GTLN-GTNN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2002-2013

GTLN-GTNN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013
Bài 1 (ĐH A2003) Cho x ,y ,z là ba số dương và
1x y z+ + ≤
. Chứng minh rằng

2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
+ + + + + ≥
ĐS :
1
3
x y z= = =
Bài 2 (ĐH B2003) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

2
4y x x= + −

ĐS :
[ ]
2;2
Maxy (2) 2 2y
−
= =
;
[ ]
2;2
Miny ( 2) 2y
−

= − = −
Bài 3 (ĐH D2003) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 2].

2
1
1
x
y
x
+
=
+

ĐS :
[ ]
1;2
Maxy (1) 2y
−
= =
;
[ ]
1;2
Miny ( 1) 0y
−
= − =
Bài 4 (ĐH B2004) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
3
1;e
 
 

.

2
ln x
y
x
=
ĐS :
3
2
2
1;
4
Maxy ( )
e
y e
e
 
 
= =
;
3
1;
Miny (1) 0
e
y
 
 
= =
Bài 5 (ĐH A2005) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn

1 1 1
4
x y z
+ + =
. Chứng minh rằng

1 1 1
1
2 2 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
ĐS :
3
4
x y z= = =
Bài 6 (ĐH B2005) Chứng minh rằng với mọi
x R
∈
, ta có .

12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
. Khi nào đẳng thức xảy ra?

ĐS :
0x =
Bài 7 (ĐH D2005) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :

3 3 3 3
3 3
1 1
1
3 3
yz
x y y z
z x
xy zx
+ + + +
+ +
+ + ≥

.Khi nào đẳng thức xảy ra?
ĐS :
1x y z= = =
Bài 8 (ĐH A2006) Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn điều kiện:
2 2
( )x y xy x y xy
+ = + −
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 3
1 1
A
x y

= +
.
ĐS :
1
ax 16
2
M A x y= ⇔ = =
Bài 9 (ĐH B2006) Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 2
( 1) ( 1) | 2 |A x y x y y
= − + + + + + −
ĐS :
1
2 3 0;
3
MinA x y= + ⇔ = =
Bài 10 (ĐH A2007) Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
( ) ( ) ( )
2 2 2
x y z y z x z x y
P
y y z z z z x x x x y y
+ + +
= + +
+ + +

ĐS :

2 1MinP x y z= ⇔ = = =
Bài 11 (ĐH B2007) Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

1 1 1
( ) ( ) ( )
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
= + + + + +

ĐS :
9
1
2
MinP x y z= ⇔ = = =
Bài 12 (ĐH D2007) Cho
0a b≥ >
. Chứng minh rằng :

1 1
2 2
2 2
b a
a b
a b
   
+ ≤ +
 ÷  ÷
   

Bài 13 (ĐH B2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x
2
+ y
2
=1. Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
2( 6 )
1 2 2
x xy
P
xy y
+
=
+ +
.
ĐS :
3 1
;
10 10
MaxP 3
3 1
;
10 10
x y
x y

= =



= ⇔

= − = −


;
3 2
;
13 13
MinP 6
3 2
;
13 13
x y
x y

= = −


= − ⇔

= − =


Bài 14 (ĐH D2008) Cho x,y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức :
2 2
( )(1 )

(1 ) (1 )
x y xy
P
x y
− −
=
+ +
.
ĐS :
1 1
MaxP 1; 0;MinP 0; 1
4 4
x y x y= ⇔ = = = − ⇔ = =

Bài 15 (ĐH A2009) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z)=3yz,
ta có: (x + y)
3
+ (x + z)
3
+ 3(x + y)(x + z)(y + z)≤ 5(y + z)
3
ĐS :
x y z= =

Bài 16 (ĐH B2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)
3
+ 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức :A = 3(x
4
+ y

4
+ x
2
y
2
) – 2(x
2
+ y
2
) + 1
ĐS :
9 1
MinA
16 2
x y= ⇔ = =

Bài 17 (ĐH D2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy.
ĐS :
2 3
25 1 191
4
MaxS ;MinP
2 2 16
2 3
4

x
x y
y

+
=


= ⇔ = = = ⇔

−

=


hoặc
2 3
4
2 3
4
x
y

−
=



+


=


Bài 18 (ĐH B2010) Cho các số thực a ,b ,c không âm thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức M =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3( ) 3( ) 2a b b c c a ab bc ca a b c+ + + + + + + +
ĐS :
MinM 2 ( , , )a b c= ⇔
là một trong các bộ số :
(1;0;0),(0;1;0),(0;0;1)
Bài 20 (ĐH D2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y =
2 2
4 21 3 10x x x x− + + − − + +
ĐS :
1
Miny 2
3
x= ⇔ =
Bài 21 (ĐH A2011) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
biểu thức
2 3
x y z
P
x y y z z x
= + +
+ + +
ĐS :
34

MinP 4; 1; 2
33
x y z= ⇔ = = =
Bài 22 (ĐH B2011) Cho các số thực a, b, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện :

2 2
2( ) ( )( 2)a b ab a b ab+ + = + +
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 2 2
3 3 2 2
4 9
a b a b
P
b a b a
   
= + − +
 ÷  ÷
   
.
ĐS :
2
23
MinP
1
4
a
b
=

= − ⇔


=

hoặc
1
2
a
b
=


=

Bài 23 (ĐH D2011−NC) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
[ ]
0;2
.

2
2 3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+
ĐS :
[ ]
0;2

Miny (0) 3y= =
;
[ ]
0;2
17
Maxy (2)
3
y= =
Bài 24 (ĐH A2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2 2 2
3 3 3 6 6 6
x y y z z x
P x y z
− − −
= + + − + +
.
ĐS :
MinP 3 0x y z= ⇔ = = =

Bài 25 (ĐH B2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện
0x y z+ + =
và
2 2 2
1.x y z+ + =

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
5 5 5
.P x y z= + +
ĐS :

5 6 6 6
MaxP ;
36 3 6
x y z= ⇔ = = = −

Bài 26 (ĐH D2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)
2
+ (y – 4)
2
+ 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức A = x
3
+ y
3
+ 3(xy – 1)(x + y – 2).
ĐS :
17 5 5 1 5
MinA
4 4
x y
− +
= ⇔ = =

Bài 27 (ĐH A2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
2
(a c)(b c) 4c+ + =
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
3 3 2 2
3 3

32a 32b a b
P
(b 3c) (a 3c) c
+
= + −
+ +
ĐS :
MinP 1 2 1x y= − ⇔ = =

Bài 28 (ĐH B2013) Cho a, b, c là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2 2 2
4 9
P
(a b) (a 2c)(b 2c)
a b c 4
= −
+ + +
+ + +
ĐS :
5
MaxP 2
8
a b c= ⇔ = = =

Bài 29 (ĐH D2013) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
xy y 1≤ −
. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
2 2

x y x 2y
P
6(x y)
x xy 3y
+ −
= −
+
− +
ĐS :
5 7 1
MaxP ; 2
3 30 2
x y= + ⇔ = =

Bài 30 (ĐH D2013−NC) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
[ ]
0;2
.

2
2 3 3
( )
1
x x
f x
x
− +
=
+

ĐS :
[ ]
0;2
Minf(x) (1) 1f= =
;
[ ]
0;2
Maxf(x) (0) 3f= =