Bất đẳng thức Cosi luyện thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (411.74 KB, 26 trang )
Kỹ thuật sử dụng
Bất đẳng thức
Cô-Si
(Tài liệu l u hành nội bộ)
Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao C ờng
Tel: 0904.15.16.50
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
1. NH NG QUY T C CHUNG TRONG CH NG MINH B T Đ NG TH C SỮ Ắ Ứ Ấ Ẳ Ứ Ử
D NG B T Đ NG TH C CÔ SIỤ Ấ Ẳ Ứ
Quy t c song hànhắ : h u h t các BĐT đ u có tính đ i x ng do đó vi c s d ng các ch ng minh m t cáchầ ế ề ố ứ ệ ử ụ ứ ộ
song hành, tu n t s giúp ta hình dung ra đ c k t qu nhanh chóng và đ nh h ng cách gi nhanh h n.ầ ự ẽ ượ ế ả ị ướ ả ơ
Quy t c d u b ngắ ấ ằ : d u b ng “ = ” trong BĐT là r t quan tr ng. Nó giúp ta ki m tra tính đúng đ n c aấ ằ ấ ọ ể ắ ủ
ch ng minh. Nó đ nh h ng cho ta ph ng pháp gi i, d a vào đi m r i c a BĐT. Chính vì v y mà khi d y choứ ị ướ ươ ả ự ể ơ ủ ậ ạ
h c sinh ta rèn luy n cho h c sinh có thói quen tìm đi u ki n x y ra d u b ng m c dù trong các kì thi h c sinh cóọ ệ ọ ề ệ ả ấ ằ ặ ọ
th không trình bày ph n này. Ta th y đ c u đi m c a d u b ng đ c bi t trong ph ng pháp đi m r i vàể ầ ấ ượ ư ể ủ ấ ằ ặ ệ ươ ể ơ
ph ng pháp tách ngh ch đ o trong k thu t s d ng BĐT Cô Si.ươ ị ả ỹ ậ ử ụ
Quy t c v tính đ ng th i c a d u b ngắ ề ồ ờ ủ ấ ằ : không ch h c sinh mà ngay c m t s giáo viên khi m iỉ ọ ả ộ ố ớ
nghiên c u và ch ng minh BĐT cũng th ng r t hay m c sai l m này. Áp d ng liên ti p ho c song hành các BĐTứ ứ ươ ấ ắ ầ ụ ế ặ
nh ng không chú ý đ n đi m r i c a d u b ng. M t nguyên t c khi áp d ng song hành các BĐT là đi m r i ph iư ế ể ơ ủ ấ ằ ộ ắ ụ ể ơ ả
đ c đ ng th i x y ra, nghĩa là các d u “ = ” ph i đ c cùng đ c th a mãn v i cùng m t đi u ki n c a bi n.ượ ồ ờ ả ấ ả ượ ượ ỏ ớ ộ ề ệ ủ ế
Quy t c biênắ : C s c a quy t c biên này là các bài toán quy ho ch tuy n tính, các bài toán t i u, các bàiơ ở ủ ắ ạ ế ố ư
toán c c tr có đi u ki n ràng bu c, giá tr l n nh t nh nh t c a hàm nhi u bi n trên m t mi n đóng. Ta bi tự ị ề ệ ộ ị ớ ấ ỏ ấ ủ ề ế ộ ề ế
r ng các giá tr l n nh t, nh nh t th ng x y ra các v trí biên và các đ nh n m trên biên.ằ ị ớ ấ ỏ ấ ườ ả ở ị ỉ ằ
Quy t c đ i x ngắ ố ứ : các BĐT th ng có tính đ i x ng v y thì vai trò c a các bi n trong BĐT là nh nhauườ ố ứ ậ ủ ế ư
do đó d u “ = ” th ng x y ra t i v trí các bi n đó b ng nhau. N u bài toán có g n h đi u ki n đ i x ng thì ta cóấ ườ ả ạ ị ế ằ ế ắ ệ ề ệ ố ứ
th ch ra d u “ = ” x y ra khi các bi n b ng nhau và mang m t giá tr c th .ể ỉ ấ ả ế ằ ộ ị ụ ể
Chi u c a BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng s giúp ta đ nh h ng đ c cách ch ng minh: đánh giá t TBC sang TBN vàề ủ ẽ ị ướ ượ ứ ừ
ng c l iượ ạ
Trên là 5 quy t c s giúp ta có đ nh h ng đ ch ng minh BĐT, h c sinh s th c s hi u đ c các quy t c trênắ ẽ ị ướ ể ứ ọ ẽ ự ự ể ượ ắ
qua các ví d và bình lu n ph n sau.ụ ậ ở ầ
2. B T Đ NG TH C CÔ SIẤ Ẳ Ứ
(CAUCHY)
1. D ng t ng quátạ ổ (n s ): ố ∀x
1
, x
2
, x
3
…… x
n
≥ 0 ta có:
• D ng 1: ạ
1 2
1 2
n
n
n
x x x
x x x
n
+ +
≥
• D ng 2: ạ
1 2
1 2
n
n
n
x x x n x x x+ + ≥
• D ng 3:ạ
1 2
1 2
n
n
n
x x x
x x x
n
+ +
≥
D u “ = ” x y ra khi và ch khi: ấ ả ỉ
1 2
n
x x x= = =
H qu 1ệ ả :
N u:ế
1 2
n
x x x S const+ + + = =
thì:
( )
1 2
P
n
n
S
Max
n
x x x
=
=
khi
1 2
n
S
n
x x x
== = =
H qu 2:ệ ả
N u: ế
1 2
n
x x x P const= =
thì:
( )
1 2 2
n
Min S n Px x x =+ +=
khi
1 2
n
n
x x x P== = =
2. D ng c thạ ụ ể ( 2 s , 3 s ):ố ố
n = 2: ∀ x, y ≥ 0 khi đó: n = 3: ∀ x, y, z ≥ 0 khi đó:
2.1
2
x y
xy
+
≥
3
3
x y z
xyz
+ +
≥
2.2
2x y xy+ ≥
3
3 x y z xyz+ + ≥
2.3
2
2
x y
xy
+
≥
3
3
x y z
xyz
+ +
≥
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
2
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
2.4
( )
2
4x y xy+ ≥
( )
3
27x y z xyz+ + ≥
2.5
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
1 1 1 9
x y z x y z
+ + ≥
+ +
2.6
( )
2
1 4
xy
x y
≥
+
( )
3
1 4
xyz
x y z
≥
+ +
Bình lu n: ậ
• Đ h c sinh d nh , ta nói: Trung bình c ng (TBC) ≥ Trung bình nhân (TBN).ể ọ ễ ớ ộ
• D ng 2 và d ng 3 khi đ t c nh nhau có v t m th ng nh ng l i giúp ta nh n d ng khi s d ng BĐT Cô Si:ạ ạ ặ ạ ẻ ầ ườ ư ạ ậ ạ ử ụ
(3) đánh giá t TBN sang TBC khi không có c căn th c.ừ ả ứ
3. CÁC K THU T S D NGỸ Ậ Ử Ụ
3.1 Đánh giá t trung bình c ng sang trung bình nhân.ừ ộ
Đánh giá t TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chi u “ ≥ ”. Đánh giá t t ng sang tích.ừ ề ừ ổ
Bài 1: Ch ng minh r ng: ứ ằ
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
, ,8 a b ca b b c c a a b c ∀+ + + ≥
Gi iả
Sai l m th ng g p: ầ ườ ặ
S d ng: ử ụ ∀ x, y thì x
2
- 2xy + y
2
= ( x- y)
2
≥ 0 ⇔ x
2
+ y
2
≥ 2xy. Do đó:
2 2
2 2
2 2
2
2
2
a b ab
b c bc
c a ca
+ ≥
+ ≥
+ ≥
⇒
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
8 , ,a b b c c a a b c a b c+ + + ≥ ∀
(Sai)
Ví d : ụ
2 2
3 5
4 3
≥ −
≥ −
≥
⇒ 24 = 2.3.4 ≥ (-2)(-5).3 = 30 ( Sai )
L i gi i đúng:ờ ả
S d ng BĐT Cô Si: xử ụ
2
+ y
2
≥ 2
2 2
x y
= 2|xy| ta có:
2 2
2 2
2 2
0
0
0
2
2
2
a b ab
b c bc
c a ca
≥
≥
≥
+ ≥
+ ≥
+ ≥
⇒
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
| 8| 8 , ,a b b c c a a b c a b c a b c=+ + + ≥ ∀
(Đúng)
Bình lu n:ậ
• Ch nhân các v c a BĐT cùng chi u ( k t qu đ c BĐT cùng chi u) khi và ch khi các v cùng không âm.ỉ ế ủ ề ế ả ượ ề ỉ ế
• C n chú ý r ng: xầ ằ
2
+ y
2
≥ 2
2 2
x y
= 2|xy| vì x, y không bi t âm hay d ng.ế ươ
• Nói chung ta ít g p bài toán s d ng ngay BĐT Cô Si nh bài toán nói trên mà ph i qua m t và phép bi n đ iặ ử ụ ư ả ộ ể ổ
đ n tình hu ng thích h p r i m i s d ng BĐT Cô Si.ế ố ợ ồ ớ ử ụ
• Trong bài toán trên d u “ ≥ ” ấ ⇒ đánh giá t TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 g i ý đ n vi c s d ng b t đ ng th cừ ợ ế ệ ử ụ ấ ẳ ứ
Côsi cho 2 s , 3 c p s .ố ặ ố
Bài 2 : Ch ng minh r ng: ứ ằ
( )
8
2
64 ( )a b ab a b+ ≥ +
∀ a,b ≥ 0
Gi iả
( ) ( )
( ) ( )
( )
4
4
8 2 4
ôSi
2
4 2
.2 2 2 2 2 . .
C
a b a b a b ab a b ab ab a b
= = + = =
+ + + ≥ + +
2
64 ( )ab a b= +
Bài 3: Ch ng minh r ng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab ứ ằ ∀ a, b ≥ 0.
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
3
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
Gi iả
Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥
3 3
3 1. . . 3. . . 9a b a b ab ab=
Bình lu nậ :
• 9 = 3.3 g i ý s d ng Côsi cho ba s , 2 c p. M i bi n a, b đ c xu t hi n ba l n, v y khi s d ng Cô Si choợ ử ụ ố ặ ỗ ế ượ ấ ệ ầ ậ ử ụ
ba s s kh đ c căn th c cho các bi n đó.ố ẽ ử ượ ứ ế
Bài 4: Ch ng minh r ng: 3aứ ằ
3
+ 7b
3
≥ 9ab
2
∀ a, b ≥ 0
Gi iả
Ta có: 3a
3
+ 7b
3
≥ 3a
3
+ 6b
3
= 3a
3
+ 3b
3
+ 3b
3
3
3
3 3
3
3
Côsi
a b
≥
= 9ab
2
Bình lu n: ậ
• 9ab
2
= 9.a.b.b ⇒ g i ý đ n vi c tách h ng t 7bợ ế ệ ạ ử
3
thành hai h ng t ch a bạ ử ứ
3
đ khi áp d ng BĐT Côsi ta có bể ụ
2
.
Khi đã có đ nh h ng nh trên thì vi c tách các h s không có gì khó khăn.ị ướ ư ệ ệ ố
Bài 5: Cho:
, , , 0
1
:
1 1 1 1
81
3
1 1 1 1
a b c d
CMR abcd
a b c d
>
≤
+ + + ≥
+ + + +
Gi iả
T gi thi t suy ra:ừ ả ế
( )
( )
( )
ôsi
3
3
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
= -
C
b c d bcd
a b c d b c d
b c d
≥ + − + − + + ≥
+ + + + + + +
+ + +
V y:ậ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
3
3
3
3
3
3
3
1
0
1
1 1 1
1
0
1
1 1 1
1 d
81
1 1 1 1 1 1 1 1
1
0
1
1 1 1
1
0
1
1 1 1
bcd
a
b c d
cda
b
c d a
abc
a b c d a b c d
dca
c
d c a
abc
d
a b c
⇒
≥ ≥
+
+ + +
≥ ≥
+
+ + +
≥
+ + + + + + + +
≥ ≥
+
+ + +
≥ ≥
+
+ + +
⇒
1
81
abcd ≤
Bài toán t ng quát 1:ổ
Cho:
( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
, , , ,
1
0
1
:
1 1 1 1
1
1 1 1 1
n
n
n
n
n
x x x x
CMR x x x x
n
x x x x
−
>
≤
+ + + + ≥ −
+ + + +
Bình lu n:ậ
• Đ i v i nh ng bài toán có đi u ki n là các bi u th c đ i x ng c a bi n thì vi c bi n đ i đi u ki n mangố ớ ữ ề ệ ể ứ ố ứ ủ ề ệ ế ổ ề ệ
tính đ i x ng s giúp ta x lí các bài toán ch ng minh BĐT d dàng h nố ứ ẽ ử ứ ễ ơ
Bài 6: Cho
, , 0
1 1 1
: 1 1 1 8
1
a b c
CMR
a b c
a b c
>
− − − ≥
+ + =
(1)
Gi iả
ôsi
1 1 1
(1) . .
2 2 2
. . . . 8
C
a b c
VT
a b c
b c c a a b bc ca ab
a b c a b c
− − −
=
+ + +
= =≥
(đpcm)
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
4
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
Bài toán t ng quát 2:ổ
Cho:
( )
n
1 2 3
1 2 31 2 3
, , , ,
1
1
0
1 1 1 1
: 1 1 1 1
n
n
n
n
x x x x
CMR
x x x xx x x x
−
+ + + + =
>
− − − − ≥
Bài 7: CMR:
( )
( )
( )
( )
1 2 3
3
3
3
1 1 1 1 1 8 , , 0
3
a b c
a b c abc abc a b c
+ +
+ ≥ + + + ≥ + ≥ ∀ ≥
Gi iả
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ôsi
3
3
1 1 1
1 1 1 1
3 3
C
a b c
a b c
a b c
+ + +
=
+ +
+ +
+ ≥ + + +
(1)
Ta có:
( )
( )
( )
( ) ( )
1 1 1 1a b c ab bc ca a b c abc
=+ + + + + + + + + +
( )
(
)
2 2 2
3
ôsi
3
3
3
3 11 3
C
a b c abc abc abc+ + = +≥ +
(2)
Ta có:
( )
3
3
3 3
ôsi
2 1. 81
C
abc abc abc
=+ ≥
(3)
D u “ = ” (1) x y ra ấ ả ⇔ 1+a = 1+b = 1+c ⇔ a = b = c
D u “ = ” (2) x y ra ấ ả ⇔ ab = bc = ca và a = b = c ⇔ a = b= c
D u “ = ” (3) x y ra ấ ả ⇔
3
abc
=1 ⇔ abc = 1
Bài toán t ng quát 3:ổ
Cho x
1
, x
2
, x
3
,……., x
n
≥ 0. CMR:
(
)
(
)
( )
(
)
1 2 3
1 2
1 2 1 2 1 2
2 1 1 1 1 1
n
n n n
n
n
n
n
x x x
x x x x x x x x x
n
+ + +
+ ≥ + + + ≥ + ≥
Bình
lu n:ậ
• Bài toán t ng quát trên th ng đ c s d ng cho 3 s , áp d ng cho các bài toán v BĐT l ng giác trong tamổ ườ ượ ử ụ ố ụ ề ượ
giác sau này.
• Trong các bài toán có đi u ki n ràng bu c vi c x lí các đi u ki n mang tình đ ng b và đ i x ng là r t quanề ệ ộ ệ ử ề ệ ồ ộ ố ứ ấ
tr ng, giúp ta đ nh h ng đ c h ng ch ng minh BĐT đúng hay sai.ọ ị ướ ượ ướ ứ
Trong vi c đánh giá t TBC sang TBN có m t k thu t nh hay đ c s d ng. Đó là kĩ thu t tách ngh ch đ o.ệ ừ ộ ỹ ậ ỏ ượ ử ụ ậ ị ả
3.2 K thu t tách ngh ch đ o.ỹ ậ ị ả
Bài 1: CMR:
2 . 0
a b
a b
b a
+ ≥ ∀ >
Gi iả
Ta có:
2 2
Côsi
a b a b
b a b a
+ ≥ =
Bài 2: CMR:
2
2
2
2
1
a
a R
a
+
≥ ∀ ∈
+
Gi iả
Ta có:
( )
2
2 2
2 2 2 2
ôsi
2
2 2
1 1
2 1 1
1 1
1 1 1 1
C
a
a
a a
a a a a
= = ≥ =
+ +
+
+ + +
+ + + +
D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔
2 2
2
1
1 1 1 0
1
a a a
a
= ⇔+ + = ⇔ =
+
Bài 3: CMR:
( )
1
3 0a a b
b a b
+ ≥ ∀ > >
−
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
5
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
Gi iả
Ta có nh n xét: b + a – b = a không ph thu c vào bi n b đo đó h ng t đ u a s đ c phân tích nh sau:ậ ụ ộ ế ạ ử ầ ẽ ượ ư
( )
( )
( )
( )
( )
3
ôsi
.
1 1 1
3 . 3 0
C
a b a b b a b a b
b a b b a b b a b
+ = + − + ≥ − = ∀ > >
− − −
D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔
( )
( )
1
b a b
b a b
== −
−
⇔ a = 2 và b = 1.
Bài 4: CMR:
( )
( )
2
4
3 0
1
a a b
a b b
+ ≥ ∀ > >
− +
(1)
Gi iả
Vì h ng t đ u ch có a c n ph i thêm b t đ tách thành các h ng t sau khi s d ng BĐT s rút g n choạ ử ầ ỉ ầ ả ớ ể ạ ử ử ụ ẽ ọ
các th a s d i m u. Tuy nhiên bi u th c d i m u có d ng ừ ố ướ ẫ ể ứ ướ ẫ ạ
( )
( )
2
1a b b− +
(th a s th nh t là m t đa th cừ ố ứ ấ ộ ứ
b c nh t b, th a s 2 là m t th c b c hai c a b) do đó ta ph i phân tích v thành tích c a các đa th c b c nh t đ iậ ấ ừ ố ộ ứ ậ ủ ả ề ủ ứ ậ ấ ố
v i b, khi đó ta có th tách h ng t a thành t ng các h ng t là các th a s c a m u. ớ ể ạ ử ổ ạ ử ừ ố ủ ẫ
V y ta có: ậ
( )
( )
2
1a b b− +
= (a - b)( b + 1)( b + 1) ⇒ ta phân tích a theo 2 cách sau:
2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) ho c a +1 = ặ
( )
1 1
2 2
b b
a b +
+ +
− +
T đó ta có ừ (1) t ng đ ng :ươ ươ
VT + 1 =
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
4 1 1 4
1
2 2
1 1
1
b b
a a b
a b b b
a b b
= + +
+ +
+ + − +
− + +
− +
( )
( )
( ) ( )
4
ôsi
. . . .
1 1 4
4 4
2 2
1 1
C
b b
a b
a b b b
+ +
≥ − =
− + +
⇒ ĐPCM
Bài 5: CMR :
3
1
2a 1
2
3
4 ( )
1
a
b a b
a
b
≥
+
≥ ∀
−
>
Gi iả
Nh n xét: D i m u s b(a-b) ta nh n th y b + ( a – b ) = a. Chuy n đ i t t c bi u th c sang bi n a là 1ậ ướ ẫ ố ậ ấ ể ổ ấ ả ể ứ ế
đi u mong mu n vì vi c s lí v i 1 bi n s đ n gi n h n. Bi n tích thành t ng thì đây là m t m t m nh c a BĐTề ố ệ ử ớ ế ẽ ơ ả ơ ế ổ ộ ặ ạ ủ
Côsi. Do đó:
Ta có đánh giá v m u s nh sau: ề ẫ ố ư
( )
( )
2
2
4. 4. 4.
2 4
b a b
a
b a b a
+ −
− ≤ = =
V y: ậ
3 3 3
ôsi
3
2 2
3
ôsi
3 3
2a 1 2 1 1 1 1
. .
4 ( )
C
C
a a a
a a a a
b a b a a
a a
+
= = =
+ + +
≥ + + ≥
−
D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔
2
1
1 1
2
b a b a
a b
a
= − =
⇔
= =
Bình lu n:ậ
• Trong vi c x lí m u s ta đã s d ng 1 k thu t đó là đánh giá t TBN sang TBC nh m làm tri t tiêu bi n b.ệ ử ẫ ố ử ụ ỹ ậ ừ ằ ệ ế
• Đ i v i phân th c thì vi c đánh giá m u s , ho c t s t TBN sang TBC hay ng c l i ph i ph thu c vàoố ớ ứ ệ ẫ ố ặ ử ố ừ ượ ạ ả ụ ộ
d u c a BĐT. ấ ủ
Bài 6: Bài toán t ng quát 1.ổ
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
6
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
Cho:
1 2 3
, 0 à 1
n
x x x x v k Z> > > > ≤ ∈
. CMR:
( )
( ) ( )
( )
1
1 2
1
1 2 2 3 1
1 2
1
k kk
n k
n k
n n
n
n k
a
a a a a a a a
k
− +
−
−
− +
+
− − −
≥
Gi iả
VT =
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 2 2 3 1
1 2 2 3 1
1
n n
k kk
n
n n
n
a a a a a a
a a a a a a a
a
−
−
+ + + +
− + − −
− − −
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1
1 2 1 2
1 2 2 3 1
.
1
.
n
n n
n n
k k k
n n
n
k k
a a a a
a a a a
a
k k k k
a a a a a a a
− −
−
+ + + +
+ +
− −
− −
= + +
− − −
1 4 4 442 4 4 4 43 1 4 4 4 442 4 4 4 4 43
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1
1 2 1 2
1 2 2 3 1
1 2
.
.
1
1 2 .
.
n
n n
n n
k k
k
n n
n
n k
k k
a a a a
a a a a
n k a
k k k k
a a a a a a a
− −
−
− +
− −
− −
− +
− − −
≥
1 4 442 4 4 43 1 4 4 442 4 4 4 43
( )
1 2
1
1 2
n k
n k
n k
k
− +
−
− +
=
Tóm l i:ạ Trong k thu t tách ngh ch đ o k thu t c n tách ph n nguyên theo m u s đ khi chuy n sang TBN thìỹ ậ ị ả ỹ ậ ầ ầ ẫ ố ể ể
các ph n ch a bi n s b tri t tiêu ch còn l i h ng s .ầ ứ ế ố ị ệ ỉ ạ ằ ố
Tuy nhiên trong k thu t tách ngh ch đ o đ i v i bài toán có đi u ki n ràng bu c c a n thì vi c tách ngh chỹ ậ ị ả ố ớ ề ệ ộ ủ ẩ ệ ị
đ o h c sinh th ng b m c sai l m. M t k thu t th ng đ c s d ng trong k thu t tách ngh ch đ o, đánh giáả ọ ườ ị ắ ầ ộ ỹ ậ ườ ượ ử ụ ỹ ậ ị ả
t TBN sang TBC là k thu t ch n đi m r i.ừ ỹ ậ ọ ể ơ
3.3 K thu t ch n đi m r iỹ ậ ọ ể ơ
Trong k thu t ch n đi m r i, vi c s d ng d u “ = ” trong BĐT Côsi và các quy t c v tính đ ng th i c aỹ ậ ọ ể ơ ệ ử ụ ấ ắ ề ồ ờ ủ
d u “ = ”, quy t c biên và quy t c đ i x ng s đ c s d ng đ tìm đi m r i c a bi n.ấ ắ ắ ố ứ ẽ ượ ử ụ ể ể ơ ủ ế
Bài 1: Cho a ≥ 2 . Tìm giá tr nh nh t (GTNN) c a ị ỏ ấ ủ
1
S a
a
= +
Gi iả
Sai l m th ng g p c a h c sinh:ầ ườ ặ ủ ọ
1
S a
a
= +
≥ 2
1
a
a
=2
D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔
1
a
a
=
⇔ a = 1 ⇒ vô lí vì gi thi t là a ≥ 2.ả ế
Cách làm đúng:
Ta ch n đi m r i: ta ph i tách h ng t a ho c h ng t ọ ể ơ ả ạ ử ặ ạ ử
1
a
đ sao cho khi áp d ng BĐT Côsi d u “ = ” x y ra khi aể ụ ấ ả
= 2. Có các hình th c tách sau:ứ
1 1
; (1)
1
; (2)
1
,
1
; (3)
; (4)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
α
α
α
α
⇒
V y ta có: ậ
5
1
4 4 2
1 3 1 3 3.2
2
4 4 4
a a a a
S
a a
+ + ≥ + == + ≥
. D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ a = 2.
Bình lu n:ậ
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
7
Ch ng h n ta ch n s đ đi m r i (1):ẳ ạ ọ ơ ồ ể ơ
(s đ đi m r i (2), (3), (4) h c sinh t làm)ơ ồ ể ơ ọ ự
1 2
1 1
2
a
a
α α
=
=
⇒
2 1
2
α
=
⇒ α = 4.
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
• Ta s d ng đi u ki n d u “ = ” và đi m r i là a = 2 d a trên quy tăc biên đ tìm ra ử ụ ề ệ ấ ể ơ ự ể α = 4.
• đây ta th y tính đ ng th i c a d u “ = ” trong vi c áp d ng BĐT Côsi cho 2 s Ở ấ ồ ờ ủ ấ ệ ụ ố
,
4
1a
a
và
3
4
a
đ t giá trạ ị
l n nh t khi a = 2, t c là chúng có cùng đi m r i là a = 2.ớ ấ ứ ể ơ
Bài 2: Cho a ≥ 2. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ
2
1
S a
a
= +
Gi iả
S đ ch n đi m r iơ ồ ọ ể ơ : a = 2 ⇒
2
2
1 1
4
a
a
α α
=
=
⇒
2 1
4
α
=
⇒ α = 8.
Sai l m th ng g p:ầ ườ ặ
2 2 2
.
1 1 7 1 7 2 7 2 7.2 2 7 9
2
8 8 8 8 8 8 4 4 4
8 8.2
a a a a a
S a
a a a
a
= + + +
= + ≥ = + ≥ + = + =
⇒ MinS =
9
4
Nguyên nhân sai l m:ầ
M c dù ch n đi m r i a = 2 và MinS = ặ ọ ể ơ
9
4
là đáp s đúng nh ng cách gi i trên đã m c sai l m trong vi c đánh giáố ư ả ắ ầ ệ
m u s : N u a ≥ 2 thì ẫ ố ế
2 2 2
4
8 8.2a
=≥
là đánh giá sai.
Đ th c hi n l i gi i đúng ta c n ph i k t h p v i k thu t tách ngh ch đ o, ph i bi n đ i S sao cho sau khi sể ự ệ ờ ả ầ ả ế ợ ớ ỹ ậ ị ả ả ế ổ ử
d ng BĐT Côsi s kh h t bi n s a m u s .ụ ẽ ử ế ế ố ở ẫ ố
L i gi i đúng:ờ ả
3
2 2 2
ôsi
. .
1 1 6 1 6 3 6 3 6.2 9
3
8 8 8 8 8 8 4 8 4 8 4
C
a a a a a a a
S a
a a a
= + + + +
= + ≥ = + ≥ + =
V i a = 2 thì Min S = ớ
9
4
Bài 3: Cho
, , 0
3
2
a b c
a b c
>
+ + ≤
. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ
1 1 1
S a b c
a b c
= + + + + +
Gi iả
Sai l m th ng g p:ầ ườ ặ
6
. .
1 1 1 1 1 1
6 . . . 6S a b c a b c
a b c a b c
≥ == + + + + +
⇒ Min S = 6
Nguyên nhân sai l m :ầ
Min S = 6 ⇔
3
1
2
1 1 1
3a b c a b c
a c
b
= = = ⇒= = = + + = >
trái v i gi i thi t.ớ ả ế
Phân tích và tìm tòi l i gi i:ờ ả
Do S là m t bi u th c đ i x ng v i a, b, c nên d đoán MinS đ t t i đi m r i ọ ể ứ ố ứ ớ ự ạ ạ ể ơ
1
2
a b c= = =
S đ đi m r i: ơ ồ ể ơ
1
2
a b c= = =
⇒
1
2
1 1 1 2
a b c
a b c
α α α α
= = =
= = =
⇒
2
4
1
2
α
α
⇒
=
=
Ho c ta có s đ điêm r i sau:ặ ơ ồ ơ
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
8
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
1
2
a b c= = =
⇒
2
2 4
2
1 1 1
2
a b c
a b c
α
α α α
α
α
⇒ =
= = =
= = =
⇒ =
⇒
2
4
1
2
α
α
= ⇒ =
V y ta có cách gi i theo s đ 2 nh sau:ậ ả ơ ồ ư
( ) ( )
6
. .
1 1 1 1 1 1
4 4 4 3 6 4 .4 .4 . 3S a b c a b c a b c a b c
a b c a b c
≥= + + + + + − + + − + +
3 15
12 3.
2 2
≥ − =
. V i ớ
1
2
a b c= = =
thì MinS =
15
2
Bài 4: Cho
, , 0
3
2
a b c
a b c
>
+ + ≤
. Tìm GTNN c a ủ
2 2 2
2 2 2
1 1 1
S a b c
b c a
= + + + + +
Gi iả
Sai l m th ng g p:ầ ườ ặ
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
6
. . . .
1 1 1 1 1 1
3 3a b c a b c
b c a b c a
S
≥ =+ + + + + +
2 2 2
6
2 2 2
6
. . . . .
1 1 1
3 2 2 2 3 8 3 2a b c
b c a
= =≥
⇒ MinS =
3 2
.
Nguyên nhân sai l m: ầ
MinS =
3 2
⇔
3
1
2
1 1 1
3a b c a b c
a c
b
= = = ⇒
= = = + + = >
trái v i gi thi t.ớ ả ế
Phân tích và tìm tòi l i gi iờ ả
Do S là m t bi u th c đ i x ng v i a, b, c nên d đoán MinS đ t t i ộ ể ứ ố ứ ớ ự ạ ạ
1
2
a b c= = =
2 2 2
2 2 2
1
1 4
4
16
4
41 1 1
a b c
a b c
α
α
α
α α α
⇒ =
= = =
= =
= ⇒
=
L i gi iờ ả
2 2 2
2 2 2 2 2 2
16 16 16
1 1 1 1 1 1
16 16 16 16 16 16
S a b c
b b c c a a
+ + + + + += + + + + +
1 4 442 4 4 43 1 4 442 4 4 43 1 4 442 4 4 43
2 2 2
2 2 2 2 2 2
16 16 16
17 17 17
17 . 17 . 17 .
1 1 1 1 1 1
16 16 16 16 16 16
a b c
b b c c a a
≥ + +
1 442 4 43 1 442 4 43 1 442 4 43
2 2 2
17 17 17
17
17 17
16 32 16 32 16 32 8 16 8 16 8 16
17 17 17 17
16 16 16 16 16 16
a b c a b c
b c a b c a
= + +
= + +
( )
3
17
17 17 17
8 16 8 16 8 16 8 5 5 5
5
17
. . 3. 17
.
3 17
17 3
16 16 16 16
2 2 2 2
a b c a
b c a a b c
a b c
= =
≥
15
17
2 2 2
.
3
3 17 3 17
2
2
a b c
≥ ≥
+ +
. D u “ = ” x y ra khi ấ ả
1
2
a b c= = =
⇒ Min S =
3 17
2
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
9
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
Bình lu n:ậ
• Vi c ch n đi m r i cho bài toán trên đã gi i quy t m t cách đúng đ n v m t toán h c nh ng cách làm trênệ ọ ể ơ ả ế ộ ắ ề ặ ọ ư
t ng đ i c ng k nh. N u chúng ta áp d ng vi c ch n đi m r i cho BĐT Bunhiacôpski thì bài toán sươ ố ồ ề ế ụ ệ ọ ể ơ ẽ
nhanh g n h n đ p h n.ọ ơ ẹ ơ
• Trong bài toán trên chúng ta đã dùng m t k thu t đánh giá t TBN sang TBC, chi u c a d u c a BĐT khôngộ ỹ ậ ừ ề ủ ấ ủ
ch ph thu c vào chi u đánh giá mà nó còn ph thu c vào bi u th c đánh giá n m m u s hay t sỉ ụ ộ ề ụ ộ ể ứ ằ ở ẫ ố ở ử ố
Bài 5: Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ
a b c d b c d c d a a b d a b c
S
b c d c d a a b d a b c a b c d
+ + + + + + + +
= + + + + + + +
+ + + + + + + +
Gi iả
Sai l m 1 th ng g p:ầ ườ ặ
.
.
.
.
2 2
2 2
2 2
2 2
a b c d a b c d
b c d a b c d a
b c d a b c d a
c d a b c d a b
c a b d c a b d
a b d c a b d c
d a b c d a b c
a b c d a b c d
+ + + +
+ ≥ =
+ + + +
+ + + +
+ ≥ =
+ + + +
+ + + +
+ ≥ =
+ + + +
+ + + +
+ ≥ =
+ + + +
⇒ S ≥ 2 + 2 + 2 + 2 = 8
Sai l m 2 th ng g p:ầ ườ ặ
S d ng BĐT Côsi cho 8 s :ử ụ ố
8
. . . . . . .8 8
a b c d b c d c d a a b d a b c
S
b c d c d a a b d a b c a b c d
+ + + + + + + +
≥ =
+ + + + + + + +
Nguyên nhân sai l m:ầ
Min S = 8 ⇔
a b c d
b c d a
c d a b
d a b c
= + +
= + +
= + +
= + +
⇒ a + b + c + d = 3(a + b + c + d) ⇒ 1 = 3 ⇒ Vô lý.
Phân tích và tìm tòi l i gi iờ ả
Đ tìm Min S ta c n chú ý S lá m t bi u th c đ i x ng v i a, b, c, d do đó Min S n u có th ng đ t t i “đi m r iể ầ ộ ể ứ ố ứ ớ ế ườ ạ ạ ể ơ
t do” là : a = b = c = d > 0.(nói là đi m r i t do vì a, b, c, d không mang m t giá tr c th ). V y ta cho tr c a =ự ể ơ ự ộ ị ụ ể ậ ướ
b = c = d d đoán ự
4 40
12
3 3
Min S = + =
. T đó suy ra các đánh giá c a các BĐT b ph n ph i có đi u ki nừ ủ ộ ậ ả ề ệ
d u b ng x y ra là t p con c a đi u ki n d đoán: a = b = c = d > 0.ấ ằ ả ậ ủ ề ệ ự
Ta có s đ đi m r i:ơ ồ ể ơ Cho a = b = c = d > 0 ta có:
1
1 3
3
9
3
3
a b c d
b c d c d a a b d a b c
b c d c d a a b d a b c
a b c d
α
α
α
⇒ ⇒
= = = =
+ + + + + + + +
= =
+ + + + + + + +
= = = =
Cách 1: S d ng BĐT Côsi ta có:ử ụ
8
, , ,
, , ,
. . . . . . .
8
.
9 9 9
8
9 9 9 9
a b c d
a b c d
a b c d b c d
b c d a a
a b c d b c d c d a a b d a b c
b c d c d a a b d a b c a b c d
S
+ + + +
+ + ≥
+ +
+ + + + + + + +
≥
+ + + + + + + +
=
∑ ∑
8
9
b c c d a b a b
a a b b c c d d
d a d c
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
≥
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
10
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
12
.12. . . . . . . . . . . . .
8
3
8 8 8 40
12
9 3 9 3
b c d c d a a b d a b c
a a a b b b c c c d d d
= =
≥ + +
V i a = b = c = d > 0 thì Min S = 40/3.ớ
3.4 K thu t đánh giá t trung bình nhân (TBN) sang trung bình c ng (TBC)ỹ ậ ừ ộ
N u nh đánh giá t TBC sang TBN là đánh giá v i d u “ ≥ ”, đánh giá t t ng sang tích, hi u nôm na là thay d uế ư ừ ớ ấ ừ ổ ể ấ
“ + ” b ng d u “ . ” thì ng c l i đánh giá t TBN sang trung bình c ng là thay d u “ . ” b ng d u “ + ”. Vàằ ấ ượ ạ ừ ộ ấ ằ ấ
cũng c n ph i chú ý làm sao khi bi n tích thành t ng, thì t ng cũng ph i tri t tiêu h t bi n, ch còn l i h ng s .ầ ả ế ổ ổ ả ệ ế ế ỉ ạ ằ ố
Bài 1 : CMR
( )
( )
, , , 0ab cd a c b d a b c d+ ≤ + + ∀ >
(1)
Gi iả
(1) ⇔
( )
( )
( )
( )
1
ab cd
a c b d a c b d+ + + +
+ ≤
Theo BĐT Côsi ta có:
( )
1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2
a b c b a c b d
VT
a c b c a c b d a c b c
+ +
≤ + + + = + = + =
+ + + + + +
(đpcm)
Bình lu n:ậ
• N u gi nguyên v trái thì khi bi n tích thành t ng ta không th tri t tiêu n s ế ữ ế ế ổ ể ệ ẩ ố ⇒ ta có phép bi n đ i t ngế ổ ươ
đ ng ươ (1) sau đó bi n tích thành t ng ta s đ c các phân th c có cùng m u s .ế ổ ẽ ượ ứ ẫ ố
• D u “ ≤ ” g i ý cho ta n u s d ng BĐT Côsi thì ta ph i đánh giá t TBN sang TBCấ ợ ế ử ụ ả ừ
Bài 2: CMR
( )
( )
0
0
a c
c a c c b c ab
b c
> >
− + − ≤ ∀
> >
(1)
Gi iả
Ta có (1) t ng đ ng v i : ươ ươ ớ
( )
( )
1
c b c
c a c
ab ab
−
−
+ ≤
Theo BĐT Côsi ta có:
( )
( )
( )
( )
1 1 1
1
2 2 2
c b c b c
c a c a c
c c a b
ab ab b a a b a b
− −
− −
+ + = + =+ ≤ +
(đpcm)
Bài 3: CMR
( )
( )
( )
3
3
1 1 1 1 , , 0 abc a b c a b c≤+ + + + ∀ ≥
(1)
Gi iả
Ta có bi n đ i sau, ế ổ (1) t ng đ ng:ươ ươ
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
3
3
3
3
3
1.1.1
1.1.1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
abc
abc a b c
a b c a b c
+ ≤ + + + ⇔ + ≤
+ + + + + +
Theo
BĐT Côsi ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
.3 1
3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3
a b c a b c
VT
a b c a b c a b c
+ + +
≤ + + + + + = + + = =
+ + + + + + + + +
D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ a = b = c > 0.
Ta có bài toán t ng quát 1: ổ
CMR:
( ) ( )
( )
( )
1 2 1 2 1 1 2 2
, 0 1,
n
n
n
n n n n
i i
a a a bb b a b a b a b a b i n+ ≤ + + + ∀ > =
Bài 4 : Ch ng minh r ng: ứ ằ
2 4
16 ( ) ( ) , 0ab a b a b a b≤− + ∀ >
Gi iả
Ta có:
2 2
2 2
2 2 4
2 2
4 ( ) ( )
16 ( ) 4.(4 )( ) 4 4 ( )
ab a b a b
ab a b ab a b a b
≤
+ − +
− = − = = +
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
11
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
Bài 5: Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>
+ + =
Ch ng minh r ng ứ ằ
( ) ( )
( )
8
729
abc a b b c c a+ + + ≤
Gi iả
S đ đi m r i:ơ ồ ể ơ
Ta nh n th y bi u th c có tính đ i x ng do đó d u “ = ” c a BĐT s x y ra khi ậ ấ ể ứ ố ứ ấ ủ ẽ ả
1
3
a b c= = =
. Nh ng th c t taư ự ế
ch c n quan tâm là sau khi s d ng BĐT Côsi ta c n suy ra đ c đi u ki n x y ra d u “ = ” là: a = b = c. Do đó taỉ ầ ử ụ ầ ượ ề ệ ả ấ
có l i gi i sauờ ả :
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
3
3
3 3
ôsi
1 2 8
3 3 3 3 729
C
a b b c c a
a b c
abc a b b c c a
+ + + + +
+ +
+ + + ≤ = =
Trong k thu t đánh giá t TBN sang TBC ta th y th ng nhân thêm các h ng s đ sao cho sau bi n tích thànhỹ ậ ừ ấ ườ ằ ố ể ế
t ng các t ng đó tri t tiêu các bi n. Đ c bi t là đ i v i nh ng bài toán có thêm đi u ki n ràng bu c c a n s thìổ ổ ệ ế ặ ệ ố ớ ữ ề ệ ộ ủ ẩ ố
vi c nhân thêm h ng s các em h c sinh d m c sai l m. Sau đây ta l i nghiên c u thêm 2 ph ng pháp n a đó làệ ằ ố ọ ễ ắ ầ ạ ứ ươ ữ
ph ng pháp nhân thêm h ng s , và ch n đi m r i trong vi c đánh giá t TBN sang TBC. Do đã trình bày ph ngươ ằ ố ọ ể ơ ệ ừ ươ
pháp đi m r i trên nên trong m c này ta trình bày g p c 2 ph n .ể ơ ở ụ ộ ả ầ
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
12
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
3.5 K thu t nhân thêm h ng s trong đánh giá t TBN sang TBCỹ ậ ằ ố ừ
Bài 1: Ch ng minh r ng: ứ ằ
( )
( )
1 1 , 1a b b a ab a b− + − ≤ ∀ ≥
Gi iả
Bài này chúng ta hoàn toàn có th chia c 2 v cho ab sau đó áp d ng ph ng pháp đánh giá t TBN sang TBC nhể ả ế ụ ươ ừ ư
ph n tr c đã trình bày, tuy nhiên đây ta áp d ng m t ph ng pháp m i: ph ng pháp nhân thêm h ng sầ ướ ở ụ ộ ươ ớ ươ ằ ố
Ta có :
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
ôsi
ôsi
.
.
1 1
1 1 1
2
1 1
1 1 1 .
2
2
2
C
C
b
ab
a b a b a
a
ab
b a b a b
=
=
≤
− +
− − =
− +
− − =
≤
⇒
( )
( )
1 1 +
2 2
ab ab
a b b a ab− + − ≤ =
D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔
1 1 2
1 1 2
b b
a a
− = =
⇒
− = =
Bình lu n:ậ
• Ta th y vi c nhân thêm h ng s 1 vào bi u th c không hoàn toàn t nhiên, t i sao l i nhân thêm 1 mà khôngấ ệ ằ ố ể ứ ự ạ ạ
ph i là 2. Th c ch t c a v n đ là chúng ta đã ch n đi m r i c a BĐT theo quy t c biên là a = b = 1/2.ả ự ấ ủ ấ ề ọ ể ơ ủ ắ
N u không nh n th c đ c rõ v n đ trên h c sinh s m c sai l m nh trong VD sau.ế ậ ứ ượ ấ ề ọ ẽ ắ ầ ư
Bài 2: Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>
+ + =
Tìm giá tr l n nh t: ị ớ ấ
S a b b c c a= + + + + +
Gi iả
Sai l m th ng g p:ầ ườ ặ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ôsi
ôsi
ôsi
2
2
2
1
.1
1
.1
1
.1
C
C
C
a b
a b a b
b c
b c b c
c a
c a c a
=
=
=
+ +
+ + ≤
+ +
+ + ≤
+ +
+ + ≤
⇒
( )
2 3
5
2 2
a b c
a b b c c a
+ + +
+ + + + + ≤ =
Nguyên nhân sai l mầ
D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ a + b = b + c = c + a = 1 ⇒ a + b + c = 2 trái v i gi thi t.ớ ả ế
Phân tích và tìm tòi l i gi i:ờ ả
Do vai trò c a a, b, c trong các bi u th c là nh nhau do đó đi m r i c a BĐT s là ủ ể ứ ư ể ơ ủ ẽ
1
3
a b c= = =
t đó ta dừ ự
đoán Max S =
6
. ⇒ a + b = b + c = c + a =
2
3
⇒ h ng s c n nhân thêm là ằ ố ầ
2
3
. V y l i gi i đúng là:ậ ờ ả
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ôsi
ôsi
ôsi
. .
. .
. .
2
3 2 3
3
.
2 3 2 2
2
3 2 3
3
.
2 3 2 2
2
3 2 3
3
.
2 3 2 2
C
C
C
a b
a b a b
b c
b c b c
c a
c a c a
=
=
=
+ +
+ + ≤
+ +
+ + ≤
+ +
+ + ≤
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
13
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
⇒
( )
.
2
2 3.
3 3
3
.2 6
2 2 2
a b c
a b b c c a
+ + +
+ + + + + ≤ = =
Bài toán trên n u cho đ u bài theo yêu c u sau thì h c sinh s có đ nh h ng t t h n:ế ầ ầ ọ ẽ ị ướ ố ơ Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>
+ + =
Ch ngứ
minh r ng: ằ
6S a b b c c a= + + + + + ≤
. Tuy nhiên n u n m đ c k thu t đi m r i thì vi c vi t đ uế ắ ượ ỹ ậ ể ơ ệ ế ầ
bài theo h ng nào cũng có th gi i quy t đ c.ướ ể ả ế ượ
Bài 3: Cho
0 3
0 4
x
y
≤ ≤
≤ ≤
Tìm Max A = (3 – x )(12 – 3y)(2x + 3y)
Gi iả
A =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
ôsi
6 2x 12 3 2x+3y
1
6 2 12 3 2 3 36
6 3
C
y
x y x y
− + − +
− − + ≤ =
D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ 6 -2x = 12 - 3y = 2x + 3y = 6 ⇔
0
2
x
y
=
=
Bình lu n: ậ
• Vi c ch n đi m r i trong bài toán này đ i v i h c sinh th ng b lúng túng. Tuy nhiên c n c vào yêu c uệ ọ ể ơ ố ớ ọ ườ ị ắ ứ ầ
khi đánh giá t TBN sang TBC c n ph i tri t tiêu h t bi n cho nên căn c vào các h s c a tích ta nhânừ ầ ả ệ ế ế ứ ệ ố ủ
thêm 2 vào th a s th nh t là m t đi u h p lý.ừ ố ứ ấ ộ ề ợ
Bài 4: Cho x, y > 0. Tìm Min f(x, y) =
( )
3
2
x y
xy
+
Gi iả
Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
3 3
3
1 1 4x+2y+2y 1 4 4
4x 2 2
16 16 3 16 3 27
xy y y x y x y
= ≤ = + = +
⇒ f(x,y) =
( ) ( )
( )
3 3
2
3
4 4
f( , )
4
27 27
27
=
x y x y
Min x y
xy
x y
≥ =
+ +
⇒
+
D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ 4x = 2y = 2y ⇔ y = 2x > 0. Đó là t p h p t t c các đi m thu c đ ng th ng y = 2x v i xậ ợ ấ ả ể ộ ườ ẳ ớ
d ng.ươ
Th c ra vi c đ h s nh trên có th tùy ý đ c mi n là sao cho khi sau khi áp d ng BĐT Côsi ta bi n tích thànhự ệ ể ệ ố ư ể ượ ễ ụ ế
t ng c a x + y. ( Có th nhân thêm h s nh sau: 2x.y.y).ổ ủ ể ệ ố ư
Bình lu n:ậ
• Trong bài toán trên yêu c u là tìm Min nên ta có th s d ng k thu t đánh giá t TBN sang TBC cho ph n ầ ể ử ụ ỹ ậ ừ ầ ở
d i m u s vì đánh giá t TNB sang TBC là đánh giá v i d u “ ≤ ” nên ngh ch đ o c a nó s là “ ≥ ”.ướ ấ ố ừ ớ ấ ị ả ủ ẽ
• Ta cũng có th đánh giá t s t TBC sang TBN đ có chi u “ ≥ ”ể ử ố ừ ể ề
Bài toán t ng quát 1:ổ
Cho
(
)
2 3
1 2 3
1 2 3
2 3
1 2 3 4
1
, , 0.
. .
n
n
n
n
x x x x
x x x x Tìm Min f
x x x x
+ + + +
+ + +
> =
Bài 5: Ch ng minh r ng: ứ ằ
2
1 (1) ( 1)
n
n n N n
n
< + ∀ ∈ ≥
Gi iả
V i n = 1, 2 ta nh n th y (1) đúng.ớ ậ ấ
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
14
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
V i n ≥ 3 ta có:ớ
( )
2
2
1 1 1
2 2
2 2
.1.1 1 1
n
n
n
n
n n
n n
n n
n n n
n n n
n
−
−
=
+ + + +
+ −
+
= < =≤ +
1 442 4 43
142 43
Bài toán t ng quát 2:ổ
Ch ng minh r ng: ứ ằ
1 1
1 1
m n
m n N
m n
+ < + ∀ < ∈
(1)
Gi iả
Ta bi n đ iế ổ (1) v b t đ ng th c t ng đ ng sau:ề ấ ẳ ứ ươ ươ
1
1
1
1
m
n
nm
+
+ <
Ta có:
. .
1 1 1 1
1 1 1 1 1.1 1
n m
m
m
n
n
m m m m
−
=
+ + + +
1 42 43
1 4 4 4 4 42 4 4 4 4 43
ôsi
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1
1
m
n m
C
m n m
m m m m
n n n
−
+ +
=
+ + + + + + + + + −
= +<
6 4 4 4 4 447 4 4 4 4 4 48
6 4 4 7 4 4 8
Bình lu nậ
• C n ph i bình lu n v d u “ = ”: trong bài toán trên ta coi 1/m = a th thì khi đó d u b ng trong BĐT Côsiầ ả ậ ề ấ ế ấ ằ
x y ra khi và ch khi 1+ a = 1 ả ỉ ⇔ a = 0. Nh ng th c t thì đi u trên t ng đ ng v i m ti n t i +∞, khi m làư ự ế ề ươ ươ ớ ế ớ
h u h n thì d u “<” là hoàn toàn đúng. Chúng ta cũng nh n th y n u m ti n ra + ∞ thì hai v c a BĐT càngữ ạ ấ ậ ấ ế ế ế ủ
d n t i cùng m t giá tr là e (c s t nhiên c a hàm logarit). Ta hi u là trong quá trình này thì VP ti n nhanhầ ớ ộ ị ơ ố ự ủ ể ế
h n VT nh ng sau này khi tung ra ∞ thì t c đ d n b ng nhau và kho ng cách ngày thu h p.(M c này xinơ ư ố ộ ầ ằ ả ẹ ụ
ch bình lu n cùng v i các b n đ ng nghi p) ỉ ậ ớ ạ ồ ệ
Tóm l i : Đ s d ng BĐT Côsi t TBN sang TBC ta c n chú ý: Ch s căn th c là bao nhiêu thì s các s h ngạ ể ử ụ ừ ầ ỉ ố ứ ố ố ạ
trong căn là b y nhi u. n u s các s h ng nh h n ch s căn thì ph i nhân thêm h ng s đ s các s h ngấ ề ế ố ố ạ ỏ ơ ỉ ố ả ằ ố ể ố ố ạ
b ng ch s cănằ ỉ ố
Bài 6: Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>
+ + =
Tìm Max
3 3
3
S a b b c c a= + + + + +
Gi iả
Sai l m th ng g p: ầ ườ ặ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
3
3
3
3
3
1 1
.1.1
3
1 1
.1.1
3
1 1
.1.1
3
a b
a b a b
b c
b c b c
c a
c a c a
=
=
=
+ + +
+ +
+ + +
+ +
+ + +
+ +
≤
≤
≤
⇒
( )
3 3
3
2 6
8
3 3
a b c
S a b b c c a
+ + +
= + + + + + ≤ =
⇒ Max S =
8
3
Nguyên nhân sai l m:ầ
Max S =
8
3
⇔
( )
1
1 2 3 2 3
1
a b
b c a b c Vô lý
c a
+ =
+ = ⇒ + + = ⇒ = ⇒
+ =
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
15
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
Phân tích và tìm tòi l i gi i:ờ ả
Do S làm t bi u th c đ i x ng v i a, b, c nên Max S th ng x y ra t i đi u ki n:ộ ể ứ ố ứ ớ ườ ả ạ ề ệ
, , 0
1
a b c
a b c
>
+ + =
⇔
1
3
a b c= = =
⇔
2
3
2
3
2
3
a b
b c
c a
+ =
+ =
+ =
⇒ V y h ng s c n nhân thêm là ậ ằ ố ầ
2
3
.
2
3
Ta có l i gi i:ờ ả
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
3
3
3
3
3
3
3
3
9
.
4
9
.
4
9
.
4
2 2
3 3
. .
3
2 2
3 3
. .
3
2 2
3 3
. .
3
2 2
3 3
2 2
3 3
2 2
3 3
a b
a b a b
b c
b c b c
c a
c a c a
=
=
=
+ + +
+ +
+ + +
+ +
+ + +
+ +
≤
≤
≤
⇒
( )
3 3
3
3
3 3
9 9
. .
4 4
2 4
6
18
3 3
a b c
S a b b c c a =
+ + +
= + + + + + ≤ =
V y Max S = ậ
3
18
. D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔
2
3
2
3
2
3
a b
b c
c a
+ =
+ =
+ =
⇔
1
3
a b c= = =
3.6 K thu t ghép đ i x ngỹ ậ ố ứ
Trong k thu t ghép đ i x ng chúng ta c n n m đ c m t s ki u thao tác sau:ỹ ậ ố ứ ầ ắ ượ ộ ố ể
Phép c ng:ộ
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
x y z x y y z z x
x y y z z x
x y z
+ + = + + + + +
+ + +
+ + = + +
Phép nhân:
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
x ; xyz= xy x x, y, z 0x y z xy yz z yz z= ≥
Bài 1: Ch ng minh r ng: ứ ằ
, , 0
bc ca ab
a b c a b c
a b c
+ + ≥ + + ∀ >
Gi iả
Áp d ng BĐT Côsi ta có:ụ
.
.
.
1
2
1
2
1
2
bc ca bc ca
c
a b a b
ca ab ca ab
a
b c b c
bc ab bc ab
c
a c a c
+ =
+ =
+ =
≥
≥
≥
⇒
bc ca ab
a b c
a b c
+ + ≥ + +
. D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ a = b = c.
Bài 2: Ch ng minh r ng: ứ ằ
2 2 2
2 2 2
0
a b c b c a
abc
b c a a b c
+ + ≥ + + ∀ ≠
Gi iả
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
16
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
Áp d ng BĐT Côsi ta có:ụ
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
.
.
.
1
2
1
2
1
2
a b a b a a
c c c c
b b
b c b c b b
c a c a a a
a c a c c c
a a
b b b b
= ≥
= ≥
= ≥
+ ≥
+ ≥
+ ≥
⇒
2 2 2
2 2
2
a b c b c a b c a
c a a c a c
b b b
≥
+ + ≥ + + + +
Bài 3: Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là s đo ba c nh c a tam giác. CMR:ố ạ ủ
a)
( )
( )
( )
1
8
p a p b p c abc− − − ≤
; b)
1 1 1 1 1 1
2
p a p c a c
p b b
+ + ≥ + +
− −
−
Gi iả
a) Áp d ng BĐT Côsi ta có:ụ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
1
2 8
2
2
2
2
p a p b
p a p b
p b p c
p b p c p a p b p c abc
p a p c
p a p c
c
a
b
+
+
⇒
+
− −
− − ≤ =
− −
− − ≤ = − − − ≤
− −
− − ≤ =
b) Áp d ng BĐT Côsi ta có:ụ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1 1 2
2
2
1 1 1 1 1 2
2
2
1 1 1 1 1 2
2
2
p a p b c
p a p b
p a p b
p b p c a
p b p c
p b p c
p a p c b
p a p c
p a p c
+
+
+
+ ≥ ≥ =
− −
− −
− −
+ ≥ ≥ =
− −
− −
− −
+ ≥ ≥ =
− −
− −
− −
⇒
1 1 1 1 1 1
2
p a p c a c
p b b
+ + ≥ + +
− −
−
D u “ = ” x y ra cho c a) và b) khi vào ch khi ∆ ABC đ u: a = b = cấ ả ả ỉ ề
( p là n a chu vi c a tam giác ∆ABC: ử ủ
2
a b c
p
+ +
=
)
Bài 4: Cho ∆ ABC, a, b, c là s đo ba c nh c a tam giác. Ch ng minh r ng:ố ạ ủ ứ ằ
( ) ( ) ( )
b c a c a b a b c abc+ − + − + − ≤
Gi iả
Áp d ng BĐT Côsi ta có:ụ
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
17
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
0
0
0
b c a c a b
b c a c a b c
c a b a b c
c a b a b c a
b c a a b c
b c a a b c b
+
+
+
+ − + −
≤ + − + − ≤ =
+ − + −
≤ + − + − ≤
+ − + −
≤ + − + − ≤ =
=
⇒
( ) ( ) ( )
0 b c a c a b a b c abc≤ + − + − + − ≤
D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ ∆ ABC đ u: a = b = c.ề
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
18
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
3.7 K thu t ghép c p ngh ch đ o cho 3 s , n sỹ ậ ặ ị ả ố ố
N i dung c n n m đ ccác thao tác sau:ộ ầ ắ ượ
1.
( )
1 1 1
9 , , 0x y z x y z
x y z
+ + + + ≥ ∀ >
2.
(
)
1 2
2
1 2
1 2
, , , 0
1 1 1
n
n
n
x x xnx x x
x x x
∀ >+ + + + + + ≥
Bài 1: Ch ng minh r ng : ứ ằ
6 , , 0
b c c a a b
a b c
a b c
+ + +
+ + ≥ ∀ >
(1)
Gi iả
Ta bi n đ i ế ổ (1) t ng đ ng: ươ ươ
1 1 1 9
b c c a a b
a b c
+
+ + +
+ + + + ≥
⇔
9
a b c b c a c a b
a b c
+ + + + + +
+ + ≥
⇔
( )
1 1 1
9 a b c
a b c
+ + + + ≥
(đpcm )
Bài 2: Ch ng minh r ng: ứ ằ
2 2 2 9
, , 0a b c
a b b c c a a b c
+ + ≥ ∀ >
+ + + + +
Gi iả
Ta bi n đ i t ng đ ng BĐT nh sau: ế ổ ươ ươ ư
( )
1 1 1
2 9a b c
a b b c c a
+ + + + ≥
+ + +
⇔
( ) ( )
( )
1 1 1
9a b b c a c
a b b c c a
+ +
+ + + + + ≥
+ + +
(đpcm )
Bài 3: Ch ng minh r ng: ứ ằ
3
2
c a b
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
, , 0a b c∀ >
(BĐT Nesbit)
Gi iả
Ta có bi n đ i t ng đ ng sau: ế ổ ươ ươ
3
3 9
1 1 1
2 2
c a b
a b b c c a
+ =+ + + + + ≥
+ + +
⇔
9
2
a b c a b c a b c
a b b c c a
+ + + + + +
+ + ≥
+ + +
⇔
( )
2
1 1 1 9
a b c
a b b c c a
+ + + + ≥
+ + +
⇔
( ) ( )
( )
1 1 1
9a b b c a c
a b b c c a
+ +
+ + + + + ≥
+ + +
(đpcm)
Bài 4: Ch ng minh r ng: ứ ằ
2 2 2
, , 0
2
c a b a b c
a b c
a b b c c a
+ +
+ + ≥ ∀ >
+ + +
Gi iả
Ta bi n đ i BĐT nh sau: ế ổ ư
( )
2 2 2
3
2
a b c
c a b
c a b
a b b c c a
+ +
+ + + + + ≥
+ + +
⇔
( )
3
1 1 1
2
a b c
c a b
c a b
a b b c c a
+ +
+ + + + + ≥
+ + +
⇔
( )
( )
3
2
a b c
c a b
a b c
a b b c c a
+ +
+ + + + ≥
+ + +
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
19
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
⇔
3
2
c a b
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
⇔
9
1 1 1
2
c a b
a b b c c a
+ + + + + ≥
+ + +
⇔
( ) ( )
( )
1 1 1
9a b b c a c
a b b c c a
+ +
+ + + + + ≥
+ + +
3.8 K thu t đ i bi n sỹ ậ ổ ế ố
Có nh ng bài toàn v m t bi u th c toán h c t ng đ i còng k nh ho c khó gi i, khó nh n bi t đ c ph ngữ ề ặ ể ứ ọ ươ ố ề ặ ả ậ ế ượ ươ
h ng gi i,ta có th chuy n bài toán t tình th khó bi n đ i v tr ng thái d bi n đ i h n. Ph ng pháp trên g iướ ả ể ể ừ ế ế ổ ề ạ ễ ế ổ ơ ươ ọ
là ph ng pháp đ i bi n.ươ ổ ế
Bài 1: Ch ng minh r ng: ứ ằ
3
2
c a b
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
, , 0a b c∀ >
(BĐT Nesbit)
Gi iả
Đ t: ặ
0
0 ; ;
2 2 2
0
b c x
y z x z x y x y z
c a y a b c
a b z
⇔
+ = >
+ − + − + −
+ = > = = =
+ = >
.
Khi đó b t đ ng th c đã cho t ng đ ng v i b t đ ng th c sau:ấ ẳ ứ ươ ươ ớ ấ ẳ ứ
⇔
6
2 2 2
y z x z x y x y z y x z x y z
x y z x y x z z y
+ + + + + + +
+ − + − + −
≥ ≥
B t đ ng th c trên hi n nhiên đúng, Th t v y áp d ng BĐT Côsi ta có:ấ ẳ ứ ể ậ ậ ụ
VT ≥
. . .2 2 2 2 2 2 6
y x z x y z
x y x z z y
+ + = + + =
D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ x = y = z ⇔ a = b = c
Bài 2: Cho ∆ABC. Ch ng minh r ng: ứ ằ
2 2 2
a b c
a b c
b c a c a b a b c
++ ≥ + +
+ − + − + −
Gi iả
Đ t: ặ
0
0 ; ;
2 2 2
0
b c a x
y z z x x y
c a b y a b c
a b c z
⇔
+ − = >
+ + +
+ − = > = = =
+ − = >
.
Khi đó b t đ ng th c đã cho t ng đ ng v i b t đ ng th c sau:ấ ẳ ứ ươ ươ ớ ấ ẳ ứ
⇔
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 4 4
y z z x x y
x y z
x y z
+ + +
+ + ≥ + +
(2)
Ta có: VT (2) ≥
1 1 1
2 2 2
yz zx xy yz zx zx xy yz xy
x y z x y y z x z
+ + ≥ + + + + +
ôsi
. . .
C
yz zx zx xy yz xy
x y z
x y y z x z
+ + = + +≥
Bài 3:Cho ∆ ABC. CMR : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc (1)
Gi iả
Đ t: ặ
0
0 ; ;
2 2 2
0
b c a x
y z z x x y
c a b y a b c
a b c z
⇔
+ − = >
+ + +
+ − = > = = =
+ − = >
.
Khi đó ta có BĐT (1) t ng đ ng v i b t đ ng th c sau: ươ ươ ớ ấ ẳ ứ
. .
2 2 2
x y y z z x
xyz
+ + +
≤
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
20
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
Áp d ng BĐT Côsi ta có: ụ
. . . . x
2 2 2
x y y z z x
xy yz z xyz
+ + +
≥ =
(đpcm)
Bài 4: Cho ∆ABC. CMR:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
1 1 1
p
p a p b p c
p a p c
p b
− − −
− −
−
+ + ≥
(1)
Gi iả
Đ t: ặ
0
0
0
p a x
p b y
p c z
− = >
− = >
− = >
thì (1) ⇔
2 2 2
1 1 1
x y z
xyz
x y z
+ +
+ + ≥
(2)
Ta có:
VT (2) =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
. . .
1 1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x y y z x z x y y z x z
+ + + +
+ + + ≥
1 1 1
x
x y z
xy yz z xyz
+ +
= + + =
D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ x = y = z ⇔ a = b = c ⇔ ∆ ABC đ u.ề
Bài 5: Ch ng minh r ng n u a, b, c > 0 va abc = 1 thì : ứ ằ ế
1 1 1
1
2 2 2a b c
+ + ≤
+ + +
Gi iả
B t đ ng th c đã cho t ng đ ng v i:ấ ẳ ứ ươ ươ ớ
1
1 1 1
1 1 1
2 2 2a b c
− ≥+ − + −
+ + +
⇔
1
2 2 2
a b c
a b c
≥+ +
+ + +
Đ t ặ
; ; ;
x y z
a b c
y z x
= = =
th a đi u ki n ỏ ề ệ
. . 1. .
x y z
a b c
y z x
==
. B t đ ng th c đã cho t ng đ ng v i:ấ ẳ ứ ươ ươ ớ
1
2 2 2
x y z
x y y z z x
≥+ +
+ + +
Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski ta có:ụ ấ ẳ ứ
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
2 2 2
x y z
x x y y y z z z x x y z
x y y z z x
+ + + + + + + ≥ + +
+ + +
⇒
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
1
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
x y z
x y y z z x
x x y y y z z z x
x y z
= =
+ + + +
+ + ≥
+ + +
+ + + + +
+ +
3.9. M T S BÀI T P V N D NGỘ Ố Ậ Ậ Ụ
K thu t ch n đi m r i và đánh giá t TBC sang TBN:ỹ ậ ọ ể ơ ừ
3.9.1 Cho a ≥ 6. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ
2
18
S a
a
= +
3.9.2 Cho 0 < a ≤
1
2
. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ
2
1
2S a
a
= +
3.9.3 Cho
, 0
1
a b
a b
>
+ ≤
. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ
1
S ab
ab
= +
3.9.4 Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>
+ + ≤
. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ
1
S abc
abc
= +
3.9.5 Cho a, b > 0. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ
a b ab
S
a b
ab
+
= +
+
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
21
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
3.9.6 Cho
, , 0
3
2
a b c
a b c
>
+ + ≤
. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ
1 1 1
S a b c
a b c
= + + + + +
3.9.7 Cho
, , 0
3
2
a b c
a b c
>
+ + ≤
. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ
2 2 2
1 1 1
S a b c
a b c
= + + + + +
3.9.8 Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ
3.9.9
2 2 2 2
1 1 1 1
3 3 3 3
a b c d
S
b c d a
= + + + +
3.9.10 Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>
+ + ≤
Ch ng minh r ng: ứ ằ
2 2 2
1 1 1 2 2 2
81S
a b c ab bc ca
= + + + + + ≥
3.9.11 Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>
+ + ≤
Ch ng minh r ng: ứ ằ
2 2 2
1 1 1
28
a b c
S
b c a a b c
= + + + + + ≥
K thu t ch n đi m r i và đánh giá t TBN sang TBC:ỹ ậ ọ ể ơ ừ
3.9.12
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1
1 1
R: -
2 2
1 1
a b ab
CM
a b
+ −
≤ ≤
+ +
3.9.13 Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>
+ + =
Ch ng minh r ng ứ ằ
8
27
ab bc ca abc+ + − ≤
3.9.14 Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>
+ + =
Ch ng minh r ng ứ ằ
16abc a b≤ +
K thu t ch n đi m r i và nhân thêm h ng s trong đánh giá t TBN sang TBCỹ ậ ọ ể ơ ằ ố ừ
3.9.15 Cho
3
4
2
2 3 4
2 2
a
b Tìm Max S
c
ab c bc a ca b
≥
≥ =
≥
− + − + −
3.9.16 Cho x, y, z >0. Tìm Min f(x, y, z) =
( )
6
2 3
x y z
xy z
+ +
3.9.17 Ch ng minh r ng: ứ ằ
1
1 (1) 1
n
n n N
n
< + ∀ ≤ ∈
3.9.18 Ch ng minh r ng:ứ ằ
3
2 1 3 1 1
1 1
2 3
n
n
S n
n
+ + + +
+ + +
= < +
3.9.19 ( G i y: CMR ợ
2
1 1
1
n
n
n k
+
< +
)
3.9.20 Cho
, , , 0
1
a b c d
a b c d
>
+ + + =
Tìm Max
a b c b c d c d a d a bS += + + + + + + + + + +
3.9.21 Cho
, , , 0
1
a b c d
a b c d
>
+ + + =
Tìm Max
3 3 3 3
2 2 2 2S a b b c c d d a= + + + + + + +
3.9.22 Cho a ≥ 2, b ≥ 6; c ≥ 12. Tìm Min
3
4
2 6 12bc a ca b ab c
abc
S
− + − + −
=
K thu t ghép c p ngh ch đ o cho 3 s , n sỹ ậ ặ ị ả ố ố
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
22
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
3.9.23 Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>
+ + =
CMR :
1 1 1 9
2a b b c c a
+ + ≥
+ + +
3.9.24 Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>
+ + ≤
CMR:
2 2 2
1 1 1
9
2 2 2a bc b ca c ab
+ + ≥
+ + +
3.9.25 Cho tam giác ABC, M thu c mi n trong tam giác. G i MA, MB, MC th t giao v i BC, AC, ABộ ề ọ ứ ự ớ
t i D, E, F. Ch ng minh:ạ ứ
a)
1
MD ME MF
DA EB FC
+ + =
; b)
2
MA MB MC
DA EB FC
+ + =
; c)
6
D
MA MB MC
M ME MF
+ + ≥
;
d)
. . 8
D
MA MB MC
M ME MF
≥
e )
9/ 2
DA EB FC
MA MB MC
+ + ≥
; f)
D
3/ 2
M ME MF
MA MB MC
+ + ≥
5. M T S NG D NG KHÁC C A B T Đ NG TH CỘ Ố Ứ Ụ Ủ Ấ Ẳ Ứ
Áp d ng BĐT đ gi i ph ng trình và h ph ng trìnhụ ể ả ươ ệ ươ
Bài 1: Gi i ph ng trình ả ươ
1
1 2 ( )
2
x y z x y z+ − + − = + +
Gi iả
Đi u ki n : x ề ệ ≥ 0, y ≥ 1, z ≥ 2. Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho hai s không âm ta có:ụ ấ ẳ ứ ố
( )
1
.1
2
( 1) 1
1 ( 1).1
2
( 2) 1 1
2 2 .1
2 2
x
x x
y
y y
z z
z z
+
= ≤
− +
− = − ≤
− + −
− = − ≤ =
Suy ra :
( )
1
1 2
2
x y z x y z+ − + − ≤ + +
D u “=” x y ra khi và ch khi ấ ả ỉ
=
=
=
⇔
=−
=−
=
3
2
1
12
11
1
z
y
x
z
y
x
.
V y ph ng trình có nghi m (x, y, z) = (1; 2; 3)ậ ươ ệ
Bài 2: Gi i ph ng trình: ả ươ
4 4
42 2
1 1 1x x x− + + + +
= 3
Gi iả
Đi u ki n: -1 ≤ x ≤ 1. Áp d ng b t đ ng th c Cô-si ta có:ề ệ ụ ấ ẳ ứ
2
4
4
4
1 1
1 1 . 1 (1)
2
1 1
1 1 .1 (2)
2
1 1
1 1 .1 (3)
2
x x
x x x
x
x x
x
x x
− + +
− = − + ≤
− +
− = − ≤
+ +
+ = + ≤
C ng (1), (2), (3) ta đ c: ộ ượ
4
2
4 4
1 1 1 1 1 1x x x x x− + − + + ≤ + − + +
M t khác, l i theo b t đ ng th c Côsi ta có:ặ ạ ấ ẳ ứ
(1 ) 1 2
1 (1 ).1
2 2
(1 ) 1 2
1 (1 ).1
2 2
x x
x x
x x
x x
− + −
− = − ≤ =
+ + +
+ = + ≤ =
⇒
2 2
1 1 1 1 3
2 2
x x
x x
− +
+ − + + ≤ + + =
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
23
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
T (4) và (5) suy ra: ừ
4
4 42
1 1 1 3x x x− + + + + ≤
D u “=” x y ra khi và ch khi:ấ ả ỉ
1 1
1 1 0
1 1
x x
x x
x
− = +
− = ⇔ =
+ =
V y ph ng trình có nghi m duy nh t x = 0ậ ươ ệ ấ
Bài3: Gi i ph ng trình: ả ươ
2 2 2
1 1 2x x x x x x+ − + − + = − +
(1)
Gi iả
Áp d ng b t đ ng th c Cô-si, ta có:ụ ấ ẳ ứ
2 2
2
2 2
2
( 1) 1
1
2 2
( 1) 1 2
1
2 2
x x x x
x x
x x x x
x x
+ − + +
+ − ≤ =
− + + − +
− + ≤ =
⇒
2 2
1 1 1x x x x x+ − + − + ≤ +
(2)
K t h p (1) và (2) ta có: ế ợ
.10)1(12
22
=⇔≤−⇔+≤+− xxxxx
Th l i ta có x = 1 là nghi m duy nh t c a ph ng trìnhử ạ ệ ấ ủ ươ
Bài 4: Gi i h ph ng trình:ả ệ ươ
( 1) ( 1) 2
1 1
x y y x xy
x y y x xy
− + − =
− + − =
Gi iả
Đi u ki n: x ề ệ ≥ 1, y ≥ 1. Áp d ng b t đ ng th c Cô-si, ta có:ụ ấ ẳ ứ
1 ( 1)
1 1.( 1) 1
2 2 2
x x xy
x x y x
+ −
− = − ≤ = ⇒ − ≤
(1)
T ng t :ươ ự
-1 1
2 2
y xy
y x y≤ ⇒ − ≤
(2)
C ng (1), (2) ta đ c ộ ượ
1 1x y y x xy− + − ≤
.
D u “ = ” x y ra khi và ch khiấ ả ỉ
1 1
2
1 1
x
x y
y
− =
⇔ = =
− =
.
Th l i th y: x = y = 2 cũng th a mãn ph ng trình th nh t c a hử ạ ấ ỏ ươ ứ ấ ủ ệ
V y h có nghi m duy nh t (2;2)ậ ệ ệ ấ
Bài 5: Cho s nguyên n >1. Gi i h ph ng trình: ố ả ệ ươ
1 2
2
2 3
3
1
1
1 1
2
1 1
2
1 1
2
n
x x
x
x x
x
x x
x
= +
= +
= +
Gi iả
T h đã cho suy ra xừ ệ
1
, x
2
, … , x
n
là cùng d u. Gi s xấ ả ử
i
> 0 v i m i i. Áp d ng b t đ ng th c Cô-si, ta có:ớ ọ ụ ấ ẳ ứ
1 2
2
1 1
1
2
x x
x
= + ≥
.T ng t : xươ ự
i
≥ 1 v i m i i.ớ ọ
C ng n ph ng trình c a h theo t ng v ta đ c:ộ ươ ủ ệ ừ ế ượ
1 2
1 2
1 1 1
n
n
x x x
x x x
+ + + = + + +
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
24
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
Vì x
i
≥ 1 nên
i
i
x
x
1
≥
v i m i i, suy ra: ớ ọ
1 2
1 2
1 1 1
n
n
x x x
x x x
+ + + ≥ + + +
D u “=” x y ra khi và ch khi xấ ả ỉ
1
= x
2
= … = x
n
= 1
Bài 6: Gi i h ph ng trình:ả ệ ươ
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
x
y
x
y
z
y
z
x
z
=
+
=
+
=
+
Gi iả
Rõ ràng h có nghi m x = y = z = 0. V i x,y,z ệ ệ ớ ≠ 0, t h đã cho suy ra x>0, y>0, z>0. Áp d ng b t đ ng th c Cô-ừ ệ ụ ấ ẳ ứ
si, ta có:
2
2
2
2
2 2
1 2
1 2
x
x
x x y x
x x
+ ≥ ⇒ = ≤ =
+
T ng t : ươ ự
2
2
2 2
2 2
x .
1 1
y z
z y và z
y z
= ≤ = ≤
+ +
V y :ậ y ≤ x ≤ z ≤ y, suy ra x = y = z.
Thay y = x vào ph ng trình th nh t ta đ c:ươ ứ ấ ượ
2
2
2
2
2 1 1 ( vì x 0)
1
x
x x x x
x
= ⇔ = + ⇔ = >
+
V y h có hai nghi m (x, y, z) = {(0; 0; 0) ; (1; 1; 1)}ậ ệ ệ
Bài 7: Tìm s nguyên d ng n và các s d ng aố ươ ố ươ
1
= a
2
= … = a
n
th a các đi u ki nỏ ề ệ
n
1 2
n
1 2
a a a 2 (1)
1 1 1
2 (2)
a a a
+ + + =
+ + + =
Gi i:ả
L y (1) c ng (2) v theo v , ta đ c:ấ ộ ế ế ượ
1 2
1 2
1 1 1
4
n
n
a a a
a a a
+ + + + + + =
Áp d ng b t đ ng th c Cô-si, ta có: ụ ấ ẳ ứ
1
2
i
i
a
a
+ ≥
v i i = 1, 2, … , nớ
Suy ra 4 ≥ 2n hay n ≤ 2:
V i n = 1: h ớ ệ
1
1
2
1
2
a
a
=
=
vô nghi m; V i n = 2: h ệ ớ ệ
2
1
1 2
2
1 1
2
a
a
a a
+ =
+ =
có nghi m aệ
1
= a
2
= 1
V y: n = 2 và aậ
1
= a
2
= 1
Sau đây s là m t s bài t p t ng t giúp h c sinh ôn luy n ki n th cẽ ộ ố ậ ươ ự ọ ệ ế ứ
BÀI T P Đ H C SINH V N D NGẬ Ể Ọ Ậ Ụ
1. Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
2 2 2
) ( 1)( 2)( 8) 32 ( , , 0)a x y z xyz x y z+ + + = >
2 2
) x 2-x 4 4 3b y y+ = + +
16 4 1225
) 82 3 1 665
x-3 1 665
c x y z
y z
+ + = − − − − − −
− −
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
25
