lí 1.14[2] ( Đối ngẫu mạnh cho (D
P
))
Giả sử
( ),( )
fg
AA
đúng. Nếu
x
là một nghiệm hữu hiệu chính thường của (P),
thì tồn tại nghiệm hữu hiệu
 
,

P
y

B
của (D
P
) và tính đối ngẫu mạnh đúng:

( ) ( , )
P
f x h y y


.
Nhận xét 1.2
Chú ý rằng để có tính đối ngẫu mạnh giữa (P) và (D
P
) ta không cần giả thiết
()
CQ
A
.
1.5. Mối quan hệ giữa các đối ngẫu
1
( ),( ), vµ ( )
FL
D D D


F

Bây giờ chúng ta trình bày mối quan hệ bao hàm thức giữa 3 bài toán đối
ngẫu
1
( ),( ), vµ ( )
FL
D D D


F
.
Chú ý rằng để tìm nghiệm hữu hiệu Pareto của bài toán đối ngẫu đa mục tiêu
thực chất là xác định phần tử cực đại của tập ảnh của hàm mục tiêu trên tập các ràng
buộc. Đó là lí do tại sao để so sánh các đối ngẫu
1
( ),( ), vµ ( )
FL
D D D


F
chúng ta
phải phân tích mối quan hệ giữa các tập ảnh tương ứng.
Đặt



   
1
11

: ( ), : ( ), vµ : ( )
FL
FL FL
D h D h D hB B F B
.
Rõ ràng là


           
 
, , vµ .
m
FL FL
mm
D D DF

Mệnh đề 1.1: Với mỗi

F
, ta có
1
DD


.
Chứng minh
Giả sử

F
cố định và

1
( , , )
T
m
d d d
là một phần tử trong (D
1
). Khi đó,
tồn tại
1
( , , , )p q t

B
sao cho
**
1
1
1
( ) ( ) , 1, , .
m
T
j j j i i j
m
i
i
i
d f p q g p t j m







     







Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19
Bây giờ ta định nghĩa

    

  

1
: , : , : ( )( ) ,
m
j j j j j i
i
p p q q
với
1, ,jm
và
1

: ( , , )
m
q q q

.
Ta có:
     
   

   
  

   
   

   
*
1 1 1 1
( ) 0,
m m m m
i i j j i i
K
i j i i
q q q

và với
1, , ,jm

**
1 1 1

1
1
( ) ( ) ( ) ( )
m m m
TT
j j i i j i i i
m
i i i
i
i
q g p q g p
      

  


   

  
   

   

  

. (1.7)
Trước hết, ta xét trường hợp:
*
1
1

1
()
m
T
ii
m
i
i
q g p






  




.
Điều này có nghĩa là:
, 1, ,
j
d j m   
. Bằng cách lấy
: víi 1, ,
jj
t t j m
ta có

( , , , )p q t




B
và
( , , ) ( , , , ) ( )
T
d h p q t h D



     

B
.
Trong trường hợp khác khi:
*
1
1
1
()
m
T
ii
m
i
i
i

q g p












, lấy

   






      








**
11
1
1
: ( ) ( ) ( ) , 1, ,
mm
TT
j j j j i i i i
m
ii
i
i
t t q g p q g p j m

Từ (1.7), ta có
11
0
mm
i i i i
ii
tt




. Do đó
( , , , )p q t





B
.
Hơn nữa, với
1, , ,jm

  


    



**
1
( ) ( ) ( )
m
T
j j j j j i i j
i
d f p q g p t
.
Do đó,
( , , , ) ( )d h p q t h D



  

B

, có nghĩa là
1
DD


.
Ví dụ 1.1
Cho

F
cố định,
2, 1, 1 vµ K=m n k

   
.



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20
Xét

22
1 2 1 2 1 2
, : , ( ) ( ) , : , ( ) 1, (2,1) , ( , ) (1, 1)
T
f f f x f x x g g x x q q q

         


   
,
(1, 2)
T
t 
. Ta có
1 1 2 2 1 1 2 2
1 vµ 0q q t t
   
   
.
Với
(0,0)p 
, ta có
**
1 1 2 2
( ) ( ) 0f p f p
và
**
1 1 2 2
( ( ) (0) ,-( ) (0) ) (0, ) ( , , , )
TT
d q g t q g t h p q t D



       

.

Nhưng ta chú ý rằng
1
dD
, có nghĩa là bao hàm thức
1
DD


là chặt.
Ta kí hiệu điều này bởi
1
,DD


Ö F
.
Ví dụ 1.2
Cho

F
cố định, nhưng
2
2, 1, 2 vµ K=m n k   
.
Bây giờ xét
1 2 1 2 1, 2
, : , ( ) ( ) 0, g :f f f x f x g      
,








1
1 nÕu 0,
()
nÕu 0,
x
x
gx
ex







2
e nÕu 0,
()
1 nÕu 0,
x
x
gx
x

1 2 1 2

11
(0,0), (1, 1), ( 1,1), ( , ), (1,1) vµ ( , )
22
TT
p q q q q q t

        

.
Ta có
* * *
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
(0,0) K vµ 0 vµ (0) (0) 0
T
q q t t f f
   
      
.
Điều này có nghĩa là

* * 2
1 1 2 2
13
, ( ( ) (0) , ( ) (0) ) ( , , , )
22
T
TT
d q g t q g t h p q t D





          




.
Bây giờ ta chỉ ra rằng

1
dD
. Nếu điều này không đúng, thì sẽ tồn tại
1
( , , , )p q t

B
sao cho

**
1 1 2 2
1 1 1
12
**
1 1 2 2
1 2 2
12
1
( ) ( )
2

3
( ) ( )
2
T
T
pp
f p q g t
pp
f p q g t








   











  




   






.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21
Suy ra
**
1 1 2 2
( ), ( )f p f p 
. Nhưng để nhận được điều này ta phải có

12
0,pp


**
1 1 2 2
( ) ( ) 0f p f p
, và do

 
2 * *
( ) 0 ,( ) (0) 0
T
q q g  
. Do đó,

1
2
1
2
3
2
t
t












,
và từ đó
2

1 1 2 2
3
0
2
tt



   
. (1.8)
Rõ ràng là (1.8) mâu thuẫn với
1 1 2 2
0tt


, và điều này có nghĩa là


    



2
1
13
,.
22
T
dD
Tóm lại bao hàm thức

1
mm
DD

Ö
là chặt.
Mệnh đề 1.2
Với mỗi

F
ta có
m
a FL
DD
.
Chứng minh
Giả sử

F
cố định và
1
( , , )
Tm
m
d d d D

  
.
Khi đó, tồn tại





( , , , )p q t B
sao cho
( , , , )d h p q t




. Từ đây, áp dụng bất
đẳng thức Young cho
, 1, ,
T
j
q g j m
ta nhận được

**
1 1 1 1 1 1
*
1 1 1 1
1
( , , , ) ( ) ( ) ( )
- ( ) ( )+ ( )

m m m m m m
T
j j j j j j j j j j i i j j
j j j j i j

T
T
m m m m
j j j j j j j i i
j j j i
m
jj
j
d h p q t f p q g p t
f p q g x p x
f

        
     

     
   


     


   


   


   


     
   


*
11
( ) ( ), .

T
mm
n
j j j j j
jj
p p x q g x x


   
   
   
   



Do đó

*
1 1 1 1
*
*
1 1 1

( ) inf ( )
= - ( ) .
n
T
T
m m m m
j j j j j i i j j
x
j j i j
T
m m m
j j j j j i i
j j i
d f p p x q g x
f p q g p
   
  

   
  




   


















   
  




Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22
Điều này có nghĩa là
1
( , , , )
m
j j FL
j
p q d





B
.
Vậy
1
, , , ( )
m
FL FL
j j FL FL
j
d h p q d h D



  



B
.
Mệnh đề được chứng minh.
Ví dụ 1.3
Cho

F
cố định sao cho
2, 1, 1 vµ K=m n k   
.
Xét:

 
2*
1 2 1 2
, : , ( ) ( ) 0, : , ( ) , (0,0), 0 0 ,f f f x f x g g x x p q K           
(1,1)
T


,
và
( 1, 1)
T
d   
.
Ta có
* * *
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
2 0 ( ) ( ) ( ) ( )d d f p f p qg p p
     
         
.
Do đó

  ( , , , ) vµ (-1,-1)
T
FL FL
p q d d DB
.
Bây giờ ta chứng tỏ rằng

dD


.
Nếu điều này không đúng thì phải tồn tại




12
( , , , ) , ( , )p q t q q qB
sao cho
**
1 1 1 1 1 2 2 1
**
2 2 2 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ( )( ))
1
1
( ) ( ) ( ( )( ))
f p q g p p t
f p q g p p t
   
   

    








    


.
Lại có
**
1 1 2 2
( ), ( )f p f p 
, nhưng để nhận được điều này ta phải có

12
0pp
và

**
1 1 2 2
( ) ( ) 0f p f p
. Trong trường hợp này ta nhận được

*
11
*
22
( ) (0)
1
1
( ) (0)

q g t
q g t












.
Từ đó suy ra

* 2 * 2
1 1 2 2
( ) (0) inf ( ) vµ ( ) (0) inf ( )
xx
q g q x q g q x

     


. Điều này đúng
nếu

1

0q
và

2
0q
.
Mặt khác, ta có
 
*
1 1 2 2
0q q K

  
, khi đó
12
0qq
.